Oppitunti 30 (algebra ja analyysin alku, luokka 11)

Oppitunnin aihe: Aste rationaalisen eksponentin kanssa.

Oppitunnin tavoite: 1 . Laajenna tutkinnon käsitettä, anna tutkinnon käsite rationaalisella indikaattorilla; opettaa kääntämään tutkinnon rationaalisella indikaattorilla juureksi ja päinvastoin; laske potenssit rationaalisen eksponentin avulla.

2. Muistin, ajattelun kehittäminen.

3. Toiminnan muodostuminen.

"Anna joku yrittää yliviivata

matematiikan tutkinnosta ja hän näkee

Et pääse pitkälle ilman niitä." M. V. Lomonosov

Tuntien aikana.

I. Oppitunnin aiheen ja tarkoituksen tiedottaminen.

II. Käsitellyn materiaalin toisto ja yhdistäminen.

1. Ratkaisemattomien kotiesimerkkien analyysi.

2. Itsenäisen työn hallinta:

Vaihtoehto 1.

1. Ratkaise yhtälö: √(2x - 1) = 3x - 12

2. Ratkaise epäyhtälö: √(3x - 2) ≥ 4 - x

Vaihtoehto 2.

1. Ratkaise yhtälö: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)

2. Ratkaise epäyhtälö: √(3x + 1) ≥ x - 1

III. Uuden materiaalin oppiminen.

1 . Muista numerokäsitteen laajennus: N є Z є Q є R.

Tämä on parhaiten esitetty alla olevassa kaaviossa:

Luonnollinen (N)

Nolla

Ei-negatiiviset luvut

Negatiiviset luvut

Murtoluvut

Kokonaisluvut (Z)

Irrationaalinen

Rational (Q)

Oikeita lukuja

2. Alemmilla luokilla määriteltiin kokonaislukueksponentin sisältävän luvun asteen käsite. a) Hae asteen määritelmä a) luonnollisella, b) negatiivisella kokonaisluvulla, c) nollaeksponentilla.Korosta, että lauseke a n on järkevä kaikille kokonaisluvuille n ja kaikille a:n arvoille paitsi a=0 ja n≤0.

b) Listaa asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponentilla.

3. suullinen työ.

yksi). Laske: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Kirjoita negatiiviseksi eksponenttiksi:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9.

3).Vertaa yksikköön: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Nyt sinun on ymmärrettävä ilmaisujen merkitys 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 jne. Tätä varten on tarpeen yleistää asteen käsite siten, että kaikki luetellut asteiden ominaisuudet täyttyvät. Harkitse tasa-arvoa (a m/n) n = a m . Sitten n:nnen juuren määritelmän perusteella on järkevää olettaa, että a m/n on a:n n:s juuri m . Tutkinnon määritelmä rationaalisen eksponentin kanssa on annettu.

5. Harkitse oppikirjan esimerkkejä 1 ja 2.

6. Tehdään muutamia huomioita, jotka liittyvät rationaalisen eksponentin tutkinnon käsitteeseen.

Huomautus 1 : Jokaiselle a>0 ja rationaaliluvulle r, luku a r>0

Huomautus 2 : Murtolukujen perusominaisuudella rationaalinen luku m/n voidaan kirjoittaa mk/nk mk/nk mille tahansa luonnolliselle luvulle k. Sittentutkinnon arvo ei riipu rationaaliluvun kirjoitusmuodosta, koska a mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n

Huomautus 3: Kun Selitetään tämä esimerkillä. Harkitse (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Toisaalta: 1/3 = 2/6 ja sitten (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Saamme ristiriidan.

Matematiikan opettaja: Nashkenova A.N. Maybalykin lukio Oppitunnin pääpiirteet aiheesta "Tutkinto rationaalisella indikaattorilla"

(algebra, luokka 11)

Oppitunnin tavoitteet:

Laajentaa ja syventää opiskelijoiden tietämystä lukuasteesta; opiskelijoiden perehdyttäminen tutkinnon käsitteeseen rationaalisella indikaattorilla ja niiden ominaisuuksilla;

Kehitä tietoja, taitoja ja kykyjä laskea lausekkeiden arvot ominaisuuksien avulla;

Jatka työskentelyä analysointi-, vertailu-, pääasiallisen korostamisen, käsitteiden määrittelemisen ja selittämisen taitojen kehittämiseksi;

Muodostaa kommunikatiivisia kykyjä, kykyä argumentoida teoistaan, kasvattaa itsenäisyyttä, ahkeruutta.

Laitteet: oppikirja, monisteet, kannettava tietokone,esitysmateriaalia tehopiste ;

Oppitunnin tyyppi: opiskelutunti ja uuden tiedon ensisijainen lujittaminen.

Tuntisuunnitelma:

1.Org. hetki. - 1 minuutti.

2. Oppitunnin motivaatio.2 minuuttia

3. Perustiedon toteuttaminen. - 5 minuuttia.

4. Uuden materiaalin opiskelu. - 15 minuuttia.

5. Liikuntaminuutti - 1 min.

6. Tutkitun materiaalin primäärikonsolidointi - 10 min

7. Itsenäinen työskentely. - 7 min.

8. Kotitehtävät. - 2 minuuttia.

9. Heijastus - 1 min.

10. Oppitunnin tulos. - 1 minuutti.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki

Tunnelma oppitunnille.

Haluan tehdä töitä, haluan

tehdä työtä,
Toivotan sinulle menestystä tänään.
Loppujen lopuksi kaikki tämä on tulevaisuudessa sinua varten

tulla hyvään tarpeeseen.
Ja se on sinulle helpompaa tulevaisuudessa

opiskella(Dia 1)

2. Oppitunnin motivaatio

Potensseiksi nostamisen ja juuren erottamisen operaatiot, kuten neljä aritmeettista operaatiota, ilmenivät käytännön tarpeesta. Joten neliön pinta-alan laskentatehtävän ohella sivua joka tunnetaan, oli käänteinen ongelma: "Kuinka pituinen neliön sivun tulisi olla, jotta sen pinta-ala olisi yhtä suuri kuinsisään. 1300-1400-luvuilla Länsi-Eurooppaan ilmestyi pankkeja, jotka antoivat korolla rahaa ruhtinaille ja kauppiaille, rahoittivat pitkiä matkoja ja valloituksia korkeilla koroilla. Koronkoron laskemisen helpottamiseksi olemme laatineet taulukoita, joista saat heti selville, kuinka paljon sinun on maksettavaP vuotta, jos summa on lainattua päälläR % vuodessa. Maksettu summa ilmaistaan ​​kaavalla: s = a(1 + ) P .Joskus rahaa ei lainattu kokonaislukumääräksi vuosiksi, vaan esimerkiksi 2 vuodeksi 6 kuukaudeksi. Jos 2,5 vuoden kuluttua määräa hakea aq , seuraavien 2,5 vuoden aikana se kasvaa toisellaq kertaa ja tulee tasaiseksiaq 2 . 5 vuoden jälkeen:a=(1 + 5 , Siksi q 2 = (1 + 5 ja tarkoittaa q =

(Dia 2) .

Siten syntyi ajatus tutkinnosta, jossa on murto-osollinen eksponentti.

3. Perustiedon toteuttaminen.

Kysymyksiä:

1. Mitä tietue tarkoittaa;a P

2. Mikä on a ?

3. Mikä on P ?

4. a -P =?

5. Kirjoita muistikirjaasi asteen ominaisuudet kokonaislukuosoittimella.

6. Mitkä luvut ovat luonnollisia, kokonaisia, rationaalisia? Piirrä ne käyttämällä Eulerin ympyröitä.(Dia 3)

Vastaukset: 1. Aste kokonaislukueksponentilla

2. a- pohja

3. P- eksponentti

4. a -P =

5. Asteominaisuudet kokonaislukueksponentilla:

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( klo a ei yhtä kuin nolla );

(a m ) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (at b ei ole yhtä kuin nolla);

a 1 = a;

a 0 = 1 (kun a ei ole yhtä kuin nolla);

Nämä ominaisuudet ovat voimassa kaikille luvuille a, b ja kaikille kokonaisluvuille m ja n.

6.1,2,3, …- positiiviset luvut - joukko luonnollisia lukuja -N

0,-1,-2,-3,.. luku O ja negatiiviset luvut - joukko kokonaislukuja -Z

K , - murtoluvut (negatiiviset ja positiiviset) - rationaalilukujen joukko -K Z

N

Eulerin ympyrät (dia 4)

4. Uuden materiaalin oppiminen.

Anna olla. a - ei-negatiivinen luku ja haluat nostaa sen murto-osaan . Tiedätkö yhtälöna m ) n = a m n (dia 4) , eli sääntö vallan nostamisesta valtaan. Oletetaan, että yllä olevassa yhtälössä m = , niin saamme: (a ) P = a =a (dia 4)

Tästä voidaan päätellä, että ona juuri P - aste numerostaa , eli a = . tästä seuraa, että (a P ) = P =a (dia 4).

Siten a =(a ) m =(a m ) = m . ( dia 4 ).

Näin ollen seuraava tasa-arvo pätee:a = m (dia 4)

Määritelmä: ei-negatiivisen luvun aste a rationaalisen kanssa , missä - redusoitumaton murtoluku, kutsutaan luvun n:nnen asteen juuren arvoa a t .

Siis määritelmän mukaan a = m (dia 5)

Katsotaanpa esimerkkiä 1 : Kirjoita eksponentti, jonka n:nneksi juureksi on rationaalinen eksponentti:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (dia 6) Päätös: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( dia 7) Kerto-, jakolasku-, eksponentio- ja juurierotus voidaan suorittaa potenssille, jolla on rationaalinen eksponentti, samojen sääntöjen mukaisesti kuin potenssit, joilla on kokonaislukueksponentit ja potenssit, joilla on sama kanta:a = a + a = a - (a ) = a * (a*b) = a * sisään ) = a / sisään missä p, q ovat luonnollisia lukuja, m, p ovat kokonaislukuja. (dia 8) 5. Liikuntaminuutti

Käännä katseesi oikealle

Käännä katseesi vasemmalle

Katsoi kattoon

Katsoimme kaikki eteenpäin.

Yksi - mutka - irrota,

Kaksi ─ taivuttaa - venyttää

Kolme - kolmen taputuksen käsissä,

Kolme pään nyökkää.

Viisi ja kuusi istuvat hiljaa.

Ja taas tien päällä! (dia 9)

6. Tutkitun aineiston ensisijainen konsolidointi:

Sivu 51, nro 90, nro 91 - täytä muistivihkoon itse,

lautasekillä

7. Itsenäinen työskentely

Vaihtoehto 1

(Dia 10)

Vaihtoehto 1

(Dia 11)

Suorita itsenäistä työtä vertaisarvioinnin kanssa.

Vastaukset:

Vaihtoehto 1

(Dia 12)

Joten tänään oppitunnilla tutustuimme rationaalisen eksponentin tutkinnon käsitteeseen ja opimme kirjoittamaan sen juurien muodossa, soveltamaan asteiden perusominaisuuksia numeeristen lausekkeiden arvojen löytämisessä.8. Kotitehtävät: nro 92, nro 93 Kotitehtävien tiedot

9. Heijastus

(Dia 13)

10. Oppitunnin yhteenveto:

Mitä samankaltaisuutta ja eroa on kokonaislukuindikaattorilla varustetun asteen ja murto-osoittimen asteen välillä? (samankaltaisuus: kaikki kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuudet pätevät myös rationaalisen eksponentin kanssa;

ero: astetta)

Listaa asteominaisuudet rationaalisen eksponentin kanssa

Oppitunti suoritettu tänään
Et löydä ystäviä.
Mutta kaikkien pitäisi tietää:
Tietoa, sinnikkyyttä, työtä
Vie eteenpäin elämässä.
Kiitos oppitunnista! (dia 14)

Lausekkeet, lausekkeiden muuntaminen

Voimalausekkeet (lausekkeet potenssien kanssa) ja niiden muunnos

Tässä artikkelissa puhumme ilmaisujen muuntamisesta voimilla. Ensinnäkin keskitymme muunnoksiin, jotka suoritetaan kaikenlaisilla lausekkeilla, mukaan lukien teholausekkeet, kuten avaavat sulut, vähentävät samanlaisia ​​termejä. Ja sitten analysoimme muunnoksia, jotka ovat ominaisia ​​nimenomaan astelausekkeille: työskentely kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämällä asteiden ominaisuuksia jne.

Sivulla navigointi.

Mitä ovat tehoilmaisut?

Termiä "voimailmaisut" ei käytännössä löydy matematiikan koulukirjoista, mutta se esiintyy usein tehtäväkokoelmissa, jotka on erityisesti suunniteltu valmistautumaan esimerkiksi yhtenäiseen valtionkokeeseen ja OGE:hen. Kun on analysoitu tehtäviä, joissa vaaditaan mitä tahansa toimintoja teholausekkeilla, käy selväksi, että teholausekkeet ymmärretään lausekkeina, jotka sisältävät asteita merkinnöissään. Siksi voit itsellesi ottaa seuraavan määritelmän:

Määritelmä.

Voimailmaisuja ovat ilmaisuja, jotka sisältävät voimia.

Tuodaan esimerkkejä voimailmaisuista. Lisäksi esittelemme ne sen mukaan, kuinka näkemykset kehittyvät luonnollisen indikaattorin tutkinnosta reaaliindikaattoriin.

Kuten tiedät, ensin tutustutaan luonnollisen eksponentin luvun asteeseen, tässä vaiheessa ensimmäiset yksinkertaisimmat potenssilausekkeet tyypistä 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Hieman myöhemmin tutkitaan kokonaislukueksponentin potenssia, mikä johtaa negatiivisten kokonaislukupotenssien potenssilausekkeiden esiintymiseen, kuten seuraava: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

Vanhemmilla luokilla palataan taas tutkintojen pariin. Siellä otetaan käyttöön aste, jolla on rationaalinen eksponentti, mikä johtaa vastaavien potenssilausekkeiden ilmestymiseen: , , jne. Lopuksi tarkastellaan asteita, joissa on irrationaaliset eksponentit ja niitä sisältävät lausekkeet: , .

Asia ei rajoitu lueteltuihin potenssilausekkeisiin: edelleen muuttuja tunkeutuu eksponenttiin, ja on olemassa esimerkiksi sellaisia ​​lausekkeita 2 x 2 +1 tai . Ja tutustumisen jälkeen alkaa ilmaantua lausekkeita potenssien ja logaritmien kanssa, esimerkiksi x 2 lgx −5 x lgx.

Joten selvitimme kysymyksen siitä, mitä ovat voimailmaisut. Seuraavaksi opimme kuinka niitä muutetaan.

Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit

Teholausekkeiden avulla voit suorittaa minkä tahansa perustoiminnon identtisiä lausekkeiden muunnoksia. Voit esimerkiksi laajentaa sulkeita, korvata numeerisia lausekkeita niiden arvoilla, lisätä vastaavia termejä ja niin edelleen. Luonnollisesti tässä tapauksessa on noudatettava hyväksyttyjä toimintojen järjestys. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki.

Laske potenssilausekkeen arvo 2 3 ·(4 2 −12) .

Päätös.

Toimintojen järjestyksen mukaan suoritamme ensin suluissa olevat toiminnot. Siellä ensin korvataan 4 2:n potenssi sen arvolla 16 (katso tarvittaessa) ja toiseksi lasketaan ero 16−12=4 . Meillä on 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Tuloksena olevassa lausekkeessa korvataan 2 3:n potenssi sen arvolla 8, minkä jälkeen lasketaan tulo 8·4=32 . Tämä on haluttu arvo.

Niin, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Vastaus:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Esimerkki.

Yksinkertaista tehoilmaisuja 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Päätös.

Ilmeisesti tämä ilmaus sisältää kuten termit 3 a 4 b −7 ja 2 a 4 b −7 , ja voimme pienentää niitä: .

Vastaus:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Esimerkki.

Ilmaise ilmaisu voimilla tuotteena.

Päätös.

Tehtävästä selviäminen mahdollistaa luvun 9 esittämisen potenssina 3 2 ja sen jälkeisen käytön lyhennetyt kertolaskut neliöiden ero:

Vastaus:

Teholausekkeisiin sisältyy myös useita identtisiä muunnoksia. Seuraavaksi analysoimme niitä.

Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa

On olemassa asteita, joiden perustana ja/tai indikaattorina ei ole vain numeroita tai muuttujia, vaan joitain lausekkeita. Kirjoitetaan esimerkiksi (2+0.3 7) 5−3.7 ja (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kun työskentelet samankaltaisten lausekkeiden kanssa, sekä asteen pohjan lauseke että eksponentin lauseke voidaan korvata identtisellä yhtäläisellä lausekkeella ODZ hänen muuttujiaan. Toisin sanoen meille tunnettujen sääntöjen mukaan voimme erikseen muuntaa tutkinnon perusteen ja erikseen - indikaattorin. On selvää, että tämän muunnoksen tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Tällaiset muunnokset antavat meille mahdollisuuden yksinkertaistaa ilmaisuja voimalla tai saavuttaa muita tarvitsemiamme tavoitteita. Esimerkiksi edellä mainitussa potenssilausekkeessa (2+0.3 7) 5−3.7 voidaan suorittaa operaatioita kanta- ja eksponenttiluvuilla, jolloin päästään potenssiin 4.1 1.3. Ja kun sulut on avattu ja samat termit tuotu asteen kantaan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) saadaan yksinkertaisemman muodon a 2·(x+1) potenssilauseke ) .

Virran ominaisuuksien käyttäminen

Yksi tärkeimmistä työkaluista lausekkeiden muuntamiseen potenssien avulla ovat yhtäläisyydet, jotka heijastavat . Muistetaan tärkeimmät. Kaikille positiivisille luvuille a ja b sekä mielivaltaisille reaaliluvuille r ja s seuraavat tehoominaisuudet pätevät:

• a r a s = a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a rbr;
• (a:b) r =a r:br;
• (a r) s = a r s .

Huomaa, että luonnollisten, kokonaislukujen ja positiivisten eksponentien kohdalla lukujen a ja b rajoitukset eivät välttämättä ole niin tiukkoja. Esimerkiksi luonnollisille luvuille m ja n yhtälö a m ·a n =a m+n pätee paitsi positiivisten a, myös negatiivisten lukujen kohdalla ja a=0 .

Koulussa päähuomio voimailmaisujen muuntamisessa keskittyy juuri kykyyn valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein. Tässä tapauksessa asteiden kantaluvut ovat yleensä positiivisia, jolloin voit käyttää asteiden ominaisuuksia ilman rajoituksia. Sama pätee astekantaisia ​​muuttujia sisältävien lausekkeiden muunnoksiin - muuttujien hyväksyttävien arvojen alue on yleensä sellainen, että kannat ottavat siitä vain positiivisia arvoja, jolloin voit käyttää ominaisuuksia vapaasti asteista. Yleensä sinun on jatkuvasti kysyttävä itseltäsi, onko tässä tapauksessa mahdollista soveltaa mitä tahansa asteen ominaisuutta, koska ominaisuuksien epätarkka käyttö voi johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ongelmiin. Näitä kohtia käsitellään yksityiskohtaisesti ja esimerkkien kanssa artikkelissa. lausekkeiden muunnos potenssien ominaisuuksien avulla. Tässä rajoitamme vain muutamaan yksinkertaiseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Ilmaise lauseke a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 potenssina, jonka kanta on a .

Päätös.

Ensin muutetaan toinen tekijä (a 2) −3 ominaisuudella nostaa potenssi potenssiksi: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Tässä tapauksessa alkuperäinen potenssilauseke on muotoa a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Ilmeisesti jää käyttää kertomisen ja valtuuksien jaon ominaisuuksia samalla pohjalla, meillä on
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Vastaus:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Tehoominaisuuksia käytetään muunnettaessa teholausekkeita sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle.

Esimerkki.

Etsi teholausekkeen arvo.

Päätös.

Oikealta vasemmalle sovellettu yhtälö (a·b) r =a r ·b r mahdollistaa siirtymisen alkuperäisestä lausekkeesta muodon tuloon ja edelleen. Ja kun tehot kerrotaan samalla pohjalla, indikaattorit laskevat yhteen: .

Alkuperäisen lausekkeen muunnos oli mahdollista suorittaa toisella tavalla:

Vastaus:

.

Esimerkki.

Kun potenssilauseke a 1.5 −a 0.5 −6 , syötä uusi muuttuja t=a 0.5 .

Päätös.

Aste a 1,5 voidaan esittää muodossa 0,5 3 ja edelleen asteen ominaisuuden perusteella asteen (a r) s =a r s oikealta vasemmalle sovellettaessa muuntaa se muotoon (a 0,5) 3 . Täten, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nyt on helppo ottaa käyttöön uusi muuttuja t=a 0.5 , saadaan t 3 −t−6 .

Vastaus:

t 3 −t−6 .

Potensseja sisältävien murtolukujen muuntaminen

Potenssilausekkeet voivat sisältää murtolukuja potenssien kanssa tai edustaa sellaisia ​​murtolukuja. Tällaisille murto-osille mikä tahansa tärkeimmistä murto-osien muunnoksia, jotka ovat luontaisia ​​kaikenlaisille fraktioille. Toisin sanoen asteita sisältävät murtoluvut voidaan pienentää, pienentää uuteen nimittäjään, työskennellä erikseen osoittajansa kanssa ja erikseen nimittäjän kanssa jne. Havainnollistaaksesi yllä olevia sanoja, harkitse useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Päätös.

Tämä teholauseke on murto-osa. Työskentelemme sen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Avaamme osoittajassa sulut ja yksinkertaistamme sen jälkeen saatua lauseketta potenssien ominaisuuksilla, ja nimittäjässä esitämme vastaavat termit:

Ja muutamme myös nimittäjän etumerkkiä asettamalla miinuksen murtoluvun eteen: .

Vastaus:

.

Potensseja sisältävien murtolukujen pelkistäminen uuteen nimittäjään suoritetaan samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut uuteen nimittäjään. Samalla löydetään myös lisäkerroin ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan sillä. Tätä toimintoa suoritettaessa on syytä muistaa, että vähentäminen uuteen nimittäjään voi johtaa DPV:n kaventumiseen. Tämän estämiseksi on välttämätöntä, että lisätekijä ei katoa millekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Esimerkki.

Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) nimittäjään a, b) nimittäjään.

Päätös.

a) Tässä tapauksessa on melko helppoa selvittää, mikä lisätekijä auttaa saavuttamaan halutun tuloksen. Tämä on kerroin a 0,3, koska a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Huomaa, että muuttujan a hyväksyttävien arvojen alueella (tämä on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko) aste a 0,3 ei katoa, joten meillä on oikeus kertoa annetun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä tällä lisätekijällä:

b) Tarkastellessamme tarkemmin nimittäjä, huomaamme sen

ja kertomalla tämä lauseke antaa kuutioiden summan ja Eli . Ja tämä on uusi nimittäjä, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.

Joten löysimme lisätekijän. Lauseke ei katoa muuttujien x ja y hyväksyttävien arvojen alueelle, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:

Vastaus:

a) , b) .

Myöskään asteita sisältävien murtolukujen pelkistymisessä ei ole mitään uutta: osoittaja ja nimittäjä esitetään tiettynä tekijänä ja osoittajan ja nimittäjän samat tekijät pienennetään.

Esimerkki.

Pienennä murto-osaa: a) , b).

Päätös.

a) Ensinnäkin osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää luvuilla 30 ja 45, mikä on 15. Voit myös luonnollisesti pienentää x 0,5 +1 ja . Tässä on mitä meillä on:

b) Tässä tapauksessa samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä eivät heti näy. Niiden saamiseksi sinun on suoritettava alustavia muunnoksia. Tässä tapauksessa ne koostuvat nimittäjän hajottamisesta tekijöiksi neliöiden erotuskaavan mukaan:

Vastaus:

a)

b) .

Murtolukujen pelkistämistä uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentämistä käytetään pääasiassa murto-operaatioiden suorittamiseen. Toiminnot suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaan. Murtolukuja lisättäessä (vähenntäessä) ne pienennetään yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen osoittajat lisätään (vähennetään), ja nimittäjä pysyy samana. Tuloksena on murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Jako murtoluvulla on kertolasku sen käänteisluvulla.

Esimerkki.

Seuraa vaiheita .

Päätös.

Ensin vähennämme murtoluvut suluissa. Tätä varten tuomme ne yhteiselle nimittäjälle, joka on , vähennä sitten osoittajat:

Nyt kerrotaan murtoluvut:

Ilmeisesti vähennys teholla x 1/2 on mahdollista, minkä jälkeen meillä on .

Voit myös yksinkertaistaa potenssilauseketta nimittäjässä käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: .

Vastaus:

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Päätös.

Ilmeisesti tätä murto-osaa voidaan pienentää (x 2,7 +1) 2:lla, tämä antaa murto-osan . On selvää, että x:n potenssien kanssa on tehtävä jotain muuta. Tätä varten muunnamme tuloksena olevan jakeen tuotteeksi. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää voimanjakoominaisuutta samoilla perusteilla: . Ja prosessin lopussa siirrymme viimeisestä tuotteesta fraktioon.

Vastaus:

.

Ja lisäämme, että on mahdollista ja monissa tapauksissa toivottavaa siirtää negatiivisilla eksponenteilla varustettuja kertoimia osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan vaihtamalla eksponentin etumerkkiä. Tällaiset muutokset usein yksinkertaistavat jatkotoimenpiteitä. Esimerkiksi teholauseke voidaan korvata .

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla

Usein lausekkeissa, joissa vaaditaan joitain muunnoksia, sekä asteet murto-osien eksponenteilla, on myös juuria. Tällaisen lausekkeen muuttamiseksi haluttuun muotoon riittää useimmissa tapauksissa meneminen vain juuriin tai vain tehoihin. Mutta koska asteiden kanssa on helpompi työskennellä, ne yleensä siirtyvät juurista asteisiin. On kuitenkin suositeltavaa suorittaa tällainen siirtyminen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ sallii sinun korvata juuret asteilla ilman tarvetta käyttää moduulia tai jakaa ODZ useisiin aikaväleihin (keskustelimme tästä yksityiskohtaisesti artikkeli, siirtyminen juurista potenssiin ja päinvastoin. Tutustuttuaan rationaalisen eksponentin asteeseen otetaan käyttöön irrationaalisen indikaattorin aste, jonka avulla voidaan puhua asteesta mielivaltaisella reaaliindikaattorilla. Tässä vaiheessa koulu alkaa opiskella eksponentti funktio, joka on analyyttisesti annettu asteella, jonka perusteella on luku, ja indikaattorissa - muuttuja. Edessämme on siis eksponentiaalisia lausekkeita, jotka sisältävät lukuja asteen kantaosassa ja eksponenttilausekkeessa - muuttujalausekkeita, ja luonnollisesti syntyy tarve suorittaa tällaisten lausekkeiden muunnoksia.

On sanottava, että ilmoitetun tyyppisten lausekkeiden muunnos on yleensä suoritettava ratkaistaessa eksponentiaaliyhtälöt ja eksponentiaaliset epätasa-arvot, ja nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia. Useimmissa tapauksissa ne perustuvat tutkinnon ominaisuuksiin ja tähtäävät lähinnä uuden muuttujan tuomiseen tulevaisuudessa. Yhtälön avulla voimme osoittaa ne 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Ensinnäkin eksponentit, joiden eksponenteista löytyy jonkin muuttujan (tai muuttujalausekkeen) ja luvun summa, korvataan tuloilla. Tämä koskee vasemmalla olevan lausekkeen ensimmäistä ja viimeistä termiä:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Seuraavaksi molemmat yhtälön osat jaetaan lausekkeella 7 2 x , joka saa vain positiivisia arvoja muuttujan x ODZ:stä alkuperäiselle yhtälölle (tämä on standarditekniikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, emme ole puhumme siitä nyt, joten keskity seuraaviin ilmaisujen muunnoksiin, joilla on voimavarat ):

Nyt potenssien murtoluvut peruutetaan, mikä antaa .

Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön , joka vastaa . Tehdyt muunnokset mahdollistavat uuden muuttujan käyttöönoton, joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön ratkaisuksi

I. V. Boikov, L. D. Romanova Kokoelma tenttiin valmistautuvia tehtäviä. Osa 1. Penza 2003.