និយមន័យក្នុង.៧. ចំណុច x ∈ R នៅលើបន្ទាត់ពិតត្រូវបានគេហៅថាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (xn) ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយ U(x) និងលេខធម្មជាតិ N ណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញធាតុ xn ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះដែលមានលេខធំជាង λ, ឧ. x 6 R - ចំណុចកំណត់ប្រសិនបើ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុច x នឹងក្លាយជាចំណុចកំណត់សម្រាប់ (xn) ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់នេះដែលមានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ទោះបីជា ប្រហែលជាមិនមែនធាតុទាំងអស់ដែលមានលេខ n > N ។ ដូច្នេះ ការអះអាងខាងក្រោម គឺច្បាស់ណាស់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ b.b. ប្រសិនបើ lim(xn) = 6 6 R នោះ b គឺជាចំណុចកំណត់តែមួយគត់នៃលំដាប់ (xn)។ ជាការពិតណាស់ ដោយសារនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ធាតុទាំងអស់របស់វាដែលចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួនធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុច 6 ហើយដូច្នេះធាតុដែលមានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត មិនអាចធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចផ្សេងទៀតណាមួយឡើយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ លក្ខខណ្ឌនៃនិយមន័យ 6.7 គឺពេញចិត្តសម្រាប់តែចំណុចពិសេស 6។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនគ្រប់ចំណុចកំណត់ (ជួនកាលគេហៅថា ចំណុចបង្រួមដ៏ល្អ) នៃលំដាប់គឺជាដែនកំណត់របស់វា។ ដូច្នេះ លំដាប់ (b.b) មិនមានដែនកំណត់ទេ (សូមមើលឧទាហរណ៍ 6.5) ប៉ុន្តែវាមានចំនុចកំណត់ពីរ x = 1 និង x = − 1 ។ លំដាប់ ((-1)n) មានចំនុចគ្មានកំណត់ពីរ + oo និង - ជាមួយ បន្ទាត់​លេខ​ដែល​បាន​ពង្រីក​, សហជីព​ដែល​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​និមិត្ត​សញ្ញា​មួយ oo ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងអាចសន្មត់ថាចំណុចដែនកំណត់គ្មានដែនកំណត់ស្របគ្នា ហើយចំណុចគ្មានកំណត់ oo យោងតាម ​​(6.29) គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ កំណត់ចំណុចនៃបន្ទាត់លេខលំដាប់ ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Weierstrass និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ។ អនុញ្ញាតឱ្យលេខមួយ (sn) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យលេខ k បង្កើតជាលំដាប់កើនឡើងនៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក លំដាប់ (ynb ដែល yn = xkn) ត្រូវបានគេហៅថាជាបន្តបន្ទាប់នៃលំដាប់ដើម។ ជាក់ស្តែង ប្រសិនបើ (in) មានលេខ 6 ជាដែនកំណត់របស់វា នោះណាមួយនៃជាបន្តបន្ទាប់របស់វាមានដែនកំណត់ដូចគ្នា ចាប់តាំងពី ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន។ ធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ដើម និងផ្នែកបន្តបន្ទាប់របស់វាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់ដែលបានជ្រើសរើសណាមួយនៃចំណុច 6. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ចំណុចកំណត់ណាមួយនៃលំដាប់បន្តក៏ជាចំណុចកំណត់សម្រាប់លំដាប់ផងដែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាចំណុចកំណត់នៃ sequence (xn) បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យ 6 ។ ចំណុចកំណត់ 7 សម្រាប់ n នីមួយៗមានធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់ U (6, 1/n) នៃចំនុច b នៃកាំ 1/n ។ លំដាប់បន្ទាប់ផ្សំឡើងដោយពិន្ទុ ijtj, ...1 ..., ដែល zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, មានចំណុច 6 ជាដែនកំណត់របស់វា។ ជាការពិត សម្រាប់ e> 0 បំពាន មួយអាចជ្រើសរើស N បែបនោះ។ បន្ទាប់មកធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់បន្តបន្ទាប់ដោយចាប់ផ្តើមដោយលេខ km ធ្លាក់ចូលទៅក្នុង ^-neighbourhood U (6, ε) នៃចំណុច 6 ដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌនៃនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់។ ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាក៏ពិតដែរ។ កំណត់ចំណុចនៃបន្ទាត់លេខលំដាប់ ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Weierstrass និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ។ ទ្រឹស្តីបទ ៨.១០។ ប្រសិនបើលំដាប់ខ្លះមានជាបន្តបន្ទាប់ដែលមានដែនកំណត់ 6 នោះ b គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ វាធ្វើតាមពីនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន ធាតុទាំងអស់នៃជាបន្តបន្ទាប់ដែលមានដែនកំណត់ b ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់ U (b, ​e) នៃកាំបំពាន e ។ ចាប់តាំងពីធាតុនៃជាបន្តបន្ទាប់គឺ ក្នុងពេលដំណាលគ្នាធាតុនៃលំដាប់មានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត ហើយនេះដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យ 6.7 មានន័យថា b គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (n) ។ ចំណាំ 0.2 ។ ទ្រឹស្តីបទ 6.9 និង 6.10 ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលចំណុចកំណត់គឺគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើនៅក្នុងការបញ្ជាក់សង្កាត់ដែលបានស្លាប់ U(6, 1 /n) យើងចាត់ទុកសង្កាត់មួយ (ឬសង្កាត់) លក្ខខណ្ឌដែលការបន្តបន្ទាប់បន្សំអាចត្រូវបានសម្គាល់ពី លំដាប់មួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ 6.11 (Bolzano - Weierstrass ។) រាល់លំដាប់ដែលមានព្រំប្រទល់មានជាបន្តបន្ទាប់ដែលបង្រួបបង្រួមដល់ដែនកំណត់កំណត់។ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ (an) ស្ថិតនៅចន្លោះលេខ a និង 6 ពោលគឺ xn € [ a, b] Vn € N. ចែកផ្នែក [a , b] ជាពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មក យ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយរបស់វានឹងមានចំនួនធាតុមិនកំណត់នៃលំដាប់ ព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ ផ្នែកទាំងមូល [a, b] នឹងមាន a ចំនួនកំណត់នៃពួកវា ដែលមិនអាចទៅរួច។ អនុញ្ញាតឱ្យ ] នៃពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក [a , 6] ដែលមានសំណុំធាតុគ្មានកំណត់នៃលំដាប់ (xp) (ឬប្រសិនបើពាក់កណ្តាលទាំងពីរគឺដូចនោះ ណាមួយនៃពួកគេ ) បន្តដំណើរការនេះ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធនៃផ្នែកដែលជាប់គាំង ដែល bn - an = (6 - a)/2n ។ យោងទៅតាមគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង មានចំនុច x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកទាំងអស់នេះ។ ចំណុចនេះនឹងក្លាយជាចំណុចកំណត់សម្រាប់លំដាប់ (xn)។ ជាការពិតសម្រាប់ e-neighborhood Wx, e) = (x x + e) ​​​​នៃចំនុច x មានផ្នែក C U(x, e) (វា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការជ្រើសរើស n ពីវិសមភាព (ដែលមានចំនួនធាតុមិនកំណត់នៃលំដាប់ (sn)។ យោងតាមនិយមន័យ 6.7 x គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ បន្ទាប់មក ដោយសារទ្រឹស្តីបទ 6.9 មានការបន្តបន្ទាប់គ្នាដែលបំប្លែងដល់ចំនុច x ។ វិធីសាស្រ្តនៃហេតុផលដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ (ជួនកាលគេហៅថា Bolzano-Weierstrass lemma) ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបន្តបន្ទាប់គ្នានៃផ្នែកដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាវិធីសាស្ត្រ Bolzano ។ ទ្រឹស្តីបទនេះជួយសម្រួលដល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទស្មុគស្មាញជាច្រើន។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗមួយចំនួនតាមវិធីផ្សេងគ្នា (ជួនកាលសាមញ្ញជាង)។ ឧបសម្ព័ន្ធ 6.2 ។ ភស្តុតាងនៃការធ្វើតេស្ត Weierstrass និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ជាដំបូងយើងបង្ហាញសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 6.1 (ការធ្វើតេស្ត Weierstrass សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ monotone ដែលមានព្រំដែន) ។ ចូរយើងសន្មត់ថា sequence (n) មិនថយចុះ។ បន្ទាប់មកសំណុំនៃតម្លៃរបស់វាត្រូវបានចងពីខាងលើ ហើយតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 មានកំពូលដ៏អស្ចារ្យបំផុត ដែលយើងកំណត់ដោយ sup(xn) គឺ R. ដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកំពូលដ៏អស្ចារ្យបំផុត (សូមមើល 2.7) យោងតាមនិយមន័យ 6.1 សម្រាប់លំដាប់មិនថយចុះ យើងមាន ឬបន្ទាប់មក > នី ហើយដោយគិតគូរ (6.34) យើងទទួលបាន 31im(sn) និង lim(xn) = 66R ។ ប្រសិនបើលំដាប់ (xn) មិនកើនឡើង នោះភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នា។ ឥឡូវនេះយើងងាកទៅរកភស្តុតាងនៃភាពគ្រប់គ្រាន់នៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Kochia សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់មួយ (សូមមើលការអះអាង 6.3) ចាប់តាំងពីភាពចាំបាច់នៃលក្ខខណ្ឌនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យធ្វើតាមពីទ្រឹស្តីបទ 6.7 ។ សូមឱ្យលំដាប់ (sn) ជាមូលដ្ឋាន។ យោងតាមនិយមន័យ 6.4 ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមអំពើចិត្ត €> 0 មនុស្សម្នាក់អាចស្វែងរកលេខ N(s) ដូចជា m^N និង n^N តាម។ បន្ទាប់មកសន្មតថា m - N សម្រាប់ Vn > N យើងទទួលបាន€ £ ចាប់តាំងពីលំដាប់ដែលកំពុងពិចារណាមានចំនួនកំណត់នៃធាតុដែលមានលេខមិនលើសពី N វាធ្វើតាមពី (6.35) ដែលលំដាប់មូលដ្ឋានត្រូវបានចង (សម្រាប់ការប្រៀបធៀប សូមមើលផ្នែក ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៦.២ ស្តីពីព្រំដែននៃលំដាប់បង្រួបបង្រួម) ។ សម្រាប់​សំណុំ​តម្លៃ​នៃ​លំដាប់​ដែល​មាន​ព្រំដែន មាន​ព្រំដែន​អប្បរមា និង​កំពូល (មើល​ទ្រឹស្តីបទ ២.១)។ សម្រាប់​សំណុំ​តម្លៃ​នៃ​ធាតុ​សម្រាប់ n > N យើង​បង្ហាញ​មុខ​ទាំង​នេះ a = inf xn និង bjy = sup xn រៀង​គ្នា។ នៅពេលដែល N កើនឡើង ព្រំដែនខាងក្រោមពិតប្រាកដមិនថយចុះទេ ហើយព្រំដែនខាងលើពិតប្រាកដមិនកើនឡើងទេ i.e. . តើខ្ញុំទទួលបានប្រព័ន្ធ eloasenna ទេ? segments យោងតាមគោលការណ៍នៃ nested segments មានចំនុចរួមមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ segments ទាំងអស់។ ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ ខ។ ដូច្នេះ​នៅ​ពេល​ដែល​មក​ពី​ការ​ប្រៀប​ធៀប (៦. 36) និង (6.37) ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានវាដែលត្រូវនឹងនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់លំដាប់ ពោលគឺឧ។ 31im(x„) និង lim(sn) = 6 6 R. Bolzano បានចាប់ផ្តើមសិក្សាលំដាប់មូលដ្ឋាន។ ប៉ុន្តែគាត់មិនមានទ្រឹស្ដីតឹងរឹងនៃចំនួនពិតទេ ដូច្នេះហើយគាត់បានបរាជ័យក្នុងការបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់មូលដ្ឋាន។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយ Cauchy ដោយទទួលយកគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង ដែល Kantor ក្រោយមកបានអះអាង។ ឈ្មោះ Cauchy ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមិនត្រឹមតែលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់មួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងលំដាប់ជាមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ Cauchy ហើយឈ្មោះ Cantor គឺជាគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គ្នា។ សំណួរ និងកិច្ចការ ៨.១. បញ្ជាក់៖ ៦.២. ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់មិនបញ្ចូលគ្នាជាមួយនឹងធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ Q ​​និង R\Q ។ ០.៣. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វី ដែលលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្របង្កើតជាលំដាប់ថយចុះ និងកើនឡើង? ៦.៤. បញ្ជាក់ទំនាក់ទំនងដែលធ្វើតាមពីតារាង។ ៦.១. ៦.៥. បង្កើតឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលមានទំនោរទៅរកចំណុចគ្មានកំណត់ +oo, -oo, oo និងឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលទៅចំណុច 6 ∈ R. c.e. តើ​លំដាប់​គ្មាន​ព្រំដែន​មិន​អាច​ជា b.b.? ប្រសិនបើបាទ/ចាស ចូរលើកឧទាហរណ៍មួយ។ នៅម៉ោង 7 ។ បង្កើតឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ផ្សេងគ្នាដែលមានធាតុផ្សំវិជ្ជមានដែលមិនមានដែនកំណត់ ឬគ្មានដែនកំណត់។ ៦.៨. បង្ហាញការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ (n) ដែលផ្តល់ដោយរូបមន្តដដែលៗ sn+i = sin(xn/2) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ "1 = 1. 6.9. បញ្ជាក់ថា lim(xn)=09 ប្រសិនបើ sn+i/xn-»g€ .

បែងចែកផ្នែក [ ក 0 ,ខ 0 ] ពាក់កណ្តាលជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា។ យ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកលទ្ធផលមួយមានចំនួនពាក្យមិនកំណត់នៅក្នុងលំដាប់។ ចូរយើងសម្គាល់វា [ ក 1 ,ខ 1 ] .

នៅជំហានបន្ទាប់ យើងធ្វើបែបបទម្តងទៀតជាមួយផ្នែក [ ក 1 ,ខ 1 ] : យើងបែងចែកវាជាពីរផ្នែកស្មើៗគ្នា ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាដែលមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យនៃលំដាប់។ ចូរយើងសម្គាល់វា [ ក 2 ,ខ 2 ] .

ការបន្តដំណើរការនេះ យើងទទួលបានលំដាប់នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង

ក្នុង​នោះ​មួយ​បន្ទាប់​គ្នា​គឺ​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​នៃ​មួយ​មុន​និង​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​សមាជិក​នៃ​លំដាប់ ( x k } .

ប្រវែងនៃផ្នែកមានទំនោរទៅសូន្យ៖

ដោយគុណធម៌នៃគោលការណ៍ Cauchy-Cantor នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង មានចំណុចមួយξដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកទាំងអស់៖

ដោយការសាងសង់លើផ្នែកនីមួយៗ [ក ម ,ខ ម ] មាន​ចំនួន​ពាក្យ​មិន​កំណត់​ក្នុង​លំដាប់។ ចូរយើងជ្រើសរើសតាមលំដាប់លំដោយ

ខណៈពេលដែលសង្កេតមើលស្ថានភាពនៃចំនួនកើនឡើង:

បនា្ទាប់មកបនា្ទាប់មកបំប្លែងដល់ចំនុច ξ ។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាចម្ងាយពីទៅξមិនលើសពីប្រវែងនៃផ្នែកដែលមានពួកវា [ក ម ,ខ ម ] កន្លែងណា

ផ្នែកបន្ថែមទៅករណីនៃទំហំវិមាត្របំពាន

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass ងាយយល់ជាទូទៅចំពោះករណីនៃទំហំវិមាត្របំពាន។

សូមឱ្យលំដាប់នៃពិន្ទុក្នុងលំហត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

(លិបិក្រមខាងក្រោមគឺជាចំនួននៃសមាជិកលំដាប់ លេខខាងលើគឺជាលេខកូអរដោណេ)។ ប្រសិនបើលំដាប់នៃចំនុចក្នុងលំហមានកំណត់ នោះលេខរៀងនៃកូអរដោណេនីមួយៗ៖

មានកំណត់ផងដែរ ( - លេខសំរបសំរួល) ។

ដោយសារតែកំណែមួយវិមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weirstrass ពីលំដាប់ ( x k) យើង​អាច​ជ្រើស​រើស​បន្តបន្ទាប់​នៃ​ចំណុច​ដែល​កូអរដោនេ​ដំបូង​បង្កើត​ជា​លំដាប់​រួម​មួយ។ ពីលទ្ធផលបន្តបន្ទាប់គ្នាម្តងទៀត យើងជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់គ្នាក្នុងកូអរដោណេទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ ការបង្រួបបង្រួមក្នុងកូអរដោណេទីមួយត្រូវបានរក្សាដោយសារតែការពិតដែលបន្តបន្ទាប់នៃលំដាប់ convergent ក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ល​ល។

បន្ទាប់ពី នជំហានយើងទទួលបានលំដាប់មួយចំនួន

ដែល​ជា​លទ្ធផល​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​នៃ , និង​ចូល​រួម​ក្នុង​កូអរដោណេ​នីមួយៗ។ វា​បន្ទាប់​មក​ថា​ប​ណ្តា​ញ​នេះ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​។

រឿង

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass (សម្រាប់ករណី ន= 1) ត្រូវបានបង្ហាញជាលើកដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិឆេក Bolzano ក្នុងឆ្នាំ 1817 ។ នៅក្នុងការងាររបស់ Bolzano វាបានលេចចេញជា lemma នៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទស្តីពីតម្លៃមធ្យមនៃមុខងារបន្ត ដែលឥឡូវនេះគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Cauchy ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លទ្ធផលទាំងនេះ និងលទ្ធផលផ្សេងទៀត ដែលបង្ហាញឱ្យឃើញដោយ Bolzano ជាយូរមកហើយ មុនពេល Cauchy និង Weierstrass មិនបានកត់សម្គាល់ឡើយ។

ត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក Weierstrass ឯករាជ្យពី Bolzano បានរកឃើញឡើងវិញ និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ។ ដើមឡើយត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Weierstrass មុនពេលការងាររបស់ Bolzano ត្រូវបានគេស្គាល់និងទទួលបានការទទួលស្គាល់។

សព្វថ្ងៃនេះទ្រឹស្តីបទនេះមានឈ្មោះ Bolzano និង Weierstrass ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ Bolzano-Weierstrass លេម៉ានិងពេលខ្លះ ចំណុចកំណត់ lemma.

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass និងគំនិតនៃការបង្រួម

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass បង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដូចខាងក្រោមនៃសំណុំព្រំដែន: លំដាប់នៃចំណុចណាមួយ មមាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ជា​បន្តបន្ទាប់។

នៅពេលបង្ហាញសំណើផ្សេងៗក្នុងការវិភាគ ល្បិចខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់៖ លំដាប់នៃចំណុចត្រូវបានកំណត់ថាមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកបន្តបន្ទាប់ទៀតត្រូវបានជ្រើសរើសពីវា ក៏មានវាដែរ ប៉ុន្តែបានបញ្ចូលគ្នារួចហើយ។ ឧទាហរណ៍ នេះជារបៀបដែលទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ត្រូវបានបង្ហាញថាមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេលមួយត្រូវបានចងភ្ជាប់ ហើយយកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតរបស់វា។

ប្រសិទ្ធភាពនៃបច្ចេកទេសបែបនេះជាទូទៅ ក៏ដូចជាការចង់ពង្រីកទ្រឹស្តីបទ Weierstrass ទៅកាន់លំហរង្វាស់តាមអំពើចិត្ត បានជំរុញឱ្យគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Maurice Fréchet ណែនាំគំនិតនេះនៅឆ្នាំ 1906 ។ ការបង្រួម. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃសំណុំជាប់ព្រំដែន ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass គឺជាការនិយាយក្នុងន័យធៀបថា ចំនុចនៃសំណុំគឺស្ថិតនៅ "យ៉ាងជិតស្និទ្ធ" ឬ "បង្រួម"៖ បន្ទាប់ពីអនុវត្តចំនួនជំហានគ្មានកំណត់តាមឈុតនេះ យើង ប្រាកដណាស់នឹងចូលទៅជិតដូចដែលយើងចូលចិត្ត - ចំណុចមួយនៅក្នុងលំហ។

Fréchet ណែនាំនិយមន័យដូចខាងក្រោម: សំណុំមួយ។ មហៅ បង្រួម, ឬ បង្រួមប្រសិនបើលំដាប់ណាមួយនៃចំណុចរបស់វាមានជាបន្តបន្ទាប់ដែលបំប្លែងទៅចំណុចមួយចំនួននៃសំណុំនេះ។ សន្មតថានៅលើឈុត មម៉ែត្រត្រូវបានកំណត់ នោះគឺវាគឺជា