Secara material, hukum dasar dinamika dapat direpresentasikan sebagai
Mengalikan kedua ruas relasi ini di sebelah kiri secara vektorial dengan vektor jari-jari (Gbr. 3.9), kita memperoleh
(3.32)
Di ruas kanan rumus ini kita mempunyai momen gaya relatif terhadap titik O. Kita ubah ruas kiri dengan menerapkan rumus turunan perkalian vektor
Tetapi 
sebagai produk vektor dari vektor paralel. Setelah ini kita dapatkan
(3.33)
Turunan pertama terhadap waktu momen momentum suatu titik terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya terhadap pusat yang sama.
 |
Contoh penghitungan momentum sudut suatu sistem. Hitung momen kinetik relatif terhadap titik O suatu sistem yang terdiri dari poros silinder bermassa M = 20 kg dan berjari-jari R = 0,5 m serta beban turun bermassa m = 60 kg (Gambar 3.12). Poros berputar mengelilingi sumbu Oz dengan kecepatan sudut ω = 10 s -1.
Gambar 3.12
; ; 
Untuk data masukan tertentu, momentum sudut sistem
Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem. Kami menerapkan resultan gaya eksternal dan internal pada setiap titik sistem. Untuk setiap titik sistem, Anda dapat menerapkan teorema perubahan momentum sudut, misalnya dalam bentuk (3.33)
Menjumlahkan semua titik sistem dan memperhitungkan bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita memperoleh
Dengan menentukan momen kinetik sistem dan sifat-sifat gaya luar dan dalam
Oleh karena itu, hubungan yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai
Turunan pertama kali momentum sudut suatu sistem relatif terhadap suatu titik sama dengan momen utama gaya luar yang bekerja pada sistem relatif terhadap titik yang sama.
3.3.5. Pekerjaan paksa
1) Kerja dasar suatu gaya sama dengan hasil kali skalar gaya dan jari-jari diferensial vektor titik penerapan gaya (Gbr. 3.13)
Gambar 3.13
Ekspresi (3.36) juga dapat ditulis dalam bentuk padanan berikut
dimana adalah proyeksi gaya terhadap arah kecepatan titik penerapan gaya.
2) Kerja gaya pada perpindahan akhir
Mengintegrasikan kerja gaya dasar, kita memperoleh ekspresi kerja gaya pada perpindahan akhir dari titik A ke titik B berikut ini
3) Usaha dengan gaya konstan
Jika gayanya konstan, maka dari (3.38) berikut ini
Kerja suatu gaya konstan tidak bergantung pada bentuk lintasan, tetapi hanya bergantung pada vektor perpindahan titik penerapan gaya.
4) Kerja gaya berat
Untuk gaya berat (Gbr. 3.14) dan dari (3.39) kita peroleh
Gambar 3.14
Jika perpindahan terjadi dari titik B ke titik A, maka
Secara umum
Tanda “+” menunjukkan pergerakan ke bawah dari titik penerapan gaya, tanda “-” menunjukkan ke atas.
4) Usaha gaya elastis
Misalkan sumbu pegas diarahkan sepanjang sumbu x (Gbr. 3.15), dan ujung pegas bergerak dari titik 1 ke titik 2, maka dari (3.38) kita peroleh 
Jika kekakuan pegas adalah Dengan, sehingga kemudian
A 
(3.41)
Jika ujung pegas berpindah dari titik 0 ke titik 1, maka dalam persamaan ini kita ganti , , maka kerja gaya elastis akan berbentuk
(3.42)
dimana perpanjangan pegas.
Gambar 3.15
5) Usaha gaya yang diterapkan pada benda yang berputar. Pekerjaan saat ini.
Pada Gambar. Gambar 3.16 menunjukkan sebuah benda berputar yang diberi gaya sembarang. Selama rotasi, titik penerapan gaya ini bergerak membentuk lingkaran.
Dalam beberapa soal, alih-alih momentum itu sendiri, momen relatif terhadap suatu pusat atau sumbu dianggap sebagai karakteristik dinamis dari suatu titik bergerak. Momen-momen ini didefinisikan dengan cara yang sama seperti momen gaya.
Besaran momentum gerak titik material relatif terhadap suatu pusat O disebut vektor yang ditentukan oleh persamaan
Momentum sudut suatu titik disebut juga momen kinetik .
momentum relatif terhadap sembarang sumbu yang melalui pusat O sama dengan proyeksi vektor momentum ke sumbu tersebut.
Jika momentum diberikan oleh proyeksinya pada sumbu koordinat dan diberikan koordinat titik dalam ruang, maka momentum sudut relatif terhadap titik asal dihitung sebagai berikut:
Proyeksi momentum sudut pada sumbu koordinat adalah:
Satuan SI untuk momentum adalah – .
Akhir pekerjaan -
Topik ini termasuk dalam bagian:
Dinamika
Kuliah.. ringkasan pengantar dinamika, aksioma mekanika klasik.. pengantar..
Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di database karya kami:
Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:
Jika materi ini bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:
| Menciak |
Semua topik di bagian ini:
Sistem satuan
SGS Si Teknis [L] cm mm m [M]
Persamaan diferensial gerak suatu titik
Persamaan dasar dinamika dapat dituliskan sebagai berikut
Tugas dasar dinamika
Masalah pertama atau langsung: Massa suatu titik dan hukum geraknya diketahui; perlu dicari gaya yang bekerja pada titik tersebut. M
Kasus yang paling penting
1. Gaya adalah konstan.
Jumlah pergerakan titik
Besaran gerak suatu titik material adalah vektor yang sama dengan hasil kali m
Impuls kekuatan dasar dan penuh
Aksi suatu gaya pada suatu titik material seiring waktu
Teorema perubahan momentum suatu titik
Dalil. Turunan momentum suatu titik terhadap waktu sama dengan gaya yang bekerja pada titik tersebut. Mari kita tuliskan hukum dasar dinamika
Teorema perubahan momentum sudut suatu titik
Dalil. Turunan waktu dari momen momentum suatu titik yang diambil relatif terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.
Pekerjaan paksa. Kekuatan
Salah satu ciri utama gaya yang mengevaluasi pengaruh gaya pada suatu benda selama suatu gerakan.
Teorema perubahan energi kinetik suatu titik
Dalil. Perbedaan energi kinetik suatu titik sama dengan kerja dasar gaya yang bekerja pada titik tersebut.
Prinsip D'Alembert untuk suatu titik material
Persamaan gerak suatu titik material relatif terhadap kerangka acuan inersia di bawah aksi gaya aktif yang diterapkan dan gaya reaksi kopling berbentuk:
Dinamika titik material tidak bebas
Titik material tak bebas adalah titik yang kebebasan geraknya dibatasi. Benda-benda yang membatasi kebebasan bergerak suatu titik disebut sambungan
Gerak relatif suatu titik material
Dalam banyak permasalahan dinamika, pergerakan suatu titik material dianggap relatif terhadap kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap kerangka acuan inersia.
Kasus khusus gerak relatif
1. Gerak relatif karena inersia Jika suatu titik material bergerak relatif terhadap kerangka acuan yang bergerak secara lurus dan beraturan, maka gerak tersebut disebut relatif
Geometri massa
Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari sejumlah titik material bermassa
Momen inersia
Untuk mengkarakterisasi distribusi massa dalam benda ketika mempertimbangkan gerak rotasi, perlu diperkenalkan konsep momen inersia. Momen inersia terhadap suatu titik
Momen inersia benda paling sederhana
1. Batang seragam 2. Pelat persegi panjang 3. Piringan bulat seragam
Kuantitas pergerakan sistem
Besaran gerak suatu sistem titik-titik material adalah jumlah vektor besaran-besaran
Teorema perubahan momentum suatu sistem
Teorema ini hadir dalam tiga bentuk berbeda. Dalil. Turunan waktu dari momentum sistem sama dengan jumlah vektor semua gaya luar yang bekerja padanya
Hukum kekekalan momentum
1. Jika vektor utama semua gaya luar sistem adalah nol (), maka besar gerak sistem adalah konstan
Teorema gerak pusat massa
Teorema Pusat massa suatu sistem bergerak dengan cara yang sama seperti titik material, yang massanya sama dengan massa seluruh sistem, jika semua gaya eksternal yang diterapkan pada titik tersebut bekerja pada titik tersebut.
Momentum sistem
Momentum sudut suatu sistem titik material relatif terhadap beberapa
Momen momentum suatu benda tegar terhadap sumbu rotasi pada gerak rotasi suatu benda tegar
Mari kita hitung momentum sudut benda tegar terhadap sumbu rotasi.
Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem
Dalil. Turunan waktu dari momen momentum sistem, yang diambil relatif terhadap suatu pusat, sama dengan jumlah vektor momen gaya luar yang bekerja pada sistem.
Hukum kekekalan momentum sudut
1. Jika momen utama gaya luar sistem terhadap suatu titik sama dengan nol (
Energi kinetik sistem
Energi kinetik suatu sistem adalah jumlah energi kinetik semua titik dalam sistem.
Energi kinetik benda padat
1. Gerakan tubuh ke depan. Energi kinetik suatu benda tegar selama gerak translasi dihitung dengan cara yang sama seperti untuk satu titik yang massanya sama dengan massa benda tersebut.
Teorema perubahan energi kinetik suatu sistem
Teorema ini hadir dalam dua bentuk. Dalil. Perbedaan energi kinetik sistem sama dengan jumlah kerja dasar semua gaya luar dan dalam yang bekerja pada sistem
Pertama, mari kita pertimbangkan kasus satu hal material. Misalkan massa titik material M, kecepatannya, dan jumlah geraknya.
Mari kita pilih titik O di ruang sekitarnya dan buat momen vektor relatif terhadap titik ini sesuai dengan aturan yang sama yang digunakan untuk menghitung momen gaya dalam statika. Kita mendapatkan besaran vektor
yang disebut momentum sudut titik material relatif terhadap pusat O (Gbr. 31).
Mari kita membangun sistem koordinat persegi panjang Cartesian Oxyz dengan titik asal di pusat O dan memproyeksikan vektor ko ke sumbu-sumbu ini. Proyeksinya pada sumbu-sumbu ini, yang sama dengan momen vektor terhadap sumbu koordinat yang bersesuaian, disebut momen momentum titik material terhadap sumbu koordinat:
Sekarang mari kita mempunyai sistem mekanis yang terdiri dari N titik material. Dalam hal ini, momentum sudut dapat ditentukan untuk setiap titik dalam sistem:
Jumlah geometri momentum sudut semua titik material yang menyusun sistem disebut momentum sudut utama atau momen kinetik sistem.
Besaran gerak suatu sistem, sebagai besaran vektor, ditentukan oleh rumus (4.12) dan (4.13).
Dalil. Turunan momentum sistem terhadap waktu sama dengan jumlah geometri semua gaya luar yang bekerja padanya.
Dalam proyeksi sumbu Cartesian kita memperoleh persamaan skalar.
Anda dapat menulis vektor
(4.28)
dan persamaan skalar
Yang menyatakan teorema tentang perubahan momentum sistem dalam bentuk integral: perubahan momentum sistem dalam selang waktu tertentu sama dengan jumlah impuls dalam selang waktu yang sama. Saat menyelesaikan masalah, persamaan (4.27) lebih sering digunakan
Hukum kekekalan momentum
Teorema perubahan momentum sudut
Teorema perubahan momentum sudut suatu titik terhadap pusat: turunan waktu dari momentum sudut suatu titik relatif terhadap pusat tetap sama dengan momen vektor gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.
Atau 
(4.30)
Membandingkan (4.23) dan (4.30), kita melihat bahwa momen-momen dari vektor-vektor dan berhubungan dengan ketergantungan yang sama seperti vektor-vektor dan vektor-vektor itu sendiri berhubungan (Gbr. 4.1). Jika kita memproyeksikan persamaan ke sumbu yang melalui pusat O, kita peroleh
(4.31)
Persamaan ini menyatakan teorema momentum sudut suatu titik relatif terhadap suatu sumbu.
|
(4.32)
Jika kita memproyeksikan ekspresi (4.32) ke sumbu yang melalui pusat O, kita memperoleh persamaan yang mencirikan teorema perubahan momentum sudut relatif terhadap sumbu.
(4.33)
Substitusikan (4.10) ke dalam persamaan (4.33), kita dapat menuliskan persamaan diferensial benda tegar yang berputar (roda, gandar, poros, rotor, dll) dalam tiga bentuk.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan teorema perubahan momentum kinetik untuk mempelajari gerak benda tegar, yang sangat umum dalam teknologi, rotasinya pada sumbu tetap.
Hukum kekekalan momentum sudut suatu sistem
1. Biarkan dalam ekspresi (4.32) .
Maka dari persamaan (4.32) berikut ini, yaitu. jika jumlah momen semua gaya luar yang diterapkan pada sistem terhadap suatu pusat tertentu sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap pusat tersebut akan konstan secara numerik dan arahnya.
2. Jika , maka . Jadi, jika jumlah momen gaya luar yang bekerja pada sistem terhadap sumbu tertentu adalah nol, maka momen kinetik sistem terhadap sumbu tersebut akan bernilai konstan.
Hasil ini menyatakan hukum kekekalan momentum sudut.
Dalam kasus benda tegar yang berputar, persamaan (4.34) mengikuti bahwa, jika , maka . Dari sini kita sampai pada kesimpulan berikut:
Jika sistem tidak dapat diubah (benda tegar mutlak), maka benda tegar tersebut berputar mengelilingi sumbu tetap dengan kecepatan sudut konstan.
Jika sistemnya dapat diubah, maka . Dengan bertambahnya (kemudian masing-masing elemen sistem menjauh dari sumbu rotasi), kecepatan sudut berkurang, karena , dan ketika menurun, ia bertambah, jadi, dalam kasus sistem variabel, dengan bantuan gaya dalam, kecepatan sudut dapat diubah.
Soal kedua tes D2 dikhususkan untuk teorema perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu.
Soal D2
Sebuah platform horizontal homogen (bulat berjari-jari R atau persegi panjang dengan sisi R dan 2R, dengan R = 1,2 m) bermassa kg berputar dengan kecepatan sudut mengelilingi sumbu vertikal z, berjarak dari pusat massa C platform di a jarak OC = b (Gambar E2.0 – D2.9, tabel D2); Dimensi untuk semua platform persegi panjang ditunjukkan pada Gambar. D2.0a (tampak atas).
Pada saat tertentu, beban D bermassa kg mulai bergerak sepanjang saluran platform (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum, di mana s dinyatakan dalam meter, t - dalam hitungan detik. Pada saat yang sama, sepasang gaya dengan momen M (ditentukan dalam newtonometer; pada M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Tentukan, dengan mengabaikan massa poros, ketergantungannya yaitu. kecepatan sudut platform sebagai fungsi waktu.
Pada semua gambar, beban D ditunjukkan pada posisi dimana s > 0 (bila s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Petunjuk arah. Soal D2 – untuk menerapkan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem. Ketika teorema diterapkan pada sistem yang terdiri dari platform dan beban, momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z ditentukan sebagai jumlah momen platform dan beban. Perlu diingat bahwa kecepatan absolut suatu beban adalah jumlah dari kecepatan relatif dan kecepatan portabel, yaitu. . Oleh karena itu, besarnya pergerakan beban ini 
. Kemudian Anda dapat menggunakan teorema Varignon (statis), yang menurutnya ; momen-momen ini dihitung dengan cara yang sama seperti momen gaya. Solusinya dijelaskan lebih detail pada contoh D2.
Saat memecahkan suatu masalah, akan berguna untuk menggambarkan dalam gambar bantu pemandangan platform dari atas (dari ujung z), seperti yang dilakukan pada Gambar. D2.0, a – D2.9, a.
Momen inersia suatu pelat bermassa m terhadap sumbu Cz, tegak lurus pelat dan melalui pusat massanya, sama dengan: untuk pelat persegi panjang dengan sisi dan
;
Untuk pelat bundar berjari-jari R
| Nomor kondisi | B | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 ton 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh D2. Sebuah platform horizontal homogen (persegi panjang dengan sisi 2l dan l), memiliki massa, melekat secara kaku pada poros vertikal dan berputar mengelilingi suatu sumbu z dengan kecepatan sudut (Gbr. E2a ). Pada saat tertentu, torsi M mulai bekerja pada poros, dengan arah berlawanan ; sekaligus kargo D massa terletak di parit AB pada intinya DENGAN, mulai bergerak sepanjang saluran (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum s = CD = F(t).
Diketahui: m 1 = 16 kg, t 2= 10kg, aku= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - dalam meter, t - dalam detik), M= kt, Di mana k=6 Nm/dtk. Tentukan: - hukum perubahan kecepatan sudut platform.
Larutan. Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari platform dan beban D. Untuk menentukan w, kita menerapkan teorema perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z:
(1)
Mari kita gambarkan gaya luar yang bekerja pada sistem: gaya gravitasi reaksi dan torsi M. Karena gaya dan sejajar dengan sumbu z, dan reaksi memotong sumbu ini, momennya relatif terhadap sumbu z adalah sama dengan nol. Kemudian, dengan mempertimbangkan arah positif saat ini (yaitu berlawanan arah jarum jam), kita peroleh 
dan persamaan (1) akan mengambil bentuk ini.
Arah dan besarnya momen momentum ditentukan dengan cara yang persis sama seperti dalam memperkirakan momen gaya (bagian 1.2.2).
Pada saat yang sama kami mendefinisikan ( utama) momentum sudut sebagai jumlah vektor momen jumlah pergerakan titik-titik sistem yang ditinjau. Ia juga memiliki nama kedua - momen kinetik :
Mari kita cari turunan waktu dari ekspresi (3.40), dengan menggunakan aturan untuk membedakan hasil kali dua fungsi, dan juga fakta bahwa turunan suatu jumlah sama dengan jumlah turunannya (yaitu, tanda dari jumlah tersebut dapat berupa dipindahkan sebagai koefisien selama diferensiasi):
.
Mari kita perhatikan persamaan kinematik yang jelas: 
. Kemudian: 
. Kami menggunakan persamaan rata-rata dari rumus (3.26) 
, dan juga fakta bahwa hasil kali vektor dua vektor yang segaris ( dan ) sama dengan nol, kita memperoleh:
Menerapkan sifat gaya dalam (3.36) pada suku ke-2, kita memperoleh ekspresi teorema perubahan momen utama momentum sistem mekanik:
 .
| (3.42) |
Turunan waktu dari momen kinetik sama dengan jumlah momen semua gaya luar yang bekerja pada sistem.
Rumusan ini sering disebut secara singkat: teorema momen .
Perlu dicatat bahwa teorema momen dirumuskan dalam kerangka acuan tetap relatif terhadap pusat tetap tertentu O. Jika benda tegar dianggap sebagai sistem mekanis, maka akan lebih mudah untuk memilih pusat O pada sumbu rotasi. dari tubuh.
Salah satu sifat penting dari teorema momen harus diperhatikan (kami menyajikannya tanpa penurunan). Teorema momen juga berlaku dalam sistem acuan gerak translasi jika pusat massa (titik C) suatu benda (sistem mekanik) dipilih sebagai pusatnya:
Rumusan teorema dalam hal ini secara praktis tetap sama.
Akibat wajar 1
Misalkan ruas kanan ekspresi (3.42) sama dengan nol =0, - sistem terisolasi. Maka dari persamaan (3.42) berikut ini .
Untuk sistem mekanis terisolasi, vektor momen kinetik sistem tidak berubah arah maupun besarnya terhadap waktu.
Akibat wajar 2
Jika ruas kanan salah satu ekspresi (3.44) sama dengan nol, misalnya untuk sumbu Oz: =0 (sistem terisolasi sebagian), maka dari persamaan (3.44) berikut: =const.
Oleh karena itu, jika jumlah momen gaya luar terhadap suatu sumbu adalah nol, maka momen kinetik aksial sistem sepanjang sumbu tersebut tidak berubah terhadap waktu.
Rumusan yang diberikan di atas sebagai akibat wajar adalah ekspresi hukum kekekalan momentum sudut dalam sistem terisolasi .
Momentum benda tegar
Mari kita pertimbangkan kasus khusus - rotasi benda tegar di sekitar sumbu Oz (Gbr. 3.4).
Gambar.3.4
Suatu titik pada suatu benda yang dipisahkan dari sumbu rotasinya oleh suatu jarak H k, berputar pada bidang sejajar Oxy dengan kecepatan . Sesuai dengan definisi momen aksial, kami menggunakan ekspresi (1.19), menggantikan proyeksi F Gaya XY pada bidang tersebut sebesar besarnya gerak titik tersebut 
. Mari kita perkirakan momen kinetik aksial benda:
Menurut teorema Pythagoras 
, oleh karena itu (3.46) dapat ditulis sebagai berikut:
 | (3.47) |
Maka ekspresi (3.45) akan berbentuk:
| (3.48) |
Jika kita menggunakan hukum kekekalan momentum sudut untuk sistem yang terisolasi sebagian (akibat wajar 2) terhadap benda padat (3.48), kita memperoleh . Dalam hal ini, Anda dapat mempertimbangkan dua opsi:
PERTANYAAN UNTUK PENGENDALIAN DIRI
1. Bagaimana cara menentukan momentum sudut benda tegar yang berputar?
2. Apa perbedaan momen inersia aksial dengan momen kinetik aksial?
3. Bagaimana kecepatan rotasi suatu benda tegar berubah terhadap waktu tanpa adanya gaya luar?
Momen inersia aksial suatu benda tegar
Seperti yang akan kita lihat nanti, momen aksial inersia suatu benda memiliki arti yang sama untuk gerak rotasi suatu benda dengan massa suatu benda selama gerak translasinya. Ini adalah salah satu karakteristik benda yang paling penting, yang menentukan kelembaman benda selama rotasinya. Seperti dapat dilihat dari definisi (3.45), ini adalah besaran skalar positif, yang bergantung pada massa titik-titik sistem, tetapi lebih besar pada jarak titik-titik dari sumbu rotasi.
Untuk benda homogen kontinu dengan bentuk sederhana, nilai momen inersia aksial, seperti dalam kasus memperkirakan posisi pusat massa (3.8), dihitung dengan metode integrasi, menggunakan massa volume dasar sebagai ganti massa massa diskrit dm=ρdV:
 | (3.49) |
Sebagai referensi, kami sajikan nilai momen inersia beberapa benda sederhana:
M dan panjang aku relatif terhadap sumbu yang lewat tegak lurus batang melalui bagian tengahnya (Gbr. 3.5).
Gambar.3.5
Momen inersia batang tipis homogen yang bermassa M dan panjang aku relatif terhadap sumbu yang melewati ujungnya tegak lurus batang (Gbr. 3.6).
Gambar.3.6
Momen inersia suatu cincin tipis bermassa homogen M dan radius R relatif terhadap sumbu yang melalui pusatnya tegak lurus terhadap bidang cincin (Gbr. 3.7).
Gambar.3.7
Momen inersia piringan tipis homogen yang bermassa M dan radius R relatif terhadap sumbu yang melalui pusatnya tegak lurus terhadap bidang piringan (Gbr. 3.7).
Gambar.3.8
· Momen inersia suatu benda yang bentuknya berubah-ubah.
Untuk benda yang bentuknya berubah-ubah, momen inersia dituliskan dalam bentuk berikut:
Di mana ρ - yang disebut radius girasi benda, atau jari-jari cincin konvensional tertentu yang bermassa M, momen inersia aksialnya sama dengan momen inersia benda tertentu.
Teorema Huygens – Steiner
Gambar.3.9
Mari kita kaitkan dua sistem koordinat paralel dengan benda. Cx"y"z pertama, dengan titik asal di pusat massa, disebut pusat, dan Oxyz kedua, dengan pusat O, terletak pada sumbu Cx" pada jarak CO = D(Gbr. 3.9). Sangat mudah untuk membuat hubungan antara koordinat titik-titik benda dalam sistem ini:
Sesuai dengan rumus (3.47), momen inersia benda terhadap sumbu Oz:
Di sini faktor 2 konstan untuk semua suku pada jumlah ke-2 dan ke-3 ruas kanan D Dan D diambil dari jumlah yang sesuai. Jumlah massa pada suku ketiga adalah massa benda. Jumlah kedua, sesuai dengan (3.7), menentukan koordinat pusat massa C pada sumbu Cx" (), dan persamaannya jelas: . Mengingat suku pertama, menurut definisi, adalah momen inersia benda relatif terhadap sumbu pusat Cz" (atau Z C ) 
, kita peroleh rumusan teorema Huygens - Steiner:
 | (3.50) |
Momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu tertentu sama dengan jumlah momen inersia suatu benda terhadap sumbu pusat yang sejajar dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak antara sumbu-sumbu tersebut.
PERTANYAAN UNTUK PENGENDALIAN DIRI
1. Berikan rumus momen aksial inersia batang, cincin, piringan.
2. Temukan jari-jari girasi silinder padat bulat terhadap sumbu pusatnya.
