24.02.2019, 16:51 Suureiden välisten riippuvuuksien mallintaminen Matemaattisen mallin toteuttaminen tietokoneella (tietokonematemaattinen malli) edellyttää suureiden välisten riippuvuuksien esittämistekniikoiden tuntemusta.
Mihin tahansa määrään liittyy kolme pääominaisuutta:
-nimi,
- merkitys,
-tyyppi.
Arvon nimi voi olla semanttinen ja symbolinen . Esimerkki semanttisesta nimestä on "kaasunpaine", saman suuren symbolinen nimi on R.
Jos määrä arvo ei muutu, sitä kutsutaan vakioarvoksi tai vakio . Esimerkki vakiosta on Pythagoraan luku ¶=3.14259... . Suurta, jonka arvo voi muuttua, kutsutaan muuttuja . Esimerkiksi kappaleen putoamisprosessin kuvauksessa muuttujina ovat korkeus H ja putoamisaika t.
Tyyppi määrittää arvojoukon, jonka arvo voi ottaa. Summien perustyypit : numeerinen, merkki, looginen. Mitat määrittää yksiköt, joissa suureiden arvot esitetään. Esimerkiksi t (s) on laskuaika; H (m) - putoamisen korkeus.
Matemaattiset mallit
Jos määrien välinen suhde voidaan esittää matemaattisessa muodossa, niin tämä matemaattinen malli .
Matemaattinen malli on joukko jonkin kohteen (prosessin) kvantitatiivisia ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita matematiikan kielellä esitettynä.
Tämä on esimerkki riippuvuudesta, joka esitetään toiminnallisessa muodossa. Tätä riippuvuutta kutsutaan juuririippuvuudeksi (aika on verrannollinen korkeuden neliöjuureen).
Monimutkaisemmissa ongelmissa matemaattiset mallit esitetään yhtälöinä tai yhtälöjärjestelminä.

Taulukko- ja graafiset mallit
Nämä ovat muita, ei-kaavallisia tapoja esittää suureiden välisiä riippuvuuksia. Päätimme esimerkiksi testata kehon vapaan pudotuksen lakia kokeellisesti.

Järjestämme kokeen seuraavasti: heitetään teräspalloa 6 metrin korkeudelta, 9 metrin korkeudelta jne. (3 metrin jälkeen) mittaamalla pallon alkuasennon korkeus ja putoamisaika. Kokeen tulosten perusteella kootaan taulukko ja piirretään kaavio.Jos jokainen tämän taulukon H- ja t-arvopari korvataan yllä olevaan kaavaan korkeuden riippuvuudesta ajasta, kaava muuttuu yhtälöksi (tarkkuudella mittausvirheeseen asti). Malli siis toimii hyvin. Jos pudotat kuitenkin ei teräspalloa, vaan suurta kevytpalloa, tasa-arvoa ei saavuteta, ja jos kyseessä on puhallettava pallo, kaavan vasemman ja oikean osan arvot eroavat suuresti. paljon. Miksi luulet?

Joten tässä esimerkissä olemme tarkastelleet kolmea tapaa mallintaa suureiden riippuvuutta: funktionaalinen (kaava), taulukko ja graafinen. Kuitenkin vain kaavaa voidaan kutsua matemaattiseksi malliksi kappaleen putoamisprosessista. Kaava on universaali, sen avulla voit määrittää ajan, jolloin keho putoaa mistä tahansa korkeudesta, eikä vain kokeelliselle H:n arvojoukolle, joka on esitetty kuvassa. Kaavan avulla voit helposti luoda taulukon ja rakentaa kaavion, mutta päinvastoin - se on erittäin ongelmallista.
Samalla tavalla voidaan näyttää minkä tahansa fysikaalisen luonnonilmiön riippuvuus, jota kuvataan tunnetuilla kaavoilla.
Tietomalleilla, jotka kuvaavat järjestelmien kehitystä ajan myötä, on erityinen nimi: dynaamisia malleja . Fysiikassa dynaamiset tietomallit kuvaavat kappaleiden liikettä, biologiassa organismien tai eläinpopulaatioiden kehitystä, kemiassa - kemiallisten reaktioiden kulkua jne.

Tilastolliset ennustusmallit
Tilastot- massa kvantitatiivisten tietojen keräämisen, mittaamisen ja analysoinnin tiede.
On lääketieteellisiä tilastoja, taloustilastoja, sosiaalisia tilastoja ja muita. Tilastojen matemaattista laitteistoa kehittää tiede ns matemaattiset tilastot .

Tilastotiedot ovat aina likimääräisiä, keskiarvotettuja, arvioituja, mutta heijastavat oikein arvojen riippuvuutta. Tilastotietoja analysoimalla saatujen tulosten luotettavuuden vuoksi näitä tietoja on oltava paljon.

Esimerkiksi hiilimonoksidilla on voimakkain vaikutus keuhko- ja keuhkosairauksiin -. Asetettuaan tavoitteeksi tämän suhteen määrittämisen lääketieteen tilastotieteilijät keräävät tietoja. Saadut tiedot voidaan koota yhteen taulukkoon sekä esittää sirontakuvaajana. Ja kuinka rakentaa matemaattinen malli tästä ilmiöstä? Ilmeisesti sinun on saatava kaava, joka heijastaa kroonisten potilaiden lukumäärän P riippuvuutta hiilimonoksidin C pitoisuudesta. Matematiikan kielellä tätä kutsutaan P:n riippuvuusfunktioksi C:stä: P(C). Tällaisen funktion muotoa ei tunneta, se tulisi etsiä kokeellisista tiedoista valintamenetelmällä.

Halutun funktion kaavion tulee kulkea lähellä kokeellisen datakaavion pisteitä. Ei ole mitään järkeä rakentaa funktiota siten, että sen kuvaaja kulkee tarkasti kaikkien annettujen pisteiden läpi. Ensinnäkin tällaisen funktion matemaattinen muoto voi olla liian monimutkainen. Toiseksi kokeelliset arvot ovat likimääräisiä.
Tästä seuraa halutun toiminnon perusvaatimukset:
sen tulee olla riittävän yksinkertainen, jotta sitä voidaan käyttää myöhemmissä laskelmissa;
tämän funktion kaavion tulee kulkea lähellä koepisteitä, jotta näiden pisteiden poikkeamat kaaviosta ovat minimaaliset ja tasaiset. Tuloksena olevaa funktiota tilastoissa kutsutaan yleensä ns regressiomalli.

Pienimmän neliön menetelmä
Regressiomalli saadaan kahdessa vaiheessa:
1) toiminnon tyypin valinta;
2) funktioparametrien laskenta.
Ensimmäiseen ongelmaan ei ole tiukkaa ratkaisua.
Useimmiten valinta tehdään seuraavista toiminnoista:
y \u003d ax + b - lineaarinen funktio (1. asteen polynomi);
y \u003d ax 2 + bx + c - neliöfunktio

(2. asteen polynomi);
y=a n x n + a (n-1) x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 -n:nnen asteen polynomi;
y = a ln(x) + b - logaritminen funktio;
y = ae bx - eksponentiaalinen funktio;
y = ax b on potenssifunktio.
Kun olet valinnut yhden ehdotetuista funktioista, sinun on valittava parametrit (a, b, c jne.) niin, että funktio sijaitsee mahdollisimman lähellä koepisteitä parametrien laskentamenetelmällä. Tätä menetelmää ehdotti 1700-luvulla saksalainen matemaatikko K. Gauss. Sitä kutsutaan pienimmän neliösumman menetelmäksi (LSM), ja sitä käytetään hyvin laajasti tilastollisessa tietojenkäsittelyssä ja se on sisäänrakennettu moniin matemaattisiin ohjelmistopaketteihin. On tärkeää ymmärtää seuraava: mikä tahansa funktio voidaan rakentaa pienimmän neliösumman menetelmällä tietylle koepistejoukolle. Mutta tyydyttääkö se meitä, se on jo vaatimustenmukaisuuskriteerin kysymys. Tarkastellaan esimerkissämme kolmea pienimmän neliösumman menetelmällä muodostettua funktiota.

Nämä luvut on saatu käyttämällä Microsoft Excel -laskentataulukkoa. Regressiomallin kuvaaja on ns trendi.
Englanninkielinen sana "trend" voidaan kääntää "yleiseksi suunnaksi" tai "trendiksi".
Lineaarifunktion kuvaaja on suora. Tämän kaavion perusteella on vaikea sanoa mitään tämän kasvun luonteesta. Mutta neliöllinen ja eksponentiaalinen suuntauksia uskottava.
Kaavioissa on trendin tuloksena saatu arvo. Se on merkitty R2:ksi. Tilastoissa tätä kutsutaan determinismin kerroin. Hän määrittää, kuinka onnistunut tuloksena oleva regressiomalli on. Determinismin kerroin on aina välillä 0 - 1. Mitä lähempänä R 2 on arvoa 1, sitä parempi on regressiomalli.
Kolmesta valitusta mallista R 2:n arvo on pienin lineaariselle mallille. Joten hän on pahin. Kahden muun mallin R2-arvot ovat melko lähellä (ero on alle 0,01). He ovat yhtä menestyviä.

Regressiomallin ennuste
Regression matemaattisen mallin saatuaan on mahdollista ennustaa prosessia laskelmin, eli arvioida astman ilmaantuvuus ei vain niille arvoille, jotka on saatu mittauksilla, vaan myös muille arvoille.
Jos ennuste tehdään kokeellisten arvojen sisällä, niin tätä kutsutaan merkityksen palauttaminen .
Ennustamista kokeellisen datan ulkopuolella kutsutaan ekstrapolointi.
Regressiomallilla se on helppo ennustaa tekemällä laskelmia laskentataulukoiden avulla.
Joissakin tapauksissa ekstrapolointi on tehtävä varoen. Minkä tahansa regressiomallin sovellettavuus on rajoitettu, etenkin sen ulkopuolella
kokeellinen alue. Esimerkissämme ekstrapoloinnissa ei pidä mennä kauas arvosta 5 mg/m 3 . Mitä tapahtuu tämän alueen ulkopuolella, emme tiedä. Mikä tahansa ekstrapolointi perustuu hypoteesiin: "oletetaan, että kuvio säilyy koealueen ulkopuolella." Entä jos sitä ei ole tallennettu?
Esimerkiksi esimerkkimme neliöllinen malli pitoisuudessa lähellä nollaa tuottaa 150 sairasta ihmistä, eli enemmän kuin 5 mg/m 3 . Ilmeisesti tämä on hölynpölyä. C:n pienten arvojen alueella eksponentiaalinen malli toimii paremmin. Tämä on muuten melko tyypillinen tilanne: eri tietoalueet voivat sopia paremmin eri malleihin.

Korrelaatioriippuvuuksien mallintaminen
Olkoon tekijä A jonkin monimutkaisen järjestelmän tärkeä ominaisuus, johon voivat samanaikaisesti vaikuttaa monet muut tekijät: B, C, D jne.

Suhteet suureiden välillä, joista jokainen on alttiina hallitsemattomalle sirontalle, kutsutaan korrelaatioriippuvuudet.
Tällaisia ​​riippuvuuksia tutkivaa matemaattisen tilaston haaraa kutsutaan korrelaatioanalyysi. Korrelaatioanalyysi tutkii kunkin suuren keskimääräistä käyttäytymislakia toisen suuren arvoista riippuen sekä tällaisen riippuvuuden mittaa.
Arvojen korrelaation arviointi alkaa hypoteesin esittämisestä arvojen välisen suhteen mahdollisesta luonteesta. Useimmiten oletetaan lineaarista suhdetta. Tässä tapauksessa korrelaatioriippuvuuden mitta on arvo, jota kutsutaan korrelaatiokerroin.
korrelaatiokerroin (merkitty yleensä kreikkalaisella kirjaimella ρ ) on luku väliltä -1 - +1;
josρ modulo lähellä 1, niin on vahva korrelaatio, jos 0, niin heikko;
läheisyysρ +1:een tarkoittaa, että yhden joukon arvojen nousu vastaa toisen joukon arvojen kasvua, läheisyys -1:een tarkoittaa, että yhden joukon arvojen nousu vastaa joukon arvojen laskua. toisen joukon arvot;
merkitysρ helppo löytää Excelillä, koska vastaavat kaavat on sisäänrakennettu tähän ohjelmaan.

Esimerkkinä monimutkaisesta järjestelmästä, harkitse koulua. Olkoon koulun taloudelliset kulut ilmaistuna ruplamääränä suhteessa koulun oppilasmäärään (ruplaa/hlö) tietyn ajanjakson aikana (esimerkiksi viimeisen 5 vuoden aikana). Arvioidaan edistymistä koululaisten keskimääräisellä pistemäärällä viimeisen lukuvuoden lopun tulosten perusteella. Tiedonkeruu yhteensä 20 koululta syötettiin laskentataulukkoon jahajakuvaajaon esitetty kuvissa. Molempien määrien arvoilla: taloudelliset kustannukset ja opiskelijoiden saavutukset - on merkittävä hajonta, ja ensi silmäyksellä niiden välinen suhde ei ole näkyvissä. Se voi kuitenkin hyvinkin olla olemassa. Excelissä kutsutaan funktiota korrelaatiokertoimen laskemiseksi CORREL ja se sisältyy tilastofunktioiden ryhmään. Näytämme sinulle, kuinka sitä käytetään. Samassa Excel-arkissa, jossa taulukko sijaitsee, sinun on asetettava kohdistin mihin tahansa vapaaseen soluun ja suoritettava CORREL-toiminto. Se pyytää kahta arvoaluetta. Osoitamme vastaavasti B2:B21 ja C2:C21. Kun olet syöttänyt ne, vastaus tulee näkyviin: p = 0,500273843. Tämä arvo ilmaisee keskimääräisen korrelaatiotason. Mietitään nyt kumpi kahdesta parametrista: oppikirjojen vai tietokoneiden saatavuus korreloi enemmän, ts. sillä on suurempi vaikutus suorituskykyyn Allakuvassa on esitetty molempien tekijöiden mittaustulokset 11 eri koulussa. Molemmille riippuvuuksille saatiin lineaariset korrelaatiokertoimet. Kuten taulukosta voidaan nähdä, korrelaatio oppikirjojen saatavuuden ja akateemisen suorituskyvyn välillä on vahvempi kuin korrelaatio tietokoneen tarjonnan ja akateemisen suorituksen välillä (vaikka kumpikaan korrelaatiokerroin ei ole kovin suuri). Tästä voidaan päätellä, että kirja on toistaiseksi tietokonetta merkittävämpi tiedon lähde.

Yhden satunnaismuuttujan riippuvuutta toisen satunnaismuuttujan (fyysisen ominaisuuden) saamista arvoista kutsutaan tilastoissa yleensä regressioksi. Jos tälle riippuvuudelle annetaan analyyttinen muoto, niin tämä esitysmuoto esitetään regressioyhtälöllä.

Menetelmä väitetyn suhteen etsimiseksi eri numeeristen populaatioiden välillä sisältää yleensä seuraavat vaiheet:

niiden välisen suhteen merkityksen määrittäminen;

mahdollisuus esittää tämä riippuvuus matemaattisen lausekkeen muodossa (regressioyhtälö).

Ensimmäinen askel tässä tilastollisessa analyysissä koskee ns. korrelaation eli korrelaatioriippuvuuden tunnistamista. Korrelaatiota pidetään merkkinä, joka osoittaa useiden numeeristen sekvenssien suhteen. Toisin sanoen korrelaatio luonnehtii datan suhteen vahvuutta. Jos se koskee kahden numeerisen taulukon xi ja yi suhdetta, niin tällaista korrelaatiota kutsutaan pariksi.

Korrelaatiota haettaessa on yleensä yhden mitatun arvon x todennäköinen yhteys (sen tietyllä rajoitetulla vaihteluvälillä, esimerkiksi x1:stä xn:ään) toiseen mittausarvoon y (muuttuu myös jossain välissä y1 ... yn) paljastettiin. Tässä tapauksessa käsittelemme kahta numeerista sekvenssiä, joiden välillä on tarpeen määrittää tilastollisen (korrelaatio) suhteen olemassaolo. Tässä vaiheessa tehtävää ei ole vielä asetettu määrittämään, onko toinen näistä satunnaismuuttujista funktio ja toinen argumentti. Niiden välisen kvantitatiivisen suhteen löytäminen tietyn analyyttisen lausekkeen y = f(x) muodossa on toisen analyysin, regression, tehtävä.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, korrelaatioanalyysi päättelee dataparien x ja y välisen suhteen vahvuuden, kun taas regressioanalyysiä käytetään yhden muuttujan (y) ennustamiseen toisen (x) perusteella. Toisin sanoen tässä tapauksessa he yrittävät tunnistaa syy-yhteyden analysoitujen populaatioiden välillä.

Tarkkaan ottaen on tapana erottaa kaksi tyyppistä yhteyttä numeeristen joukkojen välillä - ϶ᴛᴏ voi olla toiminnallinen riippuvuus tai tilastollinen (satunnainen). Toiminnallisen yhteyden ollessa kyseessä jokainen vaikuttajatekijän (argumentin) arvo vastaa tiukasti määriteltyä toisen indikaattorin (funktion) arvoa, ᴛ.ᴇ. tehollisen attribuutin muutos johtuu kokonaan tekijäattribuutin toiminnasta.

Analyyttisesti funktionaalinen riippuvuus esitetään seuraavassa muodossa: y = f(x).

Tilastollisen suhteen tapauksessa yhden tekijän arvo vastaa jotakin likimääräistä tutkittavan parametrin arvoa, sen tarkka arvo on arvaamaton, arvaamaton ja siksi tuloksena saadut indikaattorit osoittautuvat satunnaismuuttujiksi. Tämä tarkoittaa, että tehollisen attribuutin y muutos johtuu tekijäattribuutin x vaikutuksesta vain osittain, koska Myös muiden tekijöiden vaikutus on mahdollinen, joiden osuus ilmaistaan ​​muodossa є: y = f(x) + є.

Luonteeltaan korrelaatiot ovat ϶ᴛᴏ korrelatiivisia yhteyksiä. Esimerkki kaupallisen toiminnan tunnuslukujen välisestä korrelaatiosta on esimerkiksi jakelukustannusten määrien riippuvuus kaupan volyymista. Tässä suhteessa tekijämerkin x (tavaraliikevaihdon volyymi) lisäksi efektiiviseen merkkiin y (jakelukustannusten summa) vaikuttavat myös muut tekijät, mukaan lukien huomioimattomat, jotka tuottavat panoksen є.

Tutkittujen satunnaismuuttujajoukkojen välisen yhteyden olemassaolon kvantitatiiviseen arviointiin käytetään erityistä tilastollista indikaattoria - korrelaatiokerrointa r.

Jos oletetaan, että tämä suhde voidaan kuvata lineaarisella yhtälöllä, jonka tyyppi on y \u003d a + bx (jossa a ja b ovat vakioita), on tapana puhua lineaarisen korrelaation olemassaolosta.

Kerroin r on dimensioton suure, se voi vaihdella välillä 0 - ±1. Mitä lähempänä yksikköä kertoimen arvo on (riippumatta millä merkillä), sitä varmemmin voidaan väittää, että näiden kahden muuttujajoukon välillä on lineaarinen suhde. Toisin sanoen yhden satunnaismuuttujan (y) arvo riippuu olennaisesti siitä, minkä arvon toinen (x) saa.

Jos käy ilmi, että r = 1 (tai -1), on olemassa klassinen puhtaasti toiminnallisen riippuvuuden tapaus (ᴛ.ᴇ. Ideaalisuhde toteutuu).

Kaksiulotteista sirontadiagrammia analysoitaessa voidaan löytää erilaisia ​​suhteita. Yksinkertaisin vaihtoehto on lineaarinen suhde, joka ilmenee siinä, että pisteet sijoitetaan satunnaisesti suoraa linjaa pitkin. Kaavio ei näytä yhteyttä, jos pisteet sijaitsevat satunnaisesti, eikä kaltevuutta (ei ylös eikä alas) voida havaita liikuttaessa vasemmalta oikealle.

Jos sen pisteet on ryhmitelty kaarevaa viivaa pitkin, sirontakaaviolle on ominaista epälineaarinen suhde. Tällaiset tilanteet ovat täysin mahdollisia.

Määrät ovat kohteiden kvantitatiivisia arvoja, segmenttien pituuksia, aikaa, kulmia jne.

Määritelmä. Arvo - mittauksen tulos, jota edustavat numero ja mittayksikön nimi.

Esimerkiksi: 1 km; 5 tuntia 60 km/h; 15 kg; 180°.

Määrät voivat olla riippumattomia tai riippuvaisia ​​toisistaan. Suureiden suhde voidaan määrittää jäykästi (esimerkiksi 1 dm \u003d 10 cm) tai se voi heijastaa määrien välistä suhdetta, joka ilmaistaan ​​kaavalla tietyn numeerisen arvon määrittämiseksi (esimerkiksi polku riippuu nopeudesta ja kestosta liike; neliön pinta-ala - sen pituussivuilla jne.).

Pituusmittausjärjestelmän metrijärjestelmän perusta - metri - otettiin käyttöön Venäjällä 1800-luvun alussa, ja sitä ennen mitattiin pituuksia: arshin (= 71 cm), verst (= 1067 m) ), vino sazhen (= 2 m 13 cm), vauhtipyörän syvyys (= 1 m 76 cm), yksinkertainen syvyys (= 1 m 52 cm), neljäsosa (= 18 cm), kyynärä (noin 35–46 cm), jänneväli (18 cm - 23 cm).

Kuten näet, niitä oli monia määriä mittaamaan pituutta. Metrinen mittajärjestelmän käyttöönoton myötä pituusarvojen riippuvuus on tiukasti kiinnitetty:

• 1 km = 1 000 m; 1 m = 100 cm;
• 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm.

Metrisessä mittajärjestelmässä määritellään ajan, pituuden, massan, tilavuuden, alueen ja nopeuden mittayksiköt.

Kahden tai useamman suuren tai mittajärjestelmän välille on myös mahdollista muodostaa suhde, se kiinnitetään kaavoihin ja kaavat johdetaan empiirisesti.

Määritelmä. Kutsutaan kahta toisistaan ​​riippuvaa määrää suhteellinen jos niiden arvojen suhde pysyy ennallaan.

Kahden suuren vakiosuhdetta kutsutaan suhteellisuuskertoimeksi. Suhteellisuustekijä näyttää kuinka monta yksikköä yhtä suurea on toisen suuren yksikköä kohden. Jos kertoimet ovat yhtä suuret. Se suhde on tasa-arvoinen.

Etäisyys on nopeuden ja liikeajan tulos: tästä johdettiin liikkeen peruskaava:

missä S- tapa; V- nopeus; t- aika.

Liikkeen peruskaava on etäisyyden riippuvuus nopeudesta ja liikeajasta. Tätä riippuvuutta kutsutaan mausteinen verrannollinen.

Määritelmä. Kaksi muuttujaa ovat suoraan verrannollisia, jos yhden arvon kasvaessa (tai pienentyessä) useita kertoja toinen arvo kasvaa (tai pienenee) saman verran; nuo. tällaisten määrien vastaavien arvojen suhde on vakioarvo.

Vakioetäisyydellä nopeus ja aika liittyvät toisiinsa toisen suhteen, jota kutsutaan kääntäen verrannollinen.

Sääntö. Kaksi muuttujaa ovat kääntäen verrannollisia, jos yhden arvon kasvaessa (tai pienentyessä) useita kertoja toinen arvo pienenee (tai kasvaa) saman verran; nuo. tällaisten määrien vastaavien arvojen tulo on vakioarvo.

Liikekaavasta voidaan päätellä vielä kaksi relaatiota, jotka ilmaisevat niihin sisältyvien suureiden suoria ja käänteisiä riippuvuuksia:

t = S:V- Matkustusaika suorassa suhteessa kuljettu polku ja käänteisesti liikkeen nopeus (samoilla polun osilla, mitä suurempi nopeus, sitä vähemmän aikaa tarvitaan etäisyyden ylittämiseen).

V=S:t- liikenopeus suoraan verrannollinen kuljettu polku ja kääntäen verrannollinen matka-aika (samoilla reitin osilla, sitä enemmän
Mitä vähemmän nopeutta tarvitaan etäisyyksien ylittämiseen).

Kaikki kolme liikekaavaa ovat samanarvoisia ja niitä käytetään ongelmien ratkaisemiseen.

Aihe: matematiikka
Luokka: 4
Oppitunnin aihe: Nopeuden, kuljetun matkan ja ajan väliset suhteet
liikettä.
Tarkoitus: tunnistaa ja perustella määrien välinen suhde: nopeus, aika,
etäisyys;
Tehtävät: edistää epätyypillisen ajattelun kehittymistä, kykyä tehdä johtopäätöksiä,
syy; edistää kognitiivisen toiminnan koulutusta.
Varusteet: yksittäiset kortit eri väreissä, arviointikriteerit,
heijastuskortti, kahden värin ympyrät.
Tuntien aikana.
1. Järjestäytymishetki.
Kortti kahdessa värissä: keltainen ja sininen. Näytä mielialaasi kortilla
oppitunnin alussa ja lopussa.
Täytä kortti oppitunnin alussa (Liite 1.)
Ei. Hyväksyntä
Oppitunnin loppu
Oppitunnin aloitus
Joo
Ei
En tiedä Kyllä
Ei ei
Tiedän
1. Tiedän kaikki kaavat
liiketehtävät
2. Ymmärrän päätöksen
liiketehtävät
3. Voin päättää itse
tehtäviä
4. Osaan säveltää
tehtävien suunnitelmat
liikettä
5. Tiedän mitä virheitä
tunnustaa päätöksessä
liiketehtävät
2. Toisto.
Kuinka löytää nopeus? Aika? Etäisyys?
Mitkä ovat nopeuden, matkan ja ajan mittayksiköt.
3. Oppitunnin aiheen viesti.
Mitä opimme luokassa?
4. Työskentele ryhmässä.
Liitä liikeobjektit (Liite 2)
Jalankulkija 70 km/h
Hiihtäjä 5km/h

Auto 10km/h
Suihkukone 12 km/h
Juna 50 km/h
Etana 900 km/h
Hevonen 90 km/h
Töitä tarkistamassa.
5. Matemaattinen palapeli (itsenäinen työ)
Kuinka paljon pyöräilijän nopeus on pienempi kuin junan nopeus?
Kuinka monta kilometriä hiihtäjän nopeus on nopeampi kuin kävelynopeus?
Kuinka monta kertaa auton nopeus on pienempi kuin suihkukoneen nopeus?
Löydä nopeimmin liikkuvan ajoneuvon ja nopeimman ajoneuvon yhdistetty nopeus
hidas.
Löydä pyöräilijän ja hiihtäjän junan yhdistetty nopeus.
6. Töiden itsetarkastus kriteerien mukaan.
7. Fyysinen minuutti.
Neliön punainen väri seisoo
Vihreä - mennään
Keltainen - taputa käsiä 1 kerran
8. Työskentele ryhmässä. (Keltainen kortti) (Jegso-menetelmä)
Tehtävä.
Kaksi naista väittivät, että stupa tai pomelo oli nopeampi? Sama
228 km:n matka kulki kranaatinheittimessä 4 tunnissa ja babayaga luudalla 3 tunnissa. Mitä
nopeampi stupa vai pomelo?
9. Työskentele "kokeilun" parissa.
Keksi liikeongelma käyttämällä seuraavia arvoja: 18km/h, 4h, 24km, 3h.
Töitä tarkistamassa.
10. Testi.
1. Kirjoita muistiin kaava nopeuden löytämiseksi.
2. Kirjoita muistiin kaava ajan löytämiseksi.
3. Kuinka löytää etäisyys? Kirjoita kaava muistiin.
4. Kirjoita muistiin 8 km/min yksikössä km/h
5. Selvitä aika, jonka jalankulkija kävelee 42 km nopeudella 5 km/h.
6. Kuinka pitkän matkan jalankulkija kulkee nopeudella 5 km/h 6 tunnin ajan?
11. Oppitunnin tulos.
Täytä taulukko millä tuloksilla pääsimme oppitunnin loppuun.
Näytä mielialaasi sopiva kortti.

Oppitunnin aloitus
Joo
Ei
Liite 1.
Oppitunnin loppu
En tiedä Kyllä
Ei. Hyväksyntä
1. Tiedän kaikki kaavat
liiketehtävät
2. Ymmärrän päätöksen
liiketehtävät
3. Voin päättää itse
tehtäviä
4. Osaan säveltää
tehtävien suunnitelmat
liikettä
5. Tiedän mitä virheitä
tunnustaa päätöksessä
liiketehtävät
Yhdistä liikeobjektit.
Jalankulkija 70 km/h
Hiihtäjä 5km/h
Auto 10km/h
Suihkukone 12 km/h
Juna 50 km/h
Etana 900 km/h
Hevonen 90 km/h
Ei ei
Tiedän
Liite 2