Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Funktion graafien muuntaminen on yksi matemaattisista peruskäsitteistä, jotka liittyvät suoraan käytännön toimintaan. Funktioiden graafien muunnos kohtaa ensimmäisen kerran algebran luokalla 9 tutkittaessa aihetta "Kvadraattinen funktio". Toisen asteen funktio esitellään ja tutkitaan läheisessä yhteydessä toisen asteen yhtälöiden ja epäyhtälöiden kanssa. Myös monia matemaattisia käsitteitä tarkastellaan graafisilla menetelmillä, esimerkiksi luokilla 10-11 funktion tutkiminen mahdollistaa määrittelyalueen ja funktion laajuuden, pienenemis- tai kasvualueet, asymptootit, vakiomerkkivälit jne. Tämä tärkeä kysymys esitetään myös GIA:lle. Tästä seuraa, että funktiokaavioiden rakentaminen ja muuntaminen on yksi matematiikan kouluopetuksen päätehtävistä.

Monien funktioiden piirtämiseen voidaan kuitenkin käyttää useita menetelmiä rakentamisen helpottamiseksi. Yllä oleva määrittelee merkityksellisyys tutkimusaiheita.

Tutkimuksen kohde on tutkimus graafien muuntamisesta koulumatematiikassa.

Opintojen aihe - funktiokaavioiden rakentamis- ja muunnosprosessi lukiossa.

ongelma kysymys: onko mahdollista rakentaa kuvaaja tuntemattomasta funktiosta, jolla on taito muunnella alkeisfunktioiden kuvaajia?

Kohde: funktion piirtäminen tuntemattomassa tilanteessa.

Tehtävät:

1. Analysoi oppimateriaalia tutkittavasta ongelmasta. 2. Tunnista kaaviot funktiokaavioiden muuntamiseksi koulun matematiikan kurssilla. 3. Valitse tehokkaimmat menetelmät ja työkalut funktiokaavioiden rakentamiseen ja muuntamiseen. 4. Osaa soveltaa tätä teoriaa ongelmien ratkaisussa.

Tarvittavat perustiedot, taidot, kyvyt:

Määritä funktion arvo argumentin arvolla eri tavoilla funktion määrittämiseksi;

Rakenna kaavioita tutkituista funktioista;

Kuvaile funktioiden käyttäytymistä ja ominaisuuksia kaaviosta ja yksinkertaisimmissa tapauksissa kaavasta etsi funktion kaaviosta suurimmat ja pienimmät arvot;

Kuvaukset erilaisten riippuvuuksien funktioiden avulla, niiden graafinen esittäminen, graafien tulkinta.

Pääosa

Teoreettinen osa

Funktion y = f(x) alkukuvaajaksi valitsen neliöfunktion y=x 2 . Tarkastelen tämän kaavion muunnostapauksia, jotka liittyvät tämän funktion määrittelevän kaavan muutoksiin, ja teen johtopäätökset mistä tahansa funktiosta.

1. Funktio y = f(x) + a

Uudessa kaavassa funktioarvot (kuvaajan pisteiden koordinaatit) muutetaan numerolla a verrattuna "vanhaan" funktion arvoon. Tämä johtaa funktion kuvaajan rinnakkaiskäännökseen OY-akselia pitkin:

ylös, jos a > 0; alas, jos a< 0.

PÄÄTELMÄ

Siten funktion y=f(x)+a kuvaaja saadaan funktion y=f(x) graafista ordinaattisen akselin suuntaisen käännöksen avulla yksiköllä ylöspäin, jos a > 0, ja a yksikköä alaspäin, jos a< 0.

2. Funktio y = f(x-a),

Uudessa kaavassa argumenttiarvoja (kaaviopisteiden abskissoja) muutetaan numerolla a verrattuna "vanhaan" argumenttiarvoon. Tämä johtaa funktion kuvaajan rinnakkaiseen siirtoon OX-akselia pitkin: oikealle, jos a< 0, влево, если a >0.

PÄÄTELMÄ

Eli funktion y= f(x - a) kuvaaja saadaan funktion y=f(x) kuvaajasta abskissa-akselia pitkin yksiköllä vasemmalle, jos a > 0, ja a yksiköllä. oikealle, jos a< 0.

3. Funktio y = k f(x), missä k > 0 ja k ≠ 1

Uudessa kaavassa funktioarvot (graafipisteiden koordinaatit) muuttuvat k kertaa verrattuna "vanhaan" funktion arvoon. Tämä johtaa: 1) "venytykseen" pisteestä (0; 0) OY-akselia pitkin k kertaa, jos k > 1, 2) "puristumiseen" pisteeseen (0; 0) OY-akselia pitkin kertoimella 0, jos 0< k < 1.

PÄÄTELMÄ

Siksi: funktion y = kf(x), jossa k > 0 ja k ≠ 1, graafin rakentamiseksi sinun on kerrottava funktion y = f(x) annetun kaavion pisteiden ordinaatit k:lla. Tällaista muunnosa kutsutaan venyttämiseksi pisteestä (0; 0) OY-akselia pitkin k kertaa, jos k > 1; supistuminen pisteeseen (0; 0) OY-akselia pitkin kertoimella, jos 0< k < 1.

4. Funktio y = f(kx), missä k > 0 ja k ≠ 1

Uudessa kaavassa argumentin arvot (graafipisteiden abskissat) muuttuvat k kertaa verrattuna argumentin "vanhaan" arvoon. Tämä johtaa: 1) "venytykseen" pisteestä (0; 0) OX-akselia pitkin 1/k kertaa, jos 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

PÄÄTELMÄ

Ja niin: rakentaaksesi funktion y = f(kx), jossa k > 0 ja k ≠ 1 graafin, sinun on kerrottava funktion y=f(x) annetun kaavion pisteiden abskissat k:lla . Tällaista muunnosa kutsutaan venyttämiseksi pisteestä (0; 0) OX-akselia pitkin 1/k kertaa, jos 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funktio y = - f (x).

Tässä kaavassa funktion arvot (kaaviopisteiden koordinaatit) käännetään. Tämä muutos johtaa funktion alkuperäisen kaavion symmetriseen näyttöön x-akselin ympäri.

PÄÄTELMÄ

Jotta voit rakentaa funktion y = - f (x) kaavion, tarvitset funktion y = f (x) kaavion.

heijastaa symmetrisesti OX-akselin ympäri. Tällaista muutosta kutsutaan symmetriamuunnokseksi OX-akselin ympäri.

6. Funktio y = f (-x).

Tässä kaavassa argumentin arvot (kaaviopisteiden abskissat) käännetään. Tämä muutos johtaa alkuperäisen funktiokaavion symmetriseen näyttöön OY-akselin suhteen.

Esimerkki funktiolle y \u003d - x² tämä muunnos ei ole havaittavissa, koska tämä funktio on parillinen ja kaavio ei muutu muunnoksen jälkeen. Tämä muunnos näkyy, kun funktio on pariton ja kun ei parillinen eikä pariton.

7. Funktio y = |f(x)|.

Uudessa kaavassa funktioarvot (graafipisteiden koordinaatit) ovat moduulimerkin alla. Tämä johtaa alkuperäisen funktion kaavion negatiivisten osien katoamiseen (eli ne, jotka sijaitsevat alemmalla puolitasolla suhteessa Ox-akseliin) ja näiden osien symmetriseen näyttöön suhteessa Ox-akseliin.

8. Funktio y= f (|x|).

Uudessa kaavassa argumenttiarvot (graafipisteiden abskissat) ovat moduulimerkin alla. Tämä johtaa alkuperäisen funktion kaavion negatiivisten abskissojen (eli ne, jotka sijaitsevat vasemmassa puolitasossa suhteessa OY-akseliin) katoamiseen ja niiden korvautumiseen alkuperäisen kaavion osilla, jotka ovat symmetrisiä OY:n suhteen. akseli.

Käytännön osa

Harkitse muutamia esimerkkejä yllä olevan teorian soveltamisesta.

ESIMERKKI 1.

Ratkaisu. Muunnetaan tämä kaava:

1) Tehdään funktiosta kaavio

ESIMERKKI 2.

Piirrä kaavan antama funktio

Ratkaisu. Muunnamme tämän kaavan korostamalla binomiaalin neliön tässä neliötrinomissa:

1) Tehdään funktiosta kaavio

2) Suorita rakennetun graafin rinnakkaissiirto vektoriin

ESIMERKKI 3.

TEHTÄVÄ KÄYTÖSTÄ Palloittainen funktion piirtäminen

Funktiograafi Funktiograafi y=|2(x-3)2-2|; yksi

Funktiokaavion muunnos

Tässä artikkelissa esittelen sinulle funktiokaavioiden lineaarisia muunnoksia ja näytän, kuinka näitä muunnoksia käytetään funktiokaaviosta funktiokaavion saamiseksi.

Funktion lineaarinen muunnos on itse funktion ja/tai sen argumentin muunnos muotoon , sekä muunnos, joka sisältää argumentin ja/tai funktioiden moduulin.

Seuraavat toimet aiheuttavat suurimmat vaikeudet kaavioiden piirtämisessä lineaarisia muunnoksia käyttäen:

1. Perusfunktion eristäminen, itse asiassa, jonka kaaviota muunnamme.
2. Muunnosten järjestyksen määritelmät.

Ja Näihin kohtiin me keskustelemme tarkemmin.

Katsotaanpa toimintoa tarkemmin

Se perustuu toimintoon. Soitetaan hänelle perustoiminto.

Kun piirretään funktiota teemme muunnoksia kantafunktion kuvaajasta.

Jos muuttaisimme funktiota samassa järjestyksessä, jossa sen arvo löydettiin tietylle argumentin arvolle

Pohditaan, minkä tyyppisiä lineaarisia argumentti- ja funktiomuunnoksia on olemassa ja miten ne suoritetaan.

Argumenttien muunnokset.

1. f(x) f(x+b)

1. Rakennamme funktion kaavion

2. Siirretään funktion kuvaajaa OX-akselia pitkin |b| yksiköitä

• vasemmalle, jos b>0
• oikein jos b<0

Piirretään funktio

1. Piirrämme funktion

2. Siirrä 2 yksikköä oikealle:

2. f(x) f(kx)

1. Rakennamme funktion kaavion

2. Jaa graafin pisteiden abskissat k:llä, jätä pisteiden ordinaatit ennalleen.

Piirretään funktio.

1. Piirrämme funktion

2. Jaa kaikki graafin pisteiden abskissat kahdella, jätä ordinaatit ennalleen:

3. f(x) f(-x)

1. Rakennamme funktion kaavion

2. Esitämme sen symmetrisesti OY-akselin suhteen.

Piirretään funktio.

1. Piirrämme funktion

2. Näytämme sen symmetrisesti OY-akselin suhteen:

4. f(x) f(|x|)

1. Piirrämme funktion

2. Pyyhitään OY-akselin vasemmalla puolella oleva kuvaajan osa, OY-akselin oikealla puolella oleva kuvaajan osa Täydennämme sen symmetrisesti OY-akselin suhteen:

Funktion kaavio näyttää tältä:

Piirretään funktio

1. Rakennamme funktiokaavion (tämä on funktiokaavio, joka on siirretty OX-akselia pitkin 2 yksikköä vasemmalle):

2. Osa kaaviosta, joka sijaitsee OY:n vasemmalla puolella (x<0) стираем:

3. OY-akselin oikealla puolella oleva kaavion osa (x>0) täydennetään symmetrisesti OY-akselin suhteen:

Tärkeä! Argumenttien muuntamisen kaksi pääsääntöä.

1. Kaikki argumenttimuunnokset suoritetaan pitkin OX-akselia

2. Kaikki argumentin muunnokset suoritetaan "päinvastoin" ja "käänteisessä järjestyksessä".

Esimerkiksi funktiossa argumenttimuunnosten järjestys on seuraava:

1. Otamme moduulin x:stä.

2. Lisää numero 2 modulo x:ään.

Mutta teimme piirustuksen päinvastaisessa järjestyksessä:

Ensin suoritimme muunnoksen 2. - siirsimme kuvaajaa 2 yksikköä vasemmalle (eli pisteiden abskissoja pienennettiin 2:lla, ikään kuin "päinvastoin")

Sitten suoritimme muunnoksen f(x) f(|x|).

Lyhyesti, muunnossarja kirjoitetaan seuraavasti:

Nyt puhutaan funktion muunnos . Muutoksia tehdään

1. OY-akselia pitkin.

2. Samassa järjestyksessä kuin toiminnot suoritetaan.

Nämä ovat muunnoksia:

1. f(x)f(x)+D

2. Siirrä sitä OY-akselia pitkin |D| yksiköitä

• ylöspäin, jos D>0
• alas jos D<0

Piirretään funktio

1. Piirrämme funktion

2. Siirrä sitä OY-akselia pitkin 2 yksikköä ylöspäin:

2. f(x)Af(x)

1. Piirrämme funktion y=f(x)

2. Kerrotaan graafin kaikkien pisteiden ordinaatit A:lla, abskissat jätetään ennalleen.

Piirretään funktio

1. Piirrä funktio

2. Kerromme kaavion kaikkien pisteiden ordinaatit kahdella:

3.f(x)-f(x)

1. Piirrämme funktion y=f(x)

Piirretään funktio.

1. Rakennamme funktiokaavion.

2. Näytämme sen symmetrisesti OX-akselin suhteen.

4. f(x)|f(x)|

1. Piirrämme funktion y=f(x)

2. OX-akselin yläpuolella oleva kuvaajan osa jätetään ennalleen, OX-akselin alapuolella oleva kaavion osa näytetään symmetrisesti tämän akselin ympäri.

Piirretään funktio

1. Rakennamme funktiokaavion. Se saadaan siirtämällä funktion kuvaajaa OY-akselia pitkin 2 yksikköä alaspäin:

2. Nyt OX-akselin alapuolella oleva kaavion osa näytetään symmetrisesti tämän akselin suhteen:

Ja viimeinen muunnos, jota tarkalleen ottaen ei voida kutsua funktiomuunnokseksi, koska tämän muunnoksen tulos ei ole enää funktio:

|y|=f(x)

1. Piirrämme funktion y=f(x)

2. Pyyhitään OX-akselin alapuolella oleva kuvaajan osa, jonka jälkeen täydennetään OX-akselin yläpuolella oleva kuvaajan osa symmetrisesti tämän akselin ympäri.

Rakennataan yhtälön kaavio

1. Rakennamme funktiokaavion:

2. Pyyhitään OX-akselin alapuolella oleva kuvaajan osa:

3. OX-akselin yläpuolella oleva kuvaajan osa täydennetään symmetrisesti tämän akselin ympäri.

Ja lopuksi, ehdotan, että katsot VIDEO-OPINTI, jossa näytän vaiheittaisen algoritmin funktiokaavion piirtämiseen

Tämän funktion kaavio näyttää tältä:

Rinnakkaissiirto.

SIIRTO Y-AKSELIA PITTÄÄN

f(x) => f(x) - b
Olkoon vaadittava funktion y \u003d f (x) - b kuvaaja. On helppo nähdä, että tämän kaavion ordinaatit kaikille x:n arvoille |b|:ssä yksikköä pienempiä kuin vastaavat funktioiden y = f(x) kaavion ordinaatit b>0:lle ja |b| yksikköä enemmän - kohdassa b 0 tai ylöspäin kohdassa b Kun haluat piirtää funktion y + b = f(x), piirrä funktio y = f(x) ja siirrä x-akseli kohtaan |b| yksikköä b>0 tai |b| yksiköt alas kohdassa b

SIIRTO X-AKSELIA PITTÄÄN

f(x) => f(x + a)
Olkoon vaadittava funktion y = f(x + a) piirtäminen. Tarkastellaan funktiota y = f(x), joka jossain vaiheessa x = x1 saa arvon y1 = f(x1). On selvää, että funktio y = f(x + a) saa saman arvon pisteessä x2, jonka koordinaatti määräytyy yhtälöstä x2 + a = x1, ts. x2 = x1 - a, ja tarkasteltava yhtälö pätee funktion alueen kaikkien arvojen kokonaisuuteen. Siksi funktion y = f(x + a) kuvaaja voidaan saada siirtämällä funktion y = f(x) kuvaaja rinnakkain x-akselia pitkin vasemmalle |a| yksi > 0 tai oikealle |a| yksiköt a:lle Kun haluat piirtää funktion y = f(x + a), piirrä funktio y = f(x) ja siirrä y-akseli kohtaan |a| yksikköä oikealle, kun a>0 tai |a| yksikköä vasemmalle a

Esimerkkejä:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Heijastus.

NÄKYMÄN FUNKTIOT Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
On selvää, että funktiot y = f(-x) ja y = f(x) saavat yhtä suuret arvot pisteissä, joiden abskissat ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta etumerkillisesti vastakkaiset. Toisin sanoen funktion y = f(-x) kaavion ordinaatit x:n positiivisten (negatiivisten) arvojen alueella ovat yhtä suuret kuin funktion y = f( x) negatiivisilla (positiivisilla) x-arvoilla, jotka vastaavat absoluuttista arvoa. Siten saamme seuraavan säännön.
Funktio y = f(-x) piirtääksesi funktion y = f(x) ja heijastaa sitä y-akselia pitkin. Tuloksena oleva graafi on funktion y = f(-x) kuvaaja

NÄKYMÄN FUNKTIOT Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Funktion y = - f(x) graafin ordinaatit argumentin kaikille arvoille ovat absoluuttisesti yhtä suuret, mutta etumerkillisesti päinvastaiset kuin funktion y = f(x) kaavion ordinaatit argumentin samat arvot. Siten saamme seuraavan säännön.
Kun haluat piirtää funktion y = - f(x), sinun tulee piirtää funktio y = f(x) ja heijastaa se x-akselin ympäri.

Esimerkkejä:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Muodonmuutos.

KAAVION MUUTOS Y-AKSELIN PITKÄLLÄ

f(x) => kf(x)
Tarkastellaan muotoa y = k f(x) olevaa funktiota, jossa k > 0. On helppo nähdä, että argumentin samoilla arvoilla tämän funktion graafin ordinaatit ovat k kertaa suuremmat kuin funktion ordinaatit. funktion y = f(x) kuvaaja k > 1 tai 1/k kertaa pienempi kuin funktion y = f(x) kaavion ordinaatit k ) tai pienennä sen ordinaatteja 1/k kertaa k:lle
k > 1- Venytys Ox-akselilta
0 - puristus OX-akselille

KAAVIO DEFORMAATIO X-AKSELILLA

f(x) => f(kx)
Vaaditaan funktio y = f(kx), missä k>0. Tarkastellaan funktiota y = f(x), joka saa arvon y1 = f(x1) mielivaltaisessa pisteessä x = x1. On selvää, että funktio y = f(kx) saa saman arvon pisteessä x = x2, jonka koordinaatin määrittää yhtälö x1 = kx2, ja tämä yhtälö pätee x:n kaikkien arvojen kokonaismäärälle. funktion toimialue. Näin ollen funktion y = f(kx) kuvaaja puristuu (k 1:lle) abskissa-akselia pitkin suhteessa funktion y = f(x) kuvaajaan. Siten saamme säännön.
Voit piirtää funktion y = f(kx) piirtämällä funktion y = f(x) ja pienentämällä sen abskissaa k kertaa, kun k>1 (kutista kuvaajaa abskissaa pitkin) tai suurenna sen abskissaa 1/k kertaa k:lle
k > 1- puristus Oy-akselille
0 - venytys OY-akselilta

Työn suorittivat Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov Tkach T.V.:n, Vyazovov S.M.:n, Ostroverkhova I.V:n valvonnassa.
©2014

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tarkoitus: Määritä funktioiden kuvaajien muunnosmallit.

Tehtävät:

Koulutuksellinen:

• Opettaa rakentamaan funktioiden kuvaajia muuntamalla tietyn funktion kuvaajaa, käyttämällä rinnakkaiskäännöstä, pakkausta (venytystä), erilaisia ​​symmetriatyyppejä.

Koulutuksellinen:

• Kasvata opiskelijoiden henkilökohtaisia ​​ominaisuuksia (kyky kuunnella), hyvää tahtoa muita kohtaan, tarkkaavaisuutta, tarkkuutta, kurinalaisuutta, kykyä työskennellä ryhmässä.
• Lisää kiinnostusta aiheeseen ja tiedon hankkimisen tarvetta.

Kehitetään:

• Kehittää opiskelijoiden avaruudellista mielikuvitusta ja loogista ajattelua, kykyä nopeasti navigoida ympäristössä; kehittää älykkyyttä, kekseliäisyyttä, kouluttaa muistia.

Laitteet:

• Multimedian asennus: tietokone, projektori.

Kirjallisuus:

1. Bashmakov, M.I. Matematiikka [Teksti]: oppikirja oppilaitoksille varhain. ja keskim. prof. koulutus / M. I. Bashmakov. - 5. painos, korjattu. - M.: Publishing Center "Academy", 2012. - 256 s.
2. Bashmakov, M. I. Matematiikka. Ongelmakirja [Teksti]: oppikirja. koulutusavustus. laitokset alussa ja keskim. prof. Koulutus / M. I. Bashmakov. - M .: Kustannuskeskus "Akatemia", 2012. - 416 s.

Tuntisuunnitelma:

1. Organisaatiohetki (3 min).
2. Tietojen päivittäminen (7 min).
3. Uuden materiaalin selitys (20 min).
4. Uuden materiaalin yhdistäminen (10 min).
5. Oppitunnin yhteenveto (3 min).
6. Kotitehtävä (2 min).

Tuntien aikana

1. Org. hetki (3 min).

Tarkastetaan läsnä olevia.

Viesti oppitunnin tarkoituksesta.

Funktioiden pääominaisuudet muuttujien välisinä riippuvuuksina eivät saisi muuttua merkittävästi, kun näiden suureiden mittausmenetelmä muuttuu, eli kun mitta-asteikko ja vertailupiste muuttuvat. Muuttujien mittausmenetelmän rationaalisemman valinnan vuoksi on kuitenkin yleensä mahdollista yksinkertaistaa niiden välisen suhteen merkintää, saattaa tämä merkintä johonkin vakiomuotoon. Geometrisellä kielellä suureiden mittaustavan muuttaminen tarkoittaa joitain yksinkertaisia ​​graafien muunnoksia, joita nyt tutkimme.

2. Tiedon toteutus (7 min).

Ennen kuin puhumme kuvaajamuunnoksista, toistetaan käsitelty materiaali.

suullinen työ. (Dia 2).

Annetut toiminnot:

3. Kuvaile funktiokaavioita: , , , .

3. Uuden materiaalin selitys (20 min).

Yksinkertaisimmat graafien muunnokset ovat niiden rinnakkaismuunnos, puristus (venytys) ja tietyntyyppiset symmetria. Jotkut muunnokset on esitetty taulukossa (Liite 1), (Dia 3).

Ryhmätyö.

Jokainen ryhmä piirtää annetut funktiot ja esittää tuloksen keskustelua varten.

Toiminto	Funktiokaavion muunnos	Esimerkkejä toiminnoista	Liuku
	OU päällä MUTTA yksikköä ylöspäin, jos A>0 ja |A| yksikköä alas, jos MUTTA<0.	,	(Dia 4)
	Rinnakkaissiirto akselia pitkin vai niin päällä a yksikköä oikealle, jos a>0 ja päälle - a yksikköä vasemmalle, jos a<0.	,	(Dia 5)