Eriarvoisuuksien ratkaiseminen verkossa

Ennen epäyhtälöiden ratkaisemista on ymmärrettävä hyvin, kuinka yhtälöt ratkaistaan.

Ei ole väliä, onko epäyhtälö tiukka () vai ei-tiukka (≤, ≥), ensimmäinen askel on ratkaista yhtälö korvaamalla epäyhtälömerkki yhtälöllä (=).

Selitä, mitä eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa?

Yhtälöiden tutkimisen jälkeen opiskelijalla on päässä seuraava kuva: sinun on löydettävä muuttujan sellaiset arvot, joille yhtälön molemmat osat saavat samat arvot. Toisin sanoen, etsi kaikki kohdat, joissa tasa-arvo pätee. Kaikki on oikein!

Epäyhtälöistä puhuttaessa ne tarkoittavat niiden intervallien (segmenttien) löytämistä, joilla epäyhtälö pätee. Jos epäyhtälössä on kaksi muuttujaa, niin ratkaisu ei ole enää välit, vaan jotkin tason alueet. Arvaa mikä on kolmen muuttujan epäyhtälön ratkaisu?

Kuinka ratkaista epätasa-arvo?

Intervallimenetelmää (alias intervallimenetelmää) pidetään universaalina tapana ratkaista epäyhtälöitä, joka koostuu siitä, että määritetään kaikki intervallit, joiden sisällä annettu epäyhtälö toteutuu.

Menemättä epäyhtälön tyyppiin, tässä tapauksessa se ei ole ydin, se on ratkaistava vastaava yhtälö ja määritettävä sen juuret, minkä jälkeen näiden ratkaisujen merkitseminen numeeriselle akselille.

Mikä on oikea tapa kirjoittaa ratkaisu epäyhtälölle?

Kun olet määrittänyt välit epäyhtälön ratkaisemiseksi, sinun on kirjoitettava itse ratkaisu oikein. Siinä on tärkeä vivahde - sisällytetäänkö välien rajat ratkaisuun?

Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos yhtälön ratkaisu täyttää ODZ:n ja epäyhtälö ei ole tiukka, niin välin raja sisältyy epäyhtälön ratkaisuun. Muuten ei.

Kunkin välin huomioon ottaen epäyhtälön ratkaisu voi olla itse intervalli tai puoliväli (kun jokin sen rajoista täyttää epäyhtälön) tai segmentti - intervalli rajojen kanssa.

Tärkeä pointti

Älä ajattele, että vain intervallit, puolivälit ja segmentit voivat olla ratkaisu epäyhtälöön. Ei, ratkaisuun voidaan sisällyttää myös yksittäisiä pisteitä.

Esimerkiksi epäyhtälöllä |x|≤0 on vain yksi ratkaisu - piste 0.

Ja epäyhtälö |x|

Mitä varten eriarvolaskuri on tarkoitettu?

Epäyhtälölaskin antaa oikean lopullisen vastauksen. Tässä tapauksessa useimmissa tapauksissa annetaan kuva numeerisesta akselista tai tasosta. Näet, ovatko intervallien rajat mukana ratkaisussa vai eivät - pisteet näytetään täytettyinä tai rei'itetyinä.

Online-epäyhtälölaskurin ansiosta voit tarkistaa, oletko löytänyt yhtälön juuret oikein, merkinnyt ne numeroriville ja tarkistanut epäyhtälöehdot väliltä (ja rajoilla)?

Jos vastauksesi poikkeaa laskimen vastauksesta, sinun on ehdottomasti tarkistettava ratkaisusi ja tunnistettava tehty virhe.

Tänään, ystävät, ei ole räkää ja tunteita. Sen sijaan lähetän sinut taisteluun yhden 8.-9. luokan algebrakurssin valtavia vastustajia vastaan ​​ilman lisäkysymyksiä.

Kyllä, ymmärsit kaiken oikein: puhumme epäyhtälöistä moduulin kanssa. Tarkastellaan neljää perustekniikkaa, joilla opit ratkaisemaan noin 90 % näistä ongelmista. Entä loput 10%? No, puhumme niistä erillisellä oppitunnilla. :)

Ennen kuin analysoin temppuja, haluaisin kuitenkin muistuttaa kaksi tosiasiaa, jotka sinun on jo tiedettävä. Muuten vaarana on, että et ymmärrä tämän päivän oppitunnin materiaalia ollenkaan.

Mitä sinun on jo tiedettävä

Kapteeni Evidence ikään kuin vihjaa, että jotta voit ratkaista epäyhtälöt moduulilla, sinun on tiedettävä kaksi asiaa:

1. Miten eriarvoisuudet ratkaistaan?
2. Mikä on moduuli.

Aloitetaan toisesta kohdasta.

Moduulin määritelmä

Täällä kaikki on yksinkertaista. Määritelmiä on kaksi: algebrallinen ja graafinen. Aloitetaan algebralla:

Määritelmä. Numeron $x$ moduuli on joko itse luku, jos se ei ole negatiivinen, tai sitä vastapäätä, jos alkuperäinen $x$ on edelleen negatiivinen.

Se on kirjoitettu näin:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Yksinkertaisesti sanottuna moduuli on "luku ilman miinusta". Ja se on tässä kaksinaisuus (jossain alkuperäisellä numerolla ei tarvitse tehdä mitään, mutta jossain on poistettava miinus) ja kaikki aloittelevien opiskelijoiden vaikeudet piilevät.

On myös geometrinen määritelmä. On myös hyödyllistä tietää se, mutta viittaamme siihen vain monimutkaisissa ja joissakin erikoistapauksissa, joissa geometrinen lähestymistapa on kätevämpi kuin algebrallinen lähestymistapa (spoileri: ei nykyään).

Määritelmä. Merkitään piste $a$ reaaliviivalle. Sitten moduuli $\left| x-a \right|$ on etäisyys pisteestä $x$ pisteeseen $a$ tällä viivalla.

Jos piirrät kuvan, saat jotain tällaista:

Graafisen moduulin määritelmä

Tavalla tai toisella sen avainominaisuus seuraa välittömästi moduulin määritelmästä: luvun moduuli on aina ei-negatiivinen arvo. Tämä tosiasia on punainen lanka, joka kulkee läpi koko tämän päivän tarinamme.

Eriarvoisuuksien ratkaisu. Välitysmenetelmä

Käsitellään nyt eriarvoisuutta. Niitä on paljon, mutta nyt meidän tehtävämme on pystyä ratkaisemaan niistä ainakin yksinkertaisin. Ne, jotka on pelkistetty lineaarisiin epäyhtälöihin sekä intervallimenetelmään.

Minulla on kaksi suurta opetusohjelmaa tästä aiheesta (muuten, erittäin, ERITTÄIN hyödyllinen - suosittelen opiskelua):

1. Epätasa-arvojen intervallimenetelmä (etenkin katso video);
2. Murto-rationaaliset epätasa-arvot ovat erittäin laaja oppitunti, mutta sen jälkeen sinulla ei jää enää yhtään kysymystä.

Jos tiedät kaiken tämän, jos lause "siirrytään epätasa-arvosta yhtälöön" ei saa sinua epämääräisesti halua tappaa itseäsi seinää vasten, olet valmis: tervetuloa helvettiin oppitunnin pääaiheeseen. :)

1. Epäyhtälöt muotoa "Moduuli pienempi kuin funktio"

Tämä on yksi useimmin kohdatuista tehtävistä moduulien kanssa. On tarpeen ratkaista muodon epäyhtälö:

\[\left| f\right| \ltg\]

Mikä tahansa voi toimia funktioina $f$ ja $g$, mutta yleensä ne ovat polynomeja. Esimerkkejä tällaisista epätasa-arvoista:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\oikea| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\vasen| x \oikea|-3 \oikea| \lt 2. \\\end(tasaa)\]

Kaikki ne ratkaistaan ​​kirjaimellisesti yhdellä rivillä järjestelmän mukaan:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tasaa) \oikea.\oikea)\]

On helppo nähdä, että pääsemme eroon moduulista, mutta sen sijaan saamme kaksinkertaisen epäyhtälön (tai, mikä on sama asia, kahden epäyhtälön järjestelmän). Mutta tämä siirtymä ottaa huomioon ehdottomasti kaikki mahdolliset ongelmat: jos moduulin alla oleva luku on positiivinen, menetelmä toimii; jos negatiivinen, se toimii edelleen; ja vaikka kaikkein riittämättömin funktio $f$ tai $g$ sijasta, menetelmä toimii silti.

Luonnollisesti herää kysymys: eikö se ole helpompaa? Valitettavasti et voi. Tämä on koko moduulin pointti.

Mutta filosofointia riittää. Ratkaistaan ​​pari ongelmaa:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 2x+3\oikea| \ltx+7\]

Ratkaisu. Meillä on siis klassinen epäyhtälö muodossa "moduuli on pienempi kuin" - ei ole edes mitään muutettavaa. Työskentelemme algoritmin mukaan:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\oikea| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Älä kiirehdi avaamaan sulkuja, joita edeltää "miinus": on täysin mahdollista, että kiireen takia teet loukkaavan virheen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

Ongelma on lyhennetty kahteen alkeelliseen epätasa-arvoon. Huomioimme heidän ratkaisunsa rinnakkaisilla todellisilla viivoilla:

Monen risteys

Näiden joukkojen leikkauspiste on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0\]

Ratkaisu. Tämä tehtävä on hieman vaikeampi. Aluksi eristetään moduuli siirtämällä toinen termi oikealle:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ilmeisesti meillä on jälleen epäyhtälö muotoa "moduuli on pienempi", joten pääsemme eroon moduulista jo tunnetun algoritmin mukaan:

\[-\vasen(-3\vasen(x+1 \oikea) \oikea) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vasen(x+1 \oikea)\]

Nyt huomio: joku sanoo, että olen vähän perverssi kaikkien näiden hakasulkeiden kanssa. Mutta vielä kerran muistutan, että tärkein tavoitteemme on ratkaise epäyhtälö oikein ja hanki vastaus. Myöhemmin, kun olet oppinut täydellisesti kaiken, mitä tällä oppitunnilla on kuvattu, voit vääristää itsesi haluamallasi tavalla: avata sulkuja, lisätä miinuksia jne.

Ja aluksi, pääsemme eroon vasemmalla olevasta kaksoismiinuksesta:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vasen(x+1\oikea)\]

Avataan nyt kaikki kaksois-epäyhtälön sulut:

Jatketaan kaksinkertaista eriarvoisuutta. Tällä kertaa laskelmat ovat vakavampia:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tasaa)\right.\]

Molemmat epäyhtälöt ovat neliömäisiä ja ne ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä (siksi sanon: jos et tiedä mitä se on, on parempi olla ottamatta vielä moduuleja). Siirrymme ensimmäisen epäyhtälön yhtälöön:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(tasaa)\]

Kuten näet, tulos osoittautui epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, joka on ratkaistu alkeellisesti. Käsitellään nyt järjestelmän toista epäyhtälöä. Siellä sinun on sovellettava Vietan lausetta:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme saadut luvut kahdelle yhdensuuntaiselle suoralle (erillinen ensimmäiselle epäyhtälölle ja erilliselle toiselle):

Jälleen, koska olemme ratkaisemassa epäyhtälöjärjestelmää, olemme kiinnostuneita varjostettujen joukkojen leikkauspisteestä: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tämä on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Mielestäni näiden esimerkkien jälkeen ratkaisukaavio on hyvin selkeä:

1. Eristä moduuli siirtämällä kaikki muut termit epäyhtälön vastakkaiselle puolelle. Näin saadaan epäyhtälö muotoon $\left| f\right| \ltg$.
2. Ratkaise tämä epäyhtälö poistamalla moduuli edellä kuvatulla tavalla. Jossain vaiheessa on tarpeen siirtyä kaksois-epäyhtälöstä kahden itsenäisen lausekkeen järjestelmään, joista jokainen voidaan jo ratkaista erikseen.
3. Lopuksi jää vain ylittää näiden kahden itsenäisen lausekkeen ratkaisut - ja siinä kaikki, saamme lopullisen vastauksen.

Samanlainen algoritmi on olemassa seuraavan tyyppisille epäyhtälöille, kun moduuli on suurempi kuin funktio. On kuitenkin pari vakavaa "mutta". Puhumme nyt näistä "mutta".

2. Epäyhtälöt muotoa "Moduuli on suurempi kuin funktio"

Ne näyttävät tältä:

\[\left| f\right| \gt g\]

Samanlainen kuin edellinen? Näyttää. Siitä huolimatta tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​täysin eri tavalla. Muodollisesti kaava on seuraava:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(tasaa) \right.\]

Toisin sanoen tarkastelemme kahta tapausta:

1. Ensin yksinkertaisesti jätämme huomioimatta moduulin - ratkaisemme tavallisen epäyhtälön;
2. Sitten itse asiassa avaamme moduulin miinusmerkillä ja kerromme sitten molemmat epäyhtälön osat -1:llä merkillä.

Tässä tapauksessa vaihtoehdot yhdistetään hakasulkeeseen, ts. Meillä on kahden vaatimuksen yhdistelmä.

Kiinnitä jälleen huomiota: edessämme ei ole järjestelmä, vaan aggregaatti vastauksessa joukot yhdistetään, ei leikattu. Tämä on perustavanlaatuinen ero edelliseen kappaleeseen!

Yleensä monilla opiskelijoilla on paljon sekaannusta ammattiliittojen ja risteyskohtien kanssa, joten tarkastellaanpa tätä asiaa lopullisesti:

• "∪" on ketjutusmerkki. Itse asiassa tämä on tyylitelty kirjain "U", joka tuli meille englannin kielestä ja on lyhenne sanoista "Union", ts. "Yhdistykset".
• "∩" on risteysmerkki. Tämä paska ei tullut mistään, vaan esiintyi vain "∪" vastakohtana.

Jotta muistaminen olisi vieläkin helpompaa, lisää vain jalat näihin kylteihin tehdäksesi lasit (älkää vain syyttäkö minua huumeriippuvuuden ja alkoholismin edistämisestä nyt: jos opiskelet vakavasti tätä oppituntia, olet jo huumeriippuvainen):

Leikkauksen ja joukkojen liiton välinen ero

Käännettynä venäjäksi tämä tarkoittaa seuraavaa: liitto (kokoelma) sisältää elementtejä molemmista joukoista, joten vähintään kummastakin; mutta leikkauspiste (järjestelmä) sisältää vain ne elementit, jotka ovat sekä ensimmäisessä että toisessa joukossa. Siksi joukkojen leikkauspiste ei ole koskaan suurempi kuin lähdejoukot.

Tuli siis selväksi? Se on hienoa. Jatketaan harjoittelua.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\]

Ratkaisu. Toimimme kaavan mukaan:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\Oikea nuoli \vasemma oikein.\]

Ratkaisemme jokaisen väestöeron:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Merkitsemme jokaisen tuloksena olevan joukon numeroriville ja yhdistämme ne sitten:

Sarjojen liitto

Ilmeisesti vastaus on $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vastaus: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gtx\]

Ratkaisu. Hyvin? Ei, kaikki on sama. Siirrymme moduulin epäyhtälöstä kahden epäyhtälön joukkoon:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gt x\Nuoli oikealle \vasen[ \begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ratkaisemme jokaisen epätasa-arvon. Valitettavasti juuret eivät ole kovin hyviä siellä:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(tasaa)\]

Toisessa epätasa-arvossa on myös vähän peliä:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(tasaa)\]

Nyt meidän on merkittävä nämä numerot kahdelle akselille - yksi akseli jokaiselle epäyhtälölle. Pisteet on kuitenkin merkittävä oikeassa järjestyksessä: mitä suurempi numero, sitä enemmän piste siirtyy oikealle.

Ja tässä odotellaan asennusta. Jos kaikki on selvää numeroilla $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ensimmäisen osoittajassa olevat termit murto-osat ovat pienempiä kuin toisen osoittajan termit, joten summa on myös pienempi), luvuilla $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ei myöskään tule olemaan vaikeuksia (positiivinen luku selvästi negatiivisempi), mutta viimeisellä parilla kaikki ei ole niin yksinkertaista. Kumpi on suurempi: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Pisteiden järjestely numerolinjoilla ja itse asiassa vastaus riippuu vastauksesta tähän kysymykseen.

Joten verrataan:

\[\begin(matriisi) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriisi)\]

Eristimme juuren, saimme ei-negatiivisia lukuja epäyhtälön molemmille puolille, joten meillä on oikeus neliöidä molemmat puolet:

\[\begin(matriisi) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriisi)\]

Mielestäni on turhaa, että $4\sqrt(13) \gt 3$, joten $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, lopuksi pisteet akseleilla järjestetään seuraavasti:

Rumien juurien tapaus

Muistutan, että ratkaisemme sarjan, joten vastaus on liitto, ei varjostettujen joukkojen leikkaus.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kuten näet, järjestelmämme toimii hyvin sekä yksinkertaisissa että erittäin vaikeissa tehtävissä. Ainoa "heikko kohta" tässä lähestymistavassa on, että sinun on verrattava oikein irrationaalisia lukuja (ja usko minua: nämä eivät ole vain juuria). Mutta erillinen (ja erittäin vakava oppitunti) omistetaan vertailukysymyksille. Ja jatkamme eteenpäin.

3. Epätasa-arvo ei-negatiivisten "pyrstöjen" kanssa

Joten pääsimme mielenkiintoisimpaan. Nämä ovat muodon epätasa-arvoja:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Yleisesti ottaen algoritmi, josta nyt puhumme, koskee vain moduulia. Se toimii kaikissa epäyhtälöissä, joissa vasemmalla ja oikealla on taattuja ei-negatiivisia lausekkeita:

Mitä tehdä näille tehtäville? Muista vain:

Epätasa-arvossa ei-negatiivisten pyrstöjen kanssa molemmat puolet voidaan nostaa mihin tahansa luonnolliseen voimaan. Lisärajoituksia ei tule.

Ensinnäkin olemme kiinnostuneita neliöistä - se polttaa moduuleja ja juuria:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(tasaa)\]

Älä vain sekoita tätä neliön juuren ottamiseen:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Lukemattomia virheitä tehtiin, kun opiskelija unohti asentaa moduulin! Mutta tämä on täysin erilainen tarina (nämä ovat ikään kuin irrationaalisia yhtälöitä), joten emme mene siihen nyt. Ratkaistaan ​​paremmin pari ongelmaa:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Ratkaisu. Huomaamme heti kaksi asiaa:

1. Tämä on ei-tiukka eriarvoisuus. Numeroviivan pisteet leikataan pois.
2. Epäyhtälön molemmat puolet ovat ilmeisesti ei-negatiivisia (tämä on moduulin ominaisuus: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Siksi voimme neliöida epäyhtälön molemmat puolet päästäksemme eroon moduulista ja ratkaistaksemme ongelman tavanomaisella intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\ge ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2)). \\\end(tasaa)\]

Viimeisessä vaiheessa huijasin hieman: muutin termien järjestystä käyttämällä moduulin pariteettia (itse asiassa kerroin lausekkeen $1-2x$ -1:llä).

\[\begin(tasaa) & ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2))-((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ oikea)\oikea)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Siirrytään epäyhtälöstä yhtälöön:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme löydetyt juuret numeroriville. Jälleen kerran: kaikki pisteet ovat varjostettuja, koska alkuperäinen epätasa-arvo ei ole tiukka!

Moduulimerkin eroon pääseminen

Muistutan teitä erityisen itsepäisille: otamme merkit viimeisestä epäyhtälöstä, joka kirjoitettiin ylös ennen yhtälöön siirtymistä. Ja maalaamme yli samassa epätasa-arvossa vaaditut alueet. Meidän tapauksessamme tämä on $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, kaikki on nyt ohi. Ongelma ratkaistu.

Vastaus: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \oikea|\]

Ratkaisu. Teemme kaiken samalla tavalla. En kommentoi - katso vain toimintojen järjestystä.

Tehdään neliö:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \oikea| \oikea))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \oikea| \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))-((\vasen(((x)^(2))+3x+4 \ oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \oikea)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Välitysmenetelmä:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Oikea nuoli x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Lukurivillä on vain yksi juuri:

Vastaus on kokonaisuus

Vastaus: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Pieni huomautus viimeisestä tehtävästä. Kuten yksi oppilaistani tarkasti totesi, molemmat osamoduulilausekkeet tässä epäyhtälössä ovat selvästi positiivisia, joten moduulimerkki voidaan jättää pois ilman haittaa terveydelle.

Mutta tämä on jo täysin erilainen ajattelun taso ja erilainen lähestymistapa - sitä voidaan ehdollisesti kutsua seurausten menetelmäksi. Hänestä - erillisessä oppitunnissa. Ja nyt siirrytään tämän päivän oppitunnin viimeiseen osaan ja harkitaan universaalia algoritmia, joka toimii aina. Vaikka kaikki aiemmat lähestymistavat olivat voimattomia. :)

4. Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä

Entä jos kaikki nämä temput eivät toimi? Jos epätasa-arvoa ei voida pelkistää ei-negatiivisiksi hänniksi, jos on mahdotonta eristää moduulia, jos ollenkaan kipua-surua-ikävöintiä?

Sitten koko matematiikan "raskas tykistö" astuu näyttämölle - laskentamenetelmä. Mitä tulee epäyhtälöihin moduulin kanssa, se näyttää tältä:

1. Kirjoita kaikki alimoduulilausekkeet ja rinnasta ne nollaan;
2. Ratkaise tuloksena saadut yhtälöt ja merkitse löydetyt juuret yhdelle numeroviivalle;
3. Suora viiva jaetaan useisiin osiin, joiden sisällä jokaisella moduulilla on kiinteä etumerkki ja siksi ne laajenevat yksiselitteisesti;
4. Ratkaise jokaisen tällaisen osan epäyhtälö (voit erikseen harkita kohdassa 2 saatuja rajajuuria - luotettavuuden vuoksi). Yhdistä tulokset - tämä on vastaus. :)

No miten? Heikko? Helposti! Vain pitkään. Katsotaan käytännössä:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \oikea| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Ratkaisu. Tämä paska ei tiivisty epätasa-arvoon, kuten $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ tai $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, joten mennään eteenpäin.

Kirjoitamme alimoduulilausekkeet, rinnastamme ne nollaan ja etsimme juuret:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Nuoli oikealle x=1. \\\end(tasaa)\]

Yhteensä meillä on kaksi juuria, jotka jakavat numeroviivan kolmeen osaan, joiden sisällä jokainen moduuli paljastuu yksilöllisesti:

Lukuviivan jakaminen osamodulaaristen funktioiden nollalla

Tarkastellaan jokaista osaa erikseen.

1. Olkoon $x \lt -2$. Tällöin molemmat alimoduulilausekkeet ovat negatiivisia ja alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(tasaa)\]

Meillä on melko yksinkertainen rajoitus. Leikkaa se alkuperäisen oletuksen kanssa, että $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ilmeisesti muuttuja $x$ ei voi samanaikaisesti olla pienempi kuin −2 mutta suurempi kuin 1,5. Tällä alueella ei ole ratkaisuja.

1.1. Tarkastellaan erikseen rajatapausta: $x=-2$. Korvataan tämä luku alkuperäiseen epäyhtälöön ja tarkistetaan: pitääkö se paikkansa?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \oikea|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Ilmeisesti laskelmien ketju on johtanut meidät väärään epätasa-arvoon. Siksi alkuperäinen epäyhtälö on myös epätosi, eikä $x=-2$ ole mukana vastauksessa.

2. Olkoon nyt $-2 \lt x \lt 1 $. Vasen moduuli avautuu jo "plussalla", mutta oikea on edelleen "miinuksella". Meillä on:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(tasaa)\]

Jälleen leikkaamme alkuperäisen vaatimuksen:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ja jälleen tyhjä ratkaisujoukko, koska ei ole lukuja, jotka ovat sekä pienempiä kuin −2.5 että suurempia kuin −2.

2.1. Ja jälleen erikoistapaus: $x=1$. Korvataan alkuperäiseen epäyhtälöön:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\oikea| \lt\left| 0 \oikea|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Kuten edellisessä "erikoistapauksessa", numeroa $x=1$ ei selvästikään sisälly vastaukseen.

3. Rivin viimeinen pala: $x \gt 1$. Tässä kaikki moduulit on laajennettu plusmerkillä:

\[\begin(tasaa) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(tasaa)\ ]

Ja jälleen leikkaamme löydetyn joukon alkuperäisen rajoitteen kanssa:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \oikea)\]

vihdoinkin! Olemme löytäneet välin, joka on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Lopuksi yksi huomautus, joka voi säästää sinut typeriltä virheiltä todellisten ongelmien ratkaisemisessa:

Epäyhtälöiden ratkaisut moduuleilla ovat yleensä jatkuvia joukkoja lukurivillä - intervalleja ja segmenttejä. Eristetyt pisteet ovat paljon harvinaisempia. Ja vielä harvemmin tapahtuu, että ratkaisun rajat (segmentin loppu) osuvat yhteen tarkasteltavan alueen rajan kanssa.

Näin ollen, jos rajoja (näitä samoja "erikoistapauksia") ei sisällytetä vastaukseen, niin näiden rajojen vasemmalla-oikealla puoleisia alueita ei läheskään varmasti sisällytetä vastaukseen. Ja päinvastoin: raja tuli vastauksena, mikä tarkoittaa, että jotkut sen ympärillä olevat alueet ovat myös vastauksia.

Pidä tämä mielessä, kun tarkistat ratkaisusi.

Lineaarisia epäyhtälöitä kutsutaan jonka vasen ja oikea osa ovat lineaarisia funktioita tuntemattoman suuren suhteen. Näitä ovat esimerkiksi epätasa-arvo:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4-6x 9- x< x + 5 .

1) Tiukka eriarvoisuus: ax+b>0 tai kirves+b<0

2) Ei-tiukat eriarvoisuudet: ax+b≤0 tai kirves+b≫ 0

Otetaan tämä tehtävä. Suunnikkaan toinen sivu on 7 cm. Mikä pitäisi olla toisen sivun pituus, jotta suunnikkaan ympärysmitta on suurempi kuin 44 cm?

Anna halutun puolen olla X katso Tässä tapauksessa suunnikkaan kehää edustaa (14 + 2x) ks. Epäyhtälö 14 + 2x > 44 on matemaattinen malli suunnikkaan kehän ongelmasta. Jos tässä epäyhtälössä korvaamme muuttujan X esimerkiksi numerolla 16, niin saadaan oikea numeerinen epäyhtälö 14 + 32\u003e 44. Tässä tapauksessa luvun 16 sanotaan olevan ratkaisu epäyhtälölle 14 + 2x\u003e 44.

Epätasa-arvoratkaisu nimeä muuttujan arvo, joka muuttaa sen todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi.

Siksi jokainen numeroista 15,1; 20;73 toimivat ratkaisuna epäyhtälölle 14 + 2x > 44, eikä esimerkiksi luku 10 ole sen ratkaisu.

Ratkaise epätasa-arvo tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen määrittämistä tai sen osoittamista, että ratkaisuja ei ole olemassa.

Epäyhtälön ratkaisun muotoilu on samanlainen kuin yhtälön juuren muotoilu. Ja silti ei ole tapana nimetä "epätasa-arvon juurta".

Numeeristen yhtälöiden ominaisuudet auttoivat meitä ratkaisemaan yhtälöitä. Samoin numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet auttavat ratkaisemaan epäyhtälöitä.

Ratkaisemalla yhtälön muutamme sen toiseen, yksinkertaisempaan yhtälöön, mutta vastaa annettua yhtälöä. Samalla tavalla löydetään vastaus epätasa-arvoon. Muuttaessaan yhtälön sitä vastaavaksi yhtälöksi he käyttävät lausetta termien siirrosta yhtälön yhdestä osasta vastakkaiseen ja yhtälön molempien osien kertomisesta samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Epäyhtälöä ratkaistaessa sen ja yhtälön välillä on merkittävä ero, mikä johtuu siitä, että mikä tahansa yhtälön ratkaisu voidaan tarkistaa yksinkertaisesti korvaamalla se alkuperäiseen yhtälöön. Epäyhtälöissä sellaista menetelmää ei ole, koska alkuperäiseen epäyhtälöön ei voida korvata ääretöntä määrää ratkaisuja. Siksi on olemassa tärkeä käsite, nämä nuolet<=>on ekvivalenttien tai vastaavien muunnosten merkki. Transformaatiota kutsutaan vastaava tai vastaava jos he eivät muuta päätösasetusta.

Samanlaiset säännöt eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi.

Jos jokin termi siirretään epäyhtälön osasta toiseen, samalla kun sen etumerkki korvataan vastakkaisella, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan (jaetaan) samalla positiivisella luvulla, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Jos epäyhtälön molemmat osat kerrotaan (jaetaan) samalla negatiivisella luvulla, samalla kun epäyhtälömerkki korvataan vastakkaisella, saadaan epäyhtälö, joka vastaa annettua.

Käyttämällä näitä määräyksiä laskemme seuraavat epäyhtälöt.

1) Analysoidaan epätasa-arvoa 2x - 5 > 9.

se lineaarinen epätasa-arvo, etsi sen ratkaisu ja keskustele peruskäsitteistä.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 siirrettiin vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä), sitten jaoimme kaiken kahdella ja olemme x > 7. Käytämme akselille joukko ratkaisuja x

Olemme saaneet positiivisesti suunnatun säteen. Merkitsemme ratkaisujoukon joko epäyhtälön muodossa x > 7, tai intervallina x(7; ∞). Ja mikä on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon? Esimerkiksi, x = 10 on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon, x = 12 on myös erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon.

Erityisratkaisuja on monia, mutta meidän tehtävämme on löytää kaikki ratkaisut. Ja ratkaisut ovat yleensä loputtomia.

Analysoidaan esimerkki 2:

2) Ratkaise epäyhtälö 4a - 11 > a + 13.

Ratkaistaan ​​se: a siirtyä sivuun 11 siirrymme toiselle puolelle, saamme 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 eriarvoisuudella on muoto a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Näytämme myös setin a< 8 , mutta jo akselilla a.

Vastaus kirjoitetaan joko epäyhtälönä a< 8, либо a(-∞;8), 8 ei käynnisty.

Epätasa-arvo on lauseke, jossa on, ≤ tai ≥. Esimerkiksi 3x - 5 Epäyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa, että etsitään kaikki muuttujien arvot, joille tämä epäyhtälö on totta. Jokainen näistä luvuista on ratkaisu eriarvoisuuteen, ja kaikkien tällaisten ratkaisujen joukko on sen monia ratkaisuja. Epäyhtälöitä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaavat epätasa-arvot.

Lineaariset epäyhtälöt

Epäyhtälöiden ratkaisemisen periaatteet ovat samanlaiset kuin yhtälöiden ratkaisemisen periaatteet.

Periaatteet eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi
Kaikille reaaliluvuille a, b ja c:
Epäyhtälöiden lisäämisen periaate: Jos Epäyhtälöiden kertolaskuperiaate: Jos 0 on tosi, niin ac Jos bc on myös tosi.
Samanlaiset lausunnot pätevät myös a ≤ b:lle.

Kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan negatiivisella luvulla, epätasa-arvon etumerkki on käännettävä.
Ensimmäisen tason epäyhtälöitä, kuten esimerkissä 1 (alla), kutsutaan lineaariset epätasa-arvot.

Esimerkki 1 Ratkaise jokainen seuraavista epäyhtälöistä. Piirrä sitten joukko ratkaisuja.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Ratkaisu
Mikä tahansa luku, joka on pienempi kuin 11/5, on ratkaisu.
Ratkaisujoukko on (x|x
Tarkistuksen tekemiseksi voimme piirtää y 1 = 3x - 5 ja y 2 = 6 - 2x. Sitten tästä näkyy, että x:lle
Ratkaisujoukko on (x|x ≤ 1) tai (-∞, 1] Ratkaisujoukon kaavio on esitetty alla.

Kaksinkertainen epätasa-arvo

Kun kaksi eriarvoisuutta yhdistetään sanalla ja, tai, sitten se muodostuu kaksinkertainen eriarvoisuus. Kaksinkertainen epätasa-arvo kuten
-3 ja 2x + 5 ≤ 7
nimeltään yhdistetty koska se käyttää ja. Tietue -3 Kaksinkertaiset epäyhtälöt voidaan ratkaista epäyhtälöiden yhteen- ja kertolaskuperiaatteilla.

Esimerkki 2 Ratkaise -3 Ratkaisu Meillä on

Joukko ratkaisuja (x|x ≤ -1 tai x > 3). Voimme myös kirjoittaa ratkaisun käyttämällä välilyöntimerkintää ja symbolia for yhdistykset tai molempien joukkojen inkluusiot: (-∞ -1] (3, ∞). Ratkaisujoukon kaavio on esitetty alla.

Testaaksesi piirrä y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ja y 3 = 1. Huomaa, että (x|x ≤ -1 tai x > 3), y 1 ≤ y 2 tai y 1 > y 3 .

Epäyhtälöt itseisarvon kanssa (moduuli)

Epätasa-arvo sisältää joskus moduuleja. Niiden ratkaisemiseen käytetään seuraavia ominaisuuksia.
> 0 ja algebrallinen lauseke x:
|x| |x| > a vastaa x tai x > a.
Samanlaisia ​​lauseita |x| ≤ a ja |x| ≥ a.

Esimerkiksi,
|x| |y| ≥ 1 vastaa y ≤ -1 tai y ≥ 1;
ja |2x + 3| ≤ 4 vastaa -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Esimerkki 4 Ratkaise jokainen seuraavista epäyhtälöistä. Piirrä ratkaisujoukko.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Ratkaisu
a) |3x + 2|

Ratkaisujoukko on (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Ratkaisujoukko on (x|x ≤ 2 tai x ≥ 3), tai (-∞, 2] )