Vaihtoehto 1. klo

1. Funktion kuvaaja y=f(x) näkyy kuvassa.

Määritä tämän funktion suurin arvo 1

segmentillä [ a; b]. a 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Toiminnot y=f(x) asetettu segmenttiin [ a; b]. klo

Kuvassa on kaavio sen johdannaisesta

y=f ´(x). Tutustu äärimmäisyyksiin 1 b

toiminto y=f(x). Ilmoita määrä vastauksessasi. a 0 1 x

minimipisteet.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Etsi funktion suurin arvo y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Etsi funktion pienin arvo segmentillä .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Etsi funktion pienin arvo y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> on minimipisteessä xo = 1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.klo

9. Määritä funktion suurin arvo y=f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Etsi funktion pienin arvo y = 2synti-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Testi 14 Funktion suurin (pienin) arvo.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Toiminnon kaavio y=f(x) näkyy kuvassa.

Määritä tämän funktion pienin arvo 1

segmentillä [ a; b]. a b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. klo Kuvassa on funktion kaavio y=f(x).

Kuinka monta maksimipistettä funktiolla on?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. Missä vaiheessa funktio on y \u003d 2x2 + 24x -25 saa pienimmän arvon?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> segmentissä [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> on vähimmäisarvo kohdassa xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.klo

9. Määritä funktion pienin arvo y=f(x) ,

jonka kaavio on esitetty kuvassa. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Etsi funktion suurin arvo y=Hirsi11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Etsi funktion suurin arvo y = 2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Vastaukset :

Ja sen ratkaisemiseksi tarvitset vain vähän tietoa aiheesta. Seuraava lukuvuosi on loppumassa, kaikki haluavat lähteä lomalle, ja tämän hetken tuomiseksi lähemmäksi ryhdyn heti hommiin:

Aloitetaan alueesta. Ehdossa mainittu alue on rajoitettu suljettu pisteiden joukko tasossa. Esimerkiksi joukko pisteitä, joita rajoittaa kolmio, mukaan lukien KOKO kolmio (jos alkaen rajoja"Työtä ulos" vähintään yksi piste, niin aluetta ei enää suljeta). Käytännössä on myös suorakaiteen muotoisia, pyöreitä ja hieman monimutkaisempia alueita. On huomattava, että matemaattisen analyysin teoriassa annetaan tiukat määritelmät rajoitukset, eristyneisyys, rajat jne., mutta luulen, että kaikki ovat tietoisia näistä käsitteistä intuitiivisella tasolla, eikä enempää nyt tarvita.

Tasaista aluetta merkitään tavallisesti kirjaimella , ja se annetaan yleensä analyyttisesti - useilla yhtälöillä (ei välttämättä lineaarinen); harvemmin eriarvoisuutta. Tyypillinen sanallinen vaihtuvuus: "suljettu alue, jota rajoittavat rivit".

Olennainen osa käsiteltävää tehtävää on alueen rakentaminen piirustukseen. Kuinka tehdä se? On tarpeen piirtää kaikki luetellut viivat (tässä tapauksessa 3 suoraan) ja analysoida mitä tapahtui. Haluttu alue on yleensä varjostettu kevyesti ja sen reuna on korostettu lihavoidulla viivalla:


Sama alue voidaan asettaa lineaariset epätasa-arvot: , jotka jostain syystä kirjoitetaan useammin luettelona, ​​mutta eivät järjestelmä.
Koska raja kuuluu alueelle, kaikki epätasa-arvot tietysti ei-tiukka.

Ja nyt asian ydin. Kuvittele, että akseli menee suoraan sinulle koordinaattien origosta. Harkitse toimintoa, joka jatkuva jokaisessa alueen piste. Tämän funktion kaavio on pinta-, ja pieni onni on se, että tämän päivän ongelman ratkaisemiseksi meidän ei tarvitse tietää miltä tämä pinta näyttää ollenkaan. Se voi sijaita yläpuolella, alapuolella, ylittää tason - kaikki tämä ei ole tärkeää. Ja seuraava on tärkeää: mukaan Weierstrassin lauseet, jatkuva sisään rajoitetusti suljettu alueella, toiminto saavuttaa maksiminsa ("korkeimmasta") ja vähiten ("alhaisimmista") arvot löytyvät. Nämä arvot saavutetaan tai sisään kiinteitä pisteitä, alueelle kuuluviaD , tai pisteissä, jotka sijaitsevat tämän alueen rajalla. Tästä seuraa yksinkertainen ja läpinäkyvä ratkaisualgoritmi:

Esimerkki 1

Rajoitetulla suljetulla alueella

Päätös: Ensinnäkin sinun on kuvattava alue piirustuksessa. Valitettavasti minun on teknisesti vaikeaa tehdä vuorovaikutteista mallia ongelmasta, ja siksi annan välittömästi lopullisen kuvauksen, joka näyttää kaikki tutkimuksen aikana löydetyt "epäilyttävät" kohdat. Yleensä ne laitetaan alas yksi toisensa jälkeen, kun niitä löydetään:

Johdanto-osan perusteella päätös voidaan kätevästi jakaa kahteen kohtaan:

I) Etsitään kiinteät pisteet. Tämä on vakiotoiminto, jonka olemme suorittaneet toistuvasti oppitunnilla. useiden muuttujien ääripäistä:

Löytyi paikallaan oleva piste kuuluu alueet: (merkitse piirustukseen), mikä tarkoittaa, että meidän pitäisi laskea funktion arvo tietyssä pisteessä:

- kuten artikkelissa Segmentin funktion suurin ja pienin arvo, Korostan tärkeät tulokset lihavoituna. Muistikirjassa niitä on kätevää ympyröidä lyijykynällä.

Kiinnitä huomiota toiseen onneemme - ei ole mitään järkeä tarkistaa riittävä kunto ääripäälle. Miksi? Vaikka siinä kohdassa funktio saavuttaa esim. paikallinen minimi, tämä EI TARKOITA, että tuloksena oleva arvo on minimaalinen koko alueella (katso oppitunnin alku ehdottomista ääripäistä) .

Entä jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle? Melkein ei mitään! On huomattava, että ja siirry seuraavaan kappaleeseen.

II) Tutkimme alueen rajaa.

Koska reunus koostuu kolmion sivuista, tutkimus on kätevää jakaa kolmeen alakohtaan. Mutta parempi on olla tekemättä sitä mitenkään. Minun näkökulmastani on aluksi edullisempaa ottaa huomioon koordinaattiakseleiden suuntaiset segmentit ja ennen kaikkea itse akseleilla sijaitsevat segmentit. Ymmärtääksesi koko toimien järjestyksen ja logiikan, yritä tutkia loppua "yhdessä hengityksessä":

1) Käsitellään kolmion alasivua. Tätä varten korvaamme suoraan funktioon:

Vaihtoehtoisesti voit tehdä sen seuraavasti:

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että koordinaattitaso (joka saadaan myös yhtälöstä)"leikata" pois pinnat"tilallinen" paraabeli, jonka huippu joutuu välittömästi epäilyyn. Otetaan selvää missä hän on:

- tuloksena oleva arvo "osui" alueella, ja se voi hyvinkin olla siinä kohdassa (merkki piirustukseen) funktio saavuttaa suurimman tai pienimmän arvon koko alueella. Joka tapauksessa, tehdään laskelmat:

Muut "ehdokkaat" ovat tietysti segmentin päätteitä. Laske funktion arvot pisteissä (merkki piirustukseen):

Täällä muuten voit suorittaa suullisen minitarkistuksen "riisoidulle" versiolle:

2) Kolmion oikean puolen tutkimiseksi korvaamme sen funktiolla ja "saamme asiat siellä järjestykseen":

Täällä suoritamme välittömästi karkean tarkistuksen "soittamalla" segmentin jo käsiteltyä loppua:
, täydellinen.

Geometrinen tilanne liittyy edelliseen kohtaan:

- tuloksena oleva arvo "pääsi myös etujemme piiriin", mikä tarkoittaa, että meidän on laskettava, mikä funktio on yhtä suuri ilmestyneessä kohdassa:

Tarkastellaan segmentin toista päätä:

Toiminnon käyttäminen , tarkistetaan:

3) Kaikki luultavasti tietävät kuinka tutkia jäljellä olevaa puolta. Korvaamme toimintoon ja teemme yksinkertaistuksia:

Linja päättyy on jo tutkittu, mutta luonnoksesta tarkistamme silti, löysimmekö toiminnon oikein :
– osui yhteen ensimmäisen alakohdan tuloksen kanssa;
– osui yhteen toisen alakohdan tuloksen kanssa.

On vielä selvitettävä, onko segmentissä jotain mielenkiintoista:

- on! Korvaamalla yhtälöön suoran, saamme tämän "mielenkiintoisuuden" ordinaatin:

Merkitsemme piirustukseen pisteen ja löydämme funktion vastaavan arvon:

Ohjataan laskelmia "budjetti"-version mukaan :
, Tilaus.

Ja viimeinen vaihe: Selaa huolellisesti kaikki "rasvat" numerot, suosittelen jopa aloittelijoille yhden luettelon tekemistä:

joista valitsemme suurimmat ja pienimmät arvot. Vastaus Kirjoita etsimisongelman tyyliin funktion suurin ja pienin arvo välissä:

Varmuuden vuoksi kommentoin vielä kerran tuloksen geometrista merkitystä:
– tässä on alueen korkein kohta;
- Tässä on pinnan alin kohta alueella.

Analysoidusta ongelmasta löytyi 7 ”epäilyttävää” pistettä, mutta niiden määrä vaihtelee tehtävästä toiseen. Kolmionmuotoisen alueen vähimmäis "tutkimusjoukko" koostuu kolmesta pisteestä. Tämä tapahtuu, kun toiminto esimerkiksi asetetaan kone- on melko selvää, että paikallaan olevia pisteitä ei ole, ja funktio voi saavuttaa maksimi-/minimiarvot vain kolmion huipuissa. Mutta sellaisia ​​esimerkkejä ei ole kerran, kahdesti - yleensä sinun täytyy käsitellä jonkinlaista toisen asteen pinta.

Jos ratkaiset tällaisia ​​​​tehtäviä vähän, kolmiot voivat saada pääsi pyörimään, ja siksi olen valmistellut sinulle epätavallisia esimerkkejä, jotta voit tehdä siitä neliön :))

Esimerkki 2

Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella, jota rajaavat viivat

Esimerkki 3

Etsi funktion suurin ja pienin arvo rajoitetulla suljetulla alueella.

Kiinnitä erityistä huomiota alueen rajan tutkimisen järkevään järjestykseen ja tekniikkaan sekä välitarkastusten ketjuun, joka välttää lähes kokonaan laskentavirheet. Yleisesti ottaen voit ratkaista sen haluamallasi tavalla, mutta joissakin ongelmissa, esimerkiksi samassa esimerkissä 2, on kaikki mahdollisuudet vaikeuttaa elämääsi merkittävästi. Likimääräinen esimerkki tehtävien viimeistelystä oppitunnin lopussa.

Systematisoimme ratkaisualgoritmin, muuten se hämähäkin ahkeruudellani jotenkin eksyi 1. esimerkin pitkään kommenttiketjuun:

- Ensimmäisessä vaiheessa rakennamme alueen, se on toivottavaa varjostaa ja korostaa reunaa lihavoitulla viivalla. Ratkaisun aikana ilmestyy pisteitä, jotka on laitettava piirustukseen.

– Etsi kiinteät pisteet ja laske funktion arvot vain niissä, jotka kuuluvat alueelle . Saadut arvot on korostettu tekstissä (esimerkiksi ympyröity kynällä). Jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle, merkitsemme tämän tosiasian kuvakkeella tai suullisesti. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole ollenkaan, teemme kirjallisen johtopäätöksen, että ne puuttuvat. Joka tapauksessa tätä kohtaa ei voi ohittaa!

– Raja-alueen tutkiminen. Ensinnäkin on edullista käsitellä suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattiakseleiden kanssa (jos sellaisia ​​on). Myös "epäilyttävissä" kohdissa lasketut funktioarvot korostetaan. Yllä olevasta ratkaisutekniikasta on puhuttu paljon ja alla sanotaan muutakin - lue, lue uudelleen, syvenny!

- Valitse valituista numeroista suurin ja pienin arvo ja anna vastaus. Joskus käy niin, että toiminto saavuttaa tällaiset arvot useissa kohdissa kerralla - tässä tapauksessa kaikkien näiden pisteiden tulisi näkyä vastauksessa. Olkoon esim. ja kävi ilmi, että tämä on pienin arvo. Sitten kirjoitamme sen

Viimeiset esimerkit on omistettu muille hyödyllisille ideoille, joista on hyötyä käytännössä:

Esimerkki 4

Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella .

Olen säilyttänyt kirjoittajan sanamuodon, jossa alue on annettu kaksois-epäyhtälönä. Tämä ehto voidaan kirjoittaa vastaavassa järjestelmässä tai perinteisemmässä muodossa tälle ongelmalle:

Muistutan sinua siitä epälineaarinen kohtasimme eriarvoisuuksia ja jos et ymmärrä merkinnän geometrista merkitystä, älä viivyttele ja selvennä tilannetta heti ;-)

Päätös, kuten aina, alkaa alueen rakentamisesta, joka on eräänlainen "pohja":

Hmm, joskus joudut närästämään tieteen graniitin lisäksi...

I) Etsi kiinteät pisteet:

Idiootin unelmajärjestelmä :)

Kiinteä piste kuuluu alueelle, eli sijaitsee sen rajalla.

Ja niin, ei se mitään... hauska oppitunti meni - sitähän se oikean teen juominen tarkoittaa =)

II) Tutkimme alueen rajaa. Aloitetaan ilman pitkiä puheita x-akselista:

1) Jos , niin

Selvitä, missä paraabelin huippu on:
- Arvosta sellaisia ​​hetkiä - "lyö" suoraan siihen pisteeseen, josta kaikki on jo selvää. Mutta älä unohda tarkistaa:

Lasketaan funktion arvot segmentin päissä:

2) Käsittelemme "pohjan" alaosaa "yhdellä istumalla" - korvaamme sen toimintoon ilman komplekseja, ja lisäksi olemme kiinnostuneita vain segmentistä:

Kontrolli:

Nyt tämä tuo jo piristystä yksitoikkoiseen ajoon uurretulla radalla. Etsitään kriittiset kohdat:

Me päätämme toisen asteen yhtälö muistatko tämän? ... Muista kuitenkin, että muuten et olisi lukenut näitä rivejä =) Jos kahdessa edellisessä esimerkissä laskutoimitus desimaalilukuina oli kätevää (mikä on muuten harvinaista), niin tässä odotellaan tavallisia tavallisia murtolukuja. Löydämme "x"-juuret ja määritämme yhtälön avulla "ehdokas"-pisteiden vastaavat "pelin" koordinaatit:


Lasketaan funktion arvot löydetyistä pisteistä:

Tarkista toiminto itse.

Nyt tutkimme huolellisesti voitetut pokaalit ja kirjoitamme ylös vastaus:

Tässä ovat "ehdokkaat", joten "ehdokkaat"!

Itsenäinen ratkaisu:

Esimerkki 5

Etsi funktion pienin ja suurin arvo suljetulla alueella

Merkintä, jossa on kiharat aaltosulkeet, kuuluu näin: "joukko pisteitä, niin että".

Joskus he käyttävät tällaisissa esimerkeissä Lagrangen kerroinmenetelmä, mutta todellista tarvetta käyttää sitä ei todennäköisesti esiinny. Joten esimerkiksi, jos annetaan funktio, jolla on sama verkkotunnus "de", niin sen korvaamisen jälkeen - johdannaisella, jolla ei ole vaikeuksia; Lisäksi kaikki on piirretty "yhdelle riville" (kylteillä) ilman, että ylempää ja alempaa puoliympyrää tarvitsee tarkastella erikseen. Mutta tietysti on monimutkaisempia tapauksia, joissa ei ole Lagrange-toimintoa (jossa esimerkiksi on sama ympyräyhtälö) siitä on vaikea selviytyä - kuinka vaikeaa onkaan tulla toimeen ilman hyvää lepoa!

Kaikkea hyvää istunnon läpäisemiseen ja nähdään pian ensi kaudella!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Päätös: piirrä alue piirustukseen:

Käytännön näkökulmasta mielenkiintoisinta on derivaatan käyttö funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi. Mihin se liittyy? Voittojen maksimointi, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla on ratkaistava joidenkin parametrien optimointi. Ja tämä on funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelma.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa etsitään yleensä joltain väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa aluetta. Itse väli X voi olla jana, avoin väli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme yhden muuttujan y=f(x) eksplisiittisesti annetun funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisestä.

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysähdytään lyhyesti tärkeimpiin määritelmiin.

Funktion suurin arvo , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) arvo, joka on hyväksytty tarkasteluvälillä abskissalla.

Kiinteät pisteet ovat argumentin arvoja, joissa funktion derivaatta häviää.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä, kun etsimme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvot pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion alueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat ottaa sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia - ja paljon tulee selväksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvon janan sisällä olevista kiinteistä pisteistä [-6;6] .

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muuta segmentiksi . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka abskissa vastaa välin oikeaa rajaa.

Kuvassa 3 janan [-3; 2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella alueella

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvot kiinteässä pisteessä avoimen intervallin (-6;6) sisällä.

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännen kuvan esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y ) stationaarisessa pisteessä, jonka abskissa x=1 , ja pienin arvo (min y ) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 .

Intervallilla funktio ei saavuta pienintä tai suurinta arvoa. Kun x=2 suuntautuu oikealle, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora x=2 on pystysuora asymptootti), ja kun abskissa pyrkii plus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 . Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentiltä .

Kirjoitamme algoritmin, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon.

1. Etsimme funktion toimialueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia ​​pisteitä esiintyy funktioissa, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja potenssifunktioissa, joissa on murto-rationaalinen eksponentti). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki kiinteät pisteet, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan vaiheeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaattia ei ole (jos sellainen on), sekä myös kohdissa x=a ja x=b .
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimman ja pienimmän - ne ovat funktion halutut enimmäisarvot ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmia, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä;
• välillä [-4;-1] .

Päätös.

Toimintoalue on koko joukko reaalilukuja, paitsi nolla, eli . Molemmat segmentit kuuluvat määritelmän piiriin.

Löydämme funktion derivaatan suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1] .

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä . Ainoa todellinen juuri on x=2 . Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa x=1 ja pienin arvo – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktion arvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä kiinteitä pisteitä):

Päätös.

Aloitetaan toiminnon laajuudesta. Neliötrinomi murtoluvun nimittäjästä ei saa kadota:

On helppo tarkistaa, että kaikki ongelman tilasta tulevat intervallit kuuluvat funktion alueeseen.

Erotetaan funktio:

On selvää, että johdannainen on olemassa koko funktion alueella.

Etsitään paikallaan olevia pisteitä. Johdannainen katoaa . Tämä liikkumaton piste osuu väliin (-3;1] ja (-3;2).

Ja nyt voit verrata kussakin pisteessä saatuja tuloksia funktion kuvaajaan. Siniset katkoviivat osoittavat asymptootteja.

Tämä voi päättyä funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseen. Tässä artikkelissa käsiteltyjen algoritmien avulla voit saada tuloksia mahdollisimman vähällä toimenpiteellä. Voi kuitenkin olla hyödyllistä määrittää ensin funktion kasvu- ja laskuvälit ja vasta sen jälkeen tehdä johtopäätökset funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta millä tahansa aikavälillä. Tämä antaa selkeämmän kuvan ja tiukan perustelun tuloksille.

Monissa tehtävissä on laskettava neliöfunktion maksimi- tai minimiarvo. Maksimi tai minimi löytyy, jos alkuperäinen funktio on kirjoitettu vakiomuotoon: tai paraabelipisteen koordinaattien kautta: f (x) = a (x − h) 2 + k (\näyttötyyli f(x)=a(x-h)^(2)+k). Lisäksi minkä tahansa neliöfunktion maksimi tai minimi voidaan laskea matemaattisten operaatioiden avulla.

Askeleet

Toisen asteen funktio kirjoitetaan vakiomuodossa

Kirjoita funktio vakiomuotoon. Neliöfunktio on funktio, jonka yhtälö sisältää muuttujan x 2 (\displaystyle x^(2)). Yhtälö voi sisältää tai ei voi sisältää muuttujan x (\displaystyle x). Jos yhtälö sisältää muuttujan, jonka eksponentti on suurempi kuin 2, se ei kuvaa neliöfunktiota. Tuo tarvittaessa samankaltaisia ​​termejä ja järjestä ne uudelleen kirjoittamaan funktio vakiomuotoon.

Neliöfunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelin haarat osoittavat ylös tai alas. Jos kerroin a (\displaystyle a) muuttujan kanssa x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

Laske -b/2a. Merkitys − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) on koordinaatti x (\displaystyle x) paraabelin huipulla. Jos toisen asteen funktio kirjoitetaan vakiomuodossa a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), käytä kertoimia x (\displaystyle x) ja x 2 (\displaystyle x^(2)) seuraavalla tavalla:

• Toimintokertoimissa a = 1 (\displaystyle a=1) ja b = 10 (\displaystyle b=10)
• Tarkastellaan toisena esimerkkinä funktiota . Tässä a = − 3 (\displaystyle a=-3) ja b = 6 (\displaystyle b=6). Siksi laske paraabelin huipun x-koordinaatti seuraavasti:

1. Etsi vastaava f(x) arvo. Korvaa löydetty "x":n arvo alkuperäiseen funktioon löytääksesi vastaavan arvon f(x). Näin löydät funktion minimi- tai maksimiarvon.

   • Ensimmäisessä esimerkissä f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) laskit, että paraabelin huipun x-koordinaatti on x = − 5 (\displaystyle x=-5). Alkuperäisessä funktiossa sen sijaan x (\displaystyle x) korvike − 5 (\displaystyle -5)
   • Toisessa esimerkissä f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) huomasit, että paraabelin kärjen x-koordinaatti on x = 1 (\displaystyle x=1). Alkuperäisessä funktiossa sen sijaan x (\displaystyle x) korvike 1 (\näyttötyyli 1) löytääksesi sen enimmäisarvon:

2. Kirjoita vastaus ylös. Lue ongelman tila uudelleen. Jos sinun on löydettävä paraabelin kärjen koordinaatit, kirjoita molemmat arvot vastaukseesi x (\displaystyle x) ja y (\displaystyle y)(tai f (x) (\displaystyle f(x))). Jos sinun on laskettava funktion maksimi tai minimi, kirjoita vastaukseesi vain arvo y (\displaystyle y)(tai f (x) (\displaystyle f(x))). Katso uudelleen kertoimen etumerkkiä a (\displaystyle a) tarkistaaksesi, lasketko maksimi- vai minimiarvon.

   Neliöfunktio kirjoitetaan paraabelin kärjen koordinaatteina

   1. Kirjoita neliöfunktio paraabelin kärjen koordinaatteina. Tällaisella yhtälöllä on seuraava muoto:

      Määritä paraabelin suunta. Voit tehdä tämän katsomalla kertoimen merkkiä a (\displaystyle a). Jos kerroin a (\displaystyle a) positiivinen, paraabeli on suunnattu ylöspäin. Jos kerroin a (\displaystyle a) negatiivinen, paraabeli osoittaa alaspäin. Esimerkiksi:

      Etsi funktion pienin tai suurin arvo. Jos funktio kirjoitetaan paraabelipisteen koordinaatteina, minimi tai maksimi on yhtä suuri kuin kertoimen arvo k (\displaystyle k). Yllä olevissa esimerkeissä:

      Etsi paraabelin kärjen koordinaatit. Jos tehtävässä on löydettävä paraabelin kärki, sen koordinaatit ovat (h , k) (\näyttötyyli (h,k)). Huomaa, että kun toisen asteen funktio kirjoitetaan paraabelipisteen koordinaatteina, vähennystoiminto on suljettava (x − h) (\displaystyle (x-h)), joten arvo h (\displaystyle h) otettu päinvastaisella merkillä.

   Kuinka laskea minimi- tai maksimiarvo matemaattisten operaatioiden avulla

   Tarkastellaan ensin yhtälön standardimuotoa. Kirjoita neliöfunktio vakiomuodossa: f (x) = a x 2 + b x + c (\näyttötyyli f(x)=ax^(2)+bx+c). Tarvittaessa tuo samankaltaisia ​​termejä ja järjestä ne uudelleen saadaksesi vakioyhtälön.

   Etsi ensimmäinen johdannainen. Neliöfunktion ensimmäinen derivaatta, joka on kirjoitettu vakiomuodossa, on yhtä suuri kuin f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   Aseta derivaatta nollaan. Muista, että funktion derivaatta on yhtä suuri kuin funktion kaltevuus tietyssä pisteessä. Pienin tai maksimi kaltevuus on nolla. Siksi funktion minimi- tai maksimiarvon löytämiseksi derivaatta on rinnastettava nollaan. Esimerkissämme:

Joskus tehtävissä B15 on "huonoja" funktioita, joille on vaikea löytää derivaatta. Aikaisemmin tämä oli vain luotain, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voi enää jättää huomiotta tähän tenttiin valmistautuessa.

Tässä tapauksessa muut temput toimivat, joista yksi on - yksitoikkoinen.

Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti kasvavaksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 on totta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti pieneneväksi janalla, jos jollekin tämän janan pisteille x 1 ja x 2 on totta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Toisin sanoen, mitä suurempi x on, sitä suurempi on f(x). Pienevälle funktiolle asia on päinvastoin: mitä enemmän x , sitä pienempi f(x).

Esimerkiksi logaritmi kasvaa monotonisesti, jos kanta a > 1 ja pienenee monotonisesti, jos 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmeettinen neliöjuuri (eikä vain neliöjuuri) kasvaa monotonisesti koko määritelmän alueella:

Eksponentiaalinen funktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa, kun a > 1 ja pienenee kun 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Lopuksi asteet negatiivisella eksponentilla. Voit kirjoittaa ne murtolukuna. Heillä on taukopiste, jossa yksitoikkoisuus katkeaa.

Kaikkia näitä toimintoja ei koskaan löydy puhtaassa muodossaan. Niihin lisätään polynomeja, murtolukuja ja muuta hölynpölyä, minkä vuoksi derivaatan laskeminen tulee vaikeaksi. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu - nyt analysoimme.

Paraabelin kärjen koordinaatit

Useimmiten funktion argumentti korvataan arvolla neliön trinomi muotoa y = ax 2 + bx + c . Sen kaavio on vakioparaabeli, josta olemme kiinnostuneita:

1. Paraabelihaarat - voivat mennä ylös (> 0) tai alas (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Paraabelin kärki on neliöfunktion ääripiste, jossa tämä funktio saa pienimmän (> 0) tai suurimman (a)< 0) значение.

Suurin kiinnostus on paraabelin huippu, jonka abskissa lasketaan kaavalla:

Joten olemme löytäneet neliöfunktion ääripisteen. Mutta jos alkuperäinen funktio on monotoninen, sille piste x 0 on myös ääripiste. Joten muotoilemme avainsäännön:

Neliön trinomin ääripisteet ja kompleksifunktio, johon se tulee, ovat samat. Siksi voit etsiä x 0 neliötrinomia ja unohtaa funktion.

Yllä olevasta päättelystä jää epäselväksi, millaisen pisteen saamme: maksimin vai minimin. Tehtävät on kuitenkin suunniteltu erityisesti niin, ettei sillä ole väliä. Tuomari itse:

1. Ongelmatilanteessa ei ole segmenttiä. Siksi f(a):ta ja f(b:tä) ei tarvitse laskea. Jäljelle jää vain ääripisteiden huomioiminen;
2. Mutta on vain yksi sellainen piste - tämä on paraabelin x 0 huippu, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti suullisesti ja ilman johdannaisia.

Siten ongelman ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti ja rajoittuu kahteen vaiheeseen:

1. Kirjoita paraabeliyhtälö y = ax 2 + bx + c ja etsi sen kärki kaavalla: x 0 = −b /2a;
2. Etsi alkuperäisen funktion arvo tässä pisteessä: f (x 0). Jos lisäehtoja ei ole, tämä on vastaus.

Ensi silmäyksellä tämä algoritmi ja sen perustelut voivat tuntua monimutkaisilta. En tarkoituksella julkaise "paljasta" ratkaisusuunnitelmaa, koska tällaisten sääntöjen ajattelematon soveltaminen on täynnä virheitä.

Harkitse matematiikan koekokeen todellisia tehtäviä - tässä tämä tekniikka on yleisin. Samalla varmistamme, että tällä tavalla monet B15:n ongelmat muuttuvat melkein sanallisiksi.

Juuren alla on neliöfunktio y \u003d x 2 + 6x + 13. Tämän funktion kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0.

Paraabelin huippu:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Koska paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin, pisteessä x 0 \u003d −3, funktio y \u003d x 2 + 6x + 13 saa pienimmän arvon.

Juuri kasvaa monotonisesti, joten x 0 on koko funktion minimipiste. Meillä on:

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio: y \u003d x 2 + 2x + 9. Kaavio on paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin, koska a = 1 > 0.

Paraabelin huippu:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Joten pisteessä x 0 = −1 neliöfunktio saa pienimmän arvon. Mutta funktio y = log 2 x on monotoninen, joten:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponentti on neliöfunktio y = 1 − 4x − x 2 . Kirjoitetaan se uudelleen normaalimuotoon: y = −x 2 − 4x + 1.

Ilmeisesti tämän funktion kuvaaja on paraabeli, joka haarautuu alaspäin (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Alkuperäinen funktio on eksponentiaalinen, se on monotoninen, joten suurin arvo on löydetyssä pisteessä x 0 = −2:

Huomaavainen lukija huomaa varmasti, että emme kirjoittaneet juuren ja logaritmin sallittujen arvojen aluetta. Mutta tätä ei vaadittu: sisällä on toimintoja, joiden arvot ovat aina positiivisia.

Seuraukset funktion laajuudesta

Joskus tehtävän B15 ratkaisemiseksi ei riitä, että etsitään vain paraabelin kärki. Haluttu arvo voi olla jakson lopussa, mutta ei ääripisteessä. Jos tehtävä ei määritä segmenttiä ollenkaan, katso toleranssialue alkuperäinen toiminto. Nimittäin:

Kiinnitä jälleen huomiota: nolla voi hyvinkin olla juuren alla, mutta ei koskaan murtoluvun logaritmissa tai nimittäjässä. Katsotaanpa, miten se toimii erityisillä esimerkeillä:

Tehtävä. Etsi funktion suurin arvo:

Juuren alla on jälleen neliöfunktio: y \u003d 3 - 2x - x 2. Sen kuvaaja on paraabeli, mutta haarautuu alaspäin, koska a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Kirjoitamme sallittujen arvojen alueen (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; yksi]

Etsi nyt paraabelin kärki:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Piste x 0 = −1 kuuluu ODZ-segmenttiin - ja tämä on hyvä. Nyt tarkastelemme funktion arvoa pisteessä x 0 sekä ODZ:n päissä:

y(−3) = y(1) = 0

Joten, saimme luvut 2 ja 0. Meitä pyydetään löytämään suurin - tämä on numero 2.

Tehtävä. Etsi funktion pienin arvo:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmin sisällä on neliöfunktio y \u003d 6x - x 2 - 5. Tämä on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin, mutta logaritmissa ei voi olla negatiivisia lukuja, joten kirjoitamme ODZ: n:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: lle. Tällä tavalla logaritmi eroaa juuresta, jossa segmentin päät sopivat meille varsin hyvin.

Etsitään paraabelin kärkeä:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Paraabelin huippu sopii ODZ:tä pitkin: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Mutta koska segmentin päät eivät kiinnosta meitä, huomioimme funktion arvon vain pisteessä x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2