Pada artikel ini kita akan menemukan jawaban atas pertanyaan tentang cara membuat proyeksi suatu titik pada suatu bidang dan cara menentukan koordinat proyeksi tersebut. Pada bagian teoritis kita akan mengandalkan konsep proyeksi. Kami akan mendefinisikan istilah dan memberikan informasi dengan ilustrasi. Mari kita konsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan contoh.
Proyeksi, jenis proyeksi
Untuk kenyamanan melihat figur spasial, digunakan gambar yang menggambarkan figur tersebut.
Definisi 1
Proyeksi suatu gambar ke bidang datar– menggambar sosok spasial.
Jelasnya, ada sejumlah aturan yang digunakan untuk membuat proyeksi.
Definisi 2
Proyeksi– proses membuat gambar bangun ruang pada bidang datar dengan menggunakan aturan konstruksi.
Bidang proyeksi- ini adalah bidang tempat gambar dibuat.
Penggunaan aturan tertentu menentukan jenis proyeksi: pusat atau paralel.
Kasus khusus dari proyeksi paralel adalah proyeksi tegak lurus atau ortogonal: dalam geometri ini terutama digunakan. Oleh karena itu, kata sifat “tegak lurus” sendiri sering dihilangkan dalam ucapan: dalam geometri mereka hanya mengatakan “proyeksi suatu bangun” dan yang mereka maksud adalah membuat proyeksi dengan menggunakan metode proyeksi tegak lurus. Dalam kasus khusus, tentu saja ada hal lain yang bisa disepakati.
Mari kita perhatikan fakta bahwa proyeksi suatu bangun ke suatu bidang pada dasarnya adalah proyeksi semua titik pada bangun tersebut. Oleh karena itu, untuk dapat mempelajari suatu bangun ruang dalam suatu gambar, diperlukan keterampilan dasar memproyeksikan suatu titik pada suatu bidang. Apa yang akan kita bicarakan di bawah ini.
Ingatlah bahwa paling sering dalam geometri, ketika berbicara tentang proyeksi ke bidang, yang mereka maksud adalah penggunaan proyeksi tegak lurus.
Mari kita membuat konstruksi yang memberi kita kesempatan untuk memperoleh definisi proyeksi suatu titik pada suatu bidang.
Misalkan diberikan ruang tiga dimensi, dan di dalamnya terdapat bidang α dan titik M 1 yang bukan milik bidang α. Tariklah garis lurus melalui titik M A tegak lurus terhadap bidang tertentu α. Titik perpotongan garis lurus a dan bidang α kita nyatakan sebagai H 1; secara konstruksi, titik tersebut akan berfungsi sebagai alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M 1 ke bidang α.
Jika suatu titik M 2 diberikan, yang termasuk dalam bidang α tertentu, maka M 2 akan berfungsi sebagai proyeksi dirinya ke bidang α.
Definisi 3
- ini bisa berupa titik itu sendiri (jika termasuk dalam bidang tertentu), atau alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentu ke bidang tertentu.
Menemukan koordinat proyeksi suatu titik pada bidang, contoh
Misalkan diberikan dalam ruang tiga dimensi: sistem koordinat persegi panjang O x y z, bidang α, titik M 1 (x 1, y 1, z 1). Kita perlu mencari koordinat proyeksi titik M 1 pada bidang tertentu.
Penyelesaiannya tentu saja mengikuti definisi yang diberikan di atas tentang proyeksi suatu titik pada suatu bidang.
Mari kita nyatakan proyeksi titik M 1 ke bidang α sebagai H 1 . Menurut definisinya, H 1 adalah titik potong suatu bidang tertentu dan garis lurus a yang melalui titik M 1 (tegak lurus terhadap bidang). Itu. Koordinat proyeksi titik M1 yang kita butuhkan adalah koordinat titik potong garis lurus a dan bidang α.
Jadi, untuk mencari koordinat proyeksi suatu titik pada suatu bidang perlu:
Dapatkan persamaan bidang α (jika tidak ditentukan). Artikel tentang jenis-jenis persamaan bidang akan membantu Anda di sini;
Menentukan persamaan garis a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang (pelajari topik persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus bidang tertentu);
Temukan koordinat titik potong garis lurus a dan bidang (artikel - mencari koordinat titik potong bidang dan garis). Data yang diperoleh akan menjadi koordinat yang kita perlukan untuk proyeksi titik M 1 ke bidang α.
Mari kita lihat teorinya dengan contoh praktis.
Contoh 1
Tentukan koordinat proyeksi titik M 1 (- 2, 4, 4) pada bidang 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Larutan
Seperti yang bisa kita lihat, persamaan bidang diberikan kepada kita, yaitu. tidak perlu mengkompilasinya.
Mari kita tuliskan persamaan kanonik garis lurus a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang tertentu. Untuk keperluan ini, kita menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Karena garis a tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, vektor arah garis a adalah vektor normal bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dengan demikian, a → = (2, - 3, 1) – vektor arah garis lurus a.
Sekarang mari kita buat persamaan kanonik sebuah garis dalam ruang yang melalui titik M 1 (- 2, 4, 4) dan mempunyai vektor arah a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Untuk mencari koordinat yang diperlukan, langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat titik potong garis lurus x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 dan bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Untuk tujuan ini, kita beralih dari persamaan kanonik ke persamaan dua bidang yang berpotongan:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Mari kita buat sistem persamaan:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Dan mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Jadi, koordinat yang diperlukan dari suatu titik M 1 pada bidang tertentu adalah: (0, 1, 5).
Menjawab: (0 , 1 , 5) .
Contoh 2
Dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, diberikan titik A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) dan M 1 (-1, -2, 5). Kita perlu mencari koordinat proyeksi M 1 pada bidang A B C
Larutan
Pertama-tama, kita tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Mari kita tuliskan persamaan parametrik garis a yang melalui titik M 1 tegak lurus bidang A B C. Bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 mempunyai vektor normal dengan koordinat (1, - 2, 2), yaitu vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor arah garis lurus a.
Sekarang, dengan memiliki koordinat titik garis M 1 dan koordinat vektor arah garis tersebut, kita tuliskan persamaan parametrik garis dalam ruang:
Kemudian kita tentukan koordinat titik potong bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 dan garis lurus
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Untuk melakukan ini, kita substitusikan ke dalam persamaan bidang:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Sekarang, dengan menggunakan persamaan parametrik x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, kita cari nilai variabel x, y dan z untuk λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Jadi proyeksi titik M 1 pada bidang A B C akan mempunyai koordinat (- 2, 0, 3).
Menjawab: (- 2 , 0 , 3) .
Mari kita bahas secara terpisah masalah pencarian koordinat proyeksi suatu titik pada bidang koordinat dan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.
Misalkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan bidang koordinat O x y, O x z dan O y z diberikan. Koordinat proyeksi titik ini pada bidang-bidang tersebut berturut-turut adalah: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) dan (0, y 1, z 1). Mari kita perhatikan juga bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat yang diberikan:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Dan proyeksi suatu titik M 1 pada bidang-bidang tersebut adalah titik-titik dengan koordinat x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 dan - D A, y 1, z 1.
Mari kita tunjukkan bagaimana hasil ini diperoleh.
Sebagai contoh, mari kita tentukan proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang A x + D = 0. Kasus-kasus lainnya serupa.
Bidang tertentu sejajar dengan bidang koordinat O y z dan i → = (1, 0, 0) adalah vektor normalnya. Vektor yang sama berfungsi sebagai vektor arah garis yang tegak lurus bidang O y z. Maka persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang tertentu akan berbentuk:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Mari kita cari koordinat titik potong garis ini dan bidang tertentu. Mari kita substitusikan dulu persamaan-persamaan tersebut ke dalam persamaan A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 dan dapatkan: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Kemudian kita menghitung koordinat yang diperlukan menggunakan persamaan parametrik garis lurus dengan λ = - D A - x 1 :
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Artinya, proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang akan berupa titik dengan koordinat - D A, y 1, z 1.
Contoh 2
Koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) harus ditentukan pada bidang koordinat O x y dan pada bidang 2 y - 3 = 0.
Larutan
Bidang koordinat O x y akan sesuai dengan persamaan umum bidang z = 0 yang tidak lengkap. Proyeksi titik M 1 pada bidang z = 0 mempunyai koordinat (- 6, 0, 0).
Persamaan bidang 2 y - 3 = 0 dapat ditulis sebagai y = 3 2 2. Sekarang tulis saja koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) pada bidang y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Menjawab:(- 6 , 0 , 0) dan - 6 , 3 2 2 , 1 2
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Temukan sudut lancip antara diagonal-diagonal jajar genjang yang dibuat menggunakan vektor
5) Tentukan koordinat vektor c yang diarahkan sepanjang garis bagi sudut antara vektor a dan b, jika vektor c = 3 akar dari 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)
Mari kita cari vektor satuan e_a searah dengan a:
demikian pula e_b = b/|b|,
maka vektor yang diinginkan akan diarahkan dengan cara yang sama dengan jumlah vektor e_a+e_b, karena (e_a+e_b) adalah diagonal belah ketupat, yaitu garis bagi sudutnya.
Mari kita nyatakan (e_a+e_b)=d,
Mari kita cari vektor satuan yang arahnya sepanjang garis bagi: e_c = d/|d|
Jika |c| = 3*sqrt(42), maka c = |c|*e_c. Itu saja.
Temukan hubungan linier antara keempat vektor non-koplanar berikut: p=a+b; q=bc; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c
Dari tiga persamaan pertama, coba nyatakan `a,b,c` dalam bentuk `p,q,r` (mulai dengan menjumlahkan persamaan kedua dan ketiga). Kemudian ganti `b` dan `c` pada persamaan terakhir dengan ekspresi yang Anda temukan dalam bentuk `p,q,r`.
13) Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2, -1, 4) dan B(3, 2, -1) yang tegak lurus bidang x + y + 2z – 3 = 0. Persamaan bidang yang diperlukan berbentuk: Ax + By + Cz + D = 0, vektor normal bidang ini (A, B, C). Vektor (1, 3, -5) termasuk dalam bidang. Bidang yang diberikan kepada kita, tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, mempunyai vektor normal (1, 1, 2). Karena titik A dan B terletak pada kedua bidang, dan kedua bidang tersebut saling tegak lurus, maka vektor normalnya adalah (11, -7, -2). Karena titik A termasuk dalam bidang yang diinginkan, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Totalnya kita mendapatkan persamaan bidang: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
14) Persamaan bidang yang melalui garis sejajar vektor.
Misalkan bidang yang diinginkan melewati garis (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 sejajar garis (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2 .
Maka vektor normal bidang tersebut adalah hasil kali vektor dari vektor-vektor arah garis-garis berikut:
Misalkan koordinat hasil kali vektornya adalah (A;B;C). Bidang yang diinginkan melewati titik (x1;y1;z1). Vektor normal dan titik yang dilalui bidang secara unik menentukan persamaan bidang yang diinginkan:
A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0
17) Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(5, -1) yang tegak lurus garis 3x - 7y + 14 = 0.
18) Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik M tegak lurus bidang tertentu M(4,3,1) x+3y+5z-42=0
(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / hal
M(x0,y0,z0) - poin Anda M(4,3,1)
(n, m, p) - vektor pengarah garis, juga dikenal sebagai vektor normal untuk permukaan tertentu (1, 3, 5) (koefisien untuk variabel x, y, z dalam persamaan bidang)
Temukan proyeksi suatu titik pada bidang
Titik M(1,-3,2), bidang 2x+5y-3z-19=0
Mempelajari sifat-sifat bangun ruang dan bidang tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui jarak antara suatu titik dengan benda-benda geometris seperti garis lurus dan bidang. Pada artikel ini kami akan menunjukkan cara mencari jarak tersebut dengan mempertimbangkan proyeksi suatu titik pada bidang dan garis lurus.
Persamaan garis lurus untuk ruang dua dimensi dan tiga dimensi
Perhitungan jarak suatu titik terhadap garis lurus dan bidang dilakukan dengan menggunakan proyeksinya pada benda-benda tersebut. Untuk dapat menemukan proyeksi tersebut, Anda harus mengetahui dalam bentuk apa persamaan garis dan bidang yang diberikan. Mari kita mulai dengan yang pertama.
Garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang masing-masing dapat diperoleh dari titik sebelumnya dengan memindahkannya ke vektor-vektor yang sejajar satu sama lain. Misalnya ada titik M dan N. Vektor MN¯ yang menghubungkan keduanya membawa M ke N. Ada juga titik ketiga P. Jika vektor MP¯ atau NP¯ sejajar dengan MN¯, maka ketiga titik tersebut terletak pada garis yang sama dan membentuknya.
Bergantung pada dimensi ruang, persamaan yang mendefinisikan garis dapat berubah bentuk. Jadi, ketergantungan linier yang terkenal dari koordinat y pada x dalam ruang menggambarkan sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu ketiga z. Sehubungan dengan itu, dalam artikel ini kita hanya akan membahas persamaan vektor untuk garis. Ia memiliki penampakan yang sama untuk bidang datar dan ruang tiga dimensi.
Dalam ruang, garis lurus dapat didefinisikan dengan persamaan berikut:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)
Di sini, nilai koordinat dengan indeks nol berhubungan dengan titik tertentu yang termasuk dalam garis, u¯(a; b; c) adalah koordinat vektor arah yang terletak pada garis ini, adalah bilangan real sembarang, dengan mengubah mana Anda bisa mendapatkan semua titik garis. Persamaan ini disebut persamaan vektor.
Persamaan di atas sering ditulis dalam bentuk diperluas:
Dengan cara yang sama, Anda dapat menulis persamaan garis yang terletak pada suatu bidang, yaitu dalam ruang dua dimensi:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);
Persamaan bidang
Untuk dapat mencari jarak suatu titik ke bidang proyeksi, Anda perlu mengetahui cara mendefinisikan suatu bidang. Sama seperti garis lurus, garis dapat direpresentasikan dalam beberapa cara. Di sini kita hanya akan membahas satu: persamaan umum.
Misalkan titik M(x 0 ; y 0 ; z 0) termasuk dalam bidang, dan vektor n¯(A; B; C) tegak lurus terhadap bidang tersebut, maka untuk semua titik (x; y; z) dari bidang tersebut bidang kesetaraan akan valid:
A*x + B*y + C*z + D = 0, dimana D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)
Perlu diingat bahwa dalam persamaan bidang umum ini, koefisien A, B dan C adalah koordinat vektor tegak lurus bidang.
Perhitungan jarak berdasarkan koordinat
Sebelum melanjutkan untuk mempertimbangkan proyeksi pada bidang suatu titik dan pada garis lurus, ada baiknya mengingat kembali cara menghitung jarak antara dua titik yang diketahui.
Misalkan ada dua titik spasial:
SEBUAH 1 (x 1 ; kamu 1 ; z 1) dan SEBUAH 2 (x 2 ; kamu 2 ; z 2)
Kemudian jarak antara keduanya dihitung dengan rumus:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)
Dengan menggunakan persamaan ini, panjang vektor A 1 A 2 ¯ juga ditentukan.
Untuk kasus pada bidang datar, ketika dua titik ditentukan oleh sepasang koordinat saja, kita dapat menuliskan persamaan serupa tanpa adanya suku dengan z di dalamnya:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)
Sekarang mari kita perhatikan berbagai kasus proyeksi pada bidang suatu titik ke garis lurus dan ke bidang di ruang angkasa.
Titik, garis dan jarak diantara keduanya
Misalkan ada sebuah titik dan sebuah garis:
P 2 (x 1 ; kamu 1);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)
Jarak antara benda-benda geometris ini akan sesuai dengan panjang vektor, yang awalnya terletak di titik P 2, dan ujungnya berada di titik P pada garis tertentu yang vektor P 2 P ¯ tegak lurus terhadapnya. garis. Titik P disebut proyeksi titik P 2 pada garis yang ditinjau.
Di bawah ini adalah gambar yang menunjukkan titik P 2, jarak d ke garis, serta vektor arah v 1 ¯. Juga, titik sembarang P 1 dipilih pada garis dan sebuah vektor ditarik darinya ke P 2. Titik P di sini bertepatan dengan titik potong garis tegak lurus.
Terlihat panah jingga dan merah membentuk jajar genjang yang sisi-sisinya merupakan vektor P 1 P 2 ¯ dan v 1 ¯ dan tingginya d. Dari geometri diketahui bahwa untuk mencari tinggi suatu jajar genjang, luasnya harus dibagi dengan panjang alas tempat tegak lurus tersebut diturunkan. Karena luas jajar genjang dihitung sebagai hasil kali vektor sisi-sisinya, kita memperoleh rumus untuk menghitung d:
d = ||/|v 1 ¯|
Semua vektor dan koordinat titik dalam ekspresi ini diketahui, sehingga Anda dapat menggunakannya tanpa melakukan transformasi apa pun.
Masalah ini sebenarnya bisa diselesaikan dengan cara berbeda. Untuk melakukan ini, tulis dua persamaan:
- hasil kali skalar P 2 P ¯ dengan v 1 ¯ harus sama dengan nol, karena vektor-vektor ini saling tegak lurus;
- koordinat titik P harus memenuhi persamaan garis.
Persamaan ini cukup untuk mencari koordinat P, dan kemudian panjang d menggunakan rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya.
Tugas mencari jarak antara garis dan titik
Kami akan menunjukkan bagaimana menggunakan informasi teoretis ini untuk memecahkan masalah tertentu. Misalkan titik dan garis berikut diketahui:
(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)
Penting untuk mencari titik-titik proyeksi pada garis lurus pada bidang, serta jarak dari M ke garis lurus.
Mari kita nyatakan proyeksi yang ditemukan dengan titik M 1 (x 1 ; y 1). Mari kita selesaikan masalah ini dengan dua cara yang dijelaskan di paragraf sebelumnya.
Metode 1. Vektor arah v 1 ¯ memiliki koordinat (0; 2). Untuk membuat jajar genjang, kita memilih beberapa titik yang termasuk dalam garis tersebut. Misalnya suatu titik dengan koordinat (3; 1). Maka vektor sisi kedua jajar genjang tersebut memiliki koordinat:
(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)
Sekarang Anda perlu menghitung produk dari vektor-vektor yang menentukan sisi-sisi jajaran genjang:
Kami mengganti nilai ini ke dalam rumus dan mendapatkan jarak d dari M ke garis lurus:
Metode 2. Sekarang mari kita cari dengan cara lain tidak hanya jarak, tetapi juga koordinat proyeksi M pada garis lurus, seperti yang disyaratkan oleh kondisi soal. Seperti disebutkan di atas, untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu dibuat sistem persamaan. Ini akan terlihat seperti:
(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;
(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Mari selesaikan sistem ini:
Proyeksi titik koordinat awal mempunyai M 1 (3; -3). Maka jarak yang dibutuhkan adalah:
d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2
Seperti yang Anda lihat, kedua metode penyelesaian memberikan hasil yang sama, yang menunjukkan kebenaran operasi matematika yang dilakukan.
Proyeksi suatu titik ke bidang
Sekarang mari kita perhatikan apa proyeksi suatu titik di ruang angkasa ke bidang tertentu. Mudah ditebak bahwa proyeksi ini juga merupakan suatu titik yang bersama-sama dengan proyeksi aslinya membentuk vektor yang tegak lurus bidang.
Misalkan proyeksi pada bidang titik M mempunyai koordinat sebagai berikut:
Bidang itu sendiri digambarkan dengan persamaan:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Berdasarkan data tersebut, kita dapat membuat persamaan garis yang memotong bidang tegak lurus dan melalui M dan M 1:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)
Di sini variabel yang indeksnya nol adalah koordinat titik M. Posisi pada bidang titik M 1 dapat dihitung berdasarkan fakta bahwa koordinatnya harus memenuhi kedua persamaan tertulis. Jika persamaan ini tidak cukup untuk menyelesaikan soal, maka Anda dapat menggunakan kondisi paralelisme antara MM 1 ¯ dan vektor pemandu untuk bidang tertentu.
Jelasnya, proyeksi suatu titik milik bidang itu bertepatan dengan dirinya sendiri, dan jarak yang bersangkutan adalah nol.
Soal titik dan bidang
Misalkan sebuah titik M(1; -1; 3) dan sebuah bidang diberikan, yang dijelaskan oleh persamaan umum berikut:
Penting untuk menghitung koordinat proyeksi pada bidang titik dan menghitung jarak antara benda-benda geometris tersebut.
Pertama, mari kita buat persamaan garis lurus yang melalui M dan tegak lurus bidang yang ditunjukkan. Sepertinya:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Mari kita nyatakan titik di mana garis ini memotong bidang sebagai M 1 . Persamaan bidang dan garis harus dipenuhi jika koordinat M 1 disubstitusikan ke dalamnya. Menulis persamaan garis secara eksplisit, kita memperoleh empat persamaan berikut:
X 1 + 3*kamu 1 -2*z 1 + 4 = 0;
kamu 1 = -1 + 3*α;
Dari persamaan terakhir kita mendapatkan parameter , kemudian kita substitusikan ke ekspresi kedua dari belakang dan kedua, kita mendapatkan:
kamu 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;
x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2
Kita substitusikan ekspresi y 1 dan x 1 ke dalam persamaan bidang, kita mendapatkan:
1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0
Dari mana kita mendapatkannya:
kamu 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;
x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7
Kami telah menentukan bahwa proyeksi titik M pada bidang tertentu sesuai dengan koordinat (4/7; 2/7; 15/7).
Sekarang mari kita hitung jarak |MM 1 ¯|. Koordinat vektor yang bersesuaian adalah:
MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)
Jarak yang dibutuhkan adalah:
d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6
Proyeksi tiga titik
Selama pembuatan gambar, sering kali perlu diperoleh proyeksi bagian-bagian pada tiga bidang yang saling tegak lurus. Oleh karena itu, penting untuk mempertimbangkan berapa nilai proyeksi suatu titik M dengan koordinat (x 0 ; y 0 ; z 0) pada tiga bidang koordinat.
Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa bidang xy digambarkan dengan persamaan z = 0, bidang xz sesuai dengan ekspresi y = 0, dan bidang yz yang tersisa dilambangkan dengan x = 0. Tidak sulit untuk menebak bahwa bidang proyeksi suatu titik pada 3 bidang akan sama:
untuk x = 0: (0; y 0; z 0);
untuk y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);
untuk z = 0: (x 0 ; kamu 0 ; 0)
Di manakah pentingnya mengetahui proyeksi suatu titik dan jaraknya ke bidang?
Menentukan posisi proyeksi titik pada bidang tertentu penting ketika mencari besaran seperti luas permukaan dan volume prisma miring dan limas. Misalnya, jarak puncak limas ke bidang alas adalah tingginya. Yang terakhir ini termasuk dalam rumus volume gambar ini.
Rumus dan metode yang dipertimbangkan untuk menentukan proyeksi dan jarak dari suatu titik ke garis lurus dan bidang cukup sederhana. Penting untuk mengingat bentuk-bentuk persamaan bidang dan garis lurus yang bersesuaian, serta memiliki imajinasi spasial yang baik agar berhasil menerapkannya.
Dalam menyelesaikan masalah geometri dalam ruang, seringkali muncul masalah penentuan jarak antara suatu bidang dengan suatu titik. Dalam beberapa kasus, hal ini diperlukan untuk mendapatkan solusi yang komprehensif. Nilai ini dapat dihitung dengan mencari proyeksi pada bidang titik. Mari kita lihat masalah ini lebih detail di artikel.
Persamaan untuk menggambarkan sebuah pesawat
Sebelum melanjutkan ke pertanyaan tentang bagaimana menemukan proyeksi suatu titik pada sebuah bidang, Anda harus memahami jenis-jenis persamaan yang mendefinisikan bidang tersebut dalam ruang tiga dimensi. Lebih detailnya di bawah ini.
Persamaan umum yang mendefinisikan semua titik yang termasuk dalam suatu bidang adalah sebagai berikut:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Tiga koefisien pertama adalah koordinat vektor, yang disebut pemandu bidang. Itu bertepatan dengan garis normalnya, yaitu tegak lurus. Vektor ini dilambangkan dengan n¯(A; B; C). Koefisien bebas D ditentukan secara unik dari pengetahuan tentang koordinat titik mana pun yang termasuk dalam bidang tersebut.
Konsep proyeksi titik dan perhitungannya
Misalkan suatu titik P(x 1 ; y 1 ; z 1) dan sebuah bidang diberikan. Ini didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk umum. Jika kita menggambar garis tegak lurus dari P ke suatu bidang tertentu, maka jelas bahwa garis tersebut akan memotong bidang tersebut di satu titik tertentu Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q disebut proyeksi P pada bidang yang ditinjau. Panjang ruas PQ disebut jarak titik P ke bidang. Jadi PQ sendiri tegak lurus terhadap bidang.
Bagaimana cara mencari koordinat proyeksi suatu titik pada bidang? Tidak sulit untuk melakukan ini. Pertama, Anda perlu membuat persamaan garis lurus yang tegak lurus bidang. Titik P akan menjadi miliknya, karena vektor normal n¯(A; B; C) dari garis ini harus sejajar, maka persamaannya dalam bentuk yang sesuai akan ditulis sebagai berikut:
(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).
Dimana λ adalah bilangan real yang biasa disebut parameter persamaan. Dengan mengubahnya, Anda bisa mendapatkan poin apa pun.
Setelah persamaan vektor garis tegak lurus bidang ditulis, perlu dicari titik potong persekutuan benda geometri yang ditinjau. Koordinatnya akan menjadi proyeksi P. Karena keduanya harus memenuhi kedua persamaan (untuk garis dan bidang), masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear yang bersesuaian.
Konsep proyeksi sering digunakan dalam studi gambar. Mereka menggambarkan proyeksi lateral dan horizontal suatu bagian pada bidang zy, zx, dan xy.
Menghitung jarak suatu bidang ke suatu titik
Seperti disebutkan di atas, mengetahui koordinat proyeksi ke bidang suatu titik memungkinkan Anda menentukan jarak di antara keduanya. Dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan pada paragraf sebelumnya, kita menemukan bahwa jarak yang diperlukan sama dengan panjang segmen PQ. Untuk menghitungnya cukup mencari koordinat vektor PQ¯, lalu menghitung modulusnya menggunakan rumus yang diketahui. Ekspresi akhir untuk jarak d antara titik P dan bidang berbentuk:
d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).
Nilai d yang dihasilkan disajikan dalam satuan yang menggunakan sistem koordinat Cartesian xyz saat ini.
Contoh tugas
Katakanlah ada sebuah titik N(0; -2; 3) dan sebuah bidang, yang dijelaskan dengan persamaan berikut:
Anda perlu menemukan titik proyeksi pada bidang dan menghitung jarak di antara keduanya.
Pertama-tama, mari kita buat persamaan garis lurus yang memotong bidang dengan sudut 90 o. Kita punya:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).
Menulis persamaan ini secara eksplisit, kita sampai pada sistem persamaan berikut:
Mengganti nilai koordinat dari tiga persamaan pertama ke persamaan keempat, kita memperoleh nilai λ, yang menentukan koordinat titik persekutuan garis dan bidang:
2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0 =>
= 9/6 = 3/2 = 1,5.
Mari kita gantikan parameter yang ditemukan ke dalam dan temukan koordinat proyeksi titik awal ke bidang:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).
Untuk menghitung jarak antara benda-benda geometris yang ditentukan dalam rumusan masalah, kita menerapkan rumus d:
d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.
Dalam soal ini kami menunjukkan cara mencari proyeksi suatu titik pada bidang sembarang dan cara menghitung jarak antara keduanya.
