अध्याय III। दूसरे क्रम के वक्र

§ 40. अतिशयोक्ति।

अतिशयोक्तिएक सेट कहा जाता है समतल बिंदु, जिनमें से प्रत्येक के लिए विमान के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक स्थिर है और कम दूरीइन बिंदुओं के बीच।

इन बिंदुओं को कहा जाता है चालअतिपरवलय, और उनके बीच की दूरी है नाभीयदूरी।

हाइपरबोला के फोकस को F 1 और F 2 अक्षरों से निरूपित करें।
रहने दो फोकल लम्बाई| एफ 1 एफ 2 | = 2 साथ.

यदि M अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 112), तो अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार, अंतर का मापांक | एफ 1 एम | - | एफ 2 एम | लगातार। इसे 2 . से निरूपित करना ए, हम पाते हैं

| | एफ 1 एम | - | एफ 2 एम | | = 2 ए. (1)

ध्यान दें कि अतिपरवलय 2 . की परिभाषा के अनुसार ए< 2साथ, अर्थात। ए< с .

समानता (1) एक अतिपरवलय का समीकरण है।

हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि एब्सिस्सा अक्ष हाइपरबोला के फॉसी से होकर गुजरे; खंड F 1 F 2 के मध्य से होकर y-अक्ष खींचिए जो इस पर लंबवत है (चित्र 113)।

तब अतिपरवलय का फोकस बिंदु F 1 (- सी; 0) और एफ 2 ( सी; 0).

मुझे( एक्स; पर) अतिपरवलय का कोई बिंदु है, तो

| एफ 1 एम | = ( एक्स+सी) 2 + आप 2 और | एफ 2 एम | = ( एक्स-सी) 2 + आप 2 .

मूल्यों को प्रतिस्थापित करना | एफ 1 एम | और | एफ 2 एम | समीकरण (1) में, हम प्राप्त करते हैं

| √(एक्स+सी) 2 + आप 2 - √(एक्स-सी) 2 + आप 2 | = 2ए. (2)

हमने जो समीकरण प्राप्त किया है वह चयनित समन्वय प्रणाली में एक अतिपरवलय का समीकरण है। इस समीकरण को सरल रूप में कम किया जा सकता है।

रहने दो एक्स > 0, तो समीकरण (2) को मापांक चिह्न के बिना निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

√(एक्स+सी) 2 + आप 2 - √(एक्स-सी) 2 + आप 2 = 2ए,

√(एक्स+सी) 2 + आप 2 =2ए + √(एक्स-सी) 2 + आप 2 (3)

आइए परिणामी समानता के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

(एक्स + सी) 2 + पर 2 = 4ए 2 + 4ए √(एक्स-सी) 2 + आप 2 + (एक्स - सी) 2 + पर 2 .

उपयुक्त सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद:

√(एक्स-सी) 2 + आप 2 = सी / ए एक्स - ए, (4)

(एक्स - सी) 2 + पर 2 = (सी / ए एक्स - ए) 2 ,

हम समीकरण पर आते हैं

(5)

अतिशयोक्ति की परिभाषा के अनुसार ए< साथ, इसीलिए साथ 2 - ए 2 - सकारात्मक संख्या. आइए इसे द्वारा निरूपित करें बी 2 , यानी पुट बी 2 = साथ 2 - ए 2. तब समीकरण (5) रूप लेता है

पद द्वारा विभाजित पद बी 2 , हम समीकरण प्राप्त करते हैं

यदि एक एक्स < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(एक्स-सी) 2 + आप 2 - √(एक्स+सी) 2 + आप 2 = 2ए,

और उसी तरह जैसे मामले में एक्स > 0 को फॉर्म (6) में बदल दिया जाता है।

समीकरण (6) कहा जाता है अतिपरवलय का विहित समीकरण.

टिप्पणी।समीकरण (3) और (4) के दोनों भागों का वर्ग करने से समीकरणों की तुल्यता का उल्लंघन नहीं होता। समीकरण (3) के दोनों भाग स्पष्ट रूप से सभी मानों के लिए गैर-ऋणात्मक हैं एक्सऔर पर. समीकरण (4) का बायां पक्ष भी हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है। पर एक्स > ए दाहिना भागसमीकरण (4) धनात्मक है, क्योंकि

सी / ए एक्स - ए > सी / ए ए - ए = सीए > 0

तो, बाहरी बिंदु केवल 0 . की स्थिति के तहत दिखाई दे सकते हैं < एक्स< а , लेकिन समीकरण (6) से यह इस प्रकार है कि एक्स 2 /ए 2 > 1, यानी | एक्स | > ए.

कार्य 1।लिखना विहित समीकरणअतिपरवलय एक बिंदु से गुजरना
M (-5; 9/4) यदि अतिपरवलय की फोकस दूरी 10 है।

चूँकि |F 1 F 2 |= 10, तब साथ= 5. आइए हम अतिपरवलय का विहित समीकरण लिखें

शर्त के अनुसार, बिंदु M (-5; 9/4) अतिपरवलय से संबंधित है, इसलिए,

निर्धारित करने के लिए दूसरा समीकरण ए 2 और बी 2 अनुपात देता है

बी 2 = साथ 2 - ए 2 = 25 - ए 2 .

सिस्टम को हल करने के बाद

पाना ए 2 =16, बी 2 = 9. वांछित समीकरण समीकरण होगा

कार्य 2.सिद्ध कीजिए कि समीकरण

20एक्स 2 - 29आप 2 = 580

अतिपरवलय का समीकरण है। चाल के निर्देशांक खोजें।

समीकरण के दोनों पक्षों को 580 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

यह अतिपरवलयिक समीकरण है जिसके लिए ए 2 = 29, बी 2 = 20.
रिश्ते से सी 2 = ए 2 + बी 2 खोज सी 2 = 29 + 20 = 49, साथ= 7. अत: अतिपरवलय की नाभियाँ F 1 (-7; 0) और F 2 (7; 0) बिंदुओं पर हैं।

1. दूसरे क्रम के वक्रों का सामान्य समीकरण।

x और y के संबंध में दूसरी डिग्री का कोई भी समीकरण, यानी फॉर्म का समीकरण

जहां - दिया गया स्थिर गुणांक, और
, समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है, जिसे आमतौर पर दूसरे क्रम का वक्र कहा जाता है। विपरीत भी सही है। चार प्रकार के दूसरे क्रम के वक्र हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। उन सभी को एक शंकु को समतल से काटकर प्राप्त किया जा सकता है और इसलिए उन्हें भी कहा जाता है घोड़े।

वक्र समीकरण उनके से प्राप्त किए जा सकते हैं ज्यामितीय गुणकुछ बिंदुओं के स्थान के रूप में जो कुछ शर्तों को पूरा करते हैं।

2. घेरा।सर्कल कहा जाता है ज्यामितीय स्थानकिसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर समतल के बिंदु, जिन्हें केंद्र कहा जाता है।

यदि r वृत्त की त्रिज्या है, और बिंदु C () इसका केंद्र है, तो वृत्त के समीकरण का रूप है:

. (12.2)

यदि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु से मेल खाता है, तो वृत्त के समीकरण का सबसे सरल विहित रूप है: .

उदाहरण 14.बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए
A(5; 0) और B(1; 4), यदि इसका केंद्र रेखा x - y - 3 = 0 पर स्थित है।

बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए - जीवा AB के मध्य:

, वह है, एम (3; 2)।

वृत्त का केंद्र खंड AB के मध्य से बहाल किए गए लंबवत पर है। आइए सरल रेखा AB के समीकरण की रचना करें:

, या एक्स + वाई - 5 = 0।

रेखा AB का ढलान -1 है, इसलिए लंबवत का ढलान . लंबवत समीकरण

वाई - 2 \u003d 1 (एक्स - 3), या एक्स - वाई - 1 \u003d 0।

वृत्त C का केंद्र समस्या की स्थिति के अनुसार x + y - 3 = 0 रेखा पर स्थित है, साथ ही लंबवत x - y - 1 = 0 पर है, अर्थात केंद्र के निर्देशांक प्रणाली को संतुष्ट करते हैं समीकरणों का:

एक्स - वाई - 3 = 0

एक्स - वाई - 1 \u003d 0.

इसलिए x = 2, y = 1, और बिंदु C(2; 1)।

वृत्त त्रिज्या लंबाई के बराबरखंड सीए:

वृत्त समीकरण: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.

3. अंडाकार।एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का स्थान है, दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग, जिसे फॉसी कहा जाता है, फॉसी के बीच की दूरी से अधिक के बराबर एक स्थिर मूल्य है। एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है:

. (12.3)

यहां - सेमीमेजर एक्सिसदीर्घवृत्त, लघु अर्धअक्ष है, और यदि नाभियों के बीच की दूरी 2c है, तो . मूल्य दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता कहलाती है और संपीड़न के माप की विशेषता है। चूंकि साथ< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

सीधे और दीर्घवृत्त के निर्देश कहलाते हैं। एक दीर्घवृत्त की नियता में निम्नलिखित गुण होते हैं: यदि r बिंदु M का फोकल त्रिज्या वेक्टर है, तो d इस बिंदु से फोकस के साथ एकतरफा डायरेक्ट्रिक्स की दूरी है, तो ।

उदाहरण 15।एक दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए जिसका नाभियाँ x-अक्ष पर स्थित हैं, मूल के सममित है, यह जानते हुए कि इसकी दीर्घ अक्ष 8 है और नियताओं के बीच की दूरी 16 है।

समस्या की स्थिति से डायरेक्ट्रिक्स समीकरण ; डायरेक्ट्रिक्स दूरी , इस तरह ; जैसा , तब , यानी, सी = 2।

जैसा , तब .

अंडाकार समीकरण: .

नोट: यदि एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण में , तो दीर्घवृत्त का फोकस y-अक्ष पर स्थित होता है और ; डायरेक्ट्रिक्स समीकरण: ; फोकल त्रिज्या वैक्टर सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:।

उदाहरण 16एक दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए जिसका नाभियाँ मूल के संबंध में y-अक्ष पर सममित रूप से स्थित हैं, यह जानते हुए कि नाभियों के बीच की दूरी 2c = 24 है, उत्केंद्रता .

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है: .

समस्या की स्थिति से c = 12. चूँकि , तब , अर्थात .

जैसा , तब ।

अंडाकार समीकरण: .

4. अतिपरवलय।एक अतिपरवलय एक तल में बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए निरपेक्ष मूल्यएक ही तल के दो निश्चित बिंदुओं की दूरी में अंतर, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर मान के बराबर होता है, जो फॉसी के बीच की दूरी से कम होता है ( ).

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप है:

, (12.4)

कहाँ पे .

हाइपरबोला में दो शाखाएँ होती हैं और यह समन्वय अक्षों के बारे में सममित रूप से स्थित होती है। अंक और अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं। रेखा खंड अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष कहा जाता है, और खंड कनेक्टिंग पॉइंट्स और , - काल्पनिक अक्ष। एक अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं जिनके समीकरण होते हैं . रवैया अतिपरवलय की उत्केन्द्रता कहलाती है। सीधा, समीकरणों द्वारा दिया गया अतिपरवलय के निर्देश कहलाते हैं। अतिपरवलय की दाहिनी शाखा के फोकल त्रिज्या सदिश: .

अतिपरवलय की बाईं शाखा के फोकल त्रिज्या सदिश: .

समीकरण अतिपरवलय का एक समीकरण भी है, लेकिन इस अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष लंबाई के ओए अक्ष का एक खंड है। अंक और अतिपरवलय के शीर्ष के रूप में कार्य करते हैं। हाइपरबोला की शाखाएं ऊपर और नीचे स्थित होती हैं विमान का समन्वय. दो अतिपरवलय और संयुग्म अतिपरवलय कहलाते हैं।

उदाहरण 17.अतिपरवलय की उत्केन्द्रता है। बिंदु M से गुजरने वाले अतिपरवलय का सरलतम समीकरण लिखिए। ).

विलक्षणता की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है , या .

लेकिन , इस तरह । चूंकि बिंदु M( ) अतिपरवलय पर है, तब . यहां से .

इस प्रकार, वांछित अतिपरवलय के समीकरण का रूप है: .

उदाहरण 18.अतिपरवलय के अनंतस्पर्शियों के बीच का कोण 60° होता है। हाइपरबोला की विलक्षणता की गणना करें।

अतिपरवलय स्पर्शोन्मुख का ढाल
. अतिपरवलय की विलक्षणता
.

प्रतिस्थापन मूल्य ढलान, हम पाते हैं

.

उदाहरण 19.एक बिंदु से गुजरने वाले अतिपरवलय के लिए समीकरण लिखिए
M(9; 8) यदि अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी समीकरणों द्वारा दिए गए हैं .

स्पर्शोन्मुख समीकरण से हमारे पास है . चूँकि बिंदु M(9; 8) अतिपरवलय से संबंधित है, इसके निर्देशांक अतिपरवलय के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात्। .

अतिपरवलय के अर्धअक्ष को खोजने के लिए, हमारे पास प्रणाली है:

सिस्टम को हल करने पर, हमें मिलता है अतिपरवलय के वांछित समीकरण का रूप है: .

5. परवलय।एक परवलय एक विमान में बिंदुओं का स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा से, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। यदि निर्देश समीकरण द्वारा दिया गया है , और फ़ोकस बिंदु F() पर है, तो परवलय समीकरण का रूप है:

. (12.5)

यह परवलय x-अक्ष पर सममित रूप से स्थित होता है।

समीकरण y-अक्ष के बारे में एक परवलय सममित का समीकरण है।

परवलय के फोकल त्रिज्या वेक्टर की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है .

उदाहरण 20.मूल पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय के समीकरण की रचना करें, ओए अक्ष के बारे में सममित और पहले और तीसरे समन्वय कोणों के द्विभाजक पर लंबाई 8 की एक जीवा को काटकर।

वांछित परवलय समीकरण का रूप है .

द्विभाजक समीकरण y \u003d x। आइए परवलय और द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करें:

सिस्टम को हल करने के बाद, हम O(0; 0) और M(2p; 2p) प्राप्त करते हैं।

जीवा की लंबाई OM = .

शर्त के अनुसार, हमारे पास है: OM \u003d 8, जहाँ से 2p \u003d 8.

वांछित परवलय समीकरण .

समतल समीकरण

पर कार्तीय निर्देशांकप्रत्येक विमान को अज्ञात x, y, और z में प्रथम-डिग्री समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, और तीन अज्ञात में प्रत्येक प्रथम-डिग्री समीकरण एक विमान को परिभाषित करता है।

आइए बिंदु पर शुरुआत के साथ एक मनमाना वेक्टर लें . आइए हम बिंदुओं M(x, y, z) के बिन्दुपथ का समीकरण व्युत्पन्न करें, जिनमें से प्रत्येक के लिए वेक्टर वेक्टर के लंबवत। आइए हम सदिशों की लंबवतता की स्थिति को लिखें:

परिणामी समीकरण x, y, z में रैखिक है, इसलिए, यह सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल को परिभाषित करता है। वेक्टर विमान का सामान्य वेक्टर कहा जाता है। परिणामी समतल समीकरण में कोष्ठकों का विस्तार करना और संख्या को निरूपित करना
अक्षर डी, हम इसे फॉर्म में दर्शाते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0. (13.2)

इस समीकरण को कहा जाता है विमान का सामान्य समीकरण. ए, बी, सी और डी समीकरण के गुणांक हैं, ए 2 + बी 2 + सी 2 0।

1. अपूर्ण समीकरणविमान

यदि समतल के सामान्य समीकरण में एक, दो या तीन गुणांक शून्य के बराबर हों, तो समतल का समीकरण अपूर्ण कहलाता है। अपना परिचय दे सकते हैं निम्नलिखित मामले:

1) डी = 0 - विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है;

2) ए = 0 - विमान ऑक्स अक्ष के समानांतर है;

3) बी = 0 - विमान ओए अक्ष के समानांतर है;

4) सी = 0 - विमान ओज़ अक्ष के समानांतर है;

5) ए = बी = 0 - विमान एक्सओवाई विमान के समानांतर है;

6) ए \u003d सी \u003d 0 - विमान एक्सओजेड विमान के समानांतर है;

7) बी = सी = 0 - विमान YOZ तल के समानांतर है;

8) ए \u003d डी \u003d 0 - विमान ऑक्स अक्ष से गुजरता है;

9) बी = डी = 0 - विमान ओए अक्ष से गुजरता है;

10) सी \u003d डी \u003d 0 - विमान ओज अक्ष से गुजरता है;

11) ए = बी = डी = 0 - विमान एक्सओवाई विमान के साथ मेल खाता है;

12) ए = सी = डी = 0 - विमान एक्सओजेड विमान के साथ मेल खाता है;

13) सी \u003d बी \u003d डी \u003d 0 - विमान YOZ विमान के साथ मेल खाता है।

2. खंडों में एक विमान का समीकरण।

यदि विमान डी 0 के सामान्य समीकरण में, तो इसे रूप में बदला जा सकता है

, (13.3)

जिसे खण्डों में तल का समीकरण कहते हैं। - निर्देशांक अक्षों पर समतल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई निर्धारित करें।

3. विमान का सामान्य समीकरण।

समीकरण

कहाँ पे विमान के सामान्य वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं , बुलाया सामान्य समीकरणविमान समतल के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में लाने के लिए, इसे सामान्यीकरण कारक से गुणा किया जाना चाहिए:
,

इस मामले में, जड़ के सामने का चिन्ह शर्त से चुना जाता है .

बिंदु से दूरी d विमान के लिए सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:।

4. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

आइए विमान M(x,y,z) का एक मनमाना बिंदु लें और बिंदु M1 को शेष तीन में से प्रत्येक के साथ जोड़ दें। हमें तीन वैक्टर मिलते हैं। तीन सदिश एक ही तल से संबंधित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों। तीन वैक्टर की समानता के लिए शर्त उनके शून्य की समानता है मिश्रित उत्पाद, अर्थात ।

इस समानता को बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखने पर, हमें वांछित समीकरण प्राप्त होता है:

. (13.5)

5. विमानों के बीच का कोण।

विमान समानांतर, संयोग या प्रतिच्छेद कर सकते हैं, बना सकते हैं द्विफलक कोण. चलो दो विमान दिए गए हैं सामान्य समीकरणऔर । समतलों के संपाती होने के लिए, यह आवश्यक है कि किसी भी बिंदु के निर्देशांक जो पहले समीकरण को संतुष्ट करते हैं, दूसरे समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं।

यह होगा अगर
.

यदि एक , तो विमान समानांतर हैं।

दो प्रतिच्छेदी तलों द्वारा निर्मित कोण, कोण के बराबरउनके सामान्य वैक्टर द्वारा गठित। वैक्टर के बीच के कोण की कोज्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

यदि , तो विमान लंबवत हैं।

उदाहरण 21. दो बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए और विमान के लंबवत।

हम वांछित समीकरण लिखते हैं सामान्य दृष्टि से: . चूंकि विमान को बिंदुओं से गुजरना चाहिए और, बिंदुओं के निर्देशांक को विमान के समीकरण को पूरा करना चाहिए। बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: और।

विमानों की लंबवतता की स्थिति से हमारे पास है: . वेक्टर वांछित विमान में स्थित है और इसलिए, सामान्य वेक्टर के लंबवत: .

प्राप्त समीकरणों को मिलाकर, हमारे पास है:

सिस्टम को हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: , , , .

वांछित समीकरण का रूप है:।

दूसरा तरीका। सामान्य वेक्टर दिया गया विमाननिर्देशांक हैं . वेक्टर . वांछित विमान का सामान्य वेक्टर वेक्टर और वेक्टर के लंबवत है , अर्थात। वेक्टर उत्पाद के समरेखीय . गणना करना वेक्टर उत्पाद:
.

वेक्टर
. आइए सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखें:

या वांछित समीकरण।

परिभाषा . अतिपरवलय बिंदुओं का एक बिंदुपथ है, जिनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं का अंतर, जिसे फ़ोसी कहा जाता है, एक स्थिर मान होता है

आइए एक समन्वय प्रणाली लें ताकि फॉसी एब्सिस्सा अक्ष पर स्थित हो, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड एफ 1 एफ 2 को आधे में विभाजित करती है (चित्र 30)। एफ 1 एफ 2 = 2 सी को निरूपित करें। फिर एफ 1 (सी; 0); F2 (-सी; 0)

एमएफ 2 \u003d आर 2, एमएफ 1 \u003d आर 1 - फोकल त्रिज्याअतिशयोक्ति।

अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार, r 1 - r 2 = const.

आइए इसे 2a . से निरूपित करें

फिर r 2 - r 1 = ± 2a तो:

=> अतिपरवलय का विहित समीकरण

चूँकि अतिपरवलय x और y का समीकरण सम घातों में है, तो यदि बिंदु M 0 (x 0; y 0) अतिपरवलय पर स्थित है, तो बिंदु M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0; -y 0) एम 3 (-x 0; -y 0)।

इसलिए, हाइपरबोला दोनों समन्वय अक्षों के बारे में सममित है।

जब y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a। अतिपरवलय के शीर्ष बिन्दु A 1 (a; 0) होंगे; ए 2 (-ए; 0)।

. समरूपता के कारण, अध्ययन पहली तिमाही में किया जाता है

1) पर
y का एक काल्पनिक मान है, इसलिए अतिपरवलय के बिंदु भुज के साथ
मौजूद नहीं होना

2) एक्स = ए पर; y \u003d 0 ए 1 (ए; 0) हाइपरबोला से संबंधित है

3) x > a के लिए; y > 0. इसके अलावा, x में असीमित वृद्धि के साथ, अतिपरवलय की शाखा अनंत तक जाती है।

यह इस प्रकार है कि एक हाइपरबोला एक वक्र है जिसमें दो अनंत शाखाएं होती हैं।

पी 6. एक अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख

समीकरण के साथ विचार करें
सीधी रेखा समीकरण

सेवा वक्र सीधी रेखा के नीचे होगा (चित्र 31)। बिंदु N (x, Y) और M (x, y) पर विचार करें जिनके भुज समान हैं, और Y - y \u003d MN। खंड MN . की लंबाई पर विचार करें

हमे पता करने दें

इसलिए, यदि बिंदु M, पहली तिमाही में अतिपरवलय के साथ चलते हुए, अनंत की ओर बढ़ता है, तो सीधी रेखा से इसकी दूरी
घटता है और शून्य हो जाता है।

सममिति के कारण सरल रेखा का गुण समान होता है।
.

परिभाषा। सीधी रेखाएँ जिससे
अनिश्चित काल तक पहुंचने वाले वक्र को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है।

और
अत: अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का समीकरण
.

हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख एक आयत के विकर्णों के साथ स्थित होते हैं, जिसका एक पक्ष x-अक्ष के समानांतर होता है और 2a के बराबर होता है, और दूसरा y-अक्ष के समानांतर होता है और 2b के बराबर होता है, और केंद्र मूल स्थान पर स्थित है (चित्र 32)।

पी 7. एक अतिपरवलय की विलक्षणता और निर्देश

r 2 - r 1 = ± 2a चिन्ह + अतिपरवलय की दाहिनी शाखा को दर्शाता है

साइन - हाइपरबोला की बाईं शाखा को संदर्भित करता है

परिभाषा। हाइपरबोला की विलक्षणता इस हाइपरबोला के फॉसी के बीच की दूरी और इसके कोने के बीच की दूरी का अनुपात है।

. चूँकि c > a, > 1

हम अतिपरवलय की फोकल त्रिज्या को विलक्षणता के रूप में व्यक्त करते हैं:

परिभाषा . चलो लाइनों को बुलाओ
, अतिपरवलय के फोकल अक्ष के लंबवत और कुछ दूरी पर स्थितइसके केंद्र से दाएं और बाएं फॉसी के अनुरूप हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स द्वारा।

टी
अतिशयोक्ति के लिए पसंद है
फलस्वरूप, अतिपरवलय की दिशाएँ इसके शीर्षों के बीच स्थित होती हैं (चित्र 33)। आइए हम दिखाते हैं कि हाइपरबोला के किसी भी बिंदु की फोकस और संबंधित डायरेक्ट्रिक्स की दूरी का अनुपात एक स्थिर और ε के बराबर है।

पी. 8 परवलय और उसका समीकरण

हे
परिभाषा। एक परवलय उन बिंदुओं का स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा से, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।

एक परवलय के समीकरण की रचना करने के लिए, हम x-अक्ष के रूप में एक सीधी रेखा लेते हैं जो फोकस F 1 से होकर जाती है और हम डायरेक्ट्रिक्स से फोकस की ओर निर्देशित x-अक्ष पर विचार करेंगे। निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए, हम खंड के मध्य बिंदु O को बिंदु F से दी गई सीधी रेखा तक लेते हैं, जिसकी लंबाई हम p (चित्र। 34) से दर्शाते हैं। मात्रा p को परवलय का प्राचल कहा जाएगा। फोकस समन्वय बिंदु
.

माना M(x, y) परवलय का एक मनमाना बिंदु है।

परिभाषा से

पर 2 = 2px परवलय का विहित समीकरण है

परवलय के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, हम इसके समीकरण को बदलते हैं
यह संकेत करता है । इसलिए, परवलय का शीर्ष मूल बिंदु पर है और परवलय की सममिति का अक्ष x है। समीकरण y 2 \u003d -2px सकारात्मक p के साथ समीकरण y 2 \u003d 2px में घटाकर x को -x से बदल दिया जाता है और इसका ग्राफ जैसा दिखता है (चित्र 35)।

पर
समीकरण x 2 \u003d 2py बिंदु O (0; 0) पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय का समीकरण है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

एक्स
2 \u003d -2ru - मूल पर केंद्रित एक परवलय का समीकरण y- अक्ष के बारे में सममित है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं (चित्र। 36)।

एक परवलय में समरूपता की एक धुरी होती है.

यदि x पहली घात के लिए है और y दूसरी घात के लिए है, तो सममिति का अक्ष x है।

यदि x दूसरी घात के लिए है और y पहली घात के लिए है, तो सममिति का अक्ष y-अक्ष है।

टिप्पणी 1. एक परवलय के नियतांक समीकरण का रूप होता है
.

टिप्पणी 2. चूंकि एक परवलय के लिए , तबε परवलय 1 है।ε = 1 .

एक दीर्घवृत्त के समीकरण को देखते हुए।

फेसला:

हम दीर्घवृत्त के समीकरण को विहित रूप में लिखते हैं:
.

यहां से
. अनुपात का उपयोग करना
, हम ढूंढे
. इसलिये,
.

सूत्र के अनुसार पाना .

डायरेक्ट्रिक्स समीकरण
हमशक्ल
, उनके बीच की दूरी
.

सूत्र के अनुसार
बिंदुओं का भुज ज्ञात कीजिए, जिस से बिंदु तक की दूरी 12 के बराबर:

. प्रतिस्थापन मूल्य एक्सएक दीर्घवृत्त के समीकरण में, हम इन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं:

इस प्रकार, बिंदु A(7;0) समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।

समस्या 56.

बिंदुओं से गुजरने वाले दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला:

हम इस रूप में दीर्घवृत्त समीकरण की तलाश कर रहे हैं
.

चूँकि दीर्घवृत्त बिंदुओं से होकर गुजरता है
, तो उनके निर्देशांक दीर्घवृत्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
. दूसरी समानता को (-4) से गुणा करने पर और पहली में जोड़ने पर, हम पाते हैं
.

पाए गए मान को प्रतिस्थापित करना पहले समीकरण में, हम पाते हैं
. इस प्रकार, वांछित समीकरण
.

समस्या 57.

;
.

अतिशयोक्ति

अतिशयोक्तिएक रेखा को कहा जाता है, जिसमें विमान के सभी बिंदु होते हैं, दूरी के अंतर का मापांक जिसमें से दो दिए गए बिंदु होते हैं और एक स्थिर मान है (शून्य के बराबर नहीं और बिंदुओं के बीच की दूरी से कम) और ).

अंक और बुलाया चालअतिशयोक्ति। मान लीजिए कि नाभियों के बीच की दूरी है
. हाइपरबोला पॉइंट्स से फ़ॉसी तक की दूरी का मॉड्यूल और द्वारा निरूपित करें . शर्त से,
.

,

कहाँ पे
- निर्देशांक मनमाना बिंदुअतिशयोक्ति,

.

समीकरण
बुलाया विहित समीकरणअतिशयोक्ति।

अतिशयोक्ति में दो होते हैं स्पर्शोन्मुख
.

सनकहाइपरबोला को एक संख्या कहा जाता है . किसी अतिशयोक्ति के लिए
.

अतिपरवलय बिंदु की फोकल त्रिज्याइस बिंदु को नाभियों से जोड़ने वाले रेखाखंड कहलाते हैं और . उनकी लंबाई और सूत्रों द्वारा दिया गया है:

सीधे
अतिपरवलय के निर्देश कहलाते हैं। जैसा कि एक दीर्घवृत्त के मामले में, एक अतिपरवलय के बिंदु संबंध द्वारा अभिलक्षित होते हैं .

समस्या 58.

अतिपरवलय की नाभियों और उत्केन्द्रता के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए
.

जवाब:
.

समस्या 59.

अतिपरवलय का विहित समीकरण लिखिए यदि (
) हाइपरबोला की विलक्षणता का निर्धारण करें।

जवाब:
.

समस्या 60.

निर्देशांक अक्षों के बारे में एक अतिपरवलय सममित का विहित समीकरण लिखिए यदि वह एक बिंदु से गुजरता है
, और विलक्षणता है
.

जवाब:
.

कार्य 61.

एक अतिपरवलय के समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष नाभि पर हैं और जिसका नाभियां एक दीर्घवृत्त के शीर्षों पर हैं
.

जवाब:
.

समस्या 62.

बिंदुओं का स्थान निर्धारित करें
, दूरी जिससे सीधी रेखा तक
बिंदु से पहले जितना आधा
.

जवाब:
.

समस्या 63.

निर्देशांक प्रणाली के संबंध में एक अतिपरवलय सममित का समीकरण लिखिए यदि वह बिंदुओं से गुजरता है
,
.

जवाब:
.

टास्क 64.

एक अतिपरवलय के लिए एक समीकरण लिखिए यदि उसके स्पर्शोन्मुख समीकरण द्वारा दिए गए हैं
, और अतिपरवलय बिंदु से होकर गुजरता है
.

जवाब:
.

समस्या 65.

विमान पर स्थित बिंदु कैसे हैं, जिनके निर्देशांक शर्तों को पूरा करते हैं:

.

परवलय

परवलयकिसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं से मिलकर बनी रेखा कहलाती है
(फोकस) और दी गई लाइन (निदेशक)।

परवलय के विहित समीकरण को व्युत्पन्न करने के लिए, अक्ष
फोकस से गुजरें
डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत डायरेक्ट्रिक्स से फोकस की दिशा में; निर्देशांक की उत्पत्ति फोकस के बीच के खंड के बीच में ली जाती है
और डॉट
अक्ष चौराहा
प्रधानाध्यापिका के साथ . यदि द्वारा निरूपित किया जाता है डायरेक्ट्रिक्स से फोकस दूरी, फिर
और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण इस तरह दिखेगा
.

चयनित समन्वय प्रणाली में, परवलय समीकरण का रूप है:
. इस समीकरण को कहा जाता है परवलय का विहित समीकरण.