Bentuk integral (final).. Teorema perubahan energi kinetik suatu titik material: perubahan energi kinetik suatu titik material pada perpindahan tertentu sama dengan jumlah aljabar kerja semua gaya yang bekerja pada titik ini pada perpindahan yang sama.

Teorema perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik dirumuskan: perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik ketika berpindah dari satu posisi ke posisi lain sama dengan jumlah kerja semua gaya luar dan dalam yang diterapkan pada sistem selama pergerakan ini:

Dalam kasus sistem yang tidak dapat diubah, jumlah usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam pada setiap perpindahan sama dengan nol (), maka

Hukum kekekalan energi mekanik. Ketika suatu sistem mekanik bergerak di bawah pengaruh gaya-gaya yang mempunyai potensial, perubahan energi kinetik sistem ditentukan oleh ketergantungan:

Di mana ,

Jumlah energi kinetik dan energi potensial suatu sistem disebut energi mekanik total sistem.

Dengan demikian, Ketika suatu sistem mekanik bergerak dalam medan potensial stasioner, energi mekanik total sistem selama pergerakan tetap tidak berubah.

Tugas. Suatu sistem mekanis, di bawah pengaruh gravitasi, mulai bergerak dari keadaan diam. Dengan memperhitungkan gesekan geser benda 3, dengan mengabaikan gaya hambatan lainnya dan massa benang yang dianggap tidak dapat diperpanjang, tentukan kecepatan dan percepatan benda 1 pada saat lintasan yang dilaluinya menjadi sama S(Gbr. 3.70).

Dalam tugas tersebut, terima:

Larutan. Sistem mekanis ditindaklanjuti oleh gaya aktif , , . Dengan menerapkan prinsip pembebasan sistem dari kendala, kami akan menunjukkan reaksi dari tumpuan tetap berengsel 2 dan permukaan miring yang kasar. Kami akan menggambarkan arah kecepatan benda-benda sistem dengan mempertimbangkan fakta bahwa benda 1 sedang turun.

Mari kita selesaikan masalah ini dengan menerapkan teorema perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik:

Di mana T dan merupakan energi kinetik sistem pada posisi awal dan akhir; - jumlah aljabar usaha yang dilakukan oleh gaya luar yang diterapkan pada sistem untuk memindahkan sistem dari posisi awal ke posisi akhir; - jumlah usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam sistem pada perpindahan yang sama.

Untuk sistem yang dipertimbangkan, terdiri dari benda-benda yang benar-benar kaku yang dihubungkan oleh benang-benang yang tidak dapat diperpanjang:

Karena sistem berada pada posisi awal dalam keadaan diam, maka . Karena itu:

Energi kinetik sistem adalah jumlah energi kinetik benda 1, 2, 3:

Energi kinetik beban 1 yang bergerak maju sama dengan:

Energi kinetik balok 2 berputar pada suatu sumbu Ons, tegak lurus terhadap bidang gambar:

Energi kinetik benda 3 pada gerak majunya:

Dengan demikian,

Ekspresi energi kinetik mengandung kecepatan semua benda dalam sistem yang tidak diketahui. Definisinya harus dimulai dengan . Mari kita singkirkan hal-hal yang tidak diketahui yang tidak perlu dengan membuat persamaan koneksi.

Persamaan kendala tidak lebih dari hubungan kinematik antara kecepatan dan pergerakan titik-titik dalam sistem. Saat menyusun persamaan kendala, kita akan menyatakan semua kecepatan dan pergerakan benda sistem yang tidak diketahui melalui kecepatan dan pergerakan beban 1.

Kecepatan suatu titik pada tepi berjari-jari kecil sama dengan kecepatan benda 1, serta hasil kali kecepatan sudut benda 2 dan jari-jari rotasi R:

Dari sini kita nyatakan kecepatan sudut benda 2:

Kecepatan rotasi suatu titik di tepi balok yang berjari-jari besar, di satu sisi, sama dengan produk kecepatan sudut balok dan jari-jari rotasi, dan di sisi lain, kecepatan benda 3 :

Mengganti nilai kecepatan sudut, kita mendapatkan:

Memiliki ekspresi integral (a) dan (b) pada kondisi awal, kita tuliskan rasio perpindahan titik-titik sistem:

Mengetahui ketergantungan dasar kecepatan titik-titik sistem, kita kembali ke ekspresi energi kinetik dan mengganti persamaan (a) dan (b) ke dalamnya:

Momen inersia benda 2 sama dengan:

Mengganti nilai massa benda dan momen inersia benda 2, kita menulis:

Penentuan jumlah kerja semua gaya luar sistem pada perpindahan tertentu.

Sekarang, menurut teorema perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik, kita menyamakan nilainya T Dan

Kecepatan benda 1 diperoleh dari ekspresi (g)

Percepatan benda 1 dapat ditentukan dengan membedakan persamaan (g) terhadap waktu.

Mari kita perkenalkan konsep karakteristik dinamis dasar lainnya dari gerak - energi kinetik. Energi kinetik suatu titik material adalah besaran skalar yang sama dengan setengah hasil kali massa titik dan kuadrat kecepatannya.

Satuan besaran energi kinetik sama dengan usaha (dalam SI - 1 J). Mari kita cari hubungan yang menghubungkan kedua besaran ini.

Mari kita perhatikan suatu titik material bermassa yang bergerak dari posisi yang memiliki kecepatan ke posisi yang memiliki kecepatan

Untuk memperoleh ketergantungan yang diinginkan, mari kita beralih ke persamaan yang menyatakan hukum dasar dinamika.Memproyeksikan kedua bagiannya bersinggungan dengan lintasan titik M yang diarahkan ke arah gerak, kita peroleh

Mari kita nyatakan percepatan tangensial suatu titik yang dimasukkan di sini dalam bentuk

Hasilnya, kami menemukan hal itu

Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan dan masukkan di bawah tanda diferensial. Kemudian, dengan memperhatikan di mana kerja gaya dasar, kita memperoleh ekspresi teorema tentang perubahan energi kinetik suatu titik dalam bentuk diferensial:

Setelah mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini ke dalam batas-batas yang sesuai dengan nilai-nilai variabel di titik-titik tersebut, akhirnya kita akan menemukannya

Persamaan (52) menyatakan teorema tentang perubahan energi kinetik suatu titik dalam bentuk akhir: perubahan energi kinetik suatu titik selama perpindahan tertentu sama dengan jumlah aljabar kerja semua gaya yang bekerja pada titik tersebut di perpindahan yang sama.

Kasus pergerakan tidak bebas. Ketika suatu titik bergerak secara tidak bebas, ruas kanan persamaan (52) akan mencakup kerja gaya-gaya (aktif) tertentu dan kerja reaksi kopling. Mari kita batasi diri kita dengan mempertimbangkan gerak suatu titik sepanjang permukaan atau kurva yang mulus (tanpa gesekan). Dalam hal ini, reaksi N (lihat Gambar 233) akan diarahkan normal terhadap lintasan titik dan. Kemudian, menurut rumus (44), kerja reaksi permukaan halus (atau kurva) yang diam untuk setiap pergerakan suatu titik akan sama dengan nol, dan dari persamaan (52) kita peroleh

Oleh karena itu, ketika bergerak sepanjang permukaan halus (atau kurva) yang diam, perubahan energi kinetik suatu titik sama dengan jumlah usaha yang dilakukan pada pergerakan gaya aktif yang diterapkan pada titik tersebut.

Jika permukaan (kurva) tidak mulus, maka kerja gaya gesekan akan ditambah dengan kerja gaya aktif (lihat § 88). Jika permukaan (kurva) bergerak, maka perpindahan absolut titik M tidak boleh tegak lurus terhadap N dan kemudian usaha reaksi N tidak akan sama dengan nol (misalnya usaha reaksi platform elevator).

Penyelesaian masalah. Teorema perubahan energi kinetik [rumus (52)] memungkinkan, dengan mengetahui bagaimana kecepatan suatu titik berubah ketika suatu titik bergerak, untuk menentukan kerja gaya-gaya yang bekerja (masalah pertama dinamika) atau, mengetahui kerja dari gaya-gaya yang bekerja, untuk menentukan bagaimana kecepatan suatu titik berubah ketika bergerak (masalah dinamika yang kedua). Saat memecahkan masalah kedua, ketika gaya diberikan, perlu untuk menghitung usahanya. Seperti terlihat dari rumus (44), (44), hal ini hanya dapat dilakukan jika gaya-gayanya konstan atau hanya bergantung pada posisi (koordinat) titik yang bergerak, seperti gaya elastisitas atau gravitasi (lihat § 88 ).

Dengan demikian, rumus (52) dapat langsung digunakan untuk menyelesaikan soal dinamika kedua, bila data dan besaran yang diperlukan dalam soal tersebut meliputi: gaya-gaya yang bekerja, perpindahan suatu titik serta kecepatan awal dan akhir (yaitu besaran), dan gaya-gayanya harus konstan atau hanya bergantung pada posisi (koordinat) titik.

Teorema dalam bentuk diferensial [rumus (51)] tentu saja dapat diterapkan untuk gaya apa pun yang bekerja.

Soal 98. Sebuah beban bermassa kg, dilemparkan dengan kecepatan dari titik A, terletak di ketinggian (Gbr. 235), memiliki kecepatan di titik jatuh C. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya hambatan udara yang bekerja pada beban tersebut selama pergerakannya

Larutan. Saat beban bergerak, gaya gravitasi P dan gaya hambatan udara R bekerja pada beban Menurut teorema perubahan energi kinetik, dengan menganggap beban sebagai titik material, kita mempunyai

Dari persamaan ini, karena menurut rumus kita temukan

Soal 99. Berdasarkan kondisi soal 96 (lihat [§ 84), tentukan jalur mana yang akan dilalui beban sebelum berhenti (lihat Gambar 223, di mana posisi awal beban, dan posisi akhir).

Larutan. Beban, seperti pada soal 96, dikenai gaya P, N, F. Untuk menentukan jarak pengereman, mengingat kondisi soal ini juga mencakup gaya konstan F, kita akan menggunakan teorema perubahan energi kinetik

Dalam kasus yang dipertimbangkan - kecepatan beban pada saat berhenti). Selain itu, karena gaya P dan N tegak lurus terhadap perpindahan, maka kita peroleh dari tempat kita menemukannya

Berdasarkan hasil soal 96, waktu pengereman bertambah sebanding dengan kecepatan awal, dan jarak pengereman, seperti yang kita temukan, sebanding dengan kuadrat kecepatan awal. Jika diterapkan pada transportasi darat, hal ini menunjukkan betapa bahayanya meningkat seiring dengan meningkatnya kecepatan.

Soal 100. Sebuah beban berbobot P digantung pada seutas benang yang panjangnya l. Benang bersama-sama dengan beban dibelokkan dari vertikal dengan suatu sudut (Gbr. 236, a) dan dilepaskan tanpa kecepatan awal. Saat bergerak, gaya hambatan R bekerja pada beban, yang kira-kira kita ganti dengan nilai rata-ratanya.Temukan kecepatan beban pada saat benang membentuk sudut dengan vertikal

Larutan. Dengan memperhatikan kondisi permasalahan, kita kembali menggunakan Teorema (52):

Beban dikenai gaya gravitasi P, reaksi benang hambatan, diwakili oleh nilai rata-rata R. Untuk gaya P, menurut rumus (47) untuk gaya N, karena akhirnya kita peroleh, untuk gaya karena menurut rumus (45) akan menjadi (panjang s busur sama dengan hasil kali jari-jari l per sudut pusat). Selain itu, sesuai dengan kondisi permasalahan, persamaan (a) menghasilkan:

Dengan tidak adanya hambatan, dari sini kita memperoleh rumus Galileo yang terkenal, yang jelas juga berlaku untuk kecepatan beban jatuh bebas (Gbr. 236, b).

Dalam soal yang sedang dipertimbangkan Kemudian, dengan memperkenalkan notasi lain - gaya hambatan rata-rata per satuan berat beban), akhirnya kita peroleh

Soal 101. Dalam keadaan tidak berubah bentuk, pegas katup memiliki panjang cm, ketika katup terbuka penuh, panjangnya cm, dan tinggi angkat katup adalah cm (Gbr. 237). Berat katup kekakuan pegas kg. Dengan mengabaikan pengaruh gaya gravitasi dan gaya hambatan, tentukan kecepatan katup pada saat katup ditutup.

Solusinya, mari kita gunakan persamaannya

Sesuai dengan kondisi soal, usaha dilakukan hanya oleh gaya elastis pegas. Maka menurut rumus (48) menjadi

Pada kasus ini

Selain itu, dengan mensubstitusikan semua nilai ini ke persamaan (a), akhirnya kita peroleh

Soal 102 jatuh pada balok dari ketinggian H.

Larutan. Seperti pada soal sebelumnya, kita akan menggunakan persamaan (52) untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, kecepatan awal beban dan kecepatan akhirnya (Pada momen defleksi maksimum balok) sama dengan nol dan persamaan (52) berbentuk

Usaha di sini dilakukan oleh gaya gravitasi P pada perpindahan dan gaya elastis balok F pada perpindahan. Selain itu, karena untuk balok, Substitusikan besaran-besaran ini ke dalam persamaan (a), kita peroleh

Tetapi ketika beban berada pada keseimbangan pada balok, maka gaya gravitasi seimbang dengan gaya elastisitas, oleh karena itu persamaan sebelumnya dapat direpresentasikan dalam bentuk

Menyelesaikan persamaan kuadrat ini dan mempertimbangkan bahwa sesuai dengan kondisi permasalahan yang harus kita temukan

Menarik untuk diperhatikan bahwa jika ternyata suatu beban diletakkan di tengah-tengah balok mendatar, maka defleksi maksimumnya ketika beban diturunkan akan sama dengan dua kali defleksi statis. Selanjutnya beban akan mulai berosilasi bersama balok di sekitar posisi setimbang. Di bawah pengaruh hambatan, osilasi ini akan meredam dan sistem akan seimbang pada posisi di mana defleksi balok sama dengan

Soal 103 jarak dari pusat bumi. Abaikan hambatan udara.

Larutan. Mengingat benda sebagai titik material bermassa, kita menggunakan persamaan

Usaha di sini dilakukan oleh gaya gravitasi F. Kemudian, dengan menggunakan rumus (50), dengan memperhatikan bahwa dalam hal ini R adalah jari-jari bumi, kita peroleh

Karena pada titik tertinggi, dengan nilai usaha yang ditemukan, persamaan (a) memberikan

Mari kita pertimbangkan kasus-kasus khusus:

a) misalkan H sangat kecil dibandingkan dengan R. Maka - nilainya mendekati nol. Dengan membagi pembilang dan penyebutnya kita peroleh

Jadi, untuk H kecil kita sampai pada rumus Galileo;

b) carilah pada kelajuan awal benda yang dilempar akan bergerak hingga tak terhingga, dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan A, kita peroleh

Melihat: artikel ini telah dibaca 49915 kali

Pdf Pilih bahasa... Rusia Ukraina Inggris

Ulasan singkat

Seluruh materi diunduh di atas, setelah memilih bahasa

Dua kasus transformasi gerak mekanis suatu titik material atau sistem titik:

1. gerak mekanis dipindahkan dari satu sistem mekanis ke sistem mekanis lainnya sebagai gerak mekanis;
2. gerak mekanik berubah menjadi bentuk gerak materi yang lain (menjadi bentuk energi potensial, panas, listrik, dan lain-lain).

Ketika mempertimbangkan transformasi gerak mekanis tanpa peralihannya ke bentuk gerak lain, ukuran gerak mekanis adalah vektor momentum suatu titik material atau sistem mekanis. Besaran gaya dalam hal ini adalah vektor impuls gaya.

Ketika gerak mekanis berubah menjadi bentuk gerak materi yang lain, energi kinetik suatu titik material atau sistem mekanis bertindak sebagai ukuran gerak mekanis. Ukuran kerja gaya ketika mengubah gerak mekanis menjadi bentuk gerak lain adalah kerja gaya

Energi kinetik

Energi kinetik adalah kemampuan tubuh untuk mengatasi suatu rintangan saat bergerak.

Energi kinetik suatu titik material

Energi kinetik suatu titik material adalah besaran skalar yang sama dengan setengah hasil kali massa suatu titik dan kuadrat kecepatannya.

Energi kinetik:

• mencirikan gerakan translasi dan rotasi;
• tidak bergantung pada arah pergerakan titik-titik sistem dan tidak mencirikan perubahan arah tersebut;
• mencirikan tindakan kekuatan internal dan eksternal.

Energi kinetik suatu sistem mekanik

Energi kinetik sistem sama dengan jumlah energi kinetik benda-benda dalam sistem. Energi kinetik bergantung pada jenis gerak benda dalam sistem.

Penentuan energi kinetik benda tegar untuk berbagai jenis gerak.

Energi kinetik gerak translasi
Selama gerak translasi, energi kinetik benda adalah sama T=M V 2 /2.

Ukuran kelembaman suatu benda selama gerak translasi adalah massa.

Energi kinetik gerak rotasi suatu benda

Selama gerak rotasi suatu benda, energi kinetik sama dengan setengah hasil kali momen inersia benda terhadap sumbu rotasi dan kuadrat kecepatan sudutnya.

Ukuran kelembaman suatu benda selama gerak rotasi adalah momen inersia.

Energi kinetik suatu benda tidak bergantung pada arah putaran benda tersebut.

Energi kinetik gerak sejajar bidang suatu benda

Pada gerak sejajar bidang suatu benda, energi kinetiknya sama dengan

Pekerjaan paksa

Kerja gaya mencirikan aksi suatu gaya pada suatu benda selama suatu gerakan dan menentukan perubahan modulus kecepatan suatu titik yang bergerak.

Kerja kekuatan dasar

Kerja dasar suatu gaya didefinisikan sebagai besaran skalar yang sama dengan hasil kali proyeksi gaya pada garis singgung lintasan yang diarahkan ke arah gerak suatu titik dan perpindahan titik yang sangat kecil yang diarahkan sepanjang titik tersebut. garis singgung.

Usaha yang dilakukan secara paksa pada perpindahan akhir

Usaha yang dilakukan suatu gaya pada perpindahan akhir sama dengan jumlah usahanya pada penampang dasar.

Kerja suatu gaya pada perpindahan akhir M 1 M 0 sama dengan integral kerja dasar sepanjang perpindahan tersebut.

Kerja suatu gaya pada perpindahan M 1 M 2 digambarkan oleh luas gambar yang dibatasi oleh sumbu absis, kurva dan ordinat yang bersesuaian dengan titik M 1 dan M 0.

Satuan ukuran kerja gaya dan energi kinetik dalam sistem SI adalah 1 (J).

Teorema tentang kerja gaya

Teorema 1. Usaha yang dilakukan oleh resultan gaya pada perpindahan tertentu sama dengan jumlah aljabar usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya komponen pada perpindahan yang sama.

Teorema 2. Usaha yang dilakukan oleh suatu gaya konstan pada perpindahan yang dihasilkan sama dengan jumlah aljabar usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada komponen perpindahan.

Kekuatan

Daya adalah besaran yang menentukan usaha yang dilakukan oleh suatu gaya per satuan waktu.

Satuan pengukuran daya adalah 1W = 1 J/s.

Kasus penentuan kerja gaya

Pekerjaan kekuatan internal

Jumlah usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya dalam suatu benda tegar selama suatu gerakan adalah nol.

Pekerjaan gravitasi

Kerja gaya elastis

Pekerjaan gaya gesekan

Kerja gaya yang diterapkan pada benda yang berputar

Kerja dasar gaya-gaya yang diterapkan pada benda tegar yang berputar mengelilingi sumbu tetap sama dengan hasil kali momen utama gaya-gaya luar terhadap sumbu rotasi dan pertambahan sudut rotasi.

Tahan berguling

Di zona kontak silinder stasioner dan bidang, terjadi deformasi lokal kompresi kontak, tegangan didistribusikan menurut hukum elips, dan garis kerja resultan N tegangan ini bertepatan dengan garis kerja beban. gaya pada silinder Q. Pada saat silinder menggelinding, distribusi beban menjadi asimetris dengan pergeseran maksimum ke arah gerak. Resultan N dipindahkan sebesar k - lengan gaya gesek guling, disebut juga koefisien gesek guling dan berdimensi panjang (cm)

Teorema perubahan energi kinetik suatu titik material

Perubahan energi kinetik suatu titik material pada perpindahan tertentu sama dengan jumlah aljabar semua gaya yang bekerja pada titik pada perpindahan yang sama.

Teorema perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik

Perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik pada perpindahan tertentu sama dengan jumlah aljabar gaya dalam dan gaya luar yang bekerja pada titik material sistem pada perpindahan yang sama.

Teorema perubahan energi kinetik benda tegar

Perubahan energi kinetik suatu benda tegar (sistem tidak berubah) pada perpindahan tertentu sama dengan jumlah gaya luar yang bekerja pada titik-titik sistem yang mengalami perpindahan yang sama.

Efisiensi

Kekuatan yang bekerja dalam mekanisme

Gaya dan pasangan gaya (momen) yang diterapkan pada suatu mekanisme atau mesin dapat dibagi menjadi beberapa kelompok:

1. Gaya dan momen penggerak yang melakukan kerja positif (diterapkan pada mata rantai penggerak, misalnya tekanan gas pada piston pada mesin pembakaran dalam).

2. Gaya dan momen hambatan yang melakukan usaha negatif:

• resistensi yang berguna (mereka melakukan pekerjaan yang diperlukan dari mesin dan diterapkan pada tautan yang digerakkan, misalnya, resistensi dari beban yang diangkat oleh mesin),
• gaya hambatan (misalnya gaya gesekan, hambatan udara, dll.).

3. Gaya gravitasi dan gaya elastis pegas (usaha positif dan negatif, sedangkan usaha satu siklus penuh adalah nol).

4. Gaya dan momen yang diterapkan pada benda atau dudukan dari luar (reaksi pondasi, dll), yang tidak menghasilkan usaha.

5. Gaya interaksi antar link yang bekerja berpasangan kinematik.

6. Gaya inersia suatu ikatan, yang disebabkan oleh massa dan pergerakan ikatan dengan percepatan, dapat melakukan usaha positif, negatif dan tidak melakukan usaha.

Kerja kekuatan dalam mekanisme

Ketika mesin beroperasi pada keadaan tunak, energi kinetiknya tidak berubah dan jumlah kerja gaya penggerak dan gaya hambatan yang diterapkan padanya adalah nol.

Usaha yang dilakukan untuk menggerakkan mesin digunakan untuk mengatasi hambatan yang berguna dan merugikan.

Efisiensi mekanisme

Efisiensi mekanik selama gerak tetap sama dengan perbandingan kerja berguna mesin dengan kerja yang dikeluarkan untuk menggerakkan mesin:

Elemen mesin dapat dihubungkan secara seri, paralel dan campuran.

Efisiensi dalam koneksi seri

Ketika mekanisme dihubungkan secara seri, efisiensi keseluruhan kurang dari efisiensi terendah dari masing-masing mekanisme.

Efisiensi dalam koneksi paralel

Ketika mekanisme dihubungkan secara paralel, efisiensi keseluruhan lebih besar dari efisiensi terendah dan kurang dari efisiensi tertinggi mekanisme individual.

Format: pdf

Bahasa: Rusia, Ukraina

Contoh perhitungan spur gear
Contoh penghitungan spur gear. Pemilihan material, perhitungan tegangan ijin, perhitungan kekuatan kontak dan lentur telah dilakukan.

Contoh penyelesaian masalah pembengkokan balok
Dalam contoh tersebut, diagram gaya transversal dan momen lentur dibuat, bagian berbahaya ditemukan dan balok I dipilih. Soal tersebut menganalisis konstruksi diagram menggunakan ketergantungan diferensial dan melakukan analisis komparatif berbagai penampang balok.

Contoh penyelesaian masalah puntir poros
Tugasnya adalah menguji kekuatan poros baja pada diameter, material, dan tegangan ijin tertentu. Selama penyelesaian, diagram torsi, tegangan geser, dan sudut puntir dibuat. Berat poros itu sendiri tidak diperhitungkan

Contoh penyelesaian masalah tegangan-kompresi suatu batang
Tugasnya adalah menguji kekuatan batang baja pada tegangan ijin tertentu. Selama penyelesaian, diagram gaya longitudinal, tegangan normal, dan perpindahan dibuat. Berat batang itu sendiri tidak diperhitungkan

Penerapan teorema kekekalan energi kinetik
Contoh penyelesaian masalah dengan menggunakan teorema kekekalan energi kinetik suatu sistem mekanik

Contoh penyelesaian masalah menggunakan teorema perubahan energi kinetik suatu sistem dengan benda tegar, balok, katrol, dan pegas.

Isi

Tugas

Sistem mekanik terdiri dari beban 1 dan 2, katrol berundak 3 dengan jari-jari langkah R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m dan jari-jari girasi relatif terhadap sumbu rotasi ρ 3 = 0,2 m, blok 4 radius R 4 = 0,2 m dan balok bergerak 5. Balok 5 dianggap sebagai silinder homogen padat. Koefisien gesekan beban 2 pada bidang f = 0,1 . Badan-badan sistem dihubungkan satu sama lain dengan benang yang dilemparkan ke atas balok dan dililitkan pada katrol 3. Bagian-bagian benang tersebut sejajar dengan bidang-bidang yang bersesuaian. Sebuah pegas dengan koefisien kekakuan c = dipasang pada balok bergerak 5 280 N/m.

Di bawah pengaruh gaya F = f (s) = 80(6 + 7 dtk) N, tergantung pada perpindahan s dari titik penerapannya, sistem mulai bergerak dari keadaan diam. Deformasi pegas pada saat permulaan gerakan adalah nol. Saat bergerak, katrol 3 dikenai momen konstan M = 1,6 Nm gaya resistensi (dari gesekan pada bantalan). Massa tubuh: m 1 = 0 , M 2 = 5kg, M 3 = 6kg, M 4 = 0 , M 5 = 4kg.

Tentukan nilai pusat massa benda 5 V C 5 pada saat perpindahan s beban 1 menjadi sama dengan s 1 = 0,2 m.

Catatan. Saat memecahkan masalah, gunakan teorema perubahan energi kinetik.

Solusi dari masalah tersebut

Diberikan: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, M 1 = 0 , M 2 = 5kg, M 3 = 6kg, M 4 = 0 , M 5 = 4kg, F = f (s) = 80(6 + 7 dtk) N, S 1 = 0,2 m.

Menemukan: V C 5 .

Sebutan variabel

R 3 , hal 3- jari-jari langkah katrol 3;
ρ 3 - jari-jari inersia katrol 3 relatif terhadap sumbu rotasi;
R 5 - radius blok 5;
V 1 , V 2 - kecepatan benda 1 dan 2;
ω 3 - kecepatan sudut putaran katrol 3;
V C 5 - kecepatan pusat massa C 5 blok 5;
ω 5 - kecepatan sudut rotasi balok 5;
S 1 , S 2 - pergerakan benda 1 dan 2;
φ 3 - sudut putaran katrol 3;
s C 5 - pergerakan pusat massa C 5 blok 5;
s A, s B - titik bergerak A dan B.

Membangun hubungan kinematik

Mari kita membangun hubungan kinematik. Karena beban 1 dan 2 dihubungkan oleh satu ulir, kecepatannya sama:
V 2 = V 1.
Karena benang penghubung beban 1 dan 2 dililitkan pada tahap luar katrol 3, maka titik-titik tahap luar katrol 3 bergerak dengan kecepatan V. 2 = V 1. Maka kecepatan sudut putaran katrol adalah :
.
Kecepatan pusat massa V C 5 balok 5 sama dengan kecepatan titik-titik tahap dalam katrol 3:
.
Kecepatan titik K adalah nol. Oleh karena itu, ini adalah pusat kecepatan sesaat balok 5. Kecepatan sudut rotasi balok 5:
.
Kecepatan titik B - ujung bebas pegas - sama dengan kecepatan titik A:
.

Mari kita nyatakan kecepatannya dalam V C 5 .
;
;
.

Sekarang mari kita instal hubungan antara gerakan tubuh dan sudut rotasi katrol dan balok. Karena kecepatan dan kecepatan sudut merupakan turunan waktu dari perpindahan dan sudut rotasi
,
maka hubungan yang sama akan terjadi antara perpindahan dan sudut rotasi:
S 2 = s 1;
;
;
.

Penentuan energi kinetik sistem

Mari kita cari energi kinetik sistem. Beban 2 melakukan gerak translasi dengan kecepatan V 2 . Katrol 3 melakukan gerak rotasi dengan kecepatan putaran sudut ω 3 . Blok 5 melakukan gerak bidang sejajar. Ia berputar dengan kecepatan sudut ω 5 dan pusat massanya bergerak dengan kecepatan V C 5 . Energi kinetik sistem:
.

Karena jari-jari inersia katrol terhadap sumbu rotasi diberikan, maka momen inersia katrol terhadap sumbu rotasi ditentukan dengan rumus:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Karena balok 5 adalah silinder homogen padat, momen inersianya terhadap pusat massa adalah sama dengan
.

Dengan menggunakan hubungan kinematik, kami menyatakan semua kecepatan dalam V C 5 dan gantikan ekspresi momen inersia ke dalam rumus energi kinetik.
,
di mana kita memasukkan konstanta
kg.

Jadi, kita telah menemukan ketergantungan energi kinetik sistem pada kecepatan pusat massa V C 5 blok bergerak:
, dimana m = 75 kg.

Penentuan besarnya kerja gaya luar

Pertimbangkan kekuatan eksternal, bertindak pada sistem.
Pada saat yang sama, kami tidak mempertimbangkan gaya tegangan benang, karena benang tidak dapat diperpanjang sehingga tidak menghasilkan kerja. Oleh karena itu, kami tidak mempertimbangkan tegangan internal yang bekerja pada benda, karena benda tersebut benar-benar padat.
Benda 1 (yang bermassa nol) dikenai gaya tertentu F.
Beban 2 dikenai gaya gravitasi P 2 = m 2 gram 2 dan gaya gesekan F T .
Katrol 3 dikenai gaya gravitasi P 3 = m 3 gram, gaya tekanan sumbu N 3 dan momen gaya gesek M.
Katrol 4 (bermassa nol) dipengaruhi oleh gaya tekanan sumbu N 4 .
Balok bergerak 5 dikenai gaya gravitasi P 5 = m 5 gram, gaya elastis F y pegas dan gaya tarik benang T K di titik K.

Usaha yang dilakukan suatu gaya ketika memindahkan titik penerapannya dengan perpindahan kecil sama dengan hasil kali skalar vektor, yaitu hasil kali nilai mutlak vektor F dan ds dengan kosinus sudut antara mereka. Suatu gaya tertentu yang diterapkan pada benda 1 sejajar dengan pergerakan benda 1. Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gaya ketika benda 1 bergerak sejauh s 1 adalah sama dengan:


J.

Misalkan beban 2. Dikenai gaya gravitasi P 2 , gaya tekanan permukaan N 2 , gaya tegangan benang T 23 , T 24 dan gaya gesekan F T . Karena beban tidak bergerak dalam arah vertikal, proyeksi percepatannya pada sumbu vertikal adalah nol. Oleh karena itu, jumlah proyeksi gaya pada sumbu vertikal sama dengan nol:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 gram.
Gaya gesek:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Pasukan P 2 dan N 2 tegak lurus terhadap perpindahan s 2 , sehingga tidak menghasilkan karya.
Pekerjaan gaya gesekan:
J.

Jika kita menganggap beban 2 sebagai sistem terisolasi, maka kita perlu memperhitungkan usaha yang dihasilkan oleh gaya tarik benang T 23 dan T 24 . Namun, kami tertarik pada keseluruhan sistem, yang terdiri dari benda 1, 2, 3, 4 dan 5. Untuk sistem seperti itu, gaya tarik benang adalah gaya dalam. Dan karena utasnya tidak dapat diperpanjang, jumlah usahanya adalah nol. Dalam hal beban 2, Anda juga perlu memperhitungkan gaya tarik benang yang bekerja pada katrol 3 dan balok 4. Besarnya sama dan berlawanan arah dengan gaya T 23 dan T 24 . Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gaya tarik benang 23 dan 24 terhadap beban 2 sama besarnya dan berlawanan tandanya dengan usaha yang dilakukan oleh gaya tarik benang tersebut pada katrol 3 dan balok 4. Akibatnya, besarnya usaha yang dihasilkan oleh gaya tarik benang adalah nol.

Perhatikan katrol 3. Karena pusat massanya tidak bergerak, maka usaha yang dilakukan oleh gravitasi P 3 sama dengan nol.
Karena sumbu C 3 tidak bergerak, maka gaya tekanan sumbu N 3 tidak menghasilkan karya.
Usaha yang dilakukan oleh torsi dihitung sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya:
.
Dalam kasus kita, vektor momen gaya gesekan dan sudut rotasi katrol diarahkan sepanjang sumbu rotasi katrol, tetapi berlawanan arah. Oleh karena itu, kerja momen gaya gesek:
J.

Mari kita lihat blok 5.
Karena kecepatan titik K adalah nol, maka gaya TK tidak menghasilkan usaha.
Pusat massa balok C 5 berpindah jarak s C 5 ke atas. Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gravitasi balok adalah:
J.
Usaha yang dilakukan gaya elastis pegas sama dengan perubahan energi potensial pegas yang bertanda minus. Karena pegas pada awalnya tidak berubah bentuk, maka
J.

Jumlah kerja semua gaya:

J.

Penerapan teorema perubahan energi kinetik suatu sistem

Mari kita terapkan teorema perubahan energi kinetik sistem dalam bentuk integral.
.
Karena sistem pada awalnya diam, maka energi kinetiknya pada awal geraknya adalah
T 0 = 0 .
Kemudian
.
Dari sini
MS.

Energi kinetik suatu sistem mekanik terdiri dari energi kinetik semua titiknya:

Membedakan setiap bagian persamaan ini terhadap waktu, kita peroleh

Menggunakan hukum dasar dinamika untuk Ke titik sistem mk 2ik= Fj., kita sampai pada persamaan

Hasil kali skalar gaya F dan kecepatan v pada titik penerapannya disebut kekuatan kekuatan dan menunjukkan R:

Dengan menggunakan notasi baru ini, kita merepresentasikan (11.6) dalam bentuk berikut:

Persamaan yang dihasilkan menyatakan bentuk diferensial dari teorema perubahan energi kinetik: laju perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik sama dengan jumlah jpangkat seluruh cm yang bekerja pada sistem.

Menyajikan turunannya F di (8.5) dalam bentuk pecahan -- dan tampil

kemudian memisahkan variabelnya, kita mendapatkan:

Di mana dT- diferensial energi kinetik, mis. perubahannya dalam jangka waktu yang sangat kecil dr, dr k = k dt - gerakan dasar Ke- poin sistem, mis. pergerakan dalam waktu dt.

Produk skalar gaya F dan perpindahan dasar dr poin penerapannya disebut pekerjaan dasar kekuatan dan menunjukkan da:

Dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali skalar, kita juga dapat merepresentasikan kerja dasar gaya dalam bentuk

Di Sini ds = dr - panjang busur lintasan titik penerapan gaya, sesuai dengan perpindahan dasarnya s/g; A - sudut antara arah vektor gaya F dan vektor perpindahan dasar c/r; F„ F y , F,- proyeksi vektor gaya F ke sumbu Cartesian; dx, dy, dz - proyeksi ke sumbu Cartesian dari vektor perpindahan dasar s/g.

Dengan memperhatikan notasi (11.9), persamaan (11.8) dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

itu. perbedaan energi kinetik sistem sama dengan jumlah kerja dasar semua gaya yang bekerja pada sistem. Persamaan ini, seperti (11.7), menyatakan bentuk diferensial dari teorema perubahan energi kinetik, tetapi berbeda dari (11.7) karena tidak menggunakan turunan, tetapi kenaikan yang sangat kecil - diferensial.

Melakukan integrasi persamaan suku demi suku (11.12), kita memperoleh

dimana berikut ini digunakan sebagai batas integrasi: 7 0 - energi kinetik sistem pada suatu waktu? 0 ; 7) - energi kinetik sistem pada waktu tertentu terima kasih.

Integral pasti terhadap waktu atau A(F):

Catatan 1. Untuk menghitung usaha, terkadang lebih mudah menggunakan parameterisasi lintasan non-busur MS), dan berkoordinasi M(x(t), kamu(/), z(f)). Dalam hal ini, untuk pekerjaan dasar, wajar untuk mengambil representasi (11.11), dan merepresentasikan integral lengkung dalam bentuk:

Dengan memperhatikan notasi (11.14) usaha pada perpindahan berhingga, persamaan (11.13) berbentuk

dan mewakili bentuk akhir dari teorema perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik.

Teorema 3. Perubahan energi kinetik suatu sistem mekanik ketika bergerak dari posisi awal ke posisi akhir sama dengan jumlah kerja semua gaya yang bekerja pada titik-titik sistem selama pergerakan tersebut.

Komentar 2. Ruas kanan persamaan (11.16) memperhitungkan hasil kali dengan sekuat tenaga kami, bekerja pada sistem, baik eksternal maupun internal. Namun demikian, ada sistem mekanis yang total usaha yang dilakukan oleh semua gaya internal adalah nol. Ego disebut demikian sistem yang tidak dapat diubah, di mana jarak antara titik material yang berinteraksi tidak berubah. Misalnya, sistem benda padat yang dihubungkan dengan engsel tanpa gesekan atau benang fleksibel yang tidak dapat diperpanjang. Untuk sistem seperti itu, dalam persamaan (11.16), cukup memperhitungkan kerja gaya eksternal saja, yaitu. teorema (11.16) berbentuk: