A.V. Glasco

LUENTOT MATEMAATILISESTA ANALYYSIIN

"ALUETOIMINNAT JA RAJAT"

Moskova, MSTU im. N.E. Bauman

§yksi. looginen symboliikka.

Kun kirjoitamme matemaattisia lausekkeita, käytämme seuraavia loogisia symboleja:

	Merkitys		Merkitys
			Kaikille, kaikille, kaikille (alkaen
			On, on, on (olemassa)
			sisältää, seuraa (siis)
			Vastaavasti jos ja vain jos
			tarpeellista ja riittävää
Joten jos A ja B ovat propositioita, niin

			Merkitys
			A tai B (tai A tai B tai molemmat A ja B)
			Jokaiselle x:lle meillä on A
			On x, jolle A pätee
			A:sta seuraa B (jos A on tosi, niin B on tosi)
(seuraamus)
			A vastaa B:tä, A esiintyy vain jos B esiintyy,
			A on välttämätön ja riittävä B:lle
	Kommentti. "A B" tarkoittaa, että A riittää B:lle ja B on välttämätön A:lle.

Esimerkki. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Joskus käytämme toista erikoismerkkiä: A =df B.

Se tarkoittaa, että A = B määritelmän mukaan.

§2. Sarjat. Sarjan elementit ja osat.

Joukon käsite on ensisijainen käsite, jota ei määritellä yksinkertaisemmilla käsitteillä. Sanat: joukko, perhe, joukko ovat sen synonyymejä.

Esimerkkejä sarjoista: monia opiskelijoita luokassa, monia opettajia osastolla, paljon autoja parkkipaikalla jne.

Pääkäsitteet ovat myös käsitteitä set elementti ja suhteet

joukon elementtien välillä.

Esimerkki. N on luonnollisten lukujen joukko, sen alkiot ovat luvut 1,2,3, ... Jos x ja y ovat N:n alkioita, niin ne ovat jossakin seuraavista suhteista: x = y, x y.

Suostumme merkitsemään joukot isoilla kirjaimilla: A, B, C, X, Y, … ja niiden elementit pienillä kirjaimilla: a, b, c, x, y, …

Elementtien tai joukkojen väliset suhteet ilmaistaan ​​kirjainten väliin lisätyillä symboleilla. Esimerkiksi. Olkoon A jokin joukko. Tällöin relaatio a A tarkoittaa, että a on joukon A alkio. Merkintä a A tarkoittaa, että a ei ole A:n alkio.

Joukko voidaan määritellä eri tavoin. 1. Sen elementtien luettelo.

Esimerkiksi A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Elementtien ominaisuuksien määrittäminen. Olkoon A elementtijoukko a, jonka ominaisuus on p. Tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: A=( a:p ) tai A=( ap ).

Esimerkiksi merkintä А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) tarkoittaa, että A on joukko reaalilukuja, jotka tyydyttävät epäyhtälön x2 -1>0.

Esittelemme muutamia tärkeitä määritelmiä.

Def. Joukkoa kutsutaan äärelliseksi, jos se koostuu tietystä äärellisestä määrästä alkioita. Muuten sitä kutsutaan äärettömäksi.

Esimerkiksi luokkahuoneessa olevien oppilaiden joukko on ääretön, mutta luonnollisten lukujen joukko tai janan sisällä olevien pisteiden joukko on ääretön.

Def. Joukkoa, joka ei sisällä yhtään elementtiä, kutsutaan tyhjäksi ja se merkitään.

Def. Kahden joukon sanotaan olevan yhtä suuri, jos ne koostuvat samasta

Nuo. joukon käsite ei tarkoita tiettyä elementtien järjestystä. Def. Joukkoa X kutsutaan joukon Y osajoukoksi, jos mikä tahansa joukon X alkio on joukon Y alkio (tässä tapauksessa yleisesti ottaen ei mikään

joukon Y alkio on joukon X alkio). Tässä tapauksessa käytetään nimitystä: X Y.

Esimerkiksi appelsiinien joukko O on osajoukko joukosta hedelmiä F : O F ja luonnollisten lukujen joukko N ​​on osajoukko reaalilukujen joukosta R : N R .

Merkkejä " " ja " " kutsutaan sisällyttäviksi merkeiksi. Jokaista joukkoa pidetään osajoukkona itsestään. Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko.

Def. Kutsutaan mikä tahansa joukon A ei-tyhjä osajoukko B, joka ei ole yhtä suuri kuin A

oma osajoukko.

§ 3. Euler-Venn-kaaviot. Perusoperaatiot sarjoissa.

On kätevää esittää joukot graafisesti alueina tasossa. Tämä tarkoittaa, että alueen pisteet vastaavat joukon elementtejä. Tällaisia ​​joukkojen graafisia esityksiä kutsutaan Euler-Venn-kaavioiksi.

Esimerkki. A on joukko MSTU:n opiskelijoita, B on joukko opiskelijoita yleisössä. Riisi. 1 osoittaa selvästi, että A B .

Euler-Venn-kaavioita on kätevä käyttää alkeisasteen visuaaliseen esitykseen toiminnot sarjoissa. Tärkeimmät toiminnot sisältävät seuraavat.

Riisi. 1. Esimerkki Euler-Venn-kaaviosta.

1. Joukkojen A ja B leikkauspiste A B on joukko C, joka koostuu kaikista samanaikaisesti sekä joukkoon A että B kuuluvista alkioista:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(Kuvassa 2 joukkoa C edustaa varjostettu alue).

Riisi. 2. Joukkojen leikkaus.

2. Joukkojen A ja B liitto A B on joukko C, joka koostuu kaikista vähintään yhteen joukosta A tai B kuuluvista alkioista.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(kuvassa 3 joukkoa C edustaa varjostettu alue).

Riisi. 3. Sarjojen liitto.

Riisi. 4. Sarjojen ero.

3. Joukkojen A ja B erotus A \ B on joukko C, joka koostuu kaikista ryhmään A kuuluvista alkioista, jotka eivät kuulu joukkoon B:

A \ B =( z: (z A) (z B) )

(Kuvassa 4 joukkoa C edustaa keltaisella varjostettu alue).

§4. Reaalilukujen joukko.

Muodostetaan joukko todellisia (reaali)lukuja R. Tarkastellaan tätä varten ensin joukko luonnollisia lukuja, jonka määrittelemme seuraavasti. Otetaan ensimmäiseksi alkioksi luku n=1. Jokainen seuraava elementti saadaan edellisestä lisäämällä yksi:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Kokonaislukujen joukko Z määritellään kolmen joukon liitoksi: N, -N ja joukko, joka koostuu yhdestä alkiosta - nolla:

Rationaalilukujen joukko määritellään kaikkien mahdollisten kokonaislukujen suhteiden joukoksi:

Q = (xx = m/n; m, nZ, n0).

Ilmeisesti N Z Q.

Tiedetään, että jokainen rationaalinen luku voidaan kirjoittaa äärettömäksi todelliseksi tai äärettömäksi jaksolliseksi murtoluvuksi. Ovatko rationaaliset luvut riittäviä mittaamaan kaikkia suureita, jotka voimme tavata tutkiessamme ympäröivää maailmaa? Jo muinaisessa Kreikassa osoitettiin, ettei se ole: jos tarkastelemme tasakylkistä suorakulmaista kolmiota, jonka jalat ovat pituudeltaan yksi, hypotenuusan pituutta ei voida esittää rationaalilukuna. Näin ollen emme voi rajoittua rationaalilukujen joukkoon. On tarpeen laajentaa numeron käsitettä. Tämä laajennus saavutetaan ottamalla käyttöön joukot irrationaalisia lukuja J, joka on helpoin ajatella kaikkien ei-jaksollisten äärettömien desimaalien joukkona.

Rationali- ja irrationaalilukujen joukkojen liittoa kutsutaan

joukko reaalilukuja R: R =Q Y.

Joskus he pitävät laajennettua sarjaa reaalilukuja R, ymmärtäen

Reaaliluvut esitetään kätevästi pisteinä numerorivillä.

Def. Numeerista akselia kutsutaan suoraksi viivaksi, joka ilmaisee referenssin alkupisteen, mittakaavan ja suunnan.

Reaalilukujen ja numeerisen akselin pisteiden välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus: mikä tahansa reaaliluku vastaa yhtä numeerisen akselin pistettä ja päinvastoin.

Reaalilukujoukon täydellisyyden (jatkuvuuden) aksiooma. Mitkä tahansa ei-tyhjät joukot А= ( a ) R ja B= (b) R ovat sellaisia, että mille tahansa a:lle ja b:lle epäyhtälö a ≤ b on tosi, on olemassa luku cR siten, että a ≤ c ≤ b (kuvio 5).

Kuva 5. Kuva reaalilukujoukon täydellisyyden aksioomasta.

§5. Numeeriset sarjat. Naapurustossa.

Def. Numerosarja kutsutaan mitä tahansa joukon R osajoukkoa. Tärkeimmät numeeriset joukot: N, Z, Q, J ja myös

segmentti: (x R | a x b ),

intervalli: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

puolivälit: ( x R| a x b),

(x R | x b ).

Matemaattisessa analyysissä tärkein rooli on käsitteellä numeerisen akselin pisteen lähialue.

Def. -pisteen x 0 naapuri on väli, jonka pituus on 2 ja jonka keskipiste on pisteessä x 0 (kuva 6):

u (x 0 ) (x 0, x 0).

Riisi. 6. Pisteen lähialue.

Def. Pisteen rei'itetty -naapuri on tämän pisteen lähialue,

josta itse piste x 0 on jätetty pois (kuva 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Riisi. 7. Rei'itetty pisteen ympäristö.

Def. Pisteen x0 oikea naapuri kutsutaan puoliväliksi

u (x 0 ), alue: E= [-π/2,π/2].

Riisi. 11. Kuvaaja funktiosta y arcsin x.

Otetaan nyt käyttöön monimutkaisen funktion käsite ( näyttää koostumuksia). Olkoon kolme joukkoa D, E, M ja olkoon f: D→E, g: E→M. Ilmeisesti on mahdollista rakentaa uusi kuvaus h: D→M, jota kutsutaan kuvausten f ja g koostumukseksi tai kompleksifunktioksi (kuva 12).

Kompleksifunktio merkitään seuraavasti: z =h(x)=g(f(x)) tai h = f o g.

Riisi. 12. Kuva kompleksisen funktion käsitteelle.

Funktiota f (x) kutsutaan sisäinen toiminto ja funktio g ( y ) - ulkoinen toiminto.

1. Sisäinen funktio f (x) = x², ulkoinen g (y) sin y. Kompleksifunktio z= g(f(x))=sin(x²)

2. Nyt päinvastoin. Sisäfunktio f (x)= sinx, ulompi g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Anna muuttujan x n ottaa äärettömän arvosarjan

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

ja muuttujan muutoslaki tunnetaan x n, eli jokaiselle luonnolliselle luvulle n voit määrittää vastaavan arvon x n. Näin ollen oletetaan, että muuttuja x n on funktio n:

x n = f(n)

Määritellään yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä - sekvenssin raja, tai mikä on sama, muuttujan raja x n juokseva sekvenssi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Määritelmä. vakio numero a nimeltään järjestysrajoitus x 1 , x 2 , ..., x n , ... . tai muuttujan raja x n, jos mielivaltaisen pienelle positiiviselle luvulle e on olemassa sellainen luonnollinen luku N(eli numero N), että kaikki muuttujan arvot x n, Alkaen x N, erota a itseisarvoltaan pienempi kuin e. Tämä määritelmä on kirjoitettu lyhyesti seuraavasti:

| x n - a |< (2)

kaikille n  N, tai mikä on sama,

Cauchyn rajan määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f (x) rajaksi pisteessä a, jos tämä funktio on määritelty jossain pisteen a lähellä, paitsi ehkä itse piste a, ja jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että kaikille x:lle ehdon |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heinen rajan määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f (x) rajaksi pisteessä a, jos tämä funktio on määritelty jossain pisteen a läheisyydessä, paitsi ehkä itse piste a ja mikä tahansa sellainen sekvenssi, konvergoimalla numeroon a, funktion vastaava arvosarja konvergoi numeroon A.

Jos funktiolla f(x) on raja pisteessä a, tämä raja on ainutlaatuinen.

Lukua A 1 kutsutaan funktion f (x) vasemmaksi rajaksi pisteessä a, jos jokaisella ε > 0:lla on δ >

Lukua A 2 kutsutaan funktion f (x) oikeaksi rajaksi pisteessä a, jos jokaisella ε > 0:lla on δ > 0, jolloin epäyhtälö

Vasemmanpuoleinen raja on merkitty oikeanpuoleiseksi rajaksi - Nämä rajat kuvaavat funktion käyttäytymistä pisteen a vasemmalla ja oikealla puolella. Niitä kutsutaan usein yksisuuntaisiksi rajoituksiksi. Yksipuolisten rajojen merkitsemisessä x → 0 ensimmäinen nolla yleensä jätetään pois: ja . Toiminnon puolesta siis

Jos jokaiselle ε > 0:lle on olemassa pisteen a δ-naapuruus niin, että kaikille ehdon |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, niin sanomme, että funktiolla f (x) on ääretön raja pisteessä a:

Siten funktiolla on ääretön raja pisteessä x = 0. Usein erotetaan rajat, jotka ovat +∞ ja –∞. Niin,

Jos jokaiselle ε > 0:lle on olemassa δ > 0, jolloin mille tahansa x > δ:lle epäyhtälö |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Vähimmän ylärajan olemassaololause

Määritelmä: AR mR, m - A:n ylempi (alempi) pinta, jos аА аm (аm).

Määritelmä: Joukko A on rajattu ylhäältä (alhaalta), jos on olemassa m sellainen, että аА, niin аm (аm) täyttyy.

Määritelmä: SupA=m, jos 1) m - A:n yläraja

2) m': m' m' ei ole A:n yläpinta

InfA = n, jos 1) n on A:n infimumi

2) n': n'>n => n' ei ole A:n infimmi

Määritelmä: SupA=m on luku, joka: 1)  aA am

2) >0 a  A siten, että a  a-

InfA = n kutsutaan numeroksi, jollainen:

2) >0 a  A siten, että a E a+

Lause: Jokaisella ei-tyhjällä ylhäältä rajatulla joukolla АR on paras yläraja, ja siinä on ainutlaatuinen.

Todiste:

Rakennamme luvun m todelliselle suoralle ja todistamme, että tämä on A:n pienin yläraja.

[m]=max([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 - A:n yläpinta

Segmentti [[m], [m]+1] - jaettu 10 osaan

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m to =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - yläpinta A

Osoitetaan, että m=[m],m 1 ...m K on pienin yläraja ja että se on yksikäsitteinen:

:)