Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Kami mengungkapkan. Dari persamaan apa pun, kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti persamaan lain alih-alih variabel yang dinyatakan, nilai yang dihasilkan.
3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Menyelesaikan sistem dengan penambahan suku demi suku (pengurangan) membutuhkan:
1. Pilih variabel yang koefisiennya sama.
2. Kami menambah atau mengurangi persamaan, sehingga kami mendapatkan persamaan dengan satu variabel.
3. Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh 1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

Memecahkan sistem persamaan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Dapat dilihat bahwa pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka ternyata variabel x paling mudah diekspresikan dari persamaan kedua.
x=3+10y

2. Setelah dinyatakan, kita substitusikan 3 + 10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10th)+5th=1

3. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (kurung terbuka)
6+20th+5y=1
25th=1-6
25th=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah titik potong dari grafik tersebut, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potong tersebut terdiri dari x dan y. Mari kita cari x, pada paragraf pertama di mana kita menyatakan kita mensubstitusi y di sana.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Merupakan kebiasaan untuk menulis poin di tempat pertama, kami menulis variabel x, dan di tempat kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan suku demi suku (pengurangan).

Memecahkan sistem persamaan dengan metode penjumlahan

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih sebuah variabel, misalkan kita memilih x. Dalam persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, dalam persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita memiliki hak untuk mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kami mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dari persamaan pertama, kurangi persamaan kedua untuk menghilangkan variabel x. Kita selesaikan persamaan liniernya.
__6x-4y=2

5th=32 | :5
y=6.4

3. Temukan x. Kami mengganti y yang ditemukan di salah satu persamaan, katakanlah dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; y=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru online Bebas. Tidak bercanda.

Metode penjumlahan aljabar

Anda dapat memecahkan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui dengan berbagai cara - metode grafis atau metode perubahan variabel.

Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan cara lain untuk menyelesaikan sistem yang pasti akan Anda sukai - ini adalah metode penjumlahan aljabar.

Dan dari mana ide itu berasal - untuk memasukkan sesuatu ke dalam sistem? Saat memecahkan sistem, masalah utamanya adalah adanya dua variabel, karena kita tidak dapat menyelesaikan persamaan dengan dua variabel. Jadi, perlu untuk mengecualikan salah satunya dalam beberapa cara hukum. Dan cara yang sah seperti itu adalah aturan dan sifat matematika.

Salah satu sifat ini terdengar seperti ini: jumlah bilangan yang berlawanan adalah nol. Ini berarti bahwa jika ada koefisien yang berlawanan untuk salah satu variabel, maka jumlah mereka akan sama dengan nol dan kita dapat mengeluarkan variabel ini dari persamaan. Jelas bahwa kita tidak memiliki hak untuk hanya menambahkan suku dengan variabel yang kita butuhkan. Perlu untuk menambahkan persamaan secara keseluruhan, mis. tambahkan secara terpisah suku-suku sejenis di ruas kiri, lalu di sebelah kanan. Akibatnya, kita akan mendapatkan persamaan baru yang hanya berisi satu variabel. Mari kita lihat contoh spesifik.

Kita lihat bahwa pada persamaan pertama terdapat variabel y, dan pada persamaan kedua bilangan yang berlawanan adalah y. Jadi persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode penjumlahan.

Salah satu persamaan dibiarkan apa adanya. Salah satu yang paling Anda sukai.

Tetapi persamaan kedua akan diperoleh dengan menjumlahkan kedua persamaan ini suku demi suku. Itu. Tambahkan 3x ke 2x, tambahkan y ke -y, tambahkan 8 ke 7.

Kami mendapatkan sistem persamaan

Persamaan kedua dari sistem ini adalah persamaan sederhana dengan satu variabel. Darinya kami menemukan x \u003d 3. Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama, kami menemukan y \u003d -1.

Jawaban: (3; - 1).

Contoh desain:

Memecahkan sistem persamaan dengan penambahan aljabar

Tidak ada variabel dengan koefisien yang berlawanan dalam sistem ini. Tetapi kita tahu bahwa kedua ruas persamaan dapat dikalikan dengan angka yang sama. Mari kita kalikan persamaan pertama sistem dengan 2.

Maka persamaan pertama akan berbentuk:

Sekarang kita melihat bahwa dengan variabel x ada koefisien yang berlawanan. Jadi, kita akan melakukan hal yang sama seperti pada contoh pertama: kita akan membiarkan salah satu persamaan tidak berubah. Misalnya, 2y + 2x \u003d 10. Dan kami mendapatkan yang kedua dengan menambahkan.

Sekarang kita memiliki sistem persamaan:

Kami dengan mudah menemukan dari persamaan kedua y = 1, dan kemudian dari persamaan pertama x = 4.

Contoh desain:

Mari kita rangkum:

Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menggunakan metode penjumlahan aljabar. Jadi, sekarang kita mengetahui tiga metode utama untuk menyelesaikan sistem tersebut: metode grafis, metode perubahan variabel, dan metode penambahan. Hampir semua sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini. Dalam kasus yang lebih kompleks, kombinasi dari teknik ini digunakan.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 1, Buku teks untuk lembaga pendidikan / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-10, direvisi - Moskow, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Aljabar kelas 7 dalam 2 bagian, Bagian 2, Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lainnya]; diedit oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, direvisi - Moskow, Mnemosyne, 2007.
3. DIA. Tulchinskaya, Aljabar Kelas 7. Survei kilat: panduan untuk siswa lembaga pendidikan, edisi ke-4, direvisi dan ditambah, Moskow, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Aljabar Kelas 7. Makalah tes tematik dalam bentuk baru untuk siswa lembaga pendidikan, diedit oleh A.G. Mordkovich, Moskow, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexanderva L.A. Aljabar kelas 7. Karya independen untuk siswa lembaga pendidikan, diedit oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-6, stereotip, Moskow, "Mnemosyne", 2010.

Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematika dari berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai-nilai seperti itu (x, y) di mana sistem menjadi kesetaraan sejati, atau untuk menetapkan bahwa tidak ada nilai x dan y yang cocok.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritme solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Solusi dari contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah pendidikan umum cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk memperoleh satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Solusi dari contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan termwise dan perkalian persamaan dengan berbagai bilangan dilakukan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Dapat dilihat dari contoh bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Penting untuk mencari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafik memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, Anda perlu mencari solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Matriks adalah jenis tabel khusus yang diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonal dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 adalah matriks invers dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan notasi yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan jumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

Dalam matematika yang lebih tinggi, metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi untuk sistem disebut metode penyelesaian Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, mengatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami oleh siswa sekolah menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk mengembangkan kecerdasan anak-anak yang belajar di program studi lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu oleh penghitungan banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.

Sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua atau lebih persamaan linier yang harus dicari semua solusi umumnya. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Gambaran umum sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa bilangan real. Penyelesaian sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah pasangan bilangan (x, y) sedemikian rupa sehingga jika bilangan-bilangan ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem menjadi persamaan sejati. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Perhatikan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu metode penjumlahan.

Algoritma untuk menyelesaikan dengan metode penjumlahan

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua metode penjumlahan yang tidak diketahui.

1. Jika diperlukan, melalui transformasi ekuivalen, samakan koefisien untuk salah satu variabel yang tidak diketahui dalam kedua persamaan.

2. Penjumlahan atau pengurangan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu yang tidak diketahui dan temukan salah satu variabelnya.

4. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke salah satu dari dua persamaan sistem dan selesaikan persamaan ini, sehingga diperoleh variabel kedua.

5. Periksa solusinya.

Contoh penyelesaian dengan metode penjumlahan

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami memecahkan sistem persamaan linier berikut dengan dua yang tidak diketahui dengan metode penambahan:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Karena tidak ada variabel yang memiliki koefisien yang sama, kami menyamakan koefisien variabel y. Untuk melakukannya, kalikan persamaan pertama dengan tiga, dan persamaan kedua dengan dua.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Mendapatkan sistem persamaan berikut:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sekarang kurangi yang pertama dari persamaan kedua. Kami menyajikan suku-suku serupa dan menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama dari sistem asli kami dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Hasilnya adalah pasangan bilangan x=6 dan y=14. Kami sedang memeriksa. Kami melakukan substitusi.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan dua persamaan sejati, oleh karena itu, kami menemukan solusi yang tepat.

Sangat sering, siswa merasa sulit untuk memilih metode untuk memecahkan sistem persamaan.

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem - metode substitusi.

Jika solusi umum dari dua persamaan ditemukan, maka persamaan ini dikatakan membentuk sistem. Dalam sistem persamaan, setiap yang tidak diketahui mewakili angka yang sama di semua persamaan. Untuk menunjukkan bahwa persamaan-persamaan ini membentuk suatu sistem, biasanya ditulis satu di bawah yang lain dan digabungkan dengan kurung kurawal, misalnya

Perhatikan bahwa untuk x = 15 dan y = 5 kedua persamaan sistem tersebut benar. Pasangan bilangan ini adalah solusi dari sistem persamaan. Setiap pasangan nilai yang tidak diketahui yang secara bersamaan memenuhi kedua persamaan sistem disebut solusi sistem.

Sebuah sistem dapat memiliki satu solusi (seperti dalam contoh kita), banyak solusi, dan tidak ada solusi.

Bagaimana menyelesaikan sistem menggunakan metode substitusi? Jika koefisien untuk beberapa yang tidak diketahui di kedua persamaan sama dalam nilai absolut (jika tidak sama, maka kami menyamakan), maka dengan menambahkan kedua persamaan (atau mengurangkan satu dari yang lain), Anda bisa mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Kemudian kita selesaikan persamaan ini. Kami mendefinisikan satu yang tidak diketahui. Kami mengganti nilai yang diperoleh dari yang tidak diketahui ke dalam salah satu persamaan sistem (dalam yang pertama atau yang kedua). Kami menemukan hal lain yang tidak diketahui. Mari kita lihat contoh penerapan metode ini.

Contoh 1 Memecahkan Sistem Persamaan

Di sini koefisien di y sama dalam nilai absolut, tetapi berlawanan tanda. Mari kita coba istilah demi istilah untuk menjumlahkan persamaan sistem.

Nilai yang dihasilkan x \u003d 4, kami mengganti ke dalam beberapa persamaan sistem (misalnya, ke yang pertama) dan menemukan nilai y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Sistem kami memiliki solusi x = 4, y = 3. Atau jawabannya dapat ditulis dalam tanda kurung, sebagai koordinat titik, di tempat pertama x, di y kedua.

Jawaban: (4; 3)

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan

Kami menyamakan koefisien untuk variabel x, untuk ini kami mengalikan persamaan pertama dengan 3, dan yang kedua dengan (-2), kami mendapatkan

Hati-hati Saat Menambahkan Persamaan

Kemudian y \u003d - 2. Kami mengganti angka (-2) alih-alih y dalam persamaan pertama, kami mendapatkan

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Kami memecahkan persamaan ini 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d .

Jawaban: (1/2; - 2)

Contoh 3 Memecahkan Sistem Persamaan

Kalikan persamaan pertama dengan (-2)

Memecahkan sistem

kita dapatkan 0 = - 13.

Tidak ada sistem solusi, karena 0 tidak sama dengan (-13).

Jawaban: Tidak ada solusi.

Contoh 4 Memecahkan Sistem Persamaan

Perhatikan bahwa semua koefisien persamaan kedua habis dibagi 3,

mari kita bagi persamaan kedua dengan tiga dan kita mendapatkan sistem yang terdiri dari dua persamaan yang identik.

Sistem ini memiliki banyak solusi tak terhingga, karena persamaan pertama dan kedua adalah sama (kami hanya mendapatkan satu persamaan dengan dua variabel). Bagaimana cara menyajikan solusi dari sistem ini? Mari kita nyatakan variabel y dari persamaan x + y = 5. Kita peroleh y = 5 - x.

Kemudian menjawab akan ditulis seperti ini: (x; 5-x), x adalah bilangan apa saja.

Kami mempertimbangkan solusi sistem persamaan dengan metode penambahan. Jika Anda memiliki pertanyaan atau sesuatu yang tidak jelas, daftarlah untuk mengikuti pelajaran dan kami akan memperbaiki semua masalah dengan Anda.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.