Bilangan kompleks

Imajiner Dan bilangan kompleks. Absis dan ordinat

bilangan kompleks. Konjugasi bilangan kompleks.

Operasi dengan bilangan kompleks. Geometris

representasi bilangan kompleks. pesawat kompleks.

Modulus dan argumen bilangan kompleks. trigonometri

bentuk bilangan kompleks. Operasi dengan kompleks

bilangan dalam bentuk trigonometri. Formula Moivre.

Informasi dasar tentang imajiner Dan bilangan kompleks diberikan di bagian "Bilangan imajiner dan kompleks". Kebutuhan akan bilangan jenis baru ini muncul saat menyelesaikan persamaan kuadrat untuk kasus tersebutD< 0 (здесь Dadalah diskriminan dari persamaan kuadrat). Untuk waktu yang lama, angka-angka ini tidak digunakan secara fisik, itulah sebabnya mereka disebut angka "imajiner". Namun, sekarang mereka sangat banyak digunakan di berbagai bidang fisika.

dan teknologi: teknik elektro, hidro dan aerodinamika, teori elastisitas, dll.

Bilangan kompleks ditulis sebagai:a+bi. Di Sini A Dan B – bilangan asli , A Saya – satuan imajiner. e. Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon absis, A b - ordinatbilangan kompleksa + b .Dua bilangan kompleksa+bi Dan a-bi ditelepon mengkonjugasikan bilangan kompleks.

Kesepakatan utama:

1. Bilangan asliAdapat juga ditulis dalam bentukbilangan kompleks:+ 0 Saya atau A - 0 Saya. Misalnya, entri 5 + 0Saya dan 5 - 0 Sayaberarti angka yang sama 5 .

2. Bilangan kompleks 0 + duaditelepon murni imajiner nomor. Rekamanduaartinya sama dengan 0 + dua.

3. Dua bilangan kompleksa+bi Danc + didianggap sama jikaa = c Dan b = d. Jika tidak bilangan kompleks tidak sama.

Tambahan. Jumlah bilangan kompleksa+bi Dan c + didisebut bilangan kompleks (a+c ) + (b+d ) Saya .Dengan demikian, ketika ditambahkan bilangan kompleks, absis dan ordinatnya ditambahkan secara terpisah.

Definisi ini mengikuti aturan untuk menangani polinomial biasa.

Pengurangan. Selisih antara dua bilangan kompleksa+bi(dikurangi) dan c + di(dikurangi) disebut bilangan kompleks (a-c ) + (b-d ) Saya .

Dengan demikian, saat mengurangkan dua bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dikurangkan secara terpisah.

Perkalian. Hasil kali bilangan kompleksa+bi Dan c + di disebut bilangan kompleks.

(ac-bd ) + (iklan+bc ) Saya .Definisi ini berasal dari dua persyaratan:

1) angka a+bi Dan c + diharus mengalikan seperti aljabar binomial,

2) nomor Sayamemiliki sifat utama:Saya 2 = – 1.

CONTOH ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Karena itu, bekerja

dua bilangan kompleks konjugat sama dengan bilangan asli

nomor positif.

Divisi. Membagi bilangan kompleksa+bi (dapat dibagi) dengan yang lainc + di(pembagi) - berarti menemukan angka ketigae + fi(obrolan), yang bila dikalikan dengan pembagic + di, yang menghasilkan dividena + b .

Jika pembaginya bukan nol, pembagian selalu memungkinkan.

CONTOH Temukan (8+Saya ) : (2 – 3 Saya) .

Solusi Mari kita tulis ulang rasio ini sebagai pecahan:

Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2 + 3Saya

DAN setelah melakukan semua transformasi, kita mendapatkan:

Representasi geometris dari bilangan kompleks. Bilangan real diwakili oleh titik-titik pada garis bilangan:

Inilah intinya Aartinya angka -3, titikB adalah nomor 2, dan HAI- nol. Sebaliknya, bilangan kompleks diwakili oleh titik-titik pada bidang koordinat. Untuk ini, kami memilih koordinat persegi panjang (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Kemudian bilangan kompleksa+bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat gbr.). Sistem koordinat ini disebut pesawat kompleks .

modul bilangan kompleks disebut panjang vektorOP, menggambarkan bilangan kompleks pada koordinat ( luas) pesawat. modulus bilangan kompleksa+bi dilambangkan dengan | a+bi| atau surat R

Bilangan kompleks adalah bilangan berbentuk z = x + i * y, dengan x dan y bilangan real angka, dan i = unit imajiner (yaitu, angka yang kuadratnya adalah -1). Untuk menentukan tampilan argumen terintegrasi angka, Anda perlu melihat bilangan kompleks pada bidang kompleks dalam sistem koordinat kutub.

Petunjuk

1. Pesawat di mana kompleks angka, disebut kompleks. Di bidang ini, sumbu horizontal ditempati oleh real angka(x), dan sumbu vertikal - imajiner angka(y). Pada bidang seperti itu, angkanya diberikan oleh dua koordinat z = (x, y). Dalam sistem koordinat kutub, koordinat suatu titik adalah modulus dan argumen. Modulnya adalah jarak |z| dari titik ke asal. Sudut disebut argumen? antara vektor yang menghubungkan titik dan kata pengantar koordinat dan sumbu horizontal sistem koordinat (lihat gambar).

2. Dapat dilihat dari gambar bahwa modul kompleks angka z = x + i * y ditemukan dengan teorema Pythagoras: |z| = ? (x^2 + y^2). Argumen lebih lanjut angka z ditemukan sebagai sudut akut segitiga - melalui nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg:sin ? =y/? (x^2 + y^2), cos ? =x/? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Katakanlah bilangan z = 5 * (1 + ?3 * i) diberikan. Pertama-tama, pilih bagian nyata dan imajiner: z = 5 +5 * ?3 * i. Ternyata bagian real x = 5, dan bagian imajiner y = 5 * ?3. Menghitung Modulus angka: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Selanjutnya, temukan sinus sudut?: sin ? \u003d 5/10 \u003d 1/2. Dari sana, diperoleh argumen angka z adalah 30°.

4. Contoh 2. Misalkan z = 5 * i diberikan. Dapat dilihat dari gambar bahwa sudut = 90°. Periksa nilai ini dengan rumus di atas. Tuliskan koordinat ini angka pada bidang kompleks: z = (0, 5). Modul angka|z| = 5. Garis singgung sudut tg ? = 5/5 = 1. Dari sini selanjutnya apa? = 90°.

5. Contoh 3 Misalkan perlu mencari bukti penjumlahan 2 bilangan kompleks z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Menurut aturan penjumlahan, tambahkan kedua kompleks ini angka: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Selanjutnya, menurut skema di atas, hitung argumennya: tg ? = 9/3 = 3.

Catatan!
Jika angka z = 0, maka nilai argumennya tidak ditentukan.

Saran yang bermanfaat
Nilai argumen bilangan kompleks ditentukan dengan ketelitian 2 * ? * k, di mana k adalah sembarang bilangan bulat. Nilai alasan? seperti yang -?

Sesuai dengan nomor ini: .
Modulus bilangan kompleks z biasanya dilambangkan dengan | z| atau r.

Membiarkan dan menjadi bilangan real sehingga menjadi bilangan kompleks (notasi biasa). Kemudian

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Modulus bilangan kompleks" di kamus lain:

modulus bilangan kompleks- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulus bilangan kompleks vok. Betrag der complexen Zahl, m rus. modulus bilangan kompleks, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulus) Besarnya suatu bilangan dalam kaitannya dengan jaraknya dari 0. Modulus, atau nilai absolut dari bilangan riil x (dilambangkan dengan |x|), adalah selisih antara x dan 0, apa pun tandanya. Oleh karena itu, jika x0, maka |x|=x dan jika x 0, maka |x|=–x... Kamus ekonomi

Untuk bilangan kompleks, lihat nilai absolut. Modulus transisi dari sistem logaritma berbasis a ke sistem berbasis b adalah bilangan 1/logab ... Kamus Ensiklopedis Besar

Nilai absolut atau modulus bilangan real atau kompleks x adalah jarak dari x ke titik asal. Lebih tepatnya: Nilai absolut dari bilangan real x adalah bilangan non-negatif yang dilambangkan dengan |x| dan didefinisikan sebagai berikut: ... ... Wikipedia

Modul dalam matematika, 1) M. (atau nilai absolut) dari bilangan kompleks z \u003d x + iy adalah bilangan ═ (akarnya diambil dengan tanda tambah). Saat merepresentasikan bilangan kompleks z dalam bentuk trigonometri z \u003d r (cos j + i sin j), bilangan real r adalah ... ...

- (dalam matematika) ukuran untuk membandingkan kuantitas homogen dan untuk mengekspresikan salah satunya dengan menggunakan yang lain; m. dinyatakan sebagai angka. Kamus kata-kata asing termasuk dalam bahasa Rusia. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) angka yang mereka kalikan ... ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

MODULUS bilangan kompleks, lihat Nilai absolut (lihat NILAI MUTLAK). Modulus transisi dari sistem logaritma berbasis a ke sistem berbasis b adalah bilangan 1/logab ... Kamus ensiklopedis

I Modul (dari bahasa Latin modulus measure) dalam arsitektur, unit konvensional yang diadopsi untuk mengoordinasikan dimensi bagian-bagian bangunan atau kompleks. Dalam arsitektur orang yang berbeda, tergantung pada karakteristik peralatan konstruksi dan komposisi bangunan untuk M. ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

SAYA; m [dari lat. ukuran modulus] 1. apa. Spesialis. Nilai yang mencirikan apa l. sifat benda tegar. M. kompresi. M.elastisitas. 2. Matematika. Bilangan real, nilai absolut dari bilangan negatif atau positif. M. bilangan kompleks. M... Kamus ensiklopedis

Karakteristik numerik dari setiap matematika. obyek. Biasanya nilai M. merupakan bilangan real tak negatif, suatu unsur yang memiliki sifat tertentu. properti karena properti dari kumpulan objek yang dipertimbangkan. Konsep M. ... ... Ensiklopedia Matematika

Definisi 8.3 (1).

Panjang |z| vektor z = (x, y) disebut modulus bilangan kompleks z = x + yi

Karena panjang setiap sisi segitiga tidak melebihi jumlah panjang dua sisi lainnya, dan nilai mutlak selisih panjang kedua sisi segitiga tidak kurang dari panjang sisi ketiga , maka untuk dua bilangan kompleks apa pun z 1 dan z 2 ketidaksetaraan terjadi

Definisi 8.3 (2).

Argumen bilangan kompleks. Jika φ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor bukan nol z dengan sumbu nyata, maka sudut bentuk apa pun (φ + 2πn, di mana n adalah bilangan bulat, dan hanya sudut seperti itu) juga akan menjadi sudut yang dibentuk oleh vektor z dengan sumbu sebenarnya.

Himpunan semua sudut yang dibentuk oleh vektor bukan nol z = (x, y) dengan sumbu real disebut argumen bilangan kompleks z = x + yi dan dilambangkan dengan arg z. Setiap elemen himpunan ini disebut nilai argumen bilangan z (Gbr. 8.3(1)).

Beras. 8.3(1).

Karena vektor bidang bukan nol secara unik ditentukan oleh panjangnya dan sudut yang dibentuknya dengan sumbu x, maka dua bilangan kompleks bukan nol adalah sama jika dan hanya jika nilai dan argumen absolutnya sama.

Jika, misalnya, kondisi 0≤φ dikenakan pada nilai argumen φ dari angka z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definisi 8.3.(3)

Bentuk trigonometri dari bilangan kompleks. Bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks z = x + yi ≠ 0 dinyatakan dalam modulus r= |z| dan argumen φ sebagai berikut (dari definisi sinus dan cosinus):

Sisi kanan persamaan ini disebut bentuk trigonometri dari bilangan kompleks z. Kami juga akan menggunakannya untuk z = 0; dalam hal ini r = 0, dan φ dapat mengambil nilai apa pun - argumen angka 0 tidak ditentukan. Jadi, bilangan kompleks apa pun dapat ditulis dalam bentuk trigonometri.

Juga jelas bahwa jika bilangan kompleks z ditulis sebagai

maka angka r adalah modulusnya, karena

Dan φ adalah salah satu nilai argumennya

Bentuk trigonometri penulisan bilangan kompleks dapat dengan mudah digunakan saat mengalikan bilangan kompleks, khususnya, memungkinkan Anda untuk mengetahui arti geometris dari perkalian bilangan kompleks.

Mari kita temukan rumus perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri notasinya. Jika

kemudian dengan aturan perkalian bilangan kompleks (menggunakan rumus sinus dan kosinus penjumlahan)

Jadi, saat mengalikan bilangan kompleks, nilai absolutnya dikalikan, dan argumen ditambahkan:

Menerapkan rumus ini berturut-turut ke n bilangan kompleks, kita dapatkan

Jika semua n angka sama, kita dapatkan

Kemana

dilakukan

Oleh karena itu, untuk bilangan kompleks yang nilai absolutnya adalah 1 (karenanya, memiliki bentuk

Kesetaraan ini disebut Formula De Moivre

Dengan kata lain, saat membagi bilangan kompleks, modulusnya dibagi,

dan argumen dikurangi.

Contoh 8.3(1).

Gambarlah pada bidang kompleks C sekumpulan titik yang memenuhi kondisi berikut:

Yang mewakili bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$ disebut modulus bilangan kompleks tertentu.

Modulus bilangan kompleks tertentu dihitung menggunakan rumus berikut:

Contoh 1

Hitung modulus bilangan kompleks yang diberikan $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Modulus bilangan kompleks $z=a+bi$ dihitung dengan rumus: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Untuk bilangan kompleks asli $z_(1) =13$ kita dapatkan $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Untuk bilangan kompleks asli $\, z_(2) =4i$ kita mendapatkan $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Untuk bilangan kompleks asli $\, z_(3) =4+3i$ kita mendapatkan $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definisi 2

Sudut $\varphi $ yang dibentuk oleh arah positif sumbu riil dan vektor jari-jari $\overrightarrow(OM) $, yang sesuai dengan bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$, disebut argumen bilangan ini dan dilambangkan dengan $\arg z$.

Catatan 1

Modulus dan argumen bilangan kompleks tertentu secara eksplisit digunakan saat merepresentasikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri atau eksponensial:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - bentuk trigonometri;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ adalah bentuk eksponensial.

Contoh 2

Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri dan eksponensial yang diberikan oleh data berikut: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Gantikan data $r=3;\varphi =\pi $ ke dalam rumus yang sesuai dan dapatkan:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - bentuk trigonometri

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ adalah bentuk eksponensial.

2) Gantikan data $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ ke dalam rumus yang sesuai dan dapatkan:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - bentuk trigonometri

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ adalah bentuk eksponensial.

Contoh 3

Tentukan modulus dan argumen dari bilangan kompleks yang diberikan:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Kami menemukan modul dan argumen menggunakan rumus untuk menulis bilangan kompleks yang diberikan masing-masing dalam bentuk trigonometri dan eksponensial

\ \

1) Untuk bilangan kompleks asli $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ kita dapatkan $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Untuk bilangan kompleks awal $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ kita dapatkan $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Untuk bilangan kompleks asli $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ kita dapatkan $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Untuk bilangan kompleks asli $z=13\cdot e^(i\pi ) $ kita dapatkan $r=13;\varphi =\pi $.

Argumen $\varphi $ dari bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

Dalam praktiknya, untuk menghitung nilai argumen bilangan kompleks tertentu $z=a+bi$, rumus berikut biasanya digunakan:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

atau memecahkan sistem persamaan

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right.$.(**)

Contoh 4

Hitung argumen bilangan kompleks yang diberikan: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Karena $z=3$, maka $a=3,b=0$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Karena $z=4i$, maka $a=0,b=4$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Karena $z=1+i$, maka $a=1,b=1$. Hitung argumen bilangan kompleks asli dengan menyelesaikan sistem (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\kanan. .\]

Diketahui dari kursus trigonometri bahwa $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ untuk sudut yang sesuai dengan kuadran koordinat pertama dan sama dengan $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Karena $z=-5$, maka $a=-5,b=0$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Karena $z=-2i$, maka $a=0,b=-2$. Hitung argumen bilangan kompleks asli menggunakan rumus (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Catatan 2

Angka $z_(3) $ diwakili oleh titik $(0;1)$, oleh karena itu, panjang vektor radius yang sesuai sama dengan 1, yaitu. $r=1$, dan argumen $\varphi =\frac(\pi )(2) $ menurut Catatan 3.

Angka $z_(4) $ diwakili oleh titik $(0;-1)$, oleh karena itu, panjang vektor jari-jari yang sesuai sama dengan 1, yaitu. $r=1$, dan argumen $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ menurut Catatan 3.

Angka $z_(5) $ diwakili oleh titik $(2;2)$, oleh karena itu, panjang vektor jari-jari yang sesuai sama dengan $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, yaitu $r=2\sqrt(2) $, dan argumen $\varphi =\frac(\pi )(4) $ dengan properti segitiga siku-siku.