Kolmion ympärille piirretyn ympyrän ominaisuuksien lauseiden todisteita

Keskisuorassa segmenttiin nähden

Määritelmä 1. Keskisuorassa segmenttiin nähden kutsutaan suoraksi viivaksi, joka on kohtisuorassa tähän segmenttiin nähden ja kulkee sen keskikohdan läpi (kuva 1).

Lause 1. Jokainen janaan nähden kohtisuoran puolittajan piste on samalla etäisyydellä päistä tämä segmentti.

Todiste . Tarkastellaan mielivaltaista pistettä D, joka on kohtisuorassa janan AB puolittajassa (kuva 2), ja osoita, että kolmiot ADC ja BDC ovat yhtä suuret.

Itse asiassa nämä kolmiot ovat suorakulmaisia ​​kolmioita, joiden haarat AC ja BC ovat yhtä suuret, kun taas jalat DC ovat yhteisiä. Kolmioiden ADC ja BDC yhtälöstä seuraa segmenttien AD ja DB yhtäläisyys. Lause 1 on todistettu.

Lause 2 (käänteinen lauseeseen 1). Jos piste on samalla etäisyydellä janan päistä, se sijaitsee kohtisuorassa puolittajassa tähän janan suhteen.

Todiste . Todistetaan Lause 2 menetelmällä "ristiriidalla". Tätä varten oletetaan, että jokin piste E on samalla etäisyydellä janan päistä, mutta ei ole kohtisuorassa janan puolittajassa. Tehdään tämä oletus ristiriitaiseksi. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa pisteet E ja A sijaitsevat kohtisuoran puolittajan vastakkaisilla puolilla (kuva 3). Tässä tapauksessa jana EA leikkaa kohtisuoran puolittajan jossain pisteessä, jota merkitään kirjaimella D.

Osoitetaan, että jana AE on pidempi kuin jana EB . Todella,

Siten siinä tapauksessa, että pisteet E ja A sijaitsevat kohtisuoran puolittajan vastakkaisilla puolilla, olemme saaneet ristiriidan.

Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa pisteet E ja A sijaitsevat kohtisuoran puolittajan samalla puolella (kuva 4). Osoitetaan, että jana EB on pidempi kuin jana AE . Todella,

Tuloksena oleva ristiriita täydentää Lauseen 2 todistuksen

Ympyrä, joka ympäröi kolmion

Määritelmä 2. Ympyrä, joka ympäröi kolmion, kutsu ympyrää, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen kärjen kautta (kuva 5). Tässä tapauksessa kutsutaan kolmiota ympyrään piirretty kolmio tai kirjoitettu kolmio.

Kolmion ympärille piirretyn ympyrän ominaisuudet. Sinilause

Kuva	Kuva	Omaisuus
Keskisuorat kolmion sivuille		leikkaavat yhdessä pisteessä .
Keskusta rajattu ympyrän terävän kolmion ympärille		Keskusta kuvattiin noin teräväkulmainen sisällä kolmio.
Keskusta suorakulmaisen kolmion ympärille rajattu ympyrä		Keskustassa kuvattu noin suorakulmainen hypotenuusan keskikohta .
Keskusta rajattu ympyrän tylpän kolmion ympärille		Keskusta kuvattiin noin tylppä ympyräkolmio valehtelee ulkopuolella kolmio.
		,
Neliö kolmio		S= 2R 2 syntiä A synti B synti C ,
Rajatun ympyrän säde		Jokaiselle kolmiolle yhtäläisyys on totta:

Keskisuorat kolmion sivuille

Kaikki kohtisuorat puolittajat piirretty mielivaltaisen kolmion sivuille, leikkaavat yhdessä pisteessä .

Ympyrä, joka ympäröi kolmion

Mikä tahansa kolmio voidaan rajata ympyrällä. . Kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste on piste, jossa kaikki kolmion sivuille piirretyt kohtisuorat puolittajat leikkaavat.

Terävän kolmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste

Keskusta kuvattiin noin teräväkulmainen ympyräkolmio valehtelee sisällä kolmio.

Suorakulmaisen kolmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste

Keskustassa kuvattu noin suorakulmainen ympyrän kolmio on hypotenuusan keskikohta .

Tylppän kolmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste

Keskusta kuvattiin noin tylppä ympyräkolmio valehtelee ulkopuolella kolmio.

Jokaiselle kolmiolle yhtäläisyydet ovat voimassa (sinilause): , missä a, b, c ovat kolmion sivut, A, B, C ovat kolmion kulmat, R on rajatun ympyrän säde.

Kolmion pinta-ala

Jokaiselle kolmiolle yhtäläisyys on totta: S= 2R 2 syntiä A synti B synti C , missä A, B, C ovat kolmion kulmat, S on kolmion pinta-ala, R on rajatun ympyrän säde.

Rajatun ympyrän säde

Jokaiselle kolmiolle yhtäläisyys on totta: missä a, b, c ovat kolmion sivut, S on kolmion pinta-ala, R on rajatun ympyrän säde.

Kolmion ympärille piirretyn ympyrän ominaisuuksien lauseiden todisteita

Lause 3. Kaikki mielivaltaisen kolmion sivuille piirretyt keskisuorat leikkaavat yhdessä pisteessä.

Todiste . Tarkastellaan kahta kohtisuoraa puolittajaa, jotka on piirretty kolmion ABC sivuille AC ja AB, ja merkitse niiden leikkauspiste kirjaimella O (kuva 6).

Koska piste O on janan AC kohtisuoralla puolittajalla, niin Lauseen 1 perusteella seuraava yhtälö pätee:

Koska piste O on janan AB kohtisuorassa puolittajassa, niin lauseen 1 perusteella seuraava yhtälö pätee:

Eli tasa-arvo on totta:

josta Lauseen 2 avulla päätämme, että piste O on janan BC kohtisuoralla puolittajalla. Siten kaikki kolme kohtisuoraa puolittajaa kulkevat saman pisteen läpi, mikä oli todistettava.

Seuraus. Mikä tahansa kolmio voidaan rajata ympyrällä. . Kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste on piste, jossa kaikki kolmion sivuille piirretyt kohtisuorat puolittajat leikkaavat.

Todiste . Tarkastellaan pistettä O, jossa kaikki kolmion ABC sivuille piirretyt kohtisuorat puolittajat leikkaavat (kuva 6).

Todistettaessa Lause 3 saatiin seuraava yhtälö:

josta seuraa, että ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O ja säteet OA , OB , OC, kulkee kolmion ABC kaikkien kolmen kärjen läpi, mikä oli todistettava.

Kolmio on yksinkertaisin litteistä monikulmiohahmoista. Jos minkä tahansa kulman arvo sen huipuissa on 90 °, kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi. Lähellä tällaista monikulmiota on sallittua piirtää ympyrä siten, että jokaisella kolmesta kärjestä on yksi yhteinen piste rajansa kanssa (ympyrä). Tätä ympyrää kutsutaan rajatuksi, ja suoran kulman läsnäolo yksinkertaistaa suuresti sen rakentamista.

Tarvitset

• Viivain, kompassi, laskin.

Ohje

1. Aloita määrittämällä sen ympyrän säde, jonka haluat piirtää. Jos on mahdollista mitata kolmion sivujen pituudet, kiinnitä huomiota sen hypotenuusaan - oikeaa kulmaa vastapäätä olevaan sivuun. Mittaa se ja jaa saatu arvo puoliksi - tämä on oikean kolmion lähellä kuvatun ympyrän säde.

2. Jos hypotenuusan pituus ei ole tiedossa, mutta jaloilla on pituudet (a ja b) (2 suoran kulman vieressä olevaa sivua), etsi säde (R) Pythagoran lauseen avulla. Siitä seuraa, että tämä parametri on yhtä suuri kuin puolet neliöjuuresta erotettuna jalkojen pituuksien neliösummasta: R=?*?(a?+b?).

3. Jos tunnetaan vain yhden jalan pituus (a) ja sen vieressä olevan terävän kulman arvo (?), niin rajatun ympyrän (R) säteen määrittämiseksi käytä trigonometristä funktiota - kosini. Suorakulmaisessa kolmiossa se määrittää hypotenuusan ja tämän haaran pituuksien suhteen. Laske puolet jalan pituuden osamäärästä jaettuna kuuluisan kulman kosinilla: R=?*a/cos(?).

4. Jos yhden jalan (a) pituuden lisäksi tiedetään sitä vastapäätä olevan terävän kulman (?) arvo, niin säteen (R) laskemiseen käytetään toista trigonometristä funktiota - siniä. Toiminnon ja sivun korvaamisen lisäksi kaavassa mikään ei muutu - jaa jalan pituus tunnetun terävän kulman sinillä ja jaa tulos kahtia: R =? * b / sin (?).

5. Kun olet löytänyt säteen millä tahansa luetelluista menetelmistä, määritä kuvatun ympyrän keskipiste. Voit tehdä tämän poistamalla tuloksena olevan arvon kompassista ja asettamalla sen mihin tahansa kolmion kärkeen. Ei tarvitse kuvata täyttä ympyrää, pyyhkäise helposti paikka, jossa se leikkaa hypotenuusan - tämä piste on ympyrän keskipiste. Tällainen on suorakulmaisen kolmion laatu - sen ympärillä olevan rajatun ympyrän keskipiste sijaitsee poikkeuksetta sen pisimmän sivun keskellä. Piirrä kompassille piirretyn säteen ympyrä, jonka keskipiste on havaitun pisteen kohdalla. Tämä viimeistelee rakentamisen.

Toisinaan kuperan monikulmion lähellä saa piirtää ympyrän siten, että kaikkien kulmien kärjet ovat siinä. Tällaista ympyrää monikulmion suhteen tulisi kutsua rajatuksi. Hänen Keskusta ei välttämättä tarvitse olla piirretyn kuvan kehän sisällä, vaan käyttää kuvattujen ominaisuuksia ympyrät, tämän kohdan havaitseminen, kuten tavallista, ei ole kovin vaikeaa.

Tarvitset

• Viivain, lyijykynä, astemittari tai neliö, kompassit.

Ohje

1. Jos monikulmio, jonka ympärille on tarpeen kuvata ympyrä, piirretään paperille, jotta voidaan löytää Keskusta ja ympyrä riittää viivaimella, kynällä ja astemittarilla tai neliöllä. Mittaa kuvan kunkin sivun pituus, määritä sen keskikohta ja aseta apupiste piirustuksen tähän paikkaan. Piirrä neliön tai astelevyn tuella jana, joka on kohtisuorassa tälle sivulle monikulmion sisään, kunnes se leikkaa vastakkaisen sivun.

2. Tee sama toimenpide monikulmion millä tahansa toisella puolella. Kahden rakennetun segmentin leikkauspiste on haluttu piste. Tämä seuraa kuvatun pääominaisuudesta ympyrät- hänen Keskusta kuperassa monikulmiossa, jossa on mikä tahansa määrä sivuja, on aina näille sivuille piirrettyjen kohtisuorien puolittajien leikkauspisteessä.

3. Tosipolygoneille määritelmä on Keskusta vaan kaiverrettu ympyrät voisi olla paljon helpompaa. Oletetaan, että jos se on neliö, piirrä kaksi diagonaalia - niiden leikkauspiste on Keskusta ohm kirjoitettu ympyrät. Positiivisessa monikulmiossa, jolla on parillinen määrä sivuja, riittää yhdistämään kaksi toisiaan vastapäätä olevaa kulmaparia apusegmenttien kanssa - Keskusta kuvattu ympyrät on oltava sama kuin niiden leikkauspiste. Määritä ongelman ratkaisemiseksi suorakulmaisessa kolmiossa helposti kuvan pisimmän sivun keskikohta - hypotenuusa.

4. Jos ehdoista ei tiedetä, saako opinnäytetyössä piirtää rajatun ympyrän tietylle monikulmiolle oletetun pisteen määrittämisen jälkeen Keskusta ja millä tahansa kuvatuista menetelmistä voit selvittää. Aseta kompassille etäisyys havaitun pisteen ja kunkin kärjen välillä, aseta kompassi haluttuun Keskusta ympyrät ja piirrä ympyrä - koko kärjen on oltava tällä ympyrät. Jos näin ei ole, yksi perusominaisuuksista ei täyty ja on mahdotonta kuvata ympyrää tietyn monikulmion ympärillä.

Kuvatun määritelmän mukaan ympyrä täytyy kulkea annetun monikulmion kaikkien kulmapisteiden läpi. Samaan aikaan sillä ei ole ihanteellisesti väliä, millainen monikulmio se on - kolmio, neliö, suorakulmio, puolisuunnikkaan tai jotain muuta. Sillä ei myöskään ole väliä, onko se oikea vai väärä monikulmio. On vain otettava huomioon, että ympärillä on polygoneja ympyrä mahdotonta kuvailla. Aina on mahdollista kuvata ympyrä kolmion ympärillä. Mitä tulee nelikulmioihin, ympyrä on sallittua kuvata noin neliötä tai suorakulmiota tai tasakylkistä puolisuunnikasta.

Tarvitset

• Annettu polygoni
• Viivotin
• neliö-
• Lyijykynä
• Kompassi
• Astelevy
• Sini- ja kosinitaulukot
• Matemaattiset esitykset ja kaavat
• Pythagoraan lause
• Sinilause
• Kosinilause
• Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta

Ohje

1. Muodosta monikulmio annetuilla parametreilla ja määritä, saako sen ympärille kuvata ympyrä. Jos sinulle annetaan nelikulmio, laske sen vastakkaisten kulmien summa. Jokaisen niistä tulee olla 180°.

2. Kuvatakseen ympyrä, sinun on laskettava sen säde. Muista missä rajatun ympyrän keskipiste sijaitsee eri monikulmioissa. Kolmiossa se sijaitsee annetun kolmion kaikkien korkeuksien leikkauspisteessä. Neliössä ja suorakulmioissa - lävistäjien leikkauspisteessä, puolisuunnikkaan - symmetria-akselin leikkauspisteessä sivujen keskipisteet yhdistävän linjan kanssa ja missä tahansa muussa kuperassa monikulmiossa - symmetria-akselin leikkauspisteessä kohtisuorat puolittajat sivuille.

3. Laske neliön ja suorakulmion ympärille piirretyn ympyrän halkaisija Pythagoraan lauseen avulla. Se on yhtä suuri kuin neliöjuuri suorakulmion sivujen neliöiden summasta. Neliölle, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret, diagonaali on yhtä suuri kuin neliöjuuri kaksinkertaisesta sivun neliöstä. Jaa halkaisija kahdella saadaksesi säteen.

4. Laske kolmion rajatun ympyrän säde. Siitä tosiasiasta, että kolmion parametrit on annettu ehdoissa, laske säde kaavalla R = a / (2 sinA), jossa a on yksi kolmion sivuista, ? on päinvastainen kulma. Tämän puolen sijasta saa ottaa minkä tahansa toisen puolen ja sitä vastakkaisen kulman.

5. Laske puolisuunnikkaan ympärille piirretyn ympyrän säde. R = a*d*c/4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) /2*(a+d+c) . Laske puuttuvat arvot. Korkeus voidaan laskea sinien tai kosinien lauseella siitä, että puolisuunnikkaan sivujen pituudet ja kulmat on annettu tehtävän ehdoissa. Kun tiedät kolmioiden korkeuden ja otat huomioon kolmioiden samankaltaisuuden merkit, laske diagonaali. Myöhemmin jää vain laskea säde yllä olevan kaavan avulla.

Liittyvät videot

Hyödyllinen neuvo
Laskeaksesi toisen monikulmion ympärille rajatun ympyrän säteen, suorita joukko lisärakenteita. Hanki primitiivisempiä hahmoja, joiden parametrit tunnet.

Vinkki 4: Suorakulmaisen kolmion piirtäminen terävästä kulmasta ja hypotenuusasta

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka kulma yhdessä kärjestään on 90°. Tätä kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja kolmion kahta terävää kulmaa vastapäätä olevia sivuja kutsutaan jaloiksi. Jos hypotenuusan pituus ja yhden terävän kulman arvo tunnetaan, nämä tiedot riittävät kolmion rakentamiseen vähintään kahdella menetelmällä.

Tarvitset

• Paperiarkki, lyijykynä, viivain, kompassi, laskin.

Ohje

1. Ensimmäinen menetelmä vaatii kynän ja paperin lisäksi viivaimen, astemittarin ja neliön. Piirrä ensin sivu, joka on hypotenuusa - laita piste A, syrjäytä siitä hypotenuusan tunnettu pituus, aseta piste C ja yhdistä pisteet.

2. Kiinnitä astelevy piirrettyyn segmenttiin siten, että nollamerkki osuu yhteen pisteen A kanssa, mittaa ajetun terävän kulman arvo ja aseta apupiste. Piirrä viiva, joka alkaa pisteestä A ja kulkee apupisteen läpi.

3. Kiinnitä neliö janaan AC siten, että suora kulma alkaa pisteestä C. Merkitse edellisessä vaiheessa piirretyn suoran leikkauspiste kirjaimella B ja yhdistä se pisteeseen C. Tämä saa päätökseen suoran rakentamisen Kolmio, jossa on kuuluisa sivupituus AC (hypotenuusa) ja terävä kulma kärjessä A valmistuu.

4. Toinen menetelmä vaatii kynän ja paperin lisäksi viivaimen, kompassin ja laskimen. Aloita laskemalla jalkojen pituudet - yhden terävän kulman koon ja hypotenuusan pituuden tietäminen riittää tähän täysin.

5. Laske sen jalan (AB) pituus, joka on tunnetun arvon kulmaa (β) vastapäätä - se on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden (AC) ja kuuluisan kulman AB= sinin tulo. AC*sin(β).

6. Määritä toisen haaran pituus (BC) - se on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden ja kulman BC=AC*cos(β) kosinin tulo.

7. Aseta piste A, mittaa hypotenuusan pituus siitä, laita piste C ja vedä viiva niiden väliin.

8. Aseta sivuun viidennessä vaiheessa laskettu jalan AB pituus kompassille ja piirrä apupuoliympyrä, jonka keskipiste on piste A.

9. Laita sivuun kompassin kuudennessa vaiheessa laskettu jalan BC pituus ja piirrä apupuoliympyrä, jonka keskipiste on piste C.

10. Merkitse 2 puoliympyrän leikkauspiste kirjaimella B ja piirrä janat pisteiden A ja B, C ja B välille. Tämä viimeistelee suorakulmaisen kolmion rakentamisen.

Vinkki 5: Mitkä ovat suorakulmaisen kolmion sivujen nimet

Ihmiset ovat olleet kiinnostuneita suorakulmaisten kolmioiden upeista ominaisuuksista muinaisista ajoista lähtien. Monet näistä ominaisuuksista kuvaili antiikin kreikkalainen tiedemies Pythagoras. Muinaisessa Kreikassa syntyi myös suorakulmaisen kolmion sivujen nimet.

Mitä kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi?

Kolmioita on useita tyyppejä. Joillakin on kaikki terävät kulmat, toisissa yksi tylppä ja kaksi terävää, ja toisissa on kaksi terävää ja suora. Tämän merkin mukaan kaikki näiden geometristen hahmojen tyypit saivat nimen: teräväkulmainen, tylppäkulmainen ja suorakaiteen muotoinen. Eli kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka yksi kulmista on 90 °. On olemassa toinen määritelmä, joka on samanlainen kuin ensimmäinen. Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka kaksi sivua ovat kohtisuorassa.

Hypotenuusa ja jalat

Terävässä ja tylpässä kolmiossa kulmien kärjet yhdistäviä segmenttejä kutsutaan primitiivisiksi sivuiksi. Suorakaiteen muotoisen kolmion sivuilla on muita nimiä. Niitä, jotka ovat oikean kulman vieressä, kutsutaan jaloiksi. Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Kreikasta käännetty sana "hypotenuse" tarkoittaa "venytettyä" ja "jalka" - "suoraan".

Hypotenuusan ja jalkojen väliset suhteet

Suorakulmaisen kolmion sivut on liitetty toisiinsa tietyillä suhteilla, mikä helpottaa laskemista huomattavasti. Sanotaan, että tietäen jalkojen mitat on mahdollista laskea hypotenuusan pituus. Tätä suhdetta, sen löytäneen matemaatikon nimellä, kutsuttiin Pythagoran lauseeksi ja se näyttää tältä: c2=a2+b2, missä c on hypotenuusa, a ja b ovat jalat. Eli hypotenuusa on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summan neliöjuuri. Jokaisen haaran löytämiseksi riittää, kun vähennetään hypotenuusan neliöstä toisen jalan neliö ja erotetaan neliöjuuri tuloksena olevasta erosta.

Viereinen ja vastakkainen jalka

Piirrä suorakulmainen kolmio ACB. Kirjaimella C merkitään suoran kulman kärki, A ja B ovat terävien kulmien kärjet. Koko kulman vastakkaisia ​​puolia kutsutaan sopivasti a:ksi, b:ksi ja c:ksi niitä vastapäätä olevien kulmien nimien mukaan. Harkitse kulmaa A. Jalka a on vastakkainen, jalka b - vierekkäinen. Vastakkaisen jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan siniksi. Tämä trigonometrinen funktio voidaan laskea kaavalla: sinA=a/c. Viereisen jalan suhdetta hypotenuusaan kutsutaan kosiniksi. Se lasketaan kaavalla: cosA=b/c. Näin ollen, kun tiedetään kulma ja yksi sivuista, on mahdollista laskea toinen puoli näiden kaavojen avulla. Molemmat jalat yhdistetään myös trigonometrisilla suhteilla. Vastakohdan suhdetta viereiseen kutsutaan tangentiksi, ja viereisen suhdetta vastakkaiseen kutsutaan kotangentiksi. Nämä suhteet voidaan ilmaista kaavoilla tgA=a/b tai ctgA=b/a.

Suorakulmaisen kolmion ympäriympyrä. Tässä julkaisussa tarkastelemme todistetta yhdestä "matemaattisesta tosiasiasta", jota käytetään laajalti geometrian ongelmien ratkaisemisessa. Joissakin lähteissä tätä tosiasiaa kutsutaan lauseeksi, toisissa ominaisuutena, on olemassa erilaisia ​​​​formulaatioita, mutta niiden olemus on sama:

Jokainen kolmio, joka on rakennettu ympyrän halkaisijalle, jonka kolmas kärki sijaitsee tällä ympyrällä, on suorakulmainen!

Toisin sanoen tämän geometrisen kuvion kuvio on se, että minne tahansa asetat kolmion kärjen, kulma tässä kärjessä on aina oikea:

Matematiikan kokeen kokoonpanossa on paljon läsnäolijoilla tehtäviä, joiden aikana tätä ominaisuutta käytetään.

Mielestäni standarditodistus on hyvin hämmentävä ja täynnä matemaattisia symboleja, löydät sen oppikirjasta. Harkitsemme yksinkertaista ja intuitiivista. Löysin sen yhdestä upeasta esseestä nimeltä " itkevä matematiikka Suosittelen opettajien ja opiskelijoiden luettavaksi.

Katsotaanpa ensin joitain teoreettisia kohtia:

Rinnakkaismerkki. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret. Eli jos nelikulmion molemmat vastakkaisten sivujen parit ovat yhtä suuret, tämä nelikulmio on suunnikas.

Suorakaide merkki. Suorakulmio on suunnikas ja sen lävistäjät ovat yhtä suuret. Eli jos suunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret, se on suorakulmio.

* Suorakulmio on suuntaviiva, tämä on sen erikoistapaus.

Joten aloitetaan:

Ota kolmio ja käännä sitä 180 0 suhteessa ympyrän keskipisteeseen (käännä se ympäri). Saamme ympyrään piirretyn nelikulmion:

Koska käänsimme juuri kolmiota, nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että se on suuntaviiva. Koska kolmiota on kierretty täsmälleen 180 astetta, sen kärki on diametraalisesti vastakkainen "alkuperäisen" kolmion kärkeen nähden.

Osoittautuu, että nelikulmion lävistäjät ovat yhtä suuret, joten ne ovat halkaisijoita. Meillä on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret ja lävistäjät yhtä suuret, joten se on suorakulmio ja kaikki sen kulmat ovat suorat.

Siinä kaikki todiste!

Voit myös harkita tätä, myös yksinkertaista ja ymmärrettävää:

Katso lisää todisteita =>>

Pisteestä C rakennamme ympyrän keskipisteen kautta kulkevan janan, jonka toinen pää on ympyrän vastakkaisessa pisteessä (piste D). Yhdistä piste D pisteisiin A ja B:On nelikulmio. Kolmio AOD on yhtä kuin kolmio COB kahdelta sivulta ja niiden välinen kulma:

Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa, että AD = CB.

Vastaavasti AC = DB.

Voimme päätellä, että nelikulmio on suuntaviiva. Lisäksi sen lävistäjät ovat yhtä suuret - AB annetaan aluksi halkaisijana, CD on myös halkaisija (läpi pisteen O).

Siten ACBD on suorakulmio, mikä tarkoittaa, että kaikki sen kulmat ovat suoria kulmia. Todistettu!

Toinen merkittävä lähestymistapa, joka kertoo meille elävästi ja "kauniisti", että kyseinen kulma on aina oikea.

Katso ja muista tietoja aiheesta. Katsokaa nyt luonnosta:

Kulma AOB on vain kaareen ADB perustuva keskikulma, ja se on 180 astetta. Kyllä, AB on ympyrän halkaisija, mutta mikään ei estä meitä pitämästä AOB:ta keskikulmana (tämä on kehitetty kulma). Kulma ACB on kirjoitettu sille, se lepää myös samalla kaarella ADB:ssä.

Ja tiedämme, että piirretty kulma on yhtä suuri kuin puolet keskikulmasta, eli riippumatta siitä, kuinka asetamme pisteen C ympyrään, kulma DIA on aina yhtä suuri kuin 90 astetta, eli se on oikein.

Mitä johtopäätöksiä voidaan tehdä erityisesti tenttiin sisältyvien ongelmien ratkaisemisesta?

Jos ehto viittaa kolmioon, joka on piirretty ympyrään ja rakennettu tämän ympyrän halkaisijalle, niin tämä kolmio on ehdottomasti suorakulmainen kolmio.

Jos sanotaan, että suorakulmainen kolmio on piirretty ympyrään, tämä tarkoittaa, että sen hypotenuusa on sama kuin sen halkaisija (saa kuin se) ja hypotenuusan keskipiste on sama kuin ympyrän keskipiste.

Siinä kaikki. Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

Ensimmäinen taso

rajattu ympyrä. Visuaalinen opas (2019)

Ensimmäinen kysymys, joka voi syntyä, on: kuvattu - minkä ympärillä?

No, itse asiassa joskus sitä tapahtuu minkä tahansa ympärillä, ja puhumme ympyrästä, joka on rajattu kolmion ympärille (joskus sanotaan "noin"). Mikä se on?

Ja nyt, kuvittele, tapahtuu hämmästyttävä tosiasia:

Miksi tämä tosiasia on hämmästyttävä?

Mutta kolmiot ovat erilaisia!

Ja jokaiselle on olemassa ympyrä, joka kulkee ohi kaikkien kolmen huipun läpi, eli rajattu ympyrä.

Todiste tästä hämmästyttävästä tosiasiasta löytyy seuraavilta teoriatasoilta, mutta tässä huomautetaan vain, että jos otamme esimerkiksi nelikulmion, niin ei ollenkaan kaikille neljän kärjen kautta kulkevaa ympyrää. Oletetaan, että tässä suunnikkakaavio on erinomainen nelikulmio, mutta ympyrä, joka kulkee kaikkien neljän kärjensä kautta, ei!

Ja se on vain suorakulmiolle:

Hyvin, ja jokaisella kolmiolla on aina oma rajattu ympyrä! Ja tämän ympyrän keskipiste on jopa aina melko helppo löytää.

Tiedätkö mikä on keskisuorassa?

Katsotaan nyt, mitä tapahtuu, jos tarkastellaan jopa kolmea kohtisuoraa puolittajaa kolmion sivuille.

Osoittautuu (ja tämä on juuri se, mikä on todistettava, vaikka emme tee), että Kaikki kolme kohtisuoraa leikkaavat yhdessä pisteessä. Katso kuvaa - kaikki kolme keskisuoraa leikkaavat yhdessä pisteessä.

Luuletko, että rajatun ympyrän keskipiste on aina kolmion sisällä? Kuvittele - ei aina!

Mutta jos teräväkulmainen, sitten - sisällä:

Mitä tehdä suorakulmaiselle kolmiolle?

Ja lisäbonuksella:

Koska puhumme rajatun ympyrän säteestä: mikä se on mielivaltaiselle kolmiolle? Ja tähän kysymykseen on vastaus: ns.

Nimittäin:

Ja tietenkin,

1. Piirretyn ympyrän olemassaolo ja keskipiste

Tässä herää kysymys: onko tällaista ympyrää olemassa millekään kolmiolle? Osoittautuu, että kyllä, kaikille. Ja lisäksi muotoilemme nyt lauseen, joka vastaa myös kysymykseen, missä on rajatun ympyrän keskipiste.

Näyttää tältä:

Kootaan rohkeus ja todistetaan tämä lause. Jos olet jo lukenut aiheen "", keksinyt miksi kolme puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä, niin se on sinulle helpompaa, mutta jos et ole lukenut sitä, älä huoli: nyt selvitämme kaiken ulos.

Suoritamme todistuksen käyttämällä pisteen paikannuskonseptia (LPT).

No, onko esimerkiksi pallosarja pyöreiden esineiden "geometrinen paikka"? Ei tietenkään, koska siellä on pyöreitä ... vesimeloneja. Mutta pystyykö joukko ihmisiä, "geometrinen paikka", puhumaan? Ei kumpaakaan, koska on vauvoja, jotka eivät osaa puhua. Elämässä on yleensä vaikea löytää esimerkkiä todellisesta "pisteiden geometrisestä paikasta". Geometria on helpompi. Tässä on esimerkiksi juuri se, mitä tarvitsemme:

Tässä joukko on keskisuora, ja ominaisuus "" on "olla yhtä kaukana (piste) janan päistä."

Tarkastetaanko? Joten sinun on varmistettava kaksi asiaa:

1. Mikä tahansa piste, joka on yhtä kaukana janan päistä, on siihen nähden kohtisuorassa puolittajassa.

Yhdistä kanssa ja kanssa. Sitten viiva on mediaani ja korkeus tuumaa. Joten, - tasakylkinen, - varmistimme, että mikä tahansa kohtisuoralla puolittajalla oleva piste on yhtä kaukana pisteistä ja.

Ota - keskellä ja yhdistä ja. Tuli mediaani. Mutta - tasakylkinen ehdon mukaan, ei vain mediaani, vaan myös korkeus, eli mediaani kohtisuora. Tämä tarkoittaa, että piste sijaitsee tarkalleen kohtisuorassa puolittajassa.

Kaikki! Olemme täysin vahvistaneet sen tosiasian janan puolittaja on kohtisuorassa janan päistä yhtä kaukana olevien pisteiden paikka.

Se on hyvä ja hyvä, mutta olemmeko unohtaneet rajatun ympyrän? Ei ollenkaan, valmistauduimme vain "sillanpäähän hyökkäystä varten".

Harkitse kolmiota. Piirretään kaksi keskisuoraa ja esimerkiksi segmenteille ja. Ne leikkaavat jossain vaiheessa, jonka nimeämme.

Ja nyt huomio!

Piste sijaitsee kohtisuorassa puolittajassa;
piste sijaitsee kohtisuorassa puolittajassa.
Ja se tarkoittaa ja.

Tästä seuraa useita asioita:

Ensinnäkin pisteen on oltava kolmannella kohtisuoralla janan puolittajalla.

Toisin sanoen kohtisuoran puolittajan tulee myös kulkea pisteen läpi, ja kaikki kolme kohtisuoraa puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä.

Toiseksi: jos piirrämme ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä ja säde, niin tämä ympyrä kulkee myös pisteen ja pisteen läpi, eli se on kuvattu ympyrä. Tämä tarkoittaa, että on jo olemassa, että kolmen kohtisuoran puolittajan leikkauspiste on minkä tahansa kolmion rajatun ympyrän keskipiste.

Ja viimeinen asia: ainutlaatuisuudesta. On selvää (melkein), että piste voidaan saada ainutlaatuisella tavalla, ja siksi ympyrä on ainutlaatuinen. No, "melkein" - jätämme sen sinun päätettäväksesi. Tässä olemme todistaneet lauseen. Voit huutaa "Hurraa!".

Ja jos ongelma on kysymys "etsi rajatun ympyrän säde"? Tai päinvastoin, säde on annettu, mutta haluat löytää jotain muuta? Onko olemassa kaavaa, joka yhdistää rajatun ympyrän säteen kolmion muihin elementteihin?

Huomaa, että sinilause sanoo sen rajatun ympyrän säteen löytämiseksi tarvitset yhden sivun (mikä tahansa!) ja sitä vastakkaisen kulman. Ja siinä se!

3. Ympyrän keskipiste - sisällä tai ulkopuolella

Ja nyt kysymys kuuluu: voiko rajatun ympyrän keskipiste olla kolmion ulkopuolella.
Vastaus: niin paljon kuin mahdollista. Lisäksi näin on aina tylpässä kolmiossa.

Ja yleisesti ottaen:

YMPYRÄ. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

1. Kolmion ympärille piirretty ympyrä

Tämä on ympyrä, joka kulkee tämän kolmion kaikkien kolmen kärjen läpi.

2. Piirretyn ympyrän olemassaolo ja keskipiste

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituuttiin budjetilla pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? en tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 999 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 tehtävää ratkaisuineen ja vastauksin, kullekin aiheelle, kaikille monimutkaisuustasoille." Se riittää varmasti käsiisi ongelmien ratkaisemiseen mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!