KARAKTERISTIK GEOMETRI BAGIAN DATAR.

Pengalaman menunjukkan bahwa ketahanan batang terhadap berbagai deformasi tidak hanya bergantung pada dimensi penampang, tetapi juga pada bentuknya.

Dimensi dan bentuk penampang dicirikan oleh berbagai karakteristik geometris: luas penampang, momen statis, momen inersia, momen hambatan, dll.

1. Momen statis suatu daerah(momen inersia derajat pertama).

Momen inersia statis luas relatif terhadap sembarang sumbu adalah jumlah hasil kali luas dasar dan jarak ke sumbu ini, tersebar di seluruh luas (Gbr. 1)

Gambar.1

Sifat-sifat momen statis suatu luas:

1. Momen statis suatu luas diukur dalam satuan panjang pangkat tiga (misalnya cm 3).

2. Momen statis bisa lebih kecil dari nol, lebih besar dari nol, dan oleh karena itu, sama dengan nol. Sumbu yang momen statisnya nol melewati pusat gravitasi bagian tersebut dan disebut sumbu pusat.

Jika xc Dan kamu c adalah koordinat pusat gravitasi, lalu

3. Momen inersia statik suatu penampang kompleks terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen statik komponen-komponen penampang sederhana terhadap sumbu yang sama.

Konsep momen inersia statis dalam ilmu kekuatan digunakan untuk menentukan posisi pusat gravitasi suatu penampang, meskipun harus diingat bahwa pada penampang simetris pusat gravitasi terletak pada perpotongan sumbu simetri.

2. Momen inersia suatu bidang datar (gambar) (momen inersia derajat kedua).

A) aksial momen inersia (khatulistiwa).

Momen inersia aksial Luas suatu bangun relatif terhadap sembarang sumbu adalah jumlah hasil kali luas dasar dengan kuadrat jarak ke sumbu distribusi ini ke seluruh luas (Gbr. 1)

Sifat momen inersia aksial.

1. Momen inersia aksial suatu luas diukur dalam satuan panjang pangkat empat (misalnya cm 4).

2. Momen inersia aksial selalu lebih besar dari nol.

3. Momen inersia aksial suatu penampang kompleks terhadap sembarang sumbu sama dengan jumlah momen aksial komponen-komponen penampang sederhana terhadap sumbu yang sama:

4. Besarnya momen inersia aksial mencirikan kemampuan suatu batang (balok) dengan penampang tertentu untuk menahan lentur.

B) Momen inersia kutub.

Momen inersia kutub Luas suatu bangun relatif terhadap suatu kutub adalah jumlah hasil kali luas dasar dengan kuadrat jarak ke kutub, yang tersebar di seluruh luas (Gbr. 1).

Sifat-sifat momen inersia kutub:

1. Momen inersia kutub suatu luas diukur dalam satuan panjang pangkat empat (misalnya cm 4).

2. Momen inersia kutub selalu lebih besar dari nol.

3. Momen inersia polar suatu penampang kompleks terhadap suatu kutub (pusat) sama dengan jumlah momen polar komponen-komponen penampang sederhana terhadap kutub tersebut.

4. Momen inersia kutub suatu bagian sama dengan jumlah momen inersia aksial bagian tersebut terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus yang melalui kutub.

5. Besarnya momen inersia kutub mencirikan kemampuan suatu batang (balok) dengan bentuk penampang tertentu untuk menahan puntir.

c) Momen inersia sentrifugal.

MOMEN SENTRIFUGAL INERTIA luas suatu bangun relatif terhadap sistem koordinat apa pun adalah jumlah hasil kali luas dasar dan koordinat yang diperluas ke seluruh luas (Gbr. 1)

Sifat-sifat momen inersia sentrifugal:

1. Momen inersia sentrifugal suatu luas diukur dalam satuan panjang pangkat empat (misalnya cm 4).

2. Momen inersia sentrifugal bisa lebih besar dari nol, lebih kecil dari nol, dan sama dengan nol. Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu inersia utama. Dua sumbu yang saling tegak lurus, paling sedikit salah satu diantaranya merupakan sumbu simetri, akan menjadi sumbu utama. Sumbu utama yang melalui pusat gravitasi suatu luas disebut sumbu pusat utama, dan momen inersia aksial suatu luas disebut momen inersia pusat utama.

3. Momen inersia sentrifugal suatu bagian kompleks dalam sistem koordinat apa pun sama dengan jumlah momen inersia sentrifugal dari bangun-bangun penyusunnya dalam sistem koordinat yang sama.

MOMEN INERTIA TERHADAP Sumbu PARALEL.

Gambar.2

Diberikan: sumbu x, kamu– pusat;

itu. momen inersia aksial pada suatu penampang terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat sama dengan momen aksial terhadap sumbu pusat ditambah hasil kali luas dan kuadrat jarak antar sumbu. Oleh karena itu, momen inersia aksial suatu penampang terhadap sumbu pusat mempunyai nilai minimum dalam sistem sumbu sejajar.

Setelah melakukan perhitungan serupa untuk momen inersia sentrifugal, kita memperoleh:

J x1y1 =J xy +Aab

itu. Momen inersia sentrifugal suatu penampang terhadap sumbu-sumbu yang sejajar dengan sistem koordinat pusat sama dengan momen sentrifugal pada sistem koordinat pusat ditambah hasil kali luas dan jarak antar sumbu.

MOMEN INERTIA PADA SISTEM KOORDINAT ROTASI

itu. jumlah momen inersia aksial penampang adalah nilai konstan, tidak bergantung pada sudut rotasi sumbu koordinat dan sama dengan momen inersia kutub relatif terhadap titik asal. Momen inersia sentrifugal dapat berubah nilainya dan berubah menjadi “0”.

Sumbu yang momen sentrifugalnya nol akan menjadi sumbu inersia utama, dan jika sumbu tersebut melalui pusat gravitasi, maka sumbu tersebut disebut sumbu inersia utama dan diberi sebutan “ kamu" dan "".

Momen inersia terhadap sumbu pusat utama disebut momen inersia pusat utama dan dinyatakan , dan momen inersia sentral utama memiliki nilai ekstrem, yaitu. satu adalah "min" dan yang lainnya adalah "maks".

Misalkan sudut “a 0 ” mencirikan posisi sumbu utama, maka:

Dengan menggunakan ketergantungan ini, kita menentukan posisi sumbu utama. Besarnya momen inersia utama setelah beberapa transformasi ditentukan oleh hubungan berikut:

CONTOH PENENTUAN MOMEN AKSIAL INERTIA, MOMEN INERTIA POLAR DAN MOMEN RESISTENSI GAMBAR SEDERHANA.

1. Bagian persegi panjang

as X dan y - di sini dan dalam contoh lain - sumbu inersia pusat utama.

Mari kita tentukan momen aksial hambatan:

2. Bagian padat bulat. Momen inersia.

Jika kita menggambar sumbu koordinat melalui titik O, maka terhadap sumbu tersebut momen inersia sentrifugal (atau hasil kali inersia) adalah besaran yang ditentukan oleh persamaan:

di mana kumpulan titiknya; - koordinatnya; jelas bahwa, dll.

Untuk benda padat, rumus (10), dengan analogi (5), berbentuk

Berbeda dengan momen aksial, momen inersia sentrifugal dapat berupa besaran positif dan negatif dan, khususnya, dengan cara pemilihan sumbu tertentu, momen tersebut dapat menjadi nol.

Sumbu utama inersia. Mari kita perhatikan benda homogen yang memiliki sumbu simetri. Mari kita menggambar sumbu koordinat Oxyz sehingga sumbunya diarahkan sepanjang sumbu simetri (Gbr. 279). Kemudian, karena kesimetrisannya, setiap titik suatu benda yang bermassa mk dan koordinatnya akan bersesuaian dengan suatu titik yang indeksnya berbeda, tetapi bermassa sama dan koordinatnya sama dengan . Hasilnya, kita memperoleh bahwa karena dalam penjumlahan ini semua suku berpasangan identik besarnya dan berlawanan tanda; dari sini, dengan mempertimbangkan persamaan (10), kita menemukan:

Jadi, simetri distribusi massa relatif terhadap sumbu z ditandai dengan hilangnya dua momen inersia sentrifugal. Sumbu Oz, yang momen inersia sentrifugalnya, yang memuat nama sumbu ini dalam indeksnya sama dengan nol, disebut sumbu inersia utama benda untuk titik O.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa jika suatu benda mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut adalah sumbu utama inersia benda tersebut untuk setiap titiknya.

Sumbu utama inersia belum tentu merupakan sumbu simetri. Mari kita perhatikan benda homogen yang memiliki bidang simetri (pada Gambar 279 bidang simetri benda adalah bidang ). Mari kita gambar beberapa sumbu dan sumbu yang tegak lurus pada bidang tersebut, kemudian karena simetri, setiap titik yang bermassa dan koordinat akan bersesuaian dengan titik yang bermassa sama dan koordinatnya sama dengan . Hasilnya, seperti pada kasus sebelumnya, kita menemukan bahwa sumbu tersebut adalah sumbu inersia utama untuk titik O. Jadi, jika suatu benda mempunyai bidang simetri, maka setiap sumbu yang tegak lurus terhadap bidang tersebut adalah sumbu utama inersia benda untuk titik O, yang sumbunya memotong bidang.

Persamaan (11) menyatakan syarat bahwa sumbu tersebut adalah sumbu utama inersia benda untuk titik O (asal).

Begitu pula jika maka sumbu Oy akan menjadi sumbu inersia utama titik O. Oleh karena itu, jika semua momen inersia sentrifugal sama dengan nol, mis.

maka masing-masing sumbu koordinat tersebut merupakan sumbu utama inersia benda untuk titik O (asal).

Misalnya, pada Gambar. 279 ketiga sumbu tersebut merupakan sumbu utama inersia titik O (sumbunya adalah sumbu simetri, dan sumbu Ox dan Oy tegak lurus terhadap bidang simetri).

Momen inersia suatu benda terhadap sumbu utama inersia disebut momen inersia utama benda.

Sumbu inersia utama yang dibangun untuk pusat massa benda disebut sumbu pusat utama inersia benda. Dari apa yang telah dibuktikan di atas dapat disimpulkan bahwa jika suatu benda mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut merupakan salah satu sumbu pusat utama inersia benda tersebut, karena pusat massa terletak pada sumbu tersebut. Jika benda mempunyai bidang simetri, maka sumbu yang tegak lurus bidang tersebut dan melalui pusat massa benda juga akan menjadi salah satu sumbu pusat utama inersia benda.

Dalam contoh yang diberikan, benda simetris dipertimbangkan, yang cukup untuk memecahkan masalah yang akan kita hadapi. Akan tetapi, dapat dibuktikan bahwa melalui titik mana pun pada suatu benda dapat ditarik paling sedikit tiga sumbu yang saling tegak lurus yang persamaan (11) akan terpenuhi, yaitu yang akan menjadi sumbu utama inersia benda untuk titik ini. .

Konsep sumbu utama inersia memainkan peran penting dalam dinamika benda tegar. Jika sumbu koordinat Oxyz diarahkan sepanjang sumbu tersebut, maka semua momen inersia sentrifugal menjadi nol dan persamaan atau rumus yang sesuai disederhanakan secara signifikan (lihat § 105, 132). Konsep ini juga dikaitkan dengan penyelesaian masalah persamaan dinamis benda yang berputar (lihat § 136), pusat tumbukan (lihat § 157), dll.

Mari kita lihat beberapa lagi ciri-ciri geometris bangun datar. Salah satu ciri tersebut disebut aksial atau khatulistiwa momen inersia. Karakteristik ini berhubungan dengan sumbu dan
(Gbr.4.1) berbentuk:

;
. (4.4)

Sifat utama momen inersia aksial adalah tidak boleh kurang dari nol atau sama dengan nol. Momen inersia ini selalu lebih besar dari nol:
;
. Satuan ukuran momen inersia aksial adalah (panjang 4).

Hubungkan titik asal koordinat dengan ruas garis lurus dengan luas yang sangat kecil
dan tunjukkan segmen ini dengan huruf (Gbr.4.4). Momen inersia suatu bangun relatif terhadap kutub - titik asal - disebut momen inersia kutub:

. (4.5)

Momen inersia ini, seperti momen aksial, selalu lebih besar dari nol (
) dan memiliki dimensi – (panjang 4).

Mari kita tuliskan kondisi invarian jumlah momen inersia ekuator terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus. Dari Gambar 4.4 jelas bahwa
.

Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (4.5), kita memperoleh:

Kondisi invarian dirumuskan sebagai berikut: jumlah momen inersia aksial terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus adalah nilai konstan dan sama dengan momen inersia polar terhadap titik potong sumbu-sumbu tersebut.

Momen inersia suatu bangun datar terhadap dua sumbu yang tegak lurus serentak disebut biaksial atau sentrifugal momen inersia. Momen inersia sentrifugal mempunyai bentuk sebagai berikut:

. (4.7)

Momen inersia sentrifugal mempunyai dimensi – (panjang 4). Itu bisa positif, negatif atau nol. Sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu utama inersia. Mari kita buktikan bahwa sumbu simetri suatu bangun datar adalah sumbu utama.

Perhatikan gambar datar yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.

Pilih kiri dan kanan dari sumbu simetri dua elemen yang luasnya sangat kecil
. Pusat gravitasi seluruh gambar berada di titik C. Mari kita letakkan titik asal koordinat di titik C dan tunjukkan koordinat vertikal elemen yang dipilih dengan huruf “ ”, secara horizontal – untuk elemen kiri”
”, untuk elemen yang tepat” " Mari kita hitung jumlah momen inersia sentrifugal untuk elemen tertentu dengan luas yang sangat kecil relatif terhadap sumbu Dan :

Jika kita mengintegrasikan ekspresi (4.8) dari kiri dan kanan, kita mendapatkan:

, (4.9)

karena jika sumbu adalah sumbu simetri, maka untuk setiap titik yang terletak di sebelah kiri sumbu tersebut selalu terdapat titik yang simetris padanya.

Menganalisis solusi yang diperoleh, kami sampai pada kesimpulan bahwa sumbu simetri adalah sumbu utama inersia. Poros tengah juga merupakan sumbu utama, meskipun bukan sumbu simetri, karena momen inersia sentrifugal dihitung secara bersamaan untuk dua sumbu Dan dan ternyata nol.

DEFINISI

Momen inersia aksial (atau khatulistiwa). bagian relatif terhadap sumbu disebut besaran yang didefinisikan sebagai:

Ekspresi (1) berarti bahwa untuk menghitung momen inersia aksial, jumlah produk luas yang sangat kecil () dikalikan dengan kuadrat jarak dari area tersebut ke sumbu rotasi diambil untuk seluruh luas S:

Jumlah momen inersia aksial suatu penampang relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus (misalnya, relatif terhadap sumbu X dan Y dalam sistem koordinat Kartesius) memberikan momen inersia kutub () relatif terhadap titik potong sumbu-sumbu ini:

DEFINISI

Momen kutub inersia disebut momen inersia suatu bagian terhadap suatu titik.

Momen inersia aksial selalu lebih besar dari nol, karena dalam definisinya (1) di bawah tanda integral terdapat nilai luas luas dasar (), selalu positif, dan kuadrat jarak dari luas tersebut ke sumbu.

Jika kita berurusan dengan suatu bagian yang bentuknya kompleks, maka sering kali dalam perhitungan kita menggunakan fakta bahwa momen inersia aksial suatu bagian kompleks terhadap sumbu sama dengan jumlah momen inersia aksial bagian-bagian tersebut. relatif terhadap sumbu yang sama. Namun perlu diingat bahwa tidak mungkin menjumlahkan momen inersia yang ditemukan relatif terhadap sumbu dan titik yang berbeda.

Momen inersia aksial terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi suatu penampang mempunyai nilai terkecil dari semua momen relatif terhadap sumbu yang sejajar dengannya. Momen inersia terhadap suatu sumbu () asalkan sejajar dengan sumbu yang melalui pusat gravitasi adalah sama dengan:

dimana adalah momen inersia suatu bagian terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi bagian tersebut; - luas penampang; - jarak antar sumbu.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Latihan	Berapa momen inersia aksial suatu penampang segitiga sama kaki terhadap sumbu Z yang melalui pusat gravitasi () segitiga yang sejajar dengan alasnya? Tinggi segitiga tersebut adalah.
Larutan	Mari kita pilih area dasar persegi panjang pada bagian segitiga (lihat Gambar 1). Letaknya agak jauh dari sumbu rotasi, panjang salah satu sisinya adalah , dan sisi lainnya adalah . Dari Gambar 1 berikut ini: Luas persegi panjang yang dipilih, dengan memperhitungkan (1.1), sama dengan: Untuk mencari momen inersia aksial, kita menggunakan definisinya dalam bentuk:
Menjawab

CONTOH 2

Latihan	Temukan momen inersia aksial terhadap sumbu tegak lurus X dan Y (Gbr. 2) suatu bagian berbentuk lingkaran yang diameternya sama dengan d.
Larutan	Untuk menyelesaikan soal, akan lebih mudah untuk memulai dengan mencari momen kutub relatif terhadap pusat bagian (). Mari kita bagi seluruh bagian menjadi cincin-cincin yang sangat tipis dengan ketebalan , yang jari-jarinya akan dilambangkan dengan . Kemudian kita mencari luas dasar sebagai:

hasil kali inersia, salah satu besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda (sistem mekanik). C.m.dan. dihitung sebagai jumlah produk massa m ke titik tubuh (sistem) ke dua koordinat xk, yk, zk poin-poin ini:

Nilai C.m.dan. bergantung pada arah sumbu koordinat. Dalam hal ini, untuk setiap titik pada benda terdapat paling sedikit tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu utama inersia, yang mana massa sentrifugal dan. sama dengan nol.

Konsep C.m.dan. memainkan peran penting dalam studi gerak rotasi benda. Dari nilai C.m.dan. bergantung pada besarnya gaya tekanan pada bantalan di mana sumbu benda yang berputar dipasang. Tekanan ini akan menjadi yang terkecil (sama dengan statis) jika sumbu rotasi adalah sumbu inersia utama yang melalui pusat massa benda.

• - ...

  Ensiklopedia fisik

• - ...

  Ensiklopedia fisik

• - lihat Eferen...

  Ensiklopedia psikologi yang bagus

• - ciri geometri penampang batang terbuka berdinding tipis, sama dengan jumlah hasil kali luas penampang dasar dengan kuadrat luas sektoral - momen inersia sektoral -...

  Kamus konstruksi

• - karakteristik geometris dari penampang batang, sama dengan jumlah produk dari bagian dasar dari bagian tersebut dengan kuadrat jaraknya ke sumbu yang ditinjau - momen inersia - momen setrvačnosti - Momen Trägheits -...

  Kamus konstruksi

• - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda saat tidak bergerak. pergerakan. Ada M. aksial dan sentrifugal dan. Aksial M. dan. sama dengan jumlah produk...
• - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang dapat ditarik melalui titik mana pun di TV. benda, bedanya jika benda yang diam pada suatu titik diputar mengelilingi salah satunya, maka jika tidak ada...

  Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

• - sumbu pada bidang penampang benda padat, yang relatif terhadap momen inersia bagian tersebut ditentukan - inersia os - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inersia tenkhleg - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - ya...

  Kamus konstruksi

• - titik waktu di mana produk yang dikirim ke pembeli dianggap terjual...

  Kamus Ensiklopedis Ekonomi dan Hukum

• - konsep ini diperkenalkan ke dalam sains oleh Euler, meskipun Huygens sebelumnya menggunakan ekspresi serupa, tanpa memberinya nama khusus: salah satu cara menuju definisinya adalah sebagai berikut...

  Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Euphron

• - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda selama gerak non-translasi. Dalam mekanika, perbedaan dibuat antara mekanisme dan aksial dan sentrifugal...
• - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus yang ditarik melalui suatu titik pada benda, mempunyai sifat bahwa, jika diambil sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal benda relatif terhadap ...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - produk inersia, salah satu besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda...

  Ensiklopedia Besar Soviet

• - besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran inersia suatu benda saat tidak bergerak. pergerakan. Bedakan antara momen inersia aksial dan sentrifugal...
• - utama - tiga sumbu yang saling tegak lurus yang dapat ditarik melalui titik mana pun pada benda padat, cirinya adalah jika benda yang diam pada titik tersebut diputar mengelilingi salah satunya, maka...

  Kamus ensiklopedis besar

• - ...

  Bentuk kata

"Momen inersia sentrifugal" dalam buku

Berlawanan dengan inersia

Dari buku Sphinx abad ke-20 pengarang Petrov Rem Viktorovich

Berlawanan dengan inersia

Dari buku Sphinx abad ke-20 pengarang Petrov Rem Viktorovich

Bertentangan dengan inersia “Dalam dua dekade terakhir, sifat imunologis dari penolakan transplantasi jaringan telah diterima secara umum dan semua aspek proses penolakan berada di bawah kendali eksperimental yang ketat.” Leslie Brent Sidik Jari Jadi, untuk pertanyaan “Apa

Oleh inersia

Dari buku Berapa Nilai Seseorang? Kisah pengalaman dalam 12 buku catatan dan 6 jilid. pengarang

Oleh inersia

Dari buku Berapa Nilai Seseorang? Buku catatan sepuluh: Di bawah “sayap” tambang pengarang Kersnovskaya Evfrosiniya Antonovna

Dengan inersia Untuk mengapresiasi pemandangan, Anda perlu melihat gambar dari jarak tertentu. Untuk menilai suatu peristiwa dengan benar, diperlukan jarak tertentu juga. Hukum inersia pun berlaku. Sementara semangat perubahan mencapai Norilsk, untuk waktu yang lama segala sesuatunya tampak berjalan mulus

24. Kekuatan Inersia

Dari buku Mekanika Ethereal penulis Danina Tatyana

24. Gaya Inersia Eter yang dipancarkan oleh belahan belakang partikel yang bergerak secara inersia adalah Gaya Inersia. Gaya Inersia ini merupakan gaya tolak menolak Eter yang mengisi partikel Eter yang dipancarkannya sendiri.Besarnya Gaya Inersia sebanding dengan kecepatan pancarannya.

3.3.1. Pompa sentrifugal submersible

Dari buku Tukang Ledeng Anda Sendiri. Komunikasi negara pipa pengarang Kashkarov Andrey Petrovich

3.3.1. Pompa sentrifugal submersible Pada bagian ini, kita akan mempertimbangkan opsi dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750.Saya menggunakan mata air dari bulan April hingga Oktober. Saya memompanya dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750/5nk (angka pertama menunjukkan konsumsi daya dalam watt,