Diagonaalityyppiset matriisit järjestetään yksinkertaisimmin. Herää kysymys, onko mahdollista löytää kanta, jossa lineaarioperaattorin matriisilla olisi diagonaalinen muoto. Tällainen perusta on olemassa.
Olkoon lineaarinen avaruus R n ja siinä toimiva lineaarinen operaattori A; tässä tapauksessa operaattori A ottaa R n itseensä, eli A:R n → R n .

Määritelmä. Nollasta poikkeavaa vektoria x kutsutaan operaattorin A ominaisvektoriksi, jos operaattori A muuntaa x:n sille kollineaariseksi vektoriksi, eli . Lukua λ kutsutaan ominaisvektoria x vastaavan operaattorin A ominaisarvoksi tai ominaisarvoksi.
Huomaamme joitain ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuuksia.
1. Mikä tahansa ominaisvektorien lineaarinen yhdistelmä Samaa ominaisarvoa vastaavan operaattorin A λ on ominaisvektori, jolla on sama ominaisarvo.
2. Ominaisvektorit Operaattori A, jolla on pareittain erilliset ominaisarvot λ 1 , λ 2 , …, λ m, ovat lineaarisesti riippumattomia.
3. Jos ominaisarvot λ 1 =λ 2 = λ m = λ, niin ominaisarvo λ vastaa enintään m lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Eli jos on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria jotka vastaavat erilaisia ​​ominaisarvoja λ 1 , λ 2 , …, λ n , niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa avaruuden R n perustaksi. Etsitään lineaarisen operaattorin A matriisin muoto sen ominaisvektorien perusteella, jolle toimimme operaattorin A kanssa kantavektoreiden perusteella: sitten .
Siten lineaarioperaattorin A matriisilla sen ominaisvektorien perusteella on diagonaalimuoto ja operaattorin A ominaisarvot ovat diagonaalissa.
Onko olemassa muuta perustaa, jossa matriisilla on diagonaalinen muoto? Vastaus tähän kysymykseen saadaan seuraavalla lauseella.

Lause. Lineaarisen operaattorin A matriisilla kannassa (i = 1..n) on diagonaalimuoto silloin ja vain, jos kaikki kannan vektorit ovat operaattorin A ominaisvektoreita.

Sääntö ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseksi

Anna vektorin , missä x 1 , x 2 , …, x n - vektorin x koordinaatit kantaan nähden ja x on ominaisarvoa λ vastaavan lineaarisen operaattorin A ominaisvektori, eli . Tämä relaatio voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

. (*)

Yhtälöä (*) voidaan pitää yhtälönä x:n ja :n löytämiseksi, eli olemme kiinnostuneita ei-triviaaleista ratkaisuista, koska ominaisvektori ei voi olla nolla. Tiedetään, että homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ei-triviaaleja ratkaisuja on olemassa silloin ja vain jos det(A - λE) = 0. Jotta λ olisi siis operaattorin A ominaisarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että det(A - λE) ) = 0.
Jos yhtälö (*) kirjoitetaan yksityiskohtaisesti koordinaattimuodossa, saadaan lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä:

(1)
missä on lineaarisen operaattorin matriisi.

Järjestelmällä (1) on nollasta poikkeava ratkaisu, jos sen determinantti D on nolla

Saimme yhtälön ominaisarvojen löytämiseksi.
Tätä yhtälöä kutsutaan ominaisyhtälöksi ja sen vasenta puolta kutsutaan matriisin (operaattorin) A karakteristiseksi polynomiksi. Jos ominaispolynomilla ei ole todellisia juuria, niin matriisilla A ei ole ominaisvektoreita eikä sitä voida pelkistää diagonaalimuotoon.
Olkoon λ 1 , λ 2 , …, λ n ominaisyhtälön todelliset juuret, ja niiden joukossa voi olla kerrannaisia. Korvaamalla nämä arvot vuorostaan ​​järjestelmäksi (1), löydämme ominaisvektorit.

Esimerkki 12. Lineaarinen operaattori A toimii R 3:ssa lain mukaan, missä x 1 , x 2 , .., x n ovat kantavektorin koordinaatit , , . Etsi tämän operaattorin ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Päätös. Rakennamme tämän operaattorin matriisin:
.
Muodostamme järjestelmän ominaisvektorien koordinaattien määrittämiseksi:

Muodostamme ominaisyhtälön ja ratkaisemme sen:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Korvaamalla λ = -1 järjestelmään, meillä on:
tai
Kuten , silloin on kaksi riippuvaa muuttujaa ja yksi vapaa muuttuja.
Olkoon sitten x 1 vapaa tuntematon Ratkaisemme tämän järjestelmän millä tahansa tavalla ja löydämme tämän järjestelmän yleisen ratkaisun: Ratkaisujen perusjärjestelmä koostuu yhdestä ratkaisusta, koska n - r = 3 - 2 = 1.
Ominaisuusarvoa λ = -1 vastaavalla ominaisvektorijoukolla on muoto: , jossa x 1 on mikä tahansa muu luku kuin nolla. Valitaan yksi vektori tästä joukosta esimerkiksi asettamalla x 1 = 1: .
Väittelemällä samalla tavalla, löydämme ominaisarvoa λ = 3 vastaavan ominaisvektorin: .
Avaruudessa R3 kanta koostuu kolmesta lineaarisesti riippumattomasta vektorista, mutta olemme saaneet vain kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, joista ei voida muodostaa kantaa R3:ssa. Näin ollen lineaarioperaattorin matriisia A ei voida pelkistää diagonaalimuotoon.

Esimerkki 13 Annettu matriisi .
1. Todista, että vektori on matriisin A ominaisvektori. Etsi tätä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo.
2. Etsi kanta, jossa matriisilla A on diagonaalinen muoto.
Päätös.
1. Jos , niin x on ominaisvektori

.
Vektori (1, 8, -1) on ominaisvektori. Ominaisarvo λ = -1.
Matriisin kantassa on diagonaalimuoto, joka koostuu ominaisvektoreista. Yksi heistä on kuuluisa. Etsitään loput.
Etsimme ominaisvektoreita järjestelmästä:

Ominainen yhtälö: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Etsi ominaisarvoa λ = -3 vastaava ominaisvektori:

Tämän järjestelmän matriisin arvo on kaksi ja se on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, joten tällä järjestelmällä on vain nollaratkaisu x 1 = x 3 = 0. x 2 voi tässä olla mitä tahansa muuta kuin nolla, esim. x 2 = 1. Siten vektori (0 ,1,0) on ominaisvektori, joka vastaa arvoa λ = -3. Tarkistetaan:
.
Jos λ = 1, niin saadaan järjestelmä
Matriisin sijoitus on kaksi. Yliviivaa viimeinen yhtälö.
Olkoon x 3 vapaa tuntematon. Sitten x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 = 9x 3.
Jos oletetaan x 3 = 1, meillä on (-3,-9,1) - ominaisarvoa λ = 1 vastaava ominaisvektori. Tarkista:

.
Koska ominaisarvot ovat todellisia ja erilaisia, niitä vastaavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne voidaan ottaa R3:n perustaksi. Perusteessa siis , , matriisilla A on muoto:
.
Lineaarisen operaattorin A:R n → R n jokaista matriisia ei voida pelkistää diagonaalimuotoon, koska joillakin lineaarisilla operaattoreilla voi olla vähemmän kuin n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Kuitenkin, jos matriisi on symmetrinen, täsmälleen m lineaarisesti riippumatonta vektoria vastaa multiplisisuuden m ominaisyhtälön juuria.

Määritelmä. Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jossa päälävistäjän suhteen symmetriset alkiot ovat yhtä suuret, eli jossa .
Huomautukset. 1. Kaikki symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat todellisia.
2. Pareittain eri ominaisarvoja vastaavan symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Yhtenä tutkitun laitteen lukuisista sovelluksista tarkastelemme ongelmaa toisen asteen käyrän muodon määrittämisessä.

Määritelmä 9.3. Vektori X nimeltään oma vektori matriiseja MUTTA jos sellainen numero on λ, että tasa-arvo pätee: MUTTA X= λ X, eli hakemisen tulos X matriisin antama lineaarinen muunnos MUTTA, on tämän vektorin kertolasku luvulla λ . Itse numero λ nimeltään oma numero matriiseja MUTTA.

Korvaus kaavoiksi (9.3) x` j = λx j , saamme yhtälöjärjestelmän ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksi:

. (9.5)

Tällä lineaarisella homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu vain, jos sen päädeterminantti on 0 (Cramerin sääntö). Kirjoittamalla tämä ehto muotoon:

saamme yhtälön ominaisarvojen määrittämiseksi λ nimeltään ominaisyhtälö. Lyhyesti sanottuna se voidaan esittää seuraavasti:

| A-λE | = 0, (9.6)

koska sen vasen puoli on matriisin determinantti A-λE. Polynomi suhteessa λ | A-λE| nimeltään ominaispolynomi matriisit A.

Karakteripolynomin ominaisuudet:

1) Lineaarimuunnoksen tunnuspolynomi ei riipu kantan valinnasta. Todiste. (katso (9.4)), mutta siis,. Ei siis riipu perusteen valinnasta. Siksi ja | A-λE| ei muutu uudelle perustalle siirryttäessä.

2) Jos matriisi MUTTA lineaarinen muunnos on symmetrinen(nuo. a ij = a ji), silloin kaikki ominaisyhtälön (9.6) juuret ovat reaalilukuja.

Ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuudet:

1) Jos valitsemme kantan ominaisvektoreista x 1, x 2, x 3 jotka vastaavat ominaisarvoja λ1, λ2, λ3 matriiseja MUTTA, niin tällä perusteella lineaarisella muunnoksella A on diagonaalimatriisi:

(9.7) Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisvektorien määritelmästä.

2) Jos muunnos ominaisarvot MUTTA ovat erilaisia, silloin niitä vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

3) Jos matriisin ominaispolynomi MUTTA on kolme eri juuria, sitten jollain perusteella matriisi MUTTA on diagonaalinen muoto.

Etsitään matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit. Tehdään ominaisyhtälö: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Etsi kutakin löydettyä arvoa vastaavien ominaisvektorien koordinaatit λ. (9.5):stä seuraa, että jos X (1) ={x 1, x 2, x 3) on ominaisvektori, joka vastaa λ 1 = -2 siis

on yhteistyössä toimiva, mutta määrittelemätön järjestelmä. Sen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa X (1) ={a,0,-a), jossa a on mikä tahansa luku. Erityisesti, jos tarvitset sitä | x (1) |=1, X (1) =

Korvaaminen järjestelmään (9.5) λ 2 =3, saadaan järjestelmä toisen ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksi - x (2) ={y1,y2,y3}:

, missä X (2) ={b,-b,b) tai jos | x (2) |=1, x (2) =

varten λ 3 = 6 etsi ominaisvektori x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c, c) tai normalisoidussa versiossa

x (3) = Sen voi nähdä X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = eaa- 2bc + bc= 0. Siten tämän matriisin ominaisvektorit ovat pareittain ortogonaalisia.

Luento 10

Neliömuodot ja niiden yhteys symmetristen matriisien kanssa. Symmetrisen matriisin ominaisvektorien ja ominaisarvojen ominaisuudet. Neliöllisen muodon pelkistys kanoniseen muotoon.

Määritelmä 10.1.neliömuoto todellisia muuttujia x 1, x 2,…, x n on näiden muuttujien suhteen toisen asteen polynomi, joka ei sisällä vapaata termiä ja ensimmäisen asteen termejä.

Esimerkkejä kvadraattisista muodoista:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Muista viime luennolla annettu symmetrisen matriisin määritelmä:

Määritelmä 10.2. Neliömatriisia kutsutaan symmetrinen, jos , eli jos päälävistäjän suhteen symmetriset matriisielementit ovat yhtä suuret.

Symmetrisen matriisin ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuudet:

1) Kaikki symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat todellisia.

Todiste (for n = 2).

Anna matriisin MUTTA näyttää: . Tehdään ominaisyhtälö:

(10.2) Etsi diskriminantti:

Siksi yhtälöllä on vain todelliset juuret.

2) Symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.

Todiste (for n= 2).

Ominaisuusvektorien koordinaattien ja on täytettävä yhtälöt.

Luento 9

Koordinaattien lineaariset muunnokset. Matriisin ominaisvektorit ja ominaisarvot, niiden ominaisuudet. Matriisin karakteristinen polynomi, sen ominaisuudet.

Sanomme sen vektoreiden joukossaRannettu muunnos MUTTA , jos jokainen vektori X R jonkin säännön mukaan vektori MUTTA X R.

Määritelmä 9.1.muunnos MUTTA nimeltään lineaarinen, jos jollekin vektorille X ja klo ja mille tahansa todelliselle numerolle λ tasa-arvo täyttyy:

MUTTA( X + klo )=MUTTA X+ A klo ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Määritelmä 9.2.Lineaarimuunnos on ns identtinen, jos se muuntaa minkä tahansa vektorin X itseensä.

Identiteettimuunnos on merkitty HÄNEN X= X .

Tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta, jossa on perusta e 1 , e 2, e 3 , jossa lineaarinen muunnos on määritelty MUTTA. Soveltamalla sitä kantavektoreihin saamme vektorit MUTTA e 1, MUTTA e 2, MUTTA e 3 jotka kuuluvat tähän kolmiulotteiseen avaruuteen. Siksi jokaista niistä voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden suhteen:

MUTTA e 1 = 11 e 1+ a 21 e 2+a 31 e 3,

MUTTA e 2 = 12 e 1+ 22 e 2+ 32 e 3 ,(9.2)

MUTTA e 3= 13 e 1+ a 23 e 2+ 33 e 3 .

Matriisi nimeltään lineaarinen muunnosmatriisi MUTTA pohjalta e 1 , e 2, e 3 . Tämän matriisin sarakkeet koostuvat kantamuunnoksen kaavoissa (9.2) olevista kertoimista.

Kommentti. Ilmeisesti identiteettimuunnoksen matriisi on identiteettimatriisi E.

Mielivaltaiselle vektorille X = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 tulos, kun siihen sovelletaan lineaarista muunnosta MUTTA tulee vektori MUTTA X, jota voidaan laajentaa saman perustan vektoreilla: MUTTA X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x 3 e 3 , jossa koordinaatitx` ilöytyy käyttämällä kaavoja:

X` 1 = 11 x 1 + 12 x 2 + 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Tämän lineaarisen muunnoksen kaavoissa olevat kertoimet ovat matriisin rivien elementtejä MUTTA.

Lineaarinen muunnos matriisimuunnos

siirtyessään uudelle perustalle.

Tarkastellaan lineaarista muunnosa A ja kahta kantaa kolmiulotteisessa avaruudessa: e 1, e 2, e 3 ja e 1 , e 2 , e 3 . Määrittele matriisi C siirtymäkaavat kannasta (e k) perusteelle ( e k). Jos ensimmäisessä näistä perusteista valittu lineaarimuunnos annetaan matriisilla A ja toisessa - matriisilla MUTTA, niin voimme löytää suhteen näiden matriisien välillä, nimittäin:

A \u003d C -1 MUTTA C(9.4)

Siis tosiaan MUTTA . Toisaalta saman lineaarisen muunnoksen soveltamisen tulokset MUTTA perusteella (e k), eli , ja perusteella (e k ): vastaavasti - on yhdistetty matriisilla Kanssa: , mistä se seuraa SA= MUTTA Kanssa. Kerrotaan tämän vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet luvulla Kanssa-1, saamme Kanssa -1 CA = = C -1 MUTTA Kanssa, joka todistaa kaavan (9.4) pätevyyden.

Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Määritelmä 9.3.Vektori X nimeltään oma vektori matriiseja MUTTA jos sellainen numero on λ, että tasa-arvo pätee: MUTTA X= λ X, eli hakemisen tulos X matriisin antama lineaarinen muunnos MUTTA, on tämän vektorin kertolasku luvulla λ . Itse numero λ nimeltään oma numero matriiseja MUTTA.

Korvaus kaavoiksi (9.3)x` j = λ x j, saamme yhtälöjärjestelmän ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksi:

.

Täältä

.(9.5)

Tämä lineaarinen homogeeninen järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu vain, jos sen päädeterminantti on 0 (Cramerin sääntö). Kirjoittamalla tämä ehto muotoon:

saamme yhtälön ominaisarvojen määrittämiseksi λ nimeltään ominaisyhtälö. Lyhyesti sanottuna se voidaan esittää seuraavasti:

| A -λ E | = 0,(9.6)

koska sen vasen puoli on matriisin determinantti MUTTA- λE. Polynomi suhteessa λ| A -λ E| nimeltään ominaispolynomi matriisit A.

Karakteripolynomin ominaisuudet:

1) Lineaarisen muunnoksen karakteristinen polynomi ei riipu kantan valinnasta Todistus. (katso (9.4)), mutta siis,. Ei siis riipu perusteen valinnasta. Siksi ja |A-λ E| ei muutu uudelle perustalle siirryttäessä.

2) Jos matriisi MUTTA lineaarinen muunnos on symmetrinen(nuo. a ij= a ji), silloin kaikki ominaisyhtälön (9.6) juuret ovat reaalilukuja.

Ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuudet:

1) Jos valitsemme kantan ominaisvektoreista x 1, x 2, x 3 jotka vastaavat ominaisarvoja λ1, λ2, λ3 matriiseja MUTTA, niin tällä perusteella lineaarisella muunnoksella A on diagonaalimatriisi:

(9.7) Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisvektorien määritelmästä.

2) Jos muunnos ominaisarvot MUTTA ovat erilaisia, silloin niitä vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

3) Jos matriisin ominaispolynomi MUTTA on kolme eri juuria, sitten jollain perusteella matriisi MUTTA on diagonaalinen muoto.

Esimerkki.

Etsitään matriisin C ominaisarvot ja ominaisvektorit, jätetään ominaisyhtälö: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Etsi kutakin löydettyä arvoa vastaavien ominaisvektorien koordinaatit λ. (9.5):stä seuraa, että jos X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) on ominaisvektori, joka vastaa λ 1 = -2 siis

on yhteistyössä toimiva, mutta määrittelemätön järjestelmä. Sen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa X (1) ={ a,0,- a), jossa a on mikä tahansa luku. Erityisesti, jos tarvitset sitä |x (1) |=1, X (1) =

Korvaaminen järjestelmään (9.5) λ 2 =3, saadaan järjestelmä toisen ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksix (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Koordinaattien lineaariset muunnokset. Matriisin ominaisvektorit ja ominaisarvot, niiden ominaisuudet. Matriisin karakteristinen polynomi, sen ominaisuudet.

Sanomme sen vektoreiden joukossa R annettu muunnosMUTTA , jos jokainen vektori X R jonkin säännön mukaan vektori MUTTAX R.

Määritelmä 9.1. muunnos MUTTA nimeltään lineaarinen, jos jollekin vektorille X ja klo ja mille tahansa todelliselle numerolle λ tasa-arvo täyttyy:

MUTTA(X + klo )=MUTTAX + Aklo ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Määritelmä 9.2. Lineaarimuunnos on ns identtinen, jos se muuntaa minkä tahansa vektorin X itseensä.

Identiteettimuunnos on merkitty HÄNENX = X .

Tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta, jossa on perusta e 1 , e 2 , e 3 , jossa lineaarinen muunnos on määritelty MUTTA. Soveltamalla sitä kantavektoreihin saamme vektorit MUTTAe 1 , MUTTAe 2 , MUTTAe 3 jotka kuuluvat tähän kolmiulotteiseen avaruuteen. Siksi jokaista niistä voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden suhteen:

MUTTAe 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

MUTTAe 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

MUTTAe 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matriisi
nimeltään lineaarinen muunnosmatriisiMUTTA pohjalta e 1 , e 2 , e 3 . Tämän matriisin sarakkeet koostuvat kantamuunnoksen kaavoissa (9.2) olevista kertoimista.

Kommentti. Ilmeisesti identiteettimuunnoksen matriisi on identiteettimatriisi E.

Mielivaltaiselle vektorille X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 tulos, kun siihen sovelletaan lineaarista muunnosta MUTTA tulee vektori MUTTAX , jota voidaan laajentaa saman perustan vektoreilla: MUTTAX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , jossa koordinaatit x` i löytyy käyttämällä kaavoja:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Tämän lineaarisen muunnoksen kaavoissa olevat kertoimet ovat matriisin rivien elementtejä MUTTA.

Lineaarinen muunnos matriisimuunnos

siirtyessään uudelle perustalle.

Tarkastellaan lineaarista muunnosa A ja kahta kantaa kolmiulotteisessa avaruudessa: e 1 e 2 , e 3 ja e 1 , e 2 , e 3 . Määrittele matriisi C siirtymäkaavat kannasta ( e k) perusteelle ( e k). Jos ensimmäisessä näistä perusteista valitun lineaarimuunnoksen antaa matriisi A ja toisessa - matriisi MUTTA, niin voimme löytää suhteen näiden matriisien välillä, nimittäin:

A \u003d C -1 MUTTA C (9,4)

Todella,
, sitten MUTTA
. Toisaalta saman lineaarisen muunnoksen soveltamisen tulokset MUTTA perusteella ( e k), eli , ja pohjalta ( e k ): vastaavasti - yhdistetty matriisilla Kanssa:
, mistä se seuraa SA=MUTTA Kanssa. Kerrotaan tämän vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet luvulla Kanssa-1, saamme Kanssa - 1 CA = = C -1 MUTTA Kanssa, joka todistaa kaavan (9.4) pätevyyden.

Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Määritelmä 9.3. Vektori X nimeltään oma vektori matriiseja MUTTA jos sellainen numero on λ, että tasa-arvo pätee: MUTTAX = λ X , eli hakemisen tulos X matriisin antama lineaarinen muunnos MUTTA, on tämän vektorin kertolasku luvulla λ . Itse numero λ nimeltään oma numero matriiseja MUTTA.

Korvaus kaavoiksi (9.3) x` j = λ x j , saamme yhtälöjärjestelmän ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksi:

.

. (9.5)

Tällä lineaarisella homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu vain, jos sen päädeterminantti on 0 (Cramerin sääntö). Kirjoittamalla tämä ehto muotoon:

saamme yhtälön ominaisarvojen määrittämiseksi λ nimeltään ominaisyhtälö. Lyhyesti sanottuna se voidaan esittää seuraavasti:

| A - λ E| = 0, (9.6)

koska sen vasen puoli on matriisin determinantti A-λE. Polynomi suhteessa λ | A - λ E| nimeltään ominaispolynomi matriisit A.

Karakteripolynomin ominaisuudet:

Ominaisarvojen ja ominaisvektorien ominaisuudet:

Jos valitsemme kantan ominaisvektoreista X 1 , X 2 , X 3 jotka vastaavat ominaisarvoja λ 1 , λ 2 , λ 3 matriiseja MUTTA, niin tällä perusteella lineaarisella muunnoksella A on diagonaalimatriisi:

(9.7) Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisvektorien määritelmästä.

Jos muunnos ominaisarvot MUTTA ovat erilaisia, silloin niitä vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Jos matriisin ominaispolynomi MUTTA on kolme eri juuria, sitten jollain perusteella matriisi MUTTA on diagonaalinen muoto.

Etsitään matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Tehdään ominaisyhtälö:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Etsi kutakin löydettyä arvoa vastaavien ominaisvektorien koordinaatit λ. (9.5):stä seuraa, että jos X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) on ominaisvektori, joka vastaa λ 1 = -2 siis

on yhteistyössä toimiva, mutta määrittelemätön järjestelmä. Sen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa X (1) ={a,0,-a), jossa a on mikä tahansa luku. Erityisesti, jos tarvitset sitä | x (1) |=1,X (1) =

Korvaaminen järjestelmään (9.5) λ 2 =3, saadaan järjestelmä toisen ominaisvektorin koordinaattien määrittämiseksi - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, missä X (2) ={b,- b, b) tai jos | x (2) |=1,x (2) =

varten λ 3 = 6 etsi ominaisvektori x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) tai normalisoidussa versiossa

X (3) =
Sen voi nähdä X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =eaa - 2eaa + eaa = 0. Siten tämän matriisin ominaisvektorit ovat pareittain ortogonaalisia.