हाइपरबोला और इसके विहित समीकरण। दूसरे क्रम के वक्र

अध्याय III। दूसरे क्रम के वक्र

§ 40. अतिशयोक्ति।

अतिशयोक्तिएक सेट कहा जाता है समतल बिंदु, जिनमें से प्रत्येक के लिए विमान के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक स्थिर है और कम दूरीइन बिंदुओं के बीच।

इन बिंदुओं को कहा जाता है चालअतिपरवलय, और उनके बीच की दूरी है नाभीयदूरी।

हाइपरबोला के फोकस को F 1 और F 2 अक्षरों से निरूपित करें।
होने देना फोकल लम्बाई| एफ 1 एफ 2 | = 2 साथ.

अगर एम - मनमाना बिंदुअतिपरवलय (चित्र 112), फिर, अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार, अंतर का मापांक | एफ 1 एम | - | एफ 2 एम | लगातार। इसे 2 . से निरूपित करना एक, हम पाते हैं

| | एफ 1 एम | - | एफ 2 एम | | = 2 एक. (1)

ध्यान दें कि अतिपरवलय 2 . की परिभाषा के अनुसार एक< 2साथ, अर्थात। एक< с .

समानता (1) एक अतिपरवलय का समीकरण है।

हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि एब्सिस्सा अक्ष हाइपरबोला के फॉसी से होकर गुजरे; खंड F 1 F 2 के मध्य से होकर y-अक्ष खींचिए जो इस पर लम्बवत है (चित्र 113)।

तब अतिपरवलय का फोकस बिंदु F 1 (- सी; 0) और एफ 2 ( सी; 0).

मुझे यह करने दो( एक्स; पर) अतिपरवलय का कोई बिंदु है, तो

| एफ 1 एम | = ( एक्स+सी) 2 + आप 2 और | एफ 2 एम | = ( एक्स-सी) 2 + आप 2 .

मूल्यों को प्रतिस्थापित करना | एफ 1 एम | और | एफ 2 एम | समीकरण (1) में, हम प्राप्त करते हैं

| √(एक्स+सी) 2 + आप 2 - √(एक्स-सी) 2 + आप 2 | = 2एक. (2)

हमने जो समीकरण प्राप्त किया है वह चयनित समन्वय प्रणाली में एक अतिपरवलय का समीकरण है। इस समीकरण को सरल रूप में कम किया जा सकता है।

होने देना एक्स > 0, तो समीकरण (2) को मापांक चिह्न के बिना निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

√(एक्स+सी) 2 + आप 2 - √(एक्स-सी) 2 + आप 2 = 2एक,

√(एक्स+सी) 2 + आप 2 =2एक + √(एक्स-सी) 2 + आप 2 (3)

आइए परिणामी समानता के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

(एक्स + सी) 2 + पर 2 = 4एक 2 + 4एक √(एक्स-सी) 2 + आप 2 + (एक्स - सी) 2 + पर 2 .

उपयुक्त सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद:

√(एक्स-सी) 2 + आप 2 = सी / एक एक्स - ए, (4)

(एक्स - सी) 2 + पर 2 = (सी / एक एक्स - ए) 2 ,

हम समीकरण पर आते हैं

(5)

अतिशयोक्ति की परिभाषा के अनुसार एक< साथ, इसीलिए साथ 2 - एक 2 - सकारात्मक संख्या. आइए इसे द्वारा निरूपित करें बी 2 , यानी पुट बी 2 = साथ 2 - एक 2. तब समीकरण (5) रूप लेता है

पद द्वारा विभाजित पद बी 2 , हम समीकरण प्राप्त करते हैं

यदि एक एक्स < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(एक्स-सी) 2 + आप 2 - √(एक्स+सी) 2 + आप 2 = 2एक,

और उसी तरह जैसे मामले में एक्स > 0 को फॉर्म (6) में बदल दिया जाता है।

समीकरण (6) कहा जाता है अतिपरवलय का विहित समीकरण.

टिप्पणी।समीकरण (3) और (4) के दोनों भागों का वर्ग करने से समीकरणों की तुल्यता का उल्लंघन नहीं होता। समीकरण (3) के दोनों भाग स्पष्ट रूप से सभी मानों के लिए गैर-ऋणात्मक हैं एक्सतथा पर. समीकरण (4) का बायां पक्ष भी हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है। पर एक्स > एक दाहिना भागसमीकरण (4) धनात्मक है, क्योंकि

सी / एक एक्स - ए > सी / एक ए - ए = सीए > 0

तो, बाहरी बिंदु केवल 0 . की स्थिति के तहत दिखाई दे सकते हैं < एक्स< а , लेकिन समीकरण (6) से यह इस प्रकार है कि एक्स 2 /एक 2 > 1, यानी | एक्स | > एक.

कार्य 1।लिखना विहित समीकरणअतिपरवलय एक बिंदु से गुजरना
M (-5; 9/4) यदि अतिपरवलय की फोकस दूरी 10 है।

चूँकि |F 1 F 2 |= 10, तब साथ= 5. आइए हम अतिपरवलय का विहित समीकरण लिखें

शर्त के अनुसार, बिंदु M (-5; 9/4) अतिपरवलय से संबंधित है, इसलिए,

निर्धारित करने के लिए दूसरा समीकरण एक 2 और बी 2 अनुपात देता है

बी 2 = साथ 2 -एक 2 = 25 -एक 2 .

सिस्टम को हल करने के बाद

पाना एक 2 =16, बी 2 = 9. वांछित समीकरण समीकरण होगा

कार्य 2.सिद्ध कीजिए कि समीकरण

20एक्स 2 - 29आप 2 = 580

अतिपरवलय का समीकरण है। चाल के निर्देशांक खोजें।

समीकरण के दोनों पक्षों को 580 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

यह अतिपरवलयिक समीकरण है जिसके लिए एक 2 = 29, बी 2 = 20.
रिश्ते से सी 2 = एक 2 + बी 2 खोज सी 2 = 29 + 20 = 49, साथ= 7. अत: अतिपरवलय की नाभियाँ F 1 (-7; 0) और F 2 (7; 0) बिंदुओं पर हैं।

एक दीर्घवृत्त के समीकरण को देखते हुए।

समाधान:

हम दीर्घवृत्त के समीकरण को विहित रूप में लिखते हैं:
.

यहाँ से
. अनुपात का उपयोग करना
, हम देखतें है
. फलस्वरूप,
.

सूत्र के अनुसार पाना .

डायरेक्ट्रिक्स समीकरण
हमशक्ल
, उनके बीच की दूरी
.

सूत्र के अनुसार
बिंदुओं का भुज ज्ञात कीजिए, जिस से बिंदु तक की दूरी 12 के बराबर:

. प्रतिस्थापन मूल्य एक्सएक दीर्घवृत्त के समीकरण में, हम इन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं:

इस प्रकार, बिंदु A(7;0) समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

समस्या 56.

बिंदुओं से गुजरने वाले दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान:

हम इस रूप में दीर्घवृत्त समीकरण की तलाश कर रहे हैं
.

चूँकि दीर्घवृत्त बिंदुओं से होकर गुजरता है
, तो उनके निर्देशांक दीर्घवृत्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
. दूसरी समानता को (-4) से गुणा करने पर और पहली में जोड़ने पर, हम पाते हैं
.

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करना पहले समीकरण में, हम पाते हैं
. इस प्रकार, वांछित समीकरण
.

समस्या 57.

;
.

अतिशयोक्ति

अतिशयोक्तिएक रेखा को कहा जाता है, जिसमें विमान के सभी बिंदु होते हैं, दूरी के अंतर का मापांक जिसमें से दो दिए गए बिंदु होते हैं तथा एक स्थिर मान है (शून्य के बराबर नहीं और बिंदुओं के बीच की दूरी से कम) तथा ).

अंक तथा बुलाया चालअतिशयोक्ति। मान लीजिए कि नाभियों के बीच की दूरी है
. हाइपरबोला पॉइंट्स से फ़ॉसी तक की दूरी का मॉड्यूल तथा द्वारा निरूपित करें . शर्त से,
.

कहाँ पे
- अतिपरवलय के एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक,

समीकरण
बुलाया विहित समीकरणअतिशयोक्ति।

अतिशयोक्ति में दो होते हैं स्पर्शोन्मुख
.

सनकहाइपरबोला को एक संख्या कहा जाता है . किसी अतिशयोक्ति के लिए
.

अतिपरवलय बिंदु की फोकल त्रिज्याइस बिंदु को नाभियों से जोड़ने वाले रेखाखंड कहलाते हैं तथा . उनकी लंबाई तथा सूत्रों द्वारा दिया गया है:

प्रत्यक्ष
अतिपरवलय के निर्देश कहलाते हैं। जैसा कि एक दीर्घवृत्त के मामले में, एक अतिपरवलय के बिंदु संबंध द्वारा अभिलक्षित होते हैं .

समस्या 58.

अतिपरवलय की नाभियों और उत्केन्द्रता के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए
.

उत्तर:
.

समस्या 59.

अतिपरवलय का विहित समीकरण लिखिए यदि (
) हाइपरबोला की विलक्षणता का निर्धारण करें।

उत्तर:
.

समस्या 60.

निर्देशांक अक्षों के बारे में एक अतिपरवलय सममित का विहित समीकरण लिखिए यदि वह एक बिंदु से गुजरता है
, और विलक्षणता है
.

उत्तर:
.

कार्य 61.

एक अतिपरवलय के समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष नाभि पर हैं और जिसका नाभियां एक दीर्घवृत्त के शीर्षों पर हैं
.

उत्तर:
.

समस्या 62.

परिभाषित करना ज्यामितीय स्थानअंक
, दूरी जिससे सीधी रेखा तक
बिंदु से पहले जितना आधा
.

उत्तर:
.

समस्या 63.

निर्देशांक प्रणाली के संबंध में एक अतिपरवलय सममित का समीकरण लिखिए यदि वह बिंदुओं से गुजरता है
,
.

उत्तर:
.

टास्क 64.

एक अतिपरवलय के लिए एक समीकरण लिखिए यदि उसके स्पर्शोन्मुख समीकरण द्वारा दिए गए हैं
, और अतिपरवलय बिंदु से होकर गुजरता है
.

उत्तर:
.

समस्या 65.

विमान पर स्थित बिंदु कैसे हैं, जिनके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं:

परवलय

परवलयकिसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं से मिलकर बनी रेखा कहलाती है
(फोकस) और दी गई लाइन (निदेशक)।

परवलय के विहित समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, अक्ष
फोकस से गुजरें
डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत डायरेक्ट्रिक्स से फोकस की दिशा में; निर्देशांक की उत्पत्ति फोकस के बीच के खंड के बीच में ली जाती है
और डॉट
अक्ष चौराहा
प्रधानाध्यापिका के साथ . यदि द्वारा निरूपित किया जाता है डायरेक्ट्रिक्स से फोकस दूरी, फिर
और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण इस तरह दिखेगा
.

चयनित समन्वय प्रणाली में, परवलय समीकरण का रूप है:
. इस समीकरण को कहा जाता है परवलय का विहित समीकरण.

परिभाषा . अतिपरवलय बिंदुओं का एक बिंदुपथ है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं का अंतर, जिसे फ़ोसी कहा जाता है, एक स्थिर मान होता है

आइए एक समन्वय प्रणाली लें ताकि फॉसी एब्सिस्सा अक्ष पर स्थित हो, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड एफ 1 एफ 2 को आधे में विभाजित करती है (चित्र 30)। एफ 1 एफ 2 = 2 सी को निरूपित करें। फिर एफ 1 (सी; 0); F2 (-सी; 0)

एमएफ 2 \u003d आर 2, एमएफ 1 \u003d आर 1 - फोकल त्रिज्याअतिशयोक्ति।

अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार, r 1 - r 2 = const.

आइए इसे 2a . से निरूपित करें

फिर r 2 - r 1 = ± 2a तो:

=> अतिपरवलय का विहित समीकरण

चूँकि अतिपरवलय x और y का समीकरण सम घातों में है, तो यदि बिंदु M 0 (x 0; y 0) अतिपरवलय पर स्थित है, तो बिंदु M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0; -x 0; -y 0) एम 3 (-x 0; -y 0)।

इसलिए, हाइपरबोला दोनों समन्वय अक्षों के बारे में सममित है।

जब y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a। अतिपरवलय के शीर्ष बिन्दु A 1 (a; 0) होंगे; ए 2 (-ए; 0)।

. समरूपता के कारण, अध्ययन पहली तिमाही में किया जाता है

1) पर
y का एक काल्पनिक मान है, इसलिए अतिपरवलय के बिंदु भुज के साथ
मौजूद नहीं

2) एक्स = ए पर; y \u003d 0 ए 1 (ए; 0) हाइपरबोला से संबंधित है

3) x > a के लिए; y > 0. इसके अलावा, x में असीमित वृद्धि के साथ, अतिपरवलय की शाखा अनंत तक जाती है।

यह इस प्रकार है कि एक हाइपरबोला एक वक्र है जिसमें दो अनंत शाखाएं होती हैं।

पी 6. एक अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख

समीकरण के साथ विचार करें
सीधी रेखा समीकरण

प्रति वक्र सीधी रेखा के नीचे होगा (चित्र 31)। बिंदु N (x, Y) और M (x, y) पर विचार करें जिनके भुज समान हैं, और Y - y \u003d MN। खंड MN . की लंबाई पर विचार करें

हमे पता करने दें

इसलिए, यदि बिंदु M, पहली तिमाही में अतिपरवलय के साथ चलते हुए, अनंत की ओर बढ़ता है, तो सीधी रेखा से इसकी दूरी
घटता है और शून्य हो जाता है।

सममिति के कारण सरल रेखा का गुण समान होता है।
.

परिभाषा। सीधी रेखाएँ जिससे
अनिश्चित काल तक पहुंचने वाले वक्र को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है।

और
अत: अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का समीकरण
.

हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख एक आयत के विकर्णों के साथ स्थित होते हैं, जिसका एक पक्ष x-अक्ष के समानांतर होता है और 2a के बराबर होता है, और दूसरा y-अक्ष के समानांतर होता है और 2b के बराबर होता है, और केंद्र मूल स्थान पर स्थित है (चित्र 32)।

पी 7. एक अतिपरवलय की विलक्षणता और निर्देश

r 2 - r 1 = ± 2a चिन्ह + अतिपरवलय की दाहिनी शाखा को दर्शाता है

साइन - हाइपरबोला की बाईं शाखा को संदर्भित करता है

परिभाषा। हाइपरबोला की विलक्षणता इस हाइपरबोला के फॉसी के बीच की दूरी और इसके शीर्षों के बीच की दूरी का अनुपात है।

. चूँकि c > a, > 1

हम अतिपरवलय की फोकल त्रिज्या को विलक्षणता के रूप में व्यक्त करते हैं:

परिभाषा . चलो लाइनों को बुलाओ
, अतिपरवलय के फोकल अक्ष के लंबवत और कुछ दूरी पर स्थितइसके केंद्र से दाएं और बाएं फॉसी के अनुरूप हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स द्वारा।

टी
अतिशयोक्ति के लिए पसंद है
फलस्वरूप, अतिपरवलय की दिशाएँ इसके शीर्षों के बीच स्थित होती हैं (चित्र 33)। आइए हम दिखाते हैं कि हाइपरबोला के किसी भी बिंदु की फोकस और संबंधित डायरेक्ट्रिक्स की दूरी का अनुपात एक स्थिर और ε के बराबर है।

पी. 8 परवलय और उसका समीकरण

हे
परिभाषा। एक परवलय उन बिंदुओं का स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा से, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।

एक परवलय के समीकरण की रचना करने के लिए, हम x-अक्ष के रूप में एक सीधी रेखा लेते हैं जो फोकस F 1 से होकर जाती है और हम डायरेक्ट्रिक्स से फोकस की ओर निर्देशित x-अक्ष पर विचार करेंगे। निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए, हम खंड के मध्य बिंदु O को बिंदु F से दी गई सीधी रेखा तक लेते हैं, जिसकी लंबाई हम p (चित्र। 34) से दर्शाते हैं। मात्रा p को परवलय का प्राचल कहा जाएगा। फोकस समन्वय बिंदु
.

माना M(x, y) परवलय का एक मनमाना बिंदु है।

परिभाषा से

पर 2 = 2px परवलय का विहित समीकरण है

परवलय के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, हम इसके समीकरण को बदलते हैं
यह संकेत करता है । इसलिए, परवलय का शीर्ष मूल बिंदु पर है और परवलय की सममिति का अक्ष x है। समीकरण y 2 \u003d -2px सकारात्मक p के साथ समीकरण y 2 \u003d 2px में घटाकर x को -x से बदल दिया जाता है और इसका ग्राफ जैसा दिखता है (चित्र 35)।