Useiden ongelmien ratkaiseminen, erityisesti useiden samansuuntaisten värähtelyjen lisääminen (tai mikä on sama, useiden harmonisten funktioiden lisääminen), helpottuu suuresti ja tulee selväksi, jos värähtelyt esitetään graafisesti vektoreina lentokone. Tällä tavalla saatua kaaviota kutsutaan vektorikaavioksi.

Ota akseli, jota merkitsemme kirjaimella x (kuva 55.1). Pisteestä O, joka on otettu akselille, piirretään vektori, jonka pituus on a, joka muodostaa kulman a akselin kanssa.

Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella, niin vektorin pään projektio liikkuu x-akselia pitkin alueella -a - +a ja tämän projektion koordinaatti muuttuu ajan myötä laki

Tämän seurauksena vektorin pään projektio akselille suorittaa harmonisen värähtelyn, jonka amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus, ympyrätaajuudella, joka on yhtä suuri kuin vektorin pyörimiskulmanopeus, ja alkuvaiheen ollessa yhtä suuri kulmaan, jonka vektori muodostaa akselin kanssa alkuhetkellä.

Sanomasta seuraa, että harmoninen värähtely voidaan määrittää käyttämällä vektoria, jonka pituus on yhtä suuri kuin värähtelyn amplitudi, ja vektorin suunta muodostaa kulman x-akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe. värähtely.

Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä samaan suuntaan ja samalla taajuudella. Värähtelevän kappaleen siirtymä x on siirtymien summa, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Esitetään molemmat vaihtelut vektorien avulla (kuva 55.2). Muodostetaan saatu vektori a vektorien yhteenlaskennan sääntöjen mukaan.

On helppo nähdä, että tämän vektorin projektio x-akselilla on yhtä suuri kuin vektorien termien projektioiden summa:

Siksi vektori a edustaa tuloksena olevaa värähtelyä. Tämä vektori pyörii samalla kulmanopeudella kuin vektorit niin, että tuloksena oleva liike on harmoninen värähtely, jonka taajuusamplitudi on a ja alkuvaihe a. Rakennuksesta käy selvästi ilmi

Joten harmonisten värähtelyjen esittäminen vektoreilla mahdollistaa useiden värähtelyjen lisäämisen vähentämisen vektorien yhteenlaskuoperaatioon. Tämä tekniikka on erityisen hyödyllinen esimerkiksi optiikassa, jossa valovärähtelyt tietyssä pisteessä määritellään useiden tiettyyn pisteeseen tulevien värähtelyjen superpositiosta aaltorintaman eri osista.

Kaavat (55.2) ja (55.3) voidaan tietysti saada lisäämällä lausekkeita (55.1) ja suorittamalla vastaavat trigonometriset muunnokset. Mutta tapa, jolla olemme saaneet nämä kaavat, on yksinkertaisempi ja selkeämpi.

Analysoidaan lauseke (55.2) amplitudille. Jos molempien värähtelyjen vaihe-ero on nolla, tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin a ja . Jos vaihe-ero on yhtä suuri tai , eli molemmat värähtelyt ovat vastavaiheessa, niin tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin

Jos värähtelytaajuudet eivät ole samat, vektorit a ja pyörivät eri nopeuksilla. Tässä tapauksessa tuloksena oleva vektori a sykkii suuruudeltaan ja pyörii ei-vakionopeudella. Näin ollen tuloksena oleva liike ei tässä tapauksessa ole harmoninen värähtely, vaan jokin monimutkainen värähtelyprosessi.

Useiden samansuuntaisten värähtelyjen lisääminen (tai mikä on sama, useiden harmonisten funktioiden lisääminen) helpottuu suuresti ja tulee selväksi, jos värähtelyt esitetään graafisesti vektoreina tasossa.

Otetaan akseli, jota merkitään "x". Pisteestä O, joka on otettu akselilta, kulmassa a, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjen alkuvaihe, piirretään pituusvektori A (kuva 8.3). Projisoidaan vektori A x-akselille, saadaan x 0 =A cos a on värähtelypisteen alkusiirtymä tasapainoasennosta. Tuomme tämän vektorin vastapäivään pyörimiseen kulmanopeudella w 0 . Tämän vektorin sijainti milloin tahansa on ominaista kulmilla, jotka ovat yhtä suuria:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; jne.

Ja tämän vektorin projektio liikkuu x-akselia pitkin alueella -A - +A. Lisäksi tämän projektion koordinaatti muuttuu ajan myötä lain mukaan:

.

Siksi vektorin pään projektio jollekin mielivaltaiselle akselille suorittaa harmonisen värähtelyn, jonka amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus, ympyrätaajuus, joka on yhtä suuri kuin vektorin pyörimiskulmanopeus ja alkuvaihe, joka on yhtä suuri kuin vektorin pituus. vektorin muodostama kulma akselin kanssa alkuhetkellä.

Joten harmoninen värähtely voidaan määrittää käyttämällä vektoria, jonka pituus on yhtä suuri kuin värähtelyn amplitudi, ja vektorin suunta muodostaa kulman "x"-akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe.

Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä samaan suuntaan ja samalla taajuudella. Värähtelevän kappaleen "x" siirtymä on siirtymien x 1 ja x 2 summa, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Esitetään molemmat vaihtelut vektorien avulla ja (kuva 8.4) Rakennamme vektorien yhteenlaskusääntöjen mukaan tuloksena oleva vektori. Tämän vektorin projektio X-akselilla on yhtä suuri kuin vektorien termien projektioiden summa: x=x 1 +x 2 . Siksi vektori edustaa tuloksena olevaa värähtelyä. Tämä vektori pyörii samalla kulmanopeudella w 0 kuin vektorit ja, joten tuloksena oleva liike on harmoninen värähtely c, jonka taajuus on w 0, amplitudi "a" ja alkuvaihe a. Rakentamisesta seuraa, että

Joten harmonisten värähtelyjen esittäminen vektoreilla mahdollistaa useiden värähtelyjen lisäämisen vähentämisen vektorien yhteenlaskuoperaatioon. Tämä menetelmä on yksinkertaisempi ja selkeämpi kuin trigonometristen muunnosten käyttö.

Analysoidaanpa amplitudin lauseke. Jos molempien värähtelyjen vaihe-ero a 2 - a 1 = 0, niin tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin summa ( a 2 + a yksi). Jos vaihe-ero a 2 - a 1 = +p tai -p, ts. värähtelyt ovat vastavaiheessa, jolloin tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on .

Jos värähtelytaajuudet x 1 ja x 2 eivät ole samat, vektorit ja pyörivät eri nopeuksilla. Tässä tapauksessa tuloksena oleva vektori sykkii suuruudessa ja pyörii epävakionopeudella, joten tuloksena oleva liike on tässä tapauksessa ei vain harmoninen värähtely, mutta monimutkainen värähtelyprosessi.

Valitaan akseli. Tällä akselilla otetusta pisteestä O jätämme sivuun pituusvektorin, joka muodostaa kulman akselin kanssa. Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella, niin vektorin pään projektio akselille muuttuu ajan myötä lain mukaan . Siksi vektorin pään projektio akselille saa aikaan harmonisia värähtelyjä, joiden amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus; jonka pyöreä taajuus on yhtä suuri kuin pyörimisen kulmanopeus ja jonka alkuvaihe on yhtä suuri kuin vektorin muodostama kulma akselin kanssa X alkuvaiheessa.

Vektoridiagrammin avulla voidaan vähentää värähtelyjen lisäämistä vektorien geometriseen summaukseen. Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä samaan suuntaan ja samalla taajuudella, joilla on seuraava muoto:

Esitetään molemmat vaihtelut vektorien ja avulla (kuva 7.5). Muodostetaan tuloksena oleva vektori vektorien yhteenlaskusäännön mukaan. On helppo nähdä, että tämän vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorien termien projektioiden summa. Siksi vektori edustaa tuloksena olevaa värähtelyä. Tämä vektori pyörii samalla kulmanopeudella kuin vektorit, joten tuloksena oleva liike on harmoninen värähtely taajuudella, amplitudilla ja alkuvaiheella. Kosinusten lain mukaan tuloksena olevan värähtelyn amplitudin neliö on yhtä suuri kuin

Joten harmonisten värähtelyjen esittäminen vektoreilla mahdollistaa useiden värähtelyjen lisäämisen vähentämisen vektorien yhteenlaskuoperaatioon. Kaavat (7.3) ja (7.4) voidaan tietysti saada lisäämällä lausekkeet ja analyyttisesti, mutta vektorikaaviomenetelmä on yksinkertaisempi ja selkeämpi.

VAIMENNUKSET

Kaikissa todellisissa värähtelyjärjestelmissä on vastusvoimia, joiden toiminta johtaa järjestelmän energian vähenemiseen. Jos energiahäviötä ei korvata ulkoisten voimien työllä, heilahtelut vaimentuvat. Yksinkertaisimmassa ja samalla yleisimmässä tapauksessa vastusvoima on verrannollinen nopeuteen:

,

missä r on vakioarvo, jota kutsutaan vastuskertoimeksi. Miinusmerkki johtuu siitä, että voimalla ja nopeudella on vastakkaiset suunnat; tästä syystä niiden projektiot akselilla X on erilaisia ​​merkkejä. Newtonin toisen lain yhtälö vastusvoimien läsnä ollessa on muotoa:

.

Käyttämällä merkintää , kirjoitamme liikeyhtälön uudelleen seuraavasti:

.

Tämä yhtälö kuvaa häipyminen järjestelmän värähtelyt. Kerrointa kutsutaan vaimennuskertoimeksi.

Kokeellinen käyrä vaimennetuista värähtelyistä pienellä vaimennuskertoimella on esitetty kuvassa. 7.6. Kuvasta 7.6 voidaan nähdä, että riippuvuusgraafi näyttää kosinilta kerrottuna jollakin funktiolla, joka pienenee ajan myötä. Tämä toiminto on esitetty kuvassa katkoviivoilla. Yksinkertainen tällä tavalla käyttäytyvä funktio on eksponentiaalinen funktio. Siksi ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavasti:

,

missä on vaimennettujen värähtelyjen taajuus.

Arvo x kulkee ajoittain nollan läpi ja saavuttaa maksimin ja minimin äärettömän monta kertaa. Aikaväli kahden peräkkäisen nollan välillä on . Sen kaksinkertaista arvoa kutsutaan värähtelyjakso.

Jaksottaisen funktion edessä olevaa kerrointa kutsutaan vaimennettujen värähtelyjen amplitudi. Se pienenee eksponentiaalisesti ajan myötä. Vaimenemisnopeus määräytyy arvon mukaan. Aikaa, jonka jälkeen värähtelyjen amplitudi pienenee kertoimella, kutsutaan vaimenemisajaksi. Tänä aikana järjestelmä värähtelee. On tapana karakterisoida värähtelyjen vaimennus logaritminen vaimennusvähennys. Logaritminen vaimennusvähennys on amplitudien suhteen logaritmi hetkinä, jolloin värähtelevä arvo kulkee peräkkäin maksimin tai minimin läpi:

.

Se liittyy värähtelyjen määrään suhteella:

Arvoa kutsutaan värähtelyjärjestelmän laatutekijä. Laatutekijä on sitä suurempi, mitä suurempi määrä värähtelyjä järjestelmällä on aikaa suorittaa ennen kuin amplitudi pienenee kertoimella.

Vakiot ja , kuten harmonisten värähtelyjen tapauksessa, voidaan määrittää alkuehdoista.

PAKOTETUT TÄRINÄT

Värähdyksiä, jotka tapahtuvat ulkoisen jaksollisen voiman vaikutuksesta, kutsutaan pakotetuksi. Ulkoinen voima tekee positiivista työtä ja tarjoaa energian virtauksen värähtelyjärjestelmään. Se ei salli värähtelyjen häipymistä vastusvoimien vaikutuksesta huolimatta.

Jaksottainen ulkoinen voima voi vaihdella ajallisesti eri lakien mukaan. Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa ulkoinen voima, joka muuttuu harmonisen lain mukaan taajuudella ω, vaikuttaa värähtelyjärjestelmään, joka pystyy suorittamaan luonnollisia värähtelyjä tietyllä taajuudella ω 0 . Jos esimerkiksi vedät jouseen ripustettua kuormaa taajuudella , se suorittaa harmonisia värähtelyjä ulkoisen voiman taajuudella, vaikka tämä taajuus ei olisi sama kuin jousen luonnollinen taajuus.

Anna jaksollisen ulkoisen voiman vaikuttaa järjestelmään. Tässä tapauksessa voidaan saada seuraava yhtälö, joka kuvaa tällaisen järjestelmän liikettä:

,

(7.5)

missä . Pakotetussa värähtelyssä värähtelyjen amplitudi ja siten värähtelyjärjestelmään välittyvä energia riippuvat taajuuksien ja välisestä suhteesta sekä vaimennuskertoimesta .

Ulkoisen voiman vaikutuksen alkamisen jälkeen värähtelyjärjestelmään tarvitaan jonkin verran aikaa ωt pakkovärähtelyjen muodostamiseen. Alkuhetkellä molemmat prosessit virittyvät värähtelyjärjestelmässä - pakotetut värähtelyt taajuudella ω ja vapaat värähtelyt luonnollisella taajuudella ω 0 . Mutta vapaat värähtelyt vaimentuvat kitkavoimien väistämättömän läsnäolon vuoksi. Siksi jonkin ajan kuluttua värähtelyjärjestelmään jää vain kiinteät värähtelyt ulkoisen käyttövoiman taajuudella ω. Laskeutumisaika on suuruusluokkaa yhtä suuri kuin värähtelyjärjestelmän vapaiden värähtelyjen vaimenemisaika ω. Jousen kuorman tasaiset pakotetut värähtelyt tapahtuvat harmonisen lain mukaan taajuudella, joka on yhtä suuri kuin ulkoisen vaikutuksen taajuus. Voidaan osoittaa, että vakaassa tilassa yhtälön (7.6) ratkaisu kirjoitetaan seuraavasti:

,

,
.

Siten pakotetut värähtelyt ovat harmonisia värähtelyjä, joiden taajuus on yhtä suuri kuin käyttövoiman taajuus. Pakotetun värähtelyn amplitudi on verrannollinen käyttövoiman amplitudiin. Tietylle värähtelyjärjestelmälle (eli järjestelmälle, jolla on tietyt arvot ja ) amplitudi riippuu käyttövoiman taajuudesta. Pakotetut värähtelyt ovat epävaiheessa käyttövoiman kanssa. Vaihesiirto riippuu käyttövoiman taajuudesta.

RESONANSSI

Pakotetun värähtelyn amplitudin riippuvuus käyttövoiman taajuudesta johtaa siihen, että tietyllä tietylle järjestelmälle määritetyllä taajuudella värähtelyamplitudi saavuttaa maksimiarvonsa. Värähtelyjärjestelmä on erityisen herkkä käyttövoiman vaikutukselle tällä taajuudella. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssi, ja vastaava taajuus on resonanssitaajuus. Graafisesti pakotettujen värähtelyjen amplitudin x m riippuvuutta käyttövoiman taajuudesta ω kuvataan resonanssikäyrällä (kuva 7.9).

Tutkimme pakotetun värähtelyn amplitudin käyttäytymistä taajuudesta riippuen. Kun käyttövoiman amplitudi jätetään ennalleen, muutamme sen taajuutta. Kun saamme staattinen taipuma jatkuvan voiman vaikutuksesta:

Taajuuden kasvaessa myös siirtymäamplitudi ensin kasvaa, sitten kulkee maksimin läpi ja lopulta asymptoottisesti taipuu nollaan. Kuvasta 7.9 osoittaa myös, että mitä pienempi , sitä korkeampi ja oikealla on tämän käyrän maksimi. Lisäksi mitä pienempi, sitä voimakkaampi amplitudi lähellä resonanssimuutoksia taajuuden mukana, sitä terävämpi on maksimi.

Resonanssiilmiö voi aiheuttaa siltojen, rakennusten ja muiden rakenteiden tuhoutumista, jos niiden värähtelyjen luonnolliset taajuudet ovat yhtenevät määräajoin vaikuttavan ulkoisen voiman taajuuden kanssa. Resonanssiilmiö on otettava huomioon koneita ja erilaisia ​​rakenteita suunniteltaessa. Näiden laitteiden luonnollinen taajuus ei saa missään tapauksessa olla lähellä mahdollisten ulkoisten vaikutusten taajuutta.

Esimerkkejä

Tammikuussa 1905 Pietarissa Egyptin silta romahti. Tähän syyllistyivät 9 ohikulkijaa, 2 taksinkuljettajaa ja Peterhofin hevoskaartin rykmentin 3. laivue. Tapahtui seuraavaa. Kaikki sotilaat vaelsivat rytmisesti sillan yli. Silta alkoi heilua tästä - värähtelemään. Sattumalta sillan luonnollinen taajuus osui yhteen sotilaiden askeltaajuuden kanssa. Muodostelman rytminen askel antoi sillalle yhä enemmän energian osia. Resonanssin seurauksena silta heilui niin paljon, että se romahti. Jos sillan luonnollisen taajuuden resonanssia ei olisi sotilaiden askeltaajuuden kanssa, sillalle ei olisi tapahtunut mitään. Siksi, kun ohitetaan sotilaita heikkoilla silloilla, on tapana antaa käsky "kaataa jalka".

Sanotaan, että suuri tenori Enrico Caruso saattoi saada lasikupin särkymään laulamalla oikean korkeuden sävelen äänellään. Tässä tapauksessa ääni aiheuttaa lasin seinien pakkovärähtelyä. Resonanssissa seinien värähtely voi saavuttaa sellaisen amplitudin, että lasi rikkoutuu.

Tehdä kokeita

Mene johonkin kielisoittimeen ja huuda äänekkäästi "a": yksi kieleistä vastaa - se kuulostaa. Se, joka on resonanssissa tämän äänen taajuuden kanssa, värähtelee voimakkaammin kuin muut kielet - se reagoi ääneen.

Venytä ohut köysi vaakasuoraan. Kiinnitä siihen heiluri lankaa ja muovailuvahaa. Heitä toinen samanlainen heiluri köyden päälle, mutta pidemmällä langalla. Tämän heilurin ripustuksen pituutta voidaan muuttaa vetämällä langan vapaasta päästä käsin. Tuo tämä heiluri värähtelevään liikkeeseen. Tässä tapauksessa ensimmäinen heiluri alkaa myös värähdellä, mutta pienemmällä amplitudilla. Pysäyttämättä toisen heilurin värähtelyjä, vähennä vähitellen sen jousituksen pituutta - ensimmäisen heilurin värähtelyjen amplitudi kasvaa. Tässä kokeessa, joka kuvaa mekaanisten värähtelyjen resonanssia, ensimmäinen heiluri on toisen heilurin virittämien värähtelyjen vastaanottaja. Syy, joka pakottaa ensimmäisen heilurin värähtelemään, on köyden jaksottaiset värähtelyt, joiden taajuus on yhtä suuri kuin toisen heilurin värähtelytaajuus. Ensimmäisen heilurin pakotetuilla värähtelyillä on maksimiamplitudi vain, kun sen luonnollinen taajuus on sama kuin toisen heilurin värähtelytaajuus.

AUTOMAATTISET VÄRINNÄT

Lukuisia ja monipuolisia on ihmiskäsien luomuksia, joissa syntyy ja käytetään itsevärähtelyjä. Ensinnäkin nämä ovat erilaisia ​​​​musiikki-instrumentteja. Jo muinaisina aikoina - torvet ja torvet, piiput, pillit, primitiiviset huilut. Myöhemmin - viulut, joissa jousen ja kielen välistä kitkavoimaa käytetään äänen herättämiseen; erilaisia ​​puhallinsoittimia; harmonioita, joissa äänen tuottavat metalliruoko, joka värähtelee jatkuvan ilmavirran vaikutuksesta; elimiä, joiden putkista resonoivat ilmapylväät karkaavat kapeiden rakojen kautta.

Riisi. 7.12

On hyvin tunnettua, että liukukitkavoima on käytännössä riippumaton nopeudesta. Viulun kielen soiminen johtuu kuitenkin kitkavoiman erittäin heikosta riippuvuudesta nopeudesta. Kvalitiivinen näkymä jousen kitkavoiman riippuvuudesta langasta on esitetty kuvassa. 7.12 Staattisen kitkavoiman vuoksi jousi vangitsee langan ja siirtyy tasapainoasennosta. Kun kimmovoima ylittää kitkavoiman, lanka katkeaa jousesta ja ryntää kohti tasapaino-asemaa jatkuvasti kasvavalla nopeudella. Langan nopeus suhteessa liikkuvaan jouseen kasvaa, kitkavoima kasvaa ja tietyllä hetkellä se riittää nauhan vangitsemiseen. Sitten prosessi toistetaan uudelleen. Näin ollen vakionopeudella liikkuva jousi aiheuttaa kielen vaimentamattomia värähtelyjä.

Jousisoittimissa itsevärähtelyä tukee jousen ja kielen väliin vaikuttava kitkavoima, ja puhallinsoittimissa ilmasuihkun puhallus ylläpitää ilmapatsaan itsevärähtelyjä soittimen putkessa.

Yli sadassa kreikkalaisessa ja latinalaisessa asiakirjassa eri ajoilta mainitaan kuuluisan "Memnon-kolossin" laulaminen - majesteettiselta kuulostava yhden faaraon patsas, joka hallitsi XIV vuosisadalla eKr., asennettu lähelle egyptiläistä Luxorin kaupunkia. Patsaan korkeus on noin 20 metriä, massa saavuttaa tuhat tonnia. Kolossin alaosasta löydettiin useita rakoja ja reikiä, joiden takana oli monimutkaisen muotoisia kammioita. Memnonin kolossi on jättimäinen urut, jotka soivat luonnollisten ilmavirtojen vaikutuksesta. Patsas jäljittelee ihmisen ääntä.

Luonnolliset itsevärähtelyt, jotka ovat luonteeltaan hieman eksoottisia, ovat lauluhiekkoja. Jo 1300-luvulla suuri matkailija Marco Polo mainitsi salaperäisen Lop Nor -järven "kuultavat rannat" Aasiassa. Kuusi vuosisataa laulavaa hiekkaa on löydetty eri paikoista kaikilla mantereilla. Paikallisessa väestössä ne aiheuttavat useimmiten pelkoa, ovat legendojen ja legendojen kohteena. Jack London kuvailee "Kolmen sydämet" -romaanin hahmojen tapaamista laulavien hiekkojen kanssa, jotka lähtivät oppaan kanssa etsimään muinaisten mayojen aarteita.

"Kun jumalat nauravat, varo!" huusi vanha mies varovasti. Hän piirsi sormellaan ympyrän hiekkaan, ja kun hän piirsi, hiekka ulvoi ja ulvoi; sitten vanha mies polvistui, hiekka karjui ja trumpetoi.

Kazakstanissa Ili-joen lähellä on laulavaa hiekkaa ja jopa kokonainen laulava hiekkavuori. Kalkan-vuori, jättimäiset luonnolliset urut, kohosivat lähes 300 metriä. Ihmiset kutsuvat sitä eri tavalla: "lauludyyni", "laulu vuori". Se on rakennettu vaaleasta hiekasta ja suuren ja pienen Kalkanin Dzungarian Alataun tummien kannujen taustalla on poikkeuksellinen näky värikontrastinsa ansiosta. Tuulessa ja jopa silloin, kun ihminen laskeutuu siitä, vuori antaa melodisia ääniä. Sateen jälkeen ja tyynessä vuori on hiljaa. Turistit vierailevat mielellään Singing Dune -dyynillä ja kiipeävät yhteen sen kolmesta huipulta ja ihailevat avautuvaa panoraamanäkymää Ili-joelle ja Zailiysky Alatau -harjulle. Jos vuori on hiljaa, kärsimättömät vierailijat "saavat sen laulamaan". Tätä varten sinun täytyy juosta nopeasti alas vuoren rinnettä, hiekkapurot juoksevat jalkojesi alta ja surina nousee dyynin syvyyksistä.

Laulavahiekan löytämisestä on kulunut vuosisatoja, eikä tälle hämmästyttävälle ilmiölle ole tarjottu tyydyttävää selitystä. Viime vuosina englantilaiset akustikot sekä Neuvostoliiton tiedemies V.I. Arabadzhi. Arabadji ehdotti, että ääntä lähettävä ylempi hiekkakerros liikkuu jonkinlaisen jatkuvan häiriön alaisena alemman, kovemman kerroksen yli, jolla on aaltoileva pintaprofiili. Kerrosten keskinäisen siirtymisen aikana esiintyvistä kitkavoimista johtuen ääni kiihtyy.

Pakkovärähtelyt ovat vaimentamattomia tärinöitä. Kitkasta johtuva väistämätön energiahäviö pakkovärähtelyn aikana kompensoidaan energiansyötöllä ulkoisesta lähteestä jaksottaisesti vaikuttavalla voimalla. On järjestelmiä, joissa vaimentamattomat värähtelyt eivät aiheudu säännöllisistä ulkoisista vaikutuksista, vaan tällaisten järjestelmien kyvystä säädellä energian virtausta vakiolähteestä. Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan itsevärähteleviksi, ja vaimentamattomien värähtelyjen prosessia sellaisissa järjestelmissä kutsutaan itsevärähtelyiksi. . Kaavamaisesti itsevärähtelevä järjestelmä voidaan esittää energialähteenä, vaimennettuna oskillaattorina ja takaisinkytkentälaitteena värähtelyjärjestelmän ja lähteen välillä (kuva 7.10).

Värähtelyjärjestelmänä voidaan käyttää mitä tahansa mekaanista järjestelmää, joka pystyy suorittamaan omat vaimennetut värähtelynsä (esimerkiksi seinäkellon heiluri). Energialähde voi olla epämuodostunut jousi tai painovoimakentässä oleva kuorma. Takaisinkytkentälaite on mekanismi, jolla itsevärähtelevä järjestelmä säätelee energian virtausta lähteestä.

Esimerkki mekaanisesta itsevärähtelevästä järjestelmästä on ankkuriiskulla varustettu kellokoneisto (kuva 7.11). Ankkuriiskulla varustetussa kellossa vinohampainen juoksupyörä on kiinnitetty tiukasti hammaspyörään, jonka läpi heitetään painolla varustettu ketju. Heilurin yläpäähän on kiinnitetty ankkuri kahdella kovaa materiaalia olevalla levyllä, joka on taivutettu heilurin akseliin keskittyvän ympyrän kaarella. Rannekelloissa paino korvataan jousella ja heiluri korvataan tasapainottimella, joka on kiinnitetty kierrejouseen. Tasapainotin suorittaa vääntövärähtelyjä akselinsa ympäri. Kellon värähtelyjärjestelmä on heiluri tai tasapainotin, energianlähde on ylös nostettu paino tai kierretty jousi. Palautelaite on ankkuri, jonka avulla juoksupyörä voi kääntää yhden hampaan puolijaksossa. Palautteen antaa ankkurin vuorovaikutus juoksupyörän kanssa. Jokaisella heilurin värähtelyllä kulkupyörän hammas työntää ankkurihaarukkaa heilurin liikkeen suuntaan siirtäen siihen tietyn osan energiaa, joka kompensoi kitkasta aiheutuvia energiahäviöitä. Siten painon (tai kierretyn jousen) potentiaalienergia siirtyy vähitellen, erillisissä osissa, heiluriin.

Arjessa kohtaamme, ehkä itse huomaamattamme, useammin itsevärähtelyjä kuin jaksollisten voimien aiheuttamia värähtelyjä. Itsevärähtelyt ympäröivät meitä kaikkialla luonnossa ja tekniikassa: höyrykoneet, polttomoottorit, sähkökellot, kellot, soiva viulun kieli tai urkupilli, sykkivä sydän, äänihuulet puhuttaessa tai laulaessa – kaikki nämä järjestelmät suorittavat itsevärähtelyjä.

Tee kokemus!

Riisi. 7.13

Värähtelevää liikettä tutkitaan yleensä ottamalla huomioon jonkinlaisen heilurin käyttäytyminen: jousi, matemaattinen tai fyysinen. Kaikki ne ovat kiinteitä. Voit luoda laitteen, joka näyttää nestemäisten tai kaasumaisten kappaleiden värähtelyt. Käytä tätä varten vesikellon suunnittelun takana olevaa ideaa. Kaksi puolentoista litran muovipulloa yhdistetään samalla tavalla kuin vesikellossa, kannet kiinnittäen. Pullojen ontelot yhdistetään 15 senttimetriä pitkällä lasiputkella, jonka sisähalkaisija on 4-5 millimetriä. Pullojen sivuseinämien tulee olla sileitä ja ei-jäykkiä, helposti murskautuvia puristettaessa (katso kuva 7.13).

Aloittaaksesi värähtelyt, vesipullo asetetaan päälle. Vesi siitä alkaa välittömästi virrata putken läpi alempaan pulloon. Noin sekunnin kuluttua suihku lakkaa spontaanisti virtaamasta ja väistyy putkessa olevalle käytävälle ilma-osan tulevaa liikettä varten alemmasta pullosta ylempään. Vastaan ​​tulevien vesi- ja ilmavirtausten kulkujärjestys yhdysputken läpi määräytyy ylemmän ja alemman pullon paine-eron perusteella, ja se säädetään automaattisesti.

Järjestelmän paineenvaihtelut osoittavat ylemmän pullon sivuseinien käyttäytyminen, jotka veden vapautumisen ja ilman sisääntulon myötä ajoittain puristavat ja laajenevat. Sikäli kuin

AALTOJEN MUODOSTUS

Miten tärinä leviää? Onko värähtelyjen välittämiseen väliaine tarpeen vai voidaanko ne välittää ilman sitä? Miten kuulostavan äänihaarukan ääni tavoittaa kuulijan? Kuinka nopeasti vaihtovirta radiolähettimen antennissa saa virran kulkemaan vastaanottimen antenniin? Miten kaukaisten tähtien valo pääsee silmiimme? Tällaisten ilmiöiden tarkastelemiseksi on tarpeen ottaa käyttöön uusi fyysinen käsite - aalto. Aaltoprosessit edustavat yleistä ilmiöluokkaa niiden erilaisesta luonteesta huolimatta.

Aaltojen lähteet, olivatpa ne meren aaltoja, aaltoja merkkijonossa, maanjäristysaaltoja tai ääniaaltoja ilmassa, ovat värähtelyjä. Värähtelyjen etenemisprosessia avaruudessa kutsutaan aalloksi. Esimerkiksi äänen tapauksessa värähtelevää liikettä ei suorita vain äänilähde (kieli, äänihaarukka), vaan myös äänivastaanotin - tärykalvo tai mikrofonikalvo. Väliaine, jonka läpi aalto etenee, myös värähtelee.

Aaltoprosessi johtuu yhteyksien olemassaolosta järjestelmän yksittäisten osien välillä, riippuen siitä, mikä meillä on jonkinlainen elastinen aalto. Missä tahansa avaruuden osassa tapahtuva prosessi aiheuttaa muutoksia järjestelmän naapuripisteissä siirtäen niihin tietyn määrän energiaa. Näistä pisteistä häiriö siirtyy niiden viereisiin ja niin edelleen, leviäen pisteestä pisteeseen eli muodostaen aallon.

Joustavat voimat, jotka vaikuttavat minkä tahansa kiinteän, nestemäisen tai kaasumaisen kappaleen elementtien välillä, johtavat elastisten aaltojen esiintymiseen. Esimerkki elastisista aalloista on johtoa pitkin etenevä aalto. Jos liikuttamalla kättä ylös ja alas johdon pään värähtelyjä viritetään, myös narun viereiset osat alkavat liikkua liitoksen elastisten voimien vaikutuksesta ja syntyy aalto. leviävät johtoa pitkin. Aaltojen yhteinen ominaisuus on, että ne voivat levitä pitkiä matkoja, ja väliaineen hiukkaset värähtelevät vain rajoitetulla alueella. Väliaineen hiukkaset, joissa aalto etenee, eivät ole aallon mukana translaatioliikkeessä, ne vain värähtelevät tasapainoasemiensa ympärillä. Riippuen väliaineen hiukkasten värähtelysuunnasta suhteessa aallon etenemissuuntaan, erotetaan pitkittäiset ja poikittaiset aallot. Pitkittäisessä aallossa väliaineen hiukkaset värähtelevät aallon etenemissuuntaa pitkin; poikittaisessa - kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan nähden. Elastisia poikittaisaaltoja voi syntyä vain väliaineessa, jossa on leikkausvastus. Siksi nestemäisissä ja kaasumaisissa väliaineissa voi esiintyä vain pitkittäisiä aaltoja. Kiinteässä väliaineessa voi esiintyä sekä pitkittäisiä että poikittaisaaltoja.

Kuvassa 8.1 näyttää hiukkasten liikkeen etenemisen aikana poikittaisaallon väliaineessa ja hiukkasten sijainnin aallossa neljässä kiinteässä ajankohdassa. Numerot 1, 2 jne. ilmaistaan ​​hiukkaset, jotka erotetaan toisistaan ​​aallon kulkeman matkan neljäsosana hiukkasten suorittamasta värähtelyjaksosta. Nollaksi otetulla ajanhetkellä akselia pitkin vasemmalta oikealle etenevä aalto saavutti hiukkasen 1 , jonka seurauksena hiukkanen alkoi liikkua ylöspäin tasapainoasennosta raahaten seuraavat hiukkaset mukanaan. Jakson neljänneksen jälkeen hiukkanen 1 saavuttaa korkeimman aseman; samalla hiukkanen alkaa liikkua tasapainoasennosta 2 . Jakson toisen neljänneksen jälkeen ensimmäinen hiukkanen ohittaa tasapainoasennon liikkuen ylhäältä alaspäin, toinen hiukkanen saavuttaa äärimmäisen yläasennon ja kolmas hiukkanen alkaa liikkua ylöspäin tasapainoasennosta. Ajanhetkellä, joka on yhtä suuri kuin , ensimmäinen hiukkanen suorittaa täydellisen värähtelyn ja on samassa liiketilassa kuin alkuhetkellä. Aalto saavuttaa hiukkasen ajan kuluessa 5 .

Kuvassa 8.2 esittää hiukkasten liikettä etenemisen aikana pitkittäisaallon väliaineessa. Kaikkia poikkiaaltohiukkasten käyttäytymiseen liittyviä näkökohtia voidaan soveltaa myös tähän tapaukseen, jolloin siirtymät ylös ja alas korvataan siirtymillä oikealle ja vasemmalle. Kuvasta 8.2 voidaan nähdä, että pitkittäisaallon etenemisen aikana väliaineessa syntyy vaihtelevia pitoisuuksia ja hiukkasten harventumista, jotka liikkuvat aallon etenemisen suuntaan nopeudella .

Väliaineeseen vaikuttavia kappaleita, jotka aiheuttavat tärinää, kutsutaan aaltolähteiksi. Elastisten aaltojen eteneminen ei liity aineen siirtymiseen, vaan aallot siirtävät energiaa, jonka aaltoprosessi tuottaa värähtelyjen lähteestä.

Pisteiden paikkaa, joihin häiriöt saavuttavat tietyn ajanhetken, kutsutaan aaltorintamaksi. Toisin sanoen aaltorintama on pinta, joka erottaa osan aaltoprosessissa jo mukana olevasta tilasta alueesta, jota häiriöt eivät ole vielä saavuttaneet.

Samoissa vaiheissa värähtelevien pisteiden paikkaa kutsutaan aaltopinnaksi. Aallon pinta voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi aaltoprosessin kattamassa tilassa. Aaltopinnat voivat olla minkä muotoisia tahansa. Yksinkertaisimmissa tapauksissa ne ovat tason tai pallon muotoisia. Näin ollen aaltoa kutsutaan näissä tapauksissa litteäksi tai pallomaiseksi. Tasoaaltossa aaltopinnat ovat joukko toistensa kanssa yhdensuuntaisia ​​tasoja; pallomaisessa aallossa, joukko samankeskisiä palloja.

Etäisyyttä, jonka yli aalto etenee väliaineen hiukkasten värähtelyjaksoa vastaavassa ajassa, kutsutaan aallonpituudeksi. Ilmeisesti , Missä on aallon etenemisnopeus.

Kuvassa Tietokonegrafiikan avulla tehty kuva 8.3 esittää mallin poikittaisaallon etenemisestä vedessä pistelähteestä. Jokainen hiukkanen suorittaa harmonisia värähtelyjä tasapainoasennon ympärillä.

Riisi. 8.3 Poikittaisaallon eteneminen värähtelyn pistelähteestä

©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 2016-02-16

Vektorikaavio. Värinän lisäys.

Useiden värähtelyteorian ongelmien ratkaiseminen helpottuu huomattavasti ja tulee selvemmäksi, jos värähtelyt kuvataan graafisesti menetelmällä vektorikaavioita. Valitaan jokin akseli X. kohdasta 0 akselille piirretään pituusvektori , joka muodostaa ensin kulman akselin kanssa (kuva 2.14.1). Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella, niin vektorin pään projektio akselille X muuttuu ajan myötä lain mukaan

.

Siksi vektorin pään projektio akselille suorittaa harmonisen värähtelyn, jonka amplitudi on yhtä suuri kuin vektorin pituus, ympyrätaajuudella, joka on yhtä suuri kuin vektorin pyörimiskulmanopeus, ja alkuvaiheen ollessa yhtä suuri kulmaan, jonka vektori muodostaa akselin kanssa alkuhetkellä. Vektorin muodostama kulma akselin kanssa tietyllä ajanhetkellä määrittää värähtelyn vaiheen sillä hetkellä - .

Sanomasta seuraa, että harmoninen värähtely voidaan esittää vektorilla, jonka pituus on yhtä suuri kuin värähtelyn amplitudi ja jonka suunta muodostaa kulman tietyn akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn vaihe. Tämä on vektorikaavioiden menetelmän ydin.

Samansuuntaisten värähtelyjen lisäys.

Harkitse kahden harmonisen värähtelyn lisäämistä, joiden suunnat ovat yhdensuuntaiset:

. (2.14.1)

Tuloksena oleva offset X on summa ja . Se on värähtely amplitudilla.

Käytetään vektorikaavioiden menetelmää (kuva 2.14.2). kuvassa ja ovat vastaavasti tuloksena olevien ja lisättyjen värähtelyjen vaiheita. On helppo nähdä, mitä löytyy lisäämällä vektorit ja . Jos kuitenkin lisättyjen värähtelyjen taajuudet ovat erilaisia, niin tuloksena olevan amplitudin suuruus muuttuu ajan myötä ja vektori pyörii epävakiolla nopeudella, ts. värähtely ei ole harmonista, vaan se edustaa jotain monimutkaista värähtelyprosessia. Jotta tuloksena oleva värähtely olisi harmoninen, lisättyjen värähtelyjen taajuuksien on oltava samat

ja tuloksena oleva värähtely tapahtuu samalla taajuudella

.

Rakennuksesta käy selvästi ilmi

Analysoidaan lauseke (2.14.2) tuloksena olevan värähtelyn amplitudille. Jos lisättyjen värähtelyjen vaihe-ero on nolla(värähtelyt ovat samassa vaiheessa), amplitudi on yhtä suuri kuin lisättyjen värähtelyjen amplitudien summa, eli on suurin mahdollinen arvo . Jos vaihe-ero on(värähtelyt ovat vastavaiheessa), sitten tuloksena oleva amplitudi on yhtä suuri kuin amplitudiero, eli on pienin mahdollinen arvo .

Keskinäisten kohtisuorien värähtelyjen summa.

Anna hiukkasen suorittaa kaksi harmonista värähtelyä samalla taajuudella: yksi pitkin suuntaa, jota merkitsemme X, toinen on kohtisuorassa suunnassa y. Tässä tapauksessa hiukkanen liikkuu jotakin, yleisessä tapauksessa, kaarevaa liikerataa, jonka muoto riippuu värähtelyjen vaihe-erosta.

Valitsemme aikareferenssin origon siten, että yhden värähtelyn alkuvaihe on nolla:

. (2.14.3)

Hiukkasratayhtälön saamiseksi on välttämätöntä jättää pois (2.14.3) t. Ensimmäisestä yhtälöstä a. tarkoittaa, . Kirjoitetaan toinen yhtälö uudelleen

tai

.

Siirtämällä ensimmäinen termi yhtälön oikealta puolelta vasemmalle, neliöimällä tuloksena oleva yhtälön ja suorittamalla muunnoksia, saadaan

. (2.14.4)

Tämä yhtälö on ellipsin yhtälö, jonka akseleita kierretään suhteessa akseleihin X ja y johonkin kulmaan. Mutta joissakin erikoistapauksissa saadaan yksinkertaisempia tuloksia.

1. Vaihe-ero on nolla. Sitten (2.14.4) saamme

tai . (2.14.5)

Tämä on suoran yhtälö (kuva 2.14.3). Siten hiukkanen värähtelee tätä suoraa pitkin taajuudella ja amplitudilla, joka on yhtä suuri kuin .

Vektorikaavio on tapa määritellä värähtelevä liike graafisesti vektoriksi.

Vaaka-akselia pitkin piirretään värähtelevä arvo ξ (mikä tahansa fyysinen). Pisteestä 0 piirretty vektori on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin värähtelyamplitudi A ja se on suunnattu kulmaan α, joka on yhtä suuri kuin värähtelyn alkuvaihe, akseliin ξ. Jos saamme tämän vektorin pyörimään kulmanopeudella ω, joka on yhtä suuri kuin värähtelyjen syklinen taajuus, niin tämän vektorin projektio ξ-akselille antaa värähtelevän suuren arvon mielivaltaisella ajanhetkellä.

Saman taajuuden ja samansuuntaisten värähtelyjen summaus

Olkoon kaksi värähtelyä: Rakennamme vektorikaavioita ja lisäämme vektoreita:

Kosinusten lain mukaan

Kuten sitten

On selvää (katso kaavio), että tuloksena olevan värähtelyn alkuvaihe määräytyy suhteella:

Lähitaajuuksien värähtelyjen lisäys

P est, lisätään kaksi värähtelyä lähes identtisillä taajuuksilla, ts.

Trigonometriasta:

Sovellettaessa tapauksemme saamme:

Tuloksena olevan värähtelyn kuvaaja on lyöntigraafi, ts. taajuuden ω lähes harmonisia värähtelyjä, joiden amplitudi muuttuu hitaasti taajuuden Δω mukana.

Amplitudi johtuen moduulin merkin olemassaolosta (amplitudi on aina > 0), taajuus, jolla amplitudi muuttuu, ei ole yhtä suuri kuin Δω / 2, vaan kaksi kertaa niin korkea - Δω.

Keskinäisten kohtisuorien värähtelyjen summa

Anna pienen kappaleen värähdellä keskenään kohtisuorassa saman jäykkyyden omaavilla jousilla. Millä radalla tämä ruumis liikkuu?

Nämä ovat parametrimuodossa olevia lentoratayhtälöitä. Jotta x- ja y-koordinaattien välille saadaan eksplisiittinen suhde, parametri t on jätettävä pois yhtälöistä.

Ensimmäisestä yhtälöstä: ,

Toisesta alkaen

Vaihdon jälkeen

Päästään eroon juuresta:

on ellipsin yhtälö

H
erikoistapaukset:

27. Vaimennettu tärinä. Pakotettu tärinä. Resonanssi.

Vapaan värähtelyn vaimennus

Vastuksen takia vapaat värähtelyt kuolevat aina ennemmin tai myöhemmin. Tarkastellaan värähtelyn vaimennusprosessia. Oletetaan, että vastusvoima on verrannollinen kehon nopeuteen. (suhteellisuustekijä on merkitty 2 mg:lla mukavuussyistä, jotka paljastetaan myöhemmin). Pidetään mielessä tapaus, kun sen vaimennus on pieni värähtelyjakson aikana. Silloin voidaan olettaa, että vaimennus ei juurikaan vaikuta taajuuteen, mutta se vaikuttaa värähtelyjen amplitudiin. Sitten vaimennettujen värähtelyjen yhtälö voidaan esittää kuten Tässä A(t) edustaa jotain laskevaa funktiota, joka on määritettävä. Lähdemme energian säilymisen ja muuntamisen laista. Värähtelyjen energian muutos on yhtä suuri kuin vastusvoiman keskimääräinen työ jakson aikana, ts. Jaamme yhtälön molemmat puolet dt:llä. Oikealla on dx/dt, ts. nopeus v, ja vasemmalla saat energian derivaatan ajan suhteen. Siksi ottaen huomioon Mutta keskimääräinen kineettinen energia puolet kokonaisenergiasta. Siksi voidaan kirjoittaa niin jaa sen molemmat osat E:llä ja kerro dt:llä. Me ymmärrämme sen Integroimme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat: Potentioimisen jälkeen saamme Integrointivakio C saadaan alkuehdoista. Olkoon kohdalla t = 0 E = E0, sitten E0 = C. Mutta E~A^2. Siksi myös vaimennettujen värähtelyjen amplitudi pienenee eksponentiaalisen lain mukaan:

Ja joten vastuksen vuoksi värähtelyjen amplitudi pienenee ja ne näyttävät yleensä kuvan 2 mukaisilta. 4.2. Kerrointa kutsutaan vaimennuskertoimeksi. Se ei kuitenkaan täysin kuvaa vaimennusta. Yleensä värähtelyjen vaimennukselle on ominaista vaimennuksen väheneminen. Jälkimmäinen osoittaa, kuinka monta kertaa värähtelyamplitudi pienenee värähtelyjaksoa vastaavan ajan kuluessa. Eli vaimennuskerroin määritellään seuraavasti: Vaimennuksen dekrementin logaritmia kutsutaan logaritmiseksi dekrementiksi, se on ilmeisesti yhtä kuin

Pakotettu tärinä

Jos värähtelyjärjestelmään kohdistuu ulkoisen jaksollisen voiman vaikutus, syntyy niin sanottuja pakotettuja värähtelyjä, joilla on vaimentamaton luonne. Pakotetut värähtelyt tulee erottaa itsevärähtelyistä. Järjestelmän itsevärähtelyjen tapauksessa oletetaan olevan erityinen mekanismi, joka ajallaan omien värähtelyiensä kanssa "toimittaa" pieniä osia energiaa jostain energiavarastosta järjestelmään. Siten säilyvät luonnolliset värähtelyt, jotka eivät vaimene. Itsevärähtelyjen tapauksessa järjestelmä ikään kuin työntää itseään. Kellot voivat toimia esimerkkinä itsevärähtelevästä järjestelmästä. Kello on varustettu räikkämekanismilla, jonka avulla heiluri vastaanottaa pieniä iskuja (puristetusta jousesta) ajoissa omilla värähtelyillään. Pakotetun värähtelyn tapauksessa järjestelmää työntää ulkoinen voima. Jäljempänä tarkastellaan tätä tapausta olettaen, että järjestelmän vastus on pieni ja se voidaan jättää huomiotta. Pakotetun värähtelyn mallina tarkoitamme samaa jouseen ripustettua kappaletta, johon vaikuttaa ulkoinen jaksollinen voima (esimerkiksi voima, jolla on sähkömagneettinen luonne). Ottamatta huomioon vastusta, tällaisen kappaleen liikeyhtälö x-akselin projektiossa on muotoa: missä w* on syklinen taajuus, B on ulkoisen voiman amplitudi. Tiedetään, että vaihtelut ovat olemassa. Siksi etsimme yhtälön tiettyä ratkaisua sinifunktion muodossa Korvaamme funktion yhtälöön, jolle teemme eron kahdesti ajan suhteen . Korvaus johtaa suhteeseen

Yhtälö muuttuu identiteetiksi, jos kolme ehtoa täyttyy: . Sitten ja pakotettujen värähtelyjen yhtälö voidaan esittää muodossa Ne esiintyvät taajuudella, joka on sama kuin ulkoisen voiman taajuus, eikä niiden amplitudia aseteta mielivaltaisesti, kuten vapaiden värähtelyjen tapauksessa, vaan se asetetaan itsestään. Tämä määritetty arvo riippuu järjestelmän luonnollisen värähtelytaajuuden ja ulkoisen voiman taajuuden suhteesta kaavan mukaan

H ja fig. 4.3 esittää käyrän pakkovärähtelyjen amplitudin riippuvuudesta ulkoisen voiman taajuudesta. Voidaan nähdä, että värähtelyjen amplitudi kasvaa merkittävästi ulkoisen voiman taajuuden lähestyessä luonnollisen värähtelyn taajuutta. Ilmiö pakotettujen värähtelyjen amplitudin voimakkaasta kasvusta, kun ominaistaajuus ja ulkoisen voiman taajuus ovat samat, kutsutaan resonanssi.

Resonanssissa värähtelyamplitudin tulee olla äärettömän suuri. Todellisuudessa resonanssissa pakotettujen värähtelyjen amplitudi on aina äärellinen. Tämä selittyy sillä, että resonanssissa ja sen lähellä olettamuksemme merkityksettömän pienestä resistanssista muuttuu virheelliseksi. Vaikka järjestelmän vastus on pieni, se on merkittävä resonanssissa. Sen läsnäolo tekee resonanssin värähtelyamplitudista äärellisen arvon. Siten varsinainen käyrä värähtelyamplitudin riippuvuudesta taajuudesta on kuvan 2 mukaisessa muodossa. 4.4 Mitä suurempi vastus järjestelmässä on, sitä pienempi on maksimiamplitudi resonanssipisteessä.

Yleensä resonanssi mekaanisissa järjestelmissä on ei-toivottu ilmiö, ja sen he pyrkivät välttämään: he yrittävät suunnitella värähtelyille ja tärinälle alttiita mekaanisia rakenteita siten, että värähtelyjen luonnollinen taajuus on kaukana ulkoisten vaikutusten taajuuksien mahdollisista arvoista. Mutta useissa laitteissa resonanssia käytetään positiivisena ilmiönä. Esimerkiksi sähkömagneettisten värähtelyjen resonanssia käytetään laajalti radioviestinnässä, g-säteiden resonanssia - tarkkuuslaitteissa.

Termodynaamisen järjestelmän tila. Prosessit

Termodynaamiset tilat ja termodynaamiset prosessit

Kun mekaniikan lakien lisäksi vaaditaan termodynamiikan lakien soveltamista, järjestelmää kutsutaan termodynaamiseksi järjestelmäksi. Tarve käyttää tätä käsitettä syntyy, jos järjestelmän elementtien lukumäärä (esimerkiksi kaasumolekyylien määrä) on erittäin suuri ja sen yksittäisten elementtien liike on mikroskooppista verrattuna itse järjestelmän tai sen makroskooppiseen liikkeeseen. komponentit. Tässä tapauksessa termodynamiikka kuvaa termodynaamisen järjestelmän makroskooppisia liikkeitä (makroskooppisten tilojen muutoksia).

Termodynaamisen järjestelmän tällaista liikettä (muutoksia) kuvaavat parametrit jaetaan yleensä ulkoisiin ja sisäisiin. Tämä jako on hyvin ehdollinen ja riippuu tietystä tehtävästä. Joten esimerkiksi kaasulla elastisella kuorella varustetussa ilmapallossa on ympäröivän ilman paine ulkoisena parametrina, ja kaasulle jäykällä kuorella varustetussa astiassa ulkoinen parametri on tämän kuoren rajoittama tilavuus. Termodynaamisessa järjestelmässä tilavuus ja paine voivat vaihdella toisistaan ​​riippumatta. Niiden muutoksen teoreettista kuvausta varten on tarpeen ottaa käyttöön ainakin yksi parametri - lämpötila.

Useimmissa termodynaamisissa ongelmissa kolme parametria riittää kuvaamaan termodynaamisen järjestelmän tilaa. Tässä tapauksessa järjestelmän muutoksia kuvataan käyttämällä kolmea termodynaamista koordinaattia, jotka liittyvät vastaaviin termodynaamisiin parametreihin.

tasapainotila- termodynaamisen tasapainon tila - kutsutaan sellaista termodynaamisen järjestelmän tilaa, jossa ei ole virtauksia (energia, aine, liikemäärä jne.) ja järjestelmän makroskooppiset parametrit ovat tasaisia ​​eivätkä muutu ajassa.

Klassinen termodynamiikka väittää, että eristetty termodynaaminen järjestelmä (joka on jätetty itselleen) pyrkii termodynaamisen tasapainon tilaan, eikä saavutettuaan sen voi spontaanisti poistua siitä. Tätä lausuntoa kutsutaan usein termodynamiikan nollalaki.

Termodynaamisen tasapainon tilassa olevilla systeemeillä on seuraavat ominaisuudet ominaisuuksia mi:

Jos kaksi termodynaamista järjestelmää, joilla on lämpökontakti, ovat termodynaamisen tasapainon tilassa, niin koko termodynaaminen järjestelmä on myös termodynaamisen tasapainon tilassa.

Jos jokin termodynaaminen järjestelmä on termodynaamisessa tasapainossa kahden muun järjestelmän kanssa, niin nämä kaksi järjestelmää ovat termodynaamisessa tasapainossa keskenään.

Tarkastellaan termodynaamisia järjestelmiä, jotka ovat termodynaamisen tasapainon tilassa. Ei-tasapainotilassa eli tilassa, jossa tapahtuu makroskooppisia virtauksia, kuvailee epätasapainoinen termodynamiikka. Siirtymistä termodynaamisesta tilasta toiseen kutsutaan termodynaaminen prosessi. Jäljempänä tarkastellaan vain kvasistaattisia prosesseja tai, mikä on sama, kvasi-tasapainoprosesseja. Kvasitasapainoprosessin rajoittava tapaus on äärettömän hidas tasapainoprosessi, joka koostuu jatkuvasti peräkkäisistä termodynaamisen tasapainon tiloista. Todellisuudessa tällaista prosessia ei kuitenkaan voi tapahtua, jos makroskooppiset muutokset järjestelmässä tapahtuvat melko hitaasti (aikavälein, jotka ylittävät merkittävästi termodynaamisen tasapainon saavuttamiseen kuluvan ajan), on mahdollista lähentää todellista prosessia kvasistaattiseksi (kvasistaattiseksi). tasapaino). Tällainen approksimaatio mahdollistaa laskelmien suorittamisen riittävän suurella tarkkuudella suurelle joukolle käytännön ongelmia. Tasapainoprosessi on reversiibeli, eli sellainen, jossa paluu edellisellä hetkellä tapahtuneisiin tilaparametrien arvoihin tuo termodynaamisen järjestelmän edelliseen tilaan ilman muutoksia järjestelmää ympäröivissä kappaleissa. .

Kvasitasapainoprosessien käytännön soveltaminen missään teknisissä laitteissa on tehotonta. Siten kvasi-tasapainoprosessin käyttö lämpökoneessa, esimerkiksi sellaisessa, joka tapahtuu käytännössä vakiolämpötilassa (katso Carnot-syklin kuvaus kolmannessa luvussa), johtaa väistämättä siihen, että tällainen kone toimivat hyvin hitaasti (rajassa - äärettömän hitaasti) ja niillä on hyvin pieni teho. Siksi käytännössä teknisissä laitteissa ei käytetä kvasi-tasapainoprosesseja. Siitä huolimatta, koska todellisten järjestelmien tasapainotermodynamiikan ennusteet osuvat riittävän suureen tarkkuuteen tällaisten järjestelmien kokeellisten tietojen kanssa, sitä käytetään laajasti termodynaamisten prosessien laskemiseen erilaisissa teknisissä laitteissa.

Jos järjestelmä palaa termodynaamisen prosessin aikana alkuperäiseen tilaansa, sellaista prosessia kutsutaan pyöreäksi tai sykliseksi. Kiertoprosessit, kuten kaikki muutkin termodynaamiset prosessit, voivat olla sekä tasapainoisia (ja siksi palautuvia) että ei-tasapainoisia (reversiibeliä). Palautuvassa ympyräprosessissa sen jälkeen, kun termodynaaminen järjestelmä palaa alkuperäiseen tilaansa, sitä ympäröivissä kappaleissa ei synny termodynaamisia häiriöitä ja niiden tilat pysyvät tasapainossa. Tässä tapauksessa järjestelmän ulkoiset parametrit palaavat syklisen prosessin toteuttamisen jälkeen alkuperäisiin arvoihinsa. Peruuttamattomassa ympyräprosessissa sen valmistumisen jälkeen ympäröivät kappaleet siirtyvät epätasapainotiloihin ja termodynaamisen järjestelmän ulkoiset parametrit muuttuvat.