Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskulauseet.

Kahden tapahtuman todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyyttä:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Lause kahden yhteensopimattoman tapahtuman todennäköisyyksien yhteenlaskemisesta. Kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden todennäköisyyksien summa:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Esimerkki 2.16. Ampuja ampuu maaliin, joka on jaettu 3 alueelle. Ensimmäisen alueen osumisen todennäköisyys on 0,45, toisen - 0,35. Laske todennäköisyys, että ampuja osuu joko ensimmäiseen tai toiseen alueeseen yhdellä laukauksella.

Päätös.

Tapahtumat MUTTA- "ampuja osui ensimmäiselle alueelle" ja AT- "ampuja osui toiselle alueelle" - ovat epäjohdonmukaisia ​​(yhdelle alueelle osuminen sulkee pois pääsyn toiselle alueelle), joten summauslause on pätevä.

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Lisäyslause P yhteensopimattomia tapahtumia. n yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden todennäköisyyksien summa:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

Tapahtuman todennäköisyys AT olettaen, että tapahtuma on tapahtunut MUTTA, kutsutaan tapahtuman ehdolliseen todennäköisyyteen AT ja se on merkitty näin: P(B/A), tai RA (B).

. Kahden tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen tapahtuman todennäköisyyden ja toisen ehdollisen todennäköisyyden tulo, edellyttäen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui:

P(AB)=P(A)P A(B).

Tapahtuma AT ei riipu tapahtumasta MUTTA, jos

P A (B) \u003d P (B),

nuo. tapahtuman todennäköisyys AT ei riipu siitä, tapahtuiko tapahtuma MUTTA.

Lause kahden riippumattoman tapahtuman todennäköisyyksien kertomisesta.Kahden riippumattoman tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo:

P(AB)=P(A)P(B).

Esimerkki 2.17. Todennäköisyys osua kohteeseen ampuessaan ensimmäistä ja toista aseita ovat vastaavasti samat: p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Etsi todennäköisyys, että vähintään yksi ase osuu yhdellä lentopallolla (molempien aseiden kanssa).

Päätös.

Todennäköisyys osua maaliin kummallakin aseella ei riipu toisesta aseesta ampumisen tuloksesta, joten tapahtumat MUTTA- "Ensimmäinen aseen osuma" ja AT– "toinen aseen osuma" ovat riippumattomia.

Tapahtuman todennäköisyys AB- "molemmat aseet osuivat":

Haluttu todennäköisyys

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Todennäköisyyksien kertolaskulause P Tapahtumat.N:n tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin yhden niistä kaikkien muiden ehdollisten todennäköisyyksien tulo, joka lasketaan olettaen, että kaikki aikaisemmat tapahtumat ovat tapahtuneet:

Esimerkki 2.18. Urna sisältää 5 valkoista, 4 mustaa ja 3 sinistä palloa. Jokainen testi koostuu siitä, että yksi pallo vedetään satunnaisesti palauttamatta sitä takaisin. Määritä todennäköisyys, että valkoinen pallo ilmestyy ensimmäisellä kokeella (tapahtuma A), musta pallo toisella (tapahtuma B) ja sininen pallo kolmannella (tapahtuma C).

Päätös.

Valkoisen pallon ilmestymisen todennäköisyys ensimmäisessä kokeessa:

Todennäköisyys, että musta pallo ilmestyy toisessa kokeessa, laskettuna olettaen, että valkoinen pallo ilmestyi ensimmäisessä kokeessa, eli ehdollinen todennäköisyys:

Sinisen pallon ilmaantumisen todennäköisyys kolmannessa kokeessa, laskettuna olettaen, että ensimmäisessä kokeessa ilmaantui valkoinen pallo ja toisessa musta pallo, eli ehdollinen todennäköisyys:

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin:

Todennäköisyyksien kertolaskulause P itsenäisiä tapahtumia.Todennäköisyys n riippumattoman tapahtuman tulolle on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Todennäköisyys, että ainakin yksi tapahtumista tapahtuu. Aggregaatissa riippumattoman tapahtuman A 1 , A 2 , ..., A p ainakin yhden esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin yksikön ja vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien tulon erotus.:

.

Esimerkki 2.19. Todennäköisyys osua kohteeseen kolmesta aseesta ammuttaessa ovat seuraavat: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0,9. Etsi ainakin yhden osuman todennäköisyys (tapahtuma MUTTA) yhdellä salvalla kaikista aseista.

Päätös.

Todennäköisyys osua maaliin kummallakin aseella ei riipu muista aseista ampumisen tuloksista, joten tarkasteltavat tapahtumat A 1(Ensimmäinen ase osui), A 2(toinen ase osui) ja A 3(kolmannen aseen osuma) ovat riippumattomia kokonaisuutena.

Tapahtumien todennäköisyydet vastakkaisiin tapahtumiin A 1, A 2 ja A 3(eli epäonnistumistodennäköisyydet) ovat vastaavasti yhtä suuria kuin:

, , .

Haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin:

Jos itsenäisiä tapahtumia A 1, A 2, ..., A s on sama todennäköisyys R, silloin ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys ilmaistaan ​​kaavalla:

Р(А)= 1 – q n ,

missä q = 1-p

2.7. Kokonaistodennäköisyyskaava. Bayesin kaava.

Anna tapahtuman MUTTA voi tapahtua, jos jokin yhteensopimattomista tapahtumista tapahtuu N 1, N 2, ..., N s muodostaen täydellisen tapahtumaryhmän. Koska ei tiedetä etukäteen, mikä näistä tapahtumista tapahtuu, niitä kutsutaan hypoteeseja.

Tapahtuman todennäköisyys MUTTA laskenut kokonaistodennäköisyyskaava:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Oletetaan, että on suoritettu koe, jonka tuloksena tapahtuma MUTTA tapahtui. Ehdolliset tapahtumatodennäköisyydet N 1, N 2, ..., N s tapahtuman suhteen MUTTA päättänyt Bayesin kaavat:

,

Esimerkki 2.20. Tenttiin saapuneesta 20 opiskelijan ryhmästä 6 erinomaista, 8 hyviä, 4 tyydyttäviä ja 2 huonosti valmistautuneita. Tenttipapereissa on 30 kysymystä. Hyvin valmistautunut opiskelija voi vastata kaikkiin 30 kysymykseen, hyvin valmistautunut opiskelija 24 kysymykseen, tyydyttävä opiskelija 15 kysymykseen ja huonosti valmistautunut 7 kysymykseen.

Satunnaisesti valittu opiskelija vastasi kolmeen satunnaiseen kysymykseen. Laske todennäköisyys, että tämä opiskelija on valmistautunut: a) erinomainen; b) huono.

Päätös.

Hypoteesit - "oppilas on hyvin valmistautunut";

– "oppilas on hyvin valmistautunut";

– "opiskelija on valmistautunut tyydyttävästi";

- "oppilas on huonosti valmistautunut."

Ennen kokemusta:

; ; ; ;

7. Mitä kutsutaan täydelliseksi tapahtumaryhmäksi?

8. Mitä tapahtumia kutsutaan yhtä todennäköisiksi? Anna esimerkkejä tällaisista tapahtumista.

9. Mitä kutsutaan alkeistulokseksi?

10. Mitä tuloksia kutsun suotuisiksi tälle tapahtumalle?

11. Mitä toimintoja tapahtumille voidaan tehdä? Anna heille määritelmät. Miten ne on nimetty? Antaa esimerkkejä.

12. Mitä kutsutaan todennäköisyydeksi?

13. Mikä on tietyn tapahtuman todennäköisyys?

14. Mikä on mahdottoman tapahtuman todennäköisyys?

15. Mitkä ovat todennäköisyyden rajat?

16. Miten geometrinen todennäköisyys tasossa määritetään?

17. Miten todennäköisyys määritellään avaruudessa?

18. Miten määritetään todennäköisyys suoralla?

19. Mikä on kahden tapahtuman summan todennäköisyys?

20. Mikä on kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys?

21. Mikä on n yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys?

22. Mikä on ehdollinen todennäköisyys? Anna esimerkki.

23. Muotoile todennäköisyyksien kertolaskulause.

24. Kuinka selvittää ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys?

25. Mitä tapahtumia kutsutaan hypoteesiksi?

26. Milloin kokonaistodennäköisyyskaavaa ja Bayesin kaavoja käytetään?

Lisäyslause

Harkitse yhteensopimattomia satunnaisia ​​tapahtumia.

Tiedetään, että yhteensopimattomilla satunnaisilla tapahtumilla $A$ ja $B$ samassa kokeessa on todennäköisyydet $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$. Etsitään näiden tapahtumien summan $A+B$ todennäköisyys, eli ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys.

Oletetaan, että tässä testissä kaikkien yhtä mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä on $n$. Näistä tapahtumia $A$ ja $B$ suosivat $m_(A)$ ja $m_(B)$ perustapahtumat, vastaavasti. Koska tapahtumat $A$ ja $B$ eivät ole yhteensopivia, $m_(A) +m_(B)$ perustapahtumat suosivat tapahtumaa $A+B$. Meillä on $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\vasen(A\oikea)+P\vasen(B\oikea)$.

Lause 1

Kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa.

Huomautus 1

Seuraus 1. Minkä tahansa yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa.

Seuraus 2. Täydellisen yhteensopimattomien tapahtumien ryhmän todennäköisyyksien summa (kaikkien elementaaristen tapahtumien todennäköisyyksien summa) on yhtä suuri kuin yksi.

Seuraus 3. Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi, koska ne muodostavat täydellisen ryhmän yhteensopimattomia tapahtumia.

Esimerkki 1

Todennäköisyys, että kaupungissa ei koskaan tule sataa vähään aikaan, on $p=0,7$. Laske todennäköisyys $q$, että samaan aikaan kaupungissa sataa ainakin kerran.

Tapahtumat "kaupungissa ei ole satanut jonkin aikaa" ja "kaupungissa on satanut jonkin aikaa ainakin kerran" ovat vastakkaisia. Siksi $p+q=1$, josta $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Harkitse yhteisiä satunnaisia ​​tapahtumia.

Tiedetään, että yhteisillä satunnaisilla tapahtumilla $A$ ja $B$ samassa kokeessa on todennäköisyydet $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$. Etsitään näiden tapahtumien summan $A+B$ todennäköisyys, eli ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys.

Oletetaan, että tässä testissä kaikkien yhtä mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä on $n$. Näistä tapahtumia $A$ ja $B$ suosivat $m_(A)$ ja $m_(B)$ perustapahtumat, vastaavasti. Koska tapahtumat $A$ ja $B$ ovat yhteisiä, niin alkeistapahtumien $m_(A) +m_(B)$ kokonaismäärästä tietty määrä $m_(AB)$ suosii molempia tapahtumaa $A$ ja tapahtuma $B$, eli niiden yhteinen esiintyminen (tapahtumien $A\cdot B$ tulo). Tämä määrä $m_(AB)$ syötti sekä $m_(A)$ että $m_(B)$. Joten tapahtumaa $A+B$ suosii $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ alkeellisia tapahtumia. Meillä on: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\vasen(A\oikea)+P\vasen(B\oikea)-P\vasen(A\cpiste B\ oikein )$.

Lause 2

Kahden yhteisen tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa miinus niiden tulon todennäköisyys.

Kommentti. Jos tapahtumat $A$ ja $B$ eivät ole yhteensopivia, niiden tulo $A\cdot B$ on mahdoton tapahtuma, jonka todennäköisyys on $P\left(A\cdot B\right)=0$. Siksi yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauskaava on erityinen tapaus yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien summauskaavasta.

Esimerkki 2

Laske todennäköisyys, että kun kahta noppaa heitetään samanaikaisesti, numero 5 tulee esiin ainakin kerran.

Kun heitetään kahta noppaa samanaikaisesti, kaikkien yhtä mahdollisten alkeistapahtumien määrä on $n=36$, koska toisen nopan kuusi numeroa voi pudota jokaiselle ensimmäisen nopan numerolle. Näistä tapahtuma $A$ - ensimmäisellä noppaa heitetty numero 5 - esiintyy 6 kertaa, tapahtuma $B$ - toisella noppaa heitetty numero 5 - myös 6 kertaa. Kaikista kahdestatoista kertaa numero 5 esiintyy kerran molemmissa noppissa. Joten $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Todennäköisyyksien kertolaskulause

Harkitse itsenäisiä tapahtumia.

Kahdessa peräkkäisessä kokeessa tapahtuvia tapahtumia $A$ ja $B$ kutsutaan itsenäisiksi, jos tapahtuman $B$ esiintymistodennäköisyys ei riipu siitä, tapahtuiko tapahtuma $A$ vai ei.

Oletetaan esimerkiksi, että uurnassa on 2 valkoista ja 2 mustaa palloa. Testi on pallon poistaminen. Tapahtuma $A$ on "valkoinen pallo vedetään ensimmäisessä kokeessa". Todennäköisyys $P\left(A\oikea)=\frac(1)(2) $. Ensimmäisen testin jälkeen pallo laitettiin takaisin ja suoritettiin toinen testi. Tapahtuma $B$ -- ``valkoinen pallo vedetty toisessa kokeessa''. Todennäköisyys $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Todennäköisyys $P\left(B\right)$ ei riipu siitä, tapahtuiko tapahtuma $A$ vai ei, joten tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia.

Tiedetään, että kahden peräkkäisen kokeen riippumattomilla satunnaisilla tapahtumilla $A$ ja $B$ on todennäköisyydet $P\left(A\right)$ ja $P\left(B\right)$. Etsitään näiden tapahtumien tulon $A\cdot B$ todennäköisyys, eli niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyys.

Oletetaan, että ensimmäisessä kokeessa kaikkien yhtä mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä on $n_(1) $. Näistä $m_(1)$ alkeistapahtumat suosivat $A$:ta. Oletetaan myös, että toisessa kokeessa kaikkien yhtä mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä on $n_(2) $. Näistä tapahtumaa $B$ suosivat $m_(2)$ alkeistapahtumat. Harkitse nyt uutta alkeistapahtumaa, joka koostuu tapahtumien peräkkäisestä esiintymisestä ensimmäisestä ja toisesta kokeesta. Tällaisten yhtä todennäköisten alkeistapahtumien kokonaismäärä on $n_(1) \cdot n_(2) $. Koska tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, tästä luvusta $m_ suosii tapahtuman $A$ ja tapahtuman $B$ (tapahtumien $A\cdot B$ tulo) yhteistä esiintymistä. (1) \cdot m_(2) $ tapahtumat . Meillä on: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\oikea)$.

Lause 3

Kahden riippumattoman tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo.

Harkitse riippuvia tapahtumia.

Kahdessa peräkkäisessä kokeessa tapahtuvat tapahtumat $A$ ja $B$. Tapahtuman $B$ sanotaan olevan riippuvainen tapahtumasta $A$, jos tapahtuman $B$ esiintymistodennäköisyys riippuu siitä, tapahtuiko tapahtuma $A$ vai ei. Tällöin tapahtuman $B$ todennäköisyyttä, joka laskettiin sillä ehdolla, että tapahtuma $A$ tapahtui, kutsutaan tapahtuman $B$ ehdolliseen todennäköisyyteen ehdolla $A$ ja sitä merkitään $P\left. (B/A\oikea)$.

Oletetaan esimerkiksi, että uurnassa on 2 valkoista ja 2 mustaa palloa. Testi on pallon irrottaminen. Tapahtuma $A$ on "valkoinen pallo vedetään ensimmäisessä kokeessa". Todennäköisyys $P\left(A\oikea)=\frac(1)(2) $. Ensimmäisen testin jälkeen palloa ei aseteta takaisin, vaan suoritetaan toinen testi. Tapahtuma $B$ -- ``valkoinen pallo vedetty toisessa kokeessa''. Jos ensimmäisessä kokeessa vedettiin valkoinen pallo, niin todennäköisyys on $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Jos musta pallo vedettiin ensimmäisessä kokeessa, niin todennäköisyys on $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Näin ollen tapahtuman $B$ todennäköisyys riippuu siitä, tapahtuiko tapahtuma $A$ vai ei, joten tapahtuma $B$ riippuu tapahtumasta $A$.

Oletetaan, että tapahtumat $A$ ja $B$ tapahtuvat kahdessa peräkkäisessä kokeessa. Tiedetään, että tapahtumalla $A$ on todennäköisyys $P\left(A\right)$. Tiedetään myös, että tapahtuma $B$ on riippuvainen tapahtumasta $A$ ja sen ehdollinen todennäköisyys ehdolla $A$ on yhtä suuri kuin $P\left(B/A\right)$.

Lause 4

Tapahtuman $A$ ja siitä riippuvan tapahtuman $B$ tulon todennäköisyys eli niiden yhteisen esiintymisen todennäköisyys löytyy kaavasta $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Myös symmetrinen kaava $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ pätee, jossa tapahtuman $A$ oletetaan olevan olla riippuvainen tapahtumasta $ B$.

Viimeisen esimerkin ehtoja varten löydämme todennäköisyyden, että valkoinen pallo vedetään molemmissa kokeissa. Tällainen tapahtuma on tapahtumien $A$ ja $B$ tulos. Sen todennäköisyys on $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Oppilaitos "Valko-Venäjän valtio

maatalousakatemia"

Korkeamman matematiikan laitos

TODENNÄKÖISYYDEN LISÄÄMINEN JA KERTOAMINEN. TOISTETTUJA RIIPPUMATTOMAT TESTIT

Luento Maanhoidon tiedekunnan opiskelijoille

etäopiskelu

Gorki, 2012

Todennäköisyyksien yhteen- ja kertolasku. Toistettu

riippumattomat testit

Todennäköisyyksien lisäys

Kahden yhteistapahtuman summa MUTTA ja AT kutsutaan tapahtumaksi Kanssa, joka koostuu vähintään yhden tapahtumista MUTTA tai AT. Vastaavasti useiden yhteisten tapahtumien summa on tapahtuma, joka koostuu vähintään yhden näistä tapahtumista.

Kahden erillisen tapahtuman summa MUTTA ja AT kutsutaan tapahtumaksi Kanssa, joka koostuu tapahtumasta tai tapahtumasta MUTTA tai tapahtumia AT. Samoin useiden yhteensopimattomien tapahtumien summa on tapahtuma, joka koostuu minkä tahansa näistä tapahtumista.

Lause yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenliittämisestä pätee: kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa , eli . Tämä lause voidaan laajentaa mihin tahansa äärelliseen määrään yhteensopimattomia tapahtumia.

Tästä lauseesta seuraa:

kokonaisen ryhmän muodostavien tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi;

vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi, ts.
.

Esimerkki 1 . Laatikko sisältää 2 valkoista, 3 punaista ja 5 sinistä palloa. Pallot sekoitetaan ja yksi arvotaan satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä pallo on värillinen?

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A=(väripallo poistettu);

B=(piirretty valkoinen pallo);

C=(punainen pallo vedetty);

D=(sininen pallo poistettu).

Sitten A= C+ D. Tapahtumien jälkeen C, D ovat yhteensopimattomia, niin käytämme yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulausetta: .

Esimerkki 2 . Urna sisältää 4 valkoista palloa ja 6 mustaa palloa. Urnasta vedetään satunnaisesti 3 palloa. Millä todennäköisyydellä ne ovat kaikki samanvärisiä?

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A\u003d (samanväriset pallot otetaan pois);

B\u003d (valkoiset pallot otetaan pois);

C= (mustat pallot otetaan pois).

Kuten A= B+ C ja tapahtumia AT ja Kanssa ovat yhteensopimattomia, sitten yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulauseen mukaan
. Tapahtuman todennäköisyys AT on yhtä suuri kuin
, missä
4,

. Korvaava k ja n kaavaan ja hanki
Samalla tavalla löydämme tapahtuman todennäköisyyden Kanssa:
, missä
,
, eli
. Sitten
.

Esimerkki 3 . 36 kortin pakasta vedetään satunnaisesti 4 korttia. Selvitä todennäköisyys, että heidän joukossaan on vähintään kolme ässää.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A\u003d (vedettyjen korttien joukossa on vähintään kolme ässää);

B\u003d (vedettyjen korttien joukossa on kolme ässää);

C= (vedettyjen korttien joukossa on neljä ässää).

Kuten A= B+ C ja tapahtumat AT ja Kanssa epäjohdonmukaista siis
. Selvitetään tapahtumien todennäköisyydet AT ja Kanssa:

,
. Siksi todennäköisyys, että nostettujen korttien joukossa on vähintään kolme ässää, on yhtä suuri

0.0022.

Todennäköisyyskerroin

tehdä työtä kaksi tapahtumaa MUTTA ja AT kutsutaan tapahtumaksi Kanssa, joka koostuu näiden tapahtumien yhteisestä esiintymisestä:
. Tämä määritelmä ulottuu mihin tahansa äärelliseen määrään tapahtumia.

Näitä kahta tapahtumaa kutsutaan riippumaton jos toisen tapahtuman todennäköisyys ei riipu siitä, tapahtuiko toinen tapahtuma vai ei. Tapahtumat ,, … ,nimeltään kollektiivisesti riippumaton , jos kunkin tapahtuman todennäköisyys ei riipu siitä, tapahtuiko muita tapahtumia vai ei.

Esimerkki 4 . Kaksi nuolta ampuu maaliin. Merkitään tapahtumia:

A=(ensimmäinen ampuja osui maaliin);

B= (toinen ampuja osui maaliin).

On selvää, että todennäköisyys osua maaliin ensimmäisen ampujan toimesta ei riipu siitä, osuiko toinen ampuja vai menikö ohi, ja päinvastoin. Siksi tapahtumat MUTTA ja AT riippumaton.

Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause pätee: kahden riippumattoman tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo : .

Tämä lause pätee myös n tapahtumat, jotka ovat kokonaisuutena riippumattomia: .

Esimerkki 5 . Kaksi ampujaa ampuu samaan maaliin. Ensimmäisen ampujan osumisen todennäköisyys on 0,9 ja toisen 0,7. Molemmat ampujat ampuvat yhden laukauksen samaan aikaan. Määritä todennäköisyys, että kohteeseen tulee kaksi osumaa.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A

B

C=(molemmat nuolet osuvat kohteeseen).

Kuten
ja tapahtumat MUTTA ja AT riippumaton siis
, eli..

Tapahtumat MUTTA ja AT nimeltään riippuvainen jos toisen tapahtuman todennäköisyys riippuu siitä, tapahtuiko toinen tapahtuma vai ei. Tapahtuman todennäköisyys MUTTA edellyttäen, että tapahtuma AT se on jo täällä, sitä kutsutaan ehdollinen todennäköisyys ja merkitty
tai
.

Esimerkki 6 . Urna sisältää 4 valkoista ja 7 mustaa palloa. Pallot vedetään uurnasta. Merkitään tapahtumia:

A=(valkoinen pallo poistettu) ;

B=(musta pallo poistettu).

Ennen kuin alat piirtää palloja uurnasta
. Urnasta vedetään yksi pallo ja se osoittautuu mustaksi. Sitten tapahtuman todennäköisyys MUTTA tapahtuman jälkeen AT tulee olemaan erilainen, tasa-arvoinen . Tämä tarkoittaa, että tapahtuman todennäköisyys MUTTA tapahtumasta riippuvainen AT, eli nämä tapahtumat ovat riippuvaisia.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause pätee: kahden riippuvan tapahtuman tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen niistä todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden kanssa, laskettuna olettaen, että ensimmäinen tapahtuma on jo tapahtunut, eli tai.

Esimerkki 7 . Urna sisältää 4 valkoista palloa ja 8 punaista palloa. Siitä vedetään satunnaisesti kaksi palloa. Laske todennäköisyys, että molemmat pallot ovat mustia.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A=(musta pallo vedetty ensin);

B=(musta pallo vedetään toiseksi).

Tapahtumat MUTTA ja AT riippuvainen, koska
, a
. Sitten
.

Esimerkki 8 . Kolme nuolta ampuu maaliin toisistaan ​​riippumatta. Ensimmäisen ampujan maaliin osumisen todennäköisyys on 0,5, toisen - 0,6 ja kolmannen - 0,8. Laske todennäköisyys, että kaksi osumaa tapahtuu, jos kukin ampuja ampuu yhden laukauksen.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A=(kohteeseen tulee kaksi osumaa);

B=(ensimmäinen ampuja osuu maaliin);

C=(toinen ampuja osuu maaliin);

D=(kolmas ampuja osuu maaliin);

=(ensimmäinen ampuja ei osu maaliin);

=(toinen ampuja ei osu maaliin);

=(kolmas ampuja ei osu maaliin).

Esimerkin mukaan
,
,
,

,
,
. Koska käyttämällä yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauslausetta ja riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertomista koskevaa lausetta, saadaan:

Anna tapahtumia
muodostavat täydellisen ryhmän jonkin oikeudenkäynnin tapahtumia ja tapahtumia MUTTA voi tapahtua vain yhden näistä tapahtumista. Jos tapahtuman todennäköisyydet ja ehdolliset todennäköisyydet tunnetaan MUTTA, niin tapahtuman A todennäköisyys lasketaan kaavalla:

tai
. Tätä kaavaa kutsutaan kokonaistodennäköisyyskaava ja tapahtumat
hypoteeseja .

Esimerkki 9 . Kokoonpanolinja vastaanottaa 700 osaa ensimmäisestä koneesta ja 300 osaa toisesta. Ensimmäinen kone antaa 0,5% hylkyjä ja toinen - 0,7%. Selvitä todennäköisyys, että otettu tuote on viallinen.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A=(otettu tuote on viallinen);

= (osa on valmistettu ensimmäisellä koneella);

= (osa on valmistettu toisella koneella).

Todennäköisyys, että osa on valmistettu ensimmäisellä koneella on
. Toiselle koneelle
. Ehdon mukaan todennäköisyys saada ensimmäiseen koneeseen tehty viallinen osa on yhtä suuri
. Toiselle koneelle tämä todennäköisyys on yhtä suuri kuin
. Sitten todennäköisyys, että otettu osa on viallinen, lasketaan kokonaistodennäköisyyskaavalla

Jos tapahtuman tiedetään tapahtuneen testin tuloksena MUTTA, sitten todennäköisyys, että tämä tapahtuma tapahtui hypoteesilla
, on yhtä suuri kuin
, missä
- tapahtuman kokonaistodennäköisyys MUTTA. Tätä kaavaa kutsutaan Bayesin kaava ja voit laskea tapahtumien todennäköisyydet
sen jälkeen, kun tapahtumasta tuli tieto MUTTA on jo saapunut.

Esimerkki 10 . Autojen samantyyppiset osat valmistetaan kahdessa tehtaassa ja menevät kauppaan. Ensimmäinen tehdas tuottaa 80% osien kokonaismäärästä ja toinen - 20%. Ensimmäisen tehtaan tuotanto sisältää 90% standardiosista ja toisen - 95%. Ostaja osti yhden osan ja se osoittautui vakioksi. Laske todennäköisyys, että tämä osa on valmistettu toisessa tehtaassa.

Päätös . Merkitään tapahtumia:

A=(osti vakioosan);

= (osa on valmistettu ensimmäisessä tehtaassa);

= (osa on valmistettu toisessa tehtaassa).

Esimerkin mukaan
,
,
ja
. Laske tapahtuman kokonaistodennäköisyys MUTTA: 0,91. Todennäköisyys, että osa valmistetaan toisessa tehtaassa, lasketaan Bayesin kaavalla:

.

Tehtävät itsenäiseen työhön

Ensimmäisen ampujan maaliin osumisen todennäköisyys on 0,8, toisen - 0,7 ja kolmannen - 0,9. Ampujat ampuivat yhden laukauksen. Laske todennäköisyys, että kohteeseen tulee vähintään kaksi osumaa.

Korjaamo sai 15 traktoria. Tiedetään, että 6 niistä on vaihdettava moottorin ja loput - yksittäisten komponenttien vaihtamiseen. Kolme traktoria valitaan sattumanvaraisesti. Laske todennäköisyys, että enintään kaksi valittua traktoria tarvitsee moottorin vaihdon.

Betonitehdas valmistaa paneeleja, joista 80 % on korkealaatuisia. Laske todennäköisyys, että kolmesta satunnaisesti valitusta paneelista vähintään kaksi on korkeinta.

Kolme työntekijää kokoaa laakereita. Todennäköisyys, että ensimmäisen työntekijän kokoama laakeri on laadukkain, on 0,7, toisen - 0,8 ja kolmannen - 0,6. Valvontaa varten otettiin satunnaisesti yksi laakeri kunkin työntekijän kokoamista laakereista. Laske todennäköisyys, että vähintään kaksi niistä on korkealaatuisia.

Ensimmäisen numeron arpalipun voittamisen todennäköisyys on 0,2, toisen - 0,3 ja kolmannen - 0,25. Jokaisessa numerossa on yksi lippu. Laske todennäköisyys, että vähintään kaksi lippua voittaa.

Kirjanpitäjä suorittaa laskelmia kolmen hakuteoksen avulla. Todennäköisyys, että häntä kiinnostavat tiedot ovat ensimmäisessä hakemistossa, on 0,6, toisessa - 0,7 ja kolmannessa - 0,8. Laske todennäköisyys, että kirjanpitäjää kiinnostavat tiedot ovat enintään kahdessa hakemistossa.

Kolme konetta valmistaa osia. Ensimmäinen automaatti tuottaa laadukkaimman osan todennäköisyydellä 0,9, toinen todennäköisyydellä 0,7 ja kolmas todennäköisyydellä 0,6. Jokaisesta koneesta otetaan satunnaisesti yksi esine. Laske todennäköisyys, että vähintään kaksi niistä on korkealaatuisia.

Samantyyppisiä osia käsitellään kahdella koneella. Todennäköisyys valmistaa epästandardi osa ensimmäiselle koneelle on 0,03, toiselle - 0,02. Käsitellyt osat pinotaan yhteen paikkaan. Niistä 67 % on ensimmäisestä koneesta ja loput toisesta. Satunnaisesti otettu osa osoittautui vakioksi. Laske todennäköisyys, että se on tehty ensimmäisellä koneella.

Työpaja sai kaksi laatikkoa samantyyppisiä kondensaattoreita. Ensimmäisessä laatikossa oli 20 kondensaattoria, joista 2 oli viallisia. Toisessa laatikossa on 10 kondensaattoria, joista 3 on viallisia. Kondensaattorit siirrettiin yhteen laatikkoon. Selvitä todennäköisyys, että laatikosta satunnaisesti otettu kondensaattori on hyvä.

Kolmella koneella valmistetaan samantyyppisiä osia, jotka syötetään yhteiselle kuljettimelle. Kaikkien yksityiskohtien joukossa 20% ensimmäisestä koneesta, 30% toisesta ja 505 kolmannesta. Todennäköisyys valmistaa standardiosa ensimmäisellä koneella on 0,8, toisella - 0,6 ja kolmannella - 0,7. Otettu osa oli vakio. Laske todennäköisyys, että tämä osa on valmistettu kolmannella koneella.

Keräilijä saa 40 % osista tehtaalta koottavaksi MUTTA, ja loput - tehtaalta AT. Todennäköisyys, että osa tehtaalta MUTTA- korkein laatu, joka vastaa 0,8, ja tehtaalta AT– 0,9. Kerääjä otti satunnaisesti yhden osan, eikä se ollut laadukkainta. Selvitä todennäköisyys, että tämä osa on tehtaalta AT.

Ensimmäisestä ryhmästä 10 opiskelijaa ja toisesta 8 opiskelijaa valittiin osallistumaan opiskelijaurheilukilpailuihin. Todennäköisyys, että ensimmäisen ryhmän opiskelija pääsee Akatemian maajoukkueeseen on 0,8 ja toisesta - 0,7. Maajoukkueeseen valittiin satunnaisesti valittu opiskelija. Selvitä todennäköisyys, että hän on ensimmäisestä ryhmästä.

Bernoullin kaava

Testit ovat ns riippumaton , jos jokaiselle heistä tapahtuma MUTTA tapahtuu samalla todennäköisyydellä
, riippumatta siitä, esiintyikö tämä tapahtuma muissa kokeissa vai ei. Päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys tässä tapauksessa on yhtä suuri
.

Esimerkki 11 . Nopan heittäminen n kerran. Merkitse tapahtumaa A= (pudotti kolme pistettä). Tapahtuman todennäköisyys MUTTA jokaisessa kokeessa on yhtä suuri eikä riipu siitä, tapahtuiko tämä tapahtuma muissa kokeissa vai ei. Siksi nämä testit ovat riippumattomia. Päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys
(ei heittää kolmea pistettä) on yhtä suuri kuin
.

Todennäköisyys, että sisään n riippumattomat kokeet, joissa jokaisessa tapahtuman todennäköisyys MUTTA on yhtä suuri kuin s, tapahtuma tapahtuu täsmälleen k kertaa (riippumatta missä järjestyksessä), lasketaan kaavalla
, missä
. Tätä kaavaa kutsutaan Bernoullin kaava ja se on kätevää, jos kokeiden määrä n ei ole liian suuri.

Esimerkki 12 . Sikiöistä piilevässä taudissa tartunnan saaneiden sikiöiden osuus on 25 %. 6 hedelmää valitaan satunnaisesti. Laske todennäköisyys, että valittujen joukossa on: a) tasan 3 tartunnan saanutta sikiötä; b) enintään kaksi tartunnan saanutta hedelmää.

Päätös . Esimerkin mukaan.

a) Bernoullin kaavan mukaan todennäköisyys, että tarkalleen kolme kuudesta valitusta hedelmästä saa tartunnan, on yhtä suuri kuin

0.132.

b) Merkitse tapahtuma A=(tartunnan saaneita on enintään kaksi sikiötä). Sitten . Bernoullin kaavan mukaan:

0.297.

Siten,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplacen ja Poissonin lauseet

Bernoullin kaavaa käytetään määrittämään tapahtuman todennäköisyys MUTTA tulee k kerran n riippumattomat kokeet ja jokaisessa kokeessa tapahtuman todennäköisyys MUTTA vakio. Suurille n:n arvoille Bernoullin kaavaa käyttävistä laskelmista tulee aikaa vieviä. Tässä tapauksessa laskea tapahtuman todennäköisyys MUTTA on parempi käyttää toista kaavaa.

Paikallinen Laplace-lause . Olkoon todennäköisyys s tapahtuma MUTTA jokaisessa testissä on vakio ja eri kuin nolla ja yksi. Sitten todennäköisyys, että tapahtuma MUTTA tulee täsmälleen k kertaa riittävän suurelle määrälle n koetta, lasketaan kaavalla

, missä
, ja funktion arvot
on annettu taulukossa.

Toiminnon pääominaisuudet
ovat:

Toiminto
on määritelty ja jatkuva välissä
.

Toiminto
on positiivinen, ts.
>0.

Toiminto
jopa, ts.
.

Toiminnosta lähtien
on parillinen, taulukko näyttää sen arvot vain positiivisille arvoille X.

Esimerkki 13 . Vehnän siementen itävyys on 80%. Kokeeseen valitaan 100 siementä. Laske todennäköisyys, että tarkalleen 90 valituista siemenistä itää.

Päätös . Esimerkin mukaan n=100, k=90, s=0.8, q= 1-0,8 = 0,2. Sitten
. Taulukon mukaan löydämme funktion arvon
:
. Todennäköisyys, että tarkalleen 90 valituista siemenistä itää, on
0.0044.

Käytännön ongelmia ratkaistaessa on tarpeen löytää tapahtuman todennäköisyys MUTTA klo n ainakin riippumattomia testejä kerran eikä enempää kerran. Tämä ongelma ratkeaa avun avulla Laplacen integraalilause : Olkoon todennäköisyys s tapahtuma MUTTA jokaisessa n riippumaton testi on vakio ja eroaa nollasta ja yksiköstä. Silloin tapahtuman toteutumisen todennäköisyys on vähintään kerran eikä enempää kertaa riittävän suurelle määrälle kokeita, lasketaan kaavalla

Missä
,
.

Toiminto
nimeltään Laplace-toiminto eikä sitä ilmaista alkeisfunktioina. Tämän funktion arvot on annettu erityisissä taulukoissa.

Toiminnon pääominaisuudet
ovat:

.

Toiminto
intervalli kasvaa
.

klo
.

Toiminto
outoa, ts.
.

Esimerkki 14 . Yritys valmistaa tuotteita, joista 13 % ei ole korkealaatuisia. Määritä todennäköisyys, että korkealaatuisimman tuotteen testaamattomassa 150 yksikön erässä on vähintään 125 ja enintään 135.

Päätös . Merkitään. Laskea
,

Kokeilua harkitaan E. Oletetaan, että se voidaan suorittaa toistuvasti. Kokeen tuloksena voi ilmaantua erilaisia ​​tapahtumia, jotka muodostavat tietyn joukon F. Havaitut tapahtumat jaetaan kolmeen tyyppiin: luotettava, mahdoton, satunnainen.

uskottava Tapahtumaa kutsutaan tapahtumaksi, joka varmasti tapahtuu kokeen seurauksena. E. Merkitään Ω.

Mahdotonta Tapahtumaa kutsutaan tapahtumaksi, jonka ei tiedetä tapahtuvan kokeen seurauksena. E. Nimetty .

Satunnainen kutsutaan tapahtumaa, joka voi tapahtua tai ei tapahdu kokeen seurauksena E.

Lisä (vastakohta) tapahtuma MUTTA kutsutaan tapahtumaksi, jota merkitään ja joka tapahtuu silloin ja vain, jos tapahtumaa ei tapahdu MUTTA.

Summa (yhdistelmä) Tapahtumat on tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu (kuva 3.1). Nimitykset.

Kuva 3.1

Tuote (risteys) Tapahtumia kutsutaan tapahtumaksi, joka tapahtuu silloin ja vain, jos kaikki nämä tapahtumat tapahtuvat yhdessä (samanaikaisesti) (kuva 3.2). Nimitykset. Ilmeisesti tapahtumat A ja B yhteensopimaton , jos.

Kuva 3.2

Täysi ryhmä tapahtumia Kutsutaan tapahtumajoukko, jonka summa on tietty tapahtuma:

Tapahtuma AT nimeltään tapahtuman erikoistapaus MUTTA, jos tapahtuman esiintymisen kanssa AT tapahtuma tulee näkyviin MUTTA. Sanotaan myös, että tapahtuma AT laukaisee tapahtuman MUTTA(Kuva 3.3). Nimitys.

Kuva 3.3

Tapahtumat MUTTA ja AT nimeltään vastaava jos ne esiintyvät tai eivät esiinny yhdessä kokeen aikana E. Nimitys. Ilmeisesti jos

Monimutkainen tapahtuma kutsutaan havaittavaksi tapahtumaksi, joka ilmaistaan ​​muiden tapahtumien kautta, jotka havaittiin samassa kokeessa algebrallisia operaatioita käyttäen.

Tietyn monimutkaisen tapahtuman toteutumisen todennäköisyys lasketaan käyttämällä todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskukaavoja.

Lisäyslause

Seuraukset:

1) tapahtumien varalta MUTTA ja AT ovat epäjohdonmukaisia, summauslause saa muodon:

2) kolmen termin tapauksessa summauslause voidaan kirjoittaa muodossa

3) keskenään vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:

Tapahtumajoukkoa ,, ..., kutsutaan koko joukko tapahtumia , jos

Täydellisen ryhmän muodostavien tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:

Tapahtuman todennäköisyys MUTTA edellyttäen, että tapahtuma AT tapahtui, soitti ehdollinen todennäköisyys ja merkitsee tai.

MUTTA ja AT – riippuvaisia ​​tapahtumia , jos.

MUTTA ja AT – itsenäisiä tapahtumia , jos.

Todennäköisyyksien kertolaskulause

Seuraukset:

1) itsenäisiin tapahtumiin MUTTA ja AT

2) yleisessä tapauksessa kolmen tapahtuman tulolle todennäköisyyskerto-lauseen muoto on:

Ongelmanratkaisunäytteet

Esimerkki1 - Kolme elementtiä on kytketty sarjaan sähköpiiriin, jotka toimivat toisistaan ​​riippumatta. Ensimmäisen, toisen ja kolmannen elementin epäonnistumistodennäköisyys on vastaavasti yhtä suuri kuin ,,. Laske todennäköisyys, että piirissä ei ole virtaa.

Päätös

Ensimmäinen tapa.

Nimetään tapahtumat: - piirissä oli ensimmäisen, toisen ja kolmannen elementin vika.

Tapahtuma MUTTA- piirissä ei ole virtaa (ainakin yksi elementeistä epäonnistuu, koska ne on kytketty sarjaan).

Tapahtuma - virta piirissä (kolme elementtiä toimii), . Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyys suhteutetaan kaavalla (3.4). Tapahtuma on kolmen pareittain riippumattoman tapahtuman tulos. Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseella saamme

Tällöin halutun tapahtuman todennäköisyys on .

Toinen tapa.

Ottaen huomioon aiemmin käytetyn merkinnän, kirjoitamme halutun tapahtuman MUTTA- ainakin yksi elementeistä epäonnistuu:

Koska summaan sisältyvät termit ovat yhteensopivia, meidän tulisi soveltaa todennäköisyyslisäyslausetta yleisessä muodossa kolmen termin tapauksessa (3.3):

Vastaus: 0,388.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1 Lukusalissa on kuusi todennäköisyysteorian oppikirjaa, joista kolme on sidottu. Kirjastonhoitaja otti satunnaisesti kaksi oppikirjaa. Laske todennäköisyys, että molemmat oppikirjat sidotaan.

2 Langat sekoitetaan pussissa, joista 30% on valkoisia ja loput punaisia. Määritä todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti piirrettyä lankaa ovat: samanvärisiä; eri värejä.

3 Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta elementistä. Ensimmäisen, toisen ja kolmannen elementin häiriöttömän toiminnan todennäköisyys tietyn ajan kuluessa on 0,6; 0,7; 0.8. Selvitä todennäköisyydet, että tänä aikana seuraavat toimivat ongelmitta: vain yksi elementti; vain kaksi elementtiä; kaikki kolme elementtiä; vähintään kaksi elementtiä.

4 Kolme noppaa heitetään. Etsi seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

a) putoaneiden kummallekin puolelle ilmestyy viisi pistettä;

b) sama määrä pisteitä näkyy kaikilla pudonneilla pinnoilla;

c) yksi piste ilmestyy kahdelle pudotetulle pinnalle ja toinen määrä pisteitä näkyy kolmannella sivulla;

d) eri määrä pisteitä näkyy kaikilla pudonneilla pinnoilla.

5 Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin yhdellä laukauksella, on 0,8. Kuinka monta laukausta ampujan tulee ampua, jotta voidaan olettaa, että alle 0,4:n todennäköisyydellä ei tapahdu ohituksia?

6 Numeroista 1, 2, 3, 4, 5 valitaan ensin yksi ja sitten lopuista neljästä toinen numero. Kaikkien 20 mahdollisen lopputuloksen oletetaan olevan yhtä todennäköisiä. Laske todennäköisyys, että pariton numero valitaan: ensimmäistä kertaa; toisen kerran; molemmat kertaa.

7 Todennäköisyys, että liikkeen miesten kenkäosastolla tulee jälleen myyntiin koon 46 kenkäpari, on 0,01. Kuinka monta paria kenkiä liikkeessä tulee myydä, jotta vähintään 0,9 todennäköisyydellä voidaan olettaa, että vähintään yksi pari koon 46 kenkiä tulee myyntiin?

8 Laatikossa on 10 osaa, joista kaksi ei-standardia. Laske todennäköisyys, että kuudessa satunnaisesti valitussa osassa on enintään yksi epästandardi.

9 Tekninen valvontaosasto tarkistaa tuotteiden standardinmukaisuuden. Todennäköisyys, että tuote on epästandardi, on 0,1. Etsi todennäköisyys, että:

a) kolmesta testatusta tuotteesta vain kaksi on epästandardia;

b) vain neljäs järjestyksessä tarkistettu tuote on epästandardi.

10 Jaetun aakkoston korteille on kirjoitettu 32 venäjän aakkosten kirjainta:

a) Kolme korttia vedetään satunnaisesti peräkkäin ja asetetaan pöydälle niiden ilmestymisjärjestyksessä. Etsi todennäköisyys, että sana "maailma" tulee esiin;

b) kolme vedettyä korttia voidaan vaihtaa mielivaltaisesti. Mikä on todennäköisyys, että he voivat muodostaa sanan "maailma"?

11 Hävittäjä hyökkää pommikoneen kimppuun ja ampuu siihen kaksi itsenäistä laukausta. Todennäköisyys ampua alas pommikone ensimmäisellä purskeella on 0,2 ja toisella 0,3. Jos pommikonetta ei ammuta alas, se ampuu hävittäjään peräaseista ja ampuu sen alas todennäköisyydellä 0,25. Selvitä todennäköisyys, että pommikone tai hävittäjä ammutaan alas ilmataistelun seurauksena.

Kotitehtävät

1 Kokonaistodennäköisyyskaava. Bayesin kaava.

2 ratkaista ongelmia

Tehtävä1 . Työntekijä ylläpitää kolmea toisistaan ​​riippumattomasti toimivaa konetta. Todennäköisyys, että ensimmäinen kone ei vaadi työntekijän huomiota tunnin sisällä, on 0,9, toinen - 0,8, kolmas - 0,85. Laske todennäköisyys, että tunnin sisällä vähintään yksi kone vaatii työntekijän huomion.

Tehtävä2 . ATK-keskuksessa, jonka tulee jatkuvasti käsitellä saapuvaa tietoa, on kaksi laskentalaitetta. Tiedetään, että kunkin niistä epäonnistumisen todennäköisyys jossain ajassa on 0,2. On määritettävä todennäköisyys:

a) se, että yksi laitteista epäonnistuu ja toinen on hyvässä kunnossa;

b) jokaisen laitteen häiriötön toiminta.

Tehtävä3 . Neljä metsästäjää suostui ampumaan riistaa tietyssä järjestyksessä: seuraava metsästäjä ampuu vain, jos edellinen osuu ohi. Ensimmäisen metsästäjän osumistodennäköisyys on 0,6, toisen - 0,7, kolmannen - 0,8. Laske todennäköisyys, että laukauksia ammutaan:

d) neljä.

Tehtävä4 . Osa käy läpi neljä koneistusoperaatiota. Avioliiton solmimisen todennäköisyys ensimmäisessä leikkauksessa on 0,01, toisessa - 0,02, kolmannessa - 0,03, neljännessä - 0,04. Laske todennäköisyys saada virheetön osa neljän operaation jälkeen olettaen, että yksittäisten operaatioiden vikojen saamistapahtumat ovat riippumattomia.

Todennäköisyyksiin liittyvien toimenpiteiden tarve syntyy, kun joidenkin tapahtumien todennäköisyydet tiedetään, ja muiden näihin tapahtumiin liittyvien tapahtumien todennäköisyydet on laskettava.

Todennäköisyyslaskua käytetään, kun on tarpeen laskea satunnaisten tapahtumien yhdistelmän tai loogisen summan todennäköisyys.

Tapahtumien summa A ja B nimetä A + B tai A ∪ B. Kahden tapahtuman summa on tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos vähintään yksi tapahtumista tapahtuu. Se tarkoittaa sitä A + B- tapahtuma, joka tapahtuu silloin ja vain, jos tapahtuma tapahtuu havainnon aikana A tai tapahtuma B, tai samaan aikaan A ja B.

Jos tapahtumia A ja B ovat keskenään ristiriidassa ja niiden todennäköisyydet on annettu, todennäköisyys, että jokin näistä tapahtumista tapahtuu yhden kokeen tuloksena, lasketaan todennäköisyyksien summalla.

Todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että toinen kahdesta keskenään yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Esimerkiksi metsästyksen aikana ammuttiin kaksi laukausta. Tapahtuma MUTTA– ankan lyöminen ensimmäisestä laukauksesta, tapahtuma AT– osuma toisesta laukauksesta, tapahtuma ( MUTTA+ AT) - osuma ensimmäisestä tai toisesta laukauksesta tai kahdesta laukauksesta. Jos siis kaksi tapahtumaa MUTTA ja AT ovat siis yhteensopimattomia tapahtumia MUTTA+ AT- vähintään yhden näistä tapahtumista tai kahdesta tapahtumasta.

Esimerkki 1 Laatikossa on 30 samankokoista palloa: 10 punaista, 5 sinistä ja 15 valkoista. Laske todennäköisyys, että värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan katsomatta.

Päätös. Oletetaan, että tapahtuma MUTTA– "punainen pallo on otettu" ja tapahtuma AT- "Sininen pallo on otettu." Sitten tapahtuma on "värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan". Selvitä tapahtuman todennäköisyys MUTTA:

ja tapahtumia AT:

Tapahtumat MUTTA ja AT- keskenään yhteensopimaton, koska jos yksi pallo otetaan, erivärisiä palloja ei voida ottaa. Siksi käytämme todennäköisyyksien lisäystä:

Useiden yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Jos tapahtumat muodostavat koko tapahtumajoukon, niin niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on myös yhtä suuri kuin 1:

Vastakkaiset tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumasarjan, ja kokonaisen tapahtumasarjan todennäköisyys on 1.

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet on yleensä merkitty pienillä kirjaimilla. s ja q. Erityisesti,

joista seuraavat vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyden kaavat:

Esimerkki 2 Kohde viivalla on jaettu 3 vyöhykkeeseen. Todennäköisyys, että tietty ampuja ampuu maaliin ensimmäisessä vyöhykkeessä on 0,15, toisella alueella - 0,23, kolmannella - 0,17. Laske todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, ja todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin.

Ratkaisu: Selvitä todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin:

Laske todennäköisyys, että ampuja ohittaa kohteen:

Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien lisäys

Kahden satunnaisen tapahtuman sanotaan olevan yhteisiä, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei sulje pois toisen tapahtuman esiintymistä samassa havainnossa. Esimerkiksi noppaa heittäessä tapahtuma MUTTA katsotaan olevan luvun 4 esiintyminen ja tapahtuma AT- parillisen luvun pudottaminen. Koska numero 4 on parillinen luku, nämä kaksi tapahtumaa ovat yhteensopivia. Käytännössä on tehtäviä jonkin yhteisen tapahtuman toteutumisen todennäköisyyksien laskemiseksi.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että jokin yhteisistä tapahtumista toteutuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa, josta vähennetään molempien tapahtumien yhteisen esiintymisen todennäköisyys, eli todennäköisyyksien tulo. Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien kaava on seuraava:

Koska tapahtumat MUTTA ja AT yhteensopiva, tapahtuma MUTTA+ AT tapahtuu, jos tapahtuu yksi kolmesta mahdollisesta tapahtumasta: tai AB. Yhteensopimattomien tapahtumien yhteenlaskulauseen mukaan laskemme seuraavasti:

Tapahtuma MUTTA tapahtuu, jos toinen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu: tai AB. Yhden tapahtuman todennäköisyys useista yhteensopimattomista tapahtumista on kuitenkin yhtä suuri kuin kaikkien näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Samalla lailla:

Korvaamalla lausekkeet (6) ja (7) lausekkeeksi (5), saadaan yhteisten tapahtumien todennäköisyyskaava:

Kaavaa (8) käytettäessä tulee ottaa huomioon, että tapahtumat MUTTA ja AT voi olla:

• toisistaan ​​riippumaton;
• toisistaan ​​riippuvaisia.

Todennäköisyyskaava toisistaan ​​riippumattomille tapahtumille:

Todennäköisyyskaava toisistaan ​​riippuvaisille tapahtumille:

Jos tapahtumia MUTTA ja AT ovat epäjohdonmukaisia, silloin niiden yhteensattuma on mahdoton tapaus ja siten P(AB) = 0. Neljäs yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyskaava on seuraava:

Esimerkki 3 Autokilpailussa ensimmäisellä autolla ajettaessa voiton todennäköisyys, kun ajetaan toisella autolla. Löytää:

• todennäköisyys, että molemmat autot voittaa;
• todennäköisyys, että vähintään yksi auto voittaa;

1) Todennäköisyys, että ensimmäinen auto voittaa, ei riipu toisen auton tuloksesta, joten tapahtumat MUTTA(ensimmäinen auto voittaa) ja AT(toinen auto voittaa) - itsenäiset tapahtumat. Laske todennäköisyys, että molemmat autot voittavat:

2) Laske todennäköisyys, että toinen kahdesta autosta voittaa:

Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Ratkaise itse todennäköisyyksien lisäämisen ongelma ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 4 Kaksi kolikkoa heitetään. Tapahtuma A- ensimmäisen kolikon vaakunan menetys. Tapahtuma B- vaakunan menetys toisesta kolikosta. Selvitä tapahtuman todennäköisyys C = A + B .

Todennäköisyyskerroin

Todennäköisyyksien kertolaskua käytetään, kun halutaan laskea tapahtumien loogisen tuotteen todennäköisyys.

Tässä tapauksessa satunnaisten tapahtumien on oltava riippumattomia. Kahden tapahtuman sanotaan olevan toisistaan ​​riippumattomia, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen.

Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause. Kahden riippumattoman tapahtuman samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys MUTTA ja AT on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo ja se lasketaan kaavalla:

Esimerkki 5 Kolikkoa heitetään kolme kertaa peräkkäin. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa.

Päätös. Todennäköisyys, että vaakuna putoaa kolikon ensimmäisellä heitolla, toisella ja kolmannella kerralla. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa:

Ratkaise itse todennäköisyyksien kertomiseen liittyvät tehtävät ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 6 Siellä on laatikko, jossa on yhdeksän uutta tennispalloa. Peliä varten otetaan kolme palloa, pelin jälkeen ne laitetaan takaisin. Palloja valitessaan he eivät tee eroa pelattujen ja pelaamattomien pallojen välillä. Millä todennäköisyydellä kolmen pelin jälkeen laatikossa ei ole yhtään pelaamatonta palloa?

Esimerkki 7 32 venäjän aakkosten kirjainta on kirjoitettu leikatuille aakkoskorteille. Viisi korttia vedetään satunnaisesti peräkkäin ja asetetaan pöydälle siinä järjestyksessä, jossa ne ilmestyvät. Laske todennäköisyys, että kirjaimet muodostavat sanan "loppu".

Esimerkki 8 Täydestä korttipakasta (52 arkkia) otetaan neljä korttia kerralla. Laske todennäköisyys, että kaikki nämä neljä korttia ovat samaa maata.

Esimerkki 9 Sama ongelma kuin esimerkissä 8, mutta jokainen kortti palautetaan pakkaan vedon jälkeen.

Monimutkaisempia tehtäviä, joissa sinun on käytettävä sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua, sekä laskettava useiden tapahtumien tulo, sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Todennäköisyys, että ainakin yksi toisistaan ​​riippumattomista tapahtumista tapahtuu, voidaan laskea vähentämällä vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien tulo 1:stä, eli kaavalla:

Esimerkki 10 Tavarat kuljetetaan kolmella kuljetusmuodolla: joki-, rautatie- ja maantiekuljetukset. Todennäköisyys, että lasti toimitetaan jokikuljetuksella, on 0,82, rautateitse 0,87, maanteitse 0,90. Laske todennäköisyys, että tavarat toimitetaan vähintään yhdellä kolmesta kuljetusmuodosta.