Cara mencari KPK (kelipatan persekutuan terkecil)

Kelipatan persekutuan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut tanpa sisa.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terkecil dari semua bilangan bulat yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut.

Metode 1. Anda dapat menemukan KPK, pada gilirannya, untuk setiap angka yang diberikan, menuliskan dalam urutan menaik semua angka yang diperoleh dengan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Contoh untuk nomor 6 dan 9.
Kami mengalikan angka 6, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami mengalikan angka 9 secara berurutan dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang Anda lihat, KPK untuk angka 6 dan 9 adalah 18.

Metode ini cocok jika kedua bilangan kecil dan mudah untuk mengalikannya dengan urutan bilangan bulat. Namun, ada kalanya Anda perlu mencari KPK untuk dua digit atau angka tiga digit, dan juga ketika ada tiga atau lebih angka awal.

Metode 2. Anda dapat menemukan KPK dengan memperluas nomor asli ke faktor prima.
Setelah dekomposisi, perlu untuk menghapus dari rangkaian faktor prima yang dihasilkan nomor yang sama. Sisa bilangan pertama akan menjadi faktor bilangan kedua, dan sisa bilangan kedua akan menjadi faktor bilangan pertama.

Contoh untuk nomor 75 dan 60.
Kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60 dapat ditemukan tanpa menuliskan kelipatan dari angka-angka ini secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor prima:
75 = 3 * 5 * 5, dan
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang Anda lihat, faktor 3 dan 5 terjadi di kedua baris. Secara mental kita "mencoret" mereka.
Mari kita tuliskan faktor-faktor sisa yang termasuk dalam pemuaian masing-masing bilangan ini. Saat menguraikan angka 75, kita dibiarkan dengan angka 5, dan saat menguraikan angka 60, kita memiliki 2 * 2
Jadi, untuk menentukan KPK dari bilangan 75 dan 60, kita perlu mengalikan sisa bilangan hasil perkalian 75 (ini adalah 5) dengan 60, dan bilangan sisa dari perluasan bilangan 60 (ini adalah 2 * 2 ) kalikan dengan 75. Artinya, untuk memudahkan pemahaman , kami mengatakan bahwa kami mengalikan "melintasi".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ini adalah bagaimana kami menemukan KPK untuk angka 60 dan 75. Ini adalah angka 300.

Contoh. Tentukan KPK untuk bilangan 12, 16, 24
PADA kasus ini, tindakan kita akan sedikit lebih rumit. Tapi, pertama, seperti biasa, kami menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan KPK dengan benar, kami memilih yang terkecil dari semua angka (ini adalah angka 12) dan secara berurutan melewati faktor-faktornya, mencoretnya jika setidaknya satu dari baris angka lainnya memiliki faktor yang sama yang belum dilintasi keluar.

Langkah 1 . Kami melihat bahwa 2 * 2 terjadi di semua seri angka. Kami mencoret mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Dalam faktor utama angka 12, hanya angka 3 yang tersisa. Tapi itu ada dalam faktor prima dari angka 24. Kami mencoret angka 3 dari kedua baris, sementara tidak ada tindakan yang diharapkan untuk angka 16.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang Anda lihat, saat menguraikan angka 12, kami "mencoret" semua angka. Jadi penemuan NOC selesai. Tetap hanya untuk menghitung nilainya.
Untuk angka 12, kami mengambil faktor sisa dari angka 16 (terdekat dalam urutan menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus ini, menemukan KPK agak lebih sulit, tetapi ketika Anda perlu menemukannya untuk tiga angka atau lebih, cara ini memungkinkan Anda melakukannya lebih cepat. Namun, kedua cara mencari KPK itu benar.

Nomor kedua: b=

Pemisah angka Tidak ada pemisah spasi "

Hasil:

terbesar pembagi bersama KPK( sebuah,b)=6

Kelipatan persekutuan terkecil dari KPK( sebuah,b)=468

Terhebat bilangan asli, di mana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa, disebut pembagi persekutuan terbesar(gcd) dari angka-angka ini. Dilambangkan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dua bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b tanpa sisa. Dilambangkan KPK(a,b), atau KPK(a,b).

Bilangan bulat a dan b disebut koprima jika mereka tidak memiliki pembagi persekutuan selain +1 dan 1.

Pembagi Umum Terbesar

Biarkan dua diberikan bilangan positif sebuah 1 dan sebuah 2 1). Diperlukan untuk menemukan pembagi umum dari angka-angka ini, mis. temukan nomor seperti itu λ , yang membagi bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 sekaligus. Mari kita jelaskan algoritmanya.

1) Dalam artikel ini, kata nomor akan berarti bilangan bulat.

Biarlah sebuah 1 ≥ sebuah 2 dan biarkan

di mana m 1 , sebuah 3 adalah beberapa bilangan bulat, sebuah 3 <sebuah 2 (sisa dari divisi sebuah 1 on sebuah 2 harus lebih sedikit sebuah 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membagi sebuah 1 dan sebuah 2 , maka λ membagi m 1 sebuah 2 dan λ membagi sebuah 1 −m 1 sebuah 2 =sebuah 3 (Pernyataan 2 dari artikel "Pembagian bilangan. Tanda pembagian"). Oleh karena itu, setiap pembagi persekutuan sebuah 1 dan sebuah 2 adalah pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 . Kebalikannya juga benar jika λ pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 , maka m 1 sebuah 2 dan sebuah 1 =m 1 sebuah 2 +sebuah 3 juga dibagi menjadi λ . Oleh karena itu pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 juga merupakan pembagi yang sama sebuah 1 dan sebuah 2. Sebagai sebuah 3 <sebuah 2 ≤sebuah 1 , maka kita dapat mengatakan bahwa solusi untuk masalah menemukan pembagi bilangan yang sama sebuah 1 dan sebuah 2 direduksi menjadi masalah yang lebih sederhana untuk menemukan pembagi bilangan yang sama sebuah 2 dan sebuah 3 .

Jika sebuah sebuah 3 0, maka kita dapat membagi sebuah 2 on sebuah 3 . Kemudian

,

di mana m 1 dan sebuah 4 adalah beberapa bilangan bulat, ( sebuah 4 sisa pembagian sebuah 2 on sebuah 3 (sebuah 4 <sebuah 3)). Dengan alasan yang sama, kita sampai pada kesimpulan bahwa pembagi umum bilangan sebuah 3 dan sebuah 4 sama dengan pembagi bilangan biasa sebuah 2 dan sebuah 3 , dan juga dengan pembagi umum sebuah 1 dan sebuah 2. Sebagai sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , sebuah 4 , ... angka-angka yang terus menurun, dan karena ada bilangan bulat terbatas antara sebuah 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, sisa pembagian sebuah n on sebuah n+1 akan sama dengan nol ( sebuah n+2=0).

.

Setiap pembagi umum λ angka sebuah 1 dan sebuah 2 juga merupakan pembagi bilangan sebuah 2 dan sebuah 3 , sebuah 3 dan sebuah 4 , .... sebuah n dan sebuah n+1 . Kebalikannya juga benar, pembagi umum bilangan sebuah n dan sebuah n+1 juga merupakan pembagi bilangan sebuah n−1 dan sebuah n , .... , sebuah 2 dan sebuah 3 , sebuah 1 dan sebuah 2. Tapi pembagi bersama sebuah n dan sebuah n+1 adalah angka sebuah n+1 , karena sebuah n dan sebuah n+1 habis dibagi sebuah n+1 (ingat itu sebuah n+2=0). Karena itu sebuah n+1 juga merupakan pembagi bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 .

Perhatikan bahwa nomor sebuah n+1 adalah pembagi bilangan terbesar sebuah n dan sebuah n+1 , karena pembagi terbesar sebuah n+1 adalah dirinya sendiri sebuah n+1 . Jika sebuah sebuah n + 1 dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan bulat, maka angka-angka ini juga merupakan pembagi umum dari angka sebuah 1 dan sebuah 2. Nomor sebuah n+1 disebut pembagi persekutuan terbesar angka sebuah 1 dan sebuah 2 .

angka sebuah 1 dan sebuah 2 dapat berupa bilangan positif dan negatif. Jika salah satu bilangan sama dengan nol, maka pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut akan sama dengan nilai mutlak bilangan lainnya. Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan nol tidak terdefinisi.

Algoritma di atas disebut Algoritma Euclid untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat.

Contoh mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan:

Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan 630 dan 434.

• Langkah 1. Bagilah angka 630 dengan 434. Sisanya adalah 196.
• Langkah 2. Bagilah angka 434 dengan 196. Sisanya adalah 42.
• Langkah 3. Bagilah angka 196 dengan 42. Sisanya adalah 28.
• Langkah 4. Bagilah angka 42 dengan 28. Sisanya adalah 14.
• Langkah 5. Bagilah angka 28 dengan 14. Sisanya adalah 0.

Pada langkah 5, sisa pembagian adalah 0. Oleh karena itu, pembagi persekutuan terbesar dari angka 630 dan 434 adalah 14. Perhatikan bahwa angka 2 dan 7 juga merupakan pembagi dari angka 630 dan 434.

bilangan koprima

Definisi 1. Biarkan pembagi persekutuan terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 sama dengan satu. Kemudian angka-angka ini disebut bilangan koprima yang tidak memiliki pembagi bersama.

Dalil 1. Jika sebuah sebuah 1 dan sebuah 2 bilangan yang relatif prima, dan λ beberapa angka, maka semua pembagi bilangan yang sama a 1 dan sebuah 2 juga merupakan pembagi bilangan yang sama λ dan sebuah 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclid untuk menemukan pembagi umum terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 (lihat di atas).

.

Ini mengikuti dari kondisi teorema bahwa pembagi umum terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 , dan oleh karena itu sebuah n dan sebuah n+1 adalah 1. Yaitu. sebuah n+1=1.

Mari kita kalikan semua persamaan ini dengan λ , kemudian

.

Biarkan pembagi bersama sebuah 1 λ dan sebuah 2 adalah δ . Kemudian δ masuk sebagai faktor dalam sebuah 1 λ , m 1 sebuah 2 λ dan masuk sebuah 1 λ -m 1 sebuah 2 λ =sebuah 3 λ (Lihat "Pembagian bilangan", Pernyataan 2). Lebih jauh δ masuk sebagai faktor dalam sebuah 2 λ dan m 2 sebuah 3 λ , dan karenanya masuk sebagai faktor dalam sebuah 2 λ -m 2 sebuah 3 λ =sebuah 4 λ .

Dengan bernalar dengan cara ini, kami yakin bahwa δ masuk sebagai faktor dalam sebuah n−1 λ dan m n−1 sebuah n λ , dan oleh karena itu dalam sebuah n−1 λ −m n−1 sebuah n λ =sebuah n+1 λ . Sebagai sebuah n+1 =1, maka δ masuk sebagai faktor dalam λ . Oleh karena itu nomor δ adalah pembagi umum dari bilangan λ dan sebuah 2 .

Pertimbangkan kasus khusus Teorema 1.

Konsekuensi 1. Biarlah sebuah dan c bilangan prima relatif b. Kemudian produk mereka ac adalah bilangan prima terhadap b.

Betulkah. Dari Teorema 1 ac dan b memiliki pembagi persekutuan yang sama dengan c dan b. Tapi angkanya c dan b koprima, yaitu memiliki satu pembagi persekutuan 1. Maka ac dan b juga memiliki satu pembagi persekutuan 1. Oleh karena itu ac dan b saling sederhana.

Konsekuensi 2. Biarlah sebuah dan b bilangan koprima dan biarkan b membagi aku. Kemudian b membagi dan k.

Betulkah. Dari kondisi asersi aku dan b memiliki pembagi yang sama b. Berdasarkan Teorema 1, b harus menjadi pembagi bersama b dan k. Karena itu b membagi k.

Akibat wajar 1 dapat digeneralisasikan.

Konsekuensi 3. 1. Biarkan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah m adalah bilangan prima relatif terhadap bilangan tersebut b. Kemudian sebuah 1 sebuah 2 , sebuah 1 sebuah 2 · sebuah 3 , ..., sebuah 1 sebuah 2 sebuah 3 ··· sebuah m , produk dari bilangan-bilangan ini adalah prima terhadap bilangan tersebut b.

2. Biarkan kita memiliki dua baris angka

sedemikian sehingga setiap bilangan pada baris pertama adalah prima terhadap setiap bilangan pada baris kedua. Kemudian produk

Diperlukan untuk menemukan bilangan-bilangan yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan ini.

Jika bilangan tersebut habis dibagi sebuah 1 , maka terlihat seperti sa 1 , dimana s beberapa nomor. Jika sebuah q adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 , maka

di mana s 1 adalah bilangan bulat. Kemudian

adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 .

sebuah 1 dan sebuah 2 coprime, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 dan sebuah 2:

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 harus berupa kelipatan bilangan ε dan sebuah 3 dan sebaliknya. Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut ε dan sebuah 3 adalah ε satu . Selanjutnya, kelipatan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , sebuah 4 harus berupa kelipatan bilangan ε 1 dan sebuah 4 . Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut ε 1 dan sebuah 4 adalah ε 2. Jadi, kami menemukan bahwa semua kelipatan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m bertepatan dengan kelipatan beberapa nomor tertentu ε n , yang disebut kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Dalam kasus tertentu ketika angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m koprima, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 , sebuah 2 seperti gambar di atas memiliki bentuk (3). Selanjutnya, sejak sebuah 3 prima sehubungan dengan angka sebuah 1 , sebuah 2 , maka sebuah 3 adalah bilangan relatif prima sebuah satu · sebuah 2 (Alasan 1). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 ,sebuah 2 ,sebuah 3 adalah angka sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 . Berdebat dengan cara yang sama, kita sampai pada pernyataan berikut.

Penyataan 1. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprima sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m sama dengan produk mereka sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 ··· sebuah m .

Penyataan 2. Setiap bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan koprima sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m juga habis dibagi produknya sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 ··· sebuah m .

Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi oleh suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari suatu kelompok bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi rata oleh setiap bilangan dalam kelompok tersebut. Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, Anda perlu menemukan faktor prima dari bilangan yang diberikan. Juga, KPK dapat dihitung dengan menggunakan sejumlah metode lain yang berlaku untuk kelompok dua atau lebih nomor.

Langkah

Serangkaian kelipatan

Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan ketika diberikan dua angka yang keduanya kurang dari 10. Jika diberikan angka yang besar, gunakan metode yang berbeda.

• Misalnya, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 5 dan 8. Ini adalah angka kecil, sehingga metode ini dapat digunakan.

1. Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi oleh suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Beberapa nomor dapat ditemukan di tabel perkalian.

   • Misalnya, bilangan kelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tuliskan barisan bilangan yang merupakan kelipatan dari bilangan pertama. Lakukan ini di bawah kelipatan angka pertama untuk membandingkan dua baris angka.

   • Misalnya, bilangan kelipatan 8 adalah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Temukan bilangan terkecil yang muncul pada kedua deret kelipatan tersebut. Anda mungkin harus menulis rangkaian kelipatan yang panjang untuk menemukan totalnya. Bilangan terkecil yang muncul pada kedua deret kelipatan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil.

   • Misalnya, bilangan terkecil yang muncul pada deret kelipatan 5 dan 8 adalah 40. Jadi, 40 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8.

   Faktorisasi prima

   1. Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan ketika diberikan dua angka yang keduanya lebih besar dari 10. Jika angka yang diberikan lebih kecil, gunakan metode yang berbeda.

      • Misalnya, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 20 dan 84. Setiap angka lebih besar dari 10, sehingga metode ini dapat digunakan.

   2. Faktorkan bilangan pertama. Artinya, Anda perlu menemukan bilangan prima seperti itu, ketika dikalikan, Anda mendapatkan angka tertentu. Setelah menemukan faktor prima, tuliskan sebagai persamaan.

      • Sebagai contoh, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Jadi, faktor prima dari bilangan 20 adalah bilangan 2, 2 dan 5. Tulislah sebagai ekspresi: .

   3. Faktorkan bilangan kedua menjadi faktor prima. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti Anda memfaktorkan angka pertama, yaitu, temukan bilangan prima sedemikian rupa sehingga, ketika dikalikan, akan mendapatkan angka ini.

      • Sebagai contoh, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Jadi, faktor prima dari bilangan 84 adalah bilangan 2, 7, 3 dan 2. Tulislah sebagai ekspresi: .

   4. Tuliskan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Tulis faktor-faktor seperti operasi perkalian. Saat Anda menuliskan setiap faktor, coretlah dalam kedua ekspresi (ekspresi yang menggambarkan penguraian bilangan menjadi faktor prima).

      • Misalnya, faktor persekutuan untuk kedua bilangan adalah 2, jadi tuliskan 2 × (\displaystyle 2\times ) dan coret 2 di kedua ekspresi.
      • Faktor persekutuan untuk kedua bilangan adalah faktor lain dari 2, jadi tuliskan 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) dan coret 2 kedua di kedua ekspresi.

   5. Tambahkan faktor yang tersisa ke operasi perkalian. Ini adalah faktor-faktor yang tidak dicoret dalam kedua ekspresi, yaitu faktor-faktor yang tidak umum untuk kedua angka.

      • Misalnya, dalam ekspresi 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\kali 2\kali 5) kedua dua (2) dicoret karena merupakan faktor persekutuan. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tuliskan operasi perkalian sebagai berikut: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Dalam ekspresi 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) kedua deuces (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tuliskan operasi perkalian sebagai berikut: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Hitung kelipatan persekutuan terkecil. Untuk melakukan ini, kalikan angka dalam operasi perkalian tertulis.

      • Sebagai contoh, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 84 adalah 420.

   Menemukan pembagi umum

   1. Gambarlah kotak seperti yang Anda lakukan untuk permainan tic-tac-toe. Kisi-kisi semacam itu terdiri dari dua garis sejajar yang berpotongan (bersudut siku-siku) dengan dua garis sejajar lainnya. Ini akan menghasilkan tiga baris dan tiga kolom (grid sangat mirip dengan tanda #). Tulislah bilangan pertama pada baris pertama dan kolom kedua. Tuliskan bilangan kedua pada baris pertama dan kolom ketiga.

      • Misalnya, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30. Tulis 18 pada baris pertama dan kolom kedua, dan tulis 30 pada baris pertama dan kolom ketiga.

   2. Temukan pembagi yang umum untuk kedua angka. Tuliskan di baris pertama dan kolom pertama. Lebih baik mencari pembagi prima, tetapi ini bukan prasyarat.

      • Misalnya, 18 dan 30 adalah bilangan genap, jadi pembagi persekutuannya adalah 2. Jadi tulislah 2 pada baris pertama dan kolom pertama.

   3. Bagilah setiap bilangan dengan pembagi pertama. Tulis setiap hasil bagi di bawah nomor yang sesuai. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan.

      • Sebagai contoh, 18 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), jadi tulis 9 di bawah 18.
      • 30 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tulis 15 di bawah 30.

   4. Temukan pembagi yang umum untuk kedua hasil bagi. Jika tidak ada pembagi seperti itu, lewati dua langkah berikutnya. Jika tidak, tuliskan pembagi pada baris kedua dan kolom pertama.

      • Misalnya, 9 dan 15 habis dibagi 3, jadi tulislah 3 pada baris kedua dan kolom pertama.

   5. Bagilah setiap hasil bagi dengan pembagi kedua. Tulis setiap hasil pembagian di bawah hasil bagi yang sesuai.

      • Sebagai contoh, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulis 3 di bawah 9.
      • 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), jadi tulis 5 di bawah 15.

   6. Jika perlu, tambahkan kisi dengan sel tambahan. Ulangi langkah di atas sampai hasil bagi memiliki pembagi yang sama.

   7. Lingkari angka-angka di kolom pertama dan baris terakhir dari grid. Kemudian tulis angka yang disorot sebagai operasi perkalian.

      • Misalnya angka 2 dan 3 ada di kolom pertama, dan angka 3 dan 5 ada di baris terakhir, jadi tulis operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Temukan hasil perkalian bilangan. Ini akan menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua angka yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 adalah 90.

   Algoritma Euclid

   1. Ingat terminologi yang terkait dengan operasi pembagian. Dividen adalah jumlah yang dibagi. Pembagi adalah angka yang digunakan untuk membagi. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan. Sisanya adalah jumlah yang tersisa ketika dua angka dibagi.

      • Misalnya, dalam ekspresi 15 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) istirahat. 3:
        15 adalah habis dibagi
        6 adalah pembagi
        2 bersifat pribadi
        3 adalah sisa.

Mari kita lanjutkan pembahasan tentang kelipatan persekutuan terkecil yang kita mulai pada bagian KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, kita akan menganalisis pertanyaan bagaimana mencari KPK dari bilangan negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Kami telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara mendefinisikan KPK melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu bagaimana melakukan ini untuk bilangan positif.

Definisi 1

Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar menggunakan rumus KPK (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Contoh 1

Diketahui KPK dari bilangan 126 dan 70.

Keputusan

Misalkan a = 126 , b = 70 . Substitusikan nilai-nilai dalam rumus untuk menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Tentukan KPK dari bilangan 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung KPKnya: KPK (126, 70) = 126 70: FPB (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Menjawab: KPK (126, 70) = 630.

Contoh 2

Tentukan nok dari bilangan 68 dan 34.

Keputusan

GCD dalam hal ini mudah ditemukan, karena 68 habis dibagi 34. Hitung kelipatan persekutuan terkecil dengan menggunakan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: KPK (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Menjawab: KPK(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan aturan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi bilangan kedua, maka KPK dari bilangan tersebut akan sama dengan bilangan pertama.

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima

Sekarang mari kita lihat cara mencari KPK, yang didasarkan pada penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 2

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:

• kita membuat produk dari semua faktor prima dari bilangan yang kita perlukan untuk mencari KPK;
• kami mengecualikan semua faktor utama dari produk yang mereka peroleh;
• produk yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima yang sama akan sama dengan KPK dari bilangan yang diberikan.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan KPK (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika Anda melihat rumusnya, menjadi jelas: produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi kedua angka ini. Dalam hal ini, KPK dari dua bilangan sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.

Contoh 3

Kami memiliki dua angka 75 dan 210 . Kita dapat memfaktorkannya seperti ini: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda membuat produk dari semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor-faktor yang umum untuk kedua nomor 3 dan 5, kita mendapatkan produk dari bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi KPK kita untuk angka 75 dan 210.

Contoh 4

Cari KPK dari bilangan 441 dan 700 , dekomposisi kedua bilangan menjadi faktor prima.

Keputusan

Mari kita cari semua faktor prima dari bilangan yang diberikan dalam kondisi:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapatkan dua rantai angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .

Produk dari semua faktor yang berpartisipasi dalam perluasan angka-angka ini akan terlihat seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor umum. Angka ini adalah 7. Kami mengecualikannya dari produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Menjawab: KPK (441 , 700) = 44 100 .

Mari kita berikan satu lagi rumusan metode untuk mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 3

Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor yang umum untuk kedua angka. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:

• Mari kita uraikan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
• tambahkan faktor-faktor prima dari bilangan pertama ke faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua;
• kami mendapatkan produk, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua angka.

Contoh 5

Mari kembali ke angka 75 dan 210 , yang sudah kita cari KPKnya di salah satu contoh sebelumnya. Mari kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk faktor 3 , 5 dan 5 nomor 75 tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 nomor 210. Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.

Contoh 6

Penting untuk menghitung KPK dari angka 84 dan 648.

Keputusan

Mari kita uraikan bilangan dari kondisi tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tambahkan ke produk dari faktor 2 , 2 , 3 dan 7 angka 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3 nomor 648 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Menjawab: KPK (84, 648) = 4536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan secara berurutan menemukan KPK dari dua angka. Ada teorema untuk kasus ini.

Teorema 1

Misalkan kita memiliki bilangan bulat a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dari bilangan-bilangan tersebut didapatkan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k = KPK (m k 1 , a k) .

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema dapat diterapkan pada masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140 , 9 , 54 dan 250 .

Keputusan

Mari kita perkenalkan notasi: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9 ). Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk menghitung KPK dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Didapatkan: KPK(140, 9) = 1, KPK(140, 9) = 140 9: KPK(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Oleh karena itu, m 2 = 1 260 .

Sekarang mari kita hitung menurut algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1260 , 54) . Dalam proses perhitungan, kita mendapatkan m 3 = 3 780.

Tetap bagi kita untuk menghitung m 4 \u003d KPK (m 3, a 4) \u003d KPK (3 780, 250) . Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang sama. Kami mendapatkan m 4 \u003d 94 500.

KPK dari keempat bilangan dari kondisi contoh adalah 94500 .

Menjawab: KPK (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup melelahkan. Untuk menghemat waktu, Anda bisa pergi ke arah lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:

• menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima;
• ke produk dari faktor-faktor dari angka pertama, tambahkan faktor-faktor yang hilang dari produk dari angka kedua;
• tambahkan faktor yang hilang dari angka ketiga ke produk yang diperoleh pada tahap sebelumnya, dll .;
• produk yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.

Contoh 8

Tentukan KPK dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Keputusan

Mari kita uraikan kelima bilangan tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Bilangan prima, yaitu bilangan 7, tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan dekomposisi mereka menjadi faktor prima.

Sekarang mari kita ambil hasil kali faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari bilangan 84 dan tambahkan faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua. Kami telah menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah dalam produk dari nomor pertama. Oleh karena itu, kami mengabaikan mereka.

Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Kami beralih ke nomor 48, dari produk faktor prima yang kami ambil 2 dan 2. Kemudian kita menjumlahkan faktor sederhana 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita peroleh: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan asli.

Menjawab: KPK (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Menemukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif, bilangan-bilangan ini harus terlebih dahulu diganti dengan bilangan dengan tanda yang berlawanan, dan kemudian perhitungan harus dilakukan sesuai dengan algoritma di atas.

Contoh 9

KPK(54, 34) = KPK(54, 34) dan KPK(−622,−46, 54,−888) = KPK(622, 46, 54, 888) .

Perbuatan seperti itu diperbolehkan karena jika diterima bahwa sebuah dan a- bilangan berlawanan
maka himpunan kelipatan sebuah bertepatan dengan himpunan kelipatan suatu bilangan a.

Contoh 10

Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 dan − 45 .

Keputusan

Ayo ganti angka − 145 dan − 45 ke bilangan lawannya 145 dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kami menghitung KPK (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , setelah sebelumnya ditentukan GCD menggunakan algoritma Euclid.

Kami mendapatkan bahwa KPK dari angka 145 dan − 45 sama dengan 1 305 .

Menjawab: KPK (− 145 , 45) = 1 305 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Topik "Angka berganda" dipelajari di kelas 5 sekolah komprehensif. Tujuannya adalah untuk meningkatkan keterampilan tertulis dan lisan dari perhitungan matematis. Dalam pelajaran ini, konsep-konsep baru diperkenalkan - "bilangan ganda" dan "pembagi", teknik menemukan pembagi dan kelipatan bilangan asli, kemampuan untuk menemukan KPK dengan berbagai cara dikerjakan.

Topik ini sangat penting. Pengetahuan tentangnya dapat diterapkan saat menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan penyebut yang sama dengan menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Kelipatan A adalah bilangan bulat yang habis dibagi A tanpa sisa.

Setiap bilangan asli memiliki jumlah kelipatan yang tak terbatas. Itu dianggap paling sedikit. Kelipatan tidak boleh kurang dari bilangan itu sendiri.

Perlu dibuktikan bahwa angka 125 adalah kelipatan dari angka 5. Untuk melakukan ini, Anda harus membagi angka pertama dengan angka kedua. Jika 125 habis dibagi 5 tanpa sisa, maka jawabannya adalah ya.

Metode ini berlaku untuk bilangan kecil.

Saat menghitung LCM, ada kasus khusus.

1. Jika Anda perlu menemukan kelipatan persekutuan untuk 2 angka (misalnya, 80 dan 20), di mana salah satunya (80) habis dibagi tanpa sisa oleh yang lain (20), maka angka ini (80) adalah yang terkecil kelipatan dari kedua bilangan tersebut.

KPK (80, 20) = 80.

2. Jika dua tidak memiliki pembagi yang sama, maka kita dapat mengatakan bahwa KPK mereka adalah produk dari dua angka ini.

KPK (6, 7) = 42.

Perhatikan contoh terakhir. 6 dan 7 dalam kaitannya dengan 42 adalah pembagi. Mereka membagi kelipatan tanpa sisa.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 adalah pembagi pasangan. Hasil kali mereka sama dengan bilangan kelipatan paling banyak (42).

Suatu bilangan disebut prima jika hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri atau oleh 1 (3:1=3; 3:3=1). Sisanya disebut komposit.

Dalam contoh lain, Anda perlu menentukan apakah 9 adalah pembagi terhadap 42.

42:9=4 (sisa 6)

Jawaban: 9 bukan pembagi dari 42 karena jawabannya memiliki sisa.

Pembagi berbeda dari kelipatan karena pembagi adalah bilangan yang digunakan untuk membagi bilangan asli, dan kelipatan itu sendiri habis dibagi oleh bilangan tersebut.

Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan sebuah dan b, dikalikan dengan kelipatan terkecilnya, akan menghasilkan produk dari bilangan itu sendiri sebuah dan b.

Yaitu : KPK (a,b) x KPK (a,b) = a x b.

Kelipatan persekutuan untuk bilangan yang lebih kompleks ditemukan dengan cara berikut.

Misalnya, cari KPK untuk 168, 180, 3024.

Kami menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima, menulisnya sebagai produk dari kekuatan:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

KPK (168, 180, 3024) = 15120.