किसी संख्या का लघुगणक एन वजह से ए घातांक कहा जाता है एक्स , जिसके लिए आपको उठाने की जरूरत है ए नंबर पाने के लिए एन

उसे उपलब्ध कराया
,
,

यह लघुगणक की परिभाषा से इस प्रकार है कि
, अर्थात।
- यह समानता मूल लघुगणकीय पहचान है।

आधार 10 के लघुगणक दशमलव लघुगणक कहलाते हैं। के बजाय
लिखना
.

आधार लघुगणक इ प्राकृतिक और निरूपित कहलाते हैं
.

लघुगणक के मूल गुण।

किसी भी आधार के लिए एकता का लघुगणक शून्य होता है

उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

3) भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है

कारक
आधार पर लघुगणक से संक्रमण का मापांक कहलाता है ए आधार पर लघुगणक के लिए बी .

गुण 2-5 का उपयोग करते हुए, एक जटिल व्यंजक के लघुगणक को लघुगणक पर सरल अंकगणितीय संक्रियाओं के परिणाम तक कम करना अक्सर संभव होता है।

उदाहरण के लिए,

लघुगणक के ऐसे परिवर्तनों को लघुगणक कहा जाता है। लघुगणक के पारस्परिक परिवर्तन को पोटेंशिएशन कहा जाता है।

अध्याय 2. उच्च गणित के तत्व।

1. सीमाएं

कार्य सीमा
एक परिमित संख्या A है यदि, प्रयास करते समय xx 0 प्रत्येक पूर्व निर्धारित के लिए
, एक संख्या है
कि जैसे ही
, तब
.

एक फ़ंक्शन जिसकी एक सीमा होती है, वह इससे एक असीम राशि से भिन्न होता है:
, जहां - b.m.w., यानी।
.

उदाहरण। समारोह पर विचार करें
.

प्रयास करते समय
, समारोह आप शून्य हो जाता है:

1.1. सीमा के बारे में बुनियादी प्रमेय।

स्थिर मान की सीमा इस स्थिर मान के बराबर होती है

.

कार्यों की एक सीमित संख्या के योग (अंतर) की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है।

सीमित संख्या में फलनों के गुणनफल की सीमा इन फलनों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

दो फलनों के भागफल की सीमा इन फलनों की सीमा के भागफल के बराबर होती है यदि हर की सीमा शून्य के बराबर न हो।

उल्लेखनीय सीमाएं

,
, कहाँ पे

1.2. सीमा गणना उदाहरण

हालांकि, सभी सीमाओं की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। अधिक बार, सीमा की गणना प्रकार की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए कम हो जाती है: या ।

.

2. एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

चलो एक समारोह है
, खंड पर निरंतर
.

बहस कुछ बढ़ावा मिला
. फिर समारोह बढ़ाया जाएगा
.

तर्क मूल्य फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है
.

तर्क मूल्य
फ़ंक्शन के मान से मेल खाता है।

इसलिये, ।

आइए इस संबंध की सीमा ज्ञात करें
. यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के 3 व्युत्पन्न की परिभाषा
तर्क से तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जब तर्क की वृद्धि मनमाने ढंग से शून्य हो जाती है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न
निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है:

; ; ; .

परिभाषा 4 किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव।

2.1. व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की सीधी गति पर विचार करें।

चलो किसी समय गतिमान बिंदु
दूर था प्रारंभिक स्थिति से
.

कुछ समय के बाद
वह दूर चली गई
. रवैया =- एक भौतिक बिंदु की औसत गति
. आइए हम इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि
.

नतीजतन, समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भौतिक बिंदु के तात्कालिक वेग का निर्धारण कम हो जाता है।

2.2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय मान

मान लीजिए कि हमारे पास ग्राफिक रूप से परिभाषित कुछ फ़ंक्शन है
.

चावल। 1. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि एक
, फिर बिंदु
, वक्र के साथ आगे बढ़ेगा, बिंदु पर पहुंचेगा
.

इसलिये
, अर्थात। व्युत्पन्न का मान तर्क का मान दिया गया है संख्यात्मक रूप से अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होती है
.

2.3. बुनियादी भेदभाव सूत्रों की तालिका।

ऊर्जा समीकरण

घातांक प्रकार्य

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन

त्रिकोणमितीय फलन

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

2.4. विभेदन नियम।

का व्युत्पन्न

कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

2.5. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

चलो समारोह
जैसे कि इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

और
, जहां चर एक मध्यवर्ती तर्क है, तो

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।

उदाहरण 1।

उदाहरण 2।

3. फ़ंक्शन अंतर।

उसे वही रहने दो
, कुछ अंतराल पर अवकलनीय
जाने दो पर इस फ़ंक्शन का एक व्युत्पन्न है

,

तब आप लिख सकते हैं

(1),

कहाँ पे - एक असीम मात्रा,

क्योंकि अत

समानता के सभी पदों को गुणा करना (1) द्वारा
अपने पास:

कहाँ
- बी.एम.वी. उच्च आदेश।

मूल्य
फ़ंक्शन का अंतर कहा जाता है
और निरूपित

.

3.1. अंतर का ज्यामितीय मूल्य।

चलो समारोह
.

रेखा चित्र नम्बर 2। अंतर का ज्यामितीय अर्थ।

.

जाहिर है, फ़ंक्शन का अंतर
दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर है।

3.2. विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव और अंतर।

अगर वहाँ
, तब
प्रथम व्युत्पन्न कहलाता है।

पहले अवकलज के अवकलज को द्वितीय कोटि का अवकलज कहा जाता है और इसे लिखा जाता है
.

फलन के nवें क्रम का व्युत्पन्न
(n-1) क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है और लिखा जाता है:

.

किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है।

.

.

3.3 विभेदीकरण का उपयोग करके जैविक समस्याओं को हल करना।

कार्य 1। अध्ययनों से पता चला है कि सूक्ष्मजीवों के एक उपनिवेश का विकास कानून का पालन करता है
, कहाँ पे एन - सूक्ष्मजीवों की संख्या (हजारों में), टी - समय (दिन)।

ख) क्या इस अवधि के दौरान कॉलोनी की आबादी बढ़ेगी या घटेगी?

जवाब। कॉलोनी की संख्या बढ़ेगी।

कार्य 2. रोगजनक बैक्टीरिया की सामग्री को नियंत्रित करने के लिए झील में पानी का समय-समय पर परीक्षण किया जाता है। द्वारा टी परीक्षण के कुछ दिनों बाद, बैक्टीरिया की सांद्रता अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है

.

झील में बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता कब आएगी और उसमें तैरना संभव होगा?

हल एक फलन अधिकतम या न्यूनतम तक पहुँच जाता है जब उसका अवकलज शून्य होता है।

,

आइए निर्धारित करें कि अधिकतम या न्यूनतम 6 दिनों में होगा। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न लेते हैं।

उत्तर: 6 दिनों के बाद बैक्टीरिया की न्यूनतम सांद्रता होगी।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत संकेतन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, मूल लघुगणकीय पहचान पर विचार करें।

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लघुगणक की परिभाषा

एक लघुगणक की अवधारणा तब उत्पन्न होती है जब किसी समस्या को एक निश्चित अर्थ में उलटा हल किया जाता है, जब आपको डिग्री और ज्ञात आधार के ज्ञात मूल्य से घातांक खोजने की आवश्यकता होती है।

लेकिन पर्याप्त प्रस्तावना, "लघुगणक क्या है" प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है? आइए एक उपयुक्त परिभाषा दें।

परिभाषा।

b से आधार a . का लघुगणक, जहां a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" को तुरंत दो आगामी प्रश्न उठाने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं होता है, लेकिन किसी आधार में किसी संख्या का केवल लघुगणक होता है।

हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a से संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। आधार ई से संख्या बी के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के अपने विशेष पदनाम क्रमशः lnb और lgb हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और लॉग 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब आप ला सकते हैं: .
और रिकॉर्ड इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या और दोनों आधार में एक इकाई।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग a b को "b से आधार a के लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 तीन से आधार 2 का लघुगणक है, और पांच के वर्गमूल के दो आधार तिहाई के दो पूर्णांकों का लघुगणक है। आधार e का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और संकेतन lnb को "b के प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे pi के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और संकेतन lgb को "दशमलव लघुगणक b" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव पचहत्तर सौवें का दशमलव लघुगणक है।

यह शर्तों पर अलग से रहने लायक है a>0, a≠1 तथा b>0, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए बताते हैं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो ऊपर दिए गए लॉगरिदम की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता केवल b=1 के लिए ही सही हो सकती है, लेकिन log 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ ही संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य शक्ति शून्य है। a≠0 की स्थिति से इस अस्पष्टता से बचा जा सकता है। और एक के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लॉगरिदम की आवाज वाली परिभाषा आपको लॉगरिदम के मूल्य को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या एक निश्चित डिग्री आधार होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=a p , तो आधार a से संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समता लघुगणक a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, फिर 2 8=3 लॉग करें। हम इस बारे में लेख में और बात करेंगे।

हम लघुगणक का अध्ययन जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक की गणना, इस प्रक्रिया को कहा जाता है लोगारित्म. सबसे पहले, हम परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना से निपटेंगे। इसके बाद, विचार करें कि लॉगरिदम के मूल्यों को उनके गुणों का उपयोग करके कैसे पाया जाता है। उसके बाद, हम अन्य लघुगणक के प्रारंभिक रूप से दिए गए मानों के माध्यम से लघुगणक की गणना पर ध्यान देंगे। अंत में, आइए जानें कि लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। संपूर्ण सिद्धांत विस्तृत समाधान के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

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परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना

सरलतम मामलों में, जल्दी और आसानी से प्रदर्शन करना संभव है परिभाषा के अनुसार लघुगणक ज्ञात करना. आइए विस्तार से देखें कि यह प्रक्रिया कैसे होती है।

इसका सार संख्या b को a c के रूप में निरूपित करना है, जहां से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, संख्या c लघुगणक का मान है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, लघुगणक ज्ञात करना समानता की निम्नलिखित श्रृंखला से मेल खाता है: log a b=log a c =c ।

तो, लघुगणक की गणना, परिभाषा के अनुसार, ऐसी संख्या c खोजने के लिए नीचे आती है कि a c \u003d b, और संख्या c स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले पैराग्राफ की जानकारी को देखते हुए, जब लॉगरिदम के चिह्न के तहत संख्या लॉगरिदम के आधार के कुछ डिग्री द्वारा दी जाती है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि लॉगरिदम किसके बराबर है - यह एक्सपोनेंट के बराबर है। आइए उदाहरण दिखाते हैं।

उदाहरण।

log 2 2 −3 खोजें और e 5.3 का प्राकृत लघुगणक भी परिकलित करें।

फेसला।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि लघुगणक 2 2 −3 = −3 । वास्तव में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या आधार 2 से −3 घात के बराबर होती है।

इसी तरह, हम दूसरा लघुगणक पाते हैं: lne 5.3 =5.3।

जवाब:

log 2 2 −3 = −3 और lne 5.3 =5.3 ।

यदि लॉगरिदम के चिन्ह के तहत संख्या b को लघुगणक के आधार की शक्ति के रूप में नहीं दिया गया है, तो आपको सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है कि क्या संख्या b का प्रतिनिधित्व a c के रूप में करना संभव है। अक्सर यह प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या 1, या 2, या 3 की शक्ति के आधार के बराबर होती है ...

उदाहरण।

लघुगणक की गणना करें लॉग 5 25 , और .

फेसला।

यह देखना आसान है कि 25=5 2 , यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: log 5 25=log 5 5 2 =2 ।

हम दूसरे लघुगणक की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं। एक संख्या को 7 की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है: (यदि आवश्यक हो तो देखें)। इसलिये, .

आइए तीसरे लघुगणक को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें। अब आप देख सकते हैं कि , जहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि . इसलिए, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जवाब:

लॉग 5 25=2 , और .

जब एक पर्याप्त रूप से बड़ी प्राकृतिक संख्या लॉगरिदम के संकेत के तहत होती है, तो इसे प्रमुख कारकों में विघटित करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यह अक्सर लघुगणक के आधार की कुछ शक्ति के रूप में ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए, परिभाषा के अनुसार इस लघुगणक की गणना करने के लिए।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक के मान को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक का गुण और आधार के बराबर किसी संख्या के लघुगणक का गुण शामिल होता है: log 1 1=log a a 0 =0 और log a=log a 1 =1 । अर्थात्, जब संख्या 1 या संख्या a, लघुगणक के चिह्न के नीचे, लघुगणक के आधार के बराबर होती है, तो इन मामलों में लघुगणक क्रमशः 0 और 1 होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और lg10 क्या हैं?

फेसला।

चूँकि , यह लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या 10 इसके आधार के साथ मेल खाती है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात lg10=lg10 1 =1 ।

जवाब:

और एलजी 10 = 1।

ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना (जिसकी हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) का तात्पर्य समानता लॉग a p =p के उपयोग से है, जो लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या और लघुगणक के आधार को आसानी से किसी संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है , जो लघुगणक के गुणों में से एक से मेल खाती है। इस सूत्र के उपयोग को दर्शाने वाले लघुगणक को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

के लघुगणक की गणना करें।

फेसला।

जवाब:

.

ऊपर वर्णित लघुगणक के गुण भी गणना में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणक के संदर्भ में लघुगणक ढूँढना

इस अनुच्छेद की जानकारी उनकी गणना में लघुगणक के गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहां मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को दूसरे लघुगणक के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मूल्य ज्ञात होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण लेते हैं। मान लें कि हम जानते हैं कि लॉग 2 3≈1.584963 , तो हम उदाहरण के लिए, लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके थोड़ा परिवर्तन करके लॉग 2 6 पा सकते हैं: लॉग 2 6=लॉग 2 (2 3)=लॉग 2 2+लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे लिए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना पर्याप्त था। हालांकि, दिए गए लोगों के संदर्भ में मूल लॉगरिदम की गणना करने के लिए आपको अक्सर लॉगरिदम के गुणों के व्यापक शस्त्रागार का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण।

27 से आधार 60 के लघुगणक की गणना करें यदि यह ज्ञात हो कि लघुगणक 60 2=a और लघुगणक 60 5=b है।

फेसला।

तो हमें लॉग 60 27 खोजने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि 27=3 3 , और मूल लघुगणक, डिग्री के लघुगणक के गुण के कारण, 3·log 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब देखते हैं कि लॉग 60 3 को ज्ञात लघुगणक के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है। आधार के बराबर किसी संख्या के लघुगणक का गुण आपको समानता लॉग 60 60=1 लिखने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, लघुगणक 60 60=log60(2 2 3 5)= लॉग 60 2 2 +लॉग 60 3+लॉग 60 5= 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5 . इस प्रकार, 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5=1. इसलिये, लॉग 60 3=1−2 लॉग 60 2−लॉग 60 5=1−2 a−b.

अंत में, हम मूल लघुगणक की गणना करते हैं: लघुगणक 60 27=3 लघुगणक 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

जवाब:

लॉग 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

अलग-अलग, यह प्रपत्र के लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र के अर्थ का उल्लेख करने योग्य है . यह आपको किसी भी आधार के साथ लघुगणक से एक विशिष्ट आधार के साथ लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, जिसके मूल्य ज्ञात हैं या उन्हें खोजना संभव है। आमतौर पर, मूल लघुगणक से, संक्रमण सूत्र के अनुसार, वे आधार 2, ई या 10 में से किसी एक में लघुगणक पर स्विच करते हैं, क्योंकि इन आधारों के लिए लघुगणक की तालिकाएँ होती हैं जो एक निश्चित डिग्री के साथ उनके मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। सटीकता का। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक की सारणी, उनका उपयोग

लघुगणक के मूल्यों की अनुमानित गणना के लिए, कोई उपयोग कर सकता है लघुगणक सारणी. सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आधार 2 लघुगणक तालिका, प्राकृतिक लघुगणक तालिका और दशमलव लघुगणक तालिका है। दशमलव संख्या प्रणाली में काम करते समय, आधार दस के लिए लघुगणक की एक तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी सहायता से हम लघुगणक के मान ज्ञात करना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका 1.000 से 9.999 (तीन दशमलव स्थानों के साथ) के दशमलव लघुगणक के मानों को खोजने के लिए, एक दस-हज़ारवें की सटीकता के साथ अनुमति देती है। हम एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक के मूल्य को खोजने के सिद्धांत का विश्लेषण करेंगे - यह स्पष्ट है। आइए खोजें lg1,256 ।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएँ स्तंभ में हमें 1.256 संख्या के पहले दो अंक मिलते हैं, अर्थात्, हम 1.2 पाते हैं (यह संख्या स्पष्टता के लिए नीले रंग में परिक्रमा करती है)। संख्या 1.256 (संख्या 5) का तीसरा अंक दोहरी रेखा के बाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में परिक्रमा करती है)। मूल संख्या 1.256 (नंबर 6) का चौथा अंक दोहरी रेखा के दाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या हरे रंग में परिक्रमा करती है)। अब हम चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर लघुगणक की तालिका के कक्षों में संख्याएँ पाते हैं (ये संख्याएँ नारंगी में हाइलाइट की गई हैं)। अंकित संख्याओं का योग दशमलव लघुगणक के चौथे दशमलव स्थान तक वांछित मान देता है, अर्थात्, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

क्या उपरोक्त तालिका का उपयोग करके, दशमलव बिंदु के बाद तीन से अधिक अंकों वाली संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान ज्ञात करना और 1 से 9.999 तक की सीमा से आगे जाना संभव है? हाँ आप कर सकते हैं। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे किया जाता है।

आइए lg102.76332 की गणना करें। सबसे पहले आपको लिखना होगा मानक रूप में संख्या: 102.76332=1.0276332 10 2। उसके बाद, मंटिसा को दशमलव के तीसरे स्थान तक गोल किया जाना चाहिए, हमारे पास है 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक परिणामी संख्या के लघुगणक के लगभग बराबर है, अर्थात, हम lg102.76332≈lg1.028·10 2 लेते हैं। अब लघुगणक के गुण लागू करें: एलजी1.028 10 2 =एलजी1.028+एलजी10 2 =एलजी1.028+2. अंत में, हम दशमलव लघुगणक की तालिका के अनुसार लघुगणक lg1.028 का मान पाते हैं lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012। नतीजतन, लघुगणक की गणना की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखती है: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके, आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लॉगरिदम पर जाने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, तालिका में उनके मान ढूंढें, और शेष गणना करें।

उदाहरण के लिए, आइए log 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास . दशमलव लघुगणक की तालिका से हम lg3≈0.4771 और lg2≈0.3010 पाते हैं। इस प्रकार, .

ग्रंथ सूची।

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

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• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, पता सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं ईमेलआदि।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
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• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

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व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे आसान समझाते हैं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) घात के बराबर है \(2\) को \(8\) प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट होता है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर इसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के संकेत के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पच्चीस का लघुगणक से पाँच के आधार तक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस हद तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा। इसलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी भी संख्या को एक इकाई बनाती है? जीरो, बिल्कुल!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम अंश में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ई) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

फेसला :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		क्या लिंक \(4\sqrt(2)\) और \(8\)? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो से दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी जड़ लघुगणक का मान है

जवाब : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लॉगरिदम का आविष्कार क्यों किया गया था?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\)। समानता कार्य करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\)।

अब समीकरण को हल करें: \(3^(x)=8\)। x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जाए? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक के साथ आए। उसके लिए धन्यवाद, यहाँ उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

फेसला :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर कम नहीं किया जा सकता है। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह मानें।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 . से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यहाँ हमारी जड़ है। हां, यह असामान्य लग रहा है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है।

जवाब : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में कहा गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है। और सभी संभावित आधारों में से दो ऐसे होते हैं जो इतनी बार होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु संकेतन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

अर्थात, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है \(\lg(a)\) लिखा है।

अर्थात, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कुछ संख्या है।

मूल लघुगणकीय पहचान

लॉगरिदम में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "मूल लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह संपत्ति सीधे परिभाषा से आती है। आइए देखें कि यह फॉर्मूला कैसे आया।

लघुगणक की संक्षिप्त परिभाषा को याद करें:

अगर \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह निकला \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के शेष गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ भावों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

फेसला :

जवाब : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है। विलोम भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता है, तो हम दोनों को किसी भी आधार के साथ लॉगरिदम के रूप में कहीं भी लिख सकते हैं (यहां तक ​​​​कि एक समीकरण में, यहां तक ​​​​कि एक अभिव्यक्ति में, यहां तक ​​​​कि असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं।

ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में) के रूप में लिखा जा सकता है 64) \) ... यहाँ हम घन में आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और माइनस वन के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

फेसला :

जवाब : \(1\)