Jenis angka. Natural, integer, rasional, dan real. Bilangan adalah abstraksi yang digunakan untuk karakteristik kuantitatif objek. Angka berasal dari masyarakat primitif sehubungan dengan kebutuhan orang untuk menghitung benda. Seiring waktu, dengan perkembangan ilmu pengetahuan, bilangan telah menjadi konsep matematika yang paling penting.

Untuk memecahkan masalah dan membuktikan berbagai teorema, Anda perlu memahami apa itu jenis bilangan. Jenis utama angka meliputi: bilangan bulat, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real.

bilangan bulat- ini adalah angka yang diperoleh dengan penghitungan alami objek, atau lebih tepatnya, dengan penomorannya ("pertama", "kedua", "ketiga" ...). Himpunan bilangan asli dilambangkan huruf latin N(dapat diingat berdasarkan kata Bahasa Inggris alami). bisa dibilang N ={1,2,3,....}

Bilangan bulat adalah angka dari himpunan (0, 1, -1, 2, -2, ....). Himpunan ini terdiri dari tiga bagian - bilangan asli, bilangan bulat negatif (kebalikan dari bilangan asli) dan angka 0 (nol). Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Latin Z. bisa dibilang Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

Angka rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, bilangan m disebut pembilang, dan bilangan n - penyebut pecahan. Pecahan seperti itu harus dipahami sebagai hasil dari membagi m dengan n, bahkan jika itu tidak dapat dibagi sepenuhnya. Untuk menunjuk angka rasional huruf latin yang digunakan Q. Q={... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. Semua bilangan asli dan bilangan bulat adalah rasional. Juga, sebagai contoh bilangan rasional, Anda dapat memberikan: , , . PADA kehidupan nyata bilangan rasional digunakan untuk menghitung bagian dari beberapa objek utuh tetapi dapat dibagi, seperti kue atau makanan lain yang dipotong menjadi beberapa bagian, atau untuk memperkirakan secara kasar hubungan spasial objek yang diperluas.

Bilangan nyata (nyata) adalah angka yang digunakan untuk mengukur kuantitas kontinu. Sekelompok bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin R. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional- ini adalah angka yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan berbagai operasi dengan bilangan rasional (misalnya, mengekstraksi akar, menghitung logaritma), tetapi tidak rasional. Contoh bilangan irasional adalah , , .

Setiap bilangan real dapat ditampilkan pada garis bilangan:

Untuk himpunan bilangan di atas, pernyataan berikut ini benar:

Artinya, himpunan bilangan asli termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Dan himpunan bilangan rasional termasuk dalam himpunan bilangan real. Pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan lingkaran Euler.

Tujuan: Untuk mengetahui apa itu bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, pecahan periodik; bisa menulis tanpa henti desimal dalam bentuk biasa, dapat melakukan tindakan dengan desimal dan pecahan biasa.

1. Untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari, mengubah jenis pekerjaan, pada topik ini "Bilangan bulat dan rasional".
2. Kembangkan keterampilan dan kemampuan dalam melakukan tindakan dengan pecahan desimal dan biasa, kembangkan berpikir logis, pidato matematika yang benar dan kompeten, pengembangan kemandirian dan kepercayaan diri dalam pengetahuan dan keterampilan mereka saat tampil jenis yang berbeda bekerja.
3. Tingkatkan minat pada matematika dengan memperkenalkan berbagai jenis konsolidasi materi: pekerjaan lisan, bekerja dengan buku teks, bekerja di papan tulis, menjawab pertanyaan dan kemampuan melakukan introspeksi, pekerjaan mandiri; merangsang dan mendorong aktivitas siswa.

SAYA. Mengatur waktu.
II. Topik baru:
“Bilangan Integer dan Rasional”.
1. Bagian teoretis.
2. Bagian praktis.
3. Bekerja sesuai dengan buku teks dan di papan tulis.
4. kerja mandiri oleh pilihan.
AKU AKU AKU. Hasil.
1. Untuk pertanyaan.
IV. Pekerjaan rumah.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Suasana hati emosional dan kesiapan guru dan siswa untuk pelajaran. Komunikasi tujuan dan sasaran.

II. Topik baru: “Bilangan bulat dan bilangan rasional”:

Bagian teoretis.

1. Awalnya, bilangan hanya dipahami sebagai bilangan asli. Yang cukup untuk menghitung item individual.

Tetapkan N = (1; 2; 3...) bilangan asli tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian. Ini berarti bahwa jumlah dan hasil kali bilangan asli adalah bilangan asli.

2. Namun, selisih dua bilangan asli tidak lagi selalu merupakan bilangan asli.

(Berikan contoh: 5 - 5 = 0; 5 - 7 = - 2, angka 0 dan - 2 tidak asli).

Jadi, hasil pengurangan dua bilangan asli identik mengarah ke konsep nol dan pengenalan himpunan bilangan bulat non-negatif

Z0 = (0; 1; 2;...).

3. Agar operasi pengurangan dapat dilakukan, masukkan bilangan bulat negatif, yaitu bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli. Dengan demikian, satu set bilangan bulat diperoleh Z ={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

Untuk membuat operasi pembagian dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol layak, perlu untuk menjumlahkan himpunan semua bilangan bulat himpunan semua positif dan pecahan negatif. Hasilnya adalah himpunan bilangan rasional Q=.

Saat melakukan empat operasi aritmatika(kecuali untuk pembagian dengan nol) pada bilangan rasional, bilangan rasional selalu diperoleh.

4. Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik.

Mari kita ingat apa itu pecahan periodik. Ini adalah pecahan desimal tak terbatas, di mana, mulai dari tempat desimal tertentu, digit yang sama atau beberapa digit diulang - periode pecahan. Misalnya, 0,3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

Pecahan ini dibaca seperti ini: "0 utuh dan 3 dalam periode", "1 utuh, 5 perseratus dan 73 dalam periode".

Kami menulis bilangan rasional sebagai pecahan desimal periodik tak terbatas:

bilangan asli 25 = 25,00…= 25,(0);

bilangan bulat -7 = -7,00…= -7,(0);

(kami menggunakan algoritma pembagian sudut).

5. Pernyataan kebalikannya juga benar: setiap pecahan desimal periodik tak hingga adalah bilangan rasional, karena dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli.

Pertimbangkan sebuah contoh:

1) Biarkan x \u003d 0,2 (18) dikalikan dengan 10, kita mendapatkan 10x \u003d 2.1818 ... (Anda perlu mengalikan pecahan dengan 10 n, di mana n adalah jumlah tempat desimal yang terdapat dalam catatan pecahan ini ke atas ke periode: x10 n).

2) Mengalikan kedua sisi persamaan terakhir dengan 100, kami menemukan

1000x = 218.1818…(Dikalikan dengan 10 k , di mana k adalah jumlah digit pada periode x10 n 10 k = x10 n+k).

3) Mengurangi persamaan (2) persamaan (1), kita memperoleh 990x = 216, x = .

Bagian praktis.

1. Tulis sebagai pecahan desimal:

1) - di papan tulis;

3) - di papan tulis satu siswa menuliskan keputusan, sisanya memutuskan di lapangan, kemudian saling memeriksa;

4) - di bawah dikte, semua orang melakukan tugas, dan satu berbicara dengan lantang.

2. Lakukan tindakan dan tulis hasilnya sebagai pecahan desimal:

1) - di papan tulis;

3) - di bawah dikte, semua orang melakukan tugas, dan satu berbicara dengan lantang;

5) - secara independen dengan verifikasi selanjutnya.

3. Tulis sebagai pecahan biasa desimal tak terbatas:

6) -2.3(82) - guru menunjukkan solusi di papan tulis, berdasarkan algoritma.

Definisi bilangan asli adalah bilangan bulat bilangan positif. Bilangan asli digunakan untuk menghitung objek dan untuk banyak tujuan lainnya. Angka-angka ini adalah: 1; 2; 3; 4;...

Ini adalah deret bilangan alami.
Nol adalah bilangan asli? Tidak, nol bukanlah bilangan asli.
Ada berapa bilangan asli? Ada himpunan tak terbatas dari bilangan asli.
Berapakah bilangan asli terkecil? Salah satunya adalah bilangan asli terkecil.
Berapakah bilangan asli terbesar? Itu tidak dapat ditentukan, karena ada himpunan tak terbatas dari bilangan asli.

Jumlah bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, penjumlahan bilangan asli a dan b:

Hasil kali bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, hasil kali bilangan asli a dan b:

c selalu bilangan asli.

Perbedaan bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika minuend lebih besar dari subtrahend, maka selisih bilangan asli adalah bilangan asli, sebaliknya tidak.

Hasil bagi bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika untuk bilangan asli a dan b

dimana c adalah bilangan asli, artinya a habis dibagi b. Dalam contoh ini, a adalah dividen, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi.

Pembagi suatu bilangan asli adalah bilangan asli yang dengannya bilangan pertama habis dibagi rata.

Setiap bilangan asli habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Bilangan asli sederhana hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Di sini, itu berarti bahwa mereka benar-benar terbagi. Contoh, nomor 2; 3; 5; 7 hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Ini adalah bilangan asli sederhana.

Satu tidak dianggap sebagai bilangan prima.

Bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Contoh bilangan komposit: 4; 6; 8; 9; 10

Satu tidak dianggap sebagai bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli adalah satu, bilangan prima dan bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N.

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan asli:

sifat komutatif penjumlahan

sifat asosiatif tambahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif perkalian

sifat asosiatif perkalian

(ab)c = a(bc);

sifat distributif perkalian

a (b + c) = ab + ac;

Bilangan bulat

Integer adalah bilangan asli, nol dan kebalikan dari bilangan asli.

Bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli adalah bilangan bulat. angka negatif, misalnya: -1; -2; -3; -4;...

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z.

Angka rasional

Bilangan rasional adalah bilangan bulat dan pecahan.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik. Contoh: -1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Dapat dilihat dari contoh bahwa bilangan bulat apa pun adalah pecahan periodik dengan periode nol.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan m/n, di mana m bilangan bulat, n bilangan asli. Mari kita nyatakan angka 3,(6) dari contoh sebelumnya sebagai pecahan: 22/6 = 3,(6);

Contoh lain: bilangan rasional 9 dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana seperti 18/2 atau 36/4.

Contoh lain: bilangan rasional -9 dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana seperti -18/2 atau sebagai -72/8.

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf latin Q.

Bilangan irasional

Bilangan irasional adalah desimal tak berulang tak berhingga.

Contoh: pi = 3.141592... e = 2.718281...

bilangan asli

Bilangan real semuanya rasional dan semua bilangan irasional.

Himpunan bilangan real dilambangkan dengan huruf latin R.