Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiopyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Sivujousi Pyramidiksi kutsutaan sivupinnan sitä puolta, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Huippupisteestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeudeksi kutsutaan apoteema . diagonaalinen leikkaus Pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivupinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. Koko pinta-ala on kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summa.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskustaan ​​lähellä kantaa.

2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskustaan ​​lähellä kantaa.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi kaava on oikea:

missä V- tilavuus;

S pää- peruspinta-ala;

H on pyramidin korkeus.

Säännölliselle pyramidille seuraavat kaavat ovat tosia:

missä p- pohjan kehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pää- peruspinta-ala;

V on säännöllisen pyramidin tilavuus.

katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja leikkaustason väliin pyramidin pohjan suuntaisesti (kuva 17). Oikea katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Säätiöt katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus Katkaistua pyramidia kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen välillä. Diagonaalinen Katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. diagonaalinen leikkaus Katkaistun pyramidin osaa kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistun pyramidin kaavat ovat voimassa:

(4)

missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V on katkaistun pyramidin tilavuus.

Tavalliselle katkaistulle pyramidille seuraava kaava on totta:

missä p 1 , p 2 - pohjakehät;

h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1 Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Päätös. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että kanta on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (piirretyn ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivurivan kaltevuuskulma (esim SB) on itse reunan ja sen perustasoon projektion välinen kulma. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN ja OB. Olkoon segmentin pituus BD on 3 a. piste O Jana BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2 Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Päätös. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Kantojen pinta-alojen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantajen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm3.

Esimerkki 3 Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka kantat ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Päätös. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikas. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohjat ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Etsi se mistä MUTTA 1 E kohtisuorassa pisteestä MUTTA 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan MUTTA 1 päälle AC. MUTTA 1 E\u003d 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytämiseen DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste O- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK on piirretyn ympyrän säde ja OM on piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan alkaen

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4 Pyramidin juurella on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat a ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Päätös. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-alojen ja pinta-alan summa ABCD.

Käytetään lausetta, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD perustasolle. Tasaisen hahmon ortogonaalisen projektion alaa koskevan lauseen mukaan saamme:

Samalla tavalla se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste O on puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin Pythagoraan lauseen mukaan meillä on

Taito laskea tilakuvioiden tilavuus on tärkeää useiden geometrian käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Yksi yleisimmistä muodoista on pyramidi. Tässä artikkelissa tarkastelemme pyramideja, sekä täydellisiä että katkaistuja.

Pyramidi kolmiulotteisena hahmona

Kaikki tietävät Egyptin pyramideista, joten heillä on hyvä käsitys siitä, mistä hahmosta keskustellaan. Egyptiläiset kivirakenteet ovat kuitenkin vain erikoistapaus valtavasta pyramidien luokasta.

Tarkastelun kohteena oleva geometrinen objekti on yleisessä tapauksessa monikulmiokanta, jonka kukin kärkipiste on yhteydessä johonkin avaruuden pisteeseen, joka ei kuulu perustasoon. Tämä määritelmä johtaa kuvioon, joka koostuu yhdestä n-kulmiosta ja n kolmiosta.

Mikä tahansa pyramidi koostuu n+1 pinnasta, 2*n reunasta ja n+1 pisteestä. Koska tarkasteltavana oleva kuvio on täydellinen monitahoinen, merkittyjen elementtien lukumäärät noudattavat Eulerin yhtälöä:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Pohjalla oleva monikulmio antaa pyramidin nimen, esimerkiksi kolmion muotoinen, viisikulmainen ja niin edelleen. Alla olevassa kuvassa näkyy sarja pyramideja, joissa on eri pohjat.

Pistettä, jossa kuvion n kolmiota on yhdistetty, kutsutaan pyramidin huipuksi. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjaan ja se leikkaa sen geometrisessa keskustassa, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Jos tämä ehto ei täyty, on olemassa kalteva pyramidi.

Suoraa kuviota, jonka kannan muodostaa tasasivuinen (tasakulmainen) n-kulmio, kutsutaan säännölliseksi.

Pyramidin tilavuuskaava

Pyramidin tilavuuden laskemiseksi käytämme integraalilaskua. Tätä varten jaamme kuvion pohjan kanssa samansuuntaisilla leikkaustasoilla äärettömään määrään ohuita kerroksia. Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen pyramidi, jonka korkeus on h ja sivun pituus L, jossa ohut leikkauskerros on merkitty nelikulmiolla.

Kunkin tällaisen kerroksen pinta-ala voidaan laskea kaavalla:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Tässä A 0 on kannan pinta-ala, z on pystykoordinaatin arvo. Voidaan nähdä, että jos z = 0, niin kaava antaa arvon A 0 .

Saadaksesi kaavan pyramidin tilavuudelle, sinun tulee laskea integraali koko kuvan korkeudelta, eli:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Korvaamalla riippuvuuden A(z) ja laskemalla antiderivaata saadaan lauseke:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Olemme saaneet pyramidin tilavuuden kaavan. V:n arvon löytämiseksi riittää, että kerrot hahmon korkeuden pohjan pinta-alalla ja jaat sitten tuloksen kolmella.

Huomaa, että tuloksena oleva lauseke pätee mielivaltaisen tyyppisen pyramidin tilavuuden laskemiseen. Eli se voi olla vinossa ja sen kanta voi olla mielivaltainen n-kulmio.

ja sen tilavuus

Yllä olevassa kappaleessa saatua tilavuuden yleiskaavaa voidaan tarkentaa pyramidin tapauksessa, jossa on säännöllinen kanta. Tällaisen pohjan pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

A 0 = n/4*L 2*ctg(pi/n).

Tässä L on säännöllisen monikulmion sivun pituus, jossa on n kärkeä. Symboli pi on luku pi.

Korvaamalla lausekkeen A 0 yleiskaavaan, saadaan säännöllisen pyramidin tilavuus:

Vn = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Esimerkiksi kolmiopyramidille tämä kaava johtaa seuraavaan lausekkeeseen:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Tavallisen nelikulmaisen pyramidin tilavuuskaava on seuraavanlainen:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Säännöllisten pyramidien tilavuuksien määrittäminen edellyttää niiden pohjan sivun ja kuvion korkeuden tuntemista.

Pyramidi katkaistu

Oletetaan, että olemme ottaneet mielivaltaisen pyramidin ja leikkaaneet sen sivupinnasta osan, joka sisältää kärjen. Jäljelle jäävää hahmoa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi. Se koostuu jo kahdesta n-kulmaisesta kannasta ja n:stä puolisuunnikkaasta, jotka yhdistävät ne. Jos leikkaustaso oli yhdensuuntainen kuvion pohjan kanssa, muodostetaan katkaistu pyramidi, jossa on samansuuntaiset samanlaiset kantat. Toisin sanoen toisen sivujen pituudet saadaan kertomalla toisen sivun pituudet jollain kertoimella k.

Yllä olevassa kuvassa on katkaistu säännöllinen, jonka yläpohjan, kuten alemmankin, muodostaa säännöllinen kuusikulmio.

Kaava, joka voidaan johtaa käyttämällä edellisen kaltaista integraalilaskua, on:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Missä A 0 ja A 1 ovat alemman (suuri) ja ylemmän (pienen) emäksen alueita, vastaavasti. Muuttuja h tarkoittaa katkaistun pyramidin korkeutta.

Cheopsin pyramidin tilavuus

On utelias ratkaista ongelma, joka liittyy Egyptin suurimman pyramidin sisältämän tilavuuden määrittämiseen.

Vuonna 1984 brittiläiset egyptiologit Mark Lehner ja Jon Goodman määrittelivät Cheops-pyramidin tarkat mitat. Sen alkuperäinen korkeus oli 146,50 metriä (tällä hetkellä noin 137 metriä). Rakenteen kunkin neljän sivun keskipituus oli 230 363 metriä. Pyramidin pohja on suurella tarkkuudella neliömäinen.

Määritetään tämän kivijättiläisen tilavuus annettujen lukujen avulla. Koska pyramidi on säännöllinen nelikulmainen, sille pätee kaava:

Liitä numerot, saamme:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopsin pyramidin tilavuus on lähes 2,6 miljoonaa m 3. Vertailun vuoksi huomaamme, että olympia-altaan tilavuus on 2,5 tuhatta m 3. Eli koko Cheops-pyramidin täyttämiseksi tarvitaan yli 1000 tällaista allasta!

- Tämä on monitahoinen, jonka muodostaa pyramidin pohja ja sen suuntainen osa. Voimme sanoa, että katkaistu pyramidi on pyramidi, jonka yläosa on katkaistu. Tällä kuviolla on monia ainutlaatuisia ominaisuuksia:

• Pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia;
• Säännöllisen katkaistun pyramidin lateraaliset rivat ovat saman pituisia ja kallistuneet alustaan ​​samassa kulmassa;
• Pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja;
• Tavallisessa katkaistussa pyramidissa pinnat ovat identtisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Ne ovat myös kallistuneet alustaan ​​yhdessä kulmassa.

Katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-alan kaava on sen sivujen pinta-alojen summa:

Koska katkaistun pyramidin sivut ovat puolisuunnikkaan muotoisia, sinun on käytettävä kaavaa parametrien laskemiseen puolisuunnikkaan muotoinen alue. Normaalille katkaistulle pyramidille voidaan soveltaa toista pinta-alan laskentakaavaa. Koska sen kaikki sivut, pinnat ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret, on mahdollista soveltaa pohjan ja apoteemin kehyksiä sekä johtaa pinta-ala pohjan kulman kautta.

Jos säännöllisen katkaistun pyramidin olosuhteiden mukaan on annettu apoteemi (sivun korkeus) ja pohjan sivujen pituudet, niin pinta-ala voidaan laskea kehäsumman puolitulon kautta. emäkset ja apoteemi:

Katsotaanpa esimerkkiä katkaistun pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.
Annettu säännöllinen viisikulmainen pyramidi. Apothem l\u003d 5 cm, kasvojen pituus suuressa pohjassa on a\u003d 6 cm, ja kasvot ovat pienemmässä pohjassa b\u003d 4 cm. Laske katkaistun pyramidin pinta-ala.

Ensin löydetään pohjan kehät. Koska meille on annettu viisikulmainen pyramidi, ymmärrämme, että kannat ovat viisikulmioita. Tämä tarkoittaa, että pohjat ovat kuvio, jossa on viisi identtistä sivua. Etsi suuremman pohjan ympärysmitta:

Samalla tavalla löydämme pienemmän pohjan kehän:

Nyt voimme laskea säännöllisen katkaistun pyramidin alueen. Korvaamme tiedot kaavassa:

Näin ollen laskemme säännöllisen katkaistun pyramidin alueen kehän ja apoteemin läpi.

Toinen tapa laskea säännöllisen pyramidin sivupinta-ala on kaava pohjan kulmien läpi ja juuri näiden jalkojen alueen läpi.

Katsotaanpa esimerkkilaskelmaa. Muista, että tämä kaava koskee vain tavallista katkaistua pyramidia.

Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alapohjan pinta on a = 6 cm ja ylemmän b = 4 cm. Dihedraalikulma pohjassa on β = 60°. Etsi säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ensin lasketaan tukien pinta-ala. Koska pyramidi on säännöllinen, kannan kaikki pinnat ovat keskenään yhtä suuret. Koska kanta on nelikulmio, ymmärrämme, että se on tarpeen laskea neliön alue. Se on leveyden ja pituuden tulo, mutta neliöitynä nämä arvot ovat samat. Etsi suuremman pohjan pinta-ala:


Nyt käytämme löydettyjä arvoja sivupinta-alan laskemiseen.

Tietäen muutaman yksinkertaisen kaavan, laskemme helposti katkaistun pyramidin sivusuunnikkaan alueen eri arvojen avulla.

• 09.10.2014

  Kuvassa näkyvä esivahvistin on suunniteltu käytettäväksi 4 eri äänilähteen kanssa, kuten mikrofoni, CD-soitin, radionauhuri jne. Samalla esivahvistimessa on yksi tulo, joka voi muuttaa herkkyyttä 50 mV:sta 500 mV:iin. . vahvistimen lähtöjännite on 1000mV. Yhdistämällä eri signaalilähteitä kytkintä SA1 vaihdettaessa saamme aina ...

• 20.09.2014

  Virtalähde on suunniteltu kuormitukselle, jonka teho on 15 ... 20 wattia. Lähde on valmistettu ykskaavion mukaan. Transistoriin on asennettu oskillaattori, joka toimii taajuudella 20 ... 40 kHz. Taajuutta säädetään kapasitanssilla C5. Elementit VD5, VD6 ja C6 muodostavat piirin oskillaattorin käynnistämiseksi. Toisiopiirissä, siltatasasuuntaajan jälkeen, mikropiirissä on tavanomainen lineaarinen stabilisaattori, jonka avulla voit ...

• 28.09.2014

  Kuvassa on K174XA11-sirun generaattori, jonka taajuutta ohjataan jännitteellä. Muuttamalla kapasitanssia C1 560:sta 4700pF:iin saadaan laaja taajuusalue, kun taas taajuutta säädetään muuttamalla vastusta R4. Esimerkiksi kirjoittaja sai selville, että C1 \u003d 560pF:llä generaattorin taajuutta voidaan muuttaa R4:llä 600 Hz:stä 200 kHz:iin, ...

• 03.10.2014

  Yksikkö on suunniteltu antamaan virtaa tehokkaalle ULF:lle, se on suunniteltu ± 27 V:n lähtöjännitteelle ja siten kuormittaa kutakin vartta jopa 3 A. Virtalähde on bipolaarinen, valmistettu täydellisistä komposiittitransistoreista KT825-KT827. Stabilisaattorin molemmat varret on valmistettu saman kaavion mukaan, mutta toisessa varressa (ei näy) kondensaattoreiden napaisuutta muutetaan ja toisen transistoreja käytetään ...