Tämän artikkelin painopiste on logaritmi. Tässä annamme logaritmin määritelmän, näytämme hyväksytyn merkinnän, annamme esimerkkejä logaritmeista ja puhumme luonnollisista ja desimaalilogaritmeista. Harkitse sen jälkeen logaritmisen perusidentiteettiä.
Sivulla navigointi.
Logaritmin määritelmä
Logaritmin käsite syntyy, kun ratkaistaan ongelma tietyssä mielessä käänteisesti, kun on löydettävä eksponentti tunnetusta asteen arvosta ja tunnetusta kannasta.
Mutta tarpeeksi johdanto, on aika vastata kysymykseen "mikä on logaritmi"? Annetaan sopiva määritelmä.
Määritelmä.
Logaritmi b:stä kantaan a, jossa a>0 , a≠1 ja b>0 on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa luku a saadaksesi tuloksen b.
Tässä vaiheessa panemme merkille, että puhutun sanan "logaritmi" pitäisi heti herättää kaksi seuraavaa kysymystä: "mikä numero" ja "millä perusteella". Toisin sanoen, logaritmia ei yksinkertaisesti ole, vaan jossain kannassa on vain luvun logaritmi.
Esittelemme heti logaritmin merkintä: luvun b logaritmia kantaan a merkitään yleensä loga b : na. Luvun b logaritmilla kantaan e ja logaritmilla kantaan 10 on omat erikoisnimensä lnb ja lgb, eli ne eivät kirjoita log e b , vaan lnb , eivätkä log 10 b , vaan lgb .
Nyt voit tuoda: .
Ja levyt 
ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä on negatiivinen luku logaritmin merkin alla, toisessa - negatiivinen luku kannassa ja kolmannessa - sekä negatiivinen luku logaritmin merkin alla että yksikkö pohjassa.
Nyt puhutaan logaritmien lukemisen säännöt. Kirjauslogi a b luetaan "logaritmina b:stä kantaan a". Esimerkiksi logaritmi 2 3 on logaritmi kolmesta kantaan 2, ja se on kahden kokonaisluvun logaritmi kahden kantapään kolmanneksen viiden neliöjuuresta. Logaritmia kantaan e kutsutaan luonnollinen logaritmi, ja merkintä lnb luetaan "b:n luonnollisena logaritmina". Esimerkiksi ln7 on luvun seitsemän luonnollinen logaritmi, ja luemme sen pi:n luonnolliseksi logaritmiksi. Logaritmilla kantaan 10 on myös erityinen nimi - desimaalilogaritmi, ja merkintä lgb luetaan "desimaalilogaritmiksi b". Esimerkiksi lg1 on yhden desimaalilogaritmi ja lg2.75 on kahden pisteen seitsemänkymmenenviiden sadasosan desimaalilogaritmi.
Erikseen kannattaa keskittyä ehdoihin a>0, a≠1 ja b>0, joissa logaritmin määritelmä annetaan. Selvitetään, mistä nämä rajoitukset tulevat. Tämän tekemisessä meitä auttaa muodon yhtäläisyys, nimeltään , joka seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.
Aloitetaan a≠1:stä. Koska yksi on yhtä suuri kuin yksi minkä tahansa potenssin kanssa, yhtälö voi olla totta vain b=1:lle, mutta log 1 1 voi olla mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden välttämiseksi a≠1 hyväksytään.
Perustellaan ehdon a>0 tarkoituksenmukaisuus. Kun a=0, logaritmin määritelmän mukaan meillä olisi yhtäläisyys , mikä on mahdollista vain, kun b=0 . Mutta sitten log 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nolla mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämä epäselvyys voidaan välttää ehdolla a≠0 . Ja a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Lopuksi ehto b>0 seuraa epäyhtälöstä a>0 , koska , ja positiivisella kantalla a olevan asteen arvo on aina positiivinen.
Tämän kappaleen lopuksi sanomme, että logaritmin soinnillinen määritelmä antaa sinun ilmoittaa välittömästi logaritmin arvon, kun logaritmin merkin alla oleva luku on tietty kanta. Todellakin, logaritmin määritelmä antaa meille mahdollisuuden väittää, että jos b=a p , niin luvun b logaritmi kantaan a on yhtä suuri kuin p . Eli yhtälölogi a a p =p on tosi. Tiedämme esimerkiksi, että 2 3 = 8 , sitten log 2 8 = 3 . Puhumme tästä lisää artikkelissa.
Yhteiskunnan kehittyessä tuotannon monimutkaisuuden myötä myös matematiikka kehittyi. Liikkeet yksinkertaisesta monimutkaiseen. Tavanomaisesta yhteen- ja vähennyslaskumenetelmästä toistuvalla toistolla he päätyivät kerto- ja jakolaskujaan. Kerran toistetun operaation vähentämisestä tuli eksponentioimisen käsite. Intialainen matemaatikko Varasena laati ensimmäiset taulukot lukujen riippuvuudesta kantaan ja eksponentioluvusta 800-luvulla. Niistä voit laskea logaritmien esiintymisajan.
Historiallinen ääriviiva
Euroopan elpyminen 1500-luvulla vauhditti myös mekaniikan kehitystä. T vaati paljon laskentaa liittyy moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vanhat pöydät tekivät hyvää palvelua. Ne mahdollistivat monimutkaisten toimintojen korvaamisen yksinkertaisemmilla - yhteen- ja vähennyslaskulla. Iso askel eteenpäin oli matemaatikko Michael Stiefelin vuonna 1544 julkaistu työ, jossa hän toteutti monien matemaatikoiden ajatuksen. Tämä mahdollisti taulukoiden käytön asteille alkulukujen muodossa, vaan myös mielivaltaisille rationaalisille lukuille.
Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti näitä ajatuksia ja esitteli ensimmäisen kerran uuden termin "luvun logaritmi". Sinien ja kosinien logaritmien sekä tangenttien laskemiseen tehtiin uusia kompleksisia taulukoita. Tämä vähensi suuresti tähtitieteilijöiden työtä.
Uusia taulukoita alkoi ilmestyä, joita tutkijat käyttivät menestyksekkäästi kolmen vuosisadan ajan. Kului paljon aikaa ennen kuin uusi algebran operaatio sai lopullisen muotonsa. Logaritmi määriteltiin ja sen ominaisuuksia tutkittiin.
Vasta 1900-luvulla, laskimen ja tietokoneen tultua käyttöön, ihmiskunta hylkäsi muinaiset taulukot, jotka olivat toimineet menestyksekkäästi läpi 1200-luvun.
Nykyään kutsumme b:n logaritmia perustaa a lukua x, joka on a:n potenssi, jotta saadaan luku b. Tämä kirjoitetaan kaavana: x = log a(b).
Esimerkiksi log 3(9) on yhtä suuri kuin 2. Tämä on ilmeistä, jos noudatat määritelmää. Jos korotamme 3:n potenssiin 2, saamme 9.
Näin ollen muotoiltu määritelmä asettaa vain yhden rajoituksen, numeroiden a ja b on oltava todellisia.
Logaritmien lajikkeet
Klassista määritelmää kutsutaan todelliseksi logaritmiksi ja se on itse asiassa yhtälön a x = b ratkaisu. Vaihtoehto a = 1 on rajallinen, eikä sillä ole merkitystä. Huomaa: 1 mihin tahansa potenssiin on 1.
Logaritmin todellinen arvo määritellään vain, jos kanta ja argumentti ovat suurempia kuin 0 ja kantaluku ei saa olla yhtä suuri kuin 1.
Erityinen paikka matematiikan alalla pelaa logaritmeja, jotka nimetään niiden perustan arvon mukaan:
Säännöt ja rajoitukset
Logaritmien perusominaisuus on sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritminen summa. log abp = log a(b) + log a(p).
Tämän lausunnon muunnelmana se on: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), osamääräfunktio on yhtä suuri kuin funktioiden ero.
Kahdesta edellisestä säännöstä on helppo nähdä, että: log a(b p) = p * log a(b).
Muita ominaisuuksia ovat:
Kommentti. Älä tee yleistä virhettä - summan logaritmi ei ole sama kuin logaritmien summa.
Useiden vuosisatojen ajan logaritmin löytäminen oli melko aikaa vievä tehtävä. Matemaatikot käyttivät tunnettua logaritmisen teorian kaavaa polynomilaajennuksesta:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), jossa n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, mikä määrittää laskennan tarkkuuden.
Logaritmit muiden kantalukujen kanssa laskettiin käyttämällä lausetta siirtymisestä kantasta toiseen ja tuotteen logaritmin ominaisuuteen.
Koska tämä menetelmä on erittäin työläs ja kun ratkaistaan käytännön ongelmia vaikea toteuttaa, he käyttivät valmiiksi laadittuja logaritmitaulukoita, mikä nopeutti huomattavasti koko työtä.
Joissakin tapauksissa käytettiin erityisesti koottuja logaritmien kuvaajia, jotka antoivat vähemmän tarkkuutta, mutta nopeuttavat merkittävästi halutun arvon hakua. Useampaan pisteeseen rakennettu funktion y = log a(x) käyrä mahdollistaa tavanomaisen viivaimen avulla funktion arvojen löytämisen mistä tahansa muusta pisteestä. Insinöörit käyttivät pitkään ns. kaaviopaperia näihin tarkoituksiin.
1600-luvulla ilmestyivät ensimmäiset analogiset apulaskentaolosuhteet, jotka 1800-luvulle mennessä olivat saaneet valmiin muodon. Menestynein laite oli nimeltään slidesääntö. Laitteen yksinkertaisuudesta huolimatta sen ulkonäkö nopeuttaa merkittävästi kaikkien teknisten laskelmien prosessia, ja tätä on vaikea yliarvioida. Tällä hetkellä harvat ihmiset tuntevat tämän laitteen.
Laskimien ja tietokoneiden tulo teki turhaksi käyttää muita laitteita.
Yhtälöt ja epäyhtälöt
Seuraavia kaavoja käytetään erilaisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen logaritmeilla:
- Siirtyminen emäksestä toiseen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Edellisen version seurauksena: log a(b) = 1 / log b(a).
Eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää:
- Logaritmin arvo on positiivinen vain, jos sekä kanta että argumentti ovat molemmat suurempia tai pienempiä kuin yksi; jos ainakin yksi ehto rikotaan, logaritmin arvo on negatiivinen.
- Jos logaritmifunktiota sovelletaan epäyhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle ja logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, niin epäyhtälön etumerkki säilyy; muuten se muuttuu.
Tehtäväesimerkkejä
Harkitse useita logaritmien ja niiden ominaisuuksien käyttövaihtoehtoja. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta:
Harkitse vaihtoehtoa logaritmin sijoittamiseksi asteeseen:
- Tehtävä 3. Laske 25^log 5(3). Ratkaisu: tehtävän olosuhteissa merkintätapa on samanlainen kuin (5^2)^log5(3) tai 5^(2 * log 5(3)). Kirjoitetaan se toisin: 5^log 5(3*2), tai luvun neliö funktion argumenttina voidaan kirjoittaa itse funktion neliöksi (5^log 5(3))^2. Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia tämä lauseke on 3^2. Vastaus: laskennan tuloksena saamme 9.
Käytännöllinen käyttö
Puhtaasti matemaattisena työkaluna näyttää olevan kaukana todellisesta elämästä, että logaritmilla on yhtäkkiä tullut paljon merkitystä todellisen maailman esineiden kuvaamisessa. On vaikea löytää tiedettä, jossa sitä ei käytetä. Tämä pätee täysin ei vain luonnollisiin, vaan myös humanistisiin tietoihin.
Logaritmiset riippuvuudet
Tässä on esimerkkejä numeerisista riippuvuuksista:
Mekaniikka ja fysiikka
Historiallisesti mekaniikka ja fysiikka ovat aina kehittyneet käyttämällä matemaattisia tutkimusmenetelmiä ja samalla toimineet kannustimena matematiikan, myös logaritmien, kehitykselle. Useimpien fysiikan lakien teoria on kirjoitettu matematiikan kielellä. Annamme vain kaksi esimerkkiä fysikaalisten lakien kuvauksesta logaritmin avulla.
On mahdollista ratkaista ongelma sellaisen monimutkaisen suuren kuin raketin nopeuden laskemisessa käyttämällä Tsiolkovsky-kaavaa, joka loi perustan avaruustutkimuksen teorialle:
V = I * ln(M1/M2), missä
- V on lentokoneen lopullinen nopeus.
- Minä olen moottorin erityinen impulssi.
- M 1 on raketin alkumassa.
- M 2 - lopullinen massa.
Toinen tärkeä esimerkki- Tämä on toisen suuren tiedemiehen Max Planckin kaavassa, joka toimii termodynamiikan tasapainotilan arvioinnissa.
S = k * ln (Ω), missä
- S on termodynaaminen ominaisuus.
- k on Boltzmannin vakio.
- Ω on eri tilojen tilastollinen paino.
Kemia
Vähemmän ilmeistä olisi logaritmien suhteen sisältävien kaavojen käyttö kemiassa. Tässä on vain kaksi esimerkkiä:
- Nernstin yhtälö, väliaineen redox-potentiaalin ehto suhteessa aineiden aktiivisuuteen ja tasapainovakioon.
- Sellaisten vakioiden kuin autoprolyysiindeksin ja liuoksen happamuuden laskenta ei myöskään ole täydellinen ilman toimintoamme.
Psykologia ja biologia
Ja on täysin käsittämätöntä, mitä tekemistä psykologialla on sen kanssa. Osoittautuu, että tämä funktio kuvaa hyvin tunteen voimakkuutta ärsykkeen intensiteetin arvon käänteisenä suhteena alemman intensiteetin arvoon.
Yllä olevien esimerkkien jälkeen ei ole enää yllättävää, että logaritmien teemaa käytetään laajasti myös biologiassa. Logaritmisia spiraaleja vastaavista biologisista muodoista voidaan kirjoittaa kokonaisia niteitä.
Muut alueet
Näyttää siltä, että maailman olemassaolo on mahdotonta ilman yhteyttä tähän tehtävään, ja se hallitsee kaikkia lakeja. Varsinkin kun luonnonlait liittyvät geometriseen etenemiseen. Kannattaa katsoa MatProfin nettisivuja, joista on monia esimerkkejä seuraavilla toiminta-alueilla:
Lista voisi olla loputon. Kun olet oppinut tämän toiminnon peruslait, voit sukeltaa äärettömän viisauden maailmaan.
Aloitetaan ykseyden logaritmin ominaisuudet. Sen muotoilu on seuraava: yksikön logaritmi on yhtä suuri kuin nolla, eli log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Todistus on suoraviivainen: koska a 0 =1 mille tahansa a:lle, joka täyttää yllä olevat ehdot a>0 ja a≠1 , niin todistettu yhtäläisyys log a 1=0 seuraa välittömästi logaritmin määritelmästä.
Otetaan esimerkkejä tarkasteltavan ominaisuuden soveltamisesta: log 3 1=0 , lg1=0 ja .
Siirrytään seuraavaan omaisuuteen: kantaa vastaavan luvun logaritmi on yhtä suuri kuin yksi eli log a a=1 jos a>0, a≠1. Todellakin, koska a 1 =a mille tahansa a:lle, niin logaritmin määritelmän mukaan log a a=1 .
Esimerkkejä tämän logaritmien ominaisuuden käytöstä ovat log 5 5=1 , log 5.6 5.6 ja lne=1 .
Esimerkiksi log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja 
.
Kahden positiivisen luvun tulon logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien tulo: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Todistakaamme tuotteen logaritmin ominaisuus. Johtuen tutkinnon ominaisuuksista a log a x+log a y =a log a x a log a y, ja koska päälogaritmisen identiteetin mukaan log a x =x ja log a y =y , niin log a x a log a y =x y . Siten log a x+log a y =x y , josta logaritmin määritelmä seuraa vaadittua yhtälöä.
Otetaan esimerkkejä tuotteen logaritmin ominaisuuden käytöstä: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja 
.
Tulon logaritmin ominaisuus voidaan yleistää positiivisten lukujen x 1 , x 2 , …, x n äärellisen luvun n tuloksi. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tämä tasa-arvo on helposti todistettavissa.
Esimerkiksi tuotteen luonnollinen logaritmi voidaan korvata lukujen 4, e ja kolmen luonnollisen logaritmin summalla.
Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi x ja y on yhtä suuri kuin näiden lukujen logaritmien välinen ero. Osamäärälogaritmin ominaisuus vastaa muotoa , jossa a>0, a≠1, x ja y ovat joitain positiivisia lukuja. Tämän kaavan pätevyys todistetaan kuten tuotteen logaritmin kaava: koska 
, sitten logaritmin määritelmän mukaan.
Tässä on esimerkki tämän logaritmin ominaisuuden käyttämisestä: 
.
Jatketaan asteen logaritmin ominaisuus. Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja tämän asteen kantamoduulin logaritmi. Kirjoitamme tämän asteen logaritmin ominaisuuden kaavan muodossa: log a b p =p log a |b|, jossa a>0, a≠1, b ja p ovat sellaisia lukuja, että b p:n aste on järkevä ja b p >0.
Todistamme ensin tämän ominaisuuden positiiviselle b:lle. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b , jolloin b p =(a log a b) p , ja tuloksena oleva lauseke on potenssiominaisuudesta johtuen yhtä suuri kuin a p log a b . Saavutetaan siis yhtälö b p =a p log a b , josta logaritmin määritelmän perusteella päätellään, että log a b p =p log a b .
On vielä todistettava tämä ominaisuus negatiiviselle b:lle. Tässä huomautetaan, että lauseke log a b p negatiiviselle b:lle on järkevä vain parillisille eksponenteille p (koska asteen b p arvon on oltava suurempi kuin nolla, muuten logaritmissa ei ole järkeä), ja tässä tapauksessa b p =|b| p . Sitten b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, josta log a b p =p log a |b| .
Esimerkiksi, 
ja ln(-3)4 =4 ln|-3|=4 ln3.
Se seuraa edellisestä omaisuudesta logaritmin ominaisuus juuresta: n:nnen asteen juuren logaritmi on yhtä suuri kuin murto-osan 1/n tulo ja juurilausekkeen logaritmi, eli 
, jossa a>0, a≠1, n on yhtä suurempi luonnollinen luku, b>0.
Todistus perustuu yhtälöön (katso ), joka pätee mille tahansa positiiviselle b:lle, ja asteen logaritmin ominaisuuteen: 
.
Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: 
.
Nyt todistetaan muunnoskaava logaritmin uuteen kantaan ystävällinen 
. Tätä varten riittää, kun todistetaan yhtälön log c b=log a b log c a pätevyys. Logaritmisen perusidentiteetin avulla voimme esittää luvun b muodossa log a b, sitten log c b=log c a log a b . Jää käyttää tutkinnon logaritmin ominaisuutta: log c a log a b = log a b log c a. Siten yhtälö log c b=log a b log c a on todistettu, mikä tarkoittaa, että myös logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava on todistettu.
Otetaan pari esimerkkiä tämän logaritmien ominaisuuden soveltamisesta: ja 
.
Uuteen kantaan siirtymisen kaavan avulla voit siirtyä työskentelemään logaritmien kanssa, joilla on "kätevä" kanta. Sen avulla voidaan esimerkiksi vaihtaa luonnollisiin tai desimaalilogaritmiin, jotta voit laskea logaritmin arvon logaritmitaulukosta. Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa myös joissain tapauksissa tietyn logaritmin arvon löytämisen, kun joidenkin logaritmien arvot muilla kantaluvuilla ovat tiedossa.
Usein käytetään erikoistapausta siirtymäkaavasta logaritmin uuteen kantaan muodon c=b:lle 
. Tämä osoittaa, että log a b ja log b a – . Esimerkiksi, 
.
Usein käytetään myös kaavaa 
, josta on hyötyä logaritmiarvojen löytämisessä. Sanojemme vahvistamiseksi näytämme kuinka lomakkeen logaritmin arvo lasketaan sen avulla. Meillä on 
. Todistamaan kaavan 
riittää, että käytetään siirtymäkaavaa logaritmin a uuteen kantaan: 
.
On vielä todistettava logaritmien vertailuominaisuudet.
Osoitetaan, että millä tahansa positiivisella luvulla b 1 ja b 2 , b 1 log a b 2 ja a>1:lle epäyhtälö log a b 1 Lopuksi on vielä todistettava viimeinen luetelluista logaritmien ominaisuuksista. Todistamme vain sen ensimmäisen osan, eli todistamme, että jos a 1 >1 , a 2 >1 ja a 1 1 on tosi log a 1 b>log a 2 b . Muut lausumat tästä logaritmien ominaisuudesta todistetaan samanlaisella periaatteella. Käytetään päinvastaista menetelmää. Oletetaan, että 1 >1, 2 >1 ja 1 1 log a 1 b≤log a 2 b on totta. Logaritmien ominaisuuksien perusteella nämä epäyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 
ja 
vastaavasti, ja niistä seuraa, että log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥ log b a 2, vastaavasti. Tällöin samoilla kantakantoilla olevien potenssien ominaisuuksien perusteella yhtäläisyydet b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 on täytettävä, eli a 1 ≥a 2 . Siten olemme päätyneet ristiriidaan ehdon a 1 kanssa
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).
Suhteessa
Tehtävä löytää mikä tahansa kolmesta numerosta kahdesta muusta, voidaan asettaa. Annettu a ja sitten N löytyy eksponentioimalla. Jos N on annettu ja sitten a löydetään erottamalla potenssin x juuri (tai eksponentio). Tarkastellaan nyt tapausta, jossa a:lla ja N:llä on löydettävä x.
Olkoon luku N positiivinen: luku a on positiivinen eikä yhtä suuri kuin yksi: .
Määritelmä. Luvun N logaritmi kantaan a on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa a saadaksesi luvun N; logaritmi on merkitty
Siten yhtälössä (26.1) eksponentti löytyy N:n logaritmina kantaan a. merkinnät
on sama merkitys. Tasa-arvoa (26.1) kutsutaan joskus logaritmien teorian perusidentiteetiksi; itse asiassa se ilmaisee logaritmin käsitteen määritelmän. Tämän määritelmän mukaan logaritmin a kanta on aina positiivinen ja erilainen kuin yksikkö; logaritmisoitu luku N on positiivinen. Negatiivisilla luvuilla ja nollalla ei ole logaritmeja. Voidaan todistaa, että millä tahansa luvulla, jolla on tietty kanta, on hyvin määritelty logaritmi. Siksi tasa-arvo edellyttää. Huomaa, että ehto on tässä välttämätön, muuten johtopäätös ei olisi perusteltu, koska yhtäläisyys on totta kaikille x:n ja y:n arvoille.
Esimerkki 1. Etsi
Päätös. Saadaksesi numeron, sinun on nostettava kanta 2 tehoon Siksi.
Voit tallentaa kun ratkaiset tällaisia esimerkkejä seuraavassa muodossa:
Esimerkki 2. Etsi .
Päätös. Meillä on
Esimerkeissä 1 ja 2 löysimme helposti halutun logaritmin esittämällä logaritmiskelpoista lukua kantaluvun asteena rationaalisella eksponentilla. Yleisessä tapauksessa, esimerkiksi jne., tätä ei voida tehdä, koska logaritmilla on irrationaalinen arvo. Kiinnittäkäämme huomiota yhteen tähän lausuntoon liittyvään kysymykseen. Kohdassa 12 esitimme käsitteen mahdollisuudesta määrittää mikä tahansa tietyn positiivisen luvun todellinen potenssi. Tämä oli tarpeen logaritmien käyttöön ottamiseksi, jotka yleensä voivat olla irrationaalisia lukuja.
Harkitse joitain logaritmien ominaisuuksia.
Ominaisuus 1. Jos luku ja kanta ovat yhtä suuret, niin logaritmi on yhtä suuri kuin yksi, ja päinvastoin, jos logaritmi on yhtä suuri, luku ja kanta ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoon Logaritmin määritelmän mukaan meillä on ja mistä
Päinvastoin, anna sitten määritelmän mukaan
Ominaisuus 2. Minkä tahansa kantayksikön yksikön logaritmi on nolla.
Todiste. Logaritmin määritelmän mukaan (mikä tahansa positiivisen kannan nollapotenssi on yhtä suuri kuin yksi, katso (10.1)). Täältä
Q.E.D.
Käänteinen väite on myös totta: jos , niin N = 1. Todellakin, meillä on .
Ennen kuin toteamme seuraavan logaritmien ominaisuuden, sovimme, että kaksi lukua a ja b ovat kolmannen luvun c samalla puolella, jos ne ovat molemmat suurempia kuin c tai pienempiä kuin c. Jos toinen näistä luvuista on suurempi kuin c ja toinen pienempi kuin c, niin sanomme, että ne sijaitsevat c:n vastakkaisilla puolilla.
Ominaisuus 3. Jos luku ja kanta ovat samalla yksikön puolella, logaritmi on positiivinen; jos luku ja kanta ovat yksikön vastakkaisilla puolilla, logaritmi on negatiivinen.
Ominaisuuden 3 todiste perustuu siihen, että a:n aste on suurempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen. Aste on pienempi kuin yksi, jos kanta on suurempi kuin yksi ja eksponentti on negatiivinen, tai kanta on pienempi kuin yksi ja eksponentti on positiivinen.
Harkittavia tapauksia on neljä:
Rajaudumme analysoimaan niistä ensimmäistä, lukija harkitsee loput itse.
Olkoon sitten yhtälön eksponentti negatiivinen eikä yhtä suuri kuin nolla, joten se on positiivinen, eli se, joka oli todistettava.
Esimerkki 3. Selvitä, mitkä seuraavista logaritmeista ovat positiivisia ja mitkä negatiivisia:
Ratkaisu, a) koska numero 15 ja kanta 12 sijaitsevat yksikön samalla puolella;
b) , koska 1000 ja 2 sijaitsevat yksikön samalla puolella; samaan aikaan ei ole välttämätöntä, että kanta on suurempi kuin logaritminen luku;
c), koska 3.1 ja 0.8 sijaitsevat ykseyden vastakkaisilla puolilla;
G) ; miksi?
e) ; miksi?
Seuraavia ominaisuuksia 4-6 kutsutaan usein logaritmin säännöiksi: ne mahdollistavat joidenkin lukujen logaritmit tuntemalla löytää jokaisen tulonsa, osamäärän, asteen logaritmit.
Ominaisuus 4 (tulon logaritmin sääntö). Tietyssä kannassa olevien useiden positiivisten lukujen tulon logaritmi on yhtä suuri kuin näiden samassa kannassa olevien lukujen logaritmien summa.
Todiste. Annetaan positiiviset luvut.
Heidän tulonsa logaritmille kirjoitetaan yhtälö (26.1), joka määrittää logaritmin:
Täältä löydämme
Vertaamalla ensimmäisen ja viimeisen lausekkeen eksponenttia saadaan vaadittu yhtäläisyys:
Huomaa, että ehto on välttämätön; kahden negatiivisen luvun tulon logaritmi on järkevä, mutta tässä tapauksessa saamme
Yleensä, jos useiden tekijöiden tulo on positiivinen, niin sen logaritmi on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden moduulien logaritmien summa.
Ominaisuus 5 (osamäärälogaritmisääntö). Positiivisten lukujen osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan logaritmien välinen ero samassa kannassa. Todiste. Löytää johdonmukaisesti
Q.E.D.
Ominaisuus 6 (asteen logaritmin sääntö). Minkä tahansa positiivisen luvun potenssin logaritmi on yhtä suuri kuin tämän luvun logaritmi kertaa eksponentti.
Todiste. Kirjoitamme uudelleen päätunnuksen (26.1) numerolle:
Q.E.D.
Seuraus. Positiivisen luvun juuren logaritmi on yhtä suuri kuin juuren luvun logaritmi jaettuna juuren eksponentilla:
Voimme todistaa tämän seurauksen pätevyyden esittämällä kuinka ja käyttämällä ominaisuutta 6.
Esimerkki 4. Logaritmi a:n kantaan:
a) (oletetaan, että kaikki arvot b, c, d, e ovat positiivisia);
b) (oletetaan, että ).
Ratkaisu, a) Tässä lausekkeessa on kätevää siirtää murtolukupotenssit:
Yhtälöiden (26.5)-(26.7) perusteella voimme nyt kirjoittaa:
Huomaamme, että lukujen logaritmeille tehdään yksinkertaisempia operaatioita kuin itse luvuille: lukuja kerrottaessa niiden logaritmit lasketaan yhteen, jaettuna vähennetään jne.
Tästä syystä laskentakäytännössä on käytetty logaritmeja (ks. luku 29).
Logaritmille käänteistä toimintaa kutsutaan potentioimiseksi, nimittäin: potentioiminen on toimenpide, jolla tämä luku itse löydetään luvun annetulla logaritmilla. Potentioiminen ei ole pohjimmiltaan mitään erityistä toimintaa: se tarkoittaa kantaluvun nostamista potenssiin (joka on yhtä suuri kuin luvun logaritmi). Termiä "potentiointi" voidaan pitää synonyyminä termin "exponsaatio" kanssa.
Potentioinnissa on käytettävä sääntöjä, jotka ovat käänteisiä logaritmin säännöille: korvaa logaritmien summa tulon logaritmilla, logaritmien ero osamäärän logaritmilla jne. Varsinkin jos on mikä tahansa tekijä logaritmin etumerkin edessä, niin se on potentioinnissa siirrettävä indikaattoriasteisiin logaritmin etumerkin alla.
Esimerkki 5. Etsi N, jos se tiedetään
Päätös. Juuri esitetyn potenssisäännön yhteydessä tämän yhtälön oikealla puolella olevien logaritmien etumerkkien edessä olevat kertoimet 2/3 ja 1/3 siirretään näiden logaritmien etumerkkien alla oleviin eksponenteihin; saamme
Nyt korvaamme logaritmien eron osamäärän logaritmilla:
saadaksemme viimeisen murto-osan tässä yhtälöketjussa, vapautimme edellisen murto-osan irrationaalisuudesta nimittäjässä (osio 25).
Ominaisuus 7. Jos kanta on suurempi kuin yksi, niin suuremmalla luvulla on suurempi logaritmi (ja pienemmällä on pienempi), jos kanta on pienempi kuin yksi, niin suuremmalla luvulla on pienempi logaritmi (ja pienemmällä). toisessa on isompi).
Tämä ominaisuus on myös muotoiltu sääntönä epäyhtälöiden logaritmille, joiden molemmat osat ovat positiivisia:
Kun otetaan logaritmi epäyhtälöistä, joiden kanta on suurempi kuin yksi, epäyhtälömerkki säilyy, ja otettaessa logaritmi, jonka kanta on pienempi kuin yksi, epäyhtälön etumerkki käännetään (ks. myös kohta 80).
Todistus perustuu ominaisuuksiin 5 ja 3. Tarkastellaan tapausta, jossa If , sitten ja logaritmin avulla saadaan
(a ja N/M ovat samalla yksikön puolella). Täältä
Tapaus a seuraa, lukija selvittää sen itse.
Logaritmi b (b > 0) kantaan a (a > 0, a ≠ 1) on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa lukua saadaksesi b.
B:n 10 kantalogaritmi voidaan kirjoittaa muodossa loki(b), ja logaritmi kantaan e (luonnollinen logaritmi) - ln(b).
Käytetään usein logaritmien ongelmien ratkaisemisessa:
Logaritmien ominaisuudet
Niitä on neljä pääasiallista logaritmien ominaisuudet.
Olkoon a > 0, a ≠ 1, x > 0 ja y > 0.
Ominaisuus 1. Tuloksen logaritmi
Tuotteen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Ominaisuus 2. Osamäärän logaritmi
Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien ero:
log a (x / y) = log a x – log a y
Ominaisuus 3. Tutkinnon logaritmi
Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin asteen ja logaritmin tulo:
Jos logaritmin kanta on eksponentissa, pätee toinen kaava:
Ominaisuus 4. Juuren logaritmi
Tämä ominaisuus voidaan saada asteen logaritmin ominaisuudesta, koska n:nnen asteen juuri on yhtä suuri kuin 1/n:n potenssi:
Kaava siirtymiseen yhden kantakohdan logaritmista toisessa kannassa olevaan logaritmiin
Tätä kaavaa käytetään usein myös ratkaistaessa erilaisia logaritmien tehtäviä:
Erikoistapaus:
Logaritmien (epäyhtälöiden) vertailu
Oletetaan, että meillä on 2 funktiota f(x) ja g(x) logaritmien alla, joilla on sama kanta ja niiden välillä on epäyhtälömerkki:
Vertaaksesi niitä, sinun on ensin tarkasteltava logaritmien kantaa a:
- Jos a > 0, niin f(x) > g(x) > 0
- Jos 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Kuinka ratkaista tehtäviä logaritmeilla: esimerkkejä
Tehtävät logaritmeilla jotka sisältyvät matematiikan KÄYTTÖÖN luokkaan 11 tehtävässä 5 ja tehtävässä 7, löydät tehtäviä ratkaisuineen verkkosivustoltamme vastaavista osioista. Matematiikan tehtäväpankista löytyy myös logaritmillisia tehtäviä. Löydät kaikki esimerkit tekemällä hakuja sivustolta.
Mikä on logaritmi
Logaritmia on aina pidetty vaikeana aiheena koulun matematiikan kurssilla. Logaritmille on monia erilaisia määritelmiä, mutta jostain syystä useimmat oppikirjat käyttävät niistä monimutkaisimpia ja valitetuimpia.
Määrittelemme logaritmin yksinkertaisesti ja selkeästi. Tehdään tätä varten taulukko:
Meillä on siis kahden voimat.
Logaritmit - ominaisuudet, kaavat, kuinka ratkaista
Jos otat numeron alariviltä, voit helposti löytää tehon, johon sinun on nostettava kaksi saadaksesi tämän luvun. Esimerkiksi saadaksesi 16, sinun on korotettava kaksi neljänteen potenssiin. Ja saadaksesi 64, sinun on korotettava kaksi kuudenteen potenssiin. Tämä näkyy taulukosta.
Ja nyt - itse asiassa logaritmin määritelmä:
argumentin x kanta a on potenssi, johon luku a on nostettava, jotta saadaan luku x.
Merkintä: log a x \u003d b, missä a on kanta, x on argumentti, b on itse asiassa mikä logaritmi on yhtä suuri.
Esimerkiksi 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8:n kanta-2 logaritmi on kolme, koska 2 3 = 8). Voisi yhtä hyvin kirjata 2 64 = 6, koska 2 6 = 64.
Kutsutaan operaatiota luvun logaritmin löytämiseksi tiettyyn kantaan. Lisätään siis uusi rivi taulukkoomme:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Valitettavasti kaikkia logaritmeja ei oteta huomioon niin helposti. Yritä esimerkiksi löytää log 2 5. Numero 5 ei ole taulukossa, mutta logiikka määrää, että logaritmi on jossain segmentissä. Koska 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tällaisia lukuja kutsutaan irrationaalisiksi: desimaalipilkun jälkeisiä lukuja voidaan kirjoittaa loputtomasti, eivätkä ne koskaan toistu. Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, on parempi jättää se näin: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
On tärkeää ymmärtää, että logaritmi on lauseke, jossa on kaksi muuttujaa (kanta ja argumentti). Aluksi monet ihmiset sekoittavat, missä on perusta ja missä on argumentti. Välttääksesi ärsyttäviä väärinkäsityksiä, katso vain kuvaa:
Edessämme ei ole muuta kuin logaritmin määritelmä. Muistaa: logaritmi on teho, jolle sinun on nostettava perusta saadaksesi argumentin. Se on pohja, joka nostetaan tehoon - kuvassa se on korostettu punaisella. Osoittautuu, että pohja on aina pohjassa! Kerron tämän upean säännön oppilailleni heti ensimmäisellä oppitunnilla - eikä siinä ole hämmennystä.
Kuinka laskea logaritmeja
Selvitimme määritelmän - on vielä opittava laskemaan logaritmeja, ts. päästä eroon "tuki"-merkistä. Aluksi huomautamme, että määritelmästä seuraa kaksi tärkeää tosiasiaa:
- Argumentin ja kantaluvun on aina oltava suurempi kuin nolla. Tämä seuraa asteen määrittelystä rationaalisen eksponentin avulla, johon logaritmin määritelmä pelkistyy.
- Kanta on erilainen kuin yksikkö, koska yksikkö mihin tahansa tehoon on silti yksikkö. Tästä syystä kysymys "mihin valtaan yksi on nostettava saadakseen kaksi" on merkityksetön. Sellaista tutkintoa ei ole!
Tällaisia rajoituksia kutsutaan voimassa oleva alue(ODZ). Osoittautuu, että logaritmin ODZ näyttää tältä: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Huomaa, että lukua b (logaritmin arvo) ei ole rajoitettu. Esimerkiksi logaritmi voi hyvinkin olla negatiivinen: log 2 0.5 = −1, koska 0,5 = 2-1.
Nyt tarkastelemme kuitenkin vain numeerisia lausekkeita, joissa ei vaadita logaritmin ODZ:n tuntemista. Ongelman laatijat ovat jo ottaneet kaikki rajoitukset huomioon. Mutta kun logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt tulevat peliin, DHS:n vaatimuksista tulee pakollisia. Pohjassa ja argumentissa voi todellakin olla erittäin vahvoja rakenteita, jotka eivät välttämättä vastaa yllä olevia rajoituksia.
Harkitse nyt yleistä logaritmien laskentajärjestelmää. Se koostuu kolmesta vaiheesta:
- Ilmaise kanta a ja argumentti x potenssina, jonka pienin mahdollinen kanta on suurempi kuin yksi. Matkan varrella on parempi päästä eroon desimaalimurtoluvuista;
- Ratkaise muuttujan b yhtälö: x = a b ;
- Tuloksena oleva luku b on vastaus.
Siinä kaikki! Jos logaritmi osoittautuu irrationaaliseksi, se näkyy jo ensimmäisessä vaiheessa. Vaatimus, että kanta on suurempi kuin yksi, on erittäin tärkeä: tämä vähentää virheen todennäköisyyttä ja yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Samoin desimaalilukujen kanssa: jos muutat ne heti tavallisiksi, virheitä tulee monta kertaa vähemmän.
Katsotaanpa, kuinka tämä kaavio toimii erityisillä esimerkeillä:
Tehtävä. Laske logaritmi: log 5 25
- Esitetään kanta ja argumentti viiden potenssina: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Sain vastauksen: 2.
Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tehtävä. Laske logaritmi:
Tehtävä. Laske logaritmi: log 4 64
- Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Sain vastauksen: 3.
Tehtävä. Laske logaritmi: log 16 1
- Esitetään kanta ja argumentti kahden potenssina: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Tehdään ja ratkaistaan yhtälö:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Sai vastauksen: 0.
Tehtävä. Laske logaritmi: log 7 14
- Esitetään kanta ja argumentti seitsemän potenssina: 7 = 7 1 ; 14 ei ole esitetty seitsemän potenssina, koska 7 1< 14 < 7 2 ;
- Edellisestä kappaleesta seuraa, että logaritmia ei oteta huomioon;
- Vastaus ei muutu: loki 7 14.
Pieni huomautus viimeiseen esimerkkiin. Kuinka varmistaa, että luku ei ole toisen luvun tarkka potenssi? Hyvin yksinkertaista - hajota se vain päätekijöiksi. Jos laajennuksessa on vähintään kaksi erillistä tekijää, luku ei ole tarkka teho.
Tehtävä. Selvitä ovatko luvun tarkat potenssit: 8; 48; 81; 35; neljätoista.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tarkka tutkinto, koska on vain yksi kerroin;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ei ole tarkka potenssi, koska siinä on kaksi tekijää: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tarkka tutkinto;
35 = 7 5 - ei taaskaan tarkka tutkinto;
14 \u003d 7 2 - ei taaskaan tarkkaa tutkintoa;
Huomaa myös, että alkuluvut itsessään ovat aina itsensä tarkkoja tehoja.
Desimaalilogaritmi
Jotkut logaritmit ovat niin yleisiä, että niillä on erityinen nimi ja nimitys.
x-argumentista on 10 kantalogaritmi, ts. teho, johon 10 on nostettava x:n saamiseksi. Nimitys: lgx.
Esimerkiksi log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Tästä lähtien, kun oppikirjassa esiintyy lause, kuten "Etsi lg 0.01", tiedä, että tämä ei ole kirjoitusvirhe. Tämä on desimaalilogaritmi. Jos et kuitenkaan ole tottunut sellaiseen nimitykseen, voit aina kirjoittaa sen uudelleen:
log x = log 10 x
Kaikki mikä on totta tavallisille logaritmeille, pätee myös desimaaleille.
luonnollinen logaritmi
On toinen logaritmi, jolla on oma merkintätapansa. Tietyssä mielessä se on jopa tärkeämpi kuin desimaali. Tämä on luonnollinen logaritmi.
x-argumentista on logaritmi kantaan e, ts. potenssi, johon luku e on nostettava, jotta saadaan luku x. Nimitys: lnx.
Monet kysyvät: mikä on numero e? Tämä on irrationaalinen luku, sen tarkkaa arvoa ei voida löytää ja kirjoittaa ylös. Tässä vain ensimmäiset numerot:
e = 2,718281828459…
Emme ota kantaa siihen, mikä tämä numero on ja miksi sitä tarvitaan. Muista vain, että e on luonnollisen logaritmin kanta:
ln x = log e x
Siten ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Toisaalta ln 2 on irrationaalinen luku. Yleensä minkä tahansa rationaaliluvun luonnollinen logaritmi on irrationaalinen. Paitsi tietysti yhtenäisyys: ln 1 = 0.
Luonnollisille logaritmeille pätevät kaikki säännöt, jotka pätevät tavallisille logaritmeille.
Katso myös:
Logaritmi. Logaritmin ominaisuudet (logaritmin potenssi).
Kuinka esittää luku logaritmina?
Käytämme logaritmin määritelmää.
Logaritmi ilmaisee tehon, johon kantaa on nostettava, jotta saadaan logaritmin etumerkin alla oleva luku.
Jotta siis voidaan esittää tietty luku c logaritmina kantaan a, on tarpeen laittaa logaritmin etumerkin alle aste, jolla on sama kanta kuin logaritmin kanta, ja kirjoittaa tämä luku c eksponenttiin :
Logaritmin muodossa voit edustaa mitä tahansa lukua - positiivista, negatiivista, kokonaislukua, murtolukua, rationaalista, irrationaalista:
Jotta et sekoitaisi a:ta ja c:tä kokeen tai kokeen stressaavissa olosuhteissa, voit muistaa seuraavan säännön:
mikä on alhaalla, menee alas, mikä on ylhäällä, nousee.
Haluat esimerkiksi esittää luvun 2 logaritmina kantaan 3.
Meillä on kaksi lukua - 2 ja 3. Nämä luvut ovat kanta ja eksponentti, jotka kirjoitamme logaritmin merkin alle. On vielä määritettävä, mitkä näistä luvuista tulisi kirjoittaa ylös asteen kantaan ja mitkä ylöspäin eksponenttiin.
Logaritmin tietueen kanta 3 on alareunassa, mikä tarkoittaa, että kun esitämme kakkosen logaritmina 3:n kantaan, kirjoitamme myös 3:n kantaan.
2 on suurempi kuin 3. Ja asteen merkinnöissä kirjoitamme kaksi kolmen yläpuolelle, eli eksponenttiin:
Logaritmit. Ensimmäinen taso.
Logaritmit
logaritmi positiivinen luku b syystä a, missä a > 0, a ≠ 1, on eksponentti, johon luku on nostettava. a, Saada haltuunsa b.
Logaritmin määritelmä voidaan kirjoittaa lyhyesti näin:
Tämä tasa-arvo on voimassa b > 0, a > 0, a ≠ 1. Häntä kutsutaan yleensä logaritminen identiteetti.
Luvun logaritmin löytämistä kutsutaan logaritmi.
Logaritmien ominaisuudet:
Tuotteen logaritmi:
Osamäärän logaritmi jaosta:
Korvaa logaritmin kanta:
Asteen logaritmi:
juurilogaritmi:
Logaritmi tehopohjalla:
Desimaali- ja luonnonlogaritmit.
Desimaalilogaritmi luvut kutsuvat luvun 10 peruslogaritmia ja kirjoittavat lg b
luonnollinen logaritmi luvut kutsuvat tämän luvun logaritmin kantaan e, missä e on irrationaalinen luku, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,7. Samaan aikaan he kirjoittavat ln b.
Muita huomautuksia algebrasta ja geometriasta
Logaritmien perusominaisuudet
Logaritmien perusominaisuudet
Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.
Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.
Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku
Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logarit a x ja logarit a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!
Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:
loki 6 4 + loki 6 9.
Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.
Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.
Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.
Eksponentin poistaminen logaritmista
Monimutkaistaan nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:
On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.
Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.
Kuinka ratkaista logaritmit
Tätä vaaditaan useimmiten.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .
Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:
Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meillä on:
Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.
Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.
Siirtyminen uudelle perustalle
Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?
Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:
Olkoon logaritmi log a x annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:
Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:
Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.
Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.
On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.
Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Käännetään nyt toinen logaritmi:
Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.
Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:
Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:
Peruslogaritminen identiteetti
Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan.
Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:
Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.
Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:
Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.
Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:
Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:
Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂
Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla
Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.
- log a a = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
- log a 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska 0 = 1 on määritelmän suora seuraus.
Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.
