Tässä artikkelissa analysoimme kattavasti yhtä tärkeimmistä geometrisistä muodoista - kulman. Aloitetaan apukäsitteistä ja määritelmistä, jotka johtavat kulman määritelmään. Sen jälkeen annamme hyväksytyt menetelmät kulmien osoittamiseen. Seuraavaksi käsittelemme yksityiskohtaisesti kulmien mittausprosessia. Lopuksi näytämme, kuinka voit merkitä kulmat piirustukseen. Varustimme kaiken teorian tarvittavilla piirustuksilla ja graafisilla kuvilla materiaalin paremmin muistamiseksi.

Sivulla navigointi.

Kulman määritelmä.

Kulma on yksi geometrian tärkeimmistä luvuista. Kulman määritelmä annetaan säteen määritelmän kautta. Ajatusta säteestä ei puolestaan ​​voida saada ilman sellaisten geometristen kuvioiden tuntemista, kuten piste, suora ja taso. Siksi, ennen kuin tutustut kulman määritelmään, suosittelemme teorian päivittämistä osista ja.

Aloitamme siis pisteen, tasaisen suoran ja tason käsitteistä.

Tehdään ensin säteen määritelmä.

Annetaan meille jokin suora viiva tasossa. Merkitään se kirjaimella a. Olkoon O jokin piste viivalla a . Piste O jakaa suoran a kahteen osaan. Jokaista näistä osista yhdessä pisteen O kanssa kutsutaan palkki, ja pistettä O kutsutaan säteen alku. Voit myös kuulla, että sädettä kutsutaan puolisuora.

Lyhytyyden ja mukavuuden vuoksi otettiin käyttöön seuraava säteiden merkintä: säde merkitään joko pienellä latinalaiskirjaimella (esimerkiksi säde p tai säde k) tai kahdella suurella latinalaiskirjaimella, joista ensimmäinen vastaa tekstin alkua. säde, ja toinen tarkoittaa jotakin tämän säteen pistettä (esimerkiksi säde OA tai säde CD). Näytetään kuva ja säteiden nimitys piirustuksessa.

Nyt voimme antaa kulman ensimmäisen määritelmän.

Määritelmä.

Injektio- tämä on litteä geometrinen hahmo (eli makaa kokonaan tietyssä tasossa), joka koostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. Jokaista sädettä kutsutaan kulman puoli, kutsutaan kulman sivujen yhteistä alkua yläkulma.

On mahdollista, että kulman sivut muodostavat suoran viivan. Tällä kulmalla on oma nimi.

Määritelmä.

Jos kulman molemmat puolet ovat samalla viivalla, kulmaa kutsutaan käyttöön.

Tarjoamme huomionne graafisen kuvauksen kehittyneestä kulmasta.

Kulman symbolia käytetään kuvaamaan kulmaa. Jos kulman sivut on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla (esimerkiksi kulman toinen puoli on k ja toinen on h), tämän kulman osoittamiseksi kulmakuvakkeen jälkeen kirjoitetaan sivuja vastaavat kirjaimet rivi, ja tallennusjärjestyksellä ei ole väliä (eli tai). Jos kulman sivut on merkitty kahdella suurella latinalaiskirjaimella (esimerkiksi kulman toinen puoli OA ja kulman OB toinen puoli), kulma merkitään seuraavasti: kulmamerkin jälkeen on kolme kirjainta kirjoitetut, jotka osallistuvat kulman sivujen nimeämiseen, ja kulman kärkeä vastaava kirjain, joka sijaitsee keskellä (tässä tapauksessa kulma merkitään tai ). Jos kulman kärki ei ole jonkin muun kulman kärki, niin tällainen kulma voidaan merkitä kulman kärkeä vastaavalla kirjaimella (esim. ). Joskus voit nähdä, että piirustusten kulmat on merkitty numeroilla (1, 2 jne.), nämä kulmat on merkitty ja niin edelleen. Selvyyden vuoksi esitämme kuvan, jossa kulmat on esitetty ja merkitty.

Mikä tahansa kulma jakaa tason kahteen osaan. Lisäksi, jos kulmaa ei kehitetä, kutsutaan yhtä tason osaa sisäkulman alue, ja se toinen ulkokulma-alue. Seuraava kuva selittää, mikä osa tasosta vastaa kulman sisäpuolta ja mikä osa ulkopuolta.

Mitä tahansa kahdesta osasta, joihin litistetty kulma jakaa tason, voidaan pitää litistetyn kulman sisäalueena.

Kulman sisäpuolen määritelmä johtaa meidät kulman toiseen määritelmään.

Määritelmä.

Injektio- tämä on geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä ja vastaava kulman sisäalue.

On huomattava, että toinen kulman määritelmä on tiukempi kuin ensimmäinen, koska se sisältää enemmän ehtoja. Ensimmäistä kulman määritelmää ei kuitenkaan pidä jättää huomiotta, eikä myöskään ensimmäistä ja toista kulman määritelmää pidä tarkastella erikseen. Selitetään tämä kohta. Kun kyseessä on kulma geometrisena hahmona, kulma ymmärretään kuvioksi, joka koostuu kahdesta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. Jos tällä kulmalla on tarpeen suorittaa toimintoja (esimerkiksi kulman mittaaminen), kulma tulee ymmärtää jo kahdeksi säteeksi, joilla on yhteinen alkuperä ja sisäinen alue (muuten syntyisi kaksinkertainen tilanne johtuen kulman sekä sisäisen että ulkoisen alueen läsnäolo).

Annetaan lisää määritelmiä vierekkäisille ja pystysuoralle kulmille.

Määritelmä.

Vierekkäiset kulmat- nämä ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran kulman.

Määritelmästä seuraa, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan suorassa kulmassa.

Määritelmä.

Pystykulmat ovat kaksi kulmaa, joissa yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Kuvassa on pystysuorat kulmat.

Ilmeisesti kaksi leikkaavaa suoraa muodostavat neljä paria vierekkäisiä kulmia ja kaksi paria pystykulmia.

Kulmien vertailu.

Tässä artikkelin kappaleessa käsittelemme yhtäläisten ja epätasaisten kulmien määritelmiä, ja myös epätasaisten kulmien tapauksessa selitämme, mikä kulma on suuri ja mikä pienempi.

Muista, että kahta geometristä kuviota kutsutaan yhtä suureksi, jos ne voidaan asettaa päällekkäin.

Annetaan kaksi kulmaa. Esittäkäämme perustelut, jotka auttavat meitä saamaan vastauksen kysymykseen: "Ovatko nämä kaksi kulmaa yhtä suuria vai eivät"?

On selvää, että voimme aina sovittaa kahden kulman kärjet sekä ensimmäisen kulman yhden puolen minkä tahansa toisen kulman sivun kanssa. Yhdistetään ensimmäisen kulman sivu ja toisen kulman sivu niin, että kulmien loput sivut ovat samalla puolella suoraa, jolla kulmien yhdistetyt sivut sijaitsevat. Sitten, jos kulmien kaksi muuta sivua on kohdistettu, kulmat kutsutaan yhtä suuri.

Jos kulmien kaksi muuta sivua eivät täsmää, kulmia kutsutaan epätasa-arvoinen, ja pienempi kulman katsotaan olevan osa toista ( iso on kulma, joka sisältää kokonaan toisen kulman).

On selvää, että kaksi suoraa kulmaa ovat yhtä suuret. On myös selvää, että kehittynyt kulma on suurempi kuin mikä tahansa kehittymätön kulma.

Kulman mittaus.

Kulman mittaus perustuu mitatun kulman vertaamiseen mittayksiköksi otettuun kulmaan. Kulmien mittausprosessi näyttää tältä: mitatun kulman yhdeltä sivulta alkaen sen sisäalue täytetään peräkkäin yksittäisillä kulmilla pinoamalla ne tiukasti toisiinsa. Samalla muistetaan pinottujen kulmien lukumäärä, mikä antaa mitatun kulman koon.

Itse asiassa mikä tahansa kulma voidaan ottaa kulmien mittayksiköksi. Yleisesti hyväksyttyjä kulmien mittausyksiköitä on kuitenkin monia tieteen ja tekniikan eri aloihin liittyviä, ne ovat saaneet erityisnimet.

Yksi kulmien mittausyksiköistä on tutkinnon.

Määritelmä.

yksi aste on kulma, joka on yhtä suuri kuin satakahdeksaskymmenesosa suoristetusta kulmasta.

Aste on merkitty symbolilla "", joten yksi aste merkitään nimellä.

Siten kehitetyssä kulmassa voimme sovittaa yhteen asteeseen 180 kulmaa. Se näyttää puolikkaalta pyöreältä piirakasta, joka on leikattu 180 yhtä suureen osaan. Erittäin tärkeää: "piirakan palat" sopivat tiukasti yhteen (eli kulmien sivut ovat kohdakkain) siten, että ensimmäisen kulman sivu on kohdistettu litistetun kulman toiselle puolelle ja viimeisen yksikön kulman sivu osui litteän kulman toisen puolen kanssa.

Kulmia mitattaessa selvitetään kuinka monta kertaa aste (tai muu kulmien mittayksikkö) mahtuu mitattuun kulmaan, kunnes mitatun kulman sisäalue peittyy kokonaan. Kuten olemme jo nähneet, kehittyneessä kulmassa aste sopii täsmälleen 180 kertaa. Alla on esimerkkejä kulmista, joissa yhden asteen kulma sopii täsmälleen 30 kertaa (sellainen kulma on kuudesosa suorasta kulmasta) ja täsmälleen 90 kertaa (puoli suorakulmasta).

Mitataksesi kulmia, jotka ovat pienempiä kuin yksi aste (tai jokin muu kulmien mittayksikkö) ja tapauksissa, joissa kulmaa ei voida mitata kokonaislukumäärällä asteita (otetut mittayksiköt), sinun on käytettävä asteen osia (otettuja osia mittayksiköt). Tietyt tutkinnon osat saivat erityisnimet. Yleisimmät ovat niin sanotut minuutit ja sekunnit.

Määritelmä.

Minuutti on yksi kuudeskymmenesosa astetta.

Määritelmä.

Toinen on yksi kuudeskymmenesosa minuutista.

Toisin sanoen minuutissa on kuusikymmentä sekuntia ja asteessa kuusikymmentä minuuttia (3600 sekuntia). Symbolia "" käytetään merkitsemään minuutteja ja symbolia "" sekunteja (älä sekoita derivaatan ja toisen derivaatan merkkejä). Sitten käyttöönotetuilla määritelmillä ja merkinnöillä meillä on , ja kulma, johon 17 astetta 3 minuuttia ja 59 sekuntia sopii, voidaan merkitä .

Määritelmä.

Kulman astemitta kutsutaan positiivista lukua, joka näyttää kuinka monta kertaa aste ja sen osat sopivat annettuun kulmaan.

Esimerkiksi suoristetun kulman astemitta on satakahdeksankymmentä ja kulman astemitta on .

Kulmien mittaamiseen on olemassa erityisiä mittauslaitteita, joista tunnetuin on astemittari.

Jos sekä kulman nimitys (esim.) että sen astemitta (olkoon 110) tunnetaan, käytä lomakkeen lyhyttä merkintää ja sano: "Kulma AOB on satakymmentä astetta."

Kulman ja kulman astemitan määritelmistä seuraa, että geometriassa kulman mitta asteina ilmaistaan ​​reaaliluvulla väliltä (0, 180] (trigonometriassa kulmat mielivaltaisella astemitalla). katsotaan, niitä kutsutaan). 90 asteen kulmalla on erityinen nimi, sitä kutsutaan oikea kulma. Alle 90 asteen kulmaa kutsutaan terävä kulma. Kulmaa, joka on suurempi kuin yhdeksänkymmentä astetta, kutsutaan tylppä kulma. Joten terävän kulman mitta asteina ilmaistaan ​​numerolla väliltä (0, 90), tylpän kulman mitta - väliltä (90, 180), suora kulma on yhtä suuri kuin yhdeksänkymmentä astetta. Tässä on kuvia terävästä kulmasta, tylpästä kulmasta ja suorasta kulmasta.

Kulmien mittausperiaatteesta seuraa, että yhtäläisten kulmien astemitat ovat samat, suuremman kulman astemitta on suurempi kuin pienemmän ja useammasta kulmasta koostuvan kulman astemitta on yhtä suuri kuin komponenttikulmien astemittojen summa. Alla olevassa kuvassa näkyy kulma AOB, joka koostuu kulmista AOC, COD ja DOB, kun taas .

Täten, vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta, koska ne muodostavat suoran kulman.

Tästä väitteestä seuraa, että . Todellakin, jos kulmat AOB ja COD ovat pystysuorat, niin kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäisiä ja kulmat COD ja BOC ovat myös vierekkäisiä, joten yhtäläisyydet ja ovat voimassa, joista yhtäläisyys seuraa.

Asteen ohella kutsutaan kätevää yksikköä kulmien mittaamiseen radiaani. Radiaanimitta on laajalti käytössä trigonometriassa. Määritellään radiaani.

Määritelmä.

Yksi radiaanikulma- Tämä keskikulma, joka vastaa kaaren pituutta, joka on yhtä suuri kuin vastaavan ympyrän säteen pituus.

Esitetään graafinen esitys yhden radiaanin kulmasta. Piirustuksessa säteen OA pituus (samoin kuin säteen OB ) on yhtä suuri kuin kaaren AB pituus, joten määritelmän mukaan kulma AOB on yhtä suuri kuin yksi radiaani.

Lyhennettä "rad" käytetään osoittamaan radiaaneja. Esimerkiksi 5 rad:n kirjoittaminen tarkoittaa 5 radiaania. Kuitenkin kirjallisesti nimitys "rad" jätetään usein pois. Esimerkiksi kun kirjoitetaan, että kulma on yhtä suuri kuin pi, se tarkoittaa pi rad.

On syytä huomata erikseen, että kulman arvo radiaaneina ilmaistuna ei riipu ympyrän säteen pituudesta. Tämä johtuu siitä, että tietyn kulman ja tietyn kulman kärkeen keskitetyn ympyrän kaaren rajoittamat hahmot ovat samankaltaisia ​​toistensa kanssa.

Kulmien mittaaminen radiaaneina voidaan tehdä samalla tavalla kuin kulmien mittaaminen asteina: selvitä kuinka monta kertaa yhden radiaanin kulma (ja sen osat) mahtuu tiettyyn kulmaan. Ja voit laskea vastaavan keskikulman kaaren pituuden ja jakaa sen sitten säteen pituudella.

Harjoittelun tarpeita varten on hyödyllistä tietää, miten aste- ja radiaanimitat liittyvät toisiinsa, koska melkoinen osa on suoritettava. Tässä artikkelissa määritetään suhde kulman asteen ja radiaanimitan välille, ja annetaan esimerkkejä asteiden muuntamisesta radiaaneiksi ja päinvastoin.

Kulmien merkintä piirustuksessa.

Piirustuksissa kulmat voidaan mukavuuden ja selkeyden vuoksi merkitä kaarilla, jotka yleensä piirretään kulman sisäalueelle kulman puolelta toiselle. Samat kulmat on merkitty samalla määrällä kaaria, eriarvoiset kulmat eri määrällä kaaria. Piirustuksen suorat kulmat on merkitty muodon "" symbolilla, joka on kuvattu oikean kulman sisäalueella kulman toiselta puolelta toiselle.

Jos joudut merkitsemään piirustukseen useita eri kulmia (yleensä enemmän kuin kolme), niin kulmia määritettäessä on sallittua käyttää tavallisten kaarien lisäksi jonkin erikoistyyppisiä kaaria. Voit esimerkiksi kuvata rosoisia kaaria tai jotain vastaavaa.

On syytä huomata, että sinun ei pidä innostua kulmien merkitsemisestä piirustuksissa ja älä sotke piirustuksia. Suosittelemme merkitsemään vain ne kulmat, jotka ovat välttämättömiä ratkaisemisen tai todistamisen yhteydessä.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Luokat 7 - 9: oppikirja oppilaitoksille.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Oppikirja lukion 10-11 luokalle.
• Pogorelov A.V., Geometria. Oppikirja oppilaitosten luokille 7-11.

Kulma on geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta eri säteestä, jotka lähtevät yhdestä pisteestä. Tässä tapauksessa näitä säteitä kutsutaan kulman sivuiksi. Pistettä, joka on säteiden alku, kutsutaan kulman kärjeksi. Kuvassa näkyy kulma, jonka kärki on pisteessä O ja osapuolet k ja m.

Kulman sivuille on merkitty pisteet A ja C. Tämä kulma voidaan nimetä kulmaksi AOC. Keskellä on oltava sen pisteen nimi, jossa kulmapiste sijaitsee. On myös muita nimityksiä, kulma O tai kulma km. Geometriassa sanan kulma sijasta kirjoitetaan usein erityinen kuvake.

Pyöritty ja kääntämätön kulma

Jos kulman molemmat puolet ovat samalla suoralla, niin tällaista kulmaa kutsutaan käyttöön kulma. Toisin sanoen kulman toinen puoli on jatkoa kulman toiselle puolelle. Alla olevassa kuvassa näkyy kulma O.

On huomattava, että mikä tahansa kulma jakaa tason kahteen osaan. Jos kulmaa ei ole laajennettu, yhtä osista kutsutaan kulman sisäalueeksi ja toista tämän kulman ulkoalueeksi. Alla olevassa kuvassa näkyy litistämätön kulma ja on merkitty tämän kulman ulko- ja sisäalueet.

Kehitetyn kulman tapauksessa mitä tahansa kahdesta osasta, joihin se jakaa tason, voidaan pitää kulman ulko-alueena. Voimme puhua pisteen sijainnista suhteessa kulmaan. Piste voi sijaita kulman ulkopuolella (ulkoalueella), sen yhdellä sivulla tai kulman sisällä (sisemmällä alueella).

Alla olevassa kuvassa piste A on kulman O ulkopuolella, piste B kulman toisella puolella ja piste C kulman sisällä.

Kulman mittaus

Kulmien mittaamiseen on laite, jota kutsutaan astemittariksi. Kulman yksikkö on tutkinnon. On huomattava, että jokaisella kulmalla on tietty astemitta, joka on suurempi kuin nolla.

Astemittasta riippuen kulmat jaetaan useisiin ryhmiin.

Oppilaat tutustuvat kulman käsitteeseen peruskoulussa. Mutta geometrisena hahmona, jolla on tietyt ominaisuudet, he alkavat opiskella sitä geometrian 7. luokasta lähtien. Näyttää, melko yksinkertainen muoto mitä hänestä voi sanoa. Mutta uutta tietoa hankkiessaan koululaiset ymmärtävät yhä enemmän, että voit oppia hänestä melko mielenkiintoisia faktoja.

Yhteydessä

Milloin opiskellaan

Koulun geometrian kurssi on jaettu kahteen osaan: planimetriaan ja solidigeometriaan. Jokainen heistä saa paljon huomiota. annettu kulmiin:

• Planimetriassa niiden peruskäsite annetaan, tutustutaan niiden tyyppeihin kooltaan. Kunkin kolmiotyypin ominaisuuksia tutkitaan tarkemmin. Uusia määritelmiä opiskelijoille ilmestyy - nämä ovat geometrisia muotoja, jotka on muodostettu kahden suoran leikkauspisteeseen ja sekantin useiden viivojen leikkauspisteeseen.
• Stereometriassa tutkitaan spatiaalisia kulmia - dihedraalia ja kolmikulmaista.

Huomio! Tässä artikkelissa käsitellään kaikkia planimetrian kulmien tyyppejä ja ominaisuuksia.

Määritelmä ja mittaus

Aloita opiskelu, määritä ensin, mikä on kulma planimetriassa.

Jos otamme tietyn pisteen tasosta ja vedämme siitä kaksi mielivaltaista sädettä, saamme geometrisen hahmon - kulman, joka koostuu seuraavista elementeistä:

• kärki - piste, josta säteet vedettiin, osoitetaan latinalaisten aakkosten isolla kirjaimella;
• sivut on vedetty puoliviivalla ylhäältä.

Kaikki tarkasteltavan kuvion muodostavat elementit jakavat tason kaksi osaa:

• sisäinen - planimetriassa ei ylitä 180 astetta;
• ulkoinen.

Kulmien mittausperiaate planimetriassa selittää intuitiivisesti. Aluksi opiskelijat tutustutaan kehittyneen kulman käsitteeseen.

Tärkeä! Kulman sanotaan kehittyvän, jos sen kärjestä lähtevät puoliviivat muodostavat suoran. Taitettu kulma on kaikki muut tapaukset.

Jos se jaetaan 180 yhtä suureen osaan, on tapana pitää yhden osan mittaa 10:nä. Tässä tapauksessa sanotaan, että mittaus tehdään asteina ja tällaisen luvun astemitta on 180 astetta.

Päätyypit

Kulmatyypit on jaettu alaryhmiin esimerkiksi astemitan, niiden muodostumisen luonteen ja alla esitettyjen luokkien mukaan.

Koon mukaan

Kun otetaan huomioon suuruus, kulmat jaetaan:

• käyttöön;
• suoraan;
• tylsä;
• mausteinen.

Mitä kulmaa kutsutaan käyttöönotetuksi, esitettiin yllä. Määritellään suoran käsite.

Se voidaan saada jakamalla sijoitettu kahteen yhtä suureen osaan. Tässä tapauksessa on helppo vastata kysymykseen: suora kulma, kuinka monta astetta se on?

Jaa 180 astetta kahdella saadaksesi suora kulma on 90 astetta. Tämä on upea hahmo, koska monet geometrian tosiasiat liittyvät siihen.

Sillä on myös omat ominaisuutensa nimityksessä. Oikean kulman näyttämiseksi kuvassa sitä ei osoita kaarella, vaan neliöllä.

Kulmia, jotka saadaan jakamalla mielivaltainen suoran säteen, kutsutaan teräväksi. Asian logiikan mukaan tästä seuraa, että terävä kulma on pienempi kuin suora kulma, mutta sen mitta on eri kuin 0 astetta. Eli sen arvo on 0 - 90 astetta.

Tylsä kulma on suurempi kuin suora kulma, mutta pienempi kuin suora kulma. Sen astemitta vaihtelee 90 - 180 astetta.

Tämä elementti voidaan jakaa erilaisiin tarkasteltavina oleviin kuvioihin, laajennettua lukuun ottamatta.

Huolimatta siitä, kuinka kiertämätön kulma rikkoutuu, käytetään aina planimetrian perusaksioomaa - "mittauksen pääominaisuus".

klo jakaa kulman yhdellä sädellä tai useita, tietyn kuvion astemitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien mittojen summa, joihin se on jaettu.

7. luokan tasolla kulmien tyypit suuruudeltaan päättyvät siihen. Mutta oppimisen lisäämiseksi voidaan lisätä, että on muitakin lajikkeita, joiden astemitta on yli 180 astetta. Niitä kutsutaan kuperaksi.

Kuvat viivojen leikkauskohdassa

Seuraavat kulmat, joihin opiskelijat tutustuvat, ovat elementit, jotka muodostuvat kahden suoran leikkaamisesta. Toisiaan vastapäätä olevia hahmoja kutsutaan pystysuoraksi. Niiden erottuva piirre on, että ne ovat tasa-arvoisia.

Elementtejä, jotka ovat saman rivin vieressä, kutsutaan vierekkäisiksi. Niiden omaisuutta kartoittava lause sanoo sen Vierekkäiset kulmat ovat yhteensä 180 astetta.

Elementit kolmiossa

Jos katsomme kuvaa kolmion elementtinä, kulmat jaetaan sisäisiin ja ulkoisiin. Kolmio on rajattu kolmeen segmenttiin ja se koostuu kolmesta kärjestä. Kulmat, jotka sijaitsevat kolmion sisällä kussakin kärjessä, kutsutaan sisäiseksi.

Jos otamme minkä tahansa sisäisen elementin mistä tahansa kärjestä ja jatkamme mitä tahansa sivua, muodostunutta kulmaa, joka on sisäisen vieressä, kutsutaan ulkoiseksi. Tällä elementiparilla on seuraava ominaisuus: niiden summa on 180 astetta.

Kahden suoran leikkauspiste

Linjojen leikkaus

Kun kaksi suoraa leikkaavat toisiaan, muodostuu myös kulmia, jotka jaetaan yleensä pareittain. Jokaisella elementiparilla on oma nimi. Se näyttää tältä:

• sisäinen ristikkäisyys: ∟4 ja ∟6, ∟3 ja ∟5;
• sisäinen yksipuolinen: ∟4 ja ∟5, ∟3 ja ∟6;
• vastaavat: ∟1 ja ∟5, ∟2 ja ∟6, ∟4 ja ∟8, ∟3 ja ∟7.

Kun sekantti leikkaa kaksi

Kulman mittaus

Kulma in mitataan asteina (aste, minuutti, sekunti), kierroksina - kaaren pituuden s suhde kehään L, radiaaneina - kaaren pituuden s suhde säteeseen r; Historiallisesti kulmien mittaamiseen käytettiin myös rakeita, nykyään sitä ei käytetä lähes koskaan.

1 kierros = 2π radiaania = 360° = 400 astetta.

Merenkulun terminologiassa kulmat ilmaistaan ​​pisteillä.

Kulmatyypit

Vierekkäiset kulmat ovat terävät (a) ja tylpät (b). Käänteinen kulma (c)

Lisäksi huomioidaan tasaisten käyrien välinen kulma tangenttipisteessä: määritelmän mukaan sen arvo on yhtä suuri kuin käyrien tangenttien välinen kulma.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "Kehitetty kulma" tarkoittaa muissa sanakirjoissa:

Kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa. * Pinnan SCAN on kuvio, joka saadaan tasossa, jossa on sellainen tietyn pinnan pisteiden yhdistelmä tämän tason kanssa, jossa viivojen pituudet pysyvät muuttumattomina. Käyrän kehitys katso Involute... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

injektio- ▲ suuntaero (avaruudessa) kääntymiskulman laajuus suunnasta toiseen; suuntaero; osa täyskäännöstä (kallistus #. muoto #). kaltevuus. taipuvainen. poikkeama. poiketa (tie poikkesi oikealle). ... ...

Injektio- Kulmat: 1 yleisnäkymä; 2 vierekkäistä; 3 vierekkäistä; 4 pystysuoraa; 5 käytössä; 6 suora, terävä ja tylsä; 7 käyrien välissä; 8 suoran ja tason välillä; 9 leikkaavien suorien (ei ole samassa tasossa) suorien välissä. KULMA, geometrinen…… Kuvitettu tietosanakirja

Geometrinen kuvio, joka koostuu kahdesta eri säteestä, jotka lähtevät samasta pisteestä. Rays soitti sivut U. ja niiden yhteinen alku on kärki U. Olkoon [ BA), [ BC) kulman sivut, B sen kärki, sivujen U määräämä taso. Kuvio jakaa tason ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa. * * * PALJETTU KULMA PALJETTU KULMA, kulma, joka on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa ... tietosanakirja

Matematiikan ala, joka tutkii eri muotojen (pisteet, viivat, kulmat, kaksi- ja kolmiulotteiset kohteet) ominaisuuksia, niiden kokoa ja suhteellista sijaintia. Opetuksen mukavuuden vuoksi geometria on jaettu planimetriaan ja solidigeometriaan. AT…… Collier Encyclopedia

1) Suljettu katkoviiva, nimittäin: jos eri pisteitä, yksikään peräkkäinen kolme ei ole samalla suoralla, kutsutaan segmenttien joukkoa. monikulmio (katso kuva 1). M. voi olla spatiaalinen tai tasainen (alla ... ... Matemaattinen tietosanakirja

poikki- ▲ kulmassa maksimi, vino kulma poikittain. poikki suorassa kulmassa. . suurimman taipuman suorakulmainen kulma; kulma, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma; neljänneskierros. kohtisuorassa. kohtisuorassa suorassa kulmassa. kohtisuoraan......... Venäjän kielen ideografinen sanakirja

tutkinnon- a, m. 1) Tasaisen kulman mittayksikkö, joka on 1/90 suorasta kulmasta tai vastaavasti 1/360 ympyrästä. 90 asteen kulmaa kutsutaan suoraksi kulmaksi. Laajennettu kulma on 180 astetta. 2) Mittayksikkö lämpötilavälille, jolla on ... ... Suosittu venäjän kielen sanakirja

Schwartz Christoffelin lause, tärkeä lause kompleksisen muuttujan funktioiden teoriassa, kantaa saksalaisten matemaatikoiden Karl Schwartzin ja Alvin Christoffelin nimeä. Käytännön kannalta erittäin tärkeä ongelma on konforminen ... ... Wikipedia

Kulma on tärkein geometrinen kuva, jota analysoimme koko aiheen ajan. Kulman määritelmät, asettamismenetelmät, merkintä ja mittaus. Analysoidaan nurkkien valinnan periaatteita piirustuksissa. Koko teoria on kuvitettu ja siinä on suuri määrä visuaalisia piirroksia.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Injektio- yksinkertainen tärkeä hahmo geometriassa. Kulma riippuu suoraan säteen määritelmästä, joka puolestaan ​​koostuu pisteen, suoran ja tason peruskäsitteistä. Perusteellista tutkimusta varten sinun on syvennettävä aiheisiin suora viiva tasossa - tarpeelliset tiedot ja lentokone - tarvittavat tiedot.

Kulman käsite alkaa tällä tasolla kuvatuilla pisteen, tason ja suoran käsitteillä.

Määritelmä 2

Annettu viiva a tasossa. Merkitse siinä jokin piste O. Viiva on jaettu pisteellä kahteen osaan, joilla jokaisella on nimi säde, ja piste O on säteen käynnistys.

Toisin sanoen palkki tai puoliviiva - se on osa suoraa, joka koostuu tietyn suoran pisteistä, jotka sijaitsevat samalla puolella lähtöpisteen eli pisteen O suhteen.

Palkin nimitys on sallittu kahdessa muunnelmassa: yksi pieni tai kaksi latinalaisen aakkoston isoa kirjainta. Kun se on merkitty kahdella kirjaimella, säteen nimi koostuu kahdesta kirjaimesta. Katsotaanpa piirrosta tarkemmin.

Siirrytään kulman määrittelyyn.

Määritelmä 3

Injektio- tämä on tietyssä tasossa oleva kuvio, joka muodostuu kahdesta yhteensopimattomasta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. sivukulma on palkki kärkipiste- puolueiden yhteinen alku.

On tapaus, jossa kulman sivut voivat toimia suorana linjana.

Määritelmä 4

Kun kulman molemmat sivut sijaitsevat samalla suoralla tai sen sivut toimivat yhden suoran lisäpuolilinjoina, tällaista kulmaa kutsutaan ns. käyttöön.

Alla olevassa kuvassa on litistetty kulma.

Suoralla viivalla oleva piste on kulman kärki. Useimmiten se on merkitty pisteellä O.

Matematiikassa kulmaa merkitään merkillä "∠". Kun kulman sivut on merkitty pienellä latinalla, kulman oikeaa määrittelyä varten kirjaimet kirjoitetaan riviin, vastaavasti, sivujen mukaan. Jos kahta sivua merkitään k ja h, niin kulma merkitään ∠ k h tai ∠ h k .

Kun merkintä on isoilla kirjaimilla, kulman sivuilla on vastaavasti nimet O A ja O B. Tässä tapauksessa kulman nimi on kolme latinalaisen aakkoston kirjainta kirjoitettuna peräkkäin, keskellä kärkipisteellä - ∠ A O B ja ∠ B O A . Numeroiden muodossa on nimitys, kun kulmissa ei ole nimiä tai kirjaimia. Alla on kuva, jossa kulmat on merkitty eri tavoin.

Kulma jakaa tason kahteen osaan. Jos kulmaa ei kehitetä, yhdellä tason osalla on nimi sisäkulman alue, toinen - ulkokulman alue. Alla on kuva, joka selittää, mitkä tason osat ovat ulkoisia ja mitkä sisäisiä.

Tasossa suoralla kulmalla halkaisussa mitä tahansa sen osaa pidetään suorakulman sisäalueena.

Kulman sisäalue on elementti, joka palvelee kulman toista määritelmää.

Määritelmä 5

kulma kutsutaan geometristä kuviota, joka koostuu kahdesta ei-yhtenäisestä säteestä, joilla on yhteinen alkuperä ja vastaava kulman sisäalue.

Tämä määritelmä on tiukempi kuin edellinen, koska siinä on enemmän ehtoja. Molempia määritelmiä ei kannata tarkastella erikseen, koska kulma on geometrinen kuvio, joka on muunnettu käyttämällä kahta yhdestä pisteestä lähtevää sädettä. Kun on tarpeen suorittaa toimintoja kulmalla, määritelmä tarkoittaa kahden säteen läsnäoloa, joilla on yhteinen alkuperä ja sisäinen alue.

Määritelmä 6

Kaksi kulmaa kutsutaan liittyvät, jos on yhteinen puoli, ja kaksi muuta ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja tai muodostavat suoran kulman.

Kuvasta näkyy, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan, koska ne ovat jatkoa toisilleen.

Määritelmä 7

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuora jos toisen sivut ovat toisen toisiaan täydentäviä puoliviivoja tai ovat toisen sivujen jatkeita. Alla olevassa kuvassa on kuva pystykulmista.

Linjojen ylittämisessä saadaan 4 paria vierekkäisiä ja 2 paria pystykulmia. Alla näkyy kuvassa.

Artikkelissa esitetään yhtäläisten ja epätasaisten kulmien määritelmät. Analysoimme, mikä kulma katsotaan suureksi, mikä pienemmäksi ja muut kulman ominaisuudet. Kaksi lukua katsotaan yhtäläisiksi, jos ne ovat päällekkäin asetettuina täysin yhteneväisiä. Sama ominaisuus pätee myös kulmien vertailuun.

Annettu kaksi kulmaa. On tarpeen tehdä johtopäätös, ovatko nämä kulmat yhtä suuret vai eivät.

Tiedetään, että kahden kulman kärjet ja ensimmäisen kulman sivu menevät päällekkäin toisen kulman minkä tahansa muun puolen kanssa. Eli täydellisen yhteensattuman tapauksessa, kun kulmat asetetaan päällekkäin, annettujen kulmien sivut osuvat täysin yhteen, kulmat yhtä suuri.

Voi olla, että päällekkäin asetettuna sivuja ei välttämättä yhdistetä, sitten kulmat epätasainen, pienempi joista koostuu toisesta, ja lisää sisältää täysin toisen kulman. Alla on epätasaiset kulmat, joita ei ole kohdistettu päällekkäin.

Kehittyneet kulmat ovat yhtä suuret.

Kulmien mittaus alkaa mitatun kulman sivun ja sen sisäalueen mittauksella, joka täytetään yksikkökulmilla, ne kohdistetaan toisiinsa. Pinottujen kulmien lukumäärä on laskettava, ne määrittävät mitatun kulman koon.

Kulmayksikkö voidaan ilmaista missä tahansa mitattavassa kulmassa. Tieteessä ja tekniikassa käytetään yleisesti hyväksyttyjä mittayksiköitä. He ovat erikoistuneet muihin nimikkeisiin.

Yleisimmin käytetty konsepti tutkinnon.

Määritelmä 8

yksi aste kutsutaan kulmaksi, jolla on satakahdeksaskymmenesosa suoristetusta kulmasta.

Asteen standardimerkintä on "°", jolloin yksi aste on 1°. Siksi suora kulma koostuu 180 tällaisesta kulmasta, jotka koostuvat yhdestä astetta. Kaikki käytettävissä olevat kulmat pinotaan tiukasti toisiinsa ja edellisen reunat kohdistetaan seuraavan kanssa.

Tiedetään, että kulman asteiden lukumäärä on sama kulman mitta. Kehitetyssä kulmassa on koostumuksessaan 180 pinottua kulmaa. Alla olevassa kuvassa on esimerkkejä, joissa kulma on asetettu 30 kertaa, eli kuudesosa laajennetusta ja 90 kertaa, eli puolet.

Minutteja ja sekunteja käytetään kulmamittausten tarkkaan määrittämiseen. Niitä käytetään, kun kulman arvo ei ole kokonaisluku. Tällaisten tutkinnon osien avulla voit suorittaa tarkempia laskelmia.

Määritelmä 9

minuutti kutsutaan asteen kuudeskymmenesosaksi.

Määritelmä 10

toinen soitti yksi kuudeskymmenesosa minuutista.

Yksi tutkinto sisältää 3600 sekuntia. Minuutit merkitsevät """ ja sekuntia """. Nimitys tapahtuu:

1°=60"=3600", 1"=(160)°, 1"=60", 1""=(160)"=(13600)°,

ja kulman 17 astetta 3 minuuttia ja 59 sekuntia merkintä on 17° 3 "59"".

Määritelmä 11

Annetaan esimerkki kulman astemitan merkinnästä, joka on yhtä suuri kuin 17 ° 3 "59" ". Merkinnällä on toinen muoto 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Kulmien tarkkaan mittaamiseen käytetään mittauslaitetta, kuten astemittaria. Kun määritetään kulma ∠ A O B ja sen astemitta 110 astetta, käytetään kätevämpää merkintää ∠ A O B \u003d 110 °, joka kuuluu "Kulma A O B on 110 astetta."

Geometriassa käytetään kulman mittaa väliltä (0 , 180 ] ja trigonometriassa mielivaltainen astemitta ns. kääntökulmat. Kulmien arvo ilmaistaan ​​aina reaalilukuna. Oikea kulma on kulma, jossa on 90 astetta. Terävä kulma on kulma, joka on pienempi kuin 90 astetta, ja tylsä- enemmän.

Terävä kulma mitataan välissä (0, 90) ja tylppä kulma - (90, 180) . Kolme kulmatyyppiä on esitetty selkeästi alla.

Jokaisella kulman astemitalla on sama arvo. Suuremmalla kulmalla on suurempi astemitta kuin pienemmällä. Yhden kulman astemitta on kaikkien käytettävissä olevien sisäkulmien astemittojen summa. Alla oleva kuva esittää kulmaa AOB, joka koostuu kulmista AOC, COD ja DOB. Yksityiskohtaisesti se näyttää tältä: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Tämän perusteella voidaan päätellä, että summa kaikki vierekkäiset kulmat ovat 180 astetta koska ne kaikki muodostavat laajennetun kulman.

Tästä seuraa, että mikä tahansa pystykulmat ovat yhtä suuret. Jos tarkastellaan tätä esimerkillä, saadaan, että kulma A O B ja C O D ovat pystysuorat (piirustuksessa), niin kulmien A O B ja B O C, C O D ja B O C katsotaan vierekkäisiksi. Tällöin yhtälöä ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° yhdessä ∠ C O D + ∠ B O C = 180 °:n kanssa pidetään yksiselitteisesti tosi. Tästä syystä meillä on, että ∠ A O B = ∠ C O D . Alla on esimerkki pystysaaliiden kuvasta ja merkinnöistä.

Asteiden, minuuttien ja sekuntien lisäksi käytetään toista mittayksikköä. Sitä kutsutaan radiaani. Useimmiten se löytyy trigonometriasta, kun määritetään monikulmioiden kulmia. Mitä kutsutaan radiaaniksi.

Määritelmä 12

Yksi radiaanikulma kutsutaan keskikulmaksi, jonka ympyrän säde on yhtä suuri kuin kaaren pituus.

Kuvassa radiaani on kuvattu ympyränä, jossa on pisteellä osoitettu keskipiste, jossa kaksi ympyrän pistettä on yhdistetty ja muunnettu säteiksi O A ja O B. Määritelmän mukaan tämä kolmio A O B on tasasivuinen, mikä tarkoittaa että kaaren A B pituus on yhtä suuri kuin säteiden O B ja Oh A pituudet.

Kulman nimitys on "rad". Toisin sanoen 5 radiaanien merkintä on lyhenne 5 rad. Joskus voit löytää nimityksen, jolla on nimi pi. Radaanit eivät riipu tietyn ympyrän pituudesta, koska kuvioissa on jonkinlainen rajoitus kulman ja sen kaaren avulla, jonka keskipiste sijaitsee tietyn kulman kärjessä. Niitä pidetään samanlaisina.

Radiaaneilla on sama merkitys kuin asteilla, vain ero on niiden suuruudessa. Tämän määrittämiseksi on tarpeen jakaa keskikulman kaaren laskettu pituus sen säteen pituudella.

Käytännössä he käyttävät muuntaa asteet radiaaneiksi ja radiaanit asteiksi helpottamaan ongelmanratkaisua. Määritetyssä artikkelissa on tietoa astemitan ja radiaanin välisestä yhteydestä, jossa voit tutkia yksityiskohtaisesti käännöksiä asteesta radiaaniin ja päinvastoin.

Kaarien visuaaliseen ja kätevään kuvaamiseen käytetään kulmia, piirustuksia. Tiettyä kulmaa, kaaria tai nimeä ei aina ole mahdollista kuvata ja merkitä oikein. Samat kulmat on merkitty samankaltaisten kaarien muodossa ja epäyhtenäiset erilaisten kaarien muodossa. Piirustus näyttää terävien, yhtäläisten ja epätasaisten kulmien oikean merkinnän.

Kun yli 3 kulmaa on merkittävä, käytetään erityisiä kaarimerkintöjä, kuten aaltoileva tai rosoinen. Sillä ei ole niin väliä. Alla oleva kuva näyttää niiden nimeämisen.

Kulmien nimeämisen tulee olla yksinkertainen, jotta se ei häiritse muita arvoja. Tehtävää ratkaistaessa on suositeltavaa valita vain ratkaisemiseen tarvittavat kulmat, jotta koko piirustus ei sotkeudu. Tämä ei häiritse ratkaisua ja todistusta, ja antaa myös piirustukselle esteettisen ulkonäön.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter