Jatkamme matematiikan tenttiin sisältyvien tehtävien tarkastelua. Olemme jo tutkineet tehtäviä, joissa ehto on annettu ja vaaditaan kahden annetun pisteen välisen etäisyyden tai kulman löytäminen.

Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, muut pinnat ovat kolmioita ja niillä on yhteinen kärki.

Säännöllinen pyramidi on pyramidi, jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio ja jonka huippu on projisoitu pohjan keskelle.

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - kanta on neliö Pyramidin huippu heijastuu pohjan (neliön) lävistäjien leikkauspisteeseen.

ML - apothem
∠MLO - kaksitahoinen kulma pyramidin pohjassa
∠MCO - pyramidin sivureunan ja pohjan tason välinen kulma

Tässä artikkelissa tarkastelemme tehtäviä oikean pyramidin ratkaisemiseksi. On löydettävä mikä tahansa elementti, sivupinta-ala, tilavuus, korkeus. Tietenkin sinun on tiedettävä Pythagoran lause, kaava pyramidin sivupinnan pinta-alalle, kaava pyramidin tilavuuden löytämiseksi.

Artikkelissa « » esitetään kaavat, jotka ovat välttämättömiä stereometrian ongelmien ratkaisemiseksi. Tehtävät ovat siis:

SABCD piste O- pohjakeskusS kärki, NIIN = 51, AC= 136. Etsi sivureunaSC.

Tässä tapauksessa pohja on neliö. Tämä tarkoittaa, että lävistäjät AC ja BD ovat yhtä suuret, ne leikkaavat ja leikkauspisteen puolittaa ne. Huomaa, että tavallisessa pyramidissa sen huipulta laskettu korkeus kulkee pyramidin pohjan keskustan läpi. Joten SO on korkeus ja kolmioSOCsuorakulmainen. Sitten Pythagoraan lauseella:

Kuinka ottaa suuren luvun juuret.

Vastaus: 85

Päätä itse:

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, NIIN = 4, AC= 6. Etsi sivureuna SC.

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, SC = 5, AC= 6. Laske janan pituus NIIN.

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, NIIN = 4, SC= 5. Laske janan pituus AC.

SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 7 ja SR= 16. Laske sivupinta-ala.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta (apoteemi on säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen yläosasta vedettynä):

Tai voit sanoa näin: pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmen sivupinnan pinta-alojen summa. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnat ovat kolmioita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Tässä tapauksessa:

Vastaus: 168

Päätä itse:

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 1 ja SR= 2. Etsi sivupinnan pinta-ala.

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 1, ja sivupinta-ala on 3. Laske janan pituus SR.

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC L- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että SL= 2, ja sivupinta-ala on 3. Laske janan pituus AB.

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC M. Kolmion pinta-ala ABC on 25, pyramidin tilavuus on 100. Selvitä janan pituus NEITI.

Pyramidin kanta on tasasivuinen kolmio. Niin Mon pohjan keskipiste jaNEITI- säännöllisen pyramidin korkeusSABC. Pyramidin tilavuus SABC on yhtä kuin: tarkasta ratkaisu

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC kantamediaanit leikkaavat pisteessä M. Kolmion pinta-ala ABC on 3, NEITI= 1. Etsi pyramidin tilavuus.

Säännöllisessä kolmiopyramidissa SABC kantamediaanit leikkaavat pisteessä M. Pyramidin tilavuus on 1, NEITI= 1. Etsi kolmion pinta-ala ABC.

Lopetetaan tähän. Kuten näet, tehtävät ratkaistaan ​​yhdessä tai kahdessa vaiheessa. Tulevaisuudessa pohdimme kanssasi muita ongelmia tästä osasta, jossa vallankumouskappaleita annetaan, älä missaa sitä!

Toivon sinulle menestystä!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä teemasta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja koska tuleva arkkitehdin ammattimme on tästä hahmosta inspiroitunut, uskomme, että hän voi työntää meidät mahtaviin projekteihin.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus, niiden tärkein laatu. Yhdistämällä lujuus ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi suunnitteluratkaisujen ominaisuuksiin, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka on sille perusmuoto.

Toisin sanoen kyseessä on geometrinen hahmo, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrittää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Egyptiläisiä pyramideja on pitkään pidetty kestävimpänä arkkitehtonisena rakenteena. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee, kun korkeus maanpinnasta kasvaa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: oppia uutta pyramideista, syventää tietoa ja löytää käytännön sovelluksia.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Opi historiallista tietoa pyramidista

Tarkastellaan pyramidia geometrisena hahmona

Löydä sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

Etsi yhtäläisyyksiä ja eroja eri puolilla maailmaa sijaitsevien pyramidien välillä

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti muinaisessa Kreikassa. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus of Cnidus todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujensa" XII osassa ja toi esiin myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kehon hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka yhtyvät yhdestä tasosta yhdessä pisteessä.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa muinaisina aikoina pidettiin yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin pystyttäminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan järjettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttitoimi, jonka piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaana osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttipalkinnoista, jotka osoittautuivat itse pyramidiksi.

Peruskonseptit

Pyramidi Kutsutaan monitahoja, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen ylhäältä vedettynä;

Sivukasvot- yläosassa lähentyvät kolmiot;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

pyramidin huipulla- sivureunat yhdistävä piste, joka ei ole alustan tasossa;

Korkeus- kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin huippu ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin leikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin huipulle.

Oikean pyramidin pääominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoilla ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala.

Pyramidin sivupinnan (täysi ja katkaistu) pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

s- pohjan kehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S1 + S2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake Tilavuusasteikkoa käytetään kaikenlaisille pyramideille.

H on pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kulmia, jotka muodostuvat sivureunasta ja sen projektiosta alustan tasoon kutsutaan kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivupinnan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, jonka muodostavat pyramidin yhden pinnan kaksi sivureunaa, kutsutaan pyramidin yläkulmassa.

Pyramidin osiot

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten sekanttitason antama pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu erillisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin poikki kulkee pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja pohjan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Oikeassa pyramidissa:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista

Katkaistu pyramidi- pyramidin osa, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kannan tasoon katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan OSB:tä: OSB-suorakulmio, koska.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi - monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyvät yhdessä pisteessä. Toiminnallisen tarkoituksen mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautaus- tai palvontapaikka. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmio, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Tunnetaan huomattava määrä pyramideja, jotka muinaisen maailman eri kulttuurit ovat rakentaneet pääasiassa temppeleinä tai monumentteina. Suurimmat pyramidit ovat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptiläiset pyramidit ovat muinaisen Egyptin suurimpia arkkitehtonisia monumentteja, joista yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden, ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä.

Käänteistä pyramidia muistuttava radioaseman rakennus Slovakian pääkaupungissa on rakennettu vuonna 1983. Tilan sisällä on toimisto- ja palvelutilojen lisäksi melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista. .

Louvre, joka "on hiljainen ja majesteettinen kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia rikastetaan testamenttien tai ostojen kautta.

Määritelmä

Pyramidi on monikulmio, joka koostuu monikulmioista \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmioista, joilla on yhteinen kärki \(P\) (ei sijaitse monikulmion tasossa) ja vastakkaiset sivut, jotka ovat yhtäpitäviä monikulmion sivujen kanssa. monikulmio.
Nimitys: \(PA_1A_2...A_n\) .
Esimerkki: viisikulmainen pyramidi \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmiot \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. nimeltään sivupinnat pyramidit, segmentit \(PA_1, PA_2\) jne. - kylkiluut, monikulmio \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – perusta, piste \(P\) – kokous.

Korkeus Pyramidit ovat kohtisuora, joka on pudotettu pyramidin huipulta pohjan tasoon.

Pyramidia, jonka pohjassa on kolmio, kutsutaan tetraedri.

Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

\((a)\) pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret;

\(b)\) pyramidin korkeus kulkee rajatun ympyrän keskustan läpi lähellä kantaa;

\(c)\) sivurivat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

\(d)\) sivupinnat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

säännöllinen tetraedri on kolmiopyramidi, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita.

Lause

Ehdot \((a), (b), (c), (d)\) ovat vastaavat.

Todiste

Piirrä pyramidin korkeus \(PH\) . Olkoon \(\alpha\) pyramidin kannan taso.

1) Osoitetaan, että \((a)\) tarkoittaa \((b)\) . Olkoon \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Koska \(PH\perp \alpha\) , niin \(PH\) on kohtisuorassa mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden, joten kolmiot ovat suorakulmaisia. Nämä kolmiot ovat siis yhtä suuret yhteisessä haarassa \(PH\) ja hypotenuusassa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Joten \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tämä tarkoittaa, että pisteet \(A_1, A_2, ..., A_n\) ovat samalla etäisyydellä pisteestä \(H\) , joten ne sijaitsevat samalla ympyrällä, jonka säde on \(A_1H\) . Tämä ympyrä on määritelmän mukaan rajattu polygonin \(A_1A_2...A_n\) ympärille.

2) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja yhtä suuri kahdessa jalassa. Siksi niiden kulmat ovat myös yhtä suuret, joten \(\kulma PA_1H=\kulma PA_2H=...=\kulma PA_nH\).

3) Osoitetaan, että \((c)\) tarkoittaa \((a)\) .

Samanlainen kuin ensimmäinen piste, kolmiot \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja jalkaa pitkin ja terävä kulma. Tämä tarkoittaa, että niiden hypotenuusat ovat myös yhtä suuret, eli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((d)\) .

Koska säännöllisessä monikulmiossa rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden keskipisteet ovat samat (yleensä tätä pistettä kutsutaan säännöllisen monikulmion keskipisteeksi), jolloin \(H\) on piirretyn ympyrän keskipiste. Piirretään kohtisuorat pisteestä \(H\) kannan sivuille: \(HK_1, HK_2\) jne. Nämä ovat piirretyn ympyrän säteet (määritelmän mukaan). Sitten TTP:n mukaan (\(PH\) on kohtisuora tasoon nähden, \(HK_1, HK_2\) jne. ovat projektioita, jotka ovat kohtisuorassa sivuihin) vino \(PK_1, PK_2\) jne. kohtisuorassa sivuihin \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastaavasti. Siis määritelmän mukaan \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H\) yhtä suuri kuin sivupintojen ja pohjan väliset kulmat. Koska kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorassa kulmassa kahdella jalalla), sitten kulmat \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H, ...\) ovat tasavertaisia.

5) Osoitetaan, että \((d)\) tarkoittaa \((b)\) .

Samoin kuin neljäs piste, kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorakulmaisina jalkaa pitkin ja teräväkulmaisina), mikä tarkoittaa, että segmentit \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ovat tasavertaisia. Siten määritelmän mukaan \(H\) on kantaan kirjoitetun ympyrän keskipiste. Mutta siitä lähtien säännöllisissä monikulmioissa piirretyn ja rajatun ympyrän keskipisteet ovat samat, jolloin \(H\) on rajatun ympyrän keskipiste. Chtd.

Seuraus

Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteema.
Säännöllisen pyramidin kaikkien sivupintojen apoteemit ovat keskenään yhtä suuret ja ovat myös mediaaneja ja puolittajia.

Tärkeät muistiinpanot

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus putoaa kannan korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kolmio).

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus putoaa kannan diagonaalien leikkauspisteeseen (kanta on neliö).

3. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin korkeus putoaa kannan lävistäjien leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kuusikulmio).

4. Pyramidin korkeus on kohtisuorassa mihin tahansa pohjassa olevaan suoraan nähden.

Määritelmä

Pyramidi on ns suorakulmainen jos yksi sen sivureunoista on kohtisuorassa kannan tasoon nähden.

Tärkeät muistiinpanot

1. Suorakaiteen muotoisen pyramidin pohjaan nähden kohtisuorassa oleva reuna on pyramidin korkeus. Eli \(SR\) on korkeus.

2. Koska \(SR\) kohtisuorassa mihin tahansa tyvestä lähtevään viivaan nähden \(\triangle SRM, \triangle SRP\) ovat suorakulmaisia ​​kolmioita.

3. Kolmiot \(\kolmio SRN, \kolmio SRK\) ovat myös suorakaiteen muotoisia.
Toisin sanoen mikä tahansa kolmio, jonka muodostavat tämä reuna ja tämän reunan kärjestä lähtevä diagonaali, joka sijaitsee pohjassa, on suorakulmainen.

\[(\Large(\text(pyramidin tilavuus ja pinta-ala)))\]

Lause

Pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa pyramidin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulosta: \

Seuraukset

Olkoon \(a\) pohjan sivu, \(h\) pyramidin korkeus.

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on \(V_(\teksti(oikea kolmio pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Säännöllisen tetraedrin tilavuus on \(V_(\text(oikea tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Lause

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan ja apoteemin kehän tulosta.

\[(\Large(\teksti(Katkaistu pyramidi)))\]

Määritelmä

Tarkastellaan mielivaltaista pyramidia \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Piirretään taso, joka on yhdensuuntainen pyramidin pohjan kanssa tietyn pisteen läpi, joka sijaitsee pyramidin sivureunassa. Tämä taso jakaa pyramidin kahdeksi monitahoiseksi, joista toinen on pyramidi (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja toinen on ns. katkaistu pyramidi(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Katkaistulla pyramidilla on kaksi kantaa - polygonit \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\) , jotka ovat samankaltaisia ​​keskenään.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty jostakin ylemmän kannan pisteestä alemman pohjan tasoon.

Tärkeät muistiinpanot

1. Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

2. Jana, joka yhdistää säännöllisen katkaistun pyramidin (eli säännöllisen pyramidin poikkileikkauksella saadun pyramidin) kantojen keskipisteet on korkeus.

Hypoteesi: uskomme, että pyramidin muodon täydellisyys johtuu sen muotoon upotetuista matemaattisista laeista.

Kohde: tutkittuaan pyramidia geometrisena kappaleena selittääkseen sen muodon täydellisyyden.

Tehtävät:

1. Anna pyramidin matemaattinen määritelmä.

2. Tutki pyramidia geometrisena kappaleena.

3. Ymmärrä, mitä matemaattista tietoa egyptiläiset asettivat pyramideihinsa.

Yksityisiä kysymyksiä:

1. Mikä on pyramidi geometrisena kappaleena?

2. Miten pyramidin ainutlaatuinen muoto voidaan selittää matemaattisesti?

3. Mikä selittää pyramidin geometriset ihmeet?

4. Mikä selittää pyramidin muodon täydellisyyden?

Pyramidin määritelmä.

PYRAMIDI (kreikan sanasta pyramis, suku n. pyramidos) - monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki (kuva). Pohjan kulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​jne.

PYRAMIDI - monumentaalinen rakenne, jolla on pyramidin geometrinen muoto (joskus myös porrastettu tai tornin muotoinen). Muinaisten egyptiläisten faaraoiden jättimäisiä hautoja 3.–2. vuosituhannella eKr. kutsutaan pyramideiksi. kuten myös muinaiset amerikkalaiset temppelien jalustat (Meksikossa, Guatemalassa, Hondurasissa, Perussa), jotka liittyvät kosmologisiin kultteisiin.

On mahdollista, että kreikkalainen sana "pyramidi" tulee egyptiläisestä ilmaisusta per-em-us, eli termistä, joka tarkoitti pyramidin korkeutta. Tunnettu venäläinen egyptiologi V. Struve uskoi, että kreikkalainen "puram…j" tulee muinaisesta egyptiläisestä "p"-mr.

Historiasta. Tutkittuaan materiaalia Atanasyanin kirjoittajien oppikirjassa "Geometria". Butuzova ja muut, opimme, että: Monitahoista, joka koostuu n-kulmiosta A1A2A3 ... An ja n kolmiosta RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, kutsutaan pyramidiksi. Monikulmio A1A2A3 ... An on pyramidin kanta ja kolmiot RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ovat pyramidin sivupinnat, P on pyramidin huippu, segmentit RA1, RA2, .. ., RAn ovat sivureunat.

Tällaista pyramidin määritelmää ei kuitenkaan aina ollut olemassa. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen matemaatikko, meille tulleiden matematiikan teoreettisten tutkielmien kirjoittaja, Eukleides, määrittelee pyramidin kiinteäksi hahmoksi, jota rajoittavat tasot, jotka konvergoivat yhdestä tasosta yhteen pisteeseen.

Mutta tätä määritelmää on kritisoitu jo antiikissa. Joten Heron ehdotti seuraavaa pyramidin määritelmää: "Tämä on kuvio, jota rajoittavat yhdessä pisteessä lähentyvät kolmiot ja jonka kanta on monikulmio."

Ryhmämme, kun vertaili näitä määritelmiä, tuli siihen tulokseen, että heillä ei ole selkeää "säätiön" käsitettä.

Tutkimme näitä määritelmiä ja löysimme Adrien Marie Legendren määritelmän, joka vuonna 1794 työssään "Elements of Geometry" määrittelee pyramidin seuraavasti: "Pyramidi on kehon hahmo, jonka muodostavat kolmiot, jotka yhtyvät yhteen pisteeseen ja päättyvät pyramidin eri puolille. tasainen pohja.”

Meistä näyttää siltä, ​​​​että viimeinen määritelmä antaa selkeän käsityksen pyramidista, koska se viittaa siihen, että pohja on tasainen. Toinen pyramidin määritelmä ilmestyi 1800-luvun oppikirjaan: "pyramidi on avaruuskulma, jonka taso leikkaa."

Pyramidi geometrisena kappaleena.

Että. Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinoista (kanta) on monikulmio, muut pinnat (sivut) ovat kolmioita, joilla on yksi yhteinen kärki (pyramidin huippu).

Pyramidin huipulta pohjan tasoon vedettyä kohtisuoraa kutsutaan pitkäh pyramidit.

Mielivaltaisen pyramidin lisäksi on olemassa oikea pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja katkaistu pyramidi.

Kuvassa - pyramidi PABCD, ABCD - sen pohja, PO - korkeus.

Koko pinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sen pintojen pinta-alojen summaksi.

Täysi = Sside + Sbase, missä Sside on sivupintojen pinta-alojen summa.

pyramidin tilavuus löytyy kaavan mukaan:

V = 1/3Sbase h, missä Sosn. - perusalue h- korkeus.

Säännöllisen pyramidin akseli on suora viiva, joka sisältää sen korkeuden.
Apothem ST - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus.

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. =1/2P h, jossa P on kannan ympärysmitta, h- sivupinnan korkeus (säännöllisen pyramidin apoteemi). Jos pyramidin ylittää pohjan suuntainen taso A'B'C'D', niin:

1) sivureunat ja korkeus jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

2) leikkauksessa saadaan kantaa vastaava monikulmio A'B'C'D';

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Katkaistun pyramidin pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja ABCD ja A`B`C`D`, sivupinnat ovat puolisuunnikkaita.

Korkeus katkaistu pyramidi - tukien välinen etäisyys.

Katkaistu tilavuus pyramidi löytyy kaavasta:

V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala ilmaistaan ​​seuraavasti: Sivu. = ½(P+P') h, jossa P ja P' ovat kantajen ympärysmitat, h- sivupinnan korkeus (juhlien katkaiseman säännöllisen apoteemi

Pyramidin osat.

Pyramidin leikkaukset sen yläosan läpi kulkevien tasojen mukaan ovat kolmioita.

Pyramidin kahden ei-viereisen sivureunan läpi kulkevaa osaa kutsutaan diagonaalinen leikkaus.

Jos leikkaus kulkee sivureunassa ja pohjan sivulla olevan pisteen läpi, tämä sivu on sen jälki pyramidin pohjan tasossa.

Poikkileikkaus, joka kulkee pyramidin pinnalla sijaitsevan pisteen läpi ja osuuden tietty jälki pohjan tasossa, rakentaminen tulisi suorittaa seuraavasti:

etsi tietyn pinnan tason ja pyramidileikkauksen jäljen leikkauspiste ja nimeä se;

rakentaa tietyn pisteen ja tuloksena olevan leikkauspisteen kautta kulkeva suora;

· Toista nämä vaiheet seuraaville kasvoille.

, joka vastaa suorakulmaisen kolmion jalkojen suhdetta 4:3. Tämä jalkojen suhde vastaa hyvin tunnettua suorakulmaista kolmiota, jonka sivut ovat 3:4:5, jota kutsutaan "täydelliseksi", "pyhäksi" tai "egyptiläiseksi" kolmioksi. Historioitsijoiden mukaan "egyptiläiselle" kolmiolle annettiin maaginen merkitys. Plutarch kirjoitti, että egyptiläiset vertasivat maailmankaikkeuden luonnetta "pyhään" kolmioon; he vertasivat symbolisesti pystysuoraa jalkaa aviomieheen, pohjaa vaimoon ja hypotenuusa siihen, mikä on syntynyt molemmista.

Kolmiolle 3:4:5 yhtäläisyys on tosi: 32 + 42 = 52, mikä ilmaisee Pythagoraan lauseen. Eivätkö egyptiläiset papit halusivat jatkaa tätä lausetta pystyttämällä pyramidin kolmion 3:4:5 pohjalta? On vaikea löytää parempaa esimerkkiä havainnollistamaan Pythagoraan lausetta, jonka egyptiläiset tunsivat kauan ennen kuin Pythagoras löysi sen.

Niinpä Egyptin pyramidien nerokkaat luojat yrittivät tehdä vaikutuksen kaukaisiin jälkeläisiin tietonsa syvyydellä, ja he saavuttivat tämän valitsemalla Cheopsin pyramidin "geometriseksi pääideaksi" - "kultaisen" suorakulmaisen kolmion ja Khafren pyramidille - "pyhä" tai "egyptiläinen" kolmio.

Hyvin usein tutkijat käyttävät tutkimuksessaan pyramidien ominaisuuksia kultaisen leikkauksen mittasuhteilla.

Matemaattisessa tietosanakirjassa kultaleikkaukselle annetaan seuraava määritelmä - tämä on harmoninen jako, jako ääri- ja keskiarvosuhteessa - segmentin AB jako kahteen osaan siten, että suurin osa sen AC:stä on keskiarvo verrannollinen koko segmentin AB ja sen pienemmän osan CB välillä.

Janan kultaisen osan algebrallinen löytö AB = a pelkistyy yhtälön a ratkaisemiseksi: x = x: (a - x), jolloin x on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,62a. x-suhde voidaan ilmaista murto-osina 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, jossa 2, 3, 5, 8, 13, 21 ovat Fibonacci-lukuja.

Jakson AB kultaisen leikkauksen geometrinen rakentaminen suoritetaan seuraavasti: pisteessä B palautetaan kohtisuora AB:tä vastaan, segmentti BE \u003d 1/2 AB asetetaan sen päälle, A ja E yhdistetään, DE \ u003d BE lykätään ja lopuksi AC \u003d AD, sitten yhtälö AB täyttyy: CB = 2: 3.

Kultaista leikkausta käytetään usein taideteoksissa, arkkitehtuurissa ja sitä esiintyy luonnossa. Eläviä esimerkkejä ovat Apollo Belvederen veistos, Parthenon. Parthenonin rakentamisen aikana käytettiin rakennuksen korkeuden suhdetta sen pituuteen ja tämä suhde on 0,618. Myös ympärillämme olevat esineet tarjoavat esimerkkejä kultaisesta suhteesta, esimerkiksi monien kirjojen sidosten leveys-pituussuhde on lähellä 0,618. Kun tarkastellaan lehtien sijoittelua yhteiseen kasvin varteen, voidaan huomata, että jokaisen kahden lehtiparin välissä kolmas sijaitsee kultaisen suhteen (diat) paikalla. Jokainen meistä "käyttää" kultaista suhdetta "käsissämme" - tämä on sormien sormien suhde.

Useiden matemaattisten papyrusten löytämisen ansiosta egyptiläiset ovat oppineet jotain muinaisista egyptiläisistä lasku- ja mittausjärjestelmistä. Niiden sisältämät tehtävät ratkaisivat kirjanoppineet. Yksi tunnetuimmista on Rhindin matemaattinen papyrus. Näitä arvoituksia tutkimalla egyptiläiset oppivat, kuinka muinaiset egyptiläiset käsittelivät erilaisia ​​määriä, jotka syntyivät laskettaessa painon, pituuden ja tilavuuden mittareita, joissa käytettiin usein murtolukuja, sekä kuinka he käsittelivät kulmia.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät kulmien laskentamenetelmää, joka perustui suorakulmaisen kolmion korkeuden ja pohjan suhteeseen. Ne ilmaisivat minkä tahansa kulman gradientin kielellä. Kaltevuusgradientti ilmaistiin kokonaisluvun suhteena, jota kutsutaan "sekediksi". Richard Pillins selittää teoksessa Mathematics in the Time of the Pharaohs: "Säännöllisen pyramidin seked on minkä tahansa neljän kolmion pinnan kaltevuus pohjan tasoon nähden, mitattuna n:nnellä vaakayksiköiden lukumäärällä pystysuoraa korkeusyksikköä kohti. . Siten tämä mittayksikkö vastaa nykyistä kaltevuuskulmamme kotangenttiamme. Siksi egyptiläinen sana "seked" liittyy nykyaikaiseen sanaamme "gradientti".

Pyramidien numeerinen avain on niiden korkeuden suhteessa pohjaan. Käytännössä tämä on helpoin tapa tehdä malleja, joita tarvitaan oikean kallistuskulman jatkuvaan tarkistamiseen koko pyramidin rakentamisen ajan.

Egyptologit vakuuttaisivat meidät mielellään siitä, että jokainen faarao halusi ilmaista yksilöllisyytensä, mistä johtuu kunkin pyramidin kaltevuuskulmaerot. Mutta syy voi olla toinenkin. Ehkä he kaikki halusivat ilmentää erilaisia ​​symbolisia assosiaatioita eri suhteissa. Kuitenkin Khafren pyramidin kulma (perustuu kolmioon (3:4:5) näkyy Rhindin matemaattisen papyruksen pyramidien esittämissä kolmessa tehtävässä). Joten tämä asenne oli hyvin tuttu muinaisille egyptiläisille.

Ollakseni oikeudenmukainen egyptologeja kohtaan, jotka väittävät, että muinaiset egyptiläiset eivät tienneet 3:4:5-kolmiota, oletetaan, että hypotenuusan 5 pituutta ei koskaan mainittu. Mutta pyramideja koskevat matemaattiset ongelmat ratkaistaan ​​aina kulman - korkeuden suhteen pohjaan - perusteella. Koska hypotenuusan pituutta ei koskaan mainittu, pääteltiin, että egyptiläiset eivät koskaan laskeneet kolmannen sivun pituutta.

Muinaiset egyptiläiset tiesivät epäilemättä Gizan pyramideissa käytetyt korkeuden ja pohjan suhteet. On mahdollista, että nämä suhteet kullekin pyramidille valittiin mielivaltaisesti. Tämä on kuitenkin ristiriidassa numeerisen symbolismin merkityksen kanssa kaikenlaisessa egyptiläisessä kuvataiteessa. On hyvin todennäköistä, että tällaisilla suhteilla oli suuri merkitys, koska ne ilmaisivat erityisiä uskonnollisia ajatuksia. Toisin sanoen koko Gizan kompleksi oli johdonmukaisen suunnittelun kohteena, joka oli suunniteltu heijastamaan jonkinlaista jumalallista teemaa. Tämä selittäisi, miksi suunnittelijat valitsivat kolmelle pyramidille eri kulmat.

Orionin salaisuudessa Bauval ja Gilbert esittivät vakuuttavia todisteita Gizan pyramidien yhteydestä Orionin tähdistöyn, erityisesti Orionin vyön tähtiin. Sama tähdistö on läsnä myytissä Isis ja Osiris, ja on syytä pitää jokaista pyramidia kuvana yhdestä kolmesta pääjumaluudesta - Osiris, Isis ja Horus.

IHMEÄ "GEOMETRIA".

Egyptin mahtavien pyramidien joukossa on erityinen paikka Farao Cheopsin suuri pyramidi (Khufu). Ennen kuin siirrymme Cheopsin pyramidin muodon ja koon analysointiin, meidän tulisi muistaa, mitä mittajärjestelmää egyptiläiset käyttivät. Egyptiläisillä oli kolme pituusyksikköä: "kyynärää" (466 mm), joka vastaa seitsemää "kämmentä" (66,5 mm), mikä puolestaan ​​​​vastaa neljää "sormea" (16,6 mm).

Analysoidaan Cheops-pyramidin kokoa (kuva 2) ukrainalaisen tiedemiehen Nikolai Vasjutinskin upeassa kirjassa "Kultainen osuus" (1990) annettujen perustelujen mukaisesti.

Useimmat tutkijat ovat yhtä mieltä siitä, että esimerkiksi pyramidin pohjan sivun pituus GF on yhtä suuri kuin L\u003d 233,16 m. Tämä arvo vastaa lähes täsmälleen 500 "kyynärää". Täysi noudattaminen 500 "kyynärää" on, jos "kyynärän" pituudeksi katsotaan 0,4663 m.

Pyramidin korkeus ( H) on tutkijoiden arvioitu eri tavalla 146,6-148,2 m. Ja riippuen pyramidin hyväksytystä korkeudesta, kaikki sen geometristen elementtien suhteet muuttuvat. Mistä johtuu pyramidin korkeusarvion erot? Tosiasia on, että tarkasti ottaen Cheopsin pyramidi on katkaistu. Sen ylälava on nykyään kooltaan noin 10 ´ 10 m ja sata vuotta sitten 6 ´ 6 m. On ilmeistä, että pyramidin huippu on purettu, eikä se vastaa alkuperäistä.

Pyramidin korkeutta arvioitaessa on otettava huomioon sellainen fyysinen tekijä kuin rakenteen "luonnos". Pitkän aikaa valtavan paineen vaikutuksesta (joka saavutti 500 tonnia 1 m2 alapinnalla) pyramidin korkeus laski alkuperäiseen korkeuteen verrattuna.

Mikä oli pyramidin alkuperäinen korkeus? Tämä korkeus voidaan luoda uudelleen, jos löydät pyramidin "geometrisen perusidean".

Kuva 2.

Vuonna 1837 englantilainen eversti G. Wise mittasi pyramidin pintojen kaltevuuskulman: se osoittautui yhtä suureksi kuin a= 51°51". Useimmat tutkijat tunnistavat tämän arvon vielä tänäkin päivänä. Kulman ilmoitettu arvo vastaa tangenttia (tg a), yhtä suuri kuin 1,27306. Tämä arvo vastaa pyramidin korkeuden suhdetta AC puoleen sen pohjasta CB(Kuva 2), so. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja tässä tutkijoilla oli suuri yllätys!.png" width="25" height="24">= 1,272. Vertaamalla tätä arvoa tg-arvoon a= 1,27306, näemme, että nämä arvot ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos otamme kulman a\u003d 51 ° 50", eli pienentääksesi sitä vain yhdellä kaaren minuutilla, sitten arvo a tulee yhtä suureksi kuin 1,272, eli se osuu yhteen arvon kanssa. On huomattava, että vuonna 1840 G. Wise toisti mittauksensa ja selvensi, että kulman arvo a=51°50".

Nämä mittaukset johtivat tutkijat seuraavaan erittäin mielenkiintoiseen hypoteesiin: Cheopsin pyramidin kolmio ASV perustui suhteeseen AC / CB = = 1,272!

Harkitse nyt suorakulmaista kolmiota ABC, jossa jalkojen suhde AC / CB= (Kuva 2). Jos nyt suorakulmion sivujen pituudet ABC tarkoittaa x, y, z, ja ota myös huomioon, että suhde y/x= , sitten Pythagoraan lauseen mukaisesti pituus z voidaan laskea kaavalla:

Jos hyväksyt x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Kuva 3"Kultainen" suorakulmainen kolmio.

Suorakulmainen kolmio, jonka sivut liittyvät toisiinsa kuten t:kultainen" suorakulmainen kolmio.

Sitten, jos otamme pohjaksi hypoteesin, että Cheops-pyramidin tärkein "geometrinen idea" on "kultainen" suorakulmainen kolmio, niin täältä on helppo laskea Cheops-pyramidin "suunnittelu" korkeus. Se on yhtä suuri kuin:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Johdetakaamme nyt joitain muita suhteita Kheopsin pyramidille, jotka seuraavat "kultaisesta" hypoteesista. Erityisesti löydämme pyramidin ulkopinta-alan suhteen sen pohjan pinta-alaan. Tätä varten otamme jalan pituuden CB yksikköä kohti, eli: CB= 1. Mutta sitten pyramidin pohjan sivun pituus GF= 2 ja pohjan pinta-ala EFGH tulee olemaan yhtä suuri kuin SEFGH = 4.

Lasketaan nyt Cheops-pyramidin sivupinnan pinta-ala SD. Koska korkeus AB kolmio AEF on yhtä suuri kuin t, niin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri SD = t. Sitten pyramidin kaikkien neljän sivupinnan kokonaispinta-ala on 4 t, ja pyramidin ulkoisen kokonaispinta-alan suhde pohjapinta-alaan on yhtä suuri kuin kultainen suhde! Sitä se on - Cheopsin pyramidin tärkein geometrinen salaisuus!

Cheopsin pyramidin "geometristen ihmeiden" ryhmään kuuluvat pyramidin eri ulottuvuuksien välisen suhteen todelliset ja keksityt ominaisuudet.

Yleensä ne saadaan etsimällä jotain "vakiota", erityisesti numeroa "pi" (Ludolf-luku), joka on yhtä suuri kuin 3,14159...; luonnollisten logaritmien kantaluvut "e" (Napierin luku) ovat 2,71828...; luku "F", "kultaisen leikkauksen" numero on esimerkiksi 0,618 ... jne.

Voit nimetä esimerkiksi: 1) Herodotuksen omaisuus: (Korkeus) 2 \u003d 0,5 st. pää x Apothem; 2) V:n omaisuus. Hinta: Korkeus: 0,5 st. osn \u003d "Ф":n neliöjuuri; 3) M. Eistin ominaisuus: Pohjan ympärysmitta: 2 Korkeus = "Pi"; eri tulkinnassa - 2 rkl. pää : Korkeus = "Pi"; 4) G. Reberin ominaisuus: Piirretyn ympyrän säde: 0,5 st. pää = "F"; 5) K. Kleppishin omaisuus: (St. Main.) 2: 2 (st. Main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (St. Main. x Apothem) : (( 2. pää X Apothem) + (st. main) 2). Jne. Voit keksiä monia tällaisia ​​ominaisuuksia, varsinkin jos yhdistät kaksi vierekkäistä pyramidia. Esimerkiksi "A. Arefjevin ominaisuuksina" voidaan mainita, että ero Kheopsin pyramidin ja Khafren pyramidin tilavuuksien välillä on kaksi kertaa Menkauren pyramidin tilavuus...

Monia mielenkiintoisia säännöksiä, erityisesti koskien pyramidien rakentamista "kultaisen leikkauksen" mukaan, on esitetty D. Hambidgen "Dynamic Symmetry in Architecture" ja M. Geekin kirjoissa "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Muista, että "kultainen leikkaus" on segmentin jako sellaisessa suhteessa, kun osa A on yhtä monta kertaa suurempi kuin osa B, kuinka monta kertaa A on pienempi kuin koko segmentti A + B. Suhde A / B on yhtä suuri kuin luku "Ф" == 1,618. .. "Kultaleikkauksen" käyttö on osoitettu ei vain yksittäisissä pyramideissa, vaan koko Gizan pyramidikompleksissa.

Mielenkiintoisin asia on kuitenkin se, että yksi ja sama Cheopsin pyramidi "ei voi" sisältää niin monia upeita ominaisuuksia. Kun otat tietyn ominaisuuden yksitellen, voit "säätää" sitä, mutta kerralla ne eivät sovi - ne eivät ole samat, ne ovat ristiriidassa keskenään. Siksi, jos esimerkiksi kaikkia ominaisuuksia tarkasteltaessa otetaan alun perin yksi ja sama puoli pyramidin pohjasta (233 m), myös eri ominaisuuksien omaavien pyramidien korkeudet ovat erilaisia. Toisin sanoen on olemassa tietty "perhe" pyramideja, jotka ovat ulkoisesti samanlaisia ​​kuin Cheopsilla, mutta vastaavat erilaisia ​​ominaisuuksia. Huomaa, että "geometrisissa" ominaisuuksissa ei ole mitään erityisen ihmeellistä - paljon syntyy puhtaasti automaattisesti, itse hahmon ominaisuuksista. "Ihme" tulee pitää vain jotain ilmeisen mahdotonta muinaisille egyptiläisille. Tämä sisältää erityisesti "kosmiset" ihmeet, joissa Cheopsin pyramidin tai Gizan pyramidikompleksin mittoja verrataan joihinkin tähtitieteellisiin mittauksiin ja esitetään "parilliset" numerot: miljoona kertaa, miljardi kertaa vähemmän ja pian. Tarkastellaanpa joitain "kosmisia" suhteita.

Yksi lauseista on tämä: "Jos jaamme pyramidin pohjan sivun tarkalla vuoden pituudella, saamme täsmälleen 10 miljoonasosan maan akselista." Laske: jaa 233 luvulla 365, saamme 0,638. Maan säde on 6378 km.

Toinen väite on itse asiassa edellisen vastakohta. F. Noetling huomautti, että jos käytät hänen keksimäänsä "egyptiläistä kyynärpäätä", pyramidin sivu vastaa "aurinkovuoden tarkinta kestoa, ilmaistuna lähimpään vuorokauden miljardisosaan" - 365.540.903.777 .

P. Smithin lausunto: "Pyramidin korkeus on täsmälleen yksi miljardisosa etäisyydestä Maan ja Auringon välillä." Vaikka korkeudeksi yleensä otetaan 146,6 m, Smith otti sen 148,2 m. Nykyaikaisten tutkamittausten mukaan maan kiertoradan puolipääakseli on 149 597 870 + 1,6 km. Tämä on keskimääräinen etäisyys Maan ja Auringon välillä, mutta perihelionissa se on 5 000 000 kilometriä pienempi kuin aphelionissa.

Viimeinen utelias lausunto:

"Kuinka selittää, että Cheopsin, Khafren ja Menkauren pyramidien massat liittyvät toisiinsa, kuten planeettojen Maa, Venus ja Mars massat?" Lasketaan. Kolmen pyramidin massat ovat suhteessa toisiinsa: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolmen planeetan massojen suhteet: Venus - 0,815; Maa - 1 000; Mars - 0,108.

Joten, skeptisisyydestä huolimatta, huomioikaa lausuntojen rakentamisen tunnettu harmonia: 1) pyramidin korkeus "avaruuteen menevänä" viivana - vastaa etäisyyttä Maan ja Auringon välillä; 2) pyramidin pohjan "substraattia" lähimpänä oleva puoli, eli Maata, vastaa maan säteestä ja maan kierrosta; 3) pyramidin tilavuudet (lue - massat) vastaavat Maata lähimpänä olevien planeettojen massojen suhdetta. Samanlainen "salaus" voidaan jäljittää esimerkiksi mehiläiskielellä, jonka on analysoinut Karl von Frisch. Emme kuitenkaan toistaiseksi kommentoi tätä.

PYRAMIDIEN MUOTO

Pyramidien kuuluisa tetraedrinen muoto ei ilmestynyt heti. Skytialaiset hautasivat maakukkuloiden - kumpujen - muodossa. Egyptiläiset rakensivat kivestä "kukkulia" - pyramideja. Tämä tapahtui ensimmäistä kertaa Ylä- ja Ala-Egyptin yhdistämisen jälkeen, 2700-luvulla eKr., jolloin III-dynastian perustaja, faarao Djoser (Zoser), joutui maan yhtenäisyyden vahvistamiseen.

Ja täällä historioitsijoiden mukaan tsaarin "uudella jumaluuskonseptilla" oli tärkeä rooli keskusvallan vahvistamisessa. Vaikka kuninkaalliset hautaukset erottuivat suuremmasta loistosta, ne eivät periaatteessa eronneet hoviaatelisten haudoista, ne olivat samoja rakenteita - mastabas. Muumion sisältävän sarkofagin kammion yläpuolelle kaadettiin suorakaiteen muotoinen pienistä kivistä koostuva kukkula, johon sitten asetettiin pieni rakennus suurista kivipaloista - "mastaba" (arabiaksi - "penkki"). Edeltäjänsä Sanakhtin mastaban paikalle farao Djoser pystytti ensimmäisen pyramidin. Se oli porrastettu ja oli näkyvä siirtymävaihe yhdestä arkkitehtonisesta muodosta toiseen, mastabasta pyramidiin.

Tällä tavalla faaraon "kasvatti" viisas ja arkkitehti Imhotep, jota myöhemmin pidettiin taikurina ja kreikkalaiset tunnistivat jumalan Asklepioksen. Oli kuin kuusi mastabaa olisi pystytetty peräkkäin. Lisäksi ensimmäinen pyramidi miehitti alueen 1125 x 115 metriä, ja sen arvioitu korkeus oli 66 metriä (egyptiläisten mittojen mukaan - 1000 "kämmentä"). Aluksi arkkitehti suunnitteli rakentavansa mastaban, mutta ei pitkulaisen, vaan neliömäisen. Myöhemmin sitä laajennettiin, mutta koska laajennus tehtiin alemmas, muodostui ikään kuin kaksi porrasta.

Tämä tilanne ei tyydyttänyt arkkitehtuuria, ja valtavan litteän mastaban ylätasolle Imhotep asetti kolme lisää, laskeen vähitellen ylöspäin. Hauta oli pyramidin alla.

Useita porrastettuja pyramideja tunnetaan, mutta myöhemmin rakentajat siirtyivät rakentamaan tutumpia tetraedrisiä pyramideja. Miksei kuitenkaan kolmiomainen tai vaikkapa kahdeksankulmainen? Epäsuoran vastauksen antaa se tosiasia, että melkein kaikki pyramidit on suunnattu täydellisesti neljään pääpisteeseen ja siksi niillä on neljä sivua. Lisäksi pyramidi oli "talo", nelikulmaisen hautakammion kuori.

Mutta mikä aiheutti kasvojen kaltevuuskulman? Kirjassa "Suhteellisuusperiaate" on koko luku omistettu tälle: "Mikä voisi määrittää pyramidien kulmat." Erityisesti on osoitettu, että "kuva, johon vanhan valtakunnan suuret pyramidit vetoavat, on kolmio, jonka yläosassa on suora kulma.

Avaruudessa se on puolioktaedri: pyramidi, jossa pohjan reunat ja sivut ovat yhtä suuret, pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Tästä aiheesta on tiettyjä pohdintoja Hambidgen, Geekin ja muiden kirjoissa.

Mitä hyötyä puolioktaedrin kulmasta on? Arkeologien ja historioitsijoiden kuvausten mukaan jotkut pyramidit romahtivat oman painonsa alla. Tarvittiin "kestävyyskulma", kulma, joka oli energeettisesti luotettavin. Puhtaasti empiirisesti tämä kulma voidaan ottaa kärkikulmasta murenevan kuivan hiekan kasassa. Mutta saadaksesi tarkkoja tietoja, sinun on käytettävä mallia. Kun otat neljä lujasti kiinnitettyä palloa, sinun on asetettava viides niiden päälle ja mitattava kaltevuuskulmat. Tässä voit kuitenkin tehdä virheen, joten teoreettinen laskelma auttaa: sinun tulee yhdistää pallojen keskustat viivoilla (henkisesti). Pohjassa saat neliön, jonka sivu on kaksi kertaa säde. Neliö on vain pyramidin kanta, jonka reunojen pituus on myös kaksi kertaa säde.

Siten tiheä 1:4-tyyppisten pallojen pakkaus antaa meille säännöllisen puolioktaedrin.

Miksi monet pyramidit, jotka vetoavat kohti samanlaista muotoa, eivät kuitenkaan säilytä sitä? Todennäköisesti pyramidit ovat vanhenemassa. Vastoin kuuluisaa sanontaa:

"Kaikki maailmassa pelkää aikaa, ja aika pelkää pyramideja", pyramidien rakennusten täytyy ikääntyä, ne voivat ja niiden tulee tapahtua paitsi ulkoisen sään prosesseja, myös sisäisiä "kutistumisprosesseja" , josta pyramidit voivat laskea. Kutistuminen on mahdollista myös siksi, että kuten D. Davidovitsin teoksista selvisi, muinaiset egyptiläiset käyttivät tekniikkaa tehdä lohkoja kalkkilastuista, toisin sanoen "betonista". Juuri nämä prosessit voisivat selittää syyn Kairosta 50 km etelään sijaitsevan Medum-pyramidin tuhoutumiseen. Se on 4600 vuotta vanha, pohjan mitat ovat 146 x 146 m, korkeus 118 m. "Miksi se on niin silvottu?" kysyy V. Zamarovsky. "Tavalliset viittaukset ajan tuhoisiin vaikutuksiin ja "kiven käyttöön muissa rakennuksissa" eivät sovi tähän.

Loppujen lopuksi suurin osa sen lohkoista ja päällyslaatoista on edelleen paikoillaan, sen juurella olevissa raunioissa. "Kuten tulemme näkemään, monet säännökset saavat jopa ajattelemaan, että myös kuuluisa Cheopsin pyramidi" kutistui ". Joka tapauksessa , kaikissa muinaisissa kuvissa pyramidit ovat teräviä ...

Pyramidien muoto voidaan luoda myös jäljitelmällä: joitain luonnollisia kuvioita, "ihmeellistä täydellisyyttä", esimerkiksi joitain kiteitä oktaedrin muodossa.

Tällaiset kiteet voivat olla timantti- ja kultakiteitä. Suuri määrä "leikkautuvia" merkkejä sellaisille käsitteille kuin farao, aurinko, kulta, timantti on ominaista. Kaikkialla - jalo, loistava (loistava), upea, virheetön ja niin edelleen. Yhtäläisyydet eivät ole sattumaa.

Kuten tiedätte, aurinkokultti oli tärkeä osa muinaisen Egyptin uskontoa. "Riippumatta siitä, kuinka käännämme suurimman pyramidin nimen, - se mainitaan yhdessä nykyaikaisista käsikirjoista - "Sky Khufu" tai "Sky Khufu", se tarkoitti, että kuningas on aurinko. Jos Khufu, voimansa loistossa, kuvitteli olevansa toinen aurinko, hänen poikansa Jedef-Ra tuli ensimmäinen Egyptin kuninkaista, joka alkoi kutsua itseään "Ra-pojaksi", eli Auringon pojaksi. Melkein kaikki kansat symboloivat aurinkoa "aurinkometallina", kullana. "Iso kirkkaan kullan levy" - niin egyptiläiset kutsuivat päivänvaloamme. Egyptiläiset tunsivat kullan erittäin hyvin, he tunsivat sen alkuperäiset muodot, joissa kultakiteet voivat ilmaantua oktaedrien muodossa.

"Muotonäytteenä" "aurinkokivi" - timantti - on myös mielenkiintoinen täällä. Timantin nimi tuli juuri arabimaailmasta, "almas" - vaikein, vaikein, tuhoutumaton. Muinaiset egyptiläiset tiesivät timantin ja sen ominaisuudet ovat melko hyvät. Joidenkin kirjoittajien mukaan he käyttivät jopa pronssiputkia timanttileikkureilla poraamiseen.

Etelä-Afrikka on nykyään tärkein timanttien toimittaja, mutta Länsi-Afrikka on myös runsaasti timantteja. Malin tasavallan aluetta kutsutaan siellä jopa "timanttimaaksi". Samaan aikaan Dogon asuu Malin alueella, jonka kanssa paleovisit-hypoteesin kannattajat panevat monia toiveita (katso alla). Timantit eivät voineet olla syynä muinaisten egyptiläisten yhteyksiin tälle alueelle. Kuitenkin tavalla tai toisella on mahdollista, että juuri kopioimalla timanttien ja kultakiteiden oktaedreja muinaiset egyptiläiset jumalallistivat faaraot, "tuhoutumattomia" kuin timantti ja "loistavia" kuin kulta, Auringon poikia. vain luonnon upeimpien luomusten kanssa.

Johtopäätös:

Tutkittuamme pyramidia geometrisena kappaleena, tutustumalla sen elementteihin ja ominaisuuksiin, olimme vakuuttuneita pyramidin muodon kauneudesta annetun mielipiteen pätevyydestä.

Tutkimuksemme tuloksena tulimme siihen tulokseen, että egyptiläiset, kerättyään arvokkaimman matemaattisen tiedon, sisälsivät sen pyramidiin. Siksi pyramidi on todella luonnon ja ihmisen täydellisin luomus.

BIBLIOGRAFIA

"Geometria: Proc. 7-9 solulle. Yleissivistävä koulutus oppilaitokset \ jne. - 9. painos - M .: Koulutus, 1999

Matematiikan historia koulussa, M: "Enlightenment", 1982

Geometria luokka 10-11, M: "Enlightenment", 2000

Peter Tompkins "Cheopsin suuren pyramidin salaisuudet", M: "Centropoligraph", 2005

Internet-resurssit

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen nimi kolmiopyramidille - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinta-ala.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikkia pisteitä yhdistää yksi yhteinen ominaisuus: tavalla tai toisella sivupinnat ovat mukana kaikkialla (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjaa kohti
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistettuja korkeuteen