बहुत बार, अंश के अंश और हर बीजीय व्यंजक होते हैं जिन्हें पहले कारकों में विघटित किया जाना चाहिए, और फिर, उनमें से समान पाते हुए, अंश और हर दोनों को उनमें विभाजित करते हैं, अर्थात भिन्न को कम करते हैं। 7वीं कक्षा में बीजगणित पर एक पाठ्यपुस्तक का एक पूरा अध्याय बहुपद को गुणनखंड बनाने के कार्यों के लिए समर्पित है। फैक्टरिंग की जा सकती है 3 तरीके, साथ ही इन विधियों का एक संयोजन।

1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग

के रूप में जाना जाता है एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करें, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल जोड़ना होगा। अवधारणा में शामिल बहुपदों के गुणन के कम से कम 7 (सात) सामान्य मामले हैं। उदाहरण के लिए,

तालिका 1. पहले तरीके से गुणनखंडन

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

यह विधि गुणन के वितरण नियम के अनुप्रयोग पर आधारित है। उदाहरण के लिए,

हम मूल व्यंजक के प्रत्येक पद को उस गुणनखंड से विभाजित करते हैं जिसे हम निकालते हैं, और साथ ही हमें कोष्ठकों में व्यंजक मिलता है (अर्थात, जो हम निकालते हैं उससे विभाजित करने का परिणाम कोष्ठक में रहता है)। सबसे पहले, आपको चाहिए गुणक को सही ढंग से निर्धारित करें, जिसे ब्रैकेट किया जाना चाहिए।

कोष्ठक में बहुपद भी एक सामान्य कारक हो सकता है:

"फैक्टराइज़" कार्य करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालते समय विशेष रूप से संकेतों से सावधान रहना चाहिए। कोष्ठक में प्रत्येक पद के चिन्ह को बदलने के लिए (बी ० ए), हम सामान्य कारक निकालते हैं -1 , जबकि कोष्ठक के प्रत्येक पद को -1 से विभाजित किया जाता है: (बी - ए) = - (ए - बी)।

इस घटना में कि कोष्ठक में व्यंजक वर्ग (या किसी सम घात तक) है, तब कोष्ठक के अंदर की संख्याओं की अदला-बदली की जा सकती है पूरी तरह से मुक्त, चूंकि कोष्ठक से निकाले गए माइनस गुणा करने पर भी प्लस में बदल जाएंगे: (बी - ए) 2 = (ए - बी) 2, (बी - ए) 4 = (ए - बी) 4 आदि…

3. समूहन विधि

कभी-कभी व्यंजक के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, लेकिन केवल कुछ ही होते हैं। तब आप कोशिश कर सकते हैं समूह शर्तें कोष्ठकों में ताकि प्रत्येक में से कुछ गुणनखंड निकाले जा सकें। समूहीकरण विधिसामान्य कारकों का दोहरा ब्रैकेटिंग है।

4. एक साथ कई विधियों का उपयोग करना

कभी-कभी आपको एक बहुपद को एक साथ गुणनखंडों में गुणनखंड करने के लिए एक नहीं, बल्कि कई तरीकों को लागू करने की आवश्यकता होती है।

यह इस विषय पर एक सारांश है। "गुणन". अगले चरण चुनें:

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उत्पाद प्राप्त करने के लिए बहुपदों का विस्तार करना कभी-कभी भ्रमित करने वाला लगता है। लेकिन यह इतना मुश्किल नहीं है अगर आप प्रक्रिया को चरण दर चरण समझते हैं। लेख में बताया गया है कि एक वर्ग त्रिपद को कैसे गुणनखंडित किया जाए।

बहुत से लोग यह नहीं समझते हैं कि एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कैसे किया जाता है, और ऐसा क्यों किया जाता है। सबसे पहले ऐसा लग सकता है कि यह एक बेकार व्यायाम है। लेकिन गणित में ऐसा कुछ भी नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने और गणना की सुविधा के लिए परिवर्तन आवश्यक है।

एक बहुपद का रूप है - ax² + bx + c, वर्ग त्रिपद कहलाता है।शब्द "ए" नकारात्मक या सकारात्मक होना चाहिए। व्यवहार में, इस व्यंजक को द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कभी-कभी वे अलग तरह से कहते हैं: द्विघात समीकरण का विस्तार कैसे करें।

दिलचस्प!एक वर्ग बहुपद को उसकी सबसे बड़ी घात - एक वर्ग के कारण कहा जाता है। और एक ट्रिनोमियल - 3 घटक शर्तों के कारण।

कुछ अन्य प्रकार के बहुपद:

• रैखिक द्विपद (6x+8);
• घन चतुर्भुज (x³+4x²-2x+9)।

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

सबसे पहले, व्यंजक शून्य के बराबर है, फिर आपको मूल x1 और x2 के मान ज्ञात करने होंगे। कोई जड़ नहीं हो सकती है, एक या दो जड़ें हो सकती हैं। जड़ों की उपस्थिति विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। इसका सूत्र दिल से जाना चाहिए: D=b²-4ac।

यदि डी का परिणाम नकारात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं हैं। अगर सकारात्मक है, तो दो जड़ें हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो मूल एक है। जड़ों की गणना भी सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि विवेचक की गणना का परिणाम शून्य है, तो आप किसी भी सूत्र को लागू कर सकते हैं। व्यवहार में, सूत्र बस संक्षिप्त है: -b / 2a।

विभेदक के विभिन्न मूल्यों के सूत्र भिन्न होते हैं।

यदि डी सकारात्मक है:

यदि डी शून्य है:

ऑनलाइन कैलकुलेटर

इंटरनेट पर एक ऑनलाइन कैलकुलेटर है। इसका उपयोग कारक बनाने के लिए किया जा सकता है। कुछ संसाधन चरण दर चरण समाधान देखने का अवसर प्रदान करते हैं। इस तरह की सेवाएं विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती हैं, लेकिन आपको अच्छी तरह से समझने की कोशिश करने की जरूरत है।

उपयोगी वीडियो: एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना

उदाहरण

हम सुझाव देते हैं कि द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने के सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

यहाँ यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि परिणाम दो x होगा, क्योंकि D धनात्मक है। उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। यदि मूल ऋणात्मक हैं, तो सूत्र में चिन्ह उल्टा हो जाता है।

हम एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का सूत्र जानते हैं: a(x-x1)(x-x2)। हम मानों को कोष्ठक में रखते हैं: (x+3)(x+2/3)। घातांक में पद से पहले कोई संख्या नहीं है। इसका मतलब है कि एक इकाई है, इसे उतारा गया है।

उदाहरण 2

यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एक मूल वाले समीकरण को कैसे हल किया जाए।

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें:

उदाहरण 3

दिया गया: 5x²+3x+7

सबसे पहले, हम विवेचक की गणना करते हैं, जैसा कि पिछले मामलों में है।

डी=9-4*5*7=9-140= -131।

विभेदक नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कोई जड़ नहीं है।

परिणाम प्राप्त करने के बाद, कोष्ठक खोलने और परिणाम की जांच करने के लायक है। मूल त्रिपद प्रकट होना चाहिए।

दूसरा तरीका

कुछ लोग कभी भी भेदभाव करने वाले से दोस्ती नहीं कर पाए। एक वर्ग त्रिपद को गुणनखंड करने का एक और तरीका है। सुविधा के लिए, विधि को एक उदाहरण में दिखाया गया है।

दिया गया है: x²+3x-10

हम जानते हैं कि हमें 2 कोष्ठकों के साथ समाप्त होना चाहिए: (_)(_)। जब व्यंजक इस तरह दिखता है: x² + bx + c, हम प्रत्येक कोष्ठक के आरंभ में x डालते हैं: (x_) (x_)। शेष दो संख्याएँ वह गुणनफल हैं जो इस मामले में "c", अर्थात -10 देता है। यह पता लगाने के लिए कि ये संख्याएँ क्या हैं, आप केवल चयन विधि का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिस्थापित संख्याओं को शेष पद से मेल खाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर -10 प्राप्त होता है:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10। नहीं।
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10। नहीं।
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10। नहीं।
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10। फिट बैठता है।

तो, व्यंजक x2+3x-10 का रूपांतरण इस तरह दिखता है: (x-2)(x+5)।

जरूरी!आपको सावधान रहना चाहिए कि संकेतों को भ्रमित न करें।

एक जटिल त्रिपद का अपघटन

यदि "ए" एक से बड़ा है, तो मुश्किलें शुरू होती हैं। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।

गुणनखंड करने के लिए, किसी को पहले यह देखना होगा कि क्या किसी चीज को कारक बनाना संभव है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक दिया गया है: 3x²+9x-30. यहाँ संख्या 3 को कोष्ठक से निकाला गया है:

3(x²+3x-10)। परिणाम पहले से ही ज्ञात त्रिपद है। उत्तर इस तरह दिखता है: 3(x-2)(x+5)

यदि चुकता पद ऋणात्मक है तो विघटित कैसे करें? पर इस मामले मेंसंख्या -1 को कोष्ठक से निकाल दिया जाता है। उदाहरण के लिए: -x²-10x-8। तब अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी:

यह योजना पिछले वाले से बहुत कम अलग है। कुछ ही नई चीजें हैं। मान लें कि व्यंजक दिया गया है: 2x²+7x+3. उत्तर भी 2 कोष्ठकों में लिखा गया है, जिसे (_) (_) में भरना होगा। दूसरे कोष्ठक में X लिखा है, और पहले में क्या बचा है। यह इस तरह दिखता है: (2x_)(x_)। अन्यथा, पिछली योजना दोहराई जाती है।

नंबर 3 नंबर देता है:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

हम दी गई संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरण हल करते हैं। अंतिम विकल्प फिट बैठता है। तो अभिव्यक्ति का परिवर्तन 2x²+7x+3 इस तरह दिखता है: (2x+1)(x+3)।

अन्य मामले

एक अभिव्यक्ति को बदलना हमेशा संभव नहीं होता है। दूसरी विधि में, समीकरण के हल की आवश्यकता नहीं होती है। लेकिन शब्दों को उत्पाद में बदलने की संभावना केवल विवेचक के माध्यम से जांची जाती है।

द्विघात समीकरणों को हल करने का अभ्यास करना उचित है ताकि सूत्रों का उपयोग करते समय कोई कठिनाई न हो।

उपयोगी वीडियो: एक त्रिपद का गुणनखंड

निष्कर्ष

आप इसे किसी भी तरह से इस्तेमाल कर सकते हैं। लेकिन ऑटोमैटिज्म दोनों पर काम करना बेहतर है। साथ ही, जो लोग अपने जीवन को गणित से जोड़ने जा रहे हैं, उन्हें द्विघात समीकरणों को अच्छी तरह से हल करना और बहुपदों को कारकों में विघटित करना सीखना होगा। निम्नलिखित सभी गणितीय विषय इसी पर निर्मित हैं।

किसी समीकरण का गुणनखंडन करना उन शब्दों या व्यंजकों को खोजने की प्रक्रिया है, जिन्हें गुणा करने पर प्रारंभिक समीकरण प्राप्त होता है। बुनियादी बीजीय समस्याओं को हल करने के लिए फैक्टरिंग एक उपयोगी कौशल है, और द्विघात समीकरणों और अन्य बहुपदों के साथ काम करते समय एक व्यावहारिक आवश्यकता बन जाती है। बीजगणितीय समीकरणों को हल करने में आसान बनाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग किया जाता है। फैक्टरिंग आपको समीकरण को मैन्युअल रूप से हल करके कुछ संभावित उत्तरों को तेज़ी से निकालने में मदद कर सकता है।

कदम

संख्याओं का गुणनखंडन और मूल बीजीय व्यंजक

1. संख्याओं का गुणनखंडन।फैक्टरिंग की अवधारणा सरल है, लेकिन व्यवहार में फैक्टरिंग मुश्किल हो सकती है (एक जटिल समीकरण दिया गया है)। तो आइए एक उदाहरण के रूप में संख्याओं का उपयोग करके फैक्टरिंग की अवधारणा के साथ शुरू करते हैं, सरल समीकरणों के साथ जारी रखते हैं, और फिर जटिल समीकरणों की ओर बढ़ते हैं। किसी दी गई संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं, जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 12 के गुणनखंड संख्याएँ हैं: 1, 12, 2, 6, 3, 4, क्योंकि 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12।

   • इसी तरह, आप किसी संख्या के गुणनखंडों को उसके भाजक मान सकते हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे दी गई संख्या विभाज्य है।
   • संख्या 60 के सभी गुणनखंड ज्ञात कीजिए। हम अक्सर संख्या 60 का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, एक घंटे में 60 मिनट, एक मिनट में 60 सेकंड, आदि) और इस संख्या में काफी बड़ी संख्या में गुणनखंड होते हैं।
     • 60 गुणक: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।

2. याद है:एक गुणांक (संख्या) और एक चर वाले व्यंजक के पदों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, चर पर गुणांक के गुणकों का पता लगाएं। समीकरणों के पदों को गुणनखंडित करने का तरीका जानने के बाद, आप आसानी से इस समीकरण को सरल बना सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, पद 12x को 12 और x के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। आप 12x को 3(4x), 2(6x), आदि के रूप में भी लिख सकते हैं।
     • आप लगातार 12x कई बार बिछा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको 3(4x) या 2(6x) पर नहीं रुकना चाहिए; विस्तार जारी रखें: 3(2(2x)) या 2(3(2x)) (जाहिर है, 3(4x)=3(2(2x)) आदि)

3. बीजीय समीकरणों को गुणनखंड करने के लिए गुणन के वितरण गुण को लागू करें।किसी व्यंजक की संख्याओं और पदों (चरों के साथ गुणांक) का गुणनखंडन करने का तरीका जानने के बाद, आप किसी संख्या और व्यंजक के पद का उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करके सरल बीजीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं। आमतौर पर, समीकरण को सरल बनाने के लिए, आपको सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) खोजने की आवश्यकता होती है। गुणन के वितरण गुण के कारण ऐसा सरलीकरण संभव है: किसी भी संख्या a, b, c के लिए, समानता a (b + c) = ab + ac सत्य है।

   • उदाहरण। समीकरण 12x + 6 का गुणनखंड करें। सबसे पहले, 12x और 6 का gcd ज्ञात करें। 6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12x और 6 दोनों को विभाजित करती है, इसलिए आप इस समीकरण को 6(2x+1) में विभाजित कर सकते हैं।
   • यह प्रक्रिया उन समीकरणों के लिए भी सही है जिनमें ऋणात्मक और भिन्नात्मक पद होते हैं। उदाहरण के लिए, x/2+4 को 1/2(x+8) में विघटित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, -7x+(-21) को -7(x+3) में विघटित किया जा सकता है।

   द्विघात समीकरणों का गुणनखंडन

   1. सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप में है (कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0)।द्विघात समीकरण हैं: ax 2 + bx + c = 0, जहाँ a, b, c 0 के अलावा अन्य संख्यात्मक गुणांक हैं। यदि आपको एक चर (x) के साथ एक समीकरण दिया गया है और इस समीकरण में एक या अधिक पद हैं जो दूसरे क्रम के साथ हैं चर, आप समीकरण के सभी पदों को समीकरण के एक तरफ ले जा सकते हैं और इसे शून्य के बराबर कर सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18। इसे समीकरण x 2 + 6x + 9 = 0 में परिवर्तित किया जा सकता है, जो एक द्विघात समीकरण है।
      • बड़े ऑर्डर के चर x वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, x 3 , x 4 , आदि। द्विघात समीकरण नहीं हैं। ये घन समीकरण, चौथे क्रम के समीकरण, और इसी तरह के अन्य समीकरण हैं (केवल अगर ऐसे समीकरणों को चर x से 2 की घात के साथ द्विघात समीकरणों में सरलीकृत नहीं किया जा सकता है)।

   2. द्विघात समीकरण, जहाँ a \u003d 1, (x + d) (x + e) ​​में विघटित होते हैं, जहाँ d * e \u003d c और d + e \u003d b।यदि आपको दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है: x 2 + bx + c \u003d 0 (अर्थात, x 2 पर गुणांक 1 के बराबर है), तो ऐसा समीकरण (लेकिन गारंटी नहीं) उपरोक्त में विघटित हो सकता है कारक ऐसा करने के लिए, आपको दो संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है, जो गुणा करने पर "सी" दें, और जब जोड़ा जाए - "बी"। एक बार जब आप इन दो संख्याओं (डी और ई) को ढूंढ लेते हैं, तो उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें: (x+d)(x+e), जो, जब कोष्ठक खोले जाते हैं, तो मूल समीकरण की ओर जाता है।

      • उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 और 3+2=5 दिया गया है, ताकि आप समीकरण को (x+3)(x+2) में विस्तारित कर सकें।
      • नकारात्मक शब्दों के लिए, गुणनखंडन प्रक्रिया में निम्नलिखित छोटे परिवर्तन करें:
        • यदि द्विघात समीकरण का रूप x 2 -bx + c है, तो यह निम्न में विघटित हो जाता है: (x-_) (x-_)।
        • यदि द्विघात समीकरण का रूप x 2 -bx-c है, तो यह निम्न में विघटित हो जाता है: (x + _) (x-_)।
      • नोट: रिक्त स्थान को भिन्न या दशमलव से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + (21/2)x + 5 = 0 (x + 10) (x + 1/2) में विघटित हो जाता है।

   3. परीक्षण और त्रुटि द्वारा गुणनखंडन।जब तक आपको सही हल नहीं मिल जाता, तब तक सरल द्विघात समीकरणों को केवल संभावित समाधानों में संख्याओं को प्रतिस्थापित करके गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि समीकरण का रूप ax 2 +bx+c है, जहां a>1, संभावित समाधान (dx +/- _)(ex +/- _) के रूप में लिखे गए हैं, जहां d और e शून्य के अलावा अन्य संख्यात्मक गुणांक हैं, जो, गुणा करने पर a देता है। या तो d या e (या दोनों गुणांक) 1 के बराबर हो सकते हैं। यदि दोनों गुणांक 1 के बराबर हैं, तो ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 3x 2 - 8x + 4 दिया गया है। यहां, 3 में केवल दो कारक (3 और 1) हैं, इसलिए संभावित समाधान (3x +/- _) (x +/- _) के रूप में लिखे गए हैं। इस मामले में, रिक्त स्थान के लिए -2 को प्रतिस्थापित करने पर, आपको सही उत्तर मिलेगा: -2*3x=-6x और -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x और -2*-2=4, यानी कोष्ठक खोलने पर इस तरह के विस्तार से मूल समीकरण के पद बन जाएंगे।

इस लेख में आपको प्रश्न का उत्तर देने वाली सभी आवश्यक जानकारी मिलेगी, किसी संख्या का गुणनखंड कैसे करें. सबसे पहले, किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का एक सामान्य विचार दिया गया है, विस्तार के उदाहरण दिए गए हैं। किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का विहित रूप आगे दिखाया गया है। उसके बाद, अभाज्य संख्याओं को अभाज्य संख्याओं में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया गया है, और इस एल्गोरिथम का उपयोग करके संख्याओं को विघटित करने के उदाहरण दिए गए हैं। वैकल्पिक तरीकों पर भी विचार किया जाता है जो आपको विभाज्यता मानदंड और गुणन तालिका का उपयोग करके छोटे पूर्णांकों को अभाज्य कारकों में जल्दी से विघटित करने की अनुमति देते हैं।

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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में बदलने का क्या अर्थ है?

सबसे पहले, आइए देखें कि प्रमुख कारक क्या हैं।

यह स्पष्ट है कि चूंकि इस वाक्यांश में "कारक" शब्द मौजूद है, इसलिए कुछ संख्याओं का गुणनफल होता है, और स्पष्ट करने वाले शब्द "अभाज्य" का अर्थ है कि प्रत्येक कारक एक अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र 2 7 7 23 के गुणनफल में चार अभाज्य गुणनखंड हैं: 2 , 7 , 7 और 23 ।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में बदलने का क्या अर्थ है?

इसका मतलब है कि दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और इस उत्पाद का मूल्य मूल संख्या के बराबर होना चाहिए। एक उदाहरण के रूप में, तीन अभाज्य संख्याओं 2 , 3 और 5 के गुणनफल पर विचार करें, यह 30 के बराबर है, इसलिए संख्या 30 का अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड 2 3 5 है। आमतौर पर, किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन एक समानता के रूप में लिखा जाता है, हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा: 30=2 3 5 । अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि विस्तार में प्रमुख कारकों को दोहराया जा सकता है। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है: 144=2 2 2 2 3 3। लेकिन 45=3 15 के रूप का प्रतिनिधित्व अभाज्य कारकों में अपघटन नहीं है, क्योंकि संख्या 15 समग्र है।

निम्नलिखित प्रश्न उठता है: "और किन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है"?

इसका उत्तर खोजने के लिए, हम निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत करते हैं। अभाज्य संख्याएँ, परिभाषा के अनुसार, एक से बड़ी संख्याओं में से हैं। इस तथ्य को देखते हुए और, यह तर्क दिया जा सकता है कि कई अभाज्य कारकों का गुणनफल एक से अधिक धनात्मक पूर्णांक होता है। इसलिए, गुणनखंडन केवल उन धनात्मक पूर्णांकों के लिए होता है जो 1 से बड़े होते हैं।

लेकिन क्या एक गुणनखंड से बड़े सभी पूर्णांक अभाज्य गुणनखंडों में होते हैं?

यह स्पष्ट है कि साधारण पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का कोई तरीका नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभाज्य संख्याओं में केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं, एक और स्वयं, इसलिए उन्हें दो या अधिक अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। यदि एक पूर्णांक z को अभाज्य संख्याओं a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो विभाज्यता की अवधारणा हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगी कि z, a और b दोनों से विभाज्य है, जो कि संख्या z की सरलता के कारण असंभव है। हालाँकि, यह माना जाता है कि कोई भी अभाज्य संख्या ही उसका अपघटन होती है।

मिश्रित संख्याओं के बारे में क्या? क्या भाज्य संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित होती हैं, और क्या सभी भाज्य संख्याएँ ऐसे अपघटन के अधीन हैं? इनमें से कई प्रश्नों का सकारात्मक उत्तर अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा दिया गया है। अंकगणित की मूल प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी पूर्णांक a जो 1 से बड़ा है, अभाज्य गुणनखंड p 1, p 2, ..., p n के गुणनफल में विघटित हो सकता है, जबकि विस्तार का रूप a=p 1 p 2 .. है। पीएन, और यह अपघटन अद्वितीय है, अगर हम कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखते हैं

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन

किसी संख्या के विस्तार में, अभाज्य गुणनखंडों को दोहराया जा सकता है। दोहराए जाने वाले अभाज्य गुणनखंडों को का उपयोग करके अधिक सघनता से लिखा जा सकता है। मान लें कि अभाज्य गुणनखंड p 1 संख्या a के अपघटन में s 1 बार, अभाज्य गुणनखंड p 2 - s 2 बार, और इसी तरह, p ​​n - s n बार आता है। तब संख्या a का अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार लिखा जा सकता है ए = पी 1 एस 1 पी 2 एस 2 पी एन एस एन. लेखन का यह रूप तथाकथित है किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंड.

आइए हम किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन का एक उदाहरण दें। आइए जानते हैं अपघटन 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप है 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

अभाज्य गुणनखंडों में एक संख्या का विहित अपघटन आपको संख्या के सभी भाजक और संख्या के भाजक की संख्या को खोजने की अनुमति देता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करने के लिए एल्गोरिथम

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के कार्य का सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, आपको लेख में सरल और संयुक्त संख्याओं की जानकारी में बहुत अच्छा होना चाहिए।

एक धनात्मक पूर्णांक और एक से अधिक संख्या के विस्तार की प्रक्रिया का सार अंकगणित के मुख्य प्रमेय के प्रमाण से स्पष्ट है। बिंदु क्रमिक रूप से सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 , p 2 , ..., p n संख्या a, a 1, a 2 , ..., n-1 को खोजने के लिए है, जो आपको समानता की एक श्रृंखला प्राप्त करने की अनुमति देता है a=p 1 a 1 , जहां a 1 = a:p 1, a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2, जहां a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , जहां a n =a n -1: पी एन। जब a n = 1 प्राप्त होता है, तो समानता a=p 1 ·p 2 ·…·p n हमें संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन देगा। यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि पी 1 पी 2 ≤पी 3 …≤पी एन.

यह प्रत्येक चरण में सबसे छोटे अभाज्य भाजक को खोजने के लिए बनी हुई है, और हमारे पास एक संख्या को अभाज्य कारकों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म होगा। अभाज्य संख्या तालिका हमें अभाज्य भाजक खोजने में मदद करेगी। आइए दिखाते हैं कि z संख्या का सबसे छोटा अभाज्य भाजक प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।

हम अभाज्य संख्याओं (2 , 3 , 5 , 7 , 11 इत्यादि) की तालिका से अभाज्य संख्याएँ क्रमिक रूप से लेते हैं और दी गई संख्या z को उनके द्वारा विभाजित करते हैं। पहली अभाज्य संख्या जिससे z समान रूप से विभाज्य है, उसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक है। यदि संख्या z अभाज्य है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक संख्या z ही होगा। यहां यह भी याद किया जाना चाहिए कि यदि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक उस संख्या से अधिक नहीं होता है, जहां - z से। इस प्रकार, यदि अभाज्य संख्याओं में से अधिक नहीं है, तो संख्या z का एक भी भाजक नहीं था, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि z एक अभाज्य संख्या है (इसके बारे में और अधिक शीर्षक के तहत सिद्धांत खंड में लिखा गया है यह संख्या अभाज्य या मिश्रित है )

उदाहरण के लिए, आइए दिखाते हैं कि संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक कैसे ज्ञात करें। हम नंबर 2 लेते हैं। 87 को 2 से भाग देने पर हमें 87:2=43 (बाकी 1) मिलता है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। अर्थात्, 87 को 2 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, इसलिए 2 संख्या 87 का भाजक नहीं है। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अगली अभाज्य संख्या लेते हैं, यह संख्या 3 है। हम 87 को 3 से भाग देते हैं, हमें 87:3=29 मिलता है। तो 87 समान रूप से 3 से विभाज्य है, इसलिए 3 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, संख्या a को गुणनखंडित करने के लिए, हमें अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होती है, जो संख्या से कम न हो। हमें इस तालिका को हर कदम पर देखना होगा, इसलिए हमें इसे हाथ में रखना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 95 का गुणनखंड करने के लिए, हमें 10 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका की आवश्यकता होगी (चूंकि 10 से बड़ा है)। और संख्या 846 653 को विघटित करने के लिए, आपको पहले से ही 1,000 तक अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 1,000 से अधिक है)।

अब हमारे पास लिखने के लिए पर्याप्त जानकारी है किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में फ़ैक्टर करने के लिए एल्गोरिथम. संख्या a के विस्तार के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमबद्ध रूप से छाँटने पर, हम संख्या a का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 1 पाते हैं, जिसके बाद हम 1 =a:p 1 की गणना करते हैं। यदि a 1 =1 , तो संख्या a अभाज्य है, और यह स्वयं अभाज्य गुणनखंडों में इसका अपघटन है। अगर 1 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·a 1 है और हम अगले चरण पर जाते हैं।
• हम संख्या a 1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 पाते हैं, इसके लिए हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमबद्ध करते हैं, p 1 से शुरू करते हैं, जिसके बाद हम 2 =a 1:p 2 की गणना करते हैं। यदि a 2 =1 है, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन का रूप a=p 1 ·p 2 है। अगर एक 2 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·a 2 है और हम अगले चरण पर जाते हैं।
• अभाज्य तालिका से संख्याओं को देखते हुए, p 2 से शुरू करते हुए, हम संख्या a 2 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 पाते हैं, जिसके बाद हम a 3 =a 2:p 3 की गणना करते हैं। यदि a 3 =1 है, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन का रूप a=p 1 ·p 2 ·p 3 है। अगर a 3, 1 के बराबर है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 है और अगले चरण पर जाएँ।
• p n-1 के साथ-साथ a n =a n-1:p n, और a n 1 के बराबर अभाज्य संख्याओं को छाँटकर, संख्या a n-1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p n ज्ञात कीजिए। यह चरण एल्गोरिथम का अंतिम चरण है, यहां हम संख्या के आवश्यक अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: a=p 1 ·p 2 ·…·p n ।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में प्राप्त सभी परिणाम निम्नलिखित तालिका के रूप में स्पष्टता के लिए प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें संख्याएँ a, a 1, a 2, ..., n को क्रमानुसार लिखा जाता है। ऊर्ध्वाधर बार के बाईं ओर, और बार के दाईं ओर - संबंधित सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 , p 2 , …, p n ।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए प्राप्त एल्गोरिथम को लागू करने के कुछ उदाहरणों पर विचार करना बाकी है।

प्रधान गुणनखंड उदाहरण

अब हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे अभाज्य गुणनखंड उदाहरण. विघटित होने पर, हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम लागू करेंगे। आइए सरल मामलों से शुरू करें, और धीरे-धीरे हम उन्हें जटिल करेंगे ताकि सभी संभावित बारीकियों का सामना किया जा सके जो संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करते समय उत्पन्न होती हैं।

उदाहरण।

संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

फेसला।

हम संख्या a=78 के पहले सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 की खोज शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अभाज्य संख्याओं के माध्यम से क्रमिक रूप से छाँटना शुरू करते हैं। हम संख्या 2 लेते हैं और इसे 78 से विभाजित करते हैं, हमें 78:2=39 मिलता है। संख्या 78 को बिना शेष के 2 से विभाजित किया गया था, इसलिए p 1 \u003d 2 संख्या 78 का पहला पाया गया प्रधान भाजक है। इस मामले में a 1 =a:p 1 =78:2=39 । तो हम समानता पर आते हैं a=p 1 ·a 1 जिसका रूप 78=2·39 है। जाहिर है, 1 =39 1 से अलग है, इसलिए हम एल्गोरिथम के दूसरे चरण पर जाते हैं।

अब हम संख्या a 1 =39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 ढूंढ रहे हैं। हम p 1 =2 से शुरू करते हुए, अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं की गणना शुरू करते हैं। 39 को 2 से भाग देने पर, हमें 39:2=19 (शेष 1) मिलता है। चूँकि 39 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, 2 इसका भाजक नहीं है। फिर हम अभाज्य संख्याओं (संख्या 3) की तालिका से अगली संख्या लेते हैं और इसे 39 से विभाजित करते हैं, हमें 39:3=13 प्राप्त होता है। इसलिए, p 2 \u003d 3 संख्या 39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है, जबकि a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3 = 13। हमारे पास 78=2 3 13 के रूप में a=p 1 p 2 a 2 समानता है। चूँकि 2 =13 1 से भिन्न है, इसलिए हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाते हैं।

यहाँ हमें संख्या a 2 =13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना है। संख्या 13 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 3 की खोज में, हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमबद्ध करेंगे, जो p 2 =3 से शुरू होगी। संख्या 13, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13:3=4 (बाकी 1) भी 13, 5, 7 और 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13:5=2 (बाकी 3), 13:7=1 (res. 6) और 13:11=1 (res. 2)। अगली अभाज्य संख्या 13 है, और 13 इसके द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य है, इसलिए, संख्या 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 ही संख्या 13 है, और एक 3 =ए 2:पी 3 =13:13=1 . 3 =1 के बाद से, एल्गोरिथम का यह चरण अंतिम है, और संख्या 78 का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन का रूप 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) है। .

जवाब:

78=2 3 13.

उदाहरण।

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

फेसला।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम के पहले चरण में, हम p 1 =2 और a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 पाते हैं, जहां से 83 006=2 41 503।

दूसरे चरण में, हम पाते हैं कि 2 , 3 और 5 संख्या a 1 =41 503 के अभाज्य भाजक नहीं हैं, और संख्या 7 है, क्योंकि 41 503: 7=5 929 । हमारे पास p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 है। अत: 83 006=2 7 5 929।

2 =5 929 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 7 है, क्योंकि 5 929:7=847 है। इस प्रकार, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , जहां से 83 006=2 7 7 847 है।

इसके अलावा हम पाते हैं कि संख्या a 3 =847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4, 7 के बराबर है। फिर a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , तो 83 006=2 7 7 7 121 ।

अब हम संख्या a 4 =121 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक पाते हैं, यह संख्या p 5 =11 है (चूंकि 121 11 से विभाज्य है और 7 से विभाज्य नहीं है)। फिर a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , और 83 006=2 7 7 7 11 11 ।

अंत में, 5 =11 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 6 =11 है। फिर a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 । 6 =1 के बाद से, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथम का यह चरण अंतिम है, और वांछित अपघटन का रूप 83 006=2·7·7·7·11·11 है।

प्राप्त परिणाम को अभाज्य गुणनखंड 83 006=2·7 3 ·11 2 में संख्या के विहित अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है।

जवाब:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 एक अभाज्य संख्या है। वास्तव में, इसका कोई अभाज्य भाजक नहीं है जो इससे अधिक न हो ( मोटे तौर पर अनुमान लगाया जा सकता है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

जवाब:

897 924 289=937 967 991।

प्राइम फैक्टराइजेशन के लिए विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करना

साधारण मामलों में, आप इस आलेख के पहले पैराग्राफ से अपघटन एल्गोरिदम का उपयोग किए बिना एक संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित कर सकते हैं। यदि संख्याएँ बड़ी नहीं हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए, विभाज्यता के संकेतों को जानना अक्सर पर्याप्त होता है। हम स्पष्टीकरण के लिए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण के लिए, हमें संख्या 10 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने की आवश्यकता है। हम गुणन तालिका से जानते हैं कि 2 5=10, और संख्याएं 2 और 5 स्पष्ट रूप से अभाज्य हैं, इसलिए 10 का अभाज्य गुणनखंड 10=2 5 है।

एक और उदाहरण। गुणन तालिका का उपयोग करते हुए, हम संख्या 48 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं। हम जानते हैं कि छह आठ अड़तालीस है, यानी 48=6 8. हालाँकि, न तो 6 और न ही 8 अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन हम जानते हैं कि दो बार तीन छह है, और दो बार चार आठ है, यानी 6=2 3 और 8=2 4। तब 48=6 8=2 3 2 4 । यह याद रखना बाकी है कि दो बार दो चार है, फिर हम वांछित अपघटन को प्रमुख कारकों में प्राप्त करते हैं 48=2 3 2 2 2 । आइए इस अपघटन को विहित रूप में लिखें: 48=2 4 ·3 ।

लेकिन संख्या 3400 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। 10, 100 से विभाज्यता के संकेत हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि 3400 100 से विभाज्य है, जबकि 3400 = 34 100, और 100, 10 से विभाज्य है, जबकि 100 = 10 10, इसलिए, 3400 = 34 10 10। और 2 से विभाज्यता के चिन्ह के आधार पर यह तर्क दिया जा सकता है कि 34, 10 और 10 में से प्रत्येक गुणनखंड 2 से विभाज्य है, हम पाते हैं 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. परिणामी विस्तार के सभी कारक सरल हैं, इसलिए यह विस्तार वांछित है। यह केवल कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए रहता है ताकि वे आरोही क्रम में जा सकें: 3 400=2 2 2 5 5 17 । हम इस संख्या के विहित अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में भी लिखते हैं: 3 400=2 3 5 2 17 ।

किसी दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप बदले में विभाज्यता के संकेतों और गुणन तालिका दोनों का उपयोग कर सकते हैं। आइए संख्या 75 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें। 5 से विभाज्यता का चिन्ह हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि 75, 5 से विभाज्य है, जबकि हमें वह 75 = 5 15 मिलता है। और गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 15=3 5 , इसलिए 75=5 3 5 । यह संख्या 75 का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन है।

ग्रंथ सूची।

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