Gagasan intuitif tentang angka tampaknya setua umat manusia itu sendiri, meskipun pada prinsipnya tidak mungkin untuk melacak semua tahap awal perkembangannya dengan pasti. Sebelum seseorang belajar menghitung atau menemukan kata-kata untuk angka, ia tidak diragukan lagi memiliki gagasan visual dan intuitif tentang angka, yang memungkinkannya untuk membedakan antara satu orang dan dua orang, atau dua dan banyak orang. Apa orang primitif pada awalnya mereka hanya tahu "satu", "dua" dan "banyak", dikonfirmasi oleh fakta bahwa dalam beberapa bahasa, misalnya, dalam bahasa Yunani, ada tiga bentuk tata bahasa: tunggal, bilangan ganda dan jamak. Kemudian, manusia belajar membedakan antara dua dan tiga pohon dan antara tiga dan empat orang. Menghitung pada awalnya dikaitkan dengan sekumpulan objek yang sangat spesifik, dan nama pertama angka adalah kata sifat. Misalnya, kata "tiga" hanya digunakan dalam kombinasi "tiga pohon" atau "tiga orang"; gagasan bahwa himpunan ini memiliki kesamaan - konsep trinitas - membutuhkan tingkat tinggi abstraksi. Tentang fakta bahwa akun itu muncul sebelum kedatangan Tingkat abstraksi ini dibuktikan dengan fakta bahwa kata "satu" dan "pertama", serta "dua" dan "kedua", dalam banyak bahasa tidak memiliki kesamaan satu sama lain, sedangkan kata "satu" yang terletak di luar akun primitif, "dua", "banyak", kata "tiga" dan "ketiga", "empat" dan "keempat" dengan jelas menunjukkan hubungan antara bilangan kardinal dan urut.

Nama-nama angka, yang mengekspresikan ide-ide yang sangat abstrak, tidak diragukan lagi muncul lebih lambat daripada simbol kasar pertama untuk menunjukkan jumlah objek dalam populasi tertentu. PADA zaman kuno Catatan numerik primitif dibuat dalam bentuk takik pada tongkat, simpul pada tali yang disusun dalam deretan kerikil, dan dipahami bahwa ada korespondensi satu-satu antara elemen himpunan yang dihitung dan simbol dari catatan numerik. Tetapi untuk membaca catatan numerik seperti itu, nama-nama angka tidak langsung digunakan. Sekarang kita mengenali secara sekilas kumpulan dua, tiga, dan empat elemen; set yang terdiri dari lima, enam atau tujuh elemen agak lebih sulit dikenali secara sekilas. Dan di luar batas ini, praktis tidak mungkin untuk menentukan jumlahnya dengan mata, dan analisis diperlukan baik dalam bentuk akun, atau dalam struktur elemen tertentu. Menghitung tag tampaknya merupakan teknik pertama yang digunakan dalam kasus serupa: takik pada tag berada kelompok tertentu seperti halnya ketika surat suara dihitung, surat suara itu sering dikelompokkan menjadi lima atau sepuluh. Penghitungan jari sangat tersebar luas, dan sangat mungkin bahwa nama-nama beberapa angka justru berasal dari metode penghitungan ini.

Fitur penting dari akun adalah koneksi nama-nama angka dengan skema penghitungan tertentu. Misalnya, kata "dua puluh tiga" bukan hanya istilah yang berarti kelompok objek yang didefinisikan dengan baik (berdasarkan jumlah elemen); itu adalah istilah majemuk yang berarti "dua kali sepuluh dan tiga." Di sini peran angka sepuluh sebagai unit atau yayasan kolektif terlihat jelas; dan memang, banyak orang menghitung dengan puluhan, karena, seperti yang dicatat Aristoteles, kita memiliki sepuluh jari di tangan dan di kaki kita. Untuk alasan yang sama, basis lima atau dua puluh digunakan. Pada tahap yang sangat awal dalam perkembangan sejarah manusia, angka 2, 3 atau 4 diambil sebagai dasar dari sistem angka; terkadang basis 12 dan 60 digunakan untuk beberapa pengukuran atau perhitungan.

Seseorang mulai menghitung jauh sebelum dia belajar menulis, jadi tidak ada dokumen tertulis yang bertahan yang membuktikan kata-kata yang menunjukkan angka di zaman kuno. Suku nomaden dicirikan oleh nama angka lisan, tetapi untuk yang tertulis, kebutuhan mereka muncul hanya dengan transisi ke cara hidup yang menetap, pembentukan komunitas pertanian. Ada juga kebutuhan untuk sistem pencatatan angka, dan saat itulah fondasi diletakkan untuk pengembangan matematika.

Jenis-jenis bilangan dasar

Tidak seperti oktaf, sedimentasi S tidak memiliki sifat alternatif, tetapi mempertahankan sifat asosiasi kekuasaan.

Untuk mewakili bilangan bulat positif x dalam memori komputer, itu diubah menjadi sistem bilangan biner. Angka yang dihasilkan dalam sistem bilangan biner x 2 adalah notasi mesin yang sesuai angka desimal x 10. Untuk menulis angka negatif, yang disebut. kode tambahan angka, yang diperoleh dengan menambahkan satu ke representasi terbalik dari modulus angka negatif yang diberikan dalam sistem bilangan biner.

Representasi bilangan real dalam memori komputer (dalam ilmu Komputer istilah angka floating point digunakan untuk menunjukkannya) memiliki beberapa keterbatasan yang terkait dengan sistem angka yang digunakan, serta jumlah memori yang dialokasikan untuk angka terbatas. Jadi, hanya beberapa bilangan real yang dapat direpresentasikan secara akurat dalam memori komputer tanpa kehilangan. Dalam skema yang paling umum, angka floating-point ditulis sebagai blok bit, beberapa di antaranya adalah mantissa angka, beberapa adalah derajat, dan satu bit dialokasikan untuk mewakili tanda angka (jika perlu, bit tanda mungkin tidak ada).

Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk karakteristik kuantitatif objek. Bangkit kembali masyarakat primitif dari kebutuhan akun, konsep angka berubah dan diperkaya dan berubah menjadi yang paling penting konsep matematika. Dengan karakter tertulis(simbol) angka digunakan untuk menulis angka.

Jenis-jenis bilangan dasar

Diterima dengan akun natural; bilangan asli dilambangkan dengan . Itu. (kadang-kadang nol juga termasuk dalam himpunan bilangan asli, yaitu). Bilangan asli ditutup dengan penjumlahan dan perkalian (tetapi bukan pengurangan atau pembagian). Bilangan asli bersifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan dan perkalian, dan perkalian bilangan asli bersifat distributif pada penjumlahan.

Bilangan bulat, diperoleh dengan penyatuan bilangan asli dengan himpunan bilangan negatif dan nol, dilambangkan dengan . Bilangan bulat tertutup di bawah penambahan, pengurangan, dan perkalian (tetapi bukan pembagian).

Angka rasional adalah bilangan yang direpresentasikan sebagai m/n (n≠0), di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Untuk bilangan rasional, keempat operasi aritmatika "klasik" didefinisikan: penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol). Tanda digunakan untuk menyatakan bilangan rasional.

Bilangan nyata (nyata) merupakan perpanjangan dari himpunan bilangan rasional, tertutup di bawah beberapa (penting untuk analisis matematis) operasi melewati batas. Himpunan bilangan real dilambangkan dengan . Itu dapat dilihat sebagai penyelesaian bidang bilangan rasional dengan bantuan norma, yang biasa nilai mutlak. Selain bilangan rasional, ini termasuk himpunan bilangan irasional yang tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat. Selain pembagian menjadi rasional dan irasional, mereka juga dibagi menjadi aljabar dan transendental. Selain itu, setiap bilangan transendental adalah irasional, setiap bilangan rasional adalah aljabar.

Bilangan kompleks, yang merupakan perpanjangan dari himpunan bilangan real. Mereka dapat ditulis dalam bentuk z = x + iy, di mana saya- disebut. satuan imajiner yang saya 2 = 1. Bilangan kompleks digunakan dalam pemecahan masalah mekanika kuantum, hidrodinamika, teori elastisitas, dll.

Untuk kumpulan angka yang terdaftar, ekspresi berikut ini benar:

Bilangan asli yang hanya memiliki diri sendiri dan satu sebagai faktor. Baris bilangan prima memiliki bentuk: Setiap bilangan asli N dapat direpresentasikan sebagai produk dari pangkat bilangan prima: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Properti ini banyak digunakan dalam kriptografi praktis.

Bilangan - jenis, konsep dan operasi, alami dan jenis bilangan lainnya.

Nomor - konsep dasar matematika, yang berfungsi untuk menentukan sifat kuantitatif, penomoran, perbandingan benda dan bagian-bagiannya. Berbagai operasi aritmatika berlaku untuk angka: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial, dan lainnya.

Angka-angka yang terlibat dalam operasi disebut operan. Tergantung pada tindakan yang dilakukan, mereka menerima nama yang berbeda. PADA kasus umum Skema operasi dapat direpresentasikan sebagai berikut:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Dalam operasi pembagian, operan pertama disebut dividen (ini adalah nama dari bilangan yang akan dibagi). Yang kedua (yang digunakan untuk membagi) adalah pembagi, dan hasilnya adalah hasil bagi (ini menunjukkan berapa kali yang dapat dibagi lebih besar dari pembagi).

Jenis angka

Operasi pembagian mungkin melibatkan: berbagai nomor. Hasil pembagian dapat berupa bilangan bulat atau pecahan. Dalam matematika ada jenis berikut nomor:

• Bilangan asli digunakan dalam penghitungan. Di antara mereka, subset bilangan prima menonjol, hanya memiliki dua pembagi: satu dan dirinya sendiri. Semua yang lain, kecuali 1, disebut komposit dan memiliki lebih dari dua pembagi (contoh bilangan prima: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dll.);
• Integer - himpunan yang terdiri dari bilangan negatif, positif, dan nol. Saat membagi satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya, hasil bagi dapat berupa bilangan bulat atau nyata (pecahan). Di antara mereka, subset bilangan sempurna dapat dibedakan - sama dengan jumlah semua pembaginya (termasuk 1) kecuali dirinya sendiri. Orang Yunani kuno hanya tahu empat angka sempurna. Urutan bilangan sempurna: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Sampai saat ini, tidak ada satu pun bilangan sempurna ganjil yang diketahui;
• Rasional - dapat direpresentasikan sebagai pecahan a / b, di mana a adalah pembilangnya dan b adalah penyebutnya (hasil bagi dari angka-angka tersebut biasanya tidak dihitung);
• Nyata (nyata) - berisi bilangan bulat dan bagian pecahan. Himpunan termasuk rasional dan ir angka rasional(diwakili sebagai pecahan desimal tak terbatas non-periodik). Hasil bagi dari angka-angka seperti itu, sebagai suatu peraturan, adalah nilai nyata.

Ada beberapa fitur yang terkait dengan implementasi operasi aritmatika- divisi. Memahami mereka penting untuk mendapatkan hasil yang tepat:

• Anda tidak dapat membagi dengan nol (dalam matematika, operasi ini tidak masuk akal);
• Pembagian bilangan bulat adalah operasi yang hanya menghitung seluruh bagian(fraksional dibuang);
• Perhitungan sisa pembagian bilangan bulat memungkinkan Anda untuk mendapatkan hasil bilangan bulat yang tersisa setelah operasi selesai (misalnya, ketika membagi 17 dengan 2, bagian bilangan bulat adalah 8, sisanya adalah 1).

Untuk lebih memahami sifat sakral dari angka, akan berguna untuk melepaskan diri sejenak dari pendekatan esoteris murni dan melihat bagaimana kombinasinya dengan ide-ide. ilmu pengetahuan konvensional tentang bentuk bilangan. kamus ensiklopedis menulis tentang bilangan berikut: "Bilangan, salah satu konsep dasar matematika; berasal dari zaman kuno dan secara bertahap diperluas dan digeneralisasi. Sehubungan dengan akun item individu konsep bilangan bulat positif (alami) muncul, dan kemudian gagasan tak terhingga dari deret bilangan alami: 1, 2, 3, 4 ... Tugas mengukur panjang, luas, serta menyoroti pembagian jumlah yang disebutkan mengarah pada konsep bilangan rasional (pecahan). Konsep angka negatif muncul di antara orang India pada abad VI-XI. perlu di ekspresi yang tepat hubungan kuantitas (misalnya, rasio diagonal persegi dengan sisinya) menyebabkan pengenalan bilangan irasional, yang diekspresikan melalui bilangan rasional hanya kira-kira; rasional dan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan real. Teori bilangan real menerima perkembangan terakhirnya hanya pada paruh kedua abad ke-19 sehubungan dengan kebutuhan analisis matematis. Sehubungan dengan penyelesaian kuadrat dan persamaan kubik diperkenalkan pada abad ke-16 bilangan kompleks Matematika membagi bilangan menjadi beberapa kelompok atau varietas, yang masing-masing dapat dianggap dari yang biasa, atau mungkin dari sudut pandang metafisik.

Hubungan bilangan

Bilangan real, yang merupakan gabungan dari himpunan rasional dan himpunan bilangan irasional. Setiap bilangan real pada prinsipnya dapat digambarkan pada garis koordinat sedemikian rupa sehingga setiap bilangan real dan setiap titik pada garis ini saling bersesuaian. Bilangan real dapat berupa bilangan positif atau negatif, atau nol. Dari sudut pandang metafisik kelompok ini angka sesuai dengan bidang materi material makhluk dan merupakan tanda kuantitas. Dengan bantuan bilangan real, pengukuran semua kuantitas fisik dinyatakan.Bilangan rasional, yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak terbatas. Mereka dalam bentuk m/n, di mana m dan n adalah bilangan bulat dan u tidak sama dengan 0. Masing-masing tak hingga desimal adalah bilangan rasional. Jumlah, selisih, produk, dan hasil bagi bilangan rasional juga dianggap rasional. Bilangan rasional meliputi bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan positif, bilangan negatif, dan bahkan nol. Dari sudut pandang metafisik, bilangan rasional mengacu pada kuantitas yang dapat diukur dengan pasti dan presisi.

Jenis angka

Bilangan irasional mengacu pada kelompok bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal tak terbatas pecahan non-periodik. Mereka tidak dapat dinyatakan secara tepat sebagai m/n, di mana m dan n adalah bilangan bulat. Contoh bilangan irasional tersebut adalah akar kuadrat dari 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... Dari sudut pandang metafisik, bilangan irasional termasuk dalam bidang fenomena yang sulit dipahami itu dunia halus yang tidak dapat diukur dengan akurasi mutlak. Tampilan yang Sah bilangan dianggap sejenis bilangan kompleks, yang mencakup bilangan berbentuk x + iy, di mana x dan y adalah bilangan real, dan i adalah apa yang disebut satuan imajiner (bilangan yang kuadratnya -1); x disebut bagian real dan y disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang tidak nyata (untuk<>0), kadang-kadang disebut bilangan imajiner, karena x=0 bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni. Dengan kata lain, bilangan imajiner adalah bilangan kompleks yang bagian realnya sama dengan nol dan dilambangkan dengan z=bi. Dari sudut pandang metafisik, bilangan kompleks adalah jumlah yang membawa rencana suci. Bilangan juga dibagi menjadi bilangan positif, yang mencakup bilangan real yang lebih besar dari nol dan angka negatif, berlawanan dengan yang positif, kurang dari nol. Dari sudut pandang metafisik, semuanya bilangan positif mengacu pada dunia fisik, dan yang negatif - ke alam makhluk halus, yaitu, ke area mental astral.

Namun, di atas itu hanya tentang eksternal, tanpa kesucian, sifat angka murni kuantitatif. Namun, ada juga aspek suci internal murni dari angka, yang tidak diketahui matematika modern dan menentukan sifat manifestasi angka. X berbicara baik tentang ini.

"Angka dalam simbolisme bukan hanya ekspresi kuantitas, tetapi ide - kekuatan, masing-masing dengan karakter khusus sendiri. Angka dalam pemahaman modern hanya cangkang luar. Semua angka berasal dari satu (yang setara dengan titik mistis, tidak terungkap dan tidak berdimensi). Lebih jauh lagi, bilangan yang muncul dari kesatuan terbenam semakin dalam ke dalam materi, ke dalam proses yang semakin kompleks, ke dalam "dunia". Sepuluh digit pertama dalam sistem Yunani (atau dua belas dalam tradisi timur) terkait dengan roh: mereka, pada dasarnya, arketipe dan simbol. Sisanya adalah produk dari kombinasi angka-angka dasar ini. Orang Yunani kuno sangat tertarik dengan simbolisme angka. Misalnya, Pythagoras mencatat bahwa "semuanya diatur menurut angka." Plato menganggap angka sebagai esensi harmoni, dan harmoni sebagai dasar dari kosmos dan manusia, dengan alasan bahwa ritme harmoni adalah "dari jenis yang sama dengan osilasi periodik jiwa kita." Filosofi angka dikembangkan lebih lanjut oleh orang-orang Yahudi, Gnostik, dan Kabbalis, termasuk juga para alkemis. Konsep universal dasar yang sama ditemukan di pemikiran timur- misalnya, di Lao Tzu: "Satu melahirkan dua, dua melahirkan tiga, dan satu berasal dari tiga" - kesatuan baru atau pesanan baru- seperti empat. Logika simbolik modern dan teori grup kembali ke ide pengukuran kuantitatif sebagai dasar kualitas. Pire percaya bahwa hukum alam dan roh manusia didasarkan pada prinsip-prinsip umum dan dapat ditempatkan di sepanjang garis yang sama".

Jenis angka. bilangan asli juga dibagi menjadi bilangan aljabar dan non-aljabar. Bilangan aljabar adalah bilangan yang memenuhi persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat. Angka-angka ini termasuk angka: akar dari 2; akar Z; Bilangan non-aljabar atau transendental adalah bilangan yang tidak memenuhi persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Bilangan transendental termasuk dalam kelompok bilangan irasional, meskipun tidak selalu bilangan irasional bersifat transendental. Suatu bilangan a^b dikatakan transendental jika bilangan a dan b adalah bilangan aljabar, tapi diwaktu yang sama<>0; sebuah<>1 dan di - bilangan irasional. Bilangan transendental adalah sinus dari banyak kuantitas rasional, serta logaritma desimal bilangan bulat yang tidak diwakili oleh satu diikuti oleh nol. Paling contoh terkenal Bilangan transendental adalah s (yang nilai perkiraannya adalah 2,718281) dan PI (yang nilai perkiraannya adalah 3,1415296...)

P. D. Uspensky membagi matematika sebagai ilmu bilangan menjadi dua jenis:

a) matematika hingga dan konstanta, yang merupakan disiplin buatan yang dibuat untuk memecahkan tugas tertentu pada data bersyarat;

b) matematika tak hingga dan variabel, yang merupakan pengetahuan yang lebih akurat tentang dunia nyata. Contoh matematika tipe kedua yang melanggar aksioma buatan matematika tipe pertama adalah apa yang disebut "bilangan transfinit" yang terletak di luar tak terhingga.