4. Ympyrän säteen kaava, joka kuvataan suorakulmion ympärillä neliön lävistäjän kautta:

5. Ympyrän säteen kaava, joka on kuvattu lähellä suorakulmiota ympyrän halkaisijan kautta (rajoitettu):

6. Ympyrän säteen kaava, joka on kuvattu lähellä suorakulmiota kulman sinin läpi, joka on lävistäjän vieressä, ja tämän kulman vastakkaisen sivun pituus:

7. Ympyrän säteen kaava, joka on kuvattu suorakulmion ympärillä diagonaalin vieressä olevan kulman kosinina ja tämän kulman sivun pituudella:

8. Ympyrän säteen kaava, joka kuvataan suorakulmion lähellä lävistäjien ja suorakulmion alueen välisen terävän kulman sinin kautta:

Suorakulmion sivun ja diagonaalin välinen kulma.

Kaavat suorakulmion sivun ja diagonaalin välisen kulman määrittämiseksi:

1. Kaava lävistäjän ja sivun läpi kulkevan suorakulmion sivun ja lävistäjän välisen kulman määrittämiseksi:

2. Kaava suorakulmion sivun ja diagonaalin välisen kulman määrittämiseksi lävistäjien välisen kulman kautta:

Suorakulmion lävistäjien välinen kulma.

Kaavat suorakulmion lävistäjien välisen kulman määrittämiseksi:

1. Kaava suorakulmion lävistäjien välisen kulman määrittämiseksi sivun ja diagonaalin välisen kulman kautta:

β = 2α

2. Kaava alueen läpi kulkevan suorakulmion lävistäjien ja lävistäjän välisen kulman määrittämiseksi.

Suorakulmio on nelikulmio, jonka jokainen kulma on suora kulma.

Todiste

Ominaisuus selittyy suunnikkaan piirteen 3 vaikutuksella (eli \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Vastakkaiset puolet ovat yhtä suuret.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Vierekkäiset sivut ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD\perp AB

5. Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.

AC = BD

Todiste

Mukaan omaisuus 1 suorakulmio on suuntaviiva, mikä tarkoittaa AB = CD.

Siksi \kolmio ABD = \kolmio DCA kahta haaraa pitkin (AB = CD ja AD - liitos).

Jos molemmat luvut - ABC ja DCA ovat identtisiä, niin niiden hypotenuusat BD ja AC ovat myös identtiset.

Joten AC = BD.

Vain suorakulmiolla kaikista kuvioista (vain suunnikkaat!) on samat lävistäjät.

Todistakaamme tämäkin.

ABCD on suuntaviiva \Rightarrow AB = CD , AC = BD ehdon mukaan. \Rightarrow \kolmio ABD = \kolmio DCA jo kolmelta puolelta.

Osoittautuu, että \kulma A = \kulma D (kuten suunnikkaan kulmat). Ja \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Päättelemme sen \kulma A = \kulma B = \kulma C = \kulma D. Ne ovat kaikki 90^(\circ) . Kokonaismäärä on 360^(\circ) .

Todistettu!

6. Diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen sivun neliöiden summa.

Tämä ominaisuus on voimassa Pythagoraan lauseen perusteella.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonaali jakaa suorakulmion kahdeksi identtiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

\kolmio ABC = \kolmio ACD, \enspace \kolmio ABD = \kolmio BCD

8. Diagonaalien leikkauspiste jakaa ne kahtia.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonaalien leikkauspiste on suorakulmion ja rajatun ympyrän keskipiste.

10. Kaikkien kulmien summa on 360 astetta.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Suorakulmion kaikki kulmat ovat oikeassa.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Suorakulmion ympärillä olevan rajatun ympyrän halkaisija on yhtä suuri kuin suorakulmion lävistäjä.

13. Ympyrä voidaan aina kuvata suorakulmion ympärillä.

Tämä ominaisuus on voimassa, koska suorakulmion vastakkaisten kulmien summa on 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \kulma DAB = 180^(\circ)

14. Suorakulmiossa voi olla piirretty ympyrä ja vain yksi, jos sen sivujen pituus on sama (se on neliö).

Suorakulmio. Koska suorakulmiossa on kaksi symmetria-akselia, sen painopiste sijaitsee symmetria-akselien leikkauskohdassa, ts. suorakulmion diagonaalien leikkauspisteessä.

Kolmio. Painopiste sijaitsee sen mediaanien leikkauspisteessä. Geometriasta tiedetään, että kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakautuvat suhteessa 1:2 kantasta.

Ympyrä. Koska ympyrässä on kaksi symmetria-akselia, sen painopiste on symmetria-akselien leikkauskohdassa.

Puoliympyrä. Puoliympyrässä on yksi symmetria-akseli, jolloin painopiste on tällä akselilla. Toinen painopisteen koordinaatti lasketaan kaavalla: .

Monet rakenneosat on valmistettu tavallisista valssatuista tuotteista - kulmat, I-palkit, kanavat ja muut. Kaikki mitat sekä valssattujen profiilien geometriset ominaisuudet ovat taulukkotietoja, jotka löytyvät viitekirjallisuudesta vakiolajitelmataulukoissa (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Esimerkki 1 Määritä kuvassa näkyvän kuvan painopisteen sijainti.

Päätös:

Koordinaattiakselit valitaan siten, että Ox-akseli kulkee äärimmäisen alempaa kokonaismittaa pitkin ja Oy-akseli - äärimmäistä vasenta kokonaismittaa pitkin.

Jaamme monimutkaisen luvun yksinkertaisten lukujen vähimmäismäärään:

suorakulmio 20x10;

kolmio 15x10;

ympyrä R=3 cm.

Laskemme jokaisen yksinkertaisen kuvan alueen, sen painopisteen koordinaatit. Laskelmien tulokset kirjataan taulukkoon

Vastaus: C(14,5; 4,5)

Esimerkki 2 . Määritä levystä ja valssatuista profiileista koostuvan komposiittiprofiilin painopisteen koordinaatit.

Päätös.

Valitsemme koordinaattiakselit kuvan osoittamalla tavalla.

Merkitsemme luvut numeroilla ja kirjoitamme tarvittavat tiedot taulukosta:

Laskemme kuvan painopisteen koordinaatit käyttämällä kaavoja:

Vastaus: C(0; 10)

Laboratoriotyö nro 1 "Koostettujen litteiden hahmojen painopisteen määritys"

Kohde: Määritä tietyn litteän kompleksihahmon painopiste kokeellisilla ja analyyttisilla menetelmillä ja vertaa niiden tuloksia.

Työmääräys

Piirrä muistivihkoon litteä figuurisi koon mukaan osoittamalla koordinaattiakselit.

Määritä painopiste analyyttisesti.

1. Jaa kuvio minimiin lukuja, joiden painopisteet osaamme määrittää.

   Ilmoita kunkin kuvan alueiden lukumäärä ja painopisteen koordinaatit.

   Laske kunkin kuvion painopisteen koordinaatit.

   Laske jokaisen hahmon pinta-ala.

   Laske koko kuvan painopisteen koordinaatit kaavoilla (laita painopisteen sijainti kuvion piirustukseen):

Asennus painopisteen koordinaattien kokeelliseen määritykseen ripustuksella koostuu pystysuorasta telineestä 1 (katso kuva), johon neula on kiinnitetty 2 . litteä figuuri 3 Valmistettu pahvista, johon on helppo puhkaista reikä. reikiä MUTTA ja AT lävistetään satunnaisesti sijaitsevista kohdista (mieluiten kaukaisimmalla etäisyydellä toisistaan). Litteä hahmo ripustetaan neulan päälle ensin pisteessä MUTTA , ja sitten siihen pisteeseen AT . Luomun avulla 4 , kiinnitetty samaan neulaan, kuvioon piirretään pystysuora viiva luotiviivaa vastaavalla kynällä. Painovoiman keskipiste Kanssa kuva sijaitsee pystysuorien viivojen leikkauskohdassa, kun hahmo ripustetaan pisteisiin MUTTA ja AT .

Usein kotikäsityöläisen on löydettävä ympyrän tai pyöreän osan keskipiste. Olen jo kirjoittanut artikkelissa yhdestä tavoista ratkaista tämä ongelma kuinka löytää ympyrän keskipiste. Mutta sillä on yksi merkittävä haittapuoli - on tarpeen löytää tarkasti sointeen keskikohta ja rakentaa siitä tarkasti kohtisuora.

Onneksi ympyrän keskipisteen tarkkaan löytämiseen on olemassa toinen menetelmä, joka ei vaadi tarkkoja mittauksia. Se perustuu yksinkertaiseen periaatteeseen, että jos suorakulmainen kolmio on piirretty ympyrään, niin sen hypotenuusa (pisin sivu) on tämän ympyrän tai ympyrän halkaisija.

Tämän vahvistaa se tosiasia, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Ja koko ympyrä on 360 astetta. Ja mikä tahansa suorakulmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri kuin ympyrän halkaisija, on suorakaiteen muotoinen. Ja päinvastoin - mikä tahansa suorakulmainen kolmio hypotenuusoineen edustaa ympyrän halkaisijaa.

Ja mikä antaa meille ympyrän keskipisteen tarkemmin, ellei ympyrän kahden halkaisijan leikkauspiste?

Suorakulman "lähteeksi" on helpointa ottaa kirjoituspaperiarkki. Paperitehtaalla ne leikataan erittäin tarkasti. Voit käyttää minkä tahansa lehden sivua jne.

Laitamme paperiarkin pyöreän osan päälle niin, että yksi sen kulmista on ympyrän tai ympyrän reunan päällä. Ja merkitse kohdat, joissa arkki koskettaa ympyrän muita reunoja. Merkitsemme nämä kohdat.

Piirrämme suoran viivan merkittyjen pisteiden väliin. Niiden välinen etäisyys on tämän ympyrän halkaisija. Leikkaamme ylimääräisen paperin pois ja piirrämme osaan suoran viivan - halkaisijan.

Riittää, kun siirrämme kolmiomme toiseen asentoon ja piirrämme ympyrän toisen halkaisijan, ja heti halkaisijoiden leikkauspisteessä saamme halutun ympyrän keskipisteen ...

Siten ilman mitään mittauksia voimme löytää minkä tahansa ympyrän keskipisteen.