Vastaus: sarja eroaa.

Esimerkki #3

Etsi sarjan $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ summa.

Koska summauksen alaraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Muodosta sarjan n:s osasumma, ts. summaa annetun numeerisen sarjan ensimmäiset $n$ jäsenet:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Miksi kirjoitan täsmälleen $\frac(2)(3\cdot 5)$, enkä $\frac(2)(15)$, se selviää jatkoselostuksesta. Osasumman kirjaaminen ei kuitenkaan tuonut meitä hivenenkään lähemmäksi maalia. Loppujen lopuksi meidän on löydettävä $\lim_(n\to\infty)S_n$, mutta jos kirjoitamme:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

silloin tämä tietue, joka on muodoltaan täysin oikea, ei anna meille mitään pohjimmiltaan. Rajan löytämiseksi osasummalauseketta on ensin yksinkertaistettava.

Tätä varten on olemassa standardimuunnos, joka koostuu sarjan yhteistä termiä edustavan murto-osan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ jakamisesta alkeismurtoiksi. Erillinen aihe on omistettu rationaalisten murtolukujen jakamisesta alkeisosiksi (katso esimerkiksi esimerkki nro 3 tällä sivulla). Laajentamalla murto-osan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ alkeismurtoluvuiksi saamme:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Yhdistämme tuloksena olevan yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien murtolukujen osoittajat:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

On kaksi tapaa löytää $A$ ja $B$ arvot. Voit avata sulut ja järjestää termit uudelleen tai voit yksinkertaisesti korvata joitakin sopivia arvoja $n$:n sijasta. Muutoksen vuoksi tässä esimerkissä mennään ensimmäistä tapaa ja seuraavaksi - korvaamme $n$:n yksityiset arvot. Laajennamalla sulkuja ja järjestämällä termit uudelleen, saamme:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Yhtälön vasemmalla puolella $n$ edeltää nolla. Jos haluat, yhtälön vasen puoli voidaan esittää selvyyden vuoksi muodossa $0\cdot n+ 2$. Koska yhtälön $n$ vasemmalla puolella on nolla ja yhtälön $2A+2B$ oikealla puolella ennen $n$, meillä on ensimmäinen yhtälö: $2A+2B=0$. Jaamme välittömästi tämän yhtälön molemmat osat kahdella, minkä jälkeen saamme $A+B=0$.

Koska vapaa termi yhtälön vasemmalla puolella on 2 ja yhtälön oikealla puolella vapaa termi on yhtä suuri kuin $3A+B$, niin $3A+B=2$. Meillä on siis järjestelmä:

$$ \left\(\begin(tasattu) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(tasattu)\oikea. $$

Todistus suoritetaan matemaattisen induktion menetelmällä. Ensimmäisessä vaiheessa meidän on tarkistettava, päteekö vaadittu yhtälö $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ arvolle $n=1$. Tiedämme, että $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, mutta antaako lauseke $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ arvon $\frac( 2 )(15)$ jos siihen korvataan $n=1$? Tarkistetaan:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Joten, $n=1$ yhtälö $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ täyttyy. Tämä suorittaa matemaattisen induktion menetelmän ensimmäisen vaiheen.

Oletetaan, että $n=k$ yhtälö pätee, ts. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Osoitetaan, että sama yhtälö pätee myös $n=k+1$. Voit tehdä tämän harkitsemalla $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Koska $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, niin $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Yllä olevan oletuksen mukaan $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, joten kaava $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ kestää lomake:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ murto(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Johtopäätös: kaava $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ on tosi, kun $n=k+1$. Siksi kaava $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ pätee matemaattisen induktion menetelmän mukaan mille tahansa $n\in N$:lle. Tasa-arvo on todistettu.

Korkeamman matematiikan peruskurssilla yleensä tyydytään "poistamaan" peruutusehdot ilman todisteita. Joten, saimme lausekkeen n:nnelle osasummalle: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Etsi $\lim_(n\to\infty)S_n$ arvo:

Johtopäätös: annettu sarja konvergoi ja sen summa on $S=\frac(1)(3)$.

Toinen tapa on yksinkertaistaa osasumman kaavaa.

Ollakseni rehellinen, pidän itsekin enemmän tästä menetelmästä :) Kirjoitetaanpa osasumma lyhennetyssä muodossa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Saimme aiemmin, että $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, joten:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\oikea). $$

Summa $S_n$ sisältää rajallisen määrän termejä, joten voimme järjestää ne uudelleen haluamallamme tavalla. Haluan ensin lisätä kaikki muodon $\frac(1)(2k+1)$ ehdot ja vasta sitten siirtyä muodon $\frac(1)(2k+3)$ termeihin. Tämä tarkoittaa, että esitämme osittaisen summan tässä muodossa:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Tietenkin laajennettu merkintätapa on erittäin hankala, joten yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa tiiviimmin:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Nyt muunnetaan lausekkeet $\frac(1)(2k+1)$ ja $\frac(1)(2k+3)$ samaan muotoon. Mielestäni on kätevää saada se näyttämään suuremmalta fraktiolta (vaikka pienempääkin voi käyttää, se on makuasia). Koska $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (mitä suurempi nimittäjä, sitä pienempi murtoluku), pienennämme murtolukua $\frac(1)(2k+ 3) $ muotoon $\frac(1)(2k+1)$.

Esitän lausekkeen murtoluvun $\frac(1)(2k+3)$ nimittäjässä seuraavasti:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Ja summa $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ voidaan nyt kirjoittaa näin:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jos yhtälö $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ei herätä kysymyksiä, niin mennään pidemmälle. Jos sinulla on kysyttävää, laajenna huomautusta.

Kuinka saimme muunnetun summan? näytä piilota

Meillä oli sarja $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Otetaan uusi muuttuja $k+1$ sijaan - esimerkiksi $t$. Joten $t=k+1$.

Miten vanha muuttuja $k$ muuttui? Ja se muuttui 1:stä $n$:ksi. Selvitetään kuinka uusi muuttuja $t$ muuttuu. Jos $k=1$, niin $t=1+1=2$. Jos $k=n$, niin $t=n+1$. Joten lauseke $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ on nyt: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

Meillä on summa $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Kysymys: onko väliä mitä kirjainta tässä summassa käytetään? :) Kun kirjoitat kolmesti $k$-kirjaimen $t$:n sijaan, saamme seuraavan:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Näin yhtälö $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) saadaan \frac(1)(2k+1)$.

Siten osasumma voidaan esittää seuraavassa muodossa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Huomaa, että summat $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ja $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ eroavat vain summauksen rajoissa. Tehdään näistä rajoituksista samat. "Otetaan" ensimmäinen elementti summasta $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$, saadaan:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Otetaan" viimeinen elementti summasta $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, saamme:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$

Sitten osasumman lauseke saa muotoa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jos ohitat kaikki selitykset, n:nnen osasumman lyhennetyn kaavan löytäminen tapahtuu seuraavassa muodossa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Muistutan teitä siitä, että pelkistimme murtoluvun $\frac(1)(2k+3)$ muotoon $\frac(1)(2k+1)$. Tietysti voit tehdä päinvastoin, ts. edustaa murto-osaa $\frac(1)(2k+1)$ muodossa $\frac(1)(2k+3)$. Osasumman lopullinen lauseke ei muutu. Tässä tapauksessa piilotan osittaisen summan etsimisen setelin alle.

Kuinka löytää $S_n$, jos muutat eri murto-osan muotoon? näytä piilota

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\oikea) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) ). $$

Joten $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Etsi raja $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Annettu sarja konvergoi ja sen summa on $S=\frac(1)(3)$.

Vastaus: $S=\frac(1)(3)$.

Sarjan summan löytämisen aiheen jatkoa tarkastellaan toisessa ja kolmannessa osassa.

Olkoon ääretön lukujono u1, u2, u3…

Lauseketta u1+ u2+ u3…+ un (1) kutsutaan numeeriseksi sarjaksi ja sen komponenttien luvut ovat sarjan jäseniä.

Sarjan ensimmäisten ehtojen äärellisen luvun n summaa kutsutaan sarjan n:nneksi osasummaksi: Sn = u1+..+un

Jos substantiivi. äärellinen raja: silloin sitä kutsutaan sarjan summaksi ja sanotaan, että sarja konvergoi, jos sellaista rajaa ei ole, niin sanotaan, että sarja hajoaa eikä sillä ole summaa.

2 Geometriset ja aritmeettiset sarjat

Sarja, joka koostuu äärettömän geometrisen progression jäsenistä, ns. geometrinen:
tai

a+ aq +…+aq n -1

a  0 q:n ensimmäinen termi on nimittäjä. Rivin summa:

siksi sarjan osasummien sarjan äärellinen raja riippuu suuresta q

Mahdolliset tapaukset:

1 |q|<1

eli joukko skhd-sya ja sen summa
2 |q|>1
ja summan raja on myös ääretön

eli sarja eroaa.

3 kun q = 1, saadaan sarja: a+a+…+a… Sn = na
sarja eroaa

4 q1:lle sarja näyttää tältä: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 parilliselle n:lle, Sn=a paritolle n, osasummille ei ole rajaa. rivi eroaa.

Tarkastellaan aritmeettisen progression äärettömien jäsenten sarjaa:
u on ensimmäinen termi, d on ero. Rivin summa

mille tahansa u1:lle ja d:lle sekä  0 että sarja eroaa aina.

3 C-va konvergenttisarja

Olkoon kaksi sarjaa: u1+u2+…un = (1) ja v1+v2+…vn = (2)

Sarjan (1) tulo luvulla   R ja sarjalla: u1+u2+…un = (3)

Takarivin (1) ja (2) rivien summa:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(eron vuoksi on vain ulkonäkö)

T1 Yleisestä kertoimesta

Jos sarja (1) konvergoi ja sen summa = S, niin mille tahansa luvulle  sarja = myös konvergoi ja sen summa S’ = S Jos sarja (1) hajoaa ja   0, niin sarja myös eroaa. Eli yhteinen tekijä ei vaikuta sarjan eroihin.

T2 Jos sarjat (1) ja (2) konvergoivat ja niiden summat = S ja S’, sarja:
myös konvergoi ja jos  on sen summa, niin  = S+S’. Toisin sanoen suppenevia sarjoja voidaan lisätä ja vähentää termi kerrallaan. Jos sarja (1) suppenee ja sarja (2) hajoaa, niin myös niiden summa (tai erotus) hajoaa. Mutta jos molemmat rivit eroavat toisistaan. silloin niiden summa (tai erotus) voi joko poiketa (jos un=vn) tai lähentyä (jos un=vn)

Riville (1) riville
kutsutaan sarjan n:nneksi jäännökseksi. Jos tämä sarjan jäännös konvergoi, niin sen summa merkitään: r n =

T3 Jos sarja suppenee, niin mikä tahansa sen jäännös konvergoi, jos jokin sarjan jäännös konvergoi, niin sarja itse konvergoi. Lisäksi kokonaissumma = sarjan Sn + r n osasumma

Muuttaminen, samoin kuin äärellisen määrän termien hylkääminen tai lisääminen, ei vaikuta sarjan konvergenssiin (divergenssiin).

4 Sarjojen konvergenssin välttämätön kriteeri

Jos sarja konvergoi, niin sen yhteisen termin raja on nolla:

Asiakirja:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, joten:

Tämä etumerkki on vain välttämätön, mutta ei riittävä, eli jos yhteisen termin raja on yhtä suuri kuin nolla, ei ole lainkaan välttämätöntä, että sarjat konvergoivat tässä tapauksessa. Näin ollen tämä ehto, jos se ei täyty, on toisaalta riittävä ehto sarjan poikkeamiselle.

5 Sarjojen konvergenssin integraalimerkki. Dirichlet rivi

T1 Anna olla (1), jonka termit eivät ole negatiivisia eivätkä kasva: u1>=u2>=u3…>=un

Jos on olemassa funktio f(x), joka on ei-negatiivinen, jatkuva ja ei kasva siten, että f(n) = Un,  n  N, niin sarjan (1) konvergoimiseksi on välttämätöntä, että und on riittävä väärän integraalin konvergoimiseksi:
, ja eroa varten riittää ja tarpeellista, että tämä integraali päinvastoin hajoaa (WOW!).

Sovelletaan tätä ominaisuutta Dirichlet-sarjan tutkimiseen: Tässä se on: ,  R Tätä sarjaa kutsutaan yleistetyksi harmoniseksi sarjaksi, kun  >0 tämän sarjan yhteinen termi on un=1/n  0 ja pienenee, joten voit käyttää integraaliominaisuutta, funktio tässä on funktio f(x)=1/x  ( x>=1) tämä funktio täyttää Lauseen 1 ehdot, joten Dirichlet-sarjan konvergenssi (divergenssi) on yhtä suuri kuin integraalin divergenssin konvergenssi:

Kolme tapausta on mahdollista:

1  >1,

Integraali ja siten sarja konvergoivat.

Integraali ja sarja eroavat toisistaan

Integraali ja sarja eroavat toisistaan

Perusmääritelmät.

Määritelmä. Kutsutaan äärettömän lukujonon ehtojen summaa numeerinen sarja.

Samaan aikaan numerot
kutsutaan sarjan jäseniksi, ja u n on sarjan yhteinen jäsen.

Määritelmä. Summat
,n = 1, 2, … nimeltään yksityisiä (osittaisia) määriä rivi.

Siten on mahdollista tarkastella sarjan osasummien sekvenssejä S 1 , S 2 , …, S n , …

Määritelmä. Rivi
nimeltään lähentyvä jos sen osasummien jono konvergoi. Suppenevan sarjan summa on sen osasummien sarjan raja.

Määritelmä. Jos sarjan osasummien järjestys poikkeaa, ts. ei ole rajaa tai sillä on ääretön raja, niin sarjaa kutsutaan poikkeava eikä hänelle ole määrätty mitään summaa.

rivin ominaisuudet.

1) Sarjan lähentymistä tai eroa ei rikota, jos muutat, hylkäät tai lisäät rajallisen määrän termejä sarjaan.

2) Tarkastellaan kahta riviä
ja
, jossa C on vakioluku.

Lause. Jos rivi
konvergoi ja sen summa onS, sitten rivi
myös konvergoi, ja sen summa on CS. (C  0)

3) Harkitse kahta riviä
ja
.summa tai ero näitä rivejä kutsutaan riviksi
, jossa alkiot saadaan samoilla numeroilla olevien alkuperäisten alkioiden yhteen- (vähennys) tuloksena.

Lause. Jos rivit
ja
suppenevat ja niiden summat ovat vastaavasti yhtä suuret.Sja , sitten rivi
myös konvergoi ja sen summa on yhtä suuriS +  .

Kahden suppenevan sarjan ero on myös konvergentti sarja.

Konvergentin ja divergentin sarjan summa on divergenttisarja.

Kahden erilaisen sarjan summasta on mahdotonta antaa yleistä lausuntoa.

Sarjoja tutkittaessa ratkaistaan ​​pääasiassa kaksi ongelmaa: konvergenssitutkimus ja sarjan summan löytäminen.

Cauchyn kriteeri.

(tarvittavat ja riittävät edellytykset sarjan lähentymiselle)

Järjestyksen mukaan
oli konvergentti, se on välttämätöntä ja riittävää kaikille
siellä oli numeroN, joka klon > Nja mikä tahansas> 0, jossa p on kokonaisluku, seuraava epäyhtälö olisi voimassa:

.

Todiste. (tarve)

Anna olla
, sitten mille tahansa numerolle
on sellainen luku N, että epäyhtälö

suoritetaan n>N:lle. Jos n>N ja mikä tahansa kokonaisluku p>0, epäyhtälö pätee myös
. Kun otetaan huomioon molemmat epätasa-arvot, saamme:

Tarve on todistettu. Emme ota huomioon todisteita riittävyydestä.

Muotoillaan sarjalle Cauchyn kriteeri.

Numeron järjestyksessä
oli konvergentti tarpeellista ja riittävää kaikille
siellä oli numeroNsellainen, että klon> Nja mikä tahansas>0 tyydyttäisi epätasa-arvon

.

Käytännössä ei kuitenkaan ole kovin kätevää käyttää Cauchyn kriteeriä suoraan. Siksi yleensä käytetään yksinkertaisempia lähentymiskriteerejä:

1) Jos rivi
lähentyy, on välttämätöntä, että yhteinen termi u n painottuu nollaa kohti. Tämä ehto ei kuitenkaan ole riittävä. Voimme vain sanoa, että jos yhteinen termi ei pyri nollaan, sarja poikkeaa täsmälleen. Esimerkiksi niin sanottu harmoninen sarja on erilainen, vaikka sen yhteinen termi on yleensä nolla.

Esimerkki. Tutki sarjan konvergenssia

Etsitään
- välttämätön konvergenssikriteeri ei täyty, joten sarja hajoaa.

2) Jos sarja konvergoi, niin sen osasummien sarja on rajoitettu.

Tämä ominaisuus ei kuitenkaan riitä.

Esimerkiksi sarja 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… poikkeaa, koska sen osasummien järjestys poikkeaa siitä syystä, että

Tässä tapauksessa osasummien järjestys on kuitenkin rajoitettu, koska
mille tahansa n.

Sarja ei-negatiivisilla termeillä.

Kun tutkimme sarjoja vakiomerkillä, rajoitamme tarkastelemaan sarjoja, joissa on ei-negatiivisia termejä, koska kun yksinkertaisesti kerrotaan -1:llä, näitä sarjoja voidaan käyttää negatiivisten termien sarjojen saamiseksi.

Lause. Sarjan lähentymisen vuoksi
ei-negatiivisilla termeillä on välttämätöntä ja riittävää, että sarjan osasummat on rajoitettu.

Merkki sarjojen vertailusta ei-negatiivisten jäsenten kanssa.

Olkoon kaksi riviä
ja
klo u n , v n  0 .

Lause. Jos u n  v n mille tahansa n, sitten sarjan konvergenssista
seuraa sarjan lähentymistä
, ja sarjan eroista
seuraa sarjan eroa
.

Todiste. Merkitse S n ja  n sarjojen osasummat
ja
. Koska lauseen mukaan sarja
konvergoi, silloin sen osasummat ovat rajallisia, ts. kaikille n n  M, missä M on jokin luku. Mutta siitä lähtien u n  v n, sitten S n   n sitten sarjan osasummat
ovat myös rajalliset, ja tämä riittää konvergenssiin.

Esimerkki. Tutki konvergenssisarjoja

Koska
, ja harmoninen sarja eroaa, sitten sarja eroaa
.

Esimerkki.

Koska
, ja rivi
konvergoi (laskeva geometrinen progressio), sitten sarja
myös lähentyy.

Käytetään myös seuraavaa konvergenssikriteeriä:

Lause. Jos
ja siinä on raja
, missähon nollasta poikkeava luku, sitten sarja
ja
käyttäytyä samalla tavalla konvergenssin suhteen.

d'Alembertin merkki.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - ranskalainen matemaatikko)

Jos kyseessä on sarja
positiivisilla termeillä on lukuq<1, что для всех достаточно больших nepätasa-arvoa

sitten rivi
konvergoi, jos kaikille riittävän suurinkunto

sitten rivi
eroaa.

d'Alembertin rajoittava merkki.

Rajoittava d'Alembert-testi on seurausta yllä olevasta d'Alembert-testistä.

Jos on raja
, sitten klo < 1 ряд сходится, а при  > 1 - poikkeaa. Jos = 1, niin konvergenssikysymykseen ei voida vastata.

Esimerkki. Määritä sarjan konvergenssi .

Johtopäätös: sarja lähentyy.

Esimerkki. Määritä sarjan konvergenssi

Johtopäätös: sarja lähentyy.

Cauchy merkki. (radikaali ominaisuus)

Jos kyseessä on sarja
ei-negatiivisten termien kanssa on olemassa numeroq<1, что для всех достаточно больших nepätasa-arvoa

,

sitten rivi
konvergoi, jos kaikille riittävän suurinepätasa-arvoa

sitten rivi
eroaa.

Seuraus. Jos on raja
, sitten klo <1 ряд сходится, а при >1 rivi erottuu.

Esimerkki. Määritä sarjan konvergenssi
.

Johtopäätös: sarja lähentyy.

Esimerkki. Määritä sarjan konvergenssi
.

Nuo. Cauchyn kriteeri ei vastaa kysymykseen sarjan konvergenssista. Tarkastakaamme tarvittavien konvergenssiehtojen täyttyminen. Kuten edellä mainittiin, jos sarja konvergoi, sarjan yhteinen termi on yleensä nolla.

,

näin ollen konvergenssin välttämätön ehto ei täyty, mikä tarkoittaa, että sarja hajoaa.

Integral Cauchyn testi.

Jos (x) on jatkuva positiivinen funktio, joka pienenee välissä ja
sitten integraalit
ja
käyttäytyä samalla tavalla konvergenssin suhteen.

Muuttuvat rivit.

Vaihtelevat rivit.

Vuorotteleva sarja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

missä

Leibnizin merkki.

Jos vuorotteleva sarja absoluuttiset arvotu i vähentää
ja yleinen termi on yleensä nolla
, sitten sarja lähentyy.

Sarjojen absoluuttinen ja ehdollinen konvergenssi.

Harkitse joitain vuorottelevia sarjoja (mielivaltaisten merkkien termeillä).

(1)

ja sarja, joka koostuu sarjan ehtojen absoluuttisista arvoista (1):

(2)

Lause. Sarjojen (2) konvergenssi tarkoittaa sarjan (1) konvergenssia.

Todiste. Sarja (2) on ei-negatiivisten termien vieressä. Jos sarja (2) konvergoi, niin Cauchyn kriteerin mukaan mille tahansa >0:lle on olemassa luku N siten, että n>N:lle ja mille tahansa kokonaisluvulle p>0 seuraava epäyhtälö on tosi:

Absoluuttisten arvojen ominaisuuden mukaan:

Eli Cauchyn kriteerin mukaan sarjan (2) konvergenssi merkitsee sarjan (1) konvergenssia.

Määritelmä. Rivi
nimeltään täysin konvergoivaa jos sarja lähentyy
.

Ilmeisesti vakiomerkkisarjoissa konvergenssin ja absoluuttisen konvergenssin käsitteet ovat samat.

Määritelmä. Rivi
nimeltään ehdollisesti konvergoivaa, jos se lähentyy, ja sarja
eroaa.

d'Alembertin ja Cauchyn testit vuorotteleville sarjoille.

Anna olla
- vuorottelevat sarjat.

d'Alembertin merkki. Jos on raja
, sitten klo <1 ряд
on ehdottoman konvergentti, ja kun >

Cauchy merkki. Jos on raja
, sitten klo <1 ряд
on ehdottoman konvergentti, ja kun >1 sarja on divergentti. Kun =1, merkki ei anna vastausta sarjan konvergenssista.

Täysin konvergenttien sarjojen ominaisuudet.

1) Lause. Sarjan absoluuttiselle lähentymiselle
on välttämätöntä ja riittävää, että se voidaan esittää kahden ei-negatiivisin termin konvergentin sarjan erotuksena.

Seuraus. Ehdollisesti konvergentti sarja on kahden divergentin sarjan erotus, joiden ei-negatiiviset termit pyrkivät nollaan.

2) Suppenevassa sarjassa mikä tahansa sarjan ehtojen ryhmittely, joka ei muuta niiden järjestystä, säilyttää sarjan konvergenssin ja koon.

3) Jos sarja konvergoi absoluuttisesti, niin siitä millä tahansa termien permutaatiolla saatu sarja konvergoi myös absoluuttisesti ja niillä on sama summa.

Järjestämällä ehdollisesti suppenevan sarjan ehdot uudelleen voidaan saada ehdollisesti konvergentti sarja, jolla on mikä tahansa ennalta määrätty summa, ja jopa divergentti sarja.

4) Lause. Millä tahansa absoluuttisesti konvergentin sarjan jäsenten ryhmittelyllä (tässä tapauksessa ryhmien lukumäärä voi olla sekä äärellinen että ääretön ja jäsenten lukumäärä ryhmän äärellinen tai ääretön) saadaan konvergentti sarja, summa josta on yhtä suuri kuin alkuperäisen sarjan summa.

5) Jos rivit ja suppenevat absoluuttisesti ja niiden summat ovat vastaavasti yhtä suuret. S ja , sitten sarja, joka koostuu kaikista muodon tuloksista
missä tahansa järjestyksessä otettuna myös konvergoi absoluuttisesti ja sen summa on yhtä suuri kuin S - kerrotun sarjan summien tulo.

Jos kuitenkin kerrotaan ehdollisesti konvergentti sarja, tuloksena voi olla divergentti sarja.

Toiminnalliset sekvenssit.

Määritelmä. Jos sarjan jäsenet eivät ole numeroita, vaan funktioita alkaen X, niin sarja on nimeltään toimiva.

Funktionaalisten sarjojen konvergenssin tutkiminen on vaikeampaa kuin numeeristen sarjojen tutkiminen. Sama funktionaalinen sarja voi muuttujan samoilla arvoilla X lähentyvät ja toisissa - eroavat. Siksi kysymys funktionaalisten sarjojen konvergenssista rajoittuu muuttujan näiden arvojen määrittämiseen X joiden osalta sarja yhtyy.

Tällaisten arvojen joukkoa kutsutaan lähentymisalue.

Koska jokaisen sarjan konvergenssialueeseen sisältyvän funktion raja on tietty luku, funktionaalisen sekvenssin raja on tietty funktio:

Määritelmä. Jakso ( f n (x) } lähentyy toimia f(x) janalla , jos mille tahansa numerolle >0 ja mille tahansa pisteelle X tarkasteltavasta segmentistä on olemassa luku N = N(, x), jolloin epäyhtälö

suoritetaan n>N:lle.

Valitulla arvolla >0 janan jokainen piste vastaa omaa numeroaan ja siksi janan kaikkia pisteitä vastaavia lukuja tulee olemaan ääretön määrä. Jos valitset suurimman kaikista näistä luvuista, tämä luku sopii segmentin kaikkiin pisteisiin, ts. on yhteinen kaikille kohdille.

Määritelmä. Jakso ( f n (x) } yhtyy tasaisesti toimia f(x) välillä, jos jollakin luvulla >0 on luku N = N(), jolloin epäyhtälö

suoritetaan n>N:lle kaikille janan pisteille.

Esimerkki. Harkitse järjestystä

Tämä sekvenssi konvergoi koko lukuakselilla funktioon f(x)=0 , koska

Piirretään tämä sekvenssi:

sinx

Kuten näkyy, määrä kasvaa n sekvenssikaavio lähestyy akselia X.

toimivat rivit.

Määritelmä. Yksityiset (osittaiset) summat toiminnallinen alue
funktioita kutsutaan

Määritelmä. Toiminnallinen alue
nimeltään lähentyvä kohdassa ( x=x 0 ) jos sen osasummien jono konvergoi tässä vaiheessa. Sekvenssirajoitus
nimeltään summa rivi
pisteessä X 0 .

Määritelmä. Kaikkien arvojen joukko X, jonka osalta sarja lähentyy
nimeltään lähentymisalue rivi.

Määritelmä. Rivi
nimeltään tasaisesti suppenevia segmentillä, jos tämän sarjan osasummien jono konvergoi tasaisesti tälle segmentille.

Lause. (Cauchy-kriteeri sarjan tasaiselle konvergenssille)

Sarjan tasaista lähentymistä varten
tarpeellista ja riittävää jokaiselle numerolle >0 oli sellainen lukuN( ), joka klon> Nja mikä tahansa kokonaisuuss>0 eriarvoisuutta

pätee kaikille x:lle segmentissä [a, b].

Lause. (Weierstrassin yhtenäinen konvergenssitesti)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - saksalainen matemaatikko)

Rivi
konvergoi tasaisesti ja ehdottomasti segmentissä [a, b], jos sen jäsenten moduulit samassa segmentissä eivät ylitä positiivisten jäsenten konvergentin numeerisen sarjan vastaavia jäseniä:

nuo. on epätasa-arvo:

.

He sanovat myös, että tässä tapauksessa toiminnallinen sarja
pääaineenaan numeerinen sarja
.

Esimerkki. Tutki konvergenssisarjoja
.

Kuten
se on aina selvää
.

Tiedetään, että yleinen harmoninen sarja konvergoi, kun =3>1, silloin Weierstrassin testin mukaan tutkittava sarja konvergoi tasaisesti ja lisäksi millä tahansa aikavälillä.

Esimerkki. Tutki konvergenssisarjoja .

Janalla [-1,1] epäyhtälö
nuo. Weierstrassin testin mukaan tutkittava sarja suppenee tällä segmentillä ja hajoaa intervalleilla (-, -1)  (1, ).

Tasaisesti konvergenttien sarjojen ominaisuudet.

1) Lause sarjan summan jatkuvuudesta.

Jos sarjan jäsenet
- jatkuva aikavälillä [a, b]-funktio ja sarja konvergoi tasaisesti, sitten sen summaS(x) on jatkuva funktio segmentillä [a, b].

2) Lause sarjan termikohtaisesta integroinnista.

Tasaisesti suppeneva segmentillä [a, b] sarjat jatkuvilla termeillä voidaan integroida termi kerrallaan tälle segmentille, ts. sarja, joka koostuu sen termien integraaleista intervallin [a, b] , konvergoi sarjan summan integraaliin tällä välillä.

3) Lause sarjan termikohtaisesta differentiaatiosta.

Jos sarjan jäsenet
lähentymässä segmenttiin [a, b] ovat jatkuvia funktioita jatkuvilla derivaatoilla ja näistä derivaatoista koostuva sarja
konvergoi tasaisesti tällä välillä, silloin myös annettu sarja konvergoi tasaisesti ja voidaan erottaa termeiltä.

Perustuu siihen, että sarjan summa on jokin muuttujan funktio X, voit suorittaa funktion esittämisen sarjana (funktion laajentaminen sarjaksi), jota käytetään laajalti integroinnissa, eriyttämisessä ja muissa funktioita koskevissa operaatioissa.

Käytännössä käytetään usein funktioiden laajentamista potenssisarjassa.

Power-sarja.

Määritelmä. teho seuraavaksi kutsutaan sarjaksi

.

Potenttisarjojen konvergenssin tutkimiseen on kätevää käyttää d'Alembert-testiä.

Esimerkki. Tutki konvergenssisarjoja

Käytämme d'Alembert-merkkiä:

.

Huomaamme, että tämä sarja lähentyy
ja eroaa klo
.

Nyt määritellään konvergenssi rajapisteissä 1 ja –1.

Jos x = 1:
Sarja konvergoi Leibnizin testin mukaan (ks. Leibnizin merkki.).

Jos x = -1:
sarja poikkeaa (harmoninen sarja).

Abelin lauseet.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - norjalainen matemaatikko)

Lause. Jos tehosarja
yhtyy klox = x 1 , sitten se konvergoi ja lisäksi ehdottomasti kaikille
.

Todiste. Lauseen ehdon mukaan, koska sarjan ehdot ovat siis rajoitetut

missä k on jokin vakioluku. Seuraava epätasa-arvo on totta:

Tästä eriarvoisuudesta sen näkee x< x 1 sarjamme jäsenten numeeriset arvot ovat pienempiä (joka tapauksessa ei enempää) kuin vastaavat sarjan jäsenet yllä kirjoitetun epäyhtälön oikealla puolella, jotka muodostavat geometrisen progression. Tämän etenemisen nimittäjä lauseen ehdon mukaan on pienempi kuin yksi, joten tämä eteneminen on konvergentti sarja.

Siksi vertailutestin perusteella päättelemme, että sarja
konvergoi, mikä tarkoittaa sarjaa
yhtyy täysin.

Jos siis tehosarja
konvergoi jossain kohdassa X 1 , silloin se konvergoi absoluuttisesti missä tahansa pituuden 2 välin pisteessä keskitetty johonkin pisteeseen X = 0.

Seuraus. Jos klo x = x 1 sarja eroaa, sitten se eroaa kaikille
.

Siten jokaiselle potenssisarjalle on olemassa positiivinen luku R siten, että kaikille X sellasta
Sarja konvergoi ehdottomasti ja kaikille
rivi eroaa. Tässä tapauksessa kutsutaan numeroa R lähentymissäde. Väliä (-R, R) kutsutaan konvergenssiväli.

Huomaa, että tämä aikaväli voi olla joko suljettu yhdeltä tai kahdelta puolelta, mutta ei suljettu.

Konvergenssisäde voidaan löytää kaavalla:

Esimerkki. Etsi sarjan konvergenssialue

Konvergenssisäteen löytäminen
.

Siksi tämä sarja konvergoi mille tahansa arvolle X. Tämän sarjan yleinen termi on yleensä nolla.

Lause. Jos tehosarja
lähentyy positiiviseen arvoon x=x 1 , niin se konvergoi tasaisesti millä tahansa aikavälillä sisällä
.

Toiminnot tehosarjoilla.

1. Lukusarjat: peruskäsitteet, sarjan konvergenssin välttämättömät ehdot. Loput rivistä.

2. Sarjat, joissa on positiivisia termejä ja merkkejä niiden lähentymisestä: vertailun merkit, d'Alembert, Cauchy.

3. Vuorottelevat rivit, Leibnizin testi.

1. Numerosarjan määritelmä. Lähentyminen

Matemaattisissa sovelluksissa sekä joidenkin taloustieteen, tilastotieteen ja muiden alojen ongelmien ratkaisemisessa huomioidaan summia, joissa on ääretön määrä termejä. Tässä määritellään, mitä tällaisilla määrillä tarkoitetaan.

Olkoon ääretön numeerinen sarja

Määritelmä 1.1. Numeerinen sarja tai yksinkertaisesti lähellä kutsutaan muodon lausekkeeksi (summaksi).

. (1.1)

Numerot nimeltään numeron jäseniä, –yleistä tai nth rivin jäsen.

Sarjan (1.1) asettamiseksi riittää, että asetetaan luonnollisen argumentin funktio laskettaessa sarjan :nnes jäsen sen numerolla

Esimerkki 1.1. Anna olla . Rivi

(1.2)

nimeltään harmoninen sarja.

Esimerkki 1.2. Anna Row

(1.3)

nimeltään yleistetty harmoninen sarja. Tietyssä tapauksessa klo , saadaan harmoninen sarja.

Esimerkki 1.3. Olkoon =. Rivi

nimeltään geometrisen progression vieressä.

Sarjan (1.1) ehdoista muodostetaan numeerinen osittaisen sekvenssin määriä missä - sarjan ensimmäisten ehtojen summa, jota kutsutaan n-ja osasumma, eli

…………………………….

…………………………….

Numerosarja määräämättömällä lisäyksellä se voi:

1) niillä on rajallinen raja;

2) ei ole äärellistä rajaa (rajaa ei ole olemassa tai se on yhtä suuri kuin ääretön).

Määritelmä 1.2. Sarjaa (1.1) kutsutaan lähentyvä, jos sen osasummien jonolla (1.5) on äärellinen raja, ts.

Tässä tapauksessa numeroon soitetaan summa sarja (1.1) ja on kirjoitettu

Määritelmä 1.3. Sarjaa (1.1) kutsutaan poikkeava, jos sen osasummien sekvenssillä ei ole äärellistä rajaa.

Poikkeavalle sarjalle ei ole määritetty summaa.

Siten suppenevan sarjan (1.1) summan löytämisen ongelma vastaa sen osasummien sarjan rajan laskemista.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1.4. Todista, että sarja

konvergoi ja löytää sen summan.

Etsitään annetun sarjan n:s osasumma.

Yhteinen jäsen edustamme sarjaa muodossa .

Siksi meillä on: . Siksi tämä sarja konvergoi ja sen summa on yhtä suuri kuin 1:

Esimerkki 1.5. Tutki konvergenssisarjoja

Tälle riville

. Siksi tämä sarja eroaa.

Kommentti. Sillä Sarja (1.6) on äärettömän määrän nollia summa ja on ilmeisesti konvergentti.

2. Numerosarjan perusominaisuudet

Äärillisen määrän termien summan ominaisuudet eroavat sarjan ominaisuuksista, eli äärettömän määrän termien summasta. Joten, jos termejä on äärellinen, ne voidaan ryhmitellä mihin tahansa järjestykseen, tämä ei muuta summaa. On konvergenttisarjoja (ehdollisesti suppenevia, joita tarkastellaan luvussa 5), ​​joille, kuten Riemann osoitti * , muuttamalla niiden jäsenten järjestystä asianmukaisesti, sarjan summa voidaan tehdä yhtä suureksi kuin mikä tahansa luku ja jopa divergentti sarja.

Esimerkki 2.1. Tarkastellaan muodon (1.7) divergenttiä sarjaa

Ryhmittelemällä sen jäsenet pareiksi saamme konvergentin lukusarjan, jonka summa on nolla:

Toisaalta ryhmittelemällä sen jäsenet pareittain toisesta jäsenestä alkaen saadaan myös konvergentti sarja, mutta summalla yksi:

Suppenevilla sarjoilla on tiettyjä ominaisuuksia, joiden avulla voimme käsitellä niitä ikään kuin ne olisivat äärellisiä summia. Joten ne voidaan kertoa luvuilla, lisätä ja vähentää termiltä termiltä. Ne voivat yhdistää ryhmiksi mitä tahansa vierekkäisiä termejä.

Lause 2.1.(Tarvittava kriteeri sarjan lähentymiselle).

Jos sarja (1.1) suppenee, niin sen yleinen termi pyrkii nollaan, kun n kasvaa loputtomasti, ts.

Lauseen todistus seuraa siitä tosiasiasta, että , ja jos

S on siis sarjan (1.1) summa

Ehto (2.1) on välttämätön, mutta ei riittävä ehto sarjan lähentymiselle. Eli jos sarjan yhteinen termi pyrkii olemaan nolla kohdassa , tämä ei tarkoita, että sarja konvergoi. Esimerkiksi harmoniselle sarjalle (1.2) kuitenkin, kuten alla osoitetaan, se eroaa.