bilangan irasional- itu tidak rasional bilangan asli, yaitu itu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan \(\frac(m)(n)\) (sebagai rasio dua bilangan bulat), di mana m adalah bilangan bulat, n- bilangan asli. Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak terbatas.
Bilangan irasional tidak dapat memiliki nilai yang tepat. Misalnya, akar kuadrat dari dua adalah bilangan irasional.
Himpunan dilambangkan bilangan irasional besar huruf bahasa inggris\(SAYA\) .
Himpunan bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan real dilambangkan dengan huruf \(R\) .
akar pangkat dua(akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif \(a\) disebut demikian bilangan non-negatif, yang kuadratnya \(a\) . \(\displaystyle (\sqrt(a)=x,\ ((x)^(2))=a;\ x,a\ge 0)\).
Nilai perkiraan akar pangkat dua dari nomor yang diberikan hingga satu, dua berturut-turut bilangan asli, yang kuadrat yang pertama lebih kecil dan kuadrat yang kedua lebih besar dari angka yang diberikan.
Yang pertama dari angka-angka ini disebut nilai perkiraan akar dengan kekurangan, yang kedua - nilai perkiraan akar dengan kelebihan.
Nilai perkiraan root ditulis sebagai berikut: \(\sqrt(10)\approx3 (\ s \ minggu); \ \sqrt(10)\approx4 (\ s \ est)\).
Contoh 1. Temukan nilai perkiraan \(\sqrt3\) dengan dua tempat desimal. Mari memperkirakan ekspresi radikal 3 pertama sebagai bilangan bulat. Sejak 1< 3 < 4, то \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) или \(1<\sqrt3<2\) . Поэтому десятичная запись числа \(\sqrt3\) начинается с цифры 1, т. е. \(\sqrt3\approx1,...\) .
Mari kita cari jumlah persepuluh sekarang. Untuk melakukan ini, kita akan menguadratkan pecahan desimal 1.1; 1.2; 1.3; ... sampai kita mengevaluasi kembali ekspresi radikal 3 dengan bilangan seperti itu, kita mendapatkan: 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Sejak 2.89< 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < \(\sqrt3\) < 1,8 . Значит, \(\sqrt3\approx1,7...\) .
Untuk menemukan jumlah perseratus, kita akan menguadratkan pecahan desimal secara berurutan 1,71; 1,72; 1,73; ..., sekali lagi mengevaluasi ekspresi radikal 3. Kami memiliki: 1.712 = 2.9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Sejak 1.732< 3 < 1,742, то 1,73 < \(\sqrt3\) < 1,74. Поэтому \(\sqrt3\approx1,73\) .
Contoh 2 Hitung \(\sqrt(138384)\) .
Solusi: Mari kita pecahkan angka menjadi wajah: 13 "83" 84 - ada tiga, yang berarti hasilnya harus berupa angka tiga digit. Digit pertama hasilnya adalah 3, karena 3 2< 13, тогда как 4 2 >13. Mengurangi 9 dari 13, kita mendapatkan 4. Menugaskan wajah berikutnya ke 4, kita dapatkan SEBUAH= 483. Menggandakan bagian yang tersedia dari hasil, yaitu angka 3, kita dapatkan sebuah= 6. Sekarang mari kita pilih angka terbesar x sehingga produk dari dua digit nomor kapak di x kurang dari 483. Angka ini akan menjadi 7, karena 67 * 7 = 469 lebih kecil dari 483, sedangkan 68 * 8 = 544 lebih dari 483. Jadi, angka kedua dari hasilnya adalah 7.
Mengurangi 469 dari 483, kita mendapatkan 14. Menetapkan tepi terakhir di sebelah kanan nomor ini, kita mendapatkan b= 1484. Menggandakan bagian hasil yang tersedia, mis. nomor 37, kita dapatkan B= 74. Sekarang mari kita pilih bilangan terbesar kamu sehingga produk dari tiga digit angka oleh di kamu tidak melebihi 1484. Angka ini akan menjadi 2, karena 742 * 2 = 1484. Angka 2 adalah angka terakhir dari hasil. Jawabannya adalah 372.
\(\sqrt(138384)=372\) .
Jika akar tidak diekstraksi, maka koma diletakkan setelah digit terakhir dari angka yang diberikan dan wajah selanjutnya terbentuk, yang masing-masing memiliki bentuk 00. Dalam hal ini, proses mengekstraksi akar tidak ada habisnya; berhenti ketika akurasi yang dibutuhkan tercapai.
ANGKA NYATA II
39 Mengekstrak akar kuadrat dari bilangan rasional
Seperti yang kita ketahui, dalam himpunan bilangan rasional, operasi perkalian selalu layak. Secara khusus, produk m / n m / n . Produk ini dikenal sebagai kuadrat dari suatu bilangan. m / n dan dilambangkan ( m / n ) 2:
( m / n ) 2 = m / n m / n
Jadi, jika suatu bilangan rasional, maka kuadratnya juga bilangan rasional. Angka ini jelas positif. Dan sekarang kita mengajukan masalah kebalikan: apakah setiap bilangan rasional positif kuadrat dari suatu bilangan rasional? Dalam bahasa persamaan aljabar, masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Diberikan persamaan
X 2 = ,
di mana sebuah adalah beberapa bilangan rasional positif, dan X - nilai yang tidak diketahui. Pertanyaannya adalah: apakah persamaan ini selalu memiliki akar rasional? Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif. bilangan rasional sebuah dapat dipilih sehingga persamaan X 2 = tidak akan memiliki akar rasional tunggal. Kami yakin akan hal ini, khususnya, dengan teorema berikut.
Dalil.Tidak ada bilangan rasional yang kuadratnya 2.
Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi. Misalkan ada bilangan rasional m / n , yang kuadratnya adalah 2: ( m / n ) 2 = 2.
Jika bilangan bulat t dan P memiliki pengali yang sama, maka pecahannya m / n dapat dipersingkat. Oleh karena itu, sejak awal, kita dapat mengasumsikan bahwa pecahan m / n tidak dapat direduksi.
Dari kondisi ( m / n ) 2 = 2 maka
t 2 = 2P 2 . .
Sejak nomor 2 P 2 genap maka bilangan tersebut t 2 harus genap. Tapi kemudian jumlahnya akan genap t . (Buktikan!) Jadi t = 2k , di mana k adalah beberapa bilangan bulat. Mengganti ekspresi ini untuk t ke dalam rumus t 2 = 2P 2 dapatkan: 4 k 2 = 2P 2, dari mana
P 2 =2k 2 .
Dalam hal ini, nomor P 2 akan genap; tapi kemudian jumlahnya harus genap P . Ternyata angkanya t dan P bahkan. Dan ini bertentangan dengan fakta bahwa pecahan m / n tidak dapat direduksi. Oleh karena itu, asumsi awal kami tentang keberadaan pecahan m / n , memenuhi syarat ( m / n ) 2 = 2., salah. Tetap diakui bahwa di antara semua bilangan rasional tidak ada yang kuadratnya sama dengan 2. Oleh karena itu, persamaan
X 2 = 2
dalam banyak rasional angka tidak dapat ditentukan. Kesimpulan serupa dapat dibuat tentang banyak persamaan lain dalam bentuk
X 2 = sebuah ,
di mana sebuah adalah bilangan bulat positif. Namun demikian, di kelas VIII kami berulang kali berbicara tentang akar persamaan tersebut. Dan akar positif dari persamaan X 2 = sebuah kami bahkan memberi nama khusus "akar kuadrat dari angka sebuah ” dan memperkenalkan sebutan khusus untuknya: sebuah .
Jadi, 2 tidak termasuk bilangan rasional. Tetapi bagaimana, kemudian, seseorang dapat mengkarakterisasi 2? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita ingat kembali aturan untuk mengekstrak akar kuadrat. Ketika diterapkan pada nomor 2, aturan ini memberikan:
Proses mengekstrak root dalam hal ini tidak dapat berakhir pada langkah apa pun. Jika tidak, 2 akan sama dengan beberapa pecahan desimal hingga dan oleh karena itu akan menjadi bilangan rasional. Dan ini bertentangan dengan teorema yang dibuktikan di atas. Jadi, ketika mengambil akar kuadrat dari 2, pecahan desimal tak terbatas diperoleh. Pecahan ini tidak dapat periodik, jika tidak, seperti pecahan periodik tak terbatas lainnya, dapat direpresentasikan sebagai rasio dua bilangan bulat. Dan ini juga bertentangan dengan teorema yang dibuktikan di atas. Dengan demikian, 2 dapat dianggap sebagai desimal non-periodik tak terbatas.
Jadi, misalnya, tindakan mengekstraksi akar dari bilangan bulat membawa kita ke pecahan desimal non-periodik tak terbatas.
Dalam paragraf berikut, kita akan mempertimbangkan masalah lain, yang, secara umum, tidak ada hubungannya dengan ekstraksi akar, tetapi juga membawa kita ke pecahan desimal non-periodik tak terbatas.
Latihan
305. Tunjukkan beberapa bilangan asli, yang akar kuadratnya adalah bilangan rasional.
306. Buktikan bahwa jika akar kuadrat dari bilangan asli adalah bilangan rasional, maka bilangan rasional ini tentu merupakan bilangan bulat.
307. Buktikan bahwa persamaan X 3 = 5 pada himpunan bilangan rasional tidak memiliki akar.
Kami telah menunjukkan sebelumnya bahwa $1\frac25$ mendekati $\sqrt2$. Jika persis sama dengan $\sqrt2$, . Kemudian rasio - $\frac(1\frac25)(1)$, yang dapat diubah menjadi rasio bilangan bulat $\frac75$ dengan mengalikan bagian atas dan bawah pecahan dengan 5, akan menjadi nilai yang diinginkan.
Namun, sayangnya, $1\frac25$ bukanlah nilai pasti dari $\sqrt2$. Jawaban yang lebih tepat $1\frac(41)(100)$ diberikan oleh relasi $\frac(141)(100)$. Kami mencapai akurasi yang lebih besar lagi ketika kami menyamakan $\sqrt2$ dengan $1\frac(207)(500)$. Dalam hal ini, rasio dalam bilangan bulat akan sama dengan $\frac(707)(500)$. Tetapi $1\frac(207)(500)$ juga bukan nilai pasti dari akar kuadrat 2. Matematikawan Yunani menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk menghitung nilai pasti dari $\sqrt2$, tetapi mereka tidak pernah berhasil. Mereka gagal merepresentasikan rasio $\frac(\sqrt2)(1)$ sebagai rasio bilangan bulat.
Akhirnya, ahli matematika Yunani yang hebat Euclid membuktikan bahwa tidak peduli seberapa akurat perhitungannya, tidak mungkin mendapatkan nilai pasti $\sqrt2$. Tidak ada pecahan yang, jika dikuadratkan, akan menghasilkan 2. Dikatakan bahwa Pythagoras adalah orang pertama yang sampai pada kesimpulan ini, tetapi fakta yang tidak dapat dijelaskan ini sangat mengesankan ilmuwan sehingga dia bersumpah pada dirinya sendiri dan mengambil sumpah dari murid-muridnya untuk menjaganya. penemuan ini rahasia. Namun, informasi ini mungkin tidak benar.
Tetapi jika bilangan $\frac(\sqrt2)(1)$ tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat, maka tidak ada bilangan yang mengandung $\sqrt2$, misalnya $\frac(\sqrt2)(2)$ atau $\frac (4)(\sqrt2)$ juga tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat, karena semua pecahan tersebut dapat dikonversi menjadi $\frac(\sqrt2)(1)$ dikalikan dengan beberapa angka. Jadi $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Atau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, yang dapat dikonversi dengan mengalikan bagian atas dan bawah dengan $\sqrt2$ untuk mendapatkan $\frac(4) (\sqrt2)$. (Kita tidak boleh lupa bahwa berapa pun angka $\sqrt2$, jika kita mengalikannya dengan $\sqrt2$ kita mendapatkan 2.)
Karena bilangan $\sqrt2$ tidak dapat dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat, maka disebut bilangan irasional. Di sisi lain, semua angka yang dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat disebut rasional.
Semua bilangan bulat dan pecahan, baik positif maupun negatif, adalah rasional.
Ternyata, sebagian besar akar kuadrat adalah bilangan irasional. Akar kuadrat rasional hanya untuk bilangan yang termasuk dalam deret bilangan kuadrat. Angka-angka ini juga disebut kuadrat sempurna. Bilangan rasional juga merupakan pecahan yang terdiri dari kuadrat sempurna ini. Misalnya, $\sqrt(1\frac79)$ adalah bilangan rasional karena $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ atau $1\frac13$ (4 adalah akarnya kuadrat dari 16, dan 3 adalah akar kuadrat dari 9).
