1. Vierekkäiset kulmat.

Jos jatkamme jonkin kulman sivua sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): ∠ABC ja ∠CBD, joissa BC:n toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta, AB ja BD, muodostavat suoran viivan. .

Kahta kulmaa, joilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), niin saadaan vierekkäiset kulmat.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDВ ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia ​​​​asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman summa on 180°

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman arvon, voimme löytää toisen viereisen kulman arvon.

Jos esimerkiksi yksi vierekkäisistä kulmista on 54°, toinen kulma on:

180° - 54° = 126°.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Kuvassa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Olkoon ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (kuva 76). Sen vieressä oleva ∠2 on yhtä suuri kuin 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, eli 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Samalla tavalla voit laskea, mitä ∠3 ja ∠4 ovat.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 = ∠3 ja ∠2 = ∠4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuden pätevyys on varmistettava todisteella.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 180°).

∠+∠c = ∠b+∠c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on 180° ja sen oikea puoli on myös 180°).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista arvoista yhtä paljon, se pysyy samana. Tuloksena on: ∠a = ∠b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat samalla puolella viivaa ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Piirustuksessa 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on yhteinen kärki. Nämä kulmat laskevat yhteen täyden kulman, eli ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Muut materiaalit

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksensä yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostuu kahden suoran leikkauspisteestä tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin kulman rakennuspisteitä.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. Joten on olemassa suora kulma, terävä, tylppä ja levitetty. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen mitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan levitetyksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauspiste muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voidaan aina laskea kulman astemitta toisen kulman arvolla tai ainakin niiden välisellä suhteella.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajikkeista voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun viivat leikkaavat. Yhdessä niiden kanssa vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla sekä vierekkäinen toiselle että pystysuora toiselle.

Kun ylitetään mielivaltainen viiva, otetaan huomioon myös useita muita kulmia. Tällaista viivaa kutsutaan sekantiksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pystysuorien ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Siten kulmien aihe näyttää varsin yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo edelleen, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opittava ulkoa monia monimutkaisia ​​kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

2) Kuinka monta yhteistä pistettä kahdella viivalla voi olla?
3) Selitä mikä segmentti on?
4) Selitä, mikä on säde Miten säteet määritellään?
5) Mitä kuvaa kutsutaan kulmaksi Selitä mitä kulman kärki ja sivut ovat?
6) Mitä kulmaa kutsutaan levitetyksi?
7) Mitä lukuja kutsutaan yhtäläisiksi?
8) Selitä kuinka vertailla kahta segmenttiä
9) Mitä pistettä kutsutaan janan keskipisteeksi?
10) Selitä kuinka vertailla kahta kulmaa.
11) Mitä sädettä kutsutaan kulman puolittajaksi?
12) Piste C jakaa janan AB 2 osaan Miten janan AB pituus saadaan selville, jos janan AC ja CB pituudet tunnetaan?
13) Mitä työkaluja käytetään etäisyyksien mittaamiseen?
14) Mikä on kulman astemitta?
15) Ray OS jakaa kulman AOB kahteen kulmaan. Kuinka löytää kulman AOB astemitta, jos kulmien AOC ja COB astemitat ovat tiedossa?
16) Mitä kulmaa kutsutaan teräväksi, oikeaksi? tylppäksi?
17) Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi ja mikä on vierekkäisten kulmien summa?
18) Mitä kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi?Mitä ominaisuuksia pystykulmilla on?
19) Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi?
20) Selitä, miksi 2 suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, eivät leikkaa?
21) Mitä välineitä käytetään suorien kulmien rakentamiseen maahan?

Kuinka monta viivaa voidaan vetää kahden pisteen läpi?

Kuinka monta yhteistä pistettä kahdella viivalla voi olla?
3 Selitä, mikä segmentti on
4 Selitä, mikä säde on. Miten säteet määritellään?
Mitä kuviota kutsutaan kulmaksi? Selitä, mitä kulman kärki ja sivut ovat
6mitä kulmaa kutsutaan taittamattomaksi
7 mitä lukuja kutsutaan yhtäläisiksi
8selitä kuinka vertailla kahta segmenttiä
Mitä pistettä kutsutaan janan keskipisteeksi
10selitä kuinka vertailla kahta kulmaa
11 mitä sädettä kutsutaan kulman puolittajaksi
12piste c jakaa janan ab kahdeksi janaksi Kuinka löytää janan ab pituus, jos janojen ac ja sb pituudet tunnetaan
13Millä työkaluilla etäisyyksiä mitataan
14 mikä on kulman astemitta
Säde os jakaa kulman aob kahteen kulmaan. Kuinka löytää kulman aob astemitta, jos kulmien aos mitat
Mitä kulmaa kutsutaan teräväksi?, eikö?, tylpäksi?.
17Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi ja mikä on vierekkäisten kulmien summa?
18Millaisia ​​kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi?mitä ominaisuuksia pystykulmilla on
19 mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi
20 Selitä, miksi kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, eivät leikkaa
21 Mitä välineitä käytetään suorien kulmien rakentamiseen maahan?

1) mikä on kulman astemitta? 2) mitä lukuja kutsutaan yhtäläisiksi 3) mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi, mikä on vierekkäisten kulmien summa 4) mitä kulmia kutsutaan

pystysuora, mikä ominaisuus pystykulmilla on 5)

Apua plz!! plzz=**

7. Osoita, että jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kolmannen suoran, niin sisäpuoliset poikittaiskulmat ovat yhtä suuret ja sisäisten yksipuolisten kulmien summa on 180 astetta.

8. Todista, että kaksi suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmanteen nähden, ovat yhdensuuntaisia. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.

9. Osoita, että kolmion kulmien summa on 180 astetta.

10. Todista, että millä tahansa kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa.

11. Mikä on kolmion ulkokulma?

12. Osoita, että kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden sen viereisen sisäkulman summa.

13. Osoita, että kolmion ulkokulma on suurempi kuin mikä tahansa sisäkulma, joka ei ole sen vieressä.

14. Mitä kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi?

15. Mikä on suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa?

16. Mitä suorakulmaisen kolmion sivua kutsutaan hypotenuusaksi? Mitä puolia kutsutaan jaloiksi?

17. Muotoile hypotenuusaa ja jalkaa pitkin olevien suorakulmioiden tasa-arvomerkki.

18. Todista, että mistä tahansa pisteestä, joka ei ole annetulla suoralla, voidaan pudottaa kohtisuora tälle suoralle, ja vain yksi.

19. Mitä kutsutaan etäisyydeksi pisteestä suoraan?

20. Selitä, mikä on yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.

Mikä on viereinen kulma

Injektio- tämä on geometrinen kuvio (kuva 1), jonka muodostavat kaksi sädettä OA ja OB (kulmasivut), jotka lähtevät yhdestä pisteestä O (kulman huippu).

LÄHETTÄVÄT KULMAT ovat kaksi kulmaa, joiden summa on 180°. Kukin näistä kulmista täydentää toisiaan täydessä kulmassa.

Vierekkäiset kulmat- (Agles adjacets) ne, joilla on yhteinen yläosa ja yhteinen puoli. Pääsääntöisesti tämä nimi viittaa sellaisiin kulmiin, joiden kaksi muuta sivua ovat yhden läpi vedetyn suoran vastakkaisissa suunnissa.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

riisi. 2

Kuvassa 2 kulmat a1b ja a2b ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen puoli b, ja sivut a1, a2 ovat lisäpuoliviivoja.

riisi. 3

Kuvassa 3 on viiva AB, piste C sijaitsee pisteiden A ja B välissä. Piste D on piste, joka ei ole suoralla AB. Osoittautuu, että kulmat BCD ja ACD ovat vierekkäisiä. Niillä on yhteinen sivu CD, ja sivut CA ja CB ovat linjan AB lisäpuoliviivoja, koska pisteet A, B erottaa alkupiste C.

Viereisen kulman lause

Lause: vierekkäisten kulmien summa on 180°

Todiste:
Kulmat a1b ja a2b ovat vierekkäin (katso kuva 2) Säde b kulkee suoristetun kulman sivujen a1 ja a2 välistä. Siksi kulmien a1b ja a2b summa on yhtä suuri kuin suorakulma, eli 180°. Lause on todistettu.

Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on myös suora kulma. Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi ja yli 90° tylppäksi. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, niin terävän kulman vieressä oleva kulma on tylppä kulma. Tylsän kulman vieressä oleva kulma on terävä kulma.

Vierekkäiset kulmat- kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivuista on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (eivät kohtaa). Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Määritelmä 1. Kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi sädettä, joilla on yhteinen origo.

Määritelmä 1.1. Kulma on kuvio, joka koostuu pisteestä - kulman kärjestä - ja kahdesta eri puoliviivasta, jotka lähtevät tästä pisteestä - kulman sivuista.
Esimerkiksi BOS-kulma kuviossa 1. Tarkastellaan kahta ensimmäistä leikkaavaa suoraa. Kun ne leikkaavat, viivat muodostavat kulmia. On erikoistapauksia:

Määritelmä 2. Jos kulman sivut ovat yhden suoran toisiaan täydentäviä puoliviivoja, kulmaa kutsutaan suorakulmaksi.

Määritelmä 3. Suora kulma on 90 asteen kulma.

Määritelmä 4. Alle 90 asteen kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.

Määritelmä 5. Yli 90 astetta ja alle 180 astetta olevaa kulmaa kutsutaan tylpäksi kulmaksi.
leikkaavia linjoja.

Määritelmä 6. Kahta kulmaa, joiden toinen puoli on yhteinen ja muut sivut ovat samalla suoralla, kutsutaan vierekkäisiksi.

Määritelmä 7. Kulmia, joiden sivut ulottuvat toisiaan, kutsutaan pystykulmiksi.
Kuvio 1:
vierekkäiset: 1 ja 2; 2 ja 3; 3 ja 4; 4 ja 1
pystysuora: 1 ja 3; 2 ja 4
Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta.
Katso todisteeksi kuva. 4 vierekkäistä kulmaa AOB ja VSP. Niiden summa on kehittynyt kulma AOC. Siksi näiden vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta.

riisi. 4

Matematiikan ja musiikin suhde

"Ajatellessani taidetta ja tiedettä, niiden keskinäisiä yhteyksiä ja ristiriitoja, tulin siihen tulokseen, että matematiikka ja musiikki ovat ihmishengen äärimmäisissä napoissa, että nämä kaksi antipodia rajoittavat ja määräävät kaiken ihmisen luovan henkisen toiminnan, ja että kaikki on asetettu niiden väliin, mitä ihmiskunta on luonut tieteen ja taiteen alalla."
G. Neuhaus
Näyttäisi siltä, ​​että taide on hyvin abstrakti alue matematiikasta. Matematiikan ja musiikin yhteys on kuitenkin ehdollinen sekä historiallisesti että sisäisesti huolimatta siitä, että matematiikka on tieteistä abstraktein ja musiikki abstraktein taiteen muoto.
Konsonanssi määrittää kielen äänen, joka miellyttää korvaa.
Tämä musiikkijärjestelmä perustui kahteen lakiin, jotka kantavat kahden suuren tiedemiehen nimiä - Pythagoras ja Archytas. Nämä ovat lait:
1. Kaksi kuulostavaa merkkijonoa määrittävät konsonanssin, jos niiden pituudet liittyvät kokonaislukuihin, jotka muodostavat kolmioluvun 10=1+2+3+4, ts. kuten 1:2, 2:3, 3:4. Lisäksi mitä pienempi luku n on suhteessa n:(n+1) (n=1,2,3), sitä konsonanttimpi on tuloksena oleva väli.
2. Kuuluvan merkkijonon värähtelytaajuus w on kääntäen verrannollinen sen pituuteen l.
w = a:l,
jossa a on merkkijonon fysikaalisia ominaisuuksia kuvaava kerroin.

Tarjoan myös huomionne hauskan parodian kahden matemaatikon välisestä kiistasta =)

Geometria ympärillämme

Geometrialla on tärkeä rooli elämässämme. Johtuen siitä, että kun katsot ympärillesi, ei ole vaikeaa huomata, että meitä ympäröivät erilaiset geometriset muodot. Kohtaamme heitä kaikkialla: kadulla, luokassa, kotona, puistossa, salilla, koulun ruokalassa, periaatteessa missä tahansa. Mutta tämän päivän oppitunnin aihe on viereiset hiilet. Joten katsotaan ympärillemme ja yritetään löytää kulmia tässä ympäristössä. Jos katsot tarkkaan ikkunasta ulos, huomaat, että jotkut puun oksat muodostavat vierekkäisiä kulmia ja voit nähdä monia pystysuoria kulmia portin väliseinissä. Anna esimerkkejä vierekkäisistä kulmista, joita näet ympäristössä.

Harjoitus 1.

1. Pöydällä kirjatelineen päällä on kirja. Minkä kulman se muodostaa?
2. Mutta opiskelija työskentelee kannettavalla tietokoneella. Minkä kulman näet tässä?
3. Mikä on telineen valokuvakehyksen kulma?
4. Onko mahdollista, että kaksi vierekkäistä kulmaa ovat yhtä suuret?

Tehtävä 2.

Edessäsi on geometrinen kuvio. Mikä tämä hahmo on, nimeä se? Nimeä nyt kaikki vierekkäiset kulmat, jotka näet tässä geometrisessa kuviossa.

Tehtävä 3.

Tässä on kuva piirroksesta ja maalauksesta. Katso niitä huolellisesti ja kerro, minkä tyyppisiä saaliita näet kuvassa ja mitkä kulmat kuvassa.

Ongelmanratkaisu

1) On annettu kaksi kulmaa, jotka liittyvät toisiinsa suhteessa 1:2 ja niiden vieressä - 7:5. Sinun on löydettävä nämä kulmat.
2) Tiedetään, että toinen vierekkäisistä kulmista on 4 kertaa suurempi kuin toinen. Mitkä ovat vierekkäiset kulmat?
3) On tarpeen löytää vierekkäiset kulmat edellyttäen, että yksi niistä on 10 astetta suurempi kuin toinen.

Matemaattinen sanelu aiemmin opitun materiaalin toistamiseen

1) Piirrä kuva: viivat a I b leikkaavat pisteessä A. Merkitse muodostetuista kulmista pienin numero 1 ja loput kulmat - peräkkäin numeroilla 2,3,4; suoran a - a1:n ja a2:n ja suoran b - kautta b1 ja b2 komplementaariset säteet.
2) Syötä tarvittavat arvot ja selitykset valmiin piirustuksen avulla tekstin aukkoihin:
a) kulma 1 ja kulma .... liittyvät, koska...
b) kulma 1 ja kulma .... pystysuora, koska...
c) jos kulma 1 = 60°, niin kulma 2 = ..., koska ...
d) jos kulma 1 = 60°, niin kulma 3 = ..., koska ...

Ratkaista ongelmia:

1. Voiko 2 suoran leikkauskohdassa muodostetun 3 kulman summa olla 100°? 370°?
2. Etsi kuvasta kaikki vierekkäisten kulmien parit. Ja nyt pystykulmat. Nimeä nämä kulmat.

3. Sinun on löydettävä kulma, kun se on kolme kertaa suurempi kuin sen vieressä oleva kulma.
4. Kaksi suoraa leikkaa toisensa. Tämän risteyksen seurauksena muodostui neljä kulmaa. Määritä minkä tahansa niistä arvo edellyttäen, että:

a) kahden kulman summa neljästä 84°;
b) niiden kahden kulman ero on 45°;
c) yksi kulma on 4 kertaa pienempi kuin toinen;
d) näiden kolmen kulman summa on 290°.

Oppitunnin yhteenveto

1. Nimeä kulmat, jotka muodostuvat 2 suoran leikkauspisteessä?
2. Nimeä kaikki kuvan mahdolliset kulmaparit ja määritä niiden tyyppi.

Kotitehtävät:

1. Etsi vierekkäisten kulmien astemittojen suhde, kun yksi niistä on 54 ° suurempi kuin toinen.
2. Etsi kulmat, jotka muodostuvat 2 suoran leikkaamisesta edellyttäen, että yksi kulmista on yhtä suuri kuin kahden sen viereisen kulman summa.
3. On tarpeen löytää vierekkäiset kulmat, kun yhden puolittaja muodostaa kulman toisen sivun kanssa, joka on 60° suurempi kuin toinen kulma.
4. Kahden vierekkäisen kulman ero on yhtä suuri kuin kolmasosa näiden kahden kulman summasta. Määritä 2 vierekkäisen kulman arvot.
5. Kahden vierekkäisen kulman ero ja summa ovat suhteessa 1:5. Etsi vierekkäiset kulmat.
6. Kahden vierekkäisen ero on 25 % niiden summasta. Miten kahden vierekkäisen kulman arvot liittyvät toisiinsa? Määritä 2 vierekkäisen kulman arvot.

Kysymyksiä:

1. Mikä on kulma?
2. Mitkä ovat kulmien tyypit?
3. Mikä on vierekkäisten kulmien ominaisuus?

Aineet > Matematiikka > Matematiikka luokka 7

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäisiä.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Todiste. OB-palkki (katso kuva 1) kulkee kehitetyn kulman sivujen välistä. Niin ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.

Pystykulmat ovat yhtä suuret

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuoria (kuva 2).

Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Todiste. Harkitse pystykulmia AOB ja COD (katso kuva 2). Kulma BOD on kunkin kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.

Johtopäätös 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuoria). Tässä tapauksessa näiden viivojen sanotaan leikkaavan suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.

Janan kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ​​ja kulkee sen keskipisteen kautta.

AN - kohtisuorassa viivaa vastaan

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, jotka eivät ole sen päällä (kuva 4). Yhdistä piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AH kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, voidaan piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.

Pystysuoran piirtämiseksi pisteestä suoralle piirustuksessa käytetään piirustusneliötä (kuva 5).

Kommentti. Lauseen lause koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on pystykulmat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla niin, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1 Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?

Päätös. Merkitse toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x \u003d 136 °. Siksi toinen kulma on 136°.

Esimerkki 2 Olkoon COD-kulma kuvassa 21 45°. Mitä ovat kulmat AOB ja AOC?

Päätös. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, joten Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esimerkki 3 Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa toinen.

Päätös. Merkitse pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on Zx. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Vierekkäiset kulmat ovat siis 45° ja 135°.

Esimerkki 4 Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman arvo.

Päätös. Vastaako tehtävän ehtoa kuva 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa on 100° ehdon mukaan). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.