Tunnetuin jo vuosisadallamme löydetyistä paradokseista on B. Russellin löytämä antinomia. Ajatus oli ilmassa, ja sen julkaisu teki vaikutelman räjähtävästä pommista. Tämä paradoksi aiheutti matematiikassa D. Hilbertin mukaan "täydellisen katastrofin vaikutuksen". Yksinkertaisimmat ja tärkeimmät loogiset menetelmät, yleisimmät ja hyödyllisimmät käsitteet ovat uhattuna. Välittömästi kävi selväksi, ettei logiikassa eikä matematiikassa koko olemassaolonsa pitkän historian aikana ollut päättäväisesti kehitetty mitään, mikä voisi toimia perustana antinomian poistamiselle. On selvää, että poikkeaminen tavanomaisista ajattelutavoista oli välttämätöntä.

Russellin paradoksi alkuperäisessä muodossaan liittyy käsitteeseen joukko eli luokka. Voimme puhua eri objektien joukoista, esimerkiksi kaikkien ihmisten joukosta tai luonnollisten lukujen joukosta. Ensimmäisen joukon elementti on mikä tahansa yksittäinen henkilö, toisen elementti - jokainen luonnollinen luku. On myös mahdollista pitää joukkoja itseään joinakin objekteina ja puhua joukkojoukoista. Voidaan jopa ottaa käyttöön sellaisia ​​käsitteitä kuin kaikkien joukkojen joukko tai kaikkien käsitteiden joukko. Minkä tahansa mielivaltaisesti otetun joukon osalta näyttää järkevältä kysyä, onko se oma elementti vai ei. Joukkoja, jotka eivät sisällä itseään elementtinä, kutsutaan tavallisiksi. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko ei ole henkilö, kuten atomien joukko ei ole atomi. Sarjat, jotka ovat asianmukaisia ​​elementtejä, ovat epätavallisia. Esimerkiksi joukko, joka yhdistää kaikki joukot, on joukko ja sisältää siksi itsensä elementtinä. On selvää, että jokainen sarja on joko tavallinen tai epätavallinen.

Harkitse nyt kaikkien tavallisten joukkojen joukkoa. Koska kyseessä on sarja, siitä voi myös kysyä, onko se tavallinen vai epätavallinen. Vastaus on kuitenkin masentava. Jos se on tavallinen, niin sen täytyy määritelmän mukaan sisältää itsensä elementtinä, koska se sisältää kaikki tavalliset joukot. Mutta tämä tarkoittaa, että se on epätavallinen sarja. Oletus, että joukkomme on tavallinen joukko, johtaa siis ristiriitaan. Joten se ei voi olla normaalia. Toisaalta se ei voi olla myöskään epätavallinen: epätavallinen joukko sisältää itsensä elementtinä, ja joukkomme elementit ovat vain tavallisia joukkoja. Tämän seurauksena tulemme siihen tulokseen, että kaikkien tavallisten joukkojen joukko ei voi olla tavallinen tai satunnainen.

Siten joukko joukkoja, jotka eivät ole oikeita alkioita, on oikea alkio, jos ja vain jos se ei ole sellainen alkio. Tämä on selvä ristiriita.

Ristiriita sanoo, että tällaista joukkoa ei yksinkertaisesti ole olemassa. Mutta miksi sitä ei voi olla olemassa? Loppujen lopuksi se koostuu objekteista, jotka täyttävät hyvin määritellyn ehdon, eikä itse ehto näytä olevan jotenkin poikkeuksellinen tai epäselvä. Jos näin yksinkertaisesti ja selkeästi määriteltyä joukkoa ei voi olla olemassa, mitä eroa mahdollisten ja mahdottomien joukkojen välillä on? Johtopäätös tarkasteltavan sarjan olemattomuudesta kuulostaa odottamattomalta ja huolestuttavalta. Se tekee yleiskäsityksestämme joukkoa amorfisen ja kaoottisen, eikä ole mitään takeita siitä, etteikö se voisi aiheuttaa uusia paradokseja.

Russellin paradoksi on merkittävä sen äärimmäisen yleisyyden vuoksi. Sen rakentamiseen ei tarvita monimutkaisia ​​teknisiä käsitteitä, kuten joidenkin muiden paradoksien tapauksessa käsitteet "joukko" ja "joukon elementti" riittävät. Mutta tämä yksinkertaisuus vain puhuu sen perustavanlaatuisesta luonteesta: se koskettaa joukkoja koskevan ajattelumme syvimpiä perusteita, koska se ei puhu joistakin erikoistapauksista, vaan joukoista yleensä.

Russellin paradoksi ei ole erityisesti matemaattinen. Se käyttää joukon käsitettä, mutta ei koske erityisiin matematiikkaan liittyviä ominaisuuksia. Tämä käy ilmi, kun paradoksi muotoillaan uudelleen puhtaasti loogisesti.

Jokaisesta ominaisuudesta voidaan mitä todennäköisimmin kysyä, sopiiko se itseensä vai ei. Esimerkiksi ominaisuus olla kuuma ei koske itseään, koska se ei ole itse kuuma; ominaisuus olla konkreettinen ei myöskään viittaa itseensä, sillä se on abstrakti ominaisuus. Mutta ominaisuus olla abstraktia, olla abstraktia, pätee itseensä. Kutsukaamme näitä itseensä soveltumattomia ominaisuuksia soveltumattomiksi. Päteekö ominaisuus olla soveltumaton itseensä? Osoittautuu, että soveltumattomuus on soveltumaton vain, jos se ei ole. Tämä on tietysti paradoksaalista: Russellin antinomian looginen, omaisuuteen liittyvä variaatio on yhtä paradoksaalinen kuin matemaattinen, joukkoon liittyvä variaatio.

B. Russell ehdotti myös seuraavaa suosittua versiota löytämästään paradoksista. "Parturi ajelee kaikki ne ja vain ne kaupungin asukkaat, jotka eivät ajele itseään. Kuka ajelee parturia?" Parturin paradoksi piilee siinä tosiasiassa, että tähän kysymykseen on väitetysti mahdotonta vastata.

Tilanteen ymmärtämiseksi jaamme kaupungin asukkaat kolmeen ryhmään. Tämä jakautuminen näkyy vasemmassa kuvassa: ne, jotka ajelevat itsensä, ovat päällä; ne, jotka on ajeltu - alhaalta; ne, jotka eivät aja parranajoa ollenkaan (munkit, lapset, naiset...) ovat ellipsin ulkopuolella.

Harkitse ensin ehdon (1) toimintaa. Parturi saa ajaa parranajon kaikki ne, jotka eivät ajele itse, eli koko ellipsin alaosa (viivous merkitsee parturin asiakkaita). Mutta ehto (1) sallii hänen ajaa parranajon ja sen, joka ajaa itsensä, eli itsensä. Ehto (1) sallii hänen asettua ellipsin yläpuoliskolle, jossa asukkaat itse ajavat parranajon, ja ajavat itsensä siellä. Tämä näkyy keskimmäisessä kuvassa.

Jos ehto (2) pätee ja parturi ajelee vain niitä, jotka eivät aja itse parranajoa, tämä tarkoittaa, että hän ajaa osan ellipsin alemmasta puoliskosta eikä aja itse ajella, eli ei ole ellipsin yläosassa. . Mutta alemman puoliskon asukkaita ei ehkä ajeta parturi, vaan joku muu. Ja parturi voi olla näiden ihmisten joukossa (oikea kuva). Joten parturi voi ajaa ystävänsä parranajon, ja parturi ajaa ellipsin alaosan varjostetun osan.

Mutta jos molemmat ehdot (1) ja (2) ovat voimassa, parturilla ei ole paikkaa ellipsissä. Hän ei ajele ollenkaan. Eikä tässä ole paradoksia. Hän on siis joko munkki tai robotti tai lapsi tai nainen tai muu kuin kaupungissa asuva... Ja jos kaupungissa ei ole ketään muuta kuin parranajomiehiä, ja siksi ellipsin ulkonäkö on tyhjä, silloin ehdot (1) ja (2) täyttävää parturia ei yksinkertaisesti ole olemassa. Tässä tapauksessa on järjetöntä kysyä, kuka ajelee hänet. Monet tällaiset parturit ovat tyhjiä.

Ja tässä huomaamme, että kysymys "Kuka ajelee parturin?" oli alusta alkaen virheellinen, aivan kuten klassinen kysymys: "Miksi hakkaat isäsi?" Ennen kuin kysytään, kuka ajelee parturia, on saatava suostumus, että joku ajaa hänet parranajon.

Väitettä kampaajasta voidaan kutsua pseudoparadoksiksi. Kurssiltaan se on tiukasti analoginen Russellin paradoksiin, ja juuri tämä tekee siitä mielenkiintoisen. Mutta se ei silti ole todellinen paradoksi.

Toinen esimerkki samasta pseudoparadoksista on hyvin tunnettu katalogiargumentti.

Tietty kirjasto päätti laatia bibliografisen luettelon, joka sisältäisi kaikki ne ja vain ne bibliografiset luettelot, joissa ei ole viittauksia itseensä. Pitäisikö tällaisessa hakemistossa olla linkki itseensä? On helppo osoittaa, että ajatus tällaisen luettelon luomisesta ei ole toteutettavissa; se ei yksinkertaisesti voi olla olemassa, koska sen on samanaikaisesti sisällettävä viittaus itseensä eikä sisällytettävä. On mielenkiintoista huomata, että kaikkien sellaisten hakemistojen luetteloiminen, jotka eivät sisällä viittauksia itseensä, voidaan ajatella loputtomana, loputtomana prosessina.

Oletetaan, että jossain vaiheessa käännettiin hakemisto, esimerkiksi K1, joka sisälsi kaikki muut hakemistot, jotka eivät sisältäneet viittauksia itseensä. K1:n luomisen yhteydessä ilmestyi toinen hakemisto, joka ei sisällä viittausta itseensä. Koska tavoitteena on tehdä täydellinen luettelo kaikista hakemistoista, jotka eivät mainitse itseään, on selvää, että K1 ei ole ratkaisu. Hän ei mainitse yhtä näistä hakemistoista - itseään. Kun tämä maininta hänestä K1:ssä sisällytetään, saamme K2-luettelon. Siinä mainitaan K1, mutta ei itse K2. Kun K2:een lisätään tällainen maininta, saadaan K3, joka on jälleen epätäydellinen, koska se ei mainitse itseään. Ja niin edelleen loputtomasti.

lyhennetty ja muutettu luku teoksesta
"Loogisia paradokseja. Ratkaisut »

B. Russellin paradoksi "Kampaajasta (parturi, parturi)"

Ajeltu parturi tai taas kampaajasta

1900-luvun alussa Bertrand Russell löysi loogisen paradoksin. Hän kertoi siitä kirjeessään kuuluisalle matemaatikolle, filosofille ja loogikolle Gottlob Fregelle - modernin loogisen semantiikan perustajalle - kun hän "vuonna 1902 oli jo lähettänyt Aritmeettisen perusteiden toisen osan painettavaksi". Kirje "raportoi muodollisesta ristiriidasta Fregen ehdottamassa aritmetiikkaa koskevassa perustelussa (Russellin paradoksi), jota Frege yritti turhaan ratkaista elämänsä loppuun asti. Kuitenkin Russell toi Fregelle laajan maineen, koska Russellin esityksessä (erityinen täydennys matematiikan perusteisiin, 1903) Fregen käsite tuli laajan lukijapiirin ulottuville. Lainauksen loppu http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Ei vain Frege, vaan kukaan muu yli sataan vuoteen ei ole tähän päivään mennessä kyennyt ratkaisemaan tätä loogista paradoksia. Kukaan paitsi minä.

"Russellin paradoksi alkuperäisessä muodossaan liittyy käsitteeseen joukko tai luokka" (Ivin A. A. The Art of ajatella oikein. - M .: Education. - 1998). Tässä muodossa ratkaisu on toisessa artikkelissa: Russellin paradoksi - alkuperäinen versio - sarjoista, Mutta koko maailma tietää sen eri muodossa. Russell tarjosi seuraavan suositun version paradoksista, jonka hän löysi matemaattisesta joukkoteoriasta.
Kuvitelkaamme, että yhden kylän valtuusto määritteli sen kylän parturin tehtävät seuraavasti: ajaa parrana kaikki kylän miehet, jotka eivät ajele, ja vain nämä miehet. Pitäisikö hänen ajella itsensä? (Ivin A. A. Oikein ajattelemisen taito. - M .: Koulutus. - 1990, s. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Paradoksissa oli monia vääristymiä, samoin kuin yrityksiä ratkaista tämä ristiriita, mutta periaatteessa kaikki ratkaisut päätyivät seuraavaan.
"Jos kyllä ​​(eli parturin on ajettava itsensä - minun välikappaleeni), hän viittaa niihin, jotka ajelevat itsensä, ja niihin, jotka ajavat itsensä, hänen ei pitäisi ajaa parranajoa. Jos ei, hän kuuluu niille, jotka eivät ajele itseään, ja siksi hänen on ajettava itsensä. Näin ollen tulemme siihen johtopäätökseen, että tämä parturi ajelee itsensä silloin ja vain, jos hän ei ajele itseään. Mikä on tietysti mahdotonta.

Parturia koskeva väite perustuu olettamukseen, että tällainen parturi on olemassa. Tuloksena oleva ristiriita tarkoittaa, että tämä olettamus on väärä, eikä ole sellaista kyläläistä, joka ajelisi kaikki ja vain ne sen asukkaista, jotka eivät ajele itseään. Kampaajan tehtävät eivät vaikuta ensisilmäyksellä ristiriitaisilta, joten johtopäätös, ettei sellaista voi olla, kuulostaa jokseenkin odottamattomalta. Tämä johtopäätös ei kuitenkaan ole paradoksaalinen. Edellytys, jonka kylän parturi on täytettävä, on itse asiassa ristiriitainen ja siksi mahdoton. Kylässä ei voi olla sellaista kampaajaa samasta syystä, ettei kylässä ole henkilöä, joka olisi häntä vanhempi tai joka olisi syntynyt ennen syntymäänsä. Väitettä kampaajasta voidaan kutsua pseudoparadoksiksi." Lainauksen loppu (ibid.).

PÄÄTÖS

Vuonna 1992, 19. joulukuuta, tv-peli "Mitä? Missä? Kun?". Tilanne 2:6, kuten usein tapahtuu, syntyi kiistanalainen, tasainen konfliktitilanne. Ja sitten Vladimir Yakovlevich Voroshilov esitti kysymyksen, jonka piti tuoda voitto tai tappio asiantuntijoille. Se oli parturikysymys, Russellin paradoksi. Tietenkin asiantuntijat hävisivät, vaikka he olisivat voineet voittaa. Koska hän esitti hieman vääristyneen version kysymyksestä: "Kysymys kuuluu: ajeleeko parturi itsensä, jos parturi ajelee jokaisen, joka ei ajele itseään?
Asiantuntijoiden vastaus: ei, hän ei ajele. (Kronikka / "Mitä? Missä? Milloin? Tuotantokeskus IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur). Heidän täytyi vastata: ”Tiedoista, että parturi ajelee kaikki, jotka eivät ajele itseään, on mahdotonta päätellä, ajeleeko hän itsensä, ajeleeko joku muu vai ei ajele ollenkaan. Koska tällaisille johtopäätöksille ei ole riittäviä perusteita.
Mutta tämä paradoksi vaivasi minua. Näytti siltä, ​​että vastaus pyöri päässäni, sinun tarvitsee vain "tarttua hännästä". Ja hetken kuluttua onnistuin.

Päätös, kuten usein tapahtuu, on yksinkertaisesti hullu. Koko keskustelu yksityiskohtaisesti ja vääristyneiden vaihtoehtojen huomioon ottamiseksi vie useita sivuja. Annan väitteestä vain lyhennetyn version.

Vastaus kysymykseen Russellin paradoksista on mahdollista, jos katsomme parturien minkä tahansa luokan miehille: "he ajelevat itsensä" tai "he eivät ajele itseään". Mutta loogisen analyysin jälkeen mahdollisista syistä asettaa ihmisjoukkoja näihin luokkiin, ainoa johtopäätös on, että tämä on mahdotonta, koska sellaista loogisesti perusteltua perustetta ei ole olemassa. Tämän johtopäätöksen perusteella monet, mukaan lukien A. A. Ivin, tulivat siihen tulokseen, että paradoksi on ratkaisematon, ja kutsuivat sitä pseudoparadoksiksi. Mutta sitten kaikki muut paradoksit pitäisi "ratkaista" tällä tavalla lopullisesti. Loppujen lopuksi kukaan ei ajattele, että todellisuudessa voi olla keskustelutilanne äidin ja krokotiilin, lähetyssaarnaajan ja kannibaalien ja muiden välillä. Siksi loogisen oletuksen kieltäminen ei ole ratkaisu. Ja ratkaisu on:

Jos kampaajaa on mahdotonta liittää mihinkään luokkiin "ajele itseään" ja "älä ajele itseään", hänet on sisällytettävä kolmanteen luokkaan - "ÄLÄ ARAJO". Ja sitten kampaaja ei riko mitään loogista ehtoa, koska ne eivät koske tätä miesten luokkaa.

Kaikki kylän miehet

A. PARRAVETO 1 - itsensä, 2- ei itseään B. ÄLÄ ARVONAJO

Ja nyt parturi on määrätty kuolla parraan.

Tämän tehtävän oikean ymmärtämiseksi tarvittiin vain henkisesti järjestellä partikkeli "ei" ennen verbiä "ajella" sen jälkeiseen paikkaan. Ja sitten ongelman paradoksaalisen tilan merkitys ilmestyisi, kuten valokuvapaperille tulostuksen aikana. Loppujen lopuksi lause "älä ajele itseään" sai heti muodon ehdottoman yksinkertaiseksi, ei hämmentäväksi ja kenellekään ymmärrettäväksi. Nimittäin - "ÄLÄ ajele itseään" tarkoittaa "ÄLÄ ajele itseään", eli he ajelevat silti, vaikkakaan eivät omin käsin. Ja näin ollen ilmeinen ja karkea virhe kaikkien niiden, jotka yrittivät ratkaista tämän paradoksin, loogisessa päättelyssä ilmestyy välittömästi. Kutsuin tämäntyyppistä virhettä "vääräksi johtopäätökseksi", kun loogisesti välttämättömästä johtopäätöksestä tehdään ehdottoman väärä ja jopa päinvastainen johtopäätös ("Loogiset paradoksit. Ratkaisut", luku "Päättelyvirheet - väärä johtopäätös"). Tässä ongelmassa "väärä johtopäätös" on, että loogisen päättelyn lause ei saisi kuulostaa: "jos parturi ei ajele itseään, hän viittaa niihin, jotka eivät ajele itseään", mikä on väärin, mutta muoto: "jos parturi ei ajeta itseään, hän viittaa niihin, jotka eivät aja itse parranajoa tai EIVÄT AJO."

”Russell-paradoksin” ratkaisun jälkeen ratkaisin myös muita tunnettuja paradokseja soveltamalla niihin kahta yleistä postulaattia: 1. Lähestyessä minkä tahansa ongelman ratkaisua tarvitaan selkeä käsitys itse ongelmasta sen kaikissa yksityiskohdissa; 2. tieto on suhteellinen käsite ("Loogiset paradoksit. Ratkaisutavat", luku "Paradoksien ratkaisemisen periaatteista",

Tunnetuin jo viime vuosisadalla löydetyistä paradokseista on Bertrand Russellin löytämä antinomia, jonka hän välitti kirjeessään G. Fergelle. Russell löysi paradoksinsa, joka liittyy logiikkaan ja matematiikan alaan vuonna 1902. Samaa antinomiaa keskustelivat Göttingenissä samanaikaisesti saksalaiset matemaatikot Z. Zermelo (1871-1953) ja D. Hilbert. Ajatus oli ilmassa, ja sen julkaisu antoi vaikutelman räjähtävästä pommista Miroshnichenko P.N. Mikä tuhosi Russellin paradoksin Fregen järjestelmässä? // Moderni logiikka: teorian, historian ja tieteen soveltamisen ongelmat. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Tämä paradoksi aiheutti matematiikassa Hilbertin mukaan täydellisen katastrofin vaikutuksen. Yksinkertaisimmat ja tärkeimmät loogiset menetelmät, yleisimmät ja hyödyllisimmät käsitteet ovat uhattuna. Kävi ilmi, että Cantorin joukkoteoriassa, jonka useimmat matemaatikot hyväksyivät innostuneesti, on outoja ristiriitoja, joista on mahdotonta tai ainakin erittäin vaikeaa päästä eroon. Russellin paradoksi toi nämä ristiriidat esiin erityisen selkeästi. Noiden vuosien merkittävimmät matemaatikot työskentelivät sen ratkaisemiseksi, samoin kuin muiden Cantorin joukkoteorian paradoksien ratkaisemiseksi. Välittömästi kävi selväksi, ettei logiikassa eikä matematiikassa koko olemassaolonsa pitkän historian aikana ollut päättäväisesti kehitetty mitään, mikä voisi toimia perustana antinomian poistamiselle. On selvää, että poikkeaminen tavanomaisista ajattelutavoista oli välttämätöntä. Mutta mistä ja mihin suuntaan? Courant R., Robbins G. Mitä on matematiikka? - Ch. II, § 4.5.

Kuinka radikaalia vakiintuneiden teoretisointitapojen hylkäämisen piti olla? Antinomian lisätutkimuksen myötä vakaumus perustavanlaatuisen uuden lähestymistavan tarpeesta kasvoi tasaisesti. Puoli vuosisataa sen löytämisen jälkeen logiikan ja matematiikan perusteiden asiantuntijat L. Frenkel ja I. Bar-Hillel totesivat jo varauksetta: , toistaiseksi poikkeuksetta epäonnistuneet, ovat ilmeisen riittämättömiä tähän tarkoitukseen. Moderni amerikkalainen loogikko H. Curry kirjoitti tästä paradoksista hieman myöhemmin: ”1800-luvulla tunnetun logiikan kannalta tilanne yksinkertaisesti uhmasi selitystä, vaikka tietysti meidän koulutetussa iässämme saattaa olla ihmisiä, jotka näkevät (tai luulevat näkevänsä ), mikä on virhe" Miroshnichenko P.N. Mikä tuhosi Russellin paradoksin Fregen järjestelmässä? // Moderni logiikka: teorian, historian ja tieteen soveltamisen ongelmat. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Russellin paradoksi alkuperäisessä muodossaan liittyy käsitteeseen joukko eli luokka. Voimme puhua eri objektien joukoista, esimerkiksi kaikkien ihmisten joukosta tai luonnollisten lukujen joukosta. Ensimmäisen joukon elementti on mikä tahansa yksittäinen henkilö, toisen elementti - jokainen luonnollinen luku. On myös mahdollista pitää joukkoja itseään joinakin objekteina ja puhua joukkojoukoista. Voidaan jopa ottaa käyttöön sellaisia ​​käsitteitä kuin kaikkien joukkojen joukko tai kaikkien käsitteiden joukko. Minkä tahansa mielivaltaisesti otetun joukon osalta näyttää järkevältä kysyä, onko se oma elementti vai ei. Joukkoja, jotka eivät sisällä itseään elementtinä, kutsutaan tavallisiksi. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko ei ole henkilö, kuten atomien joukko ei ole atomi. Sarjat, jotka ovat asianmukaisia ​​elementtejä, ovat epätavallisia. Esimerkiksi joukko, joka yhdistää kaikki joukot, on joukko ja sisältää siksi itsensä elementtinä.

Koska kyseessä on sarja, siitä voi myös kysyä, onko se tavallinen vai epätavallinen. Vastaus on kuitenkin masentava. Jos se on tavallinen, niin sen täytyy määritelmän mukaan sisältää itsensä elementtinä, koska se sisältää kaikki tavalliset joukot. Mutta tämä tarkoittaa, että se on epätavallinen sarja. Oletus, että joukkomme on tavallinen joukko, johtaa siis ristiriitaan. Joten se ei voi olla normaalia. Toisaalta se ei voi myöskään olla epätavallinen: epätavallinen joukko sisältää itsensä elementtinä, ja joukkomme elementit ovat vain tavallisia joukkoja. Tämän seurauksena tulemme siihen tulokseen, että kaikkien tavallisten joukkojen joukko ei voi olla tavallinen tai satunnainen.

Siten joukko joukkoja, jotka eivät ole oikeita alkioita, on oikea alkio, jos ja vain jos se ei ole sellainen alkio. Tämä on selvä ristiriita. Ja se saatiin todennäköisimpien oletusten pohjalta ja näennäisen kiistattomien askeleiden avulla. Ristiriita sanoo, että tällaista joukkoa ei yksinkertaisesti ole olemassa. Mutta miksi sitä ei voi olla olemassa? Loppujen lopuksi se koostuu objekteista, jotka täyttävät hyvin määritellyn ehdon, eikä itse ehto näytä olevan jotenkin poikkeuksellinen tai epäselvä. Jos näin yksinkertaisesti ja selkeästi määriteltyä joukkoa ei voi olla olemassa, mitä eroa mahdollisten ja mahdottomien joukkojen välillä on? Johtopäätös, jonka mukaan harkittavaa joukkoa ei ole olemassa, kuulostaa odottamattomalta ja huolestuttavalta. Se tekee yleiskäsityksestämme joukon amorfisen ja kaoottisen, eikä ole mitään takeita siitä, etteikö se voisi aiheuttaa uusia paradokseja.

Russellin paradoksi on merkittävä sen äärimmäisen yleisyyden vuoksi. Courant R., Robbins G. Mitä on matematiikka? - Ch. II, § 4.5. . Sen rakentamiseen ei tarvita monimutkaisia ​​teknisiä käsitteitä, kuten joidenkin muiden paradoksien tapauksessa käsitteet "joukko" ja "joukon elementti" riittävät. Mutta tämä yksinkertaisuus vain puhuu sen perustavanlaatuisesta luonteesta: se koskettaa joukkoja koskevan ajattelumme syvimpiä perusteita, koska se ei puhu joistakin erikoistapauksista, vaan joukoista yleensä.

Muut paradoksiversiot Russellin paradoksi ei ole erityisesti matemaattinen. Se käyttää joukon käsitettä, mutta ei koske erityisiin matematiikkaan liittyviä ominaisuuksia.

Tämä käy ilmi, kun paradoksi muotoillaan uudelleen puhtaasti loogisesti. Jokaisesta ominaisuudesta voidaan mitä todennäköisimmin kysyä, sopiiko se itseensä vai ei. Esimerkiksi ominaisuus olla kuuma ei koske itseään, koska se ei ole itse kuuma; ominaisuus olla konkreettinen ei myöskään viittaa itseensä, sillä se on abstrakti ominaisuus. Mutta ominaisuus olla abstraktia, olla abstraktia, pätee itseensä.

Kutsukaamme näitä itseensä soveltumattomia ominaisuuksia soveltumattomiksi. Päteekö ominaisuus olla soveltumaton itseensä? Osoittautuu, että soveltumattomuus on soveltumaton vain, jos se ei ole. Tämä on tietysti paradoksaalista. Looginen, omaisuuteen liittyvä versio Russellin antinomiasta on yhtä paradoksaalinen kuin matemaattinen, joukkoon liittyvä versio.

Russell ehdotti myös seuraavaa suosittua versiota hänen löytämästään paradoksista Katrechko S.L. Russellin Parturi-paradoksi ja Platon-Aristoteleen dialektiikka // Moderni logiikka: teorian, historian ja soveltamisen ongelmat tieteessä. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Kuvitelkaamme, että yhden kylän valtuusto määritteli parturin tehtävät näin: ajella kaikki kylän miehet, jotka eivät ajele, ja vain nämä miehet. Pitäisikö hänen ajella itsensä? Jos näin on, se viittaa niihin, jotka ajelevat itsensä, ja niihin, jotka ajelevat itsensä, hänen ei pitäisi ajaa parranajoa. Jos ei, hän kuuluu niille, jotka eivät ajele itseään, ja siksi hänen on ajettava itsensä. Näin ollen tulemme siihen johtopäätökseen, että tämä parturi ajelee itsensä silloin ja vain, jos hän ei ajele itseään. Tämä on tietysti mahdotonta.

Parturia koskeva väite perustuu olettamukseen, että tällainen parturi on olemassa. Tuloksena oleva ristiriita tarkoittaa, että tämä olettamus on väärä, eikä ole olemassa sellaista kyläläistä, joka ajelisi kaikki ne kyläläiset, jotka eivät ajele itseään. Parturin tehtävät eivät vaikuta ensisilmäyksellä ristiriitaisilta, joten johtopäätös, ettei sellaista voi olla, kuulostaa jokseenkin odottamattomalta. Tämä johtopäätös ei kuitenkaan ole paradoksaalinen. Edellytys, jonka kylän parturi on täytettävä, on itse asiassa ristiriitainen ja siksi mahdoton. Kylässä ei voi olla tällaista kampaajaa samasta syystä, koska siellä ei ole henkilöä, joka olisi häntä vanhempi tai joka syntyisi ennen hänen syntymäänsä Miroshnichenko P.N. Mikä tuhosi Russellin paradoksin Fregen järjestelmässä? // Moderni logiikka: teorian, historian ja tieteen soveltamisen ongelmat. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Parturia koskevaa väitettä voidaan kutsua pseudoparadoksiksi. Kurssiltaan se on tiukasti analoginen Russellin paradoksiin, ja juuri tämä tekee siitä mielenkiintoisen. Mutta se ei silti ole todellinen paradoksi.

Toinen esimerkki samasta pseudoparadoksista on hyvin tunnettu katalogiargumentti. Tietty kirjasto päätti laatia bibliografisen luettelon, joka sisältäisi kaikki ne ja vain ne bibliografiset luettelot, joissa ei ole viittauksia itseensä. Pitäisikö tällaisessa hakemistossa olla linkki itseensä? On helppo osoittaa, että ajatus tällaisen luettelon luomisesta ei ole toteutettavissa; se ei yksinkertaisesti voi olla olemassa, koska sen on samanaikaisesti sisällettävä viittaus itseensä eikä sisällytettävä.

On mielenkiintoista huomata, että kaikkien sellaisten hakemistojen luetteloiminen, jotka eivät sisällä viittauksia itseensä, voidaan ajatella loputtomana, loputtomana prosessina. Oletetaan, että jossain vaiheessa käännettiin hakemisto, esimerkiksi K1, mukaan lukien kaikki muut hakemistot, jotka eivät sisällä viittauksia itseensä. K1:n luomisen yhteydessä ilmestyi toinen hakemisto, joka ei sisällä linkkiä itseensä. Koska tavoitteena on tehdä täydellinen luettelo kaikista hakemistoista, jotka eivät mainitse itseään, on selvää, että K1 ei ole ratkaisu. Hän ei mainitse yhtäkään näistä hakemistoista - itseään. Kun tämä maininta hänestä K1:ssä sisällytetään, saamme K2-luettelon. Siinä mainitaan K1, mutta ei itse K2. Lisäämällä tällaisen maininnan K2:een, saamme KZ:n, joka taas ei ole täydellinen, koska se ei mainitse itseään. Ja loputtomasti.

Vielä yksi looginen paradoksi voidaan mainita - hollantilaisten pormestareiden paradoksi, joka on samanlainen kuin parturien paradoksi. Jokaisella Hollannin kunnassa on oltava pormestari, ja kahdella eri kunnassa ei voi olla samaa pormestaria. Joskus käy ilmi, että pormestari ei asu kunnassaan. Oletetaan, että annetaan laki, jolla jokin alue S on osoitettu yksinomaan sellaisille pormestareille, jotka eivät asu kunnissaan, ja joka ohjaa kaikki nämä pormestarit asettumaan tälle alueelle. Oletetaan edelleen, että näitä pormestareita on niin paljon, että itse alue S muodostaa erillisen kunnan. Missä tämän erityiskunnan S pormestarin tulisi asua? Yksinkertainen perustelu osoittaa, että jos erityiskunnan pormestari asuu alueella S, hänen ei pitäisi asua siellä, ja päinvastoin, jos hän ei asu alueella, hänen on asuttava tällä alueella. On aivan ilmeistä, että tämä paradoksi on analoginen parturin paradoksiin.

Russell oli yksi ensimmäisistä, joka ehdotti ratkaisua "hänen" paradoksiinsa. Hänen ehdottamansa ratkaisun nimi oli "tyyppiteoria": joukko (luokka) ja sen elementit kuuluvat eri loogisiin tyyppeihin, joukon tyyppi on korkeampi kuin sen elementtien tyyppi, mikä eliminoi Russellin paradoksin (tyyppiteoriaa käytti myös mm. Russell ratkaisemaan kuuluisan "valehtelijan" paradoksin). Monet matemaatikot eivät kuitenkaan hyväksyneet Russellin ratkaisua, koska he uskoivat, että se asettaa liian ankarat rajoitukset Katrechko S.L.:n matemaattisille väitteille. Russellin Parturi-paradoksi ja Platon-Aristoteleen dialektiikka // Moderni logiikka: teorian, historian ja soveltamisen ongelmat tieteessä. - Pietari, 2002. - S. 239-242 ..

Tilanne on samanlainen muiden loogisten paradoksien kanssa. "Logiikan antinomiat", kirjoittaa von Wright, "ovat hämmentäneet meitä niiden löytämisestä lähtien ja tulevat luultavasti aina hämmentämään meitä. Mielestäni meidän ei pitäisi nähdä niitä niinkään ratkaisua odottavina ongelmina, vaan ajattelun ehtymättömänä raaka-aineena. Ne ovat tärkeitä, koska niiden ajatteleminen koskettaa kaiken logiikan ja siten kaiken ajattelun perustavanlaatuisimpia kysymyksiä." Wrigt G.Kh. tausta. Logiikka ja filosofia 1900-luvulla // Vopr. filosofia. 1992. Nro 8...

Russellin paradoksi (Russellin antinomia, myös Russell-Zermelon paradoksi) on joukkoteoreettinen paradoksi (antinomia), jonka Bertrand Russell löysi vuonna 1901. Se osoittaa Fregen loogisen järjestelmän epäjohdonmukaisuuden, joka oli varhainen yritys muotoilla Georg Cantorin naiivi joukkoteoria. Ernst Zermelo on aiemmin löytänyt, mutta ei julkaissut.

Epävirallisella kielellä paradoksi voidaan kuvata seuraavasti. Sovitaan, että joukkoa kutsutaan "tavalliseksi", jos se ei ole sen oma elementti. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko on "tavallinen", koska joukko itsessään ei ole henkilö. Esimerkki "epätavallisesta" joukosta on kaikkien joukkojen joukko, koska se on itse joukko ja siksi se on itse oikea elementti.

Voidaan ajatella joukkoa, joka koostuu vain kaikista "tavallisista" joukoista, sellaista joukkoa kutsutaan Russell setti . Paradoksi syntyy, kun yritetään määrittää, onko tämä joukko "tavallinen" vai ei, eli sisältääkö se itsensä elementtinä. Mahdollisuuksia on kaksi.

• Toisaalta, jos se on "tavallinen", sen on sisällytettävä itsensä elementiksi, koska määritelmän mukaan se koostuu kaikista "tavallisista" joukoista. Mutta silloin se ei voi olla "tavallinen", koska "tavalliset" joukot ovat sellaisia, jotka eivät sisällä itseään.
• Voidaan olettaa, että tämä sarja on "epätavallinen". Se ei kuitenkaan voi sisällyttää itseään elementiksi, koska määritelmän mukaan sen tulee koostua vain "tavallisista" joukoista. Mutta jos se ei sisällä itseään elementtinä, se on "tavallinen" joukko.

Joka tapauksessa tuloksena on ristiriita.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Luento 1. Joukon määritelmä. De Morganin lait. Russellin paradoksi. Weierstrassin lause

✪ 3 Russellin paradoksia

✪ Bertrand Russell Neuvoja tuleville sukupolville

✪ Luento 21: Naiivi joukkoteoria ja sumea logiikka

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

Tekstitykset

Paradoksin muotoilu

Russellin paradoksi voidaan muotoilla naiivilla joukkoteorialla. Siksi naiivi joukkoteoria on epäjohdonmukainen. Naiivin joukkoteorian ristiriitainen fragmentti, joka voidaan määritellä ensimmäisen asteen teoriaksi binäärijäsensuhteella ∈ (\displaystyle \in ) ja valintasuunnitelma: jokaiselle loogiselle kaavalle, jossa on yksi vapaa muuttuja naiivissa joukkoteoriassa, on aksiooma

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\näyttötyyli \olemassa y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Tämä aksioomakaavio sanoo sen kaikille olosuhteille P (x) (\displaystyle P(x)) on paljon y , (\displaystyle y,) jotka koostuvat niistä x , (\displaystyle x,) jotka täyttävät ehdon P (x) (\displaystyle P(x)) .

Tämä riittää muotoilemaan Russellin paradoksi seuraavasti. Anna olla P (x) (\displaystyle P(x)) on kaava x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(eli P (x) (\displaystyle P(x)) tarkoittaa, että monet x (\displaystyle x) ei sisällä itseään elementtinä, tai terminologiamme mukaan se on "tavallinen" joukko.) Sitten valinnan aksiooman mukaan on joukko y (\displaystyle y)(Russel setti) sellainen

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Koska tämä on totta kaikille x , (\displaystyle x,) se pitää paikkansa myös x = y. (\displaystyle x=y.) Eli

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Tästä seuraa, että naiivissa joukkoteoriassa johdetaan ristiriita.

Paradoksi ei syntyisi, jos olettaisimme, että Russell-joukkoa ei ole olemassa. Tämä oletus itsessään on kuitenkin paradoksaalinen: Cantorin joukkoteoriassa uskotaan, että mikä tahansa ominaisuus määrää sen elementtien joukon, jotka täyttävät tämän ominaisuuden. Koska joukon ominaisuus olla "tavallinen" näyttää hyvin määritellyltä, täytyy olla joukko kaikkia "tavallisia" joukkoja. Tätä teoriaa kutsutaan nyt naiivi joukkoteoria .

Paradoksien suositut versiot

Russellin paradoksista on useita versioita. Toisin kuin itse paradoksi, niitä ei yleensä voida ilmaista muodollisella kielellä.

Valehtelijan paradoksi

Russellin paradoksi liittyy muinaisista ajoista tunnettuun valehtelijan paradoksiin, joka on seuraava kysymys. Annettu lausunto:

Tämä väite on väärä.

Onko tämä väite totta vai ei? On helppo osoittaa, että tämä väite ei voi olla totta eikä tarua.

Russell kirjoitti tästä paradoksista:

Russell itse selitti valehtelijan paradoksin tällä tavalla. Jotta voidaan sanoa jotain lausunnoista, on ensin määriteltävä itse "lausunnon" käsite, mutta ei saa käyttää käsitteitä, joita ei ole vielä määritelty. Siten voidaan määritellä ensimmäisen tyypin lauseita, jotka eivät kerro väitteistä mitään. Sitten voidaan määritellä toisen tyypin lauseita, jotka puhuvat ensimmäisen tyypin lausunnoista ja niin edelleen. Väite "tämä väite on väärä" ei kuulu minkään näistä määritelmistä, joten siinä ei ole järkeä.

Parturien paradoksi

Russell mainitsee seuraavan version paradoksista, joka on muotoiltu arvoitukseksi, jonka joku ehdotti hänelle.

Asukoon tietyssä kylässä parturi, joka ajelee kaikki kylän asukkaat, jotka eivät ajele, ja vain heidät. Ajeleeko parturi itsensä?

Mikä tahansa vastaus johtaa ristiriitaan. Russell huomauttaa, että tämä paradoksi ei vastaa hänen paradoksiaan ja on helposti ratkaistava. Todellakin, aivan kuten Russellin paradoksi osoittaa, että Russell-sarjaa ei ole, parturien paradoksi osoittaa, että sellaista parturia ei ole olemassa. Erona on, että tällaisen parturin puuttumisessa ei ole mitään yllättävää: missään omaisuudessa ei ole parturia, joka ajelee ihmisiä tällä ominaisuudella. Kuitenkin se tosiasia, että jollakin hyvin määritellyllä ominaisuudella ei ole elementtijoukkoa, on ristiriidassa naiivin joukon käsityksen kanssa ja vaatii selitystä.

Vaihtoehto hakemistoista

Lähin sanamuoto Russellin paradoksille on seuraava versio hänen esityksestään:

Bibliografiset luettelot ovat kirjoja, jotka kuvaavat muita kirjoja. Jotkut hakemistot voivat kuvata muita hakemistoja. Jotkut hakemistot voivat jopa kuvailla itseään. Onko mahdollista luetteloida kaikki luettelot, jotka eivät kuvaa itseään?

Paradoksi syntyy, kun yritetään päättää, pitäisikö tämän hakemiston kuvata itseään. Huolimatta muotoilujen näennäisestä läheisyydestä (tämä on itse asiassa Russellin paradoksi, jossa luetteloita käytetään sarjojen sijaan), tämä paradoksi, kuten parturien paradoksi, ratkaistaan ​​yksinkertaisesti: tällaista luetteloa ei voida koota.

Grelling-Nelson paradoksi

Tämän paradoksin muotoilivat saksalaiset matemaatikot Kurt Grelling ja Leonard Nelson vuonna 1908. Se on itse asiassa käännös Russellin alkuperäisestä paradoksin versiosta, jonka hän esitti predikaattilogiikkana (katso kirje Fregelle), ei-matemaattiselle kielelle.

Kutsutaanpa adjektiivia heijastava jos tällä adjektiivilla on tämän adjektiivin määrittelemä ominaisuus. Esimerkiksi adjektiivit "venäläinen", "monitavuinen" - niillä on niiden määrittelemät ominaisuudet (adjektiivi "venäläinen" on venäjä ja adjektiivi "monitavuinen" on monitavuinen), joten ne ovat refleksiivisiä, ja adjektiivit "saksa", "yksitavuinen" - ovat ei-refleksiivinen. Onko adjektiivi "ei-refleksiivinen" refleksiivinen vai ei?

Mikä tahansa vastaus johtaa ristiriitaan. Toisin kuin parturin paradoksi, ratkaisu tähän paradoksiin ei ole niin yksinkertainen. Ei voida yksinkertaisesti sanoa, että tällaista adjektiivia ("ei-refleksiivinen") ei ole olemassa, koska olemme juuri määritelleet sen. Paradoksi syntyy siitä tosiasiasta, että termin "ei-refleksiivinen" määritelmä on sinänsä virheellinen. Tämän termin määritelmä riippuu arvot adjektiivi, jota se koskee. Ja koska sana "ei-refleksiivinen" on itsessään adjektiivi määritelmässä, syntyy noidankehä.

Tarina

Russell luultavasti löysi paradoksinsa touko- tai kesäkuussa 1901. Russellin itsensä mukaan hän yritti löytää virheen Cantorin todistuksesta paradoksaalisesta tosiasiasta (tunnetaan nimellä Cantorin paradoksi), että ei ole olemassa maksimikardiaalilukua (tai kaikkien joukkojen joukkoa). Tämän seurauksena Russell sai yksinkertaisemman paradoksin. Russell kertoi paradoksinsa muille loogikoille, erityisesti Whiteheadille ja Peanolle. Kirjeessään Fregelle 16. kesäkuuta 1902 hän kirjoitti löytäneensä ristiriidan " Concept Calculus” - Fregen kirja, julkaistu vuonna 1879. Hän esitti paradoksinsa logiikan ja sitten joukkoteorian kannalta käyttäen Fregen funktion määritelmää:

Minulla oli vaikeuksia vain yhdessä paikassa. Väität (s. 17), että funktio voi itse toimia tuntemattomana. Minäkin luulin niin. Mutta nyt tämä näkemys vaikuttaa minusta epäilyttävältä seuraavan ristiriidan vuoksi. Anna olla w predikaatti: "olla predikaatti, jota ei voida soveltaa itseensä." Voi w soveltua itseensä? Mikä tahansa vastaus viittaa päinvastaiseen. Siksi meidän on päätettävä, että w ei ole predikaatti. Vastaavasti ei ole olemassa niiden luokkien luokkaa (kokonaisuutena), jotka kokonaisuutena tarkasteltuna eivät kuulu itselleen. Tästä päättelen, että joskus tietty joukko ei muodosta kokonaisuutta.

Alkuperäinen teksti (saksa)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begget. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht werden prädicirt. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege sai kirjeen juuri silloin, kun hän valmistui aritmeettisen peruslainsäädäntöjen (saksa: Grundgesetze der Arithmetik) toisesta osasta. Fregellä ei ollut aikaa korjata joukkoteoriaansa. Hän lisäsi vain liitteen toiseen osaan, jossa oli esittely ja paradoksianalyysi, joka alkoi kuuluisalla huomautuksella:

On epätodennäköistä, että tiedemiehelle voi tapahtua mitään pahempaa kuin jos maa vedetään hänen jalkojensa alta juuri sillä hetkellä, kun hän saa työnsä valmiiksi. Juuri tästä asemasta löysin itseni, kun sain kirjeen Bertrand Russellilta, kun työni oli jo valmis.

Alkuperäinen teksti (saksa)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\näyttötyyli z\in \(x\kaksoispiste P(x)\)\iff P(z)),

joka sanoi, että on mahdollista rakentaa joukko elementtejä, jotka tyydyttävät ominaisuuden P (x) , (\displaystyle P(x),) hän ehdotti seuraavan aksiooman käyttöä:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\näyttötyyli z\in \(x\kaksoispiste P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\kaksoispiste P(x)\)),

eliminoi siten joukon mahdollisuuden olla itsensä jäsen. Kuitenkin pieni [ mikä?] Russellin paradoksin muunnos todistaa, että tämä aksiooma johtaa myös ristiriitaan.

Russell julkaisi paradoksinsa kirjassaan " Matematiikan periaatteet" vuonna 1903.

Alla on joitain mahdollisia lähestymistapoja Russellin paradokseista vapaan aksioomijärjestelmän rakentamiseen.

Russellin tyyppiteoria

Russell itse oli ensimmäinen, joka ehdotti teoriaa, joka ei sisällä Russellin paradoksia. Hän kehitti tyyppiteorian, jonka ensimmäinen versio ilmestyi Russellin ja Whiteheadin kirjassa Matematiikan periaatteet" vuonna 1903. Tämä teoria perustuu seuraavaan ajatukseen: tässä teoriassa yksinkertaisilla olioilla on tyyppi 0, yksinkertaisten objektien joukoilla on tyyppi 1, yksinkertaisten objektien joukoilla on tyyppi 2 ja niin edelleen. Näin ollen millään joukolla ei voi olla itseään elementtinä. Tässä teoriassa ei voida määritellä kaikkien joukkojen joukkoa eikä Russell-joukkoa. Samanlainen hierarkia otetaan käyttöön lauseille ja ominaisuuksille. Yksinkertaisia ​​objekteja koskevat lauseet kuuluvat tyyppiin 1, tyypin 1 lauseiden ominaisuuksia koskevat lauseet kuuluvat tyyppiin 2 ja niin edelleen. Yleensä funktio määritelmän mukaan on korkeampaa tyyppiä kuin muuttujat, joista se riippuu. Tämä lähestymistapa antaa sinun päästä eroon paitsi Russellin paradoksista, myös monista muista paradokseista, mukaan lukien valehtelija paradoksi (), Grelling-Nelson paradoksi, Burali-Forti paradoksi. Russell ja Whitehead osoittivat, kuinka kaikki matematiikka pelkistetään tyyppiteorian aksioomeiksi kolmiosaisessa Principia Mathematicassa, joka julkaistiin vuosina 1910-1913.

Tämä lähestymistapa kohtasi kuitenkin vaikeuksia. Erityisesti ongelmia syntyy määriteltäessä sellaisia ​​käsitteitä reaalilukujoukkojen parhaaksi ylärajaksi. Määritelmän mukaan pienin yläraja on pienin kaikista ylärajoista. Tästä syystä määritettäessä pienintä ylärajaa käytetään reaalilukujen joukkoa. Näin ollen pienin yläraja on korkeampaa tyyppiä oleva objekti kuin reaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että se ei ole itse reaaliluku. Tämän välttämiseksi oli tarpeen ottaa käyttöön ns pelkistyvyysaksiooma. Sen mielivaltaisuuden vuoksi monet matemaatikot kieltäytyivät hyväksymästä pelkistyvyysaksioomaa, ja Russell itse kutsui sitä teoriansa puutteeksi. Lisäksi teoria osoittautui erittäin monimutkaiseksi. Tämän seurauksena se ei ole saanut laajaa käyttöä.

Zermelo-Fraenkel joukkoteoria

Tunnetuin lähestymistapa matematiikan aksiomatisointiin on Zermelo-Fraenkelin (ZF) joukkoteoria, joka syntyi matematiikan jatkeena. Zermelon teoriat(1908). Toisin kuin Russell, Zermelo säilytti loogiset periaatteet ja muutti vain joukkoteorian aksioomat. Tämän lähestymistavan ideana on, että on sallittua käyttää vain jo rakennetuista joukoista rakennettuja joukkoja käyttämällä tiettyä aksioomajoukkoa. Esimerkiksi yksi Zermelon aksioomista sanoo, että on mahdollista rakentaa joukko tietyn joukon kaikista osajoukoista (Boolen aksiooma). Toinen aksiooma ( valintasuunnitelma) sanoo, että jokaisesta joukosta on mahdollista valita osajoukko elementtejä, joilla on tietty ominaisuus. Tämä on tärkein ero Zermelon joukkoteorian ja naiivin joukkoteorian välillä: naiivissa joukkoteoriassa voit ottaa huomioon kaikkien elementtien joukon, joilla on tietty ominaisuus, ja Zermelon joukkoteoriassa voit valita vain osajoukon jo rakennetusta joukosta. . Zermelon joukkoteoriassa on mahdotonta muodostaa joukkoa kaikista joukoista. Siten Russell-joukkoa ei voida rakentaa sinnekään.

Luokat

Joskus matematiikassa on hyödyllistä tarkastella kaikkia joukkoja kokonaisuutena, esimerkiksi tarkastella kaikkien ryhmien kokonaisuutta. Tätä varten joukkoteoriaa voidaan laajentaa luokan käsitteellä, kuten esimerkiksi Neumann- Bernays- Gödel (NBG) -järjestelmässä. Tässä teoriassa kaikkien joukkojen kokoelma on luokkaa. Tämä luokka ei kuitenkaan ole joukko eikä ole minkään luokan jäsen, jolloin vältetään Russellin paradoksi.

Vahvempi järjestelmä, jonka avulla kvantoijat voidaan ottaa luokkien, ei vain joukkojen yli, on esim. Morsesarjateoria - Kelly(MK) . Tässä teoriassa pääkäsite on käsite luokkaa, mutta ei sarjat. Tässä teoriassa joukot katsotaan sellaisiksi luokiksi, jotka ovat itse joidenkin luokkien elementtejä. Tässä teoriassa kaava z ∈ ( x: P (x) ) (\näyttötyyli z\in \(x\kaksoispiste P(x)\)) katsotaan vastaavan kaavaa

P (z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \exists y.z\in y).

Kuten ∃ y . z ∈ y (\näyttötyyli \olemassa y.z\in y) tässä teoriassa tarkoittaa, että luokka z (\displaystyle z) on monet, tämä kaava tulee ymmärtää seuraavasti ( x: P (x) ) (\näyttötyyli \(x\kaksoispiste P(x)\)) on kaikkien luokkaa sarjat(ei luokat) z (\displaystyle z), sellasta P (z) (\displaystyle P(z)). Russellin paradoksi tässä teoriassa on ratkaistu sillä tosiasialla, että jokainen luokka ei ole joukko.

Voidaan mennä pidemmälle ja harkita luokkakokoelmia - ryhmittymiä, ryhmittymien kokoelmat ja niin edelleen.

Vaikutus matematiikkaan

Matematiikan aksiomatisointi

Russellin paradoksi yhdessä muiden 1900-luvun alussa löydettyjen matemaattisten antinomioiden kanssa stimuloi matematiikan perusteiden tarkistamista, mikä johti aksiomaattisten teorioiden rakentamiseen matematiikan perustelemiseksi, joista osa on mainittu edellä.

Kaikissa rakennetuissa uusissa aksiomaattisissa teorioissa 1900-luvun puoliväliin mennessä tunnetut paradoksit (mukaan lukien Russellin paradoksi) eliminoitiin. Kuitenkin sen todistaminen, että uusia samanlaisia ​​paradokseja ei voida löytää tulevaisuudessa (tämä on rakennettujen aksiomaattisten teorioiden johdonmukaisuuden ongelma), kävi ilmi, että tämän ongelman nykyaikaisessa ymmärryksessä on mahdotonta (katso Gödelin epätäydellisyyttä koskevat lauseet). .

intuitionismi

Samanaikaisesti syntyi uusi matematiikan suuntaus, nimeltään intuitionismi, jonka perustaja on L. E. Ya. Brouwer. Intuitionismi syntyi riippumatta Russellin paradokseista ja muista antinomioista. Antinomioiden löytäminen joukkoteoriassa lisäsi kuitenkin intuitionistien epäluottamusta loogisia periaatteita kohtaan ja joudutti intuitionismin muodostumista. Intuitionismin pääteesissä sanotaan, että jonkin esineen olemassaolon todistamiseksi on esitettävä menetelmä sen rakentamiseksi. Intuitionistit hylkäävät sellaiset abstraktit käsitteet kuin kaikkien joukkojen joukko. Intuitionismi kieltää poissuljetun keskikohdan lain, mutta on huomattava, että poissuljetun keskikohdan lakia ei tarvita johtamaan ristiriitaa Russellin antinomiasta tai mistä tahansa muusta (missä tahansa antinomiassa todistetaan, että A (\näyttötyyli A) sisältää kieltämisen A (\näyttötyyli A) ja kieltäminen A (\näyttötyyli A) aiheuttaa A , (\näyttötyyli A,) kuitenkin alkaen (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) jopa intuitionistisessa logiikassa seuraa ristiriita). On myös syytä huomata, että intuitionistisen matematiikan myöhemmissä aksiomatisoinneissa löydettiin Russellin kaltaisia ​​paradokseja, kuten esim. Girardin paradoksi alkuperäisessä sanamuodossa Martin Loef.

Diagonaalinen argumentti (itsesovellettavuus)

Huolimatta siitä, että Russellin päättely johtaa paradoksiin, tämän päättelyn pääideaa käytetään usein matemaattisten lauseiden todistuksessa. Kuten edellä mainittiin, Russell sai paradoksinsa analysoimalla Cantorin todistetta suurimman kardinaaliluvun olemattomuudesta. Tämä tosiasia on ristiriidassa kaikkien joukkojen joukon olemassaolon kanssa, koska sen kardinaalisuuden on oltava suurin. Kuitenkin Cantor-lauseen mukaan tietyn joukon kaikkien osajoukkojen joukolla on suurempi kardinaliteetti kuin itse joukolla. Todiste tästä tosiasiasta perustuu seuraavaan diagonaaliargumentti?!:

Olkoon yksi-yhteen vastaavuus , joka jokaiselle elementille x (\displaystyle x) sarjat X (\displaystyle X) vastaa osajoukkoa s x (\displaystyle s_(x)) sarjat x. (\displaystyle X.) Anna olla d (\näyttötyyli d) tulee olemaan joukko elementtejä x (\displaystyle x) sellasta x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (diagonaalisetti). Sitten tämän sarjan täydennys s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) ei voi olla yksi niistä s x . (\displaystyle s_(x).) Siksi kirjeenvaihto ei ollut henkilökohtaista.

Cantor käytti diagonaaliargumenttia todistaakseen reaalilukujen laskemattomuuden vuonna 1891. (Tämä ei ole hänen ensimmäinen todiste reaalilukujen laskemattomuudesta, vaan yksinkertaisin).

Aiheeseen liittyviä paradoksia

Itsesoveltuvuutta käytetään monissa muissa paradokseissa kuin edellä käsitellyissä:

• Kaikkivaltiuden paradoksi on keskiaikainen kysymys: "Voiko kaikkivaltias jumala luoda kiven, jota hän ei itse voi nostaa?"
• Paradoksi Burali-Forti (1897) on analogi järjestyslukujen paradoksille Cantor.
• Mirimanovin paradoksi (1917) on yleistys Burali-Forti-paradoksista kaikkien perusteltujen luokkien luokalle.
• Richardin paradoksi (1905) on semanttinen paradoksi, joka osoittaa matematiikan ja metamatematiikan kielen erottamisen tärkeyden.
• Berryn paradoksi (1906) on Russellin julkaisema yksinkertaistettu versio Richardin paradoksista.
• Kleene-Rosserin paradoksi(1935) - Richardin paradoksin muotoilu λ-laskennan kannalta.
• Curryn (1941) paradoksi on yksinkertaistus Kleene-Rosserin paradoksista.
• Girardin paradoksi(1972) - Burali-Forti-paradoksin muotoilu intuitionistinen tyyppiteoria .
• on puolivitsaileva paradoksi, joka muistuttaa Berryn paradoksia.

Huomautuksia

1. Godhard Link (2004) Russellin paradoksi sadan vuoden ajan, kanssa. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Russellin antinomia // Logiikkasanakirja. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 s. - ISBN 5-691-00099-3.
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 1.1.2014.
4. Antinomia- artikkeli Mathematical Encyclopediasta. A. G. Dragalin
5. A.S. Gerasimov. Kurssin matemaattinen logiikka ja teoria  laskettavuus. - Kolmas painos, tarkistettu ja laajennettu. - Pietari: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 s.

Useimmissa yleistä paradoksimuoto Bertrand Russell näyttää tältä:

Olkoon M niiden joukkojen joukko, jotka eivät sisällä itseään elementtinä. Kysymys: Sisältääkö M itsensä elementtinä?

Jos vastaus on "kyllä", niin M:n määritelmän mukaan se ei saa olla M:n elementti, ja meillä on ristiriita.

Jos vastaus on "ei" - silloin M:n määritelmän mukaan sen on oltava M:n elementti - taas ristiriita ...

"Mikä on ristiriidan ydin? Luokka on joskus ja joskus ei ole itsensä jäsen. "Luokka esimerkiksi teelusikallinen ei ole toinen teelusikka, mutta asiat, jotka eivät ole teelusikallisia, ovat joitain asioita, jotka eivät ole teelusikallisia."

Russellin paradoksi liittyy kaikkien varsinaisten luokkien luokan käsitteen käyttöön. "Oma" on luokka, joka ei sisällä itseään jäsenenä. "Sopimaton" on luokka, jonka oletetaan sisältävän itsensä jäsenenä. Oletetaan, että tämä on kaikkien luokkien luokka. Mitä tulee kaikkien varsinaisten luokkien luokkaan ("Russell-luokka"), herää kysymys: mikä se on - oikea vai sopimaton? Jos oletetaan, että se on oma, se tulisi osoittaa muille kuin omille luokille ja päinvastoin.

Puolivitsillä Russell esittelee tämän paradoksin niin kutsutun "Parturi"-paradoksin kautta teoksessa An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919). Kyläparturin tulee ajaa parrana kaikki ne ja vain ne kylänsä asukkaat, jotka eivät ajele itseään. Pitäisikö hänen ajella itsensä? Jos hän ajelee itsensä, hän ajaa itsensä, eikä hänellä ole oikeutta ajaa itseään. Mutta jos hän ei ajele itseään, hänellä on oikeus ajaa itsensä. Tällä tavalla voidaan myös osoittaa paradoksaalisuus "kaikkien joukkojen joukkoon, jotka eivät ole oikeita elementtejä". On huomattava, että "Parturi" ei ole "puhdas paradoksi", koska siitä seuraa vain, että tällaista kampaajaa ei voi olla ollenkaan, eli "periaatteessa tälle elementtejä sisältävälle sarjalle ei löydy yksiselitteistä ja johdonmukaista määrittelyä. määritellään vain tämän kokonaisuuden kannalta, samoin kuin elementit, jotka sisältävät tai viittaavat tähän kokonaisuuteen. Paradoksi eliminoituu johtopäätöksellä, että jos jotkut premissit synnyttävät ristiriidan, ne ovat vääriä.

Russellin antinomialla oli tärkeä rooli matematiikan perusteiden kehittämisessä. Se horjutti joukkoteorian perusteita, aivan uutta logiikkaa, siitä tuli todellinen katastrofi ja matematiikan ja logiikan perustelemisen ongelmia 1800-1900-luvun vaihteessa käsitelleiden toiveiden romahtaminen.

Russell vuonna 1903 ei avoimesti myöntänyt löytäneensä ratkaisun paradoksiin. "Matematiikan periaatteiden" esipuheessa hän huomautti, että ainoa perustelu sellaisen teoksen julkaisemiselle, jossa oli useita ratkaisemattomia kysymyksiä, oli se, että tämä tutkimus mahdollisti tunkeutumisen syvemmälle luokkien luonteeseen. Russell ehdotti yksinkertaista tyyppiteoriaa mahdolliseksi ratkaisuksi tämän kirjoituksen "Liite B":ssä. Jatkossa hän tulee siihen johtopäätökseen, että juuri tämä järjestelmäksi kehitetty teoria mahdollistaa paradoksin eliminoinnin.

Kolesnikov A.S., Philosophy of Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, s. 84-85.