Mallintaminen on yksi tärkeimmistä työkaluista nykyelämässä, kun halutaan ennakoida tulevaisuutta. Ja tämä ei ole yllättävää, koska tämän menetelmän tarkkuus on erittäin korkea. Katsotaanpa tässä artikkelissa, mikä deterministinen malli on.

yleistä tietoa

Deterministisille järjestelmämalleille on ominaista, että ne voidaan analysoida analyyttisesti, jos ne ovat riittävän yksinkertaisia. Muussa tapauksessa, kun tähän tarkoitukseen käytetään huomattavaa määrää yhtälöitä ja muuttujia, voidaan käyttää elektronisia tietokoneita. Lisäksi tietokoneapu rajoittuu pääsääntöisesti vain niiden ratkaisemiseen ja vastausten löytämiseen. Tästä johtuen on välttämätöntä muuttaa yhtälöjärjestelmiä ja käyttää erilaista diskretisointia. Tämä lisää laskelmien virheiden riskiä. Kaiken tyyppisille deterministisille malleille on ominaista se, että parametrien tunteminen tietyllä tutkittavalla aikavälillä mahdollistaa täydellisen kehityksen dynamiikan määrittämisen tunnettujen indikaattoreiden ulkopuolella.

Erikoisuudet

Faktorimallinnus

Viittauksia tähän voitiin nähdä läpi artikkelin, mutta emme ole vielä keskustelleet siitä, mitä se on. Tekijämallinnus tarkoittaa, että tärkeimmät säännökset tuodaan esiin, minkä vuoksi määrällinen vertailu on tarpeen. Asetettujen tavoitteiden saavuttamiseksi tutkimus tuottaa muodon muunnoksen.

Jos jäykästi deterministisessä mallissa on enemmän kuin kaksi tekijää, sitä kutsutaan monitekijäiseksi. Sen analyysi voidaan suorittaa useilla eri menetelmillä. Esimerkkinä annamme Tässä tapauksessa se tarkastelee asetettuja tehtäviä ennalta laadittujen ja kehitettyjen a priori mallien näkökulmasta. Valinta niistä tehdään sisällön esityksen mukaan.

Mallin laadulliseen rakentamiseen on tarpeen käyttää teoreettisia ja kokeellisia tutkimuksia teknologisen prosessin olemuksesta ja sen syy-seuraus-suhteista. Tämä on tarkastelemiemme aiheiden tärkein etu. Deterministiset mallit mahdollistavat tarkan ennustamisen monilla elämämme alueilla. Laatuparametriensa ja monipuolisuutensa ansiosta niistä on tullut niin laajalle levinneitä.

Kyberneettiset deterministiset mallit

Ne kiinnostavat meitä analyysiin perustuvien ohimenevien prosessien vuoksi, joita esiintyy minkä tahansa, jopa mitättömän muutoksen yhteydessä ulkoisen ympäristön aggressiivisissa ominaisuuksissa. Yksinkertaisuuden ja laskennan nopeuden vuoksi nykyinen tilanne on korvattu yksinkertaistetulla mallilla. On tärkeää, että se täyttää kaikki perusvaatimukset.

Automaattisen ohjausjärjestelmän tehokkuus ja sen päätösten tehokkuus riippuvat kaikkien tarvittavien parametrien yhtenäisyydestä. Samalla on tarpeen ratkaista seuraava ongelma: mitä enemmän tietoa kerätään, sitä suurempi on virheen todennäköisyys ja sitä pidempi käsittelyaika. Mutta jos rajoitat tietojesi keräämistä, voit luottaa vähemmän luotettavaan tulokseen. Siksi on löydettävä keskitie, joka mahdollistaa riittävän tarkkojen tietojen saamisen, ja samalla sitä ei turhaan monimutkaista tarpeettomilla elementeillä.

Multiplikatiivinen deterministinen malli

Se rakennetaan jakamalla tekijät niiden joukkoon. Esimerkkinä voidaan harkita valmistettujen tuotteiden (PP) määrän muodostusprosessia. Joten tätä varten tarvitaan työvoimaa (PC), materiaaleja (M) ja energiaa (E). Tässä tapauksessa PP-tekijä voidaan jakaa joukoksi (RS; M; E). Tämä vaihtoehto kuvastaa tekijäjärjestelmän moninkertaista muotoa ja sen erottelumahdollisuutta. Tässä tapauksessa voit käyttää seuraavia muunnosmenetelmiä: laajennus, muotohajotus ja pidennys. Ensimmäinen vaihtoehto on löytänyt laajan sovelluksen analyysissä. Sitä voidaan käyttää työntekijän suorituskyvyn laskemiseen ja niin edelleen.

Pidentäminen korvaa yhden arvon muilla tekijöillä. Mutta lopputuloksen pitäisi olla sama numero. Pohdimme esimerkkiä laajennuksesta edellä. Jäljelle jää vain muodollinen laajennus. Se sisältää alkuperäisen tekijämallin nimittäjän pidentämisen yhden tai useamman parametrin korvaamisen vuoksi. Harkitse tätä esimerkkiä: laskemme tuotannon kannattavuuden. Tätä varten voiton määrä jaetaan kulujen määrällä. Kerrottaessa jaetaan yhden arvon sijaan materiaali-, henkilöstö-, vero- ja niin edelleen yhteenlasketuilla kuluilla.

Todennäköisyydet

Voi kun kaikki menisi juuri niin kuin oli suunniteltu! Mutta tätä tapahtuu harvoin. Siksi käytännössä deterministisiä ja niitä käytetään usein yhdessä Mitä voidaan sanoa jälkimmäisestä? Niiden erikoisuus on, että ne ottavat huomioon myös erilaiset todennäköisyydet. Otetaan esimerkiksi seuraava. Osavaltioita on kaksi. Heidän väliset suhteet ovat erittäin huonot. Kolmas osapuoli päättää sijoittaako se jonkin maan yrityksiin. Loppujen lopuksi, jos sota syttyy, voitot kärsivät suuresti. Tai voit mainita esimerkin laitoksen rakentamisesta alueelle, jolla on korkea seisminen aktiivisuus. Täällähän on luonnollisia tekijöitä, joita ei voida ottaa tarkasti huomioon, se voidaan tehdä vain suunnilleen.

Johtopäätös

Olemme pohtineet, mitkä ovat deterministisen analyysin mallit. Valitettavasti sinun pitäisi oppia erittäin hyvin, jotta ymmärrät ne täysin ja pystyt soveltamaan niitä käytännössä. Teoreettinen perusta on jo olemassa. Artikkelin puitteissa esitettiin myös erilliset yksinkertaiset esimerkit. Lisäksi on parempi seurata työmateriaalin asteittaista monimutkaistamista. Voit yksinkertaistaa tehtävääsi hieman ja alkaa oppia ohjelmistoja, jotka voivat suorittaa asianmukaisen simulaation. Mutta oli valinta mikä tahansa, ymmärrä perusasiat ja pysty vastaamaan kysymyksiin, mikä, miten ja miksi on edelleen välttämätöntä. Sinun tulisi oppia aloittamaan oikean syöttötiedon valitsemisesta ja oikeiden toimien valitsemisesta. Sitten ohjelmat voivat suorittaa tehtävänsä onnistuneesti.

Järjestelmämallit, joista olemme tähän mennessä puhuneet, ovat olleet deterministisiä (määriteltyjä), ts. syöttötoiminnon tehtävä määritti järjestelmän lähdön yksiselitteisesti. Käytännössä näin tapahtuu kuitenkin harvoin: todellisten järjestelmien kuvaukselle on yleensä ominaista epävarmuus. Esimerkiksi staattisen mallin epävarmuus voidaan ottaa huomioon kirjoittamalla paikka (2.1) relaatio

missä virhe vähennetään järjestelmän ulostuloon.

Epävarmuuden syyt ovat erilaisia:

– virheet ja häiriöt järjestelmän tulojen ja lähtöjen mittauksissa (luonnolliset virheet);

– itse järjestelmämallin epätarkkuus, mikä tekee välttämättömäksi keinotekoisesti lisätä malliin virheen;

– puutteelliset tiedot järjestelmäparametreista jne.

Erilaisista epävarmuuden selkeyttämis- ja formalisointitavoista yleisin on kaoottinen (todennäköisyyspohjainen) lähestymistapa, jossa epävarmoja määriä pidetään satunnaisina. Kehitetty todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston käsitteellinen ja laskennallinen laitteisto mahdollistaa konkreettisten suositusten antamisen järjestelmän rakenteen valitsemiseksi ja parametrien arvioimiseksi. Taulukossa on esitetty systeemien stokastisten mallien luokittelu ja menetelmät niiden tutkimiseksi. 1.4 Johtopäätökset ja suositukset perustuvat keskiarvovaikutukseen: tietyn suuren mittaustulosten satunnaiset poikkeamat sen odotusarvosta kumoavat toisensa summattaessa ja suuren mittausmäärän aritmeettinen keskiarvo osoittautuu olevan lähellä odotusarvoa. . Tämän vaikutuksen matemaattiset formulaatiot saadaan suurten lukujen lain ja keskirajalauseen avulla. Suurten lukujen laki sanoo, että jos ovat satunnaismuuttujat, joilla on matemaattinen odotus (keskiarvo) ja varianssi, niin

riittävän suurille N. Tämä osoittaa perustavanlaatuisen mahdollisuuden mielivaltaisen tarkan arvion tekemiseen mittauksista. Keskirajalause, joka tarkentaa (2.32), sanoo, että

missä on standardi normaalijakauman satunnaismuuttuja

Koska suuren jakauma on hyvin tiedossa ja taulukoitu (esim. tiedetään, että relaatiolla (2.33) voidaan laskea estimointivirhe. Olkoon esimerkiksi tarpeen selvittää, millä mittausmäärillä estimointivirhe on heidän matemaattinen odotuksensa todennäköisyydellä 0,95 on pienempi kuin 0,01 , jos kunkin mittauksen varianssi on 0,25 Alkaen (2,33) huomaamme, että epäyhtälön on oltava N> 10000.

Tietenkin formulaatioille (2.32), (2.33) voidaan antaa tiukempi muoto, ja tämä voidaan tehdä helposti käyttämällä todennäköisyyspohjaisen konvergenssin käsitteitä. Vaikeuksia syntyy, kun yritetään tarkistaa näiden tiukkojen väitteiden ehtoja. Esimerkiksi suurten lukujen laissa ja keskusrajalauseessa edellytetään satunnaismuuttujan yksittäisten mittausten (realisaatioiden) riippumattomuutta ja varianssin äärellisyyttä. Jos näitä ehtoja rikotaan, myös johtopäätöksiä voidaan rikota. Esimerkiksi jos kaikki mittaukset ovat samat: silloin, vaikka kaikki muut ehdot täyttyvät, keskiarvon laskeminen ei tule kysymykseen. Toinen esimerkki: suurten lukujen laki on epäoikeudenmukainen, jos satunnaismuuttujat jakautuvat Cauchyn lain mukaan (jakautumatiheydellä, jolla ei ole äärellistä matemaattista odotusta ja varianssia. Mutta sellaista lakia tapahtuu elämässä! merellä (laivalla) ja kytketty päälle satunnaisesti.

Mutta vielä vaikeampaa on itse termin "satunnainen" käytön oikeellisuuden varmistaminen. Mikä on satunnaismuuttuja, satunnainen tapahtuma jne. Usein sanotaan, että tapahtuma MUTTA sattumalta, jos se voi tapahtua kokeen seurauksena (todennäköisyydellä R) tai ei tapahdu (todennäköisyydellä 1- R). Kaikki ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Itse todennäköisyyden käsite voidaan yhdistää kokeiden tuloksiin vain sen esiintymistiheyden perusteella tietyssä koerivissä (sarjassa): , jossa N A on kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma tapahtui, N- kokonaismäärä; kokeiluja. Jos numerot ovat riittävän suuria N lähestyä jotain vakiolukua r A:

tuo tapahtuma MUTTA voidaan kutsua satunnaiseksi ja numeroksi R- sen todennäköisyys. Tässä tapauksessa eri koesarjoissa havaittujen taajuuksien tulee olla lähellä toisiaan (tämä ominaisuus on ns. tilastollinen vakaus tai homogeenisuus). Tämä koskee myös satunnaismuuttujan käsitettä, koska arvo on satunnainen, jos tapahtumat ovat satunnaisia ​​(ja<£<Ь} для любых чисел a,b. Tällaisten tapahtumien esiintymistiheyden pitkien koesarjojen tulisi ryhmittyä joidenkin vakioarvojen ympärille.

Joten stokastisen lähestymistavan soveltaminen edellyttää, että seuraavat vaatimukset täyttyvät:

1) kokeiden massaluonne, ts. riittävän suuri määrä;

2) kokeiden olosuhteiden toistettavuus, mikä perustelee eri kokeiden tulosten vertailua;

3) tilastollinen stabiilisuus.

Stokastista lähestymistapaa ei tietenkään voida soveltaa yksittäisiin kokeisiin: ilmaukset, kuten "todennäköisyys, että huomenna sataa", "Zenith voittaa kupin todennäköisyydellä 0,8" jne. ovat merkityksettömiä. Mutta vaikka suuria ja toistettavia kokeita olisikin, tilastollista vakautta ei välttämättä ole, eikä tämän tarkistaminen ole helppoa. Tunnetut arviot taajuuden poikkeamasta todennäköisyydestä perustuvat keskirajalauseeseen tai Tšebyševin epäyhtälöön ja edellyttävät lisähypoteesia mittausten riippumattomuudesta tai heikosta riippuvuudesta. Riippumattomuusehdon kokeellinen todentaminen on vielä vaikeampaa, koska se vaatii lisäkokeita.

Todennäköisyysteorian soveltamismenetelmät ja käytännön reseptit on kuvattu yksityiskohtaisemmin V.N. Tutubalina, josta käsityksen antavat seuraavat lainaukset:

”On äärimmäisen tärkeää kitkeä harhaluulo, jota joskus esiintyy todennäköisyysteoriaa riittämättömien insinöörien ja luonnontieteilijöiden keskuudessa, että minkä tahansa kokeen tulosta voidaan pitää satunnaismuuttujana. Erityisen vaikeissa tapauksissa tähän liittyy usko normaalijakauman lakiin, ja jos satunnaismuuttujat itse eivät ole normaaleja, niin he uskovat logaritmiensa olevan normaaleja.

”Nykyaikaisten käsitteiden mukaan todennäköisyyslaskentamenetelmien käyttöalue rajoittuu ilmiöihin, joille on ominaista tilastollinen stabiilisuus. Tilastollisen vakauden testi on kuitenkin vaikea ja aina epätäydellinen, lisäksi se antaa usein negatiivisen johtopäätöksen. Tämän seurauksena kokonaisilla tietämysaloilla, esimerkiksi geologiassa, tällaisesta lähestymistavasta on tullut normi, jossa tilastollista vakautta ei tarkasteta ollenkaan, mikä johtaa väistämättä vakaviin virheisiin. Lisäksi johtavien tutkijoidemme harjoittama kybernetiikan propaganda antoi (joissain tapauksissa!) jokseenkin odottamattoman tuloksen: nyt uskotaan, että vain kone (eikä henkilö) pystyy saamaan objektiivisia tieteellisiä tuloksia.

Tällaisissa olosuhteissa jokaisen opettajan velvollisuus on levittää yhä uudelleen sitä vanhaa totuutta, jota Pietari I yritti (epäonnistumatta) inspiroida venäläisiä kauppiaita: että täytyy käydä kauppaa rehellisesti, ilman petosta, koska se on lopulta itselleen kannattavampaa.

Kuinka rakentaa järjestelmämalli, jos ongelmassa on epävarmuutta, mutta stokastinen lähestymistapa ei sovellu? Yksi sumeaan joukkoteoriaan perustuvista vaihtoehtoisista lähestymistavoista on kuvattu lyhyesti alla.

Muistutamme, että relaatio (suhteen ja välillä) on joukon osajoukko. nuo. jokin joukko pareja R=(( x, klo)), missä,. Esimerkiksi toiminnallinen suhde (riippuvuus) voidaan esittää suhteena joukkojen välillä, mukaan lukien parit ( X, klo) mille.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa ehkä R on identiteettisuhde if.

Esimerkit 12-15 taulukossa. 1. 1 keksi vuonna 1988 koulun 292 luokan 86 oppilas M. Koroteev.

Matemaatikko tässä tietysti huomaa, että minimiin (1.4) ei välttämättä saavuteta, ja (1.4):n formulaatiossa rnin on korvattava inf:llä ("infimum" on aseta). Tilanne ei kuitenkaan muutu tästä syystä: formalisointi ei tässä tapauksessa kuvasta ongelman ydintä; suoritettu väärin. Tulevaisuudessa, jotta emme "pelottaisi" insinööriä, käytämme merkintää min, max; pitäen mielessä, että ne tulee tarvittaessa korvata yleisemmillä inf, sup.

Tässä termiä "rakenne" käytetään hieman suppeammassa merkityksessä; 1.1, ja tarkoittaa järjestelmän osajärjestelmien kokoonpanoa ja yhteyksien tyyppejä heidän välillään.

Kaavio on pari ( G, R), missä G=(g 1 ... gn) on äärellinen joukko pisteitä, a - binäärisuhde päällä G. Jos, ja vain jos, niin graafin sanotaan olevan suuntaamaton, muuten suunnattu. Pareja kutsutaan kaariksi (reunaiksi) ja joukon elementeiksi G- graafin kärkipisteet.

Eli algebrallinen tai transsendentaalinen.

Tarkkaan ottaen laskettava joukko on eräänlainen idealisointi, jota ei voida käytännössä toteuttaa teknisten järjestelmien äärellisen koon ja ihmisen havainnon rajojen vuoksi. Tällaiset idealisoidut mallit (esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko N=(1, 2,...)) on järkevää ottaa käyttöön äärellisille, mutta aiemmin rajoittamattomalla (tai tuntemattomalla) määrällä alkioita.

Muodollisesti operaation käsite on erikoistapaus joukkojen elementtien välisen suhteen käsitteelle. Esimerkiksi kahden luvun lisäämistoiminto määrittää 3-paikkaisen (kolmian) suhteen R: numeroiden kolmikko (x, y, z) z) kuuluu suhteeseen R(kirjoitamme (x, y, z)), jos z = x+y.

Kompleksiluku, polynomien argumentti MUTTA(), AT().

Tämä oletus toteutuu usein käytännössä.

Jos arvoa ei tunneta, se tulee korvata kohdassa (2.33) estimaatilla jossa Tässä tapauksessa arvoa ei jaeta normaalisti, vaan Studentin lain mukaan, joka on käytännössä mahdoton erottaa normaalista.

On helppo nähdä, että (2.34) on (2.32):n erikoistapaus otettuna, jos tapahtuma MUTTA tuli j- m kokeilu, muuten. Jossa

Ja tänään voit lisätä "... ja tietojenkäsittelytieteen" (tekijän huomautus).

1. Taloustieteen deterministiset ja probabilistiset matemaattiset mallit. Hyödyt ja haitat

Taloudellisten prosessien tutkimusmenetelmät perustuvat matemaattisten - determinististen ja probabilististen - mallien käyttöön, jotka edustavat tutkittavaa prosessia, järjestelmää tai toiminnan tyyppiä. Tällaiset mallit antavat kvantitatiivisen kuvauksen ongelmasta ja toimivat pohjana johdon päätöksille, kun etsitään parasta vaihtoehtoa. Kuinka järkeviä nämä päätökset ovat, ovatko ne parhaita mahdollista, onko kaikki optimaalisen ratkaisun määräävät tekijät otettu huomioon ja punnittu, mikä on se kriteeri, jonka avulla voit määrittää, että tämä ratkaisu on todella paras - nämä ovat tuotantojohtajille erittäin tärkeitä kysymyksiä, joihin voidaan löytää vastaus operaatioiden tutkimusmenetelmillä [Chesnokov S. V. Sosioekonomisen datan deterministinen analyysi. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Yksi ohjausjärjestelmän muodostamisen periaatteista on kyberneettisten (matemaattisten) mallien menetelmä. Matemaattinen mallintaminen on väliasemassa kokeen ja teorian välissä: systeemistä ei tarvitse rakentaa todellista fyysistä mallia, vaan se korvataan matemaattisella mallilla. Ohjausjärjestelmän muodostumisen erityispiirre on todennäköisyyspohjainen, tilastollinen lähestymistapa ohjausprosesseihin. Kybernetiikassa on hyväksytty, että kaikki ohjausprosessit ovat alttiina satunnaisille, häiritseville vaikutuksille. Tuotantoprosessiin vaikuttaa siis suuri joukko tekijöitä, joita ei voida ottaa deterministisesti huomioon. Siksi katsotaan, että tuotantoprosessiin vaikuttavat satunnaiset signaalit. Tästä johtuen yrityksen toiminnan suunnittelu voi olla vain todennäköisyyttä.

Näistä syistä taloudellisten prosessien matemaattisesta mallintamisesta puhuttaessa tarkoitetaan usein todennäköisyysmalleja.

Kuvataan jokaista matemaattisten mallien tyyppiä.

Deterministisille matemaattisille malleille on ominaista se, että ne kuvaavat tiettyjen tekijöiden suhdetta suoritusindikaattoriin toiminnallisena riippuvuutena, eli deterministisissa malleissa mallin suoritusindikaattori esitetään tekijöiden tulona, ​​osamääränä, algebrallisena summana tai kuten mikä tahansa muu toiminto. Tämän tyyppiset matemaattiset mallit ovat yleisimpiä, koska koska ne ovat melko yksinkertaisia ​​käyttää (verrattuna todennäköisyysmalleihin), sen avulla voit ymmärtää talousprosessin kehityksen päätekijöiden toiminnan logiikan, kvantifioida niiden vaikutuksen, ymmärtää, mitä tekijöitä ja missä suhteessa on mahdollista ja tarkoituksenmukaista muuttaa tuotannon tehokkuuden lisäämiseksi.

Todennäköisyyspohjaiset matemaattiset mallit eroavat olennaisesti deterministisista siinä, että todennäköisyysmalleissa tekijöiden ja tuloksena olevan ominaisuuden välinen suhde on todennäköisyys (stokastinen): funktionaalisella riippuvuudella (deterministiset mallit) tekijöiden sama tila vastaa tuloksena olevan ominaisuuden ainoaa tilaa. ominaisuus, kun taas todennäköisyysmalleissa yksi ja sama tekijöiden tila vastaa tuloksena olevan attribuutin kokonaista tiloja [Tolstova Yu. N. Taloudellisten prosessien matemaattisen analyysin logiikka. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Determinististen mallien etuna on niiden helppokäyttöisyys. Suurin haittapuoli on todellisuuden alhainen riittävyys, koska kuten edellä todettiin, useimmat taloudelliset prosessit ovat luonteeltaan todennäköisyyksiä.

Todennäköisyysmallien etuna on, että ne ovat pääsääntöisesti yhdenmukaisempia todellisuuden kanssa (adekvaattisempia) kuin deterministiset. Todennäköisyysmallien haittana on kuitenkin niiden soveltamisen monimutkaisuus ja työläs, joten monissa tilanteissa riittää rajoittuminen deterministisiin malleihin.

Ensimmäistä kertaa lineaarisen ohjelmointiongelman muotoilu ehdotuksena optimaalisen kuljetussuunnitelman laatimiseksi; Kokonaiskilometrimäärän minimoiminen annettiin Neuvostoliiton taloustieteilijä A. N. Tolstoin teoksessa vuonna 1930.

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelmien systemaattista tutkimusta ja yleisten menetelmien kehittämistä niiden ratkaisemiseksi kehitettiin edelleen venäläisten matemaatikoiden L. V. Kantorovichin, V. S. Nemchinovin ja muiden matemaatikoiden ja taloustieteilijöiden teoksissa. Myös monet ulkomaisten ja ennen kaikkea amerikkalaisten tutkijoiden teokset ovat omistettu lineaarisen ohjelmoinnin menetelmille.

Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävänä on maksimoida (minimoida) lineaarinen funktio.

, missä

rajoitusten alla

ja kaikki

Kommentti. Eriarvoisuudella voi olla myös päinvastainen merkitys. Kertomalla vastaavat epäyhtälöt (-1) saadaan aina (*) muotoinen järjestelmä.

Jos rajoitusjärjestelmän ja tavoitefunktion muuttujien lukumäärä tehtävän matemaattisessa mallissa on 2, niin se voidaan ratkaista graafisesti.

Meidän on siis maksimoitava funktio

tyydyttäväksi rajoitusjärjestelmäksi.

Kääntykäämme yhteen rajoitusjärjestelmän epätasa-arvoon.

Geometrialta katsottuna kaikkien tämän epäyhtälön täyttävien pisteiden on joko sijaittava suoralla

, tai kuuluvat johonkin puolitasoista, joihin tämän suoran taso on jaettu. Saadaksesi selville, sinun on tarkistettava, mikä niistä sisältää pisteen ().

Huomautus 2. Jos

, on helpompi ottaa piste (0;0).

Edellytykset ei-negatiivisuudelle

myös määritellä puolitasot, vastaavasti, rajaviivat . Oletetaan, että epäyhtälöjärjestelmä on johdonmukainen, silloin puolitasot, jotka leikkaavat, muodostavat yhteisen osan, joka on kupera joukko ja kokoelma pisteitä, joiden koordinaatit ovat ratkaisu tähän järjestelmään - tämä on joukko toteutettavissa olevia ratkaisuja . Näiden pisteiden (ratkaisujen) joukkoa kutsutaan ratkaisupolygoniksi. Se voi olla piste, säde, monikulmio tai rajoittamaton monikulmioalue. Siten lineaarisen ohjelmoinnin tehtävänä on löytää ratkaisupolygonista sellainen piste, jossa tavoitefunktio saa suurimman (minimi)arvon. Tämä piste on olemassa, kun ratkaisupolygoni ei ole tyhjä ja siinä oleva tavoitefunktio on rajoitettu ylhäältä (alhaalta). Näissä olosuhteissa tavoitefunktio saa suurimman arvon yhdessä päätöspolygonin kärjestä. Tämän kärjen määrittämiseksi rakennamme suoran (jossa h on jokin vakio). Useimmiten suoraan otettuna . On vielä selvitettävä tämän suoran liikkeen suunta. Tämä suunta määräytyy tavoitefunktion gradientin (anti-gradientin) mukaan. joka pisteessä kohtisuorassa suoraa vastaan , joten f:n arvo kasvaa, kun suora liikkuu gradientin suuntaan (pienenee antigradientin suuntaan). Voit tehdä tämän yhdensuuntaisesti linjan kanssa piirrä suoria viivoja, jotka liikkuvat gradientin suuntaan (anti-gradientti).

Jatkamme näitä rakenteita, kunnes viiva kulkee ratkaisupolygonin viimeisen kärjen läpi. Tämä piste määrittää optimaalisen arvon.

Joten ratkaisun löytäminen lineaariseen ohjelmointiongelmaan geometrisella menetelmällä sisältää seuraavat vaiheet:

Muodostetaan suoria, joiden yhtälöt saadaan korvaamalla rajoitusten eriarvoisuuksien merkit tarkan yhtäläisyyden merkeillä.

Etsi kunkin tehtävän rajoitteen määrittelemät puolitasot.

Etsi ratkaisupolygoni.

Rakenna vektori

.

Rakenna suora viiva

.

Rakenna yhdensuuntaisia ​​viivoja

gradientin tai antigradientin suuntaan, jonka tuloksena löydetään piste, jossa funktio saa maksimi- tai minimiarvon, tai todetaan funktion rajattomuus ylhäältä (alhaalta) sallitulla joukolla.

Määritetään funktion maksimi- (minimi)pisteen koordinaatit ja lasketaan tavoitefunktion arvo tässä pisteessä.

Järkevän ravinnon ongelma (ruokavalion ongelma)

Ongelman muotoilu

Tila tuottaa lihotuskarjaa kaupallisiin tarkoituksiin. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että tuotteita on vain neljä: P1, P2, P3, P4; kunkin tuotteen yksikköhinta on C1, C2, C3 ja C4. Näistä tuotteista on tehtävä ruokavalio, jonka tulisi sisältää: proteiinit - vähintään b1 yksikköä; hiilihydraatit - vähintään b2 yksikköä; rasva - vähintään b3 yksikköä. Tuotteille P1, P2, P3, P4 proteiinien, hiilihydraattien ja rasvojen pitoisuus (yksikköinä tuoteyksikköä kohti) tunnetaan ja ilmoitetaan taulukossa, jossa aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - tiettyjä lukuja ensimmäinen indeksi osoittaa tuotteen numeron, toinen - elementin numero (proteiinit, hiilihydraatit, rasvat).

Taloustieteen ja ohjelmoinnin matemaattiset mallit

1. Taloustieteen deterministiset ja probabilistiset matemaattiset mallit. Hyödyt ja haitat

Taloudellisten prosessien tutkimusmenetelmät perustuvat matemaattisten - determinististen ja probabilististen - mallien käyttöön, jotka edustavat tutkittavaa prosessia, järjestelmää tai toiminnan tyyppiä. Tällaiset mallit antavat kvantitatiivisen kuvauksen ongelmasta ja toimivat pohjana johdon päätöksille, kun etsitään parasta vaihtoehtoa. Kuinka järkeviä nämä päätökset ovat, ovatko ne parhaita mahdollista, onko kaikki optimaalisen ratkaisun määräävät tekijät otettu huomioon ja punnittu, mikä on se kriteeri, jonka avulla voit määrittää, että tämä ratkaisu on todella paras - nämä ovat tuotantojohtajille erittäin tärkeitä kysymyksiä, joihin voidaan löytää vastaus operaatioiden tutkimusmenetelmillä [Chesnokov S. V. Sosioekonomisen datan deterministinen analyysi. - M.: Nauka, 1982, s. 45].

Yksi ohjausjärjestelmän muodostamisen periaatteista on kyberneettisten (matemaattisten) mallien menetelmä. Matemaattinen mallintaminen on väliasemassa kokeen ja teorian välissä: systeemistä ei tarvitse rakentaa todellista fyysistä mallia, vaan se korvataan matemaattisella mallilla. Ohjausjärjestelmän muodostumisen erityispiirre on todennäköisyyspohjainen, tilastollinen lähestymistapa ohjausprosesseihin. Kybernetiikassa on hyväksytty, että kaikki ohjausprosessit ovat alttiina satunnaisille, häiritseville vaikutuksille. Tuotantoprosessiin vaikuttaa siis suuri joukko tekijöitä, joita ei voida ottaa deterministisesti huomioon. Siksi katsotaan, että tuotantoprosessiin vaikuttavat satunnaiset signaalit. Tästä johtuen yrityksen toiminnan suunnittelu voi olla vain todennäköisyyttä.

Näistä syistä taloudellisten prosessien matemaattisesta mallintamisesta puhuttaessa tarkoitetaan usein todennäköisyysmalleja.

Kuvataan jokaista matemaattisten mallien tyyppiä.

Deterministisille matemaattisille malleille on ominaista se, että ne kuvaavat tiettyjen tekijöiden suhdetta suoritusindikaattoriin toiminnallisena riippuvuutena, eli deterministisissa malleissa mallin suoritusindikaattori esitetään tekijöiden tulona, ​​osamääränä, algebrallisena summana tai kuten mikä tahansa muu toiminto. Tämän tyyppiset matemaattiset mallit ovat yleisimpiä, koska koska ne ovat melko yksinkertaisia ​​käyttää (verrattuna todennäköisyysmalleihin), sen avulla voit ymmärtää talousprosessin kehityksen päätekijöiden toiminnan logiikan, kvantifioida niiden vaikutuksen, ymmärtää, mitä tekijöitä ja missä suhteessa on mahdollista ja tarkoituksenmukaista muuttaa tuotannon tehokkuuden lisäämiseksi.

Todennäköisyyspohjaiset matemaattiset mallit eroavat olennaisesti deterministisista siinä, että todennäköisyysmalleissa tekijöiden ja tuloksena olevan ominaisuuden välinen suhde on todennäköisyys (stokastinen): funktionaalisella riippuvuudella (deterministiset mallit) tekijöiden sama tila vastaa tuloksena olevan ominaisuuden ainoaa tilaa. ominaisuus, kun taas todennäköisyysmalleissa yksi ja sama tekijöiden tila vastaa tuloksena olevan attribuutin kokonaista tiloja [Tolstova Yu. N. Taloudellisten prosessien matemaattisen analyysin logiikka. - M.: Nauka, 2001, s. 32-33].

Determinististen mallien etuna on niiden helppokäyttöisyys. Suurin haittapuoli on todellisuuden alhainen riittävyys, koska kuten edellä todettiin, useimmat taloudelliset prosessit ovat luonteeltaan todennäköisyyksiä.

Todennäköisyysmallien etuna on, että ne ovat pääsääntöisesti yhdenmukaisempia todellisuuden kanssa (adekvaattisempia) kuin deterministiset. Todennäköisyysmallien haittana on kuitenkin niiden soveltamisen monimutkaisuus ja työläs, joten monissa tilanteissa riittää rajoittuminen deterministisiin malleihin.

2. Lineaarisen ohjelmoinnin ongelman selvitys ruoka-annosongelman esimerkissä

Ensimmäistä kertaa lineaarisen ohjelmointiongelman muotoilu ehdotuksena optimaalisen kuljetussuunnitelman laatimiseksi; Kokonaiskilometrimäärän minimoiminen annettiin Neuvostoliiton taloustieteilijä A. N. Tolstoin teoksessa vuonna 1930.

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelmien systemaattista tutkimusta ja yleisten menetelmien kehittämistä niiden ratkaisemiseksi kehitettiin edelleen venäläisten matemaatikoiden L. V. Kantorovichin, V. S. Nemchinovin ja muiden matemaatikoiden ja taloustieteilijöiden teoksissa. Myös monet ulkomaisten ja ennen kaikkea amerikkalaisten tutkijoiden teokset ovat omistettu lineaarisen ohjelmoinnin menetelmille.

Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävänä on maksimoida (minimoida) lineaarinen funktio.

rajoitusten alla

ja kaikki

Kommentti. Eriarvoisuudella voi olla myös päinvastainen merkitys. Kertomalla vastaavat epäyhtälöt (-1) saadaan aina (*) muotoinen järjestelmä.

Jos rajoitusjärjestelmän ja tavoitefunktion muuttujien lukumäärä tehtävän matemaattisessa mallissa on 2, niin se voidaan ratkaista graafisesti.

Joten on välttämätöntä maksimoida funktio tyydyttäväksi rajoitusjärjestelmäksi.

Kääntykäämme yhteen rajoitusjärjestelmän epätasa-arvoon.

Geometrialta katsottuna kaikkien tämän epäyhtälön täyttävien pisteiden tulee joko sijaita suoralla tai kuulua johonkin niistä puolitasoista, joihin tämän suoran taso on jaettu. Saadaksesi selville, sinun on tarkistettava, mikä niistä sisältää pisteen ().

Huomautus 2. Jos , niin on helpompi ottaa piste (0;0).

Ei-negatiivisuusehdot määrittelevät myös puolitasot, vastaavasti, rajaviivojen kanssa. Oletetaan, että epäyhtälöjärjestelmä on johdonmukainen, silloin puolitasot, jotka leikkaavat, muodostavat yhteisen osan, joka on kupera joukko ja kokoelma pisteitä, joiden koordinaatit ovat ratkaisu tähän järjestelmään - tämä on joukko toteutettavissa olevia ratkaisuja . Näiden pisteiden (ratkaisujen) joukkoa kutsutaan ratkaisupolygoniksi. Se voi olla piste, säde, monikulmio tai rajoittamaton monikulmioalue. Siten lineaarisen ohjelmoinnin tehtävänä on löytää ratkaisupolygonista sellainen piste, jossa tavoitefunktio saa suurimman (minimi)arvon. Tämä piste on olemassa, kun ratkaisupolygoni ei ole tyhjä ja siinä oleva tavoitefunktio on rajoitettu ylhäältä (alhaalta). Näissä olosuhteissa tavoitefunktio saa suurimman arvon yhdessä päätöspolygonin kärjestä. Tämän kärjen määrittämiseksi rakennamme suoran (missä h on jokin vakio). Useimmiten otetaan suora viiva. On vielä selvitettävä tämän suoran liikkeen suunta. Tämä suunta määräytyy tavoitefunktion gradientin (anti-gradientin) mukaan.

Jokaisessa pisteessä oleva vektori on kohtisuorassa suoraa vastaan, joten f:n arvo kasvaa, kun viiva liikkuu gradientin suuntaan (lasku antigradientin suuntaan). Tätä varten piirrämme suoran linjan suuntaisia ​​suoria viivoja, jotka liikkuvat gradientin suuntaan (anti-gradientti).

Jatkamme näitä rakenteita, kunnes viiva kulkee ratkaisupolygonin viimeisen kärjen läpi. Tämä piste määrittää optimaalisen arvon.

Joten ratkaisun löytäminen lineaariseen ohjelmointiongelmaan geometrisella menetelmällä sisältää seuraavat vaiheet:

Muodostetaan suoria, joiden yhtälöt saadaan korvaamalla rajoitusten eriarvoisuuksien merkit tarkan yhtäläisyyden merkeillä.

Etsi kunkin tehtävän rajoitteen määrittelemät puolitasot.

Etsi ratkaisupolygoni.

Rakenna vektori.

Rakenna suora viiva.

Rinnakkaisviivat rakennetaan gradientin tai antigradientin suuntaan, minkä seurauksena ne löytävät pisteen, jossa funktio saa suurimman tai minimiarvon, tai asettavat funktion ylhäältä (alhaalta) rajoittamattomaksi. hyväksyttävä sarja.

Määritetään funktion maksimi- (minimi)pisteen koordinaatit ja lasketaan tavoitefunktion arvo tässä pisteessä.

Järkevän ravinnon ongelma (ruokavalion ongelma)

Ongelman muotoilu

Tila tuottaa lihotuskarjaa kaupallisiin tarkoituksiin. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että tuotteita on vain neljä: P1, P2, P3, P4; kunkin tuotteen yksikköhinta on C1, C2, C3 ja C4. Näistä tuotteista on tehtävä ruokavalio, jonka tulisi sisältää: proteiinit - vähintään b1 yksikköä; hiilihydraatit - vähintään b2 yksikköä; rasva - vähintään b3 yksikköä. Tuotteille P1, P2, P3, P4 proteiinien, hiilihydraattien ja rasvojen pitoisuus (yksikköinä tuoteyksikköä kohti) tunnetaan ja ilmoitetaan taulukossa, jossa aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - tiettyjä lukuja ensimmäinen indeksi osoittaa tuotteen numeron, toinen - elementin numero (proteiinit, hiilihydraatit, rasvat).

23. tammikuuta 2017

Stokastinen malli kuvaa tilannetta, jossa on epävarmuutta. Toisin sanoen prosessille on ominaista jonkinasteinen satunnaisuus. Adjektiivi "stokastinen" itse tulee kreikan sanasta "arvaa". Koska epävarmuus on arjen keskeinen ominaisuus, tällainen malli voi kuvata mitä tahansa.

Kuitenkin joka kerta, kun käytämme sitä, tulos on erilainen. Siksi deterministisiä malleja käytetään useammin. Vaikka ne eivät ole niin lähellä todellista tilannetta, ne antavat aina saman tuloksen ja helpottavat tilanteen ymmärtämistä, yksinkertaistavat sitä ottamalla käyttöön joukon matemaattisia yhtälöitä.

Pääpiirteet

Stokastinen malli sisältää aina yhden tai useamman satunnaismuuttujan. Hän pyrkii heijastamaan todellista elämää sen kaikissa ilmenemismuodoissa. Toisin kuin deterministinen malli, stokastinen ei pyri yksinkertaistamaan kaikkea ja pelkistämään sitä tunnettuihin arvoihin. Siksi epävarmuus on sen tärkein ominaisuus. Stokastiset mallit sopivat kuvaamaan mitä tahansa, mutta niillä kaikilla on seuraavat yhteiset piirteet:

• Mikä tahansa stokastinen malli heijastaa kaikkia sen ongelman puolia, jota varten se luotiin.
• Jokaisen ilmiön lopputulos on epävarma. Siksi malli sisältää todennäköisyydet. Kokonaistulosten oikeellisuus riippuu niiden laskennan tarkkuudesta.
• Näitä todennäköisyyksiä voidaan käyttää ennustamaan tai kuvaamaan itse prosesseja.

Deterministiset ja stokastiset mallit

Joillekin elämä näyttää satunnaisten tapahtumien sarjana, toisille - prosesseina, joissa syy määrittää seurauksen. Itse asiassa sille on ominaista epävarmuus, mutta ei aina eikä kaikessa. Siksi joskus on vaikea löytää selkeitä eroja stokastisten ja determinististen mallien välillä. Todennäköisyydet ovat melko subjektiivisia.

Harkitse esimerkiksi kolikonheittotilannetta. Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​​​että on 50% mahdollisuus saada häntä. Siksi on käytettävä determinististä mallia. Todellisuudessa kuitenkin käy ilmi, että paljon riippuu pelaajien käsien näppäryydestä ja kolikon tasapainotuksen täydellisyydestä. Tämä tarkoittaa, että on käytettävä stokastista mallia. Aina on parametreja, joita emme tiedä. Tosielämässä syy määrää aina seurauksen, mutta on myös tiettyä epävarmuutta. Valinta determinististen ja stokastisten mallien välillä riippuu siitä, mistä olemme valmiita luopumaan - analyysin yksinkertaisuudesta vai realismista.

Liittyvät videot

Kaaosteoriassa

Viime aikoina käsitys siitä, mitä mallia kutsutaan stokastiseksi, on hämärtynyt entisestään. Tämä johtuu niin kutsutun kaaosteorian kehityksestä. Se kuvaa deterministisiä malleja, jotka voivat antaa erilaisia ​​tuloksia pienellä muutoksella alkuparametreissa. Tämä on kuin johdanto epävarmuuden laskemiseen. Monet tutkijat ovat jopa myöntäneet, että tämä on jo stokastinen malli.

Lothar Breuer selitti kaiken tyylikkäästi runollisten kuvien avulla. Hän kirjoitti: "Vuoripuro, sykkivä sydän, isorokkoepidemia, nousevan savun pylväs - kaikki tämä on esimerkki dynaamisesta ilmiöstä, jolle, kuten näyttää, joskus on ominaista sattuma. Todellisuudessa tällaiset prosessit ovat aina tietyn järjestyksen alaisia, jonka tiedemiehet ja insinöörit ovat vasta alkaneet ymmärtää. Tämä on niin kutsuttu deterministinen kaaos." Uusi teoria kuulostaa erittäin uskottavalta, minkä vuoksi monet nykyajan tiedemiehet ovat sen kannattajia. Se on kuitenkin vielä vähän kehittynyt, ja sen soveltaminen tilastollisiin laskelmiin on melko vaikeaa. Siksi käytetään usein stokastisia tai deterministisiä malleja.

Rakennus

Stokastinen matemaattinen malli alkaa alkeistulosten tilan valinnalla. Joten tilastoissa he kutsuvat luetteloa tutkittavan prosessin tai tapahtuman mahdollisista tuloksista. Sitten tutkija määrittää kunkin perustuloksen todennäköisyyden. Yleensä tämä tehdään tietyn tekniikan perusteella.

Todennäköisyydet ovat kuitenkin edelleen melko subjektiivinen parametri. Tämän jälkeen tutkija määrittää, mitkä tapahtumat ovat mielenkiintoisimpia ongelman ratkaisemiseksi. Sen jälkeen se yksinkertaisesti määrittää niiden todennäköisyyden.

Esimerkki

Harkitse yksinkertaisimman stokastisen mallin rakentamisprosessia. Oletetaan, että heitämme noppaa. Jos "kuusi" tai "yksi" putoaa, voittomme on kymmenen dollaria. Tässä tapauksessa stokastisen mallin rakennusprosessi näyttää tältä:

• Määritellään alkeistulosten avaruus. Nopan on kuusi sivua, joten yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi ja kuusi voivat nousta.
• Kunkin lopputuloksen todennäköisyys on yhtä suuri kuin 1/6 riippumatta siitä, kuinka paljon heitämme noppaa.
• Nyt meidän on määritettävä meitä kiinnostavat tulokset. Tämä on kasvojen menetys numerolla "kuusi" tai "yksi".
• Lopuksi voimme määrittää meitä kiinnostavan tapahtuman todennäköisyyden. Se on 1/3. Summaamme molempien meitä kiinnostavien alkeistapahtumien todennäköisyydet: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Konsepti ja tulos

Stokastista simulaatiota käytetään usein rahapeleissä. Mutta se on välttämätön myös talousennusteissa, koska sen avulla voit ymmärtää tilannetta syvemmin kuin deterministiset. Taloustieteen stokastisia malleja käytetään usein investointipäätöksissä. Niiden avulla voit tehdä oletuksia tiettyihin omaisuuseriin tai niiden ryhmiin tehtyjen sijoitusten kannattavuudesta.

Mallintaminen tehostaa taloussuunnittelua. Sen avulla sijoittajat ja kauppiaat optimoivat varojensa jakautumisen. Stokastisen mallinnuksen käyttämisestä on aina etuja pitkällä aikavälillä. Joillakin toimialoilla sen soveltamatta jättäminen tai kyvyttömyys saattaa johtaa jopa yrityksen konkurssiin. Tämä johtuu siitä, että tosielämässä uusia tärkeitä parametreja ilmaantuu päivittäin, ja jos niitä ei oteta huomioon, tällä voi olla tuhoisia seurauksia.