Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis; selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, agar ruas kiri dan kanan sama, Anda harus memasukkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita bisa membuang alasnya dan menyamakan derajatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan angka tersebut? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari bertransformasi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Kita ganti angka tersebut dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
T 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di situs web Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda miliki di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Secara umum, persamaan derajat yang lebih besar dari 4 tidak dapat diselesaikan secara radikal. Namun terkadang kita masih dapat menemukan akar-akar polinomial di sebelah kiri dalam persamaan derajat tertinggi jika kita menyatakannya sebagai hasil kali polinomial dengan derajat tidak lebih dari 4. Penyelesaian persamaan tersebut didasarkan pada pemfaktoran polinomial, jadi kami menyarankan Anda untuk meninjau topik ini sebelum mempelajari artikel ini.

Paling sering Anda harus berurusan dengan persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat. Dalam kasus ini, kita dapat mencoba mencari akar-akar rasional lalu memfaktorkan polinomialnya sehingga kita dapat mengubahnya menjadi persamaan derajat lebih rendah yang mudah diselesaikan. Dalam materi ini kita akan melihat contoh-contoh seperti itu.

Persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat

Semua persamaan berbentuk a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , kita dapat membuat persamaan berderajat sama dengan mengalikan kedua ruasnya dengan a n n - 1 dan mengubah bentuk variabel y = a n x:

an x n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (an) n - 1 · x + a 0 · (an) n - 1 = 0 y = an x ​​⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Koefisien yang dihasilkan juga akan berupa bilangan bulat. Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan tereduksi derajat ke-n dengan koefisien bilangan bulat, yang berbentuk x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Kami menghitung akar bilangan bulat persamaan. Jika persamaan memiliki akar bilangan bulat, Anda perlu mencarinya di antara pembagi suku bebas a 0 . Mari kita tuliskan dan substitusikan ke persamaan aslinya satu per satu, periksa hasilnya. Setelah kita memperoleh identitas dan menemukan salah satu akar persamaan, kita dapat menuliskannya dalam bentuk x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Di sini x 1 adalah akar persamaan, dan P n - 1 (x) adalah hasil bagi dari x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dibagi x - x 1 .

Sisa pembagi yang dituliskan kita substitusikan ke dalam P n - 1 (x) = 0, dimulai dengan x 1, karena akar-akarnya dapat diulang. Setelah diperoleh identitasnya, akar x 2 dianggap ditemukan, dan persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Disini P n - 2 (x) adalah hasil bagi pembagian P n - 1 (x) dengan x - x 2.

Kami terus memilah-milah pembagi. Mari kita cari semua akar bilangan bulat dan nyatakan bilangannya sebagai m. Setelah itu, persamaan aslinya dapat direpresentasikan sebagai x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Di sini P n - m (x) adalah polinomial dengan derajat n - m. Untuk perhitungannya lebih mudah menggunakan skema Horner.

Jika persamaan awal kita memiliki koefisien bilangan bulat, pada akhirnya kita tidak dapat memperoleh akar pecahan.

Kita mendapatkan persamaan P n - m (x) = 0, yang akar-akarnya dapat ditemukan dengan cara apa pun yang mudah. Mereka bisa jadi tidak rasional atau rumit.

Mari kita tunjukkan dengan contoh spesifik bagaimana skema solusi ini digunakan.

Contoh 1

Kondisi: tentukan penyelesaian persamaan x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Larutan

Mari kita mulai dengan mencari akar utuh.

Kami memiliki istilah bebas sama dengan minus tiga. Ia memiliki pembagi sama dengan 1, - 1, 3 dan - 3. Mari kita substitusikan keduanya ke dalam persamaan awal dan lihat persamaan mana yang memberikan identitas yang dihasilkan.

Jika x sama dengan satu, kita mendapatkan 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, artinya satu akan menjadi akar persamaan ini.

Sekarang mari kita bagi polinomial x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 dengan (x - 1) dalam satu kolom:

Jadi x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Kita mendapat identitas, artinya kita menemukan akar persamaan lain yang sama dengan - 1.

Bagilah polinomial x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 dengan (x + 1) dalam sebuah kolom:

Kami mengerti

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Kita substitusikan pembagi berikutnya ke dalam persamaan x 2 + x + 3 = 0, dimulai dari - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Persamaan yang dihasilkan salah, artinya persamaan tersebut tidak lagi memiliki akar bilangan bulat.

Akar-akar yang tersisa akan menjadi akar-akar persamaan x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Oleh karena itu, trinomial kuadrat ini tidak mempunyai akar real, tetapi terdapat akar konjugat kompleks: x = - 1 2 ± i 11 2.

Mari kita perjelas bahwa alih-alih membagi menjadi sebuah kolom, skema Horner dapat digunakan. Hal ini dilakukan seperti ini: setelah kita menentukan akar pertama persamaan, kita mengisi tabelnya.

Pada tabel koefisien kita langsung dapat melihat koefisien hasil pembagian polinomial yang artinya x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Setelah menemukan root berikutnya, yaitu - 1, kita mendapatkan yang berikut:

Menjawab: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± saya 11 2.

Contoh 2

Kondisi: selesaikan persamaan x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Larutan

Suku bebasnya mempunyai pembagi 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Mari kita periksa secara berurutan:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Artinya x = 2 adalah akar persamaannya. Bagilah x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 dengan x - 2 menggunakan skema Horner:

Hasilnya, kita mendapatkan x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Artinya 2 akan kembali menjadi root. Bagilah x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 dengan x - 2:

Hasilnya, kita mendapatkan (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Memeriksa pembagi yang tersisa tidak masuk akal, karena persamaan x 2 + 3 x + 3 = 0 lebih cepat dan mudah diselesaikan menggunakan diskriminan.

Mari selesaikan persamaan kuadrat:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Kita memperoleh pasangan akar konjugasi kompleks: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Menjawab: x = - 3 2 ± saya 3 2 .

Contoh 3

Kondisi: Temukan akar real persamaan x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Larutan

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Kita kalikan 2 3 pada kedua ruas persamaan:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Ganti variabel y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 tahun 4 + tahun 3 - 20 tahun - 48 = 0

Hasilnya, kami mendapatkan persamaan standar derajat ke-4, yang dapat diselesaikan sesuai skema standar. Mari kita periksa pembaginya, bagi dan dapatkan bahwa ia mempunyai 2 akar real y = - 2, y = 3 dan dua akar kompleks. Kami tidak akan menyajikan solusi keseluruhan di sini. Karena substitusi tersebut, akar real persamaan ini adalah x = y 2 = - 2 2 = - 1 dan x = y 2 = 3 2.

Menjawab: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Mari kita pertimbangkan menyelesaikan persamaan dengan satu variabel yang derajatnya lebih tinggi dari variabel kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien tidak sama dengan nol.

Jadi, misalnya persamaan (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 mempunyai derajat kelima, karena setelah operasi pembukaan tanda kurung dan pengurangan tanda kurung, diperoleh persamaan ekuivalen x 5 – 2x 3 + 3 = 0 derajat kelima.

Mari kita mengingat kembali aturan-aturan yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari dua.

Pernyataan tentang akar-akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n mempunyai jumlah akar tidak melebihi n, dan akar-akar multiplisitas m muncul tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu akar real.

3. Jika α adalah akar dari P(x), maka P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), dimana Q n – 1 (x) adalah polinomial berderajat (n – 1) .

4.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak boleh memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: dapat didekomposisi menjadi produk tiga binomial

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), atau didekomposisi menjadi hasil kali binomial dan trinomial persegi Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ ).

7. Polinomial derajat keempat apa pun dapat diekspansi menjadi hasil kali dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh suatu polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sehingga f(x) = g(x) · q(x). Untuk membagi polinomial, digunakan aturan “pembagian sudut”.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi binomial (x – c), bilangan c harus menjadi akar dari P(x) (akibat dari teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar real dari polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Contoh Penyelesaian

Contoh 1.

Hitunglah sisa pembagian P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 dengan (x – 1/3).

Larutan.

Akibat wajar dari teorema Bezout: “Sisa polinomial dibagi binomial (x – c) sama dengan nilai polinomial c.” Mari kita cari P(1/3) = 0. Jadi, sisanya adalah 0 dan bilangan 1/3 adalah akar polinomialnya.

Jawaban: R = 0.

Contoh 2.

Bagilah dengan “sudut” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 dengan (x + 2). Temukan sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Larutan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

x 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 – x.

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Cara memasukkan variabel baru sudah familiar dari contoh persamaan biquadratic. Terdiri dari kenyataan bahwa untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0, variabel baru (substitusi) t = x n atau t = g(x) dimasukkan dan f(x) dinyatakan melalui t, memperoleh persamaan baru r (T). Kemudian menyelesaikan persamaan r(t), akar-akarnya ditemukan:

(t 1, t 2, …, t n). Setelah ini, diperoleh himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, yang darinya diperoleh akar-akar persamaan aslinya.

Contoh 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Larutan:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substitusi (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substitusi terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan mengelompokkan dan menyingkat rumus perkalian

Dasar dari metode ini juga bukanlah hal baru dan terdiri dari pengelompokan suku-suku sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor yang sama. Untuk melakukan ini, terkadang perlu menggunakan beberapa teknik buatan.

Contoh 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Larutan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 – x 2 dan kelompokkan:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 atau x 2 + x – 3 = 0.

Jawab: Persamaan pertama tidak mempunyai akar, dari persamaan kedua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Inti dari metode ini adalah polinomial asli difaktorkan dengan koefisien yang tidak diketahui. Dengan menggunakan sifat bahwa polinomial sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama, koefisien muai yang tidak diketahui ditemukan.

Contoh 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Larutan.

Polinomial berderajat 3 dapat diekspansi menjadi hasil kali faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – kapak 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Setelah memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(sebuah = -1,
(b = 3,
(c = 2, yaitu

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Akar-akar persamaan (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Cara pemilihan akar menggunakan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi suku bebasnya.

2) Agar pecahan tak tersederhanakan p/q (p adalah bilangan bulat, q adalah bilangan asli) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, bilangan p harus merupakan pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0, dan q adalah pembagi natural dari koefisien terdepan.

Contoh 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Larutan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Oleh karena itu, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya – 2, kita akan mencari akar lainnya menggunakan pembagian sudut, metode koefisien tak tentu, atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Kelas: 9

Tujuan dasar:

1. Memperkuat konsep persamaan rasional derajat ke-seluruhan.
2. Merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3).
3. Ajarkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tingkat tinggi.
4. Belajar menggunakan jenis persamaan untuk menentukan cara paling efektif untuk menyelesaikannya.

Bentuk, metode dan teknik pedagogi yang digunakan guru di kelas:

• Sistem pengajaran ceramah-seminar (perkuliahan - penjelasan materi baru, seminar - pemecahan masalah).
• Teknologi informasi dan komunikasi (survei frontal, kerja lisan dengan kelas).
• Pembelajaran dibedakan, bentuk kelompok dan individu.
• Menggunakan metode penelitian dalam pengajaran yang bertujuan untuk mengembangkan perangkat matematika dan kemampuan berpikir setiap individu siswa.
• Materi cetak – ringkasan singkat pelajaran (konsep dasar, rumus, pernyataan, materi perkuliahan yang diringkas dalam bentuk diagram atau tabel).

Rencana belajar:

1. Waktu pengorganisasian.
   Tujuan tahapan: mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pendidikan, menentukan isi pelajaran.
2. Memperbarui pengetahuan siswa.
   Tujuan tahapan: untuk memperbarui pengetahuan siswa tentang topik terkait yang telah dipelajari sebelumnya
3. Mempelajari topik baru (ceramah). Tujuan tahapan: merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3)
4. Meringkas.
   Tujuan tahapan: untuk sekali lagi menonjolkan poin-poin penting dari materi yang dipelajari dalam pembelajaran.
5. Pekerjaan rumah.
   Tujuan tahapan: merumuskan pekerjaan rumah bagi siswa.

Ringkasan pelajaran

1. Momen organisasi.

Rumusan topik pelajaran: “Persamaan kekuatan yang lebih tinggi. Metode untuk menyelesaikannya.”

2. Memperbarui pengetahuan siswa.

Survei teoretis - percakapan. Pengulangan beberapa informasi yang dipelajari sebelumnya dari teori. Siswa merumuskan definisi dasar dan merumuskan teorema yang diperlukan. Berikan contoh untuk menunjukkan tingkat pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

• Konsep persamaan dengan satu variabel.
• Konsep akar persamaan, penyelesaian persamaan.
• Konsep persamaan linier dengan satu variabel, konsep persamaan kuadrat dengan satu variabel.
• Konsep persamaan persamaan, persamaan-konsekuensi (konsep akar asing), transisi bukan akibat (kasus hilangnya akar).
• Konsep ekspresi rasional utuh dengan satu variabel.
• Konsep persamaan rasional utuh N gelar ke-th. Bentuk standar persamaan rasional utuh. Mengurangi seluruh persamaan rasional.
• Transisi ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
• Konsep polinomial N gelar dari X. teorema Bezout. Akibat wajar dari teorema Bezout. Teorema akar ( Z-akar dan Q-akar) dari seluruh persamaan rasional dengan koefisien bilangan bulat (masing-masing tereduksi dan tidak tereduksi).
• Skema Horner.

3. Mempelajari topik baru.

Kami akan mempertimbangkan seluruh persamaan rasional N-pangkatan bentuk standar dengan satu variabel yang tidak diketahui x:Pn(x)= 0, dimana P n (x) = an x ​​n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinomial N gelar dari X, A n ≠ 0. Jika A n = 1 maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional bilangan bulat tereduksi N gelar ke-th. Mari kita pertimbangkan persamaan tersebut untuk berbagai nilai N dan buat daftar metode utama untuk menyelesaikannya.

N= 1 – persamaan linier.

N= 2 – persamaan kuadrat. Rumus diskriminan. Rumus untuk menghitung akar. teorema Vieta. Memilih persegi lengkap.

N= 3 – persamaan kubik.

Metode pengelompokan.

Contoh: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Bentuk persamaan kubik timbal balik kapak 3 + bx 2 + bx + A= 0. Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku yang mempunyai koefisien yang sama.

Contoh: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam kasus ini terbatas, dan kami memilih akar menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema Z-akar dari seluruh persamaan rasional yang diberikan dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Persamaannya diberikan. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3; + 5; + 15). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – akar
	X 2	X 1	X 0

Kita mendapatkan ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam hal ini terbatas dan kita memilih akar-akarnya menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema tentang Q-akar persamaan rasional bilangan bulat tak tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Persamaannya tidak tereduksi. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3). Mari kita tuliskan pembagi koefisien pada pangkat tertinggi dari bilangan yang tidak diketahui. ( + 1; + 3; + 9) Oleh karena itu, kita akan mencari akar di antara nilai-nilai tersebut ( + 1; + ; + ; + 3). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – bukan akar
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – bukan akar
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	akar
	X 2	X 1	X 0

Kita mendapatkan ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Untuk kemudahan perhitungan saat memilih Q -akar Akan lebih mudah untuk membuat perubahan variabel, buka persamaan yang diberikan dan pilih Z -akar.

• Jika suku tiruannya adalah 1

.

• Kalau bisa gunakan pengganti formulir kamu = kx

.

Rumus Cardano. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan kubik - ini adalah rumus Cardano. Rumus ini dikaitkan dengan nama matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), dan Scipione del Ferro (1465–1526). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N= 4 – persamaan derajat keempat.

Metode pengelompokan.

Contoh: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metode penggantian variabel.

• Bentuk persamaan biquadratic kapak 4 + bx 2+ detik = 0 .

Contoh: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Penggantian kamu = X 2. Dari sini kamu 1 = 4, kamu 2 = -9. Itu sebabnya X 1,2 = + 2 .

• Persamaan timbal balik bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3+c X 2 + bx + A = 0.

Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku dengan koefisien yang sama dengan mengganti bentuknya

• kapak 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

• Persamaan berulang yang digeneralisasikan dari bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 sebuah = 0.

• Penggantian umum. Beberapa pengganti standar.

Contoh 3 . Penggantian tampilan umum(mengikuti dari jenis persamaan tertentu).

N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q N = 3.

Rumus umum. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Rumus ini dikaitkan dengan nama Ludovico Ferrari (1522–1565). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N > 5 – persamaan derajat kelima dan lebih tinggi.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan simetris. Setiap persamaan timbal balik yang berderajat ganjil mempunyai akar X= -1 dan setelah memfaktorkannya menjadi faktor kita menemukan bahwa salah satu faktornya berbentuk ( X+ 1), dan faktor kedua adalah persamaan timbal balik yang derajatnya genap (derajatnya lebih kecil satu dari derajat persamaan aslinya). Persamaan timbal balik apa pun yang berderajat genap beserta akar bentuknya x = φ juga mengandung akar spesies. Dengan menggunakan pernyataan-pernyataan ini, kita memecahkan masalah dengan menurunkan derajat persamaan yang diteliti.

Metode penggantian variabel. Penggunaan homogenitas.

Tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat kelima (hal ini ditunjukkan oleh matematikawan Italia Paolo Ruffini (1765–1822) dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel (1802–1829)) dan derajat yang lebih tinggi (hal ini ditunjukkan oleh Matematikawan Perancis Evariste Galois (1811–1832) )).

• Mari kita ingat sekali lagi bahwa dalam praktiknya hal itu mungkin untuk digunakan kombinasi metode yang tercantum di atas. Lebih mudah untuk meneruskan ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
• Di luar cakupan diskusi kita saat ini adalah hal-hal yang banyak digunakan dalam praktik. metode grafis menyelesaikan persamaan dan metode solusi perkiraan persamaan derajat yang lebih tinggi.
• Ada situasi ketika persamaan tidak memiliki akar-R.
Kemudian penyelesaiannya menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. Untuk membuktikannya, kami menganalisis perilaku fungsi-fungsi yang dipertimbangkan pada interval monotonisitas. Contoh: persamaan X 8 – X 3 + 1 = 0 tidak mempunyai akar.
• Menggunakan sifat monotonisitas fungsi
. Ada situasi ketika penggunaan berbagai properti fungsi dapat menyederhanakan tugas.
Contoh 1: Persamaan X 5 + 3X– 4 = 0 mempunyai satu akar X= 1. Karena sifat monotonisitas fungsi yang dianalisis, tidak ada akar lain.
Contoh 2: Persamaan X 4 + (X– 1) 4 = 97 mempunyai akar X 1 = -2 dan X 2 = 3. Setelah menganalisis perilaku fungsi-fungsi yang bersesuaian pada interval monotonisitas, kami menyimpulkan bahwa tidak ada akar lain.

4. Menyimpulkan.

Ringkasan: Sekarang kita telah menguasai metode dasar untuk menyelesaikan berbagai persamaan derajat yang lebih tinggi (untuk n > 3). Tugas kita adalah mempelajari cara menggunakan algoritma yang tercantum di atas secara efektif. Bergantung pada jenis persamaannya, kita harus belajar menentukan metode penyelesaian mana yang paling efektif dalam kasus tertentu, serta menerapkan metode yang dipilih dengan benar.

5. Pekerjaan rumah.

: paragraf 7, hlm.164–174, no.33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Kemungkinan topik untuk laporan atau abstrak tentang topik ini:

• Rumus Cardano
• Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan. Contoh solusi.
• Metode untuk perkiraan solusi persamaan.

Analisis pembelajaran siswa dan minat terhadap topik:

Pengalaman menunjukkan bahwa minat siswa terutama timbul oleh kemungkinan memilih Z-akar dan Q-akar persamaan menggunakan algoritma yang cukup sederhana menggunakan skema Horner. Siswa juga tertarik pada berbagai tipe standar substitusi variabel, yang secara signifikan dapat menyederhanakan jenis soal. Metode solusi grafis biasanya menjadi perhatian khusus. Dalam hal ini, Anda juga dapat menganalisis masalah menggunakan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan; membahas bentuk umum grafik polinomial berderajat 3, 4, 5; menganalisis bagaimana hubungan jumlah akar persamaan derajat 3, 4, 5 dengan kemunculan grafik yang bersangkutan. Di bawah ini adalah daftar buku di mana Anda dapat menemukan informasi tambahan mengenai topik ini.

Bibliografi:

1. Vilenkin N.Ya. dan lain-lain “Aljabar. Buku teks untuk siswa kelas 9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 hal.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Di balik halaman buku teks matematika. Hitung. Aljabar. kelas 10-11” – M., Pendidikan, 2008 – 192 hal.
3. Vygodsky M.Ya.“Buku Pegangan Matematika” – M., AST, 2010 – 1055 hal.
4. Galitsky M.L.“Kumpulan soal aljabar. Buku teks untuk kelas 8-9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 hal.
5. Zvavich L.I. dan lain-lain “Aljabar dan awal mula analisis. kelas 8–11 Sebuah manual untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika tingkat lanjut” - M., Drofa, 1999 - 352 hal.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Tugas matematika untuk persiapan ujian tertulis di kelas 9” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 hal.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tes tematik untuk mensistematisasikan pengetahuan dalam matematika” bagian 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tes tematik untuk mensistematisasikan pengetahuan dalam matematika” bagian 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
9. Ivanov A.P.“Tes dan tes matematika. tutorial". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 hal.
10. Leibson K.L.“Kumpulan tugas praktek matematika. Bagian 2–9 kelas” – M., MTSNM, 2009 – 184 hal.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Aljabar. Bab tambahan untuk buku teks sekolah kelas 9. Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam.” – M., Pendidikan, 2006 – 224 hal.
12. Mordkovich A.G."Aljabar. Studi mendalam. kelas 8. Buku Teks” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 hal.
13. Savin A.P.“Kamus Ensiklopedia Ahli Matematika Muda” - M., Pedagogi, 1985 - 352 hal.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.“Materi didaktik aljabar untuk kelas 9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 hal.
15. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata pelajaran matematika sekolah. Kuliah 1–4” – M., 1 September 2006 – 88 hal.
16. Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata pelajaran matematika sekolah. Kuliah 5–8” – M., 1 September 2009 – 84 hal.