एक सिलेंडर एक ज्यामितीय शरीर है जो दो समानांतर विमानों और एक बेलनाकार सतह से घिरा होता है। लेख में, हम इस बारे में बात करेंगे कि सिलेंडर का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए और, सूत्र का उपयोग करके, हम उदाहरण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

एक सिलेंडर में तीन सतहें होती हैं: एक शीर्ष, एक तल और एक पार्श्व सतह।

सिलेंडर के ऊपर और नीचे वृत्त होते हैं और पहचानने में आसान होते हैं।

यह ज्ञात है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr 2 के बराबर होता है। इसलिए, दो वृत्तों (बेलन के ऊपर और नीचे) के क्षेत्रफल का सूत्र πr 2 + πr 2 = 2πr 2 जैसा दिखेगा।

सिलेंडर की तीसरी, पार्श्व सतह, सिलेंडर की घुमावदार दीवार है। इस सतह का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए, आइए इसे पहचानने योग्य आकार प्राप्त करने के लिए इसे बदलने का प्रयास करें। कल्पना कीजिए कि एक सिलेंडर एक साधारण टिन कैन है जिसमें ऊपर का ढक्कन और तल नहीं होता है। आइए जार के ऊपर से नीचे तक साइड की दीवार पर एक ऊर्ध्वाधर चीरा बनाते हैं (आकृति में चरण 1) और परिणामी आकृति को जितना संभव हो उतना खोलने (सीधा) करने का प्रयास करें (चरण 2)।

परिणामी जार के पूर्ण प्रकटीकरण के बाद, हम एक परिचित आकृति (चरण 3) देखेंगे, यह एक आयत है। एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है। लेकिन उससे पहले, आइए एक पल के लिए मूल सिलेंडर पर लौटते हैं। मूल बेलन का शीर्ष एक वृत्त है, और हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: L = 2πr। यह चित्र में लाल रंग से अंकित है।

जब बेलन की पार्श्व दीवार को पूरी तरह से फैला दिया जाता है, तो हम देखते हैं कि परिधि परिणामी आयत की लंबाई बन जाती है। इस आयत की भुजाएँ परिधि (L = 2πr) और बेलन की ऊँचाई (h) होंगी। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है - S = लंबाई x चौड़ाई = L x h = 2πr x h = 2πrh। नतीजतन, हमने सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त किया है।

एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
एस साइड = 2prh

एक बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

अंत में, यदि हम तीनों सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ दें, तो हमें एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है। सिलेंडर का सतह क्षेत्र सिलेंडर के शीर्ष के क्षेत्र के बराबर है + सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल + सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल या S = πr 2 + r 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh। कभी-कभी यह व्यंजक समान सूत्र 2πr (r + h) द्वारा लिखा जाता है।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
एस = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (आर + एच)
r बेलन की त्रिज्या है, h बेलन की ऊंचाई है

एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना के उदाहरण

उपरोक्त सूत्रों को समझने के लिए, आइए उदाहरणों का उपयोग करके एक सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना करने का प्रयास करें।

1. बेलन के आधार की त्रिज्या 2 है, ऊँचाई 3 है। बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस पक्ष। = 2prh

एस साइड = 2 * 3.14 * 2 * 3

एस साइड = 6.28 * 6

एस साइड = 37.68

सिलेंडर का पार्श्व सतह क्षेत्र 37.68 है।

2. यदि बेलन की ऊँचाई 4 है और त्रिज्या 6 है, तो बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = 2πr 2 + 2πrh

एस = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

एस = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

अस्तित्व एक बड़ी संख्या कीसिलेंडर संबंधित कार्य उनमें, आपको शरीर की त्रिज्या और ऊंचाई या उसके खंड के प्रकार को खोजने की आवश्यकता है। साथ ही, कभी-कभी आपको सिलेंडर के क्षेत्रफल और उसके आयतन की गणना करने की आवश्यकता होती है।

सिलेंडर कौन सा शरीर है?

स्कूल पाठ्यक्रम के दौरान, एक परिपत्र, यानी एक सिलेंडर जो आधार पर ऐसा होता है, का अध्ययन किया जाता है। लेकिन वे इस आकृति के अण्डाकार स्वरूप में भी अंतर करते हैं। नाम से ही स्पष्ट है कि इसका आधार अंडाकार या अंडाकार होगा।

सिलेंडर के दो आधार होते हैं। वे एक दूसरे के बराबर होते हैं और उन खंडों से जुड़े होते हैं जो आधारों के संगत बिंदुओं को जोड़ते हैं। उन्हें सिलेंडर जनरेटर कहा जाता है। सभी जनरेटर एक दूसरे के समानांतर और बराबर हैं। वे शरीर की पार्श्व सतह बनाते हैं।

सामान्य तौर पर, एक सिलेंडर एक झुका हुआ शरीर होता है। यदि जनरेटर आधारों के साथ एक समकोण बनाते हैं, तो वे पहले से ही एक सीधी आकृति की बात करते हैं।

दिलचस्प बात यह है कि एक गोलाकार सिलेंडर क्रांति का पिंड है। यह इसकी एक भुजा के चारों ओर एक आयत को घुमाकर प्राप्त किया जाता है।

सिलेंडर के मुख्य तत्व

सिलेंडर के मुख्य तत्व इस प्रकार हैं।

1. ऊंचाई। यह बेलन के आधारों के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि यह सीधा है, तो ऊंचाई जेनरेट्रिक्स के साथ मेल खाती है।
2. त्रिज्या। उस के साथ मेल खाता है जिसे आधार में किया जा सकता है।
3. एक्सिस। यह एक सीधी रेखा है जिसमें दोनों आधारों के केंद्र होते हैं। धुरी हमेशा सभी जनरेटर के समानांतर होती है। एक दाहिने सिलेंडर में, यह आधारों के लंबवत है।
4. अक्षीय खंड। यह तब बनता है जब बेलन अक्ष वाले तल को काटता है।
5. स्पर्शरेखा विमान। यह जनरेटर में से एक के माध्यम से गुजरता है और अक्षीय खंड के लंबवत है, जो इस जेनरेटर के माध्यम से खींचा जाता है।

एक बेलन उसमें अंकित या उसके पास परिबद्ध प्रिज्म से किस प्रकार संबंधित है?

कभी-कभी ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक होता है, जबकि इससे जुड़े प्रिज्म के कुछ तत्व ज्ञात होते हैं। ये आंकड़े कैसे संबंधित हैं?

यदि एक प्रिज्म एक बेलन में अंकित है, तो उसके आधार बराबर बहुभुज हैं। इसके अलावा, वे सिलेंडर के संबंधित आधारों में खुदे हुए हैं। प्रिज्म के किनारे के किनारे जनरेटर के साथ मेल खाते हैं।

वर्णित प्रिज्म के आधारों पर नियमित बहुभुज होते हैं। इनका वर्णन बेलन के वृत्तों के निकट किया गया है, जो इसके आधार हैं। प्रिज्म के चेहरे वाले विमान जनरेटर के साथ सिलेंडर को छूते हैं।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रफल पर

यदि आप पार्श्व सतह को खोलते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है। इसकी भुजाएँ जेनरेटरिक्स और आधार की परिधि के साथ मेल खाएँगी। इसलिए, सिलेंडर का पार्श्व क्षेत्र इन दो मात्राओं के उत्पाद के बराबर होगा। यदि आप सूत्र लिखते हैं, तो आपको निम्न मिलता है:

एस साइड \u003d एल * एन,

जहाँ n जनक है, l परिधि है।

इसके अलावा, अंतिम पैरामीटर की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एल = 2 *आर,

यहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, संख्या "pi" है, जो 3.14 के बराबर है।

चूंकि आधार एक वृत्त है, इसके क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित व्यंजक का उपयोग करके की जाती है:

एस मुख्य \u003d * आर 2।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के संपूर्ण पृष्ठ के क्षेत्रफल पर

चूंकि यह दो आधारों और एक पार्श्व सतह से बनता है, इसलिए इन तीन मात्राओं को जोड़ा जाना चाहिए। अर्थात्, सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी:

एस मंजिल = 2 * आर * एन + 2 * आर 2 .

इसे अक्सर एक अलग रूप में लिखा जाता है:

एस मंजिल = 2 * आर (एन + आर)।

एक झुके हुए वृत्ताकार बेलन के क्षेत्रों पर

आधारों के लिए, सभी सूत्र समान हैं, क्योंकि वे अभी भी वृत्त हैं। लेकिन पार्श्व सतह अब एक आयत नहीं देती है।

एक झुके हुए सिलेंडर के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको जेनरेटर के मूल्यों और अनुभाग की परिधि को गुणा करना होगा, जो चयनित जेनरेटर के लंबवत होगा।

सूत्र इस तरह दिखता है:

एस साइड \u003d एक्स * पी,

जहाँ x बेलन के जनक की लंबाई है, P खंड का परिमाप है।

क्रॉस सेक्शन, वैसे, ऐसा चुनना बेहतर है कि यह एक दीर्घवृत्त बनाता है। फिर इसकी परिधि की गणना को सरल बनाया जाएगा। दीर्घवृत्त की लंबाई की गणना एक सूत्र का उपयोग करके की जाती है जो अनुमानित उत्तर देता है। लेकिन यह अक्सर स्कूल पाठ्यक्रम के कार्यों के लिए पर्याप्त होता है:

एल \u003d * (ए + बी),

जहां "ए" और "बी" दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष हैं, अर्थात्, केंद्र से उसके निकटतम और सबसे दूर के बिंदुओं की दूरी।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग करके संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल की गणना की जानी चाहिए:

एस मंजिल = 2 * आर 2 + एक्स * आर।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के कुछ भाग कौन-से हैं?

जब खंड अक्ष से होकर गुजरता है, तो इसका क्षेत्रफल जेनरेटर के गुणनफल और आधार के व्यास के रूप में निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसमें एक आयत का रूप है, जिसकी भुजाएँ निर्दिष्ट तत्वों से मेल खाती हैं।

अक्षीय के समानांतर एक सिलेंडर के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको एक आयत के लिए एक सूत्र की भी आवश्यकता होगी। इस स्थिति में, इसका एक पक्ष अभी भी ऊंचाई के साथ मेल खाएगा, और दूसरा आधार की जीवा के बराबर होगा। उत्तरार्द्ध आधार के साथ अनुभाग रेखा के साथ मेल खाता है।

जब खंड अक्ष के लंबवत होता है, तो यह एक वृत्त जैसा दिखता है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल वही है जो आकृति के आधार पर है।

अक्ष से किसी कोण पर प्रतिच्छेद करना भी संभव है। फिर खंड में एक अंडाकार या उसका हिस्सा प्राप्त होता है।

कार्य उदाहरण

टास्क नंबर 1.एक सीधा बेलन दिया गया है, जिसका आधार क्षेत्रफल 12.56 cm 2 है। सिलेंडर के कुल क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है यदि इसकी ऊंचाई 3 सेमी है।

फेसला। एक वृत्तीय दाएँ बेलन के कुल क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है। लेकिन इसमें डेटा का अभाव है, अर्थात् आधार की त्रिज्या। लेकिन वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात होता है। इससे त्रिज्या की गणना करना आसान है।

यह भागफल के वर्गमूल के बराबर निकलता है, जो आधार क्षेत्रफल को pi से भाग देने पर प्राप्त होता है। 12.56 को 3.14 से भाग देने पर 4 होता है। 4 का वर्गमूल 2 होता है। इसलिए, त्रिज्या का यह मान होगा।

उत्तर: एस मंजिल \u003d 50.24 सेमी 2।

टास्क नंबर 2. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन को अक्ष के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है। खंड से अक्ष की दूरी 3 सेमी है। सिलेंडर की ऊंचाई 4 सेमी है। अनुभाग के क्षेत्र को खोजने के लिए आवश्यक है।

फेसला। खंड का आकार आयताकार है। इसकी एक भुजा बेलन की ऊंचाई के साथ मेल खाती है, और दूसरी जीवा के बराबर है। यदि पहला मान ज्ञात है, तो दूसरा पाया जाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता है। आधार पर हम दो खंड खींचते हैं। ये दोनों सर्कल के सेंटर से शुरू होंगे। पहला जीवा के केंद्र में समाप्त होगा और अक्ष से ज्ञात दूरी के बराबर होगा। दूसरा राग के अंत में है।

आपको एक समकोण त्रिभुज मिलता है। इसमें कर्ण और एक पैर जाना जाता है। कर्ण त्रिज्या के समान है। दूसरा पैर आधा जीवा के बराबर है। अज्ञात लेग को 2 से गुणा करने पर, जीवा की आवश्यक लंबाई प्राप्त होगी। आइए इसके मूल्य की गणना करें।

अज्ञात पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण और ज्ञात पैर का वर्ग करना होगा, पहले से दूसरे को घटाना होगा और वर्गमूल लेना होगा। वर्ग 25 और 9 हैं। उनका अंतर 16 है। वर्गमूल निकालने के बाद, 4 शेष हैं। यह वांछित पैर है।

जीवा 4*2 = 8 (सेमी) के बराबर होगी। अब आप क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: 8 * 4 \u003d 32 (सेमी 2)।

उत्तर: एस सेकंड 32 सेमी 2 है।

टास्क नंबर 3.सिलेंडर के अक्षीय खंड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है। यह ज्ञात है कि इसमें 10 सेमी के किनारे वाला घन खुदा हुआ है।

फेसला। सिलेंडर का अक्षीय खंड एक आयत के साथ मेल खाता है जो घन के चार शीर्षों से होकर गुजरता है और इसमें इसके आधारों के विकर्ण होते हैं। घन की भुजा बेलन का जनक है, और आधार का विकर्ण व्यास के साथ मेल खाता है। इन दो मात्राओं का गुणनफल वह क्षेत्र देगा जो आपको समस्या में ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्यास ज्ञात करने के लिए, आपको इस ज्ञान का उपयोग करना होगा कि घन का आधार एक वर्ग है, और इसका विकर्ण एक समबाहु समकोण त्रिभुज बनाता है। इसका कर्ण आकृति का अभीष्ट विकर्ण है।

इसकी गणना करने के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र की आवश्यकता है। आपको घन की भुजा को वर्गाकार करने की जरूरत है, इसे 2 से गुणा करें और वर्गमूल लें। दस से दूसरी शक्ति एक सौ है। 2 से गुणा दो सौ है। 200 का वर्गमूल 10√2 है।

अनुभाग फिर से एक आयत है जिसकी भुजाएँ 10 और 10√2 हैं। इन मानों को गुणा करके इसके क्षेत्रफल की गणना करना आसान है।

जवाब। एस सेकंड \u003d 100√2 सेमी 2।

सिलेंडर के सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें इस लेख का विषय है। किसी भी गणितीय समस्या में, आपको डेटा प्रविष्टि से शुरू करने की आवश्यकता है, यह निर्धारित करें कि भविष्य में क्या ज्ञात है और क्या संचालित करना है, और उसके बाद ही सीधे गणना के लिए आगे बढ़ें।

यह त्रि-आयामी शरीर एक बेलनाकार आकार का एक ज्यामितीय आकृति है, जो ऊपर और नीचे दो समानांतर विमानों से घिरा हुआ है। यदि आप थोड़ी कल्पना को लागू करते हैं, तो आप देखेंगे कि एक अक्ष के चारों ओर एक आयत को घुमाकर एक ज्यामितीय शरीर बनता है, जिसमें अक्ष इसकी एक भुजा होती है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बेलन के ऊपर और नीचे वर्णित वक्र एक वृत्त होगा, जिसका मुख्य संकेतक त्रिज्या या व्यास है।

सिलेंडर सतह क्षेत्र - ऑनलाइन कैलकुलेटर

यह फ़ंक्शन अंततः गणना प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाता है, और आंकड़े के आधार की ऊंचाई और त्रिज्या (व्यास) के दिए गए मानों के स्वचालित प्रतिस्थापन के लिए सब कुछ नीचे आता है। केवल एक चीज जो आवश्यक है वह है डेटा को सटीक रूप से निर्धारित करना और नंबर दर्ज करते समय गलतियाँ नहीं करना।

सिलेंडर साइड सतह क्षेत्र

पहले आपको यह कल्पना करने की आवश्यकता है कि स्वीप द्वि-आयामी अंतरिक्ष में कैसा दिखता है।

यह एक आयत से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसकी एक भुजा परिधि के बराबर है। इसका सूत्र अनादि काल से जाना जाता है - 2π *आर, कहाँ पे आरवृत्त की त्रिज्या है। आयत की दूसरी भुजा ऊँचाई के बराबर है एच. आप जो खोज रहे हैं उसे ढूंढना मुश्किल नहीं होगा।

एसपक्ष= 2π *आर * एच,

जहां संख्या = 3.14।

एक बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

सिलेंडर का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है एस साइडसिलेंडर के ऊपर और नीचे दो मंडलियों के क्षेत्रों को जोड़ें, जिनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस ओ =2π*r2.

अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है:

एसमंज़िल\u003d 2π * आर 2+ 2π*r*h.

सिलेंडर क्षेत्र - व्यास के संदर्भ में सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कभी-कभी व्यास के माध्यम से गणना करना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, ज्ञात व्यास के खोखले पाइप का एक टुकड़ा है।

अनावश्यक गणनाओं से परेशान हुए बिना, हमारे पास एक तैयार सूत्र है। 5 वीं कक्षा के लिए बीजगणित बचाव के लिए आता है।

एसलिंग = 2*r 2 + 2 *r*h= 2 *डी 2 /4 + 2 *एच*डी/2 = *डी 2 /2 + *डी * एच,

के बजाय आरपूर्ण सूत्र में आपको मान डालने की आवश्यकता है आर =घ/2.

एक सिलेंडर के क्षेत्रफल की गणना के उदाहरण

ज्ञान के साथ सशस्त्र, आइए अभ्यास करने के लिए नीचे उतरें।

उदाहरण 1 पाइप के काटे गए टुकड़े, यानी एक सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।

हमारे पास r = 24 मिमी, h = 100 मिमी है। आपको त्रिज्या के संदर्भ में सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस मंजिल \u003d 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 \u003d 3617.28 + 15072 \u003d 18689.28 (मिमी 2)।

हम सामान्य एम 2 में अनुवाद करते हैं और 0.01868928, लगभग 0.02 मीटर 2 प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 2 एस्बेस्टस स्टोव पाइप की आंतरिक सतह के क्षेत्र का पता लगाना आवश्यक है, जिसकी दीवारें आग रोक ईंटों से पंक्तिबद्ध हैं।

डेटा इस प्रकार है: व्यास 0.2 मीटर; ऊंचाई 2 मीटर हम व्यास के माध्यम से सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस मंजिल \u003d 3.14 * 0.2 2/2 + 3.14 * 0.2 * 2 \u003d 0.0628 + 1.256 \u003d 1.3188 मीटर 2.

उदाहरण 3 यह कैसे पता करें कि एक बैग, r \u003d 1 m और 1 m की ऊँचाई को सिलने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता है।

एक पल, एक सूत्र है:

एस साइड \u003d 2 * 3.14 * 1 * 1 \u003d 6.28 मीटर 2.

निष्कर्ष

लेख के अंत में, यह प्रश्न उठा: क्या ये सभी गणनाएँ और एक मूल्य का दूसरे मूल्य में अनुवाद वास्तव में आवश्यक हैं? यह सब क्यों आवश्यक है और सबसे महत्वपूर्ण, किसके लिए? लेकिन हाई स्कूल के सरल फॉर्मूले को नज़रअंदाज़ न करें और भूल जाएं।

दुनिया गणित सहित प्रारंभिक ज्ञान पर खड़ी है और खड़ी रहेगी। और, जब किसी महत्वपूर्ण कार्य को शुरू करते हैं, तो स्मृति में गणना के डेटा को ताज़ा करने के लिए, उन्हें बड़े प्रभाव से व्यवहार में लागू करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता है। शुद्धता - राजाओं की शिष्टता।

बेलन के आधारों के लंबवत अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस आयत की एक भुजा बेलन की ऊँचाई के बराबर है, दूसरी आधार वृत्त के व्यास के बराबर है। तदनुसार, इस मामले में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल आयत की भुजाओं के गुणनफल के बराबर होगा। S=2R*h, जहां S क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है, R आधार सर्कल की त्रिज्या है, जो समस्या की स्थितियों द्वारा दी गई है, और h सिलेंडर की ऊंचाई है, जो समस्या की स्थितियों द्वारा भी दी गई है।

यदि खंड आधारों के लंबवत है, लेकिन रोटेशन की धुरी से नहीं गुजरता है, तो आयत वृत्त के व्यास के बराबर नहीं होगा। इसकी गणना करने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, कार्य को यह कहना होगा कि अनुभाग विमान रोटेशन के अक्ष से कितनी दूरी पर गुजरता है। गणना की सुविधा के लिए, बेलन के आधार का एक वृत्त बनाएं, एक त्रिज्या बनाएं और उस पर उस दूरी को अलग रखें जिस पर वृत्त के केंद्र से अनुभाग स्थित है। इस बिंदु से, लंबों तक खींचे जब तक वे वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न करें। चौराहे के बिंदुओं को केंद्र से कनेक्ट करें। आपको तार खोजने की जरूरत है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधे जीवा का आकार ज्ञात कीजिए। यह केंद्र से खंड रेखा तक वृत्त की त्रिज्या के वर्गों के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। a2=R2-b2. पूरी जीवा क्रमशः 2a के बराबर होगी। क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना करें, जो आयत की भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, अर्थात S=2a*h।

आधार के तल से गुजरे बिना सिलेंडर को विच्छेदित किया जा सकता है। यदि क्रॉस सेक्शन रोटेशन की धुरी के लंबवत है, तो यह एक सर्कल होगा। इस मामले में इसका क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफल के बराबर है, अर्थात इसकी गणना सूत्र S \u003d πR2 द्वारा की जाती है।

मददगार सलाह

अनुभाग की अधिक सटीक रूप से कल्पना करने के लिए, एक चित्र और अतिरिक्त निर्माण करें।

स्रोत:

• सिलेंडर क्रॉस सेक्शन क्षेत्र

एक समतल के साथ एक सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा सतह और छेदक तल दोनों से संबंधित होती है। एक बेलनाकार सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा जिसमें सीधे जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक छेदक विमान होता है, एक सीधी रेखा होती है। यदि काटने वाला विमान क्रांति की सतह के अक्ष के लंबवत है, तो अनुभाग में एक वृत्त होगा। सामान्य तौर पर, एक काटने वाले विमान के साथ एक बेलनाकार सतह के प्रतिच्छेदन की रेखा एक घुमावदार रेखा होती है।

आपको चाहिये होगा

• पेंसिल, शासक, त्रिकोण, पैटर्न, परकार, मापक यंत्र।

अनुदेश

ललाट प्रोजेक्शन प्लेन P₂ पर, सेक्शन लाइन एक सीधी रेखा के रूप में सेकेंड प्लेन के प्रोजेक्शन के साथ मेल खाती है।
प्रक्षेपण 1₂, 2₂, आदि के साथ सिलेंडर के जेनरेटर के चौराहे के बिंदुओं को नामित करें। अंक 10₂ और 11₂ तक।

तल पर P₁ एक वृत्त है। अंक 1₂ , 2₂ अनुभाग विमान , आदि पर चिह्नित। एक प्रोजेक्शन लाइन की मदद से, कनेक्शन इस सर्कल की रूपरेखा पर पेश किए जाएंगे। सर्कल के क्षैतिज अक्ष के बारे में सममित रूप से उनके क्षैतिज अनुमानों को नामित करें।

इस प्रकार, वांछित खंड के अनुमानों को परिभाषित किया गया है: विमान पी₂ पर - एक सीधी रेखा (अंक 1₂, 2₂ ... 10₂); विमान P₁ पर - एक वृत्त (अंक 1₁, 2₁ ... 10₁)।

दो से, दिए गए सिलेंडर के खंड के प्राकृतिक आकार का निर्माण सामने-प्रोजेक्टिंग प्लेन द्वारा करें। ऐसा करने के लिए, अनुमानों की विधि का उपयोग करें।

समतल के प्रक्षेपण के समांतर तल P₄ खींचिए। इस नए x₂₄ अक्ष पर, बिंदु 1₀ चिह्नित करें। अंक 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂, आदि के बीच की दूरी। खंड के ललाट प्रक्षेपण से, x₂₄ अक्ष पर अलग सेट करें, x₂₄ अक्ष के लंबवत प्रक्षेपण कनेक्शन की पतली रेखाएँ खींचें।

इस विधि में, P₄ तल को P₁ तल से बदल दिया जाता है, इसलिए, क्षैतिज प्रक्षेपण से, आयामों को अक्ष से बिंदुओं तक P₄ तल के अक्ष पर स्थानांतरित करें।

उदाहरण के लिए, बिंदु 2 और 3 के लिए P₁ पर, यह 2₁ और 3₁ से अक्ष (बिंदु A), आदि की दूरी होगी।

क्षैतिज प्रक्षेपण से संकेतित दूरियों को स्थगित करने के बाद, आपको 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ अंक मिलेंगे। फिर, निर्माण की अधिक सटीकता के लिए, शेष, मध्यवर्ती, अंक निर्धारित किए जाते हैं।

सभी बिंदुओं को एक घुमावदार वक्र से जोड़कर, आप सामने-प्रोजेक्टिंग विमान द्वारा सिलेंडर के क्रॉस सेक्शन का वांछित प्राकृतिक आकार प्राप्त करेंगे।

स्रोत:

• विमान को कैसे बदलें

टिप 3: काटे गए शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि एक छोटा शंकु क्या है और इसमें क्या गुण हैं। आकर्षित करना सुनिश्चित करें। यह निर्धारित करेगा कि कौन सा ज्यामितीय आंकड़ा एक खंड है। बहुत संभव है कि इसके बाद समस्या का समाधान आपके लिए कठिन न हो।

अनुदेश

एक गोल शंकु एक पिंड है जो अपने एक पैर के चारों ओर एक त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। ऊपर से आने वाली सीधी रेखाएं शंकुऔर इसके आधार को प्रतिच्छेद करने वाले जनित्र कहलाते हैं। यदि सभी जनरेटर समान हैं, तो शंकु सीधा है। दौर के आधार पर शंकुएक वृत्त है। ऊपर से आधार पर गिराया गया लंबवत ऊंचाई है शंकु. सीधे दौर में शंकुऊंचाई अपनी धुरी के साथ मेल खाती है। अक्ष आधार के केंद्र से जुड़ने वाली एक सीधी रेखा है। यदि वृत्ताकार का क्षैतिज कटिंग प्लेन शंकु, तो इसका ऊपरी आधार एक वृत्त है।

चूंकि यह समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट नहीं है, यह शंकु है जो में दिया गया है इस मामले में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक सीधा कटा हुआ शंकु है, जिसका क्षैतिज खंड आधार के समानांतर है। इसका अक्षीय खंड, अर्थात्। ऊर्ध्वाधर विमान, जो एक वृत्ताकार के अक्ष के माध्यम से शंकु, एक समद्विबाहु समलम्ब है। सभी अक्षीय धारासीधे गोल शंकुएक दूसरे के बराबर हैं। इसलिए, खोजने के लिए वर्ग AXIAL धारा, खोजने की आवश्यकता है वर्गट्रेपेज़ॉइड, जिसके आधार काटे गए आधारों के व्यास हैं शंकु, और भुजाएँ इसके जनक हैं। काट-छाँट ऊँचाई शंकुसमलंब की ऊंचाई भी है।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: S = ½(a+b) h, जहाँ S है वर्गट्रेपोजॉइड; ए - ट्रेपोजॉइड के निचले आधार का मूल्य; बी - इसके ऊपरी आधार का मूल्य; एच - ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई।

चूंकि शर्त यह निर्दिष्ट नहीं करती है कि कौन से दिए गए हैं, यह संभव है कि काटे गए दोनों आधारों के व्यास शंकुज्ञात: AD = d1 काटे गए के निचले आधार का व्यास है शंकु;BC = d2 इसके ऊपरी आधार का व्यास है; ईएच = एच1 - ऊंचाई शंकु।इस प्रकार, वर्ग AXIAL धाराछोटा कर दिया शंकुपरिभाषित: S1 = ½ (d1+d2) h1

स्रोत:

• छोटा शंकु क्षेत्र

सिलेंडर एक त्रि-आयामी आकृति है और इसमें दो समान आधार होते हैं, जो वृत्त होते हैं, और एक पार्श्व सतह जो आधारों को बांधने वाली रेखाएं होती है। हिसाब करना वर्ग सिलेंडर, इसकी सभी सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और उन्हें जोड़िए।

बेलन के प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल . है आर 2, दोनों आधारों का क्षेत्रफल 2π . होगा आर 2 (चित्र।)

एक बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसका आधार 2π . है आर, और ऊंचाई सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है एच, यानी 2π राहु.

सिलेंडर की कुल सतह होगी: 2π आर 2+2π राहु= 2π आर(आर+ एच).

बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लिया जाता है झाडू क्षेत्रइसकी पार्श्व सतह।

इसलिए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल संबंधित आयत (चित्र) के क्षेत्रफल के बराबर होता है और सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

एस बी.सी. = 2πRH, (1)

यदि हम बेलन के दोनों आधारों के क्षेत्रफल को बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में जोड़ दें, तो हमें बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

एस पूर्ण \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R)।

सीधे सिलेंडर मात्रा

प्रमेय। एक दाएँ बेलन का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है , अर्थात।

जहाँ Q आधार क्षेत्र है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूंकि बेलन का आधार क्षेत्रफल Q है, इसलिए क्षेत्र Q . के साथ परिबद्ध और उत्कीर्ण बहुभुजों के अनुक्रम हैं एनऔर क्यू' एनऐसा है कि

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एन= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एन= क्यू.

आइए हम उन प्रिज्मों के अनुक्रमों का निर्माण करें जिनके आधार ऊपर वर्णित और उत्कीर्ण बहुभुज हैं, और जिनके पार्श्व किनारे दिए गए सिलेंडर के जेनरेटर के समानांतर हैं और लंबाई एच है। इन प्रिज्मों का वर्णन और दिए गए सिलेंडर के लिए खुदा हुआ है। उनके आयतन सूत्रों द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

वी एन= क्यू एनएच और वी' एन= क्यू' एनएच।

इसलिये,

वी= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q एनएच = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' एनएच = क्यूएच।

परिणाम।
एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

वी = आर 2 एच

जहाँ R आधार की त्रिज्या है और H बेलन की ऊँचाई है।

चूँकि एक वृत्ताकार बेलन का आधार R त्रिज्या का एक वृत्त है, तो Q \u003d R 2, और इसलिए