Dalam artikel tentang vektor n -dimensi, kami sampai pada konsep ruang linier yang dihasilkan oleh himpunan vektor n -dimensi. Sekarang kita harus mempertimbangkan konsep yang tidak kalah pentingnya, seperti dimensi dan basis ruang vektor. Mereka terkait langsung dengan konsep sistem vektor yang bebas linier, jadi disarankan juga untuk mengingatkan diri Anda sendiri tentang dasar-dasar topik ini.

Mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Definisi 1

Dimensi ruang vektor adalah angka yang sesuai dengan jumlah maksimum vektor bebas linier di ruang ini.

Definisi 2

basis ruang vektor- sekumpulan vektor bebas linier, tersusun dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang.

Pertimbangkan ruang n -vektor tertentu. Dimensinya masing-masing sama dengan n . Mari kita ambil sistem n-unit vektor:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Mari kita gunakan vektor-vektor ini sebagai komponen matriks A: ini akan menjadi satuan dengan dimensi n kali n . Pangkat dari matriks ini adalah n . Oleh karena itu, sistem vektor e (1) , e (2) , . . . , e (n) bebas linier. Dalam hal ini, tidak mungkin menambahkan satu vektor ke sistem tanpa melanggar independensi liniernya.

Karena jumlah vektor dalam sistem sama dengan n, maka dimensi ruang vektor berdimensi n sama dengan n, dan vektor satuan e (1) , e (2) , . . . , e (n) adalah dasar dari ruang yang ditentukan.

Dari definisi yang diperoleh, kami menyimpulkan: sistem vektor n-dimensi apa pun, yang jumlah vektornya kurang dari n, bukanlah basis ruang.

Jika kita menukar vektor pertama dan kedua, kita mendapatkan sistem vektor e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Ini juga akan menjadi dasar dari ruang vektor n-dimensi. Mari kita menyusun sebuah matriks, mengambil vektor dari sistem yang dihasilkan sebagai barisnya. Matriks dapat diperoleh dari matriks identitas dengan menukar dua baris pertama, peringkatnya akan sama dengan n . Sistem e (2) , e (1) , . . . , e (n) bebas linier dan merupakan basis dari ruang vektor n-dimensi.

Menata ulang vektor lain dalam sistem asli, kita mendapatkan satu basis lagi.

Kita dapat mengambil sistem vektor non-satuan yang bebas linier, dan ini juga akan mewakili basis ruang vektor n-dimensi.

Definisi 3

Sebuah ruang vektor dengan dimensi n memiliki basis sebanyak jumlah sistem bebas linear dari vektor n-dimensi dengan bilangan n.

Pesawat adalah ruang dua dimensi - dasarnya adalah dua vektor non-kolinier. Tiga vektor non-koplanar apa pun akan berfungsi sebagai dasar ruang tiga dimensi.

Pertimbangkan penerapan teori ini pada contoh-contoh spesifik.

Contoh 1

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Penting untuk menentukan apakah vektor yang ditunjukkan merupakan dasar dari ruang vektor tiga dimensi.

Larutan

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami mempelajari sistem vektor yang diberikan untuk ketergantungan linier. Mari kita buat matriks, di mana barisnya adalah koordinat vektornya. Mari kita tentukan peringkat matriks.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Akibatnya, vektor-vektor yang diberikan oleh kondisi soal adalah bebas linier, dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - vektor-vektor tersebut adalah dasar dari ruang vektor.

Menjawab: vektor ini adalah dasar dari ruang vektor.

Contoh 2

Data awal: vektor

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Penting untuk menentukan apakah sistem vektor yang ditunjukkan dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Larutan

Sistem vektor yang ditentukan dalam kondisi masalah bergantung secara linier, karena jumlah maksimum vektor bebas linier adalah 3. Dengan demikian, sistem vektor ini tidak dapat berfungsi sebagai basis untuk ruang vektor tiga dimensi. Tetapi perlu dicatat bahwa subsistem dari sistem asli a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) adalah basis.

Menjawab: sistem vektor yang ditunjukkan bukan basis.

Contoh 3

Data awal: vektor

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Bisakah mereka menjadi dasar ruang empat dimensi?

Larutan

Susun matriks menggunakan koordinat vektor yang diberikan sebagai baris

J = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Dengan menggunakan metode Gauss, kami menentukan peringkat matriks:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Oleh karena itu, sistem vektor yang diberikan adalah bebas linier dan jumlahnya sama dengan dimensi ruang vektor - mereka adalah dasar dari ruang vektor empat dimensi.

Menjawab: vektor yang diberikan adalah dasar dari ruang empat dimensi.

Contoh 4

Data awal: vektor

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Apakah mereka membentuk dasar ruang 4 dimensi?

Larutan

Sistem asli vektor bebas linier, tetapi jumlah vektor di dalamnya tidak cukup untuk menjadi basis ruang empat dimensi.

Menjawab: tidak, mereka tidak.

Dekomposisi vektor dalam bentuk basis

Kami menerima bahwa sembarang vektor e (1) , e (2) , . . . , e (n) adalah basis vektor ruang berdimensi n. Mari tambahkan beberapa vektor n-dimensi x → ke dalamnya: sistem vektor yang dihasilkan akan menjadi bergantung secara linier. Sifat-sifat ketergantungan linier menyatakan bahwa setidaknya salah satu vektor dari sistem semacam itu dapat dinyatakan secara linier dalam kaitannya dengan yang lain. Merumuskan kembali pernyataan ini, kita dapat mengatakan bahwa setidaknya salah satu vektor dari sistem yang bergantung secara linier dapat diperluas dalam bentuk vektor lainnya.

Jadi, kita sampai pada perumusan teorema yang paling penting:

Definisi 4

Setiap vektor dari ruang vektor n-dimensi secara unik terdekomposisi dalam bentuk basis.

Bukti 1

Mari kita buktikan teorema ini:

atur dasar ruang vektor n-dimensi - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Mari kita buat sistem bergantung secara linier dengan menambahkan vektor n-dimensi x → ke dalamnya. Vektor ini dapat dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor asli e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , di mana x 1 , x 2 , . . . , x n - beberapa angka.

Kami sekarang membuktikan bahwa dekomposisi seperti itu unik. Misalkan bukan ini masalahnya dan ada perluasan serupa lainnya:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , di mana x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - beberapa angka.

Kurangi dari bagian kiri dan kanan persamaan ini, masing-masing, bagian kiri dan kanan persamaan x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + xn e (n) . Kita mendapatkan:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem vektor basis e (1) , e (2) , . . . , e (n) bebas linier; Menurut definisi independensi linier dari sistem vektor, persamaan di atas hanya mungkin jika semua koefisien adalah (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) akan sama dengan nol. Dari mana akan adil: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Dan ini membuktikan satu-satunya cara untuk memperluas vektor dalam bentuk basis.

Dalam hal ini, koefisien x 1 , x 2 , . . . , x n disebut koordinat vektor x → dalam basis e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teori yang telah terbukti memperjelas ungkapan "vektor n-dimensi x = (x 1 , x 2 , . . , x n) diberikan": vektor x → ruang vektor n-dimensi dipertimbangkan, dan koordinatnya diberikan dalam beberapa dasar. Juga jelas bahwa vektor yang sama dalam basis ruang n-dimensi yang berbeda akan memiliki koordinat yang berbeda.

Pertimbangkan contoh berikut: anggaplah bahwa dalam suatu basis ruang vektor n-dimensi, diberikan suatu sistem dengan n vektor bebas linier

dan juga vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) diberikan.

Vektor e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) dalam hal ini juga merupakan basis dari ruang vektor ini.

Misalkan perlu untuk menentukan koordinat vektor x → dalam basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , dilambangkan sebagai x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vektor x → akan direpresentasikan sebagai berikut:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Kami menulis ungkapan ini dalam bentuk koordinat:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

Kesetaraan yang dihasilkan setara dengan sistem n ekspresi aljabar linier dengan n variabel linier yang tidak diketahui x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matriks sistem ini akan terlihat seperti ini:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Biarkan ini menjadi matriks A , dan kolomnya menjadi vektor dari sistem vektor bebas linier e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Pangkat dari matriks tersebut adalah n dan determinannya bukan nol. Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan memiliki solusi unik yang dapat ditentukan dengan cara apa pun yang nyaman: misalnya, dengan metode Cramer atau dengan metode matriks. Dengan cara ini kita dapat menentukan koordinat x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n dari vektor x → dalam basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Mari terapkan teori yang dipertimbangkan pada contoh konkret.

Contoh 6

Data awal: vektor diberikan dalam dasar ruang tiga dimensi

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Perlu untuk mengkonfirmasi fakta bahwa sistem vektor e (1) , e (2) , e (3) juga berfungsi sebagai basis ruang yang diberikan, serta menentukan koordinat vektor x pada basis yang diberikan .

Larutan

Sistem vektor e (1) , e (2) , e (3) akan menjadi basis ruang tiga dimensi jika ia bebas linier. Mari kita cari tahu kemungkinan ini dengan menentukan rank matriks A , yang baris-barisnya adalah vektor-vektor yang diberikan e (1) , e (2) , e (3) .

Kami menggunakan metode Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Jadi, sistem vektor e (1) , e (2) , e (3) bebas linier dan merupakan basis.

Misalkan vektor x → di basis memiliki koordinat x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Hubungan koordinat ini ditentukan oleh persamaan:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Mari terapkan nilai sesuai dengan kondisi soal:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Kami memecahkan sistem persamaan dengan metode Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Jadi, vektor x → pada basis e (1) , e (2) , e (3) memiliki koordinat x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Menjawab: x = (1 , 1 , 1)

Koneksi antar pangkalan

Misalkan dalam suatu basis ruang vektor n-dimensi, diberikan dua sistem vektor yang bebas linier:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , en n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , en (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Sistem ini juga merupakan dasar dari ruang yang diberikan.

Misalkan c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinat vektor c (1) di basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) , maka hubungan koordinat akan diberikan oleh sistem persamaan linier:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Dalam bentuk matriks, sistem dapat ditampilkan sebagai berikut:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en n (n)

Mari kita buat notasi yang sama untuk vektor c (2) dengan analogi:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en n (n)

Persamaan matriks digabungkan menjadi satu ekspresi:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ini akan menentukan hubungan vektor dari dua basis yang berbeda.

Dengan menggunakan prinsip yang sama, dimungkinkan untuk menyatakan semua vektor basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) melalui basis c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Kami memberikan definisi berikut:

Definisi 5

Matriks c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) adalah matriks transisi dari basis e (1) , e (2) , . . . , e(3)

ke basis c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definisi 6

Matriks e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) adalah matriks transisi dari basis c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

ke basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Dari persamaan tersebut, jelas bahwa

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

itu. matriks transisi saling invers.

Mari kita pertimbangkan teori pada contoh konkret.

Contoh 7

Data awal: perlu untuk menemukan matriks transisi dari basis

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Anda juga perlu menentukan hubungan koordinat vektor arbitrer x → dalam basis yang diberikan.

Larutan

1. Misalkan T adalah matriks transisi, maka persamaannya akan benar:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan dapatkan:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Tentukan matriks transisi:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Tentukan hubungan koordinat vektor x → :

misalkan dalam basis c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → memiliki koordinat x 1 , x 2 , x 3 , maka:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

dan dalam basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) memiliki koordinat x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , maka:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Karena bagian kiri dari persamaan ini sama, kita dapat menyamakan bagian kanan juga:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Kalikan kedua ruas di sebelah kanan dengan

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

dan dapatkan:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Di sisi lain

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Persamaan terakhir menunjukkan hubungan koordinat vektor x → di kedua basis.

Menjawab: matriks transisi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinat vektor x → dalam basis yang diberikan dihubungkan oleh relasi:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Temukan basis sistem vektor dan vektor yang tidak termasuk dalam basis, perluas basis:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Larutan. Pertimbangkan sistem persamaan linier yang homogen

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

atau diperluas.

Kami akan menyelesaikan sistem ini menggunakan metode Gaussian, tanpa menukar baris dan kolom, dan, sebagai tambahan, memilih elemen utama bukan di sudut kiri atas, tetapi di seluruh baris. Tugasnya adalah untuk pilih bagian diagonal dari sistem vektor yang diubah.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistem vektor yang diizinkan, yang setara dengan aslinya, memiliki bentuk

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Di mana A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektor A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 membentuk sistem diagonal. Oleh karena itu vektor A 1 , A 3 , A 4 membentuk dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Kami sekarang memperluas vektor A 2 Dan A 5 di dasar A 1 , A 3 , A 4 . Untuk melakukan ini, pertama-tama kita perluas vektor yang sesuai A 2 1 Dan A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 , mengingat koefisien muai vektor pada sistem diagonal adalah koordinatnya x saya.

Dari (1) kita memiliki:

A 2 1 = A 3 1 (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 1 A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1+ A 1 1 2 A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektor A 2 Dan A 5 memperluas basis A 1 , A 3 , A 4 dengan koefisien yang sama dengan vektor A 2 1 Dan A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (koefisien tersebut x saya). Karena itu,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Tugas. 1.Cari basis sistem vektor dan vektor yang tidak termasuk dalam basis, kembangkan menurut basis:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Temukan semua basis sistem vektor:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.

Kuliah Aljabar dan Geometri. Semester 1.

Kuliah 9. Dasar ruang vektor.

Rangkuman: sistem vektor, kombinasi linier sistem vektor, koefisien kombinasi linier sistem vektor, basis garis, bidang dan ruang, dimensi ruang vektor garis, bidang dan ruang, dekomposisi vektor dalam basis, koordinat vektor terhadap basis, teorema persamaan dua vektor, operasi linear dengan vektor dalam notasi koordinat, tripel vektor ortonormal, tripel kanan dan kiri vektor, basis ortonormal, teorema fundamental aljabar vektor.

Bab 9

barang 1. Dasar di garis, di pesawat dan di ruang angkasa.

Definisi. Himpunan vektor yang berhingga disebut sistem vektor.

Definisi. Ekspresi dimana
disebut kombinasi linier dari sistem vektor
, dan angka
disebut koefisien kombinasi linier ini.

Misalkan L, Р dan S berturut-turut adalah garis, bidang, dan ruang titik, dan
. Kemudian
adalah ruang vektor dari vektor sebagai segmen berarah pada garis L, pada bidang P, dan pada ruang S, berturut-turut.

setiap vektor bukan nol disebut
, yaitu sembarang vektor tidak nol yang sejajar dengan garis lurus L:
Dan
.

Notasi dasar
:
- dasar
.

Definisi. Dasar ruang vektor
adalah sembarang pasangan terurut dari vektor nonkolinier dalam ruang
.

, Di mana
,
- dasar
.

Definisi. Dasar ruang vektor
adalah sembarang tripel terurut dari vektor non-koplanar (yaitu, tidak terletak pada bidang yang sama) dari ruang
.

- dasar
.

Komentar. Basis ruang vektor tidak boleh mengandung vektor nol: di dalam ruang
menurut definisi, di ruang angkasa
dua vektor akan kolinear jika setidaknya salah satunya adalah nol, di ruang angkasa
tiga vektor akan koplanar, yaitu mereka akan terletak pada bidang yang sama jika setidaknya satu dari tiga vektor adalah nol.

butir 2. Dekomposisi vektor dalam bentuk basis.

Definisi. Membiarkan adalah vektor arbitrer,
adalah sistem sembarang vektor. Jika persamaan

kemudian mereka mengatakan bahwa vektor direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari sistem vektor tertentu. Jika diberikan sistem vektor
adalah basis dari ruang vektor, maka persamaan (1) disebut dekomposisi vektor dasar
. Koefisien kombinasi linier
disebut dalam hal ini koordinat vektor relatif terhadap dasar
.

Dalil. (Tentang perluasan vektor dalam bentuk basis.)

Vektor apa pun dari ruang vektor dapat didekomposisi pada dasarnya dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Bukti. 1) Biarkan L menjadi garis arbitrer (atau sumbu) dan
- dasar
. Ambil vektor sewenang-wenang
. Karena kedua vektor Dan collinear ke baris yang sama L, kemudian
. Mari kita gunakan teorema tentang kolinearitas dua vektor. Karena
, maka ada (ada) nomor seperti itu
, Apa
dan dengan demikian kami telah memperoleh dekomposisi vektor dasar
ruang vektor
.

Kami sekarang membuktikan keunikan dekomposisi semacam itu. Mari kita asumsikan sebaliknya. Biarkan ada dua dekomposisi vektor dasar
ruang vektor
:

Dan
, Di mana
. Kemudian
dan menggunakan hukum distribusi, kita mendapatkan:

Karena
, maka itu mengikuti dari persamaan terakhir itu
, dll.

2) Sekarang misalkan P menjadi bidang arbitrer dan
- dasar
. Membiarkan
vektor sewenang-wenang dari pesawat ini. Mari tunda ketiga vektor dari satu titik mana pun di bidang ini. Mari kita buat 4 garis lurus. Mari menggambar garis lurus , di mana vektor terletak , langsung
, di mana vektor terletak . Melalui akhir vektor menggambar garis sejajar dengan vektor dan garis lurus sejajar dengan vektor . 4 garis ini memotong jajaran genjang. Lihat di bawah gbr. 3. Menurut aturan jajaran genjang
, Dan
,
,
- dasar ,
- dasar
.

Nah, dengan apa yang sudah dibuktikan di bagian pertama pembuktian ini, ada angka-angka
, Apa

Dan
. Dari sini kita mendapatkan:

dan kemungkinan perluasan dalam hal basis terbukti.

Sekarang mari kita buktikan keunikan pemuaian dari segi dasarnya. Mari kita asumsikan sebaliknya. Biarkan ada dua dekomposisi vektor dasar
ruang vektor
:
Dan
. Kami mendapatkan kesetaraan

Di mana harus
. Jika
, Itu
, dan sejak
, Itu
dan koefisien ekspansi adalah:
,
. Biarkan sekarang
. Kemudian
, Di mana
. Dengan teorema tentang kolinearitas dua vektor, ini menyiratkan bahwa
. Kami telah memperoleh kontradiksi dengan kondisi teorema. Karena itu,
Dan
, dll.

3) Biarkan
- dasar
biarkan saja
vektor sewenang-wenang. Mari kita lakukan konstruksi berikut.

Sisihkan ketiga vektor basis
dan vektor dari satu titik dan bangun 6 bidang: bidang tempat vektor basis berada
, pesawat
dan pesawat
; lebih lanjut melalui ujung vektor gambarlah tiga bidang sejajar dengan tiga bidang yang baru saja dibuat. 6 pesawat ini memotong kotak:

Menurut aturan penjumlahan vektor, kita mendapatkan persamaan:

. (1)

Dengan konstruksi
. Oleh karena itu, dengan teorema tentang kolinearitas dua vektor, maka ada bilangan
, seperti yang
. Juga,
Dan
, Di mana
. Sekarang, mensubstitusikan persamaan ini ke dalam (1), kita mendapatkan:

dan kemungkinan perluasan dalam hal basis terbukti.

Mari kita buktikan keunikan dekomposisi tersebut. Mari kita asumsikan sebaliknya. Biarkan ada dua dekomposisi vektor dasar
:

DAN . Kemudian

Perhatikan bahwa, dengan asumsi, vektor
non-coplanar, maka mereka berpasangan non-collinear.

Ada dua kasus yang mungkin:
atau
.

a) Biarkan
, maka dari persamaan (3) berikut:

. (4)

Ini mengikuti dari persamaan (4) bahwa vektor diperluas dalam hal basis
, yaitu vektor terletak pada bidang vektor
dan karenanya vektor
coplanar, yang bertentangan dengan kondisi.

b) Masih ada kasus
, yaitu
. Kemudian dari persamaan (3) kita peroleh atau

Karena
adalah basis ruang vektor yang terletak pada bidang, dan kami telah membuktikan keunikan ekspansi berdasarkan vektor bidang, mengikuti persamaan (5) bahwa
Dan
, dll.

Teorema telah terbukti.

Konsekuensi.

1) Ada korespondensi satu-ke-satu antara himpunan vektor ruang vektor
dan himpunan bilangan real R.

2) Ada korespondensi satu-ke-satu antara himpunan vektor ruang vektor
dan petak kartesius

3) Ada korespondensi satu-ke-satu antara himpunan vektor ruang vektor
dan kubus kartesius
himpunan bilangan asli R.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ketiga. Dua yang pertama dibuktikan dengan cara yang sama.

Mari kita pilih dan perbaiki di luar angkasa
beberapa dasar
dan mengatur tampilan
menurut aturan berikut:

itu. setiap vektor dikaitkan dengan satu set terurut dari koordinatnya.

Karena, dengan basis tetap, setiap vektor memiliki satu set koordinat yang unik, korespondensi yang diberikan oleh aturan (6) memang merupakan pemetaan.

Ini mengikuti dari bukti teorema bahwa vektor yang berbeda memiliki koordinat yang berbeda sehubungan dengan basis yang sama, yaitu. pemetaan (6) adalah injeksi.

Membiarkan
sekumpulan bilangan real yang diurutkan sewenang-wenang.

Pertimbangkan vektornya
. Secara konstruksi, vektor ini memiliki koordinat
. Oleh karena itu, pemetaan (6) adalah sebuah survai.

Pemetaan yang bersifat injektif dan surjektif bersifat bijektif, yaitu satu-ke-satu, dll.

Konsekuensinya terbukti.

Dalil. (Pada persamaan dua vektor.)

Dua vektor sama jika dan hanya jika koordinatnya terhadap basis yang sama adalah sama.

Buktinya segera mengikuti dari akibat wajar sebelumnya.

butir 3. Dimensi ruang vektor.

Definisi. Jumlah vektor dalam basis ruang vektor disebut dimensinya.

Penamaan:
adalah dimensi ruang vektor V.

Jadi, sesuai dengan definisi ini dan sebelumnya, kami memiliki:

1)
adalah ruang vektor dari vektor-vektor garis L.

- dasar
,
,
,
- dekomposisi vektor
dasar
,
- koordinat vektor relatif terhadap dasar
.

2)
adalah ruang vektor dari vektor bidang Р.

- dasar
,
,
,
- dekomposisi vektor
dasar
,
adalah koordinat vektor relatif terhadap dasar
.

3)
adalah ruang vektor dari vektor dalam ruang titik S.

- dasar
,
,
- dekomposisi vektor
dasar
,
adalah koordinat vektor relatif terhadap dasar
.

Komentar. Jika
, Itu
dan Anda dapat memilih dasarnya
ruang angkasa
Jadi
- dasar
Dan
- dasar
. Kemudian
, Dan
, .

Dengan demikian, setiap vektor garis L, bidang P dan ruang S dapat diperluas dalam bentuk basis
:

Penamaan. Berdasarkan teorema kesetaraan vektor, kita dapat mengidentifikasi vektor apa pun dengan rangkap tiga bilangan real dan menulis:

Ini hanya mungkin jika dasarnya
tetap dan tidak ada bahaya kekusutan.

Definisi. Rekaman vektor dalam bentuk triple terurut dari bilangan real disebut bentuk koordinat dari rekaman vektor:
.

butir 4. Operasi linier dengan vektor dalam notasi koordinat.

Membiarkan
- dasar ruang
Dan
adalah dua vektor arbitrernya. Membiarkan
Dan
adalah notasi dari vektor-vektor ini dalam bentuk koordinat. Biar lebih lanjut,
adalah bilangan real arbitrer. Dalam notasi ini berlaku teorema berikut.

Dalil. (Pada operasi linier dengan vektor dalam bentuk koordinat.)

2)
.

Dengan kata lain, untuk menjumlahkan dua vektor, Anda perlu menjumlahkan koordinatnya yang sesuai, dan untuk mengalikan vektor dengan angka, Anda perlu mengalikan setiap koordinat vektor ini dengan angka tertentu.

Bukti. Karena, sesuai dengan kondisi teorema, maka dengan menggunakan aksioma ruang vektor, yang tunduk pada operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan bilangan, diperoleh:

Ini menyiratkan.

Kesetaraan kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorema telah terbukti.

butir 5. Vektor ortogonal. dasar ortonormal.

Definisi. Dua vektor disebut ortogonal jika sudut di antara keduanya sama dengan sudut siku-siku, mis.
.

Penamaan:
– vektor Dan ortogonal.

Definisi. Trio vektor
disebut ortogonal jika vektor-vektor ini saling ortogonal berpasangan, yaitu
,
.

Definisi. Trio vektor
disebut ortonormal jika ortogonal dan panjang semua vektor sama dengan satu:
.

Komentar. Ini mengikuti dari definisi bahwa ortogonal dan, oleh karena itu, tripel vektor ortonormal adalah non-koplanar.

Definisi. Memesan tripel vektor non-koplanar
, diberhentikan dari satu titik, disebut kanan (berorientasi kanan) jika diamati dari ujung vektor ketiga ke bidang yang berisi dua vektor pertama Dan , rotasi terpendek dari vektor pertama ke yang kedua berlangsung berlawanan arah jarum jam. Kalau tidak, tripel vektor disebut kiri (berorientasi kiri).

Di sini, Gambar. 6 menunjukkan tiga vektor yang tepat
. Gambar 7 berikut menunjukkan triplet kiri vektor
:

Definisi. Dasar
ruang vektor
disebut ortonormal jika
rangkap tiga vektor ortonormal.

Penamaan. Berikut ini, kita akan menggunakan basis ortonormal yang tepat
, lihat gambar berikut.

Ekspresi bentuk ditelepon kombinasi linier vektor A 1 , A 2 ,..., A n dengan koefisien λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Menentukan ketergantungan linear dari sistem vektor

sistem vektor A 1 , A 2 ,..., A n ditelepon tergantung linier, jika ada himpunan bilangan bukan nol λ 1, λ 2 ,...,λ n, di mana kombinasi linier vektor λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sama dengan vektor nol, yaitu sistem persamaan: memiliki solusi bukan nol.
Set angka λ 1, λ 2 ,...,λ n bukan nol jika setidaknya salah satu angka λ 1, λ 2 ,...,λ n berbeda dari nol.

Menentukan independensi linear dari sistem vektor

sistem vektor A 1 , A 2 ,..., A n ditelepon bebas linier, jika kombinasi linier dari vektor-vektor ini λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sama dengan vektor nol hanya untuk satu set angka nol λ 1, λ 2 ,...,λ n , yaitu sistem persamaan: A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n =Θ memiliki solusi nol unik.

Contoh 29.1

Periksa apakah sistem vektor bergantung secara linier

Larutan:

1. Kami menyusun sistem persamaan:

2. Kami menyelesaikannya menggunakan metode Gauss. Transformasi Jordanian dari sistem diberikan pada Tabel 29.1. Saat menghitung, bagian kanan dari sistem tidak ditulis, karena sama dengan nol dan tidak berubah di bawah transformasi Jordan.

3. Dari tiga baris terakhir tabel kami menulis sistem yang diizinkan setara dengan aslinya sistem:

4. Kami mendapatkan solusi umum dari sistem:

5. Setelah mengatur sendiri nilai variabel bebas x 3 =1, kami memperoleh solusi bukan nol tertentu X=(-3,2,1).

Jawaban: Jadi, dengan himpunan bilangan bukan nol (-3,2,1), kombinasi linier vektor sama dengan vektor nol -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Karena itu, sistem vektor bergantung secara linier.

Properti sistem vektor

Properti (1)
Jika sistem vektor bergantung secara linier, maka setidaknya salah satu vektor didekomposisi dalam bentuk yang lain, dan sebaliknya, jika setidaknya salah satu vektor dari sistem didekomposisi dalam bentuk yang lain, maka sistem dengan vektor bergantung secara linier.

Properti (2)
Jika ada subsistem vektor yang bergantung secara linear, maka seluruh sistem bergantung secara linear.

Properti (3)
Jika sistem vektor bebas linier, maka salah satu subsistemnya bebas linier.

Properti (4)
Sistem vektor apa pun yang mengandung vektor nol bergantung secara linier.

Properti (5)
Suatu sistem vektor berdimensi m selalu bergantung secara linier jika jumlah vektor n lebih besar dari dimensinya (n>m)

Dasar dari sistem vektor

Dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 ,..., A n seperti subsistem B 1 , B 2 ,...,B r(masing-masing vektor B 1 ,B 2 ,...,B r adalah salah satu vektor A 1 , A 2 ,..., A n) yang memenuhi kondisi berikut:
1. B1 ,B2 ,...,B r sistem vektor bebas linier;
2. vektor apapun Aj dari sistem A 1 , A 2 ,..., A n dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor B 1 ,B 2 ,...,B r

R adalah jumlah vektor yang termasuk dalam basis.

Teorema 29.1 Atas dasar satuan sistem vektor.

Jika suatu sistem vektor berdimensi m mengandung m vektor satuan yang berbeda E 1 E 2 ,..., E m , maka mereka membentuk dasar sistem.

Algoritma untuk menemukan basis sistem vektor

Untuk menemukan basis dari sistem vektor A 1 ,A 2 ,...,A n diperlukan:

• Susun sistem persamaan homogen yang sesuai dengan sistem vektor A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n =Θ
• membawa sistem ini

Definisi dasar. Sistem vektor membentuk basis jika:

1) bebas linier,

2) setiap vektor ruang yang melaluinya diekspresikan secara linier.

Contoh 1 Dasar ruang: .

2. Dalam sistem vektor vektor adalah dasar: , karena linear dinyatakan dalam bentuk vektor.

Komentar. Untuk menemukan basis dari sistem vektor tertentu, Anda perlu:

1) tulis koordinat vektor dalam matriks,

2) menggunakan transformasi elementer, ubah matriks menjadi bentuk segitiga,

3) baris bukan nol dari matriks akan menjadi dasar sistem,

4) jumlah vektor di basis sama dengan peringkat matriks.

teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker–Capelli memberikan jawaban lengkap untuk pertanyaan tentang kompatibilitas sistem persamaan linear arbitrer dengan yang tidak diketahui

teorema Kronecker-Capelli. Suatu sistem persamaan aljabar linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut sama dengan pangkat matriks utama, .

Algoritme untuk menemukan semua solusi dari sistem persamaan linier yang konsisten mengikuti dari teorema Kronecker-Capelli dan teorema berikut.

Dalil. Jika peringkat sistem yang konsisten sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut memiliki solusi unik.

Dalil. Jika peringkat sistem yang konsisten kurang dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sembarang:

1. Temukan barisan matriks utama dan matriks tambahan dari sistem tersebut. Jika tidak sama (), maka sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Jika peringkatnya sama ( , maka sistem kompatibel.

2. Untuk sistem yang kompatibel, kami menemukan beberapa minor yang urutannya menentukan peringkat matriks (minor seperti itu disebut basis). Kami menyusun sistem persamaan baru di mana koefisien dari yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam minor dasar (yang tidak diketahui ini disebut yang tidak diketahui utama), kami membuang persamaan lainnya. Kami meninggalkan yang tidak diketahui utama dengan koefisien di sebelah kiri, dan mentransfer yang tidak diketahui yang tersisa (mereka disebut tidak diketahui bebas) ke sisi kanan persamaan.

3. Mari kita temukan ekspresi dari hal-hal yang tidak diketahui utama dalam kaitannya dengan yang bebas. Kami memperoleh solusi umum dari sistem.

4. Memberikan nilai sewenang-wenang ke yang tidak diketahui bebas, kami memperoleh nilai yang sesuai dari yang tidak diketahui utama. Jadi, kami menemukan solusi khusus untuk sistem persamaan asli.

Pemrograman linier. Konsep dasar

Pemrograman linier adalah cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode untuk memecahkan masalah ekstrem yang ditandai dengan hubungan linier antara variabel dan kriteria linier.

Kondisi yang diperlukan untuk menetapkan masalah pemrograman linier adalah pembatasan ketersediaan sumber daya, jumlah permintaan, kapasitas produksi perusahaan, dan faktor produksi lainnya.

Inti dari pemrograman linier adalah untuk menemukan titik-titik dari nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi tertentu di bawah serangkaian batasan tertentu yang dikenakan pada argumen dan generator. sistem pembatasan , yang biasanya memiliki jumlah solusi tak terhingga. Setiap set nilai variabel (argumen fungsi F ) yang memenuhi sistem kendala disebut rencana yang dapat diterima masalah pemrograman linier. Fungsi F , yang maksimum atau minimumnya ditentukan, disebut fungsi objektif tugas. Rencana yang dapat diterima di mana fungsi maksimum atau minimum tercapai F , disebut rencana optimal tugas.

Sistem kendala yang mendefinisikan seperangkat rencana ditentukan oleh kondisi produksi. Masalah pemrograman linier ( ZLP ) adalah pilihan yang paling menguntungkan (optimal) dari sekumpulan rencana yang layak.

Rumusan umum dari masalah program linier adalah sebagai berikut:

Ada beberapa variabel x \u003d (x 1, x 2, ... x n) dan fungsi dari variabel tersebut f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , yang menyandang nama itu target fungsi. Tugas ditetapkan: untuk menemukan ekstrem (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x) asalkan variabel X milik beberapa daerah G :

Tergantung jenis fungsinya f(x) dan daerah G dan membedakan antara bagian pemrograman matematika: pemrograman kuadrat, pemrograman cembung, pemrograman bilangan bulat, dll. Pemrograman linier dicirikan oleh fakta bahwa
sebuah fungsi f(x) adalah fungsi linear dari variabel x 1, x 2, ... x n
b) daerah G ditentukan oleh sistem linier persamaan atau ketidaksetaraan.