Jika benda padat terletak di dekat permukaan bumi, maka gravitasi diterapkan ke setiap titik material benda ini. Pada saat yang sama, ukuran benda dibandingkan dengan ukuran Bumi sangat kecil sehingga gaya gravitasi yang bekerja pada semua partikel benda dapat dianggap sejajar satu sama lain.

Tengah (titik DENGAN) sistem gaya gravitasi paralel dari semua titik tubuh disebut titik berat benda tegar , dan jumlah gaya gravitasi dari semua titik materialnya disebut gravitasi bertindak atasnya

Koordinat pusat gravitasi benda tegar ditentukan oleh rumus:

dimana koordinat titik-titik penerapan gravitasi yang bekerja k- poin materi.

Untuk tubuh yang homogen:

di mana V adalah volume seluruh tubuh;

V k- volume k partikel -th.

Untuk pelat tipis yang seragam:

di mana S adalah luas pelat;

S k- persegi k- oh bagian dari piring.

Untuk garis:

Di mana L- panjang seluruh baris;

L k- panjang k th bagian dari baris.

Metode untuk menentukan koordinat pusat gravitasi benda:

Teoretis

Simetri. Jika benda homogen memiliki bidang, sumbu, atau pusat simetri, maka pusat gravitasinya masing-masing terletak di bidang simetri, atau di sumbu, atau di pusat simetri.

Pemisahan. Jika benda dapat dibagi menjadi sejumlah bagian tertentu, yang masing-masing bagiannya diketahui posisi pusat gravitasinya, maka koordinat pusat gravitasi seluruh benda dapat dihitung secara langsung menggunakan rumus di atas.

Tambahan. Metode ini merupakan kasus khusus dari metode partisi. Ini berlaku untuk benda dengan guntingan jika pusat gravitasi benda tanpa guntingan dan guntingan diketahui. Mereka termasuk dalam perhitungan dengan tanda "-".

Integrasi. Ketika benda tidak dapat dibagi menjadi bagian-bagian komponen, yang pusat gravitasinya diketahui, metode integrasi digunakan, yang bersifat universal.

eksperimental

metode gantung. Tubuh ditangguhkan oleh dua atau tiga titik, menggambar garis vertikal darinya. Titik persimpangan mereka adalah pusat massa.

Metode Penimbangan. Tubuh ditempatkan di bagian yang berbeda pada timbangan, sehingga menentukan reaksi pendukung. Buat persamaan kesetimbangan, dari mana koordinat pusat gravitasi ditentukan.

Menggunakan metode teoritis, rumus untuk menentukan titik koordinat gravitasi yang paling umum benda homogen:

busur lingkaran

Pusat gravitasi benda tegar

Pusat gravitasi Benda tegar adalah titik geometris yang terhubung secara kaku dengan benda ini dan merupakan pusat gaya gravitasi paralel yang diterapkan pada partikel dasar benda tertentu (Gambar 1.6).

Vektor radius titik ini

Gambar 1.6

Untuk benda homogen, posisi pusat gravitasi benda tidak bergantung pada materialnya, tetapi ditentukan oleh bentuk geometris benda tersebut.

Jika berat jenis benda homogen γ , berat partikel dasar tubuh

Pk = γΔVk (P = γV)

substitusi dalam rumus untuk menentukan r C , kita punya

Dari mana, memproyeksikan ke sumbu dan melewati batas, kami memperoleh koordinat pusat gravitasi dari volume yang homogen

Begitu pula untuk koordinat titik berat suatu permukaan yang homogen dengan luas S (Gambar 1.7, a)

Gambar 1.7

Untuk koordinat pusat gravitasi dari garis panjang yang homogen L (Gambar 1.7, b)

Metode untuk menentukan koordinat pusat gravitasi

Berdasarkan rumus umum yang diperoleh sebelumnya, dimungkinkan untuk menunjukkan metode penentuan koordinat pusat gravitasi benda padat:

Gambar 1.8

Gambar 1.9

11. Konsep dasar kinematika. Kinematika titik. Metode untuk menentukan pergerakan suatu titik. Titik kecepatan dan percepatan.

Konsep dasar kinematika

Kinematika- cabang mekanika yang mempelajari pergerakan benda tanpa memperhitungkan penyebab yang menyebabkan pergerakan tersebut.

Tugas utama kinematika adalah menemukan posisi suatu benda pada setiap saat, jika posisi, kecepatan, dan percepatannya pada saat awal waktu diketahui.

gerakan mekanis- ini adalah perubahan posisi benda (atau bagian tubuh) relatif satu sama lain dalam ruang dari waktu ke waktu.

Untuk menggambarkan gerak mekanis, seseorang harus memilih kerangka acuan.

badan referensi- suatu benda (atau sekelompok benda), dalam hal ini dianggap diam, relatif terhadap gerakan benda lain yang dipertimbangkan.

Sistem referensi- ini adalah sistem koordinat yang terkait dengan badan referensi, dan metode pengukuran waktu yang dipilih (Gbr. 1).

Posisi benda dapat ditentukan dengan menggunakan vektor radius r⃗ r→ atau menggunakan koordinat.

Vektor radius r⃗ r→ poin Μ - segmen garis lurus terarah yang menghubungkan titik asal TENTANG dengan titik Μ (Gbr. 2).

Koordinat poin x Μ adalah proyeksi ujung vektor jari-jari titik Μ per poros Oh. Biasanya sistem koordinat persegi panjang digunakan. Dalam hal ini, posisi titik Μ pada garis, bidang, dan ruang ditentukan masing-masing oleh satu ( X), dua ( X, pada) dan tiga ( X, pada, z) angka - koordinat (Gbr. 3).

Dalam kursus dasar, fisikawan mempelajari kinematika gerak suatu titik material.

Poin materi- benda yang dimensinya dalam kondisi tertentu dapat diabaikan.

Model ini digunakan dalam kasus di mana dimensi linier benda yang dipertimbangkan jauh lebih kecil daripada semua jarak lain dalam masalah tertentu atau saat benda bergerak maju.

Terjemahan disebut gerakan tubuh, di mana garis lurus yang melewati dua titik tubuh bergerak sambil tetap sejajar dengan dirinya sendiri. Dalam gerak translasi, semua titik tubuh menggambarkan lintasan yang sama dan setiap saat memiliki kecepatan dan percepatan yang sama. Oleh karena itu, untuk menggambarkan pergerakan benda seperti itu, cukup menggambarkan pergerakan satu titik arbitrernya.

Berikut ini, kata "tubuh" akan dipahami sebagai "titik material".

Garis yang digambarkan oleh benda bergerak dalam kerangka acuan tertentu disebut lintasan. Dalam praktiknya, bentuk lintasan diatur menggunakan rumus matematika ( y = F(X) - persamaan lintasan) atau digambarkan dalam gambar. Jenis lintasan tergantung pada pilihan sistem referensi. Sebagai contoh lintasan benda jatuh bebas pada sebuah gerobak yang bergerak beraturan dan lurus adalah garis lurus vertikal pada kerangka acuan yang dihubungkan dengan mobil, dan parabola pada kerangka acuan yang dihubungkan dengan bumi. .

Bergantung pada jenis lintasan, gerakan bujursangkar dan lengkung dibedakan.

Jalur S- besaran fisik skalar yang ditentukan oleh panjang lintasan yang dijelaskan oleh benda untuk jangka waktu tertentu. Jalannya selalu positif: S > 0.

bergerakΔr⃗ Δr→ benda untuk jangka waktu tertentu - segmen terarah dari garis lurus yang menghubungkan awal (titik M 0) dan terakhir (poin M) posisi tubuh (lihat Gbr. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

di mana r⃗ r→ dan r⃗ 0 r→0 adalah vektor jari-jari benda pada waktu-waktu ini.

Proyeksi perpindahan ke sumbu Sapi

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Di mana X 0 dan X- koordinat tubuh pada saat-saat awal dan akhir waktu.

Modulus perpindahan tidak boleh lebih dari sebuah jalur

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Tanda sama dengan mengacu pada kasus gerak lurus jika arah gerak tidak berubah.

Dengan mengetahui perpindahan dan posisi awal benda, kita dapat mencari posisinya pada waktu t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Kecepatan

Kecepatan rata-rata hυ⃗ i hυ→i adalah kuantitas fisik vektor, secara numerik sama dengan rasio perpindahan terhadap interval waktu terjadinya, dan diarahkan sepanjang perpindahan (Gbr. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Satuan SI untuk kecepatan adalah meter per detik (m/s).

Kecepatan rata-rata yang ditemukan oleh rumus ini mencirikan pergerakan hanya di bagian lintasan yang ditentukan. Di bagian lintasan lain, mungkin berbeda.

Terkadang mereka menggunakan kecepatan rata-rata jalur

hυi=sΔt hυi=sΔt

Di mana s adalah jalur yang tercakup dalam interval waktu Δ T. Kecepatan jalur rata-rata adalah nilai skalar.

Kecepatan Instanυ⃗ υ→ tubuh - kecepatan tubuh pada waktu tertentu (atau pada titik lintasan tertentu). Ini sama dengan batas kecepatan rata-rata yang cenderung pada interval waktu yang sangat kecil υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Di sini r⃗ ′ r→ ′ adalah turunan waktu dari vektor radius.

Dalam proyeksi pada sumbu Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Kecepatan sesaat benda diarahkan secara tangensial ke lintasan di setiap titik dalam arah gerakan (lihat Gambar 4).

Percepatan

Akselerasi rata-rata- kuantitas fisik yang secara numerik sama dengan rasio perubahan kecepatan dengan waktu terjadinya:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vektor ha⃗ i ha→i diarahkan sejajar dengan vektor perubahan kecepatan Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) menuju cekungan lintasan (Gbr. 5).

Peningkatan Instan:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Satuan SI untuk percepatan adalah meter per detik kuadrat (m/s2).

Dalam kasus umum, percepatan sesaat diarahkan pada sudut terhadap kecepatan. Mengetahui lintasannya, Anda bisa menentukan arah kecepatannya, tapi bukan percepatannya. Arah percepatan ditentukan oleh arah resultan gaya yang bekerja pada benda.

Dalam gerakan bujursangkar dengan peningkatan kecepatan modulo (Gbr. 6, a), vektor a⃗ a→ dan υ⃗ 0 υ→0 diarahkan bersama (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) dan proyeksi percepatan pada arah gerak adalah positif.

Dalam gerakan bujursangkar dengan modulus kecepatan yang menurun (Gbr. 6, b), arah vektor a⃗ a→ dan υ⃗ 0 υ→0 berlawanan (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) dan proyeksi percepatan aktif arah geraknya negatif.

Vektor a⃗ a→ selama gerakan lengkung dapat diuraikan menjadi dua komponen yang diarahkan sepanjang kecepatan a⃗ τ a→τ dan tegak lurus dengan kecepatan a⃗ n a→n (Gbr. 1.7), a⃗ τ a→τ gerak, a⃗ n a→n - percepatan normal, mencirikan kecepatan perubahan arah vektor kecepatan selama gerak lengkung Modulus percepatan a=a2τ+a2n−−−−√ a=aτ2+an2.

Metode untuk menentukan pergerakan suatu titik

Anda dapat menggunakan salah satu dari tiga metode berikut untuk menentukan pergerakan titik:

1) vektor, 2) koordinat, 3) alami.

1. Metode vektor untuk menentukan pergerakan suatu titik.

Biarkan intinya M bergerak sehubungan dengan beberapa kerangka acuan Oxyz. Posisi titik ini sewaktu-waktu dapat ditentukan dengan mengatur vektor jari-jarinya yang ditarik dari titik asal TENTANG tepat M(Gbr. 3).

Gbr.3

Saat titik bergerak M vektor akan berubah seiring waktu baik dalam nilai absolut maupun arah. Oleh karena itu, apakah vektor variabel (vektor fungsi) bergantung pada argumen t:

Kesetaraan mendefinisikan hukum gerak suatu titik dalam bentuk vektor, karena memungkinkan Anda untuk membuat vektor yang sesuai kapan saja dan menemukan posisi titik bergerak.

Tempat kedudukan ujung-ujung vektor , mis. hodograf vektor ini menentukan lintasan titik bergerak.

2. Koordinat metode menentukan pergerakan titik.

Posisi suatu titik dapat langsung ditentukan oleh koordinat Kartesiannya x, y, z(Gbr. 3), yang ketika suatu titik bergerak, akan berubah seiring waktu. Untuk mengetahui hukum gerak suatu titik, yaitu posisinya dalam ruang setiap saat, perlu diketahui nilai-nilai koordinat titik untuk setiap saat, yaitu. mengetahui dependensi

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Persamaan tersebut adalah persamaan gerak suatu titik dalam koordinat Cartesian berbentuk persegi panjang. Mereka menentukan hukum gerak suatu titik dengan metode koordinat untuk menentukan gerak.

Untuk mendapatkan persamaan lintasan, parameter t harus dikeluarkan dari persamaan gerak.

Sangat mudah untuk menetapkan hubungan antara vektor dan koordinat metode definisi gerak.

Kami menguraikan vektor menjadi komponen di sepanjang sumbu koordinat:

dimana r x , r y , r z - proyeksi vektor pada sumbu; – vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu, orths dari sumbu.

Karena awal vektor berada di titik asal, proyeksi vektor akan sama dengan koordinat titik M. Itu sebabnya

Jika pergerakan titik diberikan dalam koordinat kutub

r=r(t), φ = φ(t),

di mana r adalah jari-jari kutub, φ adalah sudut antara sumbu kutub dan jari-jari kutub, maka persamaan ini menyatakan persamaan lintasan titik. Menghilangkan parameter t, kita dapatkan

r = r(φ).

Contoh 1 Gerak suatu titik diberikan oleh persamaan

Gbr.4

Untuk mengecualikan waktu, parameternya T, kita temukan dari persamaan pertama sin2t=x/2, dari persamaan kedua cos2t=y/3. Lalu kita kuadratkan dan tambahkan. Karena sin 2 2t+cos 2 2t=1, kita dapatkan . Ini adalah persamaan elips dengan semiax 2 cm dan 3 cm (Gbr. 4).

Titik posisi awal M 0 (ketika T\u003d 0) ditentukan oleh koordinat x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

Setelah 1 detik. titik akan berada di posisinya M 1 dengan koordinat

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Catatan.

Pergerakan suatu titik dapat ditentukan menggunakan koordinat lain juga. Misalnya, silinder atau bola. Di antara mereka tidak hanya ada dimensi linier, tetapi juga sudut. Jika perlu, Anda dapat berkenalan dengan tugas pergerakan dengan koordinat silinder dan bola dari buku teks.

3. Cara alami untuk menentukan pergerakan suatu titik.

Gbr.5

Lebih mudah menggunakan cara alami untuk menentukan gerakan dalam kasus di mana lintasan titik bergerak diketahui sebelumnya. Biarkan kurva AB adalah lintasan titik M ketika bergerak relatif terhadap sistem referensi Oxyz(gbr.5) Mari kita pilih beberapa titik tetap pada lintasan ini TENTANG", yang akan kita ambil sebagai asal, dan atur arah referensi positif dan negatif pada lintasan (seperti pada sumbu koordinat).

Kemudian posisi titik M pada lintasan akan ditentukan secara unik oleh koordinat lengkung S, yang sama dengan jarak dari titik tersebut TENTANG' ke titik M diukur sepanjang busur lintasan dan diambil dengan tanda yang sesuai. Saat memindahkan titik M bergerak ke posisi M 1 , M 2 ,... . karenanya jarak S akan berubah seiring waktu.

Untuk mengetahui posisi suatu titik M pada lintasan kapan saja, Anda perlu mengetahui ketergantungannya

Persamaan tersebut menyatakan hukum gerak suatu titik M sepanjang lintasan. Fungsi s= f(t) harus bernilai tunggal, kontinu, dan dapat dibedakan.

Untuk arah referensi positif dari koordinat busur s diambil arah pergerakan titik pada saat menempati posisi O. Harus diingat bahwa persamaan s \u003d f (t) tidak menentukan hukum pergerakan titik dalam ruang, karena untuk menentukan posisi titik dalam ruang juga perlu diketahui lintasan titik dengan posisi awal titik di atasnya dan arah positif tetap. Dengan demikian, gerak suatu titik dianggap diberikan secara alami, jika lintasan dan persamaan (atau hukum) gerak titik di sepanjang lintasan diketahui.

Penting untuk dicatat bahwa koordinat busur titik s berbeda dengan lintasan σ yang ditempuh oleh titik sepanjang lintasan. Selama pergerakannya, titik melewati jalur tertentu σ, yang merupakan fungsi dari waktu t. Namun, jarak yang ditempuh σ berimpit dengan jarak s hanya ketika fungsi s = f(t) berubah secara monoton terhadap waktu, yaitu ketika titik bergerak ke arah yang sama. Misalkan titik M berpindah dari M 1 ke M 2 . Posisi titik di M 1 sesuai dengan waktu t 1 , dan posisi titik di M 2 sesuai dengan waktu t 2 . Mari kita uraikan interval waktu t 2 - t 1 menjadi interval waktu yang sangat kecil ∆t 1 (i = 1,2, …n) sehingga pada masing-masing interval waktu tersebut titik bergerak dalam satu arah. Mari kita nyatakan peningkatan yang sesuai dari koordinat busur sebagai ∆s i . Jalur σ yang ditempuh oleh titik akan menjadi nilai positif:

Jika pergerakan suatu titik diberikan secara koordinat, maka jarak yang ditempuh ditentukan oleh rumus

di mana dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Karena itu,

Contoh 2 Titik bergerak dalam garis lurus, menurut hukum s=2t+3 (cm) (Gbr. 6).

Gbr.6

Pada awal gerakan, pada t=0 s=OM 0 = s 0 =3 cm Posisi titik M 0 dipanggil posisi awal. Pada t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Tentu saja, dalam 1 detik. titik telah menempuh jarak M 0 M 1 = 2cm Jadi S- ini bukanlah jalur yang ditempuh oleh suatu titik, tetapi jarak dari titik asal ke titik tersebut.

Vektor kecepatan titik

Salah satu karakteristik kinematik utama dari pergerakan suatu titik adalah besaran vektor yang disebut kecepatan suatu titik. Konsep kecepatan titik pada gerak lurus beraturan merupakan salah satu konsep dasar.

Kecepatan- ukuran keadaan mekanis tubuh. Ini mencirikan laju perubahan posisi tubuh relatif terhadap sistem referensi tertentu dan merupakan kuantitas fisik vektor.

Satuan pengukuran kecepatan adalah m/s. Satuan lain yang sering digunakan, misalnya km/jam: 1 km/jam=1/3,6 m/s.

Pergerakan suatu titik disebut seragam jika pertambahan vektor jari-jari titik untuk interval waktu yang sama sama satu sama lain. Jika lintasan suatu titik berupa garis lurus, maka pergerakan titik tersebut disebut bujursangkar.

Untuk gerak lurus beraturan

∆r= ay∆t, (1)

Di mana ay adalah vektor konstan.

Vektor ay disebut kecepatan gerak lurus dan seragam sepenuhnya menentukannya.

Dari hubungan (1) terlihat bahwa kecepatan gerak lurus dan beraturan merupakan besaran fisis yang menentukan gerak suatu titik per satuan waktu. Dari (1) kita punya

arah vektor ay ditunjukkan pada gambar. 6.1.

Gambar 6.1

Dengan gerakan tidak rata, formula ini tidak cocok. Pertama-tama mari kita perkenalkan konsep kecepatan rata-rata suatu titik selama beberapa periode waktu.

Biarkan titik bergerak berada pada saat itu T hamil M, ditentukan oleh radius vektor , dan pada saat t 1 mencapai posisi tersebut M 1 ditentukan oleh vektor (Gbr. 7). Kemudian pergerakan suatu titik selama periode waktu ∆t=t 1 -t ditentukan oleh vektor yang akan kita sebut vektor pergerakan titik tersebut. Dari segitiga OMM 1 menunjukkan bahwa ; karena itu,

Beras. 7

Rasio vektor perpindahan titik terhadap interval waktu yang bersesuaian memberikan nilai vektor, yang disebut kecepatan titik yang dirata-ratakan dalam nilai absolut dan arah selama interval waktu ∆t:

Kelajuan suatu titik pada waktu tertentu t adalah besaran vektor v, dengan kecepatan rata-rata v cf cenderung ketika interval waktu ∆t cenderung nol:

Jadi, vektor kecepatan suatu titik pada saat tertentu sama dengan turunan pertama dari vektor jari-jari titik terhadap waktu.

Karena membatasi arah garis potong MM 1 bersinggungan, maka vektor kecepatan titik pada saat tertentu diarahkan secara tangensial ke lintasan titik dalam arah gerak.

Menentukan kecepatan suatu titik dengan metode koordinat menentukan gerakan

Vektor kecepatan titik, mengingat bahwa r x =x, r y =y, r z =z, kita menemukan:

Dengan demikian, proyeksi kecepatan titik pada sumbu koordinat sama dengan turunan pertama dari koordinat titik yang sesuai terhadap waktu.

Mengetahui proyeksi kecepatan, kami menemukan modulus dan arahnya (yaitu, sudut α, β, γ yang dibentuk oleh vektor v dengan sumbu koordinat) menggunakan rumus

Jadi, nilai numerik kecepatan suatu titik pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama jarak (koordinat lengkung) S poin dalam waktu.

Vektor kecepatan diarahkan sepanjang garis singgung ke lintasan, yang kita ketahui sebelumnya.

Menentukan kecepatan suatu titik dengan cara alami menentukan gerak

Besarnya kecepatan dapat didefinisikan sebagai batas (∆r adalah panjang tali busur MM 1):

di mana ∆s adalah panjang busur MM 1 . Limit pertama sama dengan satu, limit kedua adalah turunan ds/dt.

Oleh karena itu, kecepatan suatu titik adalah turunan pertama dari hukum gerak:

Vektor kecepatan diarahkan, seperti yang telah ditetapkan sebelumnya, secara tangensial ke lintasan. Jika nilai kecepatan saat ini lebih besar dari nol, maka vektor kecepatan diarahkan ke arah positif.

Vektor percepatan titik

Percepatan- besaran fisik vektor yang mencirikan laju perubahan kecepatan. Ini menunjukkan seberapa besar kecepatan tubuh berubah per satuan waktu.

Satuan SI percepatan adalah meter per detik kuadrat. ke interval waktu yang sesuai ∆t menentukan vektor percepatan titik rata-rata selama interval waktu ini:

Vektor percepatan rata-rata memiliki arah yang sama dengan vektor , yaitu diarahkan ke cekungan lintasan.

Percepatan suatu titik pada waktu tertentu T disebut nilai vektor di mana percepatan rata-rata cenderung ketika interval waktu ∆t cenderung nol: Vektor percepatan suatu titik pada waktu tertentu sama dengan turunan pertama vektor kecepatan atau turunan kedua vektor jari-jari titik terhadap waktu.

Percepatan suatu titik adalah nol hanya jika kecepatan titik tersebut ay konstan baik dalam besaran maupun arah: ini hanya sesuai dengan gerak lurus dan gerak seragam.

Mari kita cari tahu letak vektor dalam kaitannya dengan lintasan titik. Dalam gerak lurus, vektor diarahkan sepanjang garis lurus sepanjang titik bergerak. diarahkan ke cekungan lintasan dan terletak pada bidang yang melewati garis singgung lintasan pada titik tersebut M dan garis yang sejajar dengan garis singgung di titik yang berdekatan M 1 (Gbr. 8). Dalam batas ketika titik M cenderung M, bidang ini menempati posisi yang disebut bidang bersebelahan, yaitu. sebuah bidang di mana rotasi kecil tak terhingga dari garis singgung ke lintasan terjadi dengan perpindahan elementer dari titik bergerak. Oleh karena itu, dalam kasus umum, vektor percepatan terletak pada bidang yang bersebelahan dan diarahkan ke cekungan kurva.

Penentuan percepatan dengan metode koordinat menentukan gerak

Vektor percepatan titik dalam proyeksi pada sumbu yang kita dapatkan:

itu. proyeksi percepatan suatu titik pada sumbu koordinat sama dengan turunan pertama dari proyeksi kecepatan atau turunan kedua dari koordinat yang sesuai dari titik waktu. Modul dan arah percepatan dapat ditemukan dari rumus

Gbr.10

Proyeksi percepatan a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Karena proyeksi vektor percepatan ke sumbu X sama dengan nol, dan pada sumbu y- negatif, maka vektor percepatan diarahkan vertikal ke bawah, dan nilainya konstan, tidak bergantung waktu.

Penemuan pertama Archimedes dalam mekanika adalah pengenalan konsep pusat gravitasi, yaitu. bukti bahwa dalam benda apa pun ada satu titik di mana beratnya dapat terkonsentrasi tanpa melanggar keadaan kesetimbangan.

Pusat gravitasi benda adalah titik benda tegar yang melaluinya resultan dari semua gaya gravitasi yang bekerja pada massa elementer benda ini lewat pada posisi apa pun di ruang angkasa.

Pusat gravitasi dari sistem mekanik titik disebut, relatif terhadap momen total gravitasi yang bekerja pada semua benda sistem sama dengan nol.

Sederhananya, Pusat gravitasi- ini adalah titik di mana gaya gravitasi diterapkan, terlepas dari posisi benda itu sendiri. Jika tubuh seragam, Pusat gravitasi biasanya terletak di pusat geometris tubuh. Jadi, pusat gravitasi dalam kubus homogen atau bola homogen bertepatan dengan pusat geometris benda-benda ini.

Jika dimensi benda kecil dibandingkan dengan jari-jari Bumi, maka dapat diasumsikan bahwa gaya gravitasi semua partikel benda membentuk sistem gaya paralel. Hasil mereka disebut gravitasi, dan pusat dari gaya-gaya paralel ini adalah pusat gravitasi tubuh.

Koordinat pusat gravitasi benda dapat ditentukan dengan rumus (Gbr. 7.1):

, , ,

Di mana - berat badan x saya, y saya, zi– koordinat partikel elementer, berat Pi;.

Rumus untuk menentukan koordinat pusat gravitasi suatu benda adalah tepat, tegasnya, hanya ketika benda itu dibagi menjadi partikel elementer kecil tak terhingga yang beratnya tak terhingga. Pi. Jika jumlah partikel yang membagi tubuh secara mental terbatas, maka dalam kasus umum rumus ini akan menjadi perkiraan, karena koordinatnya x i , y i , zi i dalam hal ini, mereka hanya dapat ditentukan dengan akurasi ukuran partikel. Semakin kecil partikel ini, semakin kecil kesalahan yang akan kita buat saat menghitung koordinat pusat gravitasi. Ekspresi yang tepat hanya dapat diperoleh sebagai hasil dari perjalanan ke batas, ketika ukuran setiap partikel cenderung nol, dan jumlahnya meningkat tanpa batas. Seperti yang Anda ketahui, batas seperti itu disebut integral tertentu. Oleh karena itu, penentuan sebenarnya dari koordinat pusat gravitasi benda dalam kasus umum memerlukan penggantian jumlah dengan integral yang sesuai dengannya dan penerapan metode kalkulus integral.

Jika massa di dalam benda kaku atau sistem mekanis didistribusikan secara tidak seragam, maka pusat gravitasi bergeser ke bagian yang lebih berat.

Pusat gravitasi suatu benda bahkan tidak selalu terletak di dalam tubuh itu sendiri. Jadi, misalnya, pusat gravitasi bumerang berada di antara ujung bumerang, tetapi di luar tubuh bumerang itu sendiri.

Untuk mengamankan beban, posisi pusat gravitasi sangat penting. Pada titik inilah gaya gravitasi dan gaya inersia yang bekerja pada beban dalam proses pergerakan diterapkan. Semakin tinggi pusat gravitasi suatu benda atau sistem mekanis, semakin mudah terguling.

Pusat gravitasi tubuh bertepatan dengan pusat massa.

Benda apa pun dapat dianggap sebagai sekumpulan titik material, yang, misalnya, dapat dianggap sebagai molekul. Misalkan benda terdiri dari n titik material dengan massa m1, m2, ...mn.

pusat massa tubuh, terdiri dari n titik material, disebut titik (dalam pengertian geometris), vektor jari-jarinya ditentukan oleh rumus:

Di sini R1 adalah vektor jari-jari titik dengan bilangan i (i = 1, 2, ... n).

Definisi ini terlihat tidak biasa, tetapi sebenarnya memberikan posisi pusat massa itu sendiri, yang secara intuitif kita miliki idenya. Misalnya, pusat massa batang berada di tengahnya. Jumlah massa semua titik yang termasuk dalam penyebut rumus di atas disebut massa benda. berat badan ditelepon jumlah massa semua titiknya: m = m1 + m2 + ... + mn .

Pada benda homogen simetris, CM selalu terletak di pusat simetri atau terletak pada sumbu simetri jika bangun tersebut tidak memiliki pusat simetri. Pusat massa dapat ditempatkan baik di dalam benda (cakram, bujur sangkar, segitiga) maupun di luarnya (cincin, bingkai, bujur sangkar).

Untuk seseorang, posisi CM bergantung pada postur tubuh yang diadopsi. Dalam banyak olahraga, komponen penting kesuksesan adalah kemampuan menjaga keseimbangan. Jadi, dalam senam, akrobat

sejumlah besar elemen akan mencakup berbagai jenis keseimbangan. Kemampuan menjaga keseimbangan penting dalam skating, dalam skating, di mana penyangga memiliki area yang sangat kecil.

Kondisi kesetimbangan untuk benda diam adalah persamaan simultan dengan nol dari jumlah gaya dan jumlah momen gaya yang bekerja pada benda.

Mari kita cari tahu posisi apa yang harus ditempati sumbu rotasi agar benda yang terpasang padanya tetap dalam keseimbangan di bawah aksi gravitasi. Untuk melakukan ini, kami akan memecah tubuh menjadi banyak bagian kecil dan menarik gaya gravitasi yang bekerja padanya.

Sesuai dengan aturan momen, untuk kesetimbangan, jumlah momen semua gaya ini terhadap sumbu harus sama dengan nol.

Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap benda terdapat titik unik di mana jumlah momen gravitasi terhadap setiap sumbu yang melewati titik ini sama dengan nol. Titik ini disebut pusat gravitasi (biasanya bertepatan dengan pusat massa).

Pusat gravitasi tubuh (CG) ditelepon titik di mana jumlah momen gravitasi yang bekerja pada semua partikel benda sama dengan nol.

Dengan demikian, gaya gravitasi tidak menyebabkan benda berputar mengelilingi pusat gravitasi. Oleh karena itu, semua gaya gravitasi dapat digantikan oleh satu gaya yang diterapkan ke titik ini dan sama dengan gaya gravitasi.

Untuk mempelajari pergerakan tubuh seorang atlet, istilah pusat gravitasi umum (CGG) sering diperkenalkan. Sifat utama dari pusat gravitasi:

Jika benda dipasang pada sumbu yang melewati pusat gravitasi, maka gravitasi tidak akan menyebabkannya berputar;

Pusat gravitasi adalah titik penerapan gravitasi;

Di bidang yang seragam, pusat gravitasi berimpit dengan pusat massa.

Ekuilibrium adalah posisi tubuh di mana ia dapat tetap diam untuk waktu yang lama. Ketika benda menyimpang dari posisi kesetimbangan, gaya yang bekerja padanya berubah, dan keseimbangan gaya terganggu.

Ada berbagai jenis kesetimbangan (Gbr. 9). Merupakan kebiasaan untuk membedakan tiga jenis keseimbangan: stabil, tidak stabil, dan acuh tak acuh.

Keseimbangan stabil (Gbr. 9, a) dicirikan oleh fakta bahwa benda kembali ke posisi semula saat dibelokkan. Dalam hal ini, timbul gaya, atau momen gaya, yang cenderung mengembalikan benda ke posisi semula. Contohnya adalah posisi tubuh dengan penyangga atas (misalnya, tergantung di palang), ketika dengan penyimpangan apa pun, tubuh cenderung kembali ke posisi semula.

Kesetimbangan acuh tak acuh (Gbr. 9, b) dicirikan oleh fakta bahwa ketika posisi benda berubah, tidak ada gaya atau momen gaya yang cenderung mengembalikan benda ke posisi semula atau semakin menjauhkan benda darinya. Ini adalah kejadian langka pada manusia. Contohnya adalah keadaan tanpa bobot di pesawat luar angkasa.

Keseimbangan tidak stabil (Gbr. 9, c) diamati ketika, dengan penyimpangan kecil pada benda, gaya atau momen gaya muncul yang cenderung lebih menyimpang dari posisi awalnya. Kasus seperti itu dapat diamati ketika seseorang, berdiri di atas penyangga area yang sangat kecil (jauh lebih kecil dari area kedua kakinya atau bahkan satu kakinya), menyimpang ke samping.

Gambar 9 Keseimbangan tubuh: stabil (a), acuh tak acuh (b), tidak stabil (c)

Seiring dengan jenis keseimbangan tubuh yang terdaftar dalam biomekanik, jenis keseimbangan lain dipertimbangkan - terbatas-stabil. Jenis keseimbangan ini dibedakan oleh fakta bahwa benda dapat kembali ke posisi semula jika menyimpang darinya hingga batas tertentu, misalnya ditentukan oleh batas area penyangga. Jika penyimpangan melebihi batas ini, kesetimbangan menjadi tidak stabil.

Tugas utama dalam memastikan keseimbangan tubuh manusia adalah memastikan bahwa proyeksi GCM tubuh berada dalam area penyangga. Bergantung pada jenis aktivitas (mempertahankan posisi statis, berjalan, berlari, dll.) Dan persyaratan stabilitas, frekuensi dan kecepatan tindakan korektif berubah, tetapi proses menjaga keseimbangannya sama.

Distribusi massa dalam tubuh manusia

Massa tubuh dan massa segmen individu sangat penting untuk berbagai aspek biomekanik. Dalam banyak olahraga, distribusi massa perlu diketahui untuk mengembangkan teknik yang benar dalam melakukan latihan. Untuk menganalisis pergerakan tubuh manusia digunakan metode segmentasi: secara konvensional dibagi menjadi segmen-segmen tertentu. Untuk setiap segmen ditentukan massanya dan posisi pusat massanya. Di meja. 1 mendefinisikan massa bagian tubuh dalam satuan relatif.

Tabel 1. Massa bagian tubuh dalam satuan relatif

Seringkali, alih-alih konsep pusat massa, konsep lain digunakan - pusat gravitasi. Dalam bidang gravitasi yang seragam, pusat gravitasi selalu berimpit dengan pusat massa. Posisi pusat gravitasi tautan ditunjukkan sebagai jaraknya dari sumbu sambungan proksimal dan dinyatakan relatif terhadap panjang tautan yang diambil sebagai satu kesatuan.

Di meja. 2 menunjukkan posisi anatomi pusat gravitasi berbagai bagian tubuh.

Meja 2. Pusat gravitasi bagian tubuh

Bagian dari tubuh	Posisi titik berat
Panggul	Panjang tautan 0,44
Shin	Panjang tautan 0,42
Bahu	Panjang tautan 0,47
Lengan bawah	Panjang tautan 0,42
batang tubuh
Kepala
Sikat
Kaki
Bahu	Panjang tautan 0,47
Lengan bawah	Panjang tautan 0,42
batang tubuh	0,44 jarak dari sumbu melintang sendi bahu ke sumbu pinggul
Kepala	Terletak di wilayah pelana Turki tulang sphenoid (proyeksi dari depan antara alis, dari samping - 3,0 - 3,5 di atas saluran pendengaran eksternal)
Sikat	Di daerah kepala tulang metakarpal ketiga
Kaki	Pada garis lurus yang menghubungkan tuberkulum kalkaneus kalkaneus dengan ujung jari kedua pada jarak 0,44 dari titik pertama
Pusat umum massa gravitasi dalam posisi vertikal tubuh	Terletak di kuda-kuda utama di area panggul, di depan sakrum

Melihat: artikel ini telah dibaca 11269 kali

Pdf Pilih bahasa... Rusia Ukraina Inggris

Ulasan singkat

Materi lengkap didownload di atas, setelah memilih bahasa

Tinjauan

Lengan tuas adalah benda tegar yang memiliki sumbu rotasi yang tidak dapat digerakkan dan berada di bawah aksi gaya yang terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu ini.

Jika tuas dalam keadaan diam, maka jumlah aljabar momen semua gaya yang bekerja pada tuas relatif terhadap titik acuan adalah nol

Sistem kekuatan pesawat sewenang-wenang - ini adalah sistem gaya, garis aksinya terletak di bidang secara independen.

Dengan menggunakan metode Poinsot di pusat reduksi O, akan diperoleh sistem gaya dan sistem pasangan yang momen masing-masingnya sama dengan momen gaya yang bersesuaian relatif terhadap pusat reduksi.

Sistem vektor utama disebut vektor, yang sama dengan jumlah geometris dari semua gaya sistem.

Poin utama dari sistem relatif terhadap pusat O pada bidang disebut jumlah aljabar dari momen-momen gaya sistem relatif terhadap pusat reduksi O.

Vektor utama tidak bergantung pada pilihan pusat reduksi O. Momen utama gaya bergantung pada pusat reduksi.

Teorema dasar statika tentang membawa sistem gaya ke pusat tertentu : Setiap sistem gaya sembarang datar yang bekerja pada benda yang benar-benar kaku, ketika direduksi menjadi pusat O yang dipilih secara sewenang-wenang, dapat diganti dengan satu gaya yang sama dengan vektor utama sistem dan diterapkan pada pusat reduksi O, dan satu pasang dengan a momen sama dengan momen utama sistem terhadap pusat O.

Kasus pengurangan sistem gaya datar ke bentuk yang lebih sederhana dipertimbangkan.

Kondisi kesetimbangan untuk sistem gaya bidang arbitrer.

1. Kondisi kesetimbangan geometris : untuk kesetimbangan sistem gaya arbitrer bidang, perlu dan cukup bahwa vektor utama dan momen utama sistem sama dengan nol

2. Kondisi keseimbangan analitik .

Bentuk dasar kondisi keseimbangan: Untuk kesetimbangan sistem gaya datar arbitrer, perlu dan cukup bahwa jumlah proyeksi semua gaya pada sumbu koordinat dan jumlah momennya relatif terhadap setiap pusat yang terletak di bidang aksi gaya sama dengan nol.

Bentuk kedua dari kondisi ekuilibrium: Untuk kesetimbangan sistem gaya planar arbitrer, perlu dan cukup bahwa jumlah momen semua gaya terhadap dua pusat A dan B dan jumlah proyeksinya pada sumbu yang tidak tegak lurus terhadap garis lurus AB adalah sama dengan nol.

Bentuk ketiga kondisi kesetimbangan (persamaan tiga momen): Untuk kesetimbangan sistem gaya arbitrer datar, perlu dan cukup bahwa jumlah momen semua gaya di sekitar tiga pusat A, B dan C, tidak terletak pada satu garis lurus, sama dengan nol.

Pusat Pasukan Paralel

Sistem gaya paralel yang diarahkan ke satu arah tidak dapat diseimbangkan atau direduksi menjadi sepasang gaya, ia selalu memiliki resultan.

Garis aksi resultan sejajar dengan gaya. Posisi titik penerapannya bergantung pada besar dan posisi titik penerapan gaya-gaya sistem.

Pusat Pasukan Paralel - titik C adalah titik penerapan sistem resultan gaya paralel.
Posisi pusat gaya paralel - titik C, ditentukan oleh koordinat titik ini

Pusat gravitasi benda tegar dan koordinatnya

Pusat gravitasi tubuh - titik geometris yang selalu terkait dengan benda ini, di mana resultan gaya gravitasi dari masing-masing partikel benda diterapkan, mis. berat badan di luar angkasa.

Koordinat pusat gravitasi ditentukan dengan cara yang mirip dengan koordinat pusat gaya paralel C (), yang disusun oleh gaya gravitasi partikel benda.

Posisi pusat gravitasi benda homogen hanya bergantung pada bentuk dan dimensi geometrisnya, dan tidak bergantung pada sifat bahan dari mana benda itu dibuat.

Jumlah hasil kali luas bidang dasar yang membentuk bangun datar dengan nilai aljabar jaraknya ke suatu sumbu disebut momen statis luas bidang datar.

Momen statis luas bangun datar sama dengan hasil kali luas bangun datar dengan jarak aljabar dari pusat gravitasi ke sumbu ini. Satuan ukuran momen statis adalah [cm3].
momen statis luas bidang datar relatif terhadap sumbu yang melewati pusat gravitasi gambar sama dengan nol.

Berat badan adalah resultan gaya gravitasi dari masing-masing partikel tubuh.

Metode untuk menentukan posisi pusat gravitasi .

1. metode simetri : Jika benda homogen memiliki bidang, sumbu, atau pusat simetri, maka pusat gravitasi masing-masing terletak di bidang simetri, atau di sumbu simetri, atau di pusat simetri. garis panjang berada di tengah. Pusat gravitasi lingkaran (atau lingkaran) jari-jari ada di pusatnya, mis. pada titik potong diameter. Pusat gravitasi jajaran genjang, belah ketupat atau paralelepiped berada di titik perpotongan diagonal. Pusat gravitasi poligon beraturan berada di pusat lingkaran bertulis atau terbatas.
2. Metode pengintaian : Jika benda dapat dibagi menjadi sejumlah elemen (volume, bidang, garis), yang masing-masingnya diketahui posisi pusat gravitasinya, maka koordinat pusat gravitasi seluruh benda dapat ditentukan oleh mengetahui nilai-nilai unsur-unsur secara langsung dengan rumus-rumusnya
3. Metode pelengkap (bidang negatif): Jika benda memiliki elemen potong, maka saat membelah menjadi elemen, bagian potong (area, volume) dikurangi dari total, mis. elemen potong diberi nilai area atau volume negatif

Format: pdf

Ukuran: 700 KV

Bahasa: Rusia, Ukraina

Contoh perhitungan roda gigi pacu
Contoh perhitungan roda gigi pacu. Pemilihan material, perhitungan tegangan yang diijinkan, perhitungan kontak dan kekuatan lentur dilakukan.

Contoh pemecahan masalah lentur balok
Dalam contoh, diagram gaya transversal dan momen lentur diplot, bagian berbahaya ditemukan, dan balok-I dipilih. Dalam masalah tersebut, konstruksi diagram menggunakan dependensi diferensial dianalisis, analisis komparatif dari berbagai penampang balok dilakukan.

Contoh pemecahan masalah torsi poros
Tugasnya adalah menguji kekuatan poros baja untuk diameter, material, dan tegangan yang diijinkan. Selama penyelesaian, diagram torsi, tegangan geser, dan sudut puntir dibuat. Berat sendiri poros tidak diperhitungkan

Contoh pemecahan masalah tegangan-kompresi batang
Tugasnya adalah menguji kekuatan batang baja pada tegangan yang diijinkan. Selama solusi, plot gaya longitudinal, tegangan normal, dan perpindahan dibangun. Berat sendiri batang tidak diperhitungkan

Penerapan teorema kekekalan energi kinetik
Contoh pemecahan masalah penerapan teorema kekekalan energi kinetik sistem mekanik

Penentuan kecepatan dan percepatan suatu titik menurut persamaan gerak yang diberikan
Contoh penyelesaian soal menentukan kelajuan dan percepatan suatu titik menurut persamaan gerak yang diberikan

Penentuan kecepatan dan percepatan titik-titik benda tegar selama gerak bidang-paralel
Contoh penyelesaian soal menentukan kecepatan dan percepatan titik-titik benda tegar selama gerak bidang-paralel