Di halaman ini Anda akan menemukan:

1. Sebenarnya tabel antiturunan - dapat diunduh dalam format PDF dan dicetak;

2. Video tentang cara menggunakan tabel ini;

3. Kumpulan contoh penghitungan antiturunan dari berbagai buku teks dan tes.

Dalam video itu sendiri, kami akan menganalisis banyak masalah di mana Anda perlu menghitung fungsi antiturunan, seringkali cukup rumit, tetapi yang terpenting, itu bukan fungsi pangkat. Semua fungsi yang dirangkum dalam tabel di atas harus dihafal, seperti turunannya. Tanpa mereka, studi lebih lanjut tentang integral dan penerapannya untuk memecahkan masalah praktis tidak mungkin dilakukan.

Hari ini kita terus mempelajari primitif dan beralih ke topik yang sedikit lebih kompleks. Jika sebelumnya kita hanya melihat antiturunan dari fungsi pangkat dan konstruksi yang sedikit lebih kompleks, hari ini kita akan melihat trigonometri dan banyak lagi.

Seperti yang saya katakan di pelajaran terakhir, antiturunan, tidak seperti turunan, tidak pernah diselesaikan “langsung” menggunakan aturan standar apa pun. Selain itu, kabar buruknya adalah, tidak seperti turunannya, antiturunan mungkin tidak dipertimbangkan sama sekali. Jika kita menulis fungsi yang benar-benar acak dan mencoba mencari turunannya, maka dengan probabilitas yang sangat tinggi kita akan berhasil, tetapi antiturunannya hampir tidak pernah dihitung dalam kasus ini. Namun ada kabar baik: terdapat kelas fungsi yang cukup besar yang disebut fungsi dasar, yang antiturunannya sangat mudah dihitung. Dan semua struktur kompleks lainnya yang diberikan pada semua jenis tes, tes independen, dan ujian, pada kenyataannya, terdiri dari fungsi-fungsi dasar ini melalui penjumlahan, pengurangan, dan tindakan sederhana lainnya. Prototipe fungsi-fungsi tersebut telah lama dihitung dan disusun menjadi tabel khusus. Fungsi dan tabel inilah yang akan kita kerjakan hari ini.

Tapi kita akan mulai, seperti biasa, dengan pengulangan: mari kita ingat apa itu antiturunan, mengapa jumlahnya tak terhingga banyaknya, dan bagaimana menentukan tampilan umumnya. Untuk melakukan ini, saya mengambil dua masalah sederhana.

Memecahkan contoh mudah

Contoh 1

Mari kita segera perhatikan bahwa $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dan secara umum keberadaan $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ segera memberi petunjuk kepada kita bahwa antiturunan yang diperlukan dari fungsi tersebut terkait dengan trigonometri. Dan memang benar, jika kita melihat tabelnya, kita akan menemukan bahwa $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ tidak lebih dari $\text(arctg)x$. Jadi mari kita tuliskan:

Untuk menemukannya, Anda perlu menuliskan yang berikut ini:

\[\frac(\pi )(6)=\teks(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Contoh No.2

Kita juga berbicara tentang fungsi trigonometri di sini. Kalau kita lihat tabelnya, memang yang terjadi adalah sebagai berikut:

Kita perlu menemukan di antara seluruh himpunan antiturunan yang melewati titik yang ditunjukkan:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Akhirnya mari kita tuliskan:

Sesederhana itu. Satu-satunya masalah adalah untuk menghitung antiturunan dari fungsi sederhana, Anda perlu mempelajari tabel antiturunan. Namun, setelah mempelajari tabel turunannya untuk Anda, saya rasa hal ini tidak akan menjadi masalah.

Menyelesaikan masalah yang mengandung fungsi eksponensial

Untuk memulainya, mari kita tuliskan rumus berikut:

\[((e)^(x))\ke ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dalam praktiknya.

Contoh 1

Jika kita melihat isi tanda kurung, kita akan melihat bahwa dalam tabel antiturunan tidak ada ekspresi $((e)^(x))$ berada dalam persegi, jadi persegi tersebut harus diperluas. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

Mari kita cari antiturunan untuk setiap suku:

\[((e)^(2x))=((\kiri(((e)^(2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\kiri(((e)^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(((e)^(-2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\kiri(((e )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Sekarang mari kita kumpulkan semua suku ke dalam satu ekspresi dan dapatkan antiturunan umum:

Contoh No.2

Kali ini derajatnya lebih besar, sehingga rumus perkalian yang disingkat akan menjadi cukup rumit. Jadi mari kita buka tanda kurungnya:

Sekarang mari kita coba mengambil antiturunan rumus kita dari konstruksi ini:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit atau supernatural dalam antiturunan fungsi eksponensial. Semuanya dihitung melalui tabel, tetapi siswa yang penuh perhatian mungkin akan memperhatikan bahwa antiturunan $((e)^(2x))$ jauh lebih dekat dengan $((e)^(x))$ daripada $((a )^(x ))$. Jadi, mungkin ada aturan khusus yang memungkinkan, dengan mengetahui antiturunan $((e)^(x))$, untuk menemukan $((e)^(2x))$? Ya, aturan seperti itu memang ada. Dan, terlebih lagi, ini merupakan bagian integral dari bekerja dengan tabel antiturunan. Kami sekarang akan menganalisisnya menggunakan ekspresi yang sama yang baru saja kami kerjakan sebagai contoh.

Aturan untuk bekerja dengan tabel antiturunan

Mari kita tulis lagi fungsi kita:

Dalam kasus sebelumnya, kami menggunakan rumus berikut untuk menyelesaikannya:

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\nama operator(lna))\]

Namun sekarang mari kita lakukan dengan sedikit berbeda: mari kita ingat atas dasar apa $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Seperti yang sudah saya katakan, karena turunan $((e)^(x))$ tidak lebih dari $((e)^(x))$, maka antiturunannya akan sama dengan $((e) ^ (x))$. Tapi masalahnya adalah kita memiliki $((e)^(2x))$ dan $((e)^(-2x))$. Sekarang mari kita coba mencari turunan dari $((e)^(2x))$:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\kiri(2x \kanan))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Mari kita tulis ulang konstruksi kita lagi:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\kiri(\frac(((e)^(2x)))(2) \kanan))^(\prime ))\]

Ini berarti ketika kita menemukan antiturunan $((e)^(2x))$ kita mendapatkan yang berikut:

\[((e)^(2x))\ke \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya, tetapi kami tidak menggunakan rumus untuk mencari $((a)^(x))$. Sekarang ini mungkin tampak bodoh: mengapa mempersulit penghitungan jika ada rumus standar? Namun, dalam ekspresi yang sedikit lebih kompleks Anda akan menemukan bahwa teknik ini sangat efektif, yaitu. menggunakan turunan untuk mencari antiturunan.

Sebagai pemanasan, mari kita cari antiturunan dari $((e)^(2x))$ dengan cara serupa:

\[((\kiri(((e)^(-2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \kiri(-2 \kanan)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \kanan))^(\prime ))\]

Saat menghitung, konstruksi kami akan ditulis sebagai berikut:

\[((e)^(-2x))\ke -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\ke -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Kami mendapatkan hasil yang persis sama, tetapi mengambil jalan yang berbeda. Jalur inilah, yang sekarang tampak sedikit lebih rumit bagi kami, yang di masa depan akan menjadi lebih efektif untuk menghitung antiturunan yang lebih kompleks dan menggunakan tabel.

Catatan! Ini adalah poin yang sangat penting: antiturunan, seperti halnya derivatif, dapat dihitung dengan berbagai cara. Namun jika semua perhitungan dan penghitungannya sama, maka jawabannya akan sama. Kita baru saja melihatnya dengan contoh $((e)^(-2x))$ - di satu sisi, kita menghitung antiturunan ini “melalui”, menggunakan definisi dan menghitungnya menggunakan transformasi, di sisi lain, kita ingat bahwa $ ((e)^(-2x))$ dapat direpresentasikan sebagai $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dan baru kemudian kita menggunakan antiturunan untuk fungsi $( (a)^(x))$. Namun, setelah semua transformasi, hasilnya tetap sama, seperti yang diharapkan.

Dan sekarang setelah kita memahami semua ini, sekarang saatnya beralih ke sesuatu yang lebih signifikan. Sekarang kita akan menganalisis dua konstruksi sederhana, tetapi teknik yang akan digunakan untuk menyelesaikannya adalah alat yang lebih kuat dan berguna daripada sekadar “berjalan” di antara antiturunan yang berdekatan dari tabel.

Pemecahan masalah: menemukan antiturunan suatu fungsi

Contoh 1

Mari kita bagi jumlah yang ada di pembilangnya menjadi tiga pecahan terpisah:

Ini adalah transisi yang cukup alami dan dapat dimengerti - sebagian besar siswa tidak mengalami masalah dengannya. Mari kita tulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:

Sekarang mari kita ingat rumus ini:

Dalam kasus kami, kami akan mendapatkan yang berikut:

Untuk menghilangkan semua pecahan tiga lantai ini, saya sarankan melakukan hal berikut:

Contoh No.2

Berbeda dengan pecahan sebelumnya, penyebutnya bukanlah hasil kali, melainkan penjumlahan. Dalam hal ini, kita tidak dapat lagi membagi pecahan kita menjadi jumlah beberapa pecahan sederhana, tetapi kita harus berusaha memastikan bahwa pembilangnya mengandung persamaan yang kira-kira sama dengan penyebutnya. Dalam hal ini, melakukannya cukup sederhana:

Notasi ini, yang dalam bahasa matematika disebut “penjumlahan nol”, akan memungkinkan kita membagi kembali pecahan menjadi dua bagian:

Sekarang mari kita temukan apa yang kita cari:

Itu semua perhitungannya. Meskipun kompleksitasnya tampak lebih besar daripada soal sebelumnya, jumlah perhitungannya ternyata lebih kecil.

Nuansa solusinya

Dan di sinilah letak kesulitan utama dalam bekerja dengan antiturunan tabel, ini terutama terlihat pada tugas kedua. Faktanya adalah bahwa untuk memilih beberapa elemen yang mudah dihitung melalui tabel, kita perlu mengetahui apa sebenarnya yang kita cari, dan dalam pencarian elemen inilah seluruh perhitungan antiturunan terdiri.

Dengan kata lain, tidak cukup hanya dengan menghafal tabel antiturunan - Anda harus dapat melihat sesuatu yang belum ada, tetapi apa maksud penulis dan penyusun masalah ini. Itulah sebabnya banyak matematikawan, guru, dan profesor terus-menerus berdebat: “Apa yang dimaksud dengan antiturunan atau integrasi - apakah itu hanya sebuah alat atau seni yang nyata?” Sebenarnya, menurut saya pribadi, integrasi bukanlah sebuah seni sama sekali - tidak ada yang luhur di dalamnya, yang ada hanyalah latihan dan latihan lagi. Dan untuk berlatih, mari kita selesaikan tiga contoh yang lebih serius.

Kami melatih integrasi dalam praktik

Tugas No.1

Mari kita tulis rumus berikut:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\ke \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ke \teks(arctg)x\]

Mari kita tulis yang berikut ini:

Masalah No.2

Mari kita tulis ulang sebagai berikut:

Total antiturunan akan sama dengan:

Soal No.3

Kesulitan dari tugas ini adalah, tidak seperti fungsi sebelumnya di atas, tidak ada variabel $x$ sama sekali, mis. tidak jelas bagi kita apa yang harus ditambah atau dikurangi untuk mendapatkan setidaknya sesuatu yang serupa dengan yang di bawah ini. Namun kenyataannya, ekspresi ini dianggap lebih sederhana daripada ekspresi sebelumnya, karena fungsi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Anda sekarang mungkin bertanya: mengapa fungsi-fungsi ini sama? Mari kita periksa:

Mari kita tulis ulang lagi:

Mari kita ubah sedikit ekspresi kita:

Dan ketika saya menjelaskan semua ini kepada murid-murid saya, masalah yang sama hampir selalu muncul: dengan fungsi pertama semuanya kurang lebih jelas, dengan fungsi kedua Anda juga dapat mengetahuinya dengan keberuntungan atau latihan, tetapi kesadaran alternatif seperti apa yang Anda miliki? perlu dimiliki untuk menyelesaikan contoh ketiga? Sebenarnya, jangan takut. Teknik yang kami gunakan saat menghitung antiturunan terakhir disebut “penguraian suatu fungsi menjadi fungsi yang paling sederhana”, dan ini adalah teknik yang sangat serius, dan pelajaran video terpisah akan dikhususkan untuk itu.

Sementara itu, saya mengusulkan untuk kembali ke apa yang baru saja kita pelajari, yaitu fungsi eksponensial dan agak memperumit masalah isinya.

Masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan fungsi eksponensial antiturunan

Tugas No.1

Mari kita perhatikan hal berikut:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kiri(2\cdot 5 \kanan))^(x))=((10)^(x) )\]

Untuk mencari antiturunan dari ekspresi ini, cukup gunakan rumus standar - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dalam kasus kami, antiturunannya akan seperti ini:

Tentu saja, dibandingkan dengan desain yang baru saja kita selesaikan, desain ini terlihat lebih sederhana.

Masalah No.2

Sekali lagi, mudah untuk melihat bahwa fungsi ini dapat dengan mudah dibagi menjadi dua suku terpisah - dua pecahan terpisah. Mari kita menulis ulang:

Tetap mencari antiturunan dari masing-masing suku ini menggunakan rumus yang dijelaskan di atas:

Meskipun fungsi eksponensial tampak lebih rumit dibandingkan dengan fungsi pangkat, keseluruhan volume penghitungan dan penghitungan ternyata jauh lebih sederhana.

Tentu saja, bagi siswa yang berpengetahuan luas, apa yang baru saja kita diskusikan (terutama dengan latar belakang apa yang telah kita bahas sebelumnya) mungkin tampak seperti ekspresi dasar. Namun, ketika memilih dua soal ini untuk pelajaran video hari ini, saya tidak menetapkan tujuan untuk memberi tahu Anda teknik lain yang rumit dan canggih - yang ingin saya tunjukkan hanyalah bahwa Anda tidak perlu takut menggunakan teknik aljabar standar untuk mengubah fungsi asli .

Menggunakan teknik "rahasia".

Sebagai kesimpulan, saya ingin melihat teknik menarik lainnya, yang, di satu sisi, melampaui apa yang terutama kita diskusikan hari ini, tetapi, di sisi lain, pertama-tama, sama sekali tidak rumit, yaitu. Bahkan siswa pemula pun dapat menguasainya, dan kedua, cukup sering ditemukan dalam semua jenis tes dan pekerjaan mandiri, yaitu. pengetahuan tentangnya akan sangat berguna selain pengetahuan tentang tabel antiturunan.

Tugas No.1

Jelasnya, kita memiliki sesuatu yang sangat mirip dengan fungsi daya. Apa yang harus kita lakukan dalam kasus ini? Mari kita pikirkan: $x-5$ tidak jauh berbeda dengan $x$ - mereka hanya menambahkan $-5$. Mari kita tulis seperti ini:

\[((x)^(4))\ke \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\kiri(\frac(((x)^(5)))(5) \kanan))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Mari kita coba mencari turunan dari $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\kiri(((\kiri(x-5 \kanan))^(5)) \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan)) ^(4))\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(4))\]

Ini menyiratkan:

\[((\kiri(x-5 \kanan))^(4))=((\kiri(\frac(((\kiri(x-5 \kanan))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Tidak ada nilai seperti itu dalam tabel, jadi sekarang kita telah menurunkan sendiri rumus ini menggunakan rumus antiturunan standar untuk fungsi pangkat. Mari kita tulis jawabannya seperti ini:

Masalah No.2

Banyak siswa yang melihat solusi pertama mungkin berpikir bahwa semuanya sangat sederhana: cukup ganti $x$ dalam fungsi pangkat dengan ekspresi linier, dan semuanya akan beres. Sayangnya, semuanya tidak sesederhana itu, dan sekarang kita akan melihatnya.

Dengan analogi dengan ekspresi pertama, kita menulis yang berikut:

\[((x)^(9))\ke \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)) \kanan))^(\prime ))=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(9))\cdot \kiri(-3 \kanan)=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\]

Kembali ke turunan kita, kita dapat menulis:

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)) \kanan))^(\prime ))=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan) )^(9))\]

\[((\kiri(4-3x \kanan))^(9))=((\kiri(\frac(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Ini segera menyusul:

Nuansa solusinya

Harap dicatat: jika tidak ada perubahan mendasar terakhir kali, maka dalam kasus kedua, alih-alih $-10$, $-30$ muncul. Apa perbedaan antara $-10$ dan $-30$? Jelas sekali, dengan faktor $-3$. Pertanyaan: dari mana asalnya? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa ini diambil sebagai hasil perhitungan turunan dari fungsi kompleks - koefisien yang berada pada $x$ muncul pada antiturunan di bawah. Ini adalah aturan yang sangat penting, yang awalnya tidak saya rencanakan untuk dibahas sama sekali dalam video pelajaran hari ini, tetapi tanpanya, presentasi antiturunan tabel tidak akan lengkap.

Jadi mari kita lakukan lagi. Biarkan ada fungsi daya utama kami:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sekarang, alih-alih $x$, mari kita substitusikan ekspresi $kx+b$. Lalu apa yang akan terjadi? Kita perlu menemukan yang berikut ini:

\[((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\ke \frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Atas dasar apa kami menyatakan hal ini? Sangat sederhana. Mari kita cari turunan dari konstruksi yang ditulis di atas:

\[((\kiri(\frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+1 \kanan)\cdot k) \kanan))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\]

Ini adalah ekspresi yang sama yang awalnya ada. Jadi, rumus ini juga benar, dan dapat digunakan untuk melengkapi tabel antiturunan, atau lebih baik menghafal seluruh tabel saja.

Kesimpulan dari “rahasia: teknik:

• Kedua fungsi yang baru saja kita lihat, pada kenyataannya, dapat direduksi menjadi antiturunan yang ditunjukkan dalam tabel dengan memperluas derajatnya, tetapi jika kita dapat mengatasi derajat keempat, maka saya bahkan tidak akan mempertimbangkan derajat kesembilan. berani mengungkapkannya.
• Jika kita memperluas derajatnya, kita akan mendapatkan begitu banyak perhitungan sehingga tugas sederhana akan memakan banyak waktu.
• Oleh karena itu, soal-soal yang mengandung ekspresi linier tidak perlu diselesaikan secara “cepat”. Segera setelah Anda menemukan antiturunan yang berbeda dari yang ada di tabel hanya dengan adanya ekspresi $kx+b$ di dalamnya, segera ingat rumus yang tertulis di atas, substitusikan ke antiturunan tabel Anda, dan semuanya akan menjadi jauh lebih baik. lebih cepat dan mudah.

Tentu saja, karena kerumitan dan keseriusan teknik ini, kami akan kembali membahasnya berkali-kali dalam pelajaran video mendatang, tetapi itu saja untuk hari ini. Saya harap pembelajaran ini dapat sangat membantu para siswa yang ingin memahami antiturunan dan integrasi.

Integrasi adalah salah satu operasi utama dalam analisis matematika. Tabel antiturunan yang diketahui mungkin berguna, tetapi sekarang, setelah munculnya sistem aljabar komputer, tabel tersebut kehilangan arti pentingnya. Di bawah ini adalah daftar primitif yang paling umum.

Tabel integral dasar

Pilihan ringkas lainnya

Tabel integral fungsi trigonometri

Dari fungsi rasional

Dari fungsi yang tidak rasional

Integral fungsi transendental

"C" adalah konstanta integrasi sembarang, yang ditentukan jika nilai integral pada suatu titik diketahui. Setiap fungsi mempunyai jumlah antiturunan yang tak terhingga.

Sebagian besar anak sekolah dan siswa mengalami masalah dalam menghitung integral. Halaman ini berisi tabel integral dari fungsi trigonometri, rasional, irasional dan transendental yang akan membantu dalam penyelesaiannya. Tabel turunan juga akan membantu Anda.

Video - cara mencari integral

Jika Anda kurang memahami topik ini, tonton videonya, yang menjelaskan semuanya secara detail.

Tabel antiturunan (“integral”). Tabel integral. Integral tak tentu tabel. (Integral paling sederhana dan integral dengan parameter). Rumus integrasi per bagian. Rumus Newton-Leibniz.

Tabel antiturunan (“integral”). Integral tak tentu tabel. (Integral paling sederhana dan integral dengan parameter).
Integral dari fungsi pangkat.	Integral dari fungsi pangkat.
Integral yang direduksi menjadi integral fungsi pangkat jika x digerakkan di bawah tanda diferensial.
	Integral eksponensial, dimana a adalah bilangan konstan.
Integral dari fungsi eksponensial kompleks.	Integral dari fungsi eksponensial.
Integral yang sama dengan logaritma natural.	Integral: "logaritma panjang".
	Integral: "logaritma panjang".
Integral: "Logaritma tinggi".	Integral, di mana x pada pembilangnya ditempatkan di bawah tanda diferensial (konstanta di bawah tanda dapat dijumlahkan atau dikurangkan), pada akhirnya serupa dengan integral yang sama dengan logaritma natural.
Integral: "Logaritma tinggi".
Integral kosinus.	Integral sinus.
Integral sama dengan tangen.	Integral sama dengan kotangen.
Integral sama dengan arcsinus dan arccosine
Integral yang sama dengan arcsinus dan arccosine.	Integral yang sama dengan tangen busur dan tangen busur.
Integral sama dengan kosekan.	Integral sama dengan garis potong.
Integral sama dengan arcsecant.	Integral sama dengan arccosecant.
Integral sama dengan arcsecant.	Integral sama dengan arcsecant.
Integral sama dengan sinus hiperbolik.	Integral sama dengan kosinus hiperbolik.
Integral sama dengan sinus hiperbolik, dimana sinhx adalah sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggris.	Integral sama dengan kosinus hiperbolik, dimana sinhx adalah sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggris.
Integral sama dengan garis singgung hiperbolik.	Integral sama dengan kotangen hiperbolik.
Integral sama dengan garis potong hiperbolik.	Integral sama dengan kosekan hiperbolik.

Rumus integrasi per bagian. Aturan integrasi.

Rumus integrasi per bagian. Rumus Newton-Leibniz Aturan integrasi.
Mengintegrasikan produk (fungsi) dengan konstanta:
Mengintegrasikan jumlah fungsi:
integral tak tentu:
Rumus integrasi per bagian integral tertentu:
Rumus Newton-Leibniz integral tertentu:	Dimana F(a),F(b) masing-masing adalah nilai antiturunan di titik b dan a.

Tabel turunan. Turunan tabel. Turunan dari produk. Turunan dari hasil bagi. Turunan dari fungsi kompleks.

Jika x adalah variabel bebas, maka:

Tabel turunan. Turunan tabel."turunan tabel" - ya, sayangnya, inilah cara pencariannya di Internet
	Turunan dari fungsi pangkat
	Turunan dari eksponen
Turunan dari fungsi eksponensial kompleks	Turunan dari fungsi eksponensial
Turunan dari fungsi logaritma	Turunan dari logaritma natural
	Turunan dari logaritma natural suatu fungsi
Turunan dari sinus	Turunan dari kosinus
Turunan dari kosekan	Turunan dari garis potong
Turunan dari arcsinus	Turunan dari arc cosinus
Turunan dari arcsinus	Turunan dari arc cosinus
Turunan tangen	Turunan dari kotangen
Turunan dari arctangen	Turunan dari kotangen busur
Turunan dari arctangen	Turunan dari kotangen busur
Turunan dari arcsecant	Turunan dari arccosecant
Turunan dari arcsecant	Turunan dari arccosecant
Turunan dari sinus hiperbolik Turunan dari sinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggris	Turunan dari kosinus hiperbolik Turunan dari kosinus hiperbolik dalam versi bahasa Inggris
Turunan dari tangen hiperbolik	Turunan dari kotangen hiperbolik
Turunan dari garis potong hiperbolik	Turunan dari kosekan hiperbolik

Aturan diferensiasi. Turunan dari produk. Turunan dari hasil bagi. Turunan dari fungsi kompleks.
Turunan suatu produk (fungsi) dengan konstanta:
Turunan dari jumlah (fungsi):
Turunan produk (fungsi):
Turunan dari hasil bagi (fungsi):
Turunan dari fungsi kompleks:

Sifat-sifat logaritma. Rumus dasar logaritma. Desimal (lg) dan logaritma natural (ln).

Identitas logaritma dasar
Mari kita tunjukkan bagaimana fungsi apa pun yang berbentuk a b dapat dibuat eksponensial. Karena suatu fungsi berbentuk e x disebut eksponensial, maka
Fungsi apa pun yang berbentuk a b dapat direpresentasikan sebagai pangkat sepuluh

Logaritma natural ln (logaritma ke basis e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seri Taylor. Perluasan suatu fungsi deret Taylor.

Ternyata mayoritas ditemui secara praktis fungsi matematika dapat direpresentasikan dengan akurasi apa pun di sekitar titik tertentu dalam bentuk deret pangkat yang berisi pangkat suatu variabel dalam urutan menaik. Misalnya, di sekitar titik x=1:

Saat menggunakan seri disebut baris Taylor fungsi campuran yang mengandung, katakanlah, fungsi aljabar, trigonometri, dan eksponensial dapat dinyatakan sebagai fungsi aljabar murni. Dengan menggunakan rangkaian, Anda sering kali dapat dengan cepat melakukan diferensiasi dan integrasi.

Deret Taylor di sekitar titik a berbentuk:

1) , dimana f(x) adalah fungsi yang memiliki turunan semua orde di x = a. R n - sisa suku deret Taylor ditentukan oleh ekspresi

2)

Koefisien ke-k (pada x k) deret tersebut ditentukan oleh rumus

3) Kasus khusus deret Taylor adalah deret Maclaurin (=McLaren). (muaian terjadi di sekitar titik a=0)

pada a=0

anggota deret tersebut ditentukan oleh rumus

Syarat penggunaan deret Taylor.

1. Agar fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor pada interval (-R;R), perlu dan cukup sisa suku dalam rumus Taylor (Maclaurin (=McLaren)) untuk fungsi ini fungsi cenderung nol karena k →∞ pada interval yang ditentukan (-R;R).

2. Perlu adanya turunan untuk suatu fungsi tertentu pada titik di sekitar tempat kita akan membuat deret Taylor.

Sifat-sifat deret Taylor.

Jika f adalah suatu fungsi analitik, maka deret Taylornya di sembarang titik a dalam domain definisi f konvergen ke f di lingkungan a.

Terdapat fungsi-fungsi yang terdiferensiasi tak terhingga yang deret Taylornya konvergen, tetapi pada saat yang sama berbeda dari fungsi di lingkungan mana pun di a. Misalnya:

Deret Taylor digunakan dalam aproksimasi (perkiraan adalah metode ilmiah yang terdiri dari penggantian beberapa objek dengan objek lain, dalam satu atau lain cara mendekati objek aslinya, tetapi lebih sederhana) suatu fungsi dengan polinomial. Secara khusus, linearisasi ((dari linearis - linear), salah satu metode representasi perkiraan sistem nonlinier tertutup, di mana studi tentang sistem nonlinier digantikan oleh analisis sistem linier, dalam arti tertentu setara dengan yang asli. .) Persamaan terjadi dengan memperluas menjadi deret Taylor dan memotong semua suku di atas orde pertama.

Jadi, hampir semua fungsi dapat direpresentasikan sebagai polinomial dengan akurasi tertentu.

Contoh beberapa perluasan fungsi pangkat yang umum pada deret Maclaurin (=McLaren, Taylor di sekitar titik 0) dan Taylor di sekitar titik 1. Suku pertama perluasan fungsi utama pada deret Taylor dan McLaren.

Contoh beberapa perluasan fungsi pangkat yang umum dalam deret Maclaurin (=McLaren, Taylor di sekitar titik 0)

Contoh beberapa ekspansi deret Taylor yang umum di sekitar titik 1

Mari kita daftar integral dari fungsi dasar, yang kadang-kadang disebut tabel:

Salah satu rumus di atas dapat dibuktikan dengan mengambil turunan ruas kanan (hasilnya adalah integran).

Metode integrasi

Mari kita lihat beberapa metode integrasi dasar. Ini termasuk:

1. Metode penguraian(integrasi langsung).

Metode ini didasarkan pada penggunaan langsung integral tabel, serta penggunaan sifat 4 dan 5 dari integral tak tentu (yaitu, mengeluarkan faktor konstanta dari tanda kurung dan/atau menyatakan integral sebagai jumlah fungsi - dekomposisi dari integran ke dalam istilah).

Contoh 1. Misalnya, untuk mencari(dx/x 4) Anda dapat langsung menggunakan integral tabel untukx n dx. Faktanya,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Contoh 2. Untuk mencarinya, kita menggunakan integral yang sama:

Contoh 3. Untuk menemukannya, Anda perlu mengambil

Contoh 4. Untuk mencarinya, kami merepresentasikan fungsi integran dalam bentuk dan gunakan integral tabel untuk fungsi eksponensial:

Mari kita pertimbangkan penggunaan tanda kurung sebagai faktor konstan.

Contoh 5.Mari kita temukan, misalnya . Mengingat hal itu, kita mengerti

Contoh 6. Kami akan menemukannya. Karena , mari kita gunakan integral tabel Kita mendapatkan

Dalam dua contoh berikut, Anda juga dapat menggunakan integral bracketing dan tabel:

Contoh 7.

(kami menggunakan dan );

Contoh 8.

(kita gunakan Dan ).

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks yang menggunakan integral penjumlahan.

Contoh 9. Misalnya, mari kita temukan
. Untuk menerapkan metode pemuaian pada pembilangnya, kita menggunakan rumus jumlah pangkat tiga , lalu membagi polinomial yang dihasilkan dengan penyebutnya, suku demi suku.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Perlu dicatat bahwa di akhir penyelesaian, satu konstanta umum C ditulis (dan bukan konstanta terpisah ketika mengintegrasikan setiap suku). Di masa depan, juga diusulkan untuk menghilangkan konstanta dari integrasi suku-suku individual dalam proses penyelesaian selama ekspresi tersebut mengandung setidaknya satu integral tak tentu (kita akan menulis satu konstanta di akhir penyelesaian).

Contoh 10. Kami akan menemukannya . Untuk menyelesaikan soal ini, mari kita faktorkan pembilangnya (setelah itu kita bisa mengurangi penyebutnya).

Contoh 11. Kami akan menemukannya. Identitas trigonometri dapat digunakan di sini.

Terkadang, untuk menguraikan suatu ekspresi menjadi istilah-istilah, Anda harus menggunakan teknik yang lebih kompleks.

Contoh 12. Kami akan menemukannya . Di integran kita memilih seluruh bagian pecahan . Kemudian

Contoh 13. Kami akan menemukannya

2. Metode penggantian variabel (substitution method)

Metode ini didasarkan pada rumus berikut: f(x)dx=f((t))`(t)dt, dimana x =(t) adalah fungsi yang terdiferensiasi pada interval yang dipertimbangkan.

Bukti. Mari kita cari turunan terhadap variabel t dari ruas kiri dan kanan rumus.

Perhatikan bahwa di sisi kiri terdapat fungsi kompleks yang argumen perantaranya adalah x = (t). Oleh karena itu, untuk mendiferensiasikannya terhadap t, pertama-tama kita diferensiasikan integral terhadap x, lalu ambil turunan dari argumen perantara terhadap t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Turunan dari sisi kanan:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Karena turunan-turunan ini sama, akibat wajar dari teorema Lagrange, ruas kiri dan kanan rumus yang dibuktikan berbeda sebesar konstanta tertentu. Karena integral tak tentu itu sendiri didefinisikan hingga suku konstan tak tentu, konstanta ini dapat dihilangkan dari notasi akhir. Terbukti.

Perubahan variabel yang berhasil memungkinkan Anda menyederhanakan integral asli, dan dalam kasus paling sederhana, mereduksinya menjadi integral tabel. Dalam penerapan metode ini dibedakan antara metode substitusi linier dan nonlinier.

a) Metode substitusi linier Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 1.
. Misalkan t= 1 – 2x, maka

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Perlu diperhatikan bahwa variabel baru tidak perlu dituliskan secara eksplisit. Dalam kasus seperti itu, mereka berbicara tentang transformasi suatu fungsi di bawah tanda diferensial atau tentang memasukkan konstanta dan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu. HAI penggantian variabel implisit.

Contoh 2. Misalnya, caricos(3x + 2)dx. Berdasarkan sifat-sifat diferensial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), makacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Dalam kedua contoh yang dipertimbangkan, substitusi linier t=kx+b(k0) digunakan untuk mencari integral.

Secara umum, teorema berikut ini valid.

Teorema substitusi linier. Misalkan F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x). Makaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, dengan k dan b adalah beberapa konstanta,k0.

Bukti.

Berdasarkan definisi integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Mari kita keluarkan faktor konstanta k dari tanda integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sekarang kita dapat membagi ruas kiri dan kanan persamaan menjadi dua dan memperoleh pernyataan yang harus dibuktikan sampai dengan sebutan suku konstan.

Teorema ini menyatakan bahwa jika dalam definisi integral f(x)dx= F(x) + C alih-alih argumen x kita mengganti ekspresi (kx+b), ini akan menyebabkan munculnya tambahan faktor 1/k di depan antiturunannya.

Dengan menggunakan teorema yang telah terbukti, kita selesaikan contoh berikut.

Contoh 3.

Kami akan menemukannya . Di sini kx+b= 3 –x, yaitu k= -1,b= 3. Kemudian

Contoh 4.

Kami akan menemukannya. Di sinikx+b= 4x+ 3, yaitu k= 4,b= 3. Maka

Contoh 5.

Kami akan menemukannya . Di sini kx+b= -2x+ 7, yaitu k= -2,b= 7. Maka

.

Contoh 6. Kami akan menemukannya
. Di sini kx+b= 2x+ 0, yaitu k= 2,b= 0.

.

Mari kita bandingkan hasil yang diperoleh dengan contoh 8, yang diselesaikan dengan metode dekomposisi. Memecahkan masalah yang sama dengan menggunakan metode yang berbeda, kami mendapatkan jawabannya
. Mari kita bandingkan hasilnya: Jadi, ekspresi-ekspresi ini berbeda satu sama lain dengan suku konstan , yaitu. Jawaban yang diterima tidak saling bertentangan.

Contoh 7. Kami akan menemukannya
. Mari kita pilih kuadrat sempurna pada penyebutnya.

Dalam beberapa kasus, mengubah suatu variabel tidak mereduksi integral secara langsung menjadi integral tabel, namun dapat menyederhanakan penyelesaiannya, sehingga memungkinkan untuk menggunakan metode ekspansi pada langkah berikutnya.

Contoh 8. Misalnya, mari kita temukan . Gantikan t=x+ 2, lalu dt=d(x+ 2) =dx. Kemudian

,

di mana C = C 1 – 6 (saat mensubstitusikan ekspresi (x+ 2) sebagai pengganti dua suku pertama, kita mendapatkan ½x 2 -2x– 6).

Contoh 9. Kami akan menemukannya
. Misalkan t= 2x+ 1, maka dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Mari kita substitusikan ekspresi (2x+ 1) untuk t, buka tanda kurung dan berikan yang serupa.

Perhatikan bahwa dalam proses transformasi kita berpindah ke suku konstan lainnya, karena kelompok suku konstan dapat dihilangkan selama proses transformasi.

b) Metode substitusi nonlinier Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh 1.
. Misalkan = -x 2. Selanjutnya, seseorang dapat menyatakan x dalam bentuk t, kemudian mencari ekspresi untuk dx dan menerapkan perubahan variabel pada integral yang diinginkan. Namun dalam kasus ini lebih mudah untuk melakukan sesuatu secara berbeda. Mari kita caridt=d(-x 2) = -2xdx. Perhatikan bahwa ekspresi xdx adalah faktor integral dari integral yang diinginkan. Mari kita nyatakan dari persamaan yang dihasilkanxdx= - ½dt. Kemudian

=  (- ½)et dt = (- ½) e t dt = (- ½)et + C = (- ½)
+C

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2. Kami akan menemukannya . Misalkan t= 1 -x 2 . Kemudian

Contoh 3. Kami akan menemukannya . Biarkan=. Kemudian

;

Contoh 4. Dalam kasus substitusi nonlinier, lebih mudah juga menggunakan substitusi variabel implisit.

Misalnya, mari kita temukan
. Mari kita tulis xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (secara implisit diganti dengan variabel t= 3 - 2x 2). Kemudian

Contoh 5. Kami akan menemukannya . Di sini kami juga memperkenalkan variabel di bawah tanda diferensial: (penggantian implisit = 3 + 5x 3). Kemudian

Contoh 6. Kami akan menemukannya . Karena ,

Contoh 7. Kami akan menemukannya. Dari dulu

Mari kita lihat beberapa contoh di mana diperlukan kombinasi berbagai substitusi.

Contoh 8. Kami akan menemukannya
. Misalkan t= 2x+ 1, maka x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Contoh 9. Kami akan menemukannya
. Misalkant=x- 2, makax=t+ 2;dx=dt.

Integrasi langsung menggunakan tabel antiturunan (tabel integral tak tentu)

Tabel antiturunan

Kita dapat mencari antiturunan dari diferensial suatu fungsi yang diketahui jika kita menggunakan sifat-sifat integral tak tentu. Dari tabel fungsi dasar dasar, menggunakan persamaan ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C dan ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x kita dapat membuat tabel antiturunan.

Mari kita tuliskan tabel turunan dalam bentuk diferensial.

Konstanta y = C C" = 0 Fungsi pangkat y = x p. (xp)" = pxp - 1	Konstanta y = C d (C) = 0 dx Fungsi pangkat y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = ax dalam a	Fungsi eksponensial y = a x. d (a x) = a x ln α d x Khususnya, untuk a = e kita mempunyai y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Fungsi logaritma y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Khususnya, untuk a = e kita mempunyai y = ln x d (ln x) = d x x
Fungsi trigonometri. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Fungsi trigonometri. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x co s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Fungsi trigonometri terbalik. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Mari kita ilustrasikan hal di atas dengan sebuah contoh. Mari kita cari integral tak tentu dari fungsi pangkat f(x)=xp.

Berdasarkan tabel diferensial d (x p) = p · x p - 1 · d x. Berdasarkan sifat-sifat integral tak tentu kita mempunyai ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Oleh karena itu, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Entri versi kedua adalah sebagai berikut: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Misalkan sama dengan - 1 dan cari himpunan antiturunan dari fungsi pangkat f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Sekarang kita memerlukan tabel diferensial untuk logaritma natural d (ln x) = d x x, x > 0, maka ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Oleh karena itu ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabel antiturunan (integral tak tentu)

Kolom kiri tabel berisi rumus yang disebut antiturunan dasar. Rumus di kolom kanan bukanlah rumus dasar, tetapi dapat digunakan untuk mencari integral tak tentu. Mereka dapat diperiksa dengan diferensiasi.

Integrasi langsung

Untuk melakukan integrasi langsung, kita akan menggunakan tabel antiturunan, aturan integrasi ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, serta sifat-sifat integral tak tentu ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabel integral dasar dan sifat-sifat integral hanya dapat digunakan setelah transformasi integran dengan mudah.

Contoh 1

Mari kita cari integral ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Larutan

Kami menghapus koefisien 3 dari bawah tanda integral:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Dengan menggunakan rumus trigonometri, kami mengubah fungsi integran:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + dosa x d x

Karena integral dari jumlah tersebut sama dengan jumlah integralnya, maka
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Kita menggunakan data dari tabel antiturunan: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = kosong 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Menjawab:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Contoh 2

Kita perlu mencari himpunan antiturunan dari fungsi f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Larutan

Kita menggunakan tabel antiturunan untuk fungsi eksponensial: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Artinya ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Kita menggunakan aturan integrasi ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Kita peroleh ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Jawab: f(x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Dengan menggunakan tabel antiturunan, sifat-sifat dan aturan integrasi, kita dapat menemukan banyak integral tak tentu. Hal ini dimungkinkan dalam kasus di mana transformasi integran dapat dilakukan.

Untuk mencari integral fungsi logaritma, fungsi tangen dan kotangen, dan sejumlah fungsi lainnya, digunakan metode khusus, yang akan kita bahas di bagian “Metode dasar integrasi”.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter