កន្សោមគណិតវិទ្យា (រូបមន្ត) គុណដោយសង្ខេប(ការេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា គូបនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូប) គឺមិនអាចជំនួសបានក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃវិទ្យាសាស្ត្រពិតប្រាកដ។ ធាតុតួអក្សរទាំង 7 នេះមិនអាចជំនួសបាននៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃកន្សោម ដោះស្រាយសមីការ គុណពហុនាម កាត់បន្ថយប្រភាគ ដោះស្រាយអាំងតេក្រាល និងច្រើនទៀត។ ដូច្នេះវានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលពួកគេទទួលបាន តើពួកគេសម្រាប់អ្វី ហើយសំខាន់បំផុតគឺរបៀបចងចាំពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តវា។ បន្ទាប់មកដាក់ពាក្យ រូបមន្តគុណសង្ខេបនៅក្នុងការអនុវត្ត ការលំបាកបំផុតគឺត្រូវមើលថាជាអ្វី Xនិងអ្វីដែលមាន។ ជាក់ស្តែងមិនមានការរឹតត្បិតទេ។ កនិង ខទេ ដែលមានន័យថា វាអាចជាកន្សោមលេខ ឬព្យញ្ជនៈណាមួយ។

ហើយដូច្នេះនៅទីនេះពួកគេគឺ:

ទីមួយ x ២ — នៅ ២ = (x − y) (x + y).ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះដោយផលបូករបស់វា។

ទីពីរ (x + y) ២ = x ២ + 2xy + y ២. ដើម្បីស្វែងរក ផលបូកការ៉េកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមទៅការ៉េនៃកន្សោមទីមួយពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ ដោយទីពីរបូកនឹងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

ទីបី (x − y) ២ = x ២ - 2xy + y ២. ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នាការ៉េកន្សោម​ពីរ អ្នក​ត្រូវ​ដក​ពី​ការេ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​ជា​ពីរ​ដង​នៃ​ផល​គុណ​នៃ​កន្សោម​ទី​មួយ​ដោយ​ទីពីរ​បូក​នឹង​ការ៉េ​នៃ​កន្សោម​ទីពីរ។

ទីបួន (x + y) ៣ = x ៣ + 3x 2 y + 3x 2 + នៅ 3 ។ដើម្បីគណនា គូបបូកកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមទៅគូបនៃកន្សោមទីមួយ បីដងនៃផលិតផលការ៉េនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកបីដងនៃផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយ និងការ៉េនៃទីពីរ បូកគូបនៃកន្សោម។ កន្សោមទីពីរ។

ទីប្រាំ (x − y) ៣ = x ៣ - 3x 2 y + 3x 2 — នៅ ៣. ដើម្បីគណនា ភាពខុសគ្នាគូបកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការដកគូបនៃកន្សោមទីមួយបីដងនៃផលិតផលនៃការេនៃកន្សោមទីមួយដោយទីពីរបូកបីដងនៃផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយនិងការ៉េនៃទីពីរដកគូបនៃទីពីរ។ កន្សោម។

ទីប្រាំមួយ។ x ៣ + យ ៣ = (x + y) (x 2 - xy + y ២)ដើម្បីគណនា ផលបូកនៃគូបកន្សោមពីរ អ្នកត្រូវគុណផលបូកនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការេមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះ។

ទីប្រាំពីរ x ៣ — នៅ ៣ \u003d (x - y) (x 2 + xy + y ២)ដើម្បីធ្វើការគណនា ភាពខុសគ្នានៃគូបកន្សោមពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរដោយការេមិនពេញលេញនៃផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ។

វាមិនពិបាកក្នុងការចងចាំថារូបមន្តទាំងអស់ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើការគណនាក្នុងទិសដៅផ្ទុយ (ពីស្តាំទៅឆ្វេង) ។

អត្ថិភាពនៃភាពទៀងទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ប្រហែល 4 ពាន់ឆ្នាំមុន។ ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយអ្នកស្រុកបាប៊ីឡូនបុរាណ និងអេហ្ស៊ីប។ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​សម័យ​នោះ គេ​បាន​បញ្ចេញ​ពាក្យ​សម្ដី ឬ​ធរណីមាត្រ ហើយ​មិន​ប្រើ​អក្សរ​ក្នុង​ការ​គណនា​ទេ។

ចូរយើងវិភាគ ភស្តុតាងបូកការ៉េ(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ។

នេះ។ ភាពទៀងទាត់នៃគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញឱ្យឃើញអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Euclid ដែលធ្វើការនៅអាឡិចសាន់ឌ្រីក្នុងសតវត្សទី 3 មុនគ. ពួកគេនៅគ្រប់ទីកន្លែងមិនប្រើ "a 2" ប៉ុន្តែ "ការេនៅលើផ្នែក a" មិនមែន "ab" ប៉ុន្តែ "ចតុកោណដែលរុំព័ទ្ធរវាងផ្នែក a និង b" ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ (FSU) ត្រូវបានប្រើដើម្បីនិទស្សន្ត និងគុណលេខ និងកន្សោម។ ជាញឹកញាប់រូបមន្តទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើការគណនាកាន់តែបង្រួម និងរហ័ស។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងរាយបញ្ជីរូបមន្តសំខាន់ៗសម្រាប់គុណជាអក្សរកាត់ ដាក់ជាក្រុមទៅក្នុងតារាងមួយ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តទាំងនេះ ហើយក៏អាស្រ័យទៅលើគោលការណ៍នៃការបញ្ជាក់រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ផងដែរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ជាលើកដំបូងប្រធានបទនៃ FSU ត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងវគ្គសិក្សា "ពិជគណិត" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមូលដ្ឋានចំនួន ៧។

រូបមន្តគុណសង្ខេប

1. រូបមន្ត​ការ៉េ​សរុប៖ a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖ a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. រូបមន្តគូបសរុប៖ a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. រូបមន្តគូបខុសគ្នា៖ a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖ a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូប៖ a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. រូបមន្តភាពខុសគ្នាគូប៖ a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

អក្សរ a, b, c ក្នុងកន្សោមទាំងនេះអាចជាលេខ អថេរ ឬកន្សោម។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល វាជាការប្រសើរក្នុងការរៀនរូបមន្តមូលដ្ឋានទាំងប្រាំពីរដោយបេះដូង។ យើងសង្ខេបពួកវាក្នុងតារាងមួយ ហើយផ្តល់ឱ្យពួកគេនៅខាងក្រោម ដោយគូសរង្វង់ពួកគេជាមួយនឹងប្រអប់មួយ។

រូបមន្តបួនដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនារៀងគ្នា ការ៉េ ឬគូបនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ។

រូបមន្តទីប្រាំគណនាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមដោយគុណផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់វា។

រូបមន្តទីប្រាំមួយ និងទីប្រាំពីរគឺរៀងគ្នា គុណនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃកន្សោមដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា និងការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក។

រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណគុណនឹងអក្សរកាត់ផងដែរ។ នេះ​មិន​មែន​ជា​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ទេ ព្រោះ​គ្រប់​សមភាព​គឺ​ជា​អត្តសញ្ញាណ។

នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ជាមួយផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំដែលបានរៀបចំឡើងវិញ។ នេះងាយស្រួលជាពិសេសនៅពេលបង្កើតពហុនាម។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់បន្ថែម

យើងនឹងមិនកំណត់ខ្លួនយើងចំពោះវគ្គសិក្សាថ្នាក់ទី 7 ជាពិជគណិតទេ ហើយបន្ថែមរូបមន្តពីរបីទៀតទៅក្នុងតារាង FSU របស់យើង។

ជាដំបូង សូមពិចារណាអំពីរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន។

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ។ . + C n n − 1 a b n − 1 + C n n b n

នៅទីនេះ C n k គឺជាមេគុណ binomial ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរលេខ n ក្នុងត្រីកោណ Pascal ។ មេគុណ Binomial ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

គ nk = ន ! ក! · (n - k) ! = n (n − 1) (n − 2) ។ . (n-(k-1))k !

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ FSU សម្រាប់ការ៉េនិងគូបនៃភាពខុសគ្នានិងផលបូកគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត binomial របស់ញូតុនសម្រាប់ n = 2 និង n = 3 រៀងគ្នា។

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើមានពាក្យលើសពីពីរក្នុងផលបូកដែលត្រូវលើកឡើងជាអំណាច? រូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូកនៃពាក្យបី បួន ឬច្រើននឹងមានប្រយោជន៍។

ក ១ + ក ២ + ។ . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + ។ . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + ។ . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + ។ . + 2 a 2 a n + 2 a n − 1 a n

រូបមន្តមួយទៀតដែលអាចមានប្រយោជន៍គឺរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអំណាចទី 0 នៃពាក្យពីរ។

a n − b n = a − b a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + . . + a 2 b n − 2 + b n − 1

រូបមន្តនេះជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកទៅជារូបមន្តពីរ - រៀងគ្នាសម្រាប់ដឺក្រេគូ និងសេស។

សម្រាប់និទស្សន្ត 2m៖

a 2 m − b 2 m = a 2 − b 2 a 2 m − 2 + a 2 m − 4 b 2 + a 2 m − 6 b 4 + . . + ខ 2 ម - 2

សម្រាប់និទស្សន្តសេស 2m+1៖

a 2 m + 1 − b 2 m + 1 = a 2 − b 2 a 2 m + a 2 m − 1 b + a 2 m − 2 b 2 + . . + ប 2 ម

រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ និងភាពខុសគ្នានៃគូប អ្នកបានទាយវាជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តនេះសម្រាប់ n = 2 និង n = 3 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប b ក៏ត្រូវបានជំនួសដោយ - b ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីអានរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់?

យើងនឹងផ្តល់រូបមន្តដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់រូបមន្តនីមួយៗ ប៉ុន្តែដំបូងយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយគោលការណ៍នៃការអានរូបមន្ត។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើវាគឺជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយើងយករូបមន្តដំបូងបំផុតសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូកនៃចំនួនពីរ។

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ។

ពួកគេនិយាយថា៖ ការេនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ ពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោម និងការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។

រូបមន្តផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានអានស្រដៀងគ្នា។ សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 យើងសរសេរ៖

ការេនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការេនៃកន្សោមទាំងនេះដកពីរដងនៃផលគុណនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ។

តោះអានរូបមន្ត a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ។ គូបនៃផលបូកនៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលបូកនៃគូបនៃកន្សោមទាំងនេះ បីដងនៃផលិតផលនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ និងបីដងនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកន្សោមទីពីរ។ និងការបញ្ចេញមតិដំបូង។

យើងបន្តអានរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ។ គូបនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ a និង b គឺស្មើនឹងគូបនៃកន្សោមទីមួយដកបីដងនៃការេនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ បូកបីដងនៃការេនៃកន្សោមទីពីរ និងកន្សោមទីមួយ ដកគូប នៃការបញ្ចេញមតិទីពីរ។

រូបមន្តទីប្រាំ a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ) អានដូចខាងក្រោម: ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានិងផលបូកនៃកន្សោមទាំងពីរ។

កន្សោមដូចជា 2 + a b + b 2 និង a 2 - a b + b 2 ដើម្បីភាពងាយស្រួលត្រូវបានគេហៅថា រៀងគ្នា ការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា។

ដោយគិតក្នុងចិត្ត រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបត្រូវបានអានដូចខាងក្រោម៖

ផលបូកនៃគូបនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃកន្សោមទាំងនេះ និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នារបស់វា។

ភាពខុសគ្នានៃគូបនៃកន្សោមពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃកន្សោមទាំងនេះដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូករបស់ពួកគេ។

ភស្តុតាង FSU

ការបញ្ជាក់ FSU គឺសាមញ្ញណាស់។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ យើងនឹងអនុវត្តការគុណនៃផ្នែកនៃរូបមន្តក្នុងតង្កៀប។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណារូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ។

ដើម្បីលើកកន្សោមទៅអំណាចទីពីរ កន្សោមត្រូវតែគុណដោយខ្លួនឯង។

a - b 2 \u003d a - b a - b ។

តោះពង្រីកតង្កៀប៖

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ។

រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។ FSOs ផ្សេងទៀតត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្ត FSO

គោលបំណងនៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណខ្លីគឺដើម្បីគុណ និងនិទស្សន្តកន្សោមយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយសង្ខេប។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាវិសាលភាពទាំងមូលនៃ FSO ទេ។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការកាត់បន្ថយកន្សោម កាត់បន្ថយប្រភាគ កត្តាពហុនាម។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 1. FSO

ចូរសម្រួលកន្សោម 9 y - (1 + 3 y) 2 ។

អនុវត្តផលបូកនៃរូបមន្តការ៉េ ហើយទទួលបាន៖

9 y − (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y − 1 − 6 y − 9 y 2 = 3 y − 1 − 9 y 2

ឧទាហរណ៍ 2. FSO

កាត់បន្ថយប្រភាគ 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 ។

យើងកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅក្នុងភាគយកគឺជាភាពខុសគ្នានៃគូបហើយនៅក្នុងភាគបែង - ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ។

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x − z 2 x + z ។

យើងកាត់បន្ថយ និងទទួលបាន៖

8 x 3 − z 6 4 x 2 − z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs ក៏ជួយគណនាតម្លៃនៃកន្សោមផងដែរ។ រឿងចំបងគឺដើម្បីអាចកត់សម្គាល់កន្លែងដែលត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត។ សូមបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​លេខ 79 ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ យើងសរសេរ៖

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

វាហាក់ដូចជាថាការគណនាស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយគ្រាន់តែប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ និងតារាងគុណ។

មួយទៀត ចំណុចសំខាន់- ការជ្រើសរើសការ៉េនៃ binomial ។ កន្សោម 4 x 2 + 4 x − 3 អាចបំប្លែងទៅជា 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 − 4 = 2 x + 1 2 − 4 ។ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការរួមបញ្ចូល។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

នៅពេលគណនាពហុនាមពិជគណិត ដើម្បីសម្រួលការគណនា យើងប្រើ រូបមន្តគុណសង្ខេប . សរុបមានរូបមន្តចំនួនប្រាំពីរ។ ពួកគេទាំងអស់ត្រូវតែស្គាល់ដោយបេះដូង។

គួរចងចាំផងដែរថា ជំនួសឱ្យ a និង b ក្នុងរូបមន្ត វាអាចមានទាំងលេខ និងពហុនាមពិជគណិតផ្សេងទៀត។

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃលេខពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះ និងផលបូករបស់វា។

a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

ការ៉េសរុប

ការេនៃផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងការេនៃលេខទីមួយបូកពីរដងនៃផលបូកនៃលេខទីមួយ និងទីពីរបូកនឹងការេនៃលេខទីពីរ។

(ក + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

ចំណាំថាជាមួយនឹងរូបមន្តគុណដែលបានកាត់បន្ថយនេះ វាងាយស្រួល ស្វែងរកការ៉េនៃចំនួនធំដោយមិនប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ឬគុណវែង។ ចូរយើងពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍៖

រក 112 2 .

ចូរយើងបំបែកលេខ 112 ទៅជាផលបូកនៃលេខដែលការេយើងចាំបានល្អ។2
112 = 100 + 1

យើងសរសេរផលបូកនៃលេខក្នុងតង្កៀប ហើយដាក់ការ៉េលើតង្កៀប។
112 2 = (100 + 12) 2

តោះប្រើរូបមន្តបូកការ៉េ៖
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

សូមចងចាំថារូបមន្តផលបូកការ៉េក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ពហុនាមពិជគណិតណាមួយ។

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + គ ២

ព្រមាន!!!

(a + b) ២ មិនស្មើនឹង a 2 + b 2

ការ៉េនៃភាពខុសគ្នា

ការេនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខពីរគឺស្មើនឹងការេនៃលេខទីមួយដកពីរដងនៃផលិតផលនៃលេខទីមួយ និងទីពីរបូកនឹងការេនៃលេខទីពីរ។

(ក − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

វាក៏គួរឱ្យចងចាំផងដែរ ការផ្លាស់ប្តូរដ៏មានប្រយោជន៍៖

(a − b) 2 = (b − a) ២
រូបមន្តខាងលើត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគ្រាន់តែពង្រីកវង់ក្រចក៖

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

គូបបូក

គូបនៃផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងគូបនៃលេខទីមួយបូកបីដងនៃការេនៃលេខទីមួយគុណនឹងទីពីរបូកបីដងនៃផលគុណនៃចំនួនទីមួយនៃការេនៃទីពីរបូកគូបទីពីរ។

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ចងចាំរូបមន្ត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" នេះគឺសាមញ្ញណាស់។

រៀនថា 3 មកមុន។

ពហុនាមពីរនៅកណ្តាលមានមេគុណ 3 ។

អេចងចាំថាលេខណាមួយទៅសូន្យអំណាចគឺ 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) ។ វាងាយមើលឃើញថានៅក្នុងរូបមន្តមានការថយចុះនៃដឺក្រេ a និងការកើនឡើងនៃដឺក្រេ b ។ អ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់នេះ៖
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ព្រមាន!!!

(a+b) ៣ មិនស្មើនឹង a 3 + b 3

ភាពខុសគ្នាគូប

គូបនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខពីរគឺស្មើនឹងគូបនៃលេខទីមួយដកបីដងនៃការេនៃលេខទីមួយ និងទីពីរបូកបីដងនៃផលិតផលនៃលេខទីមួយ និងការ៉េនៃទីពីរដកគូបទីពីរ។ .

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចងចាំ​ដូច​រូបមន្ត​មុន ប៉ុន្តែ​គិតតែ​ពី​ការ​ឆ្លាស់គ្នា​នៃ​សញ្ញា "+" និង "-" ប៉ុណ្ណោះ។ សមាជិកទីមួយនៃ 3 គឺនាំមុខដោយ "+" (យោងទៅតាមក្បួនគណិតវិទ្យាយើងមិនសរសេរវាទេ) ។ នេះមានន័យថាសមាជិកបន្ទាប់នឹងនាំមុខដោយ "-", បន្ទាប់មកម្តងទៀត "+", ល។

(a − b) 3 = + ក ៣ - 3a 2b + 3ab ២ - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ផលបូកនៃគូប ( កុំច្រឡំជាមួយគូបបូក!)

ផលបូកនៃគូបគឺស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនពីរ និងការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នា។

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

ផលបូកនៃគូបគឺជាផលនៃតង្កៀបពីរ។

វង់ក្រចកទីមួយគឺជាផលបូកនៃលេខពីរ។

តង្កៀបទីពីរគឺជាការ៉េមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នានៃលេខ។ ការេមិនពេញលេញនៃភាពខុសគ្នាត្រូវបានគេហៅថាកន្សោម:

A 2 - ab + b 2
ការ៉េនេះមិនពេញលេញទេព្រោះនៅកណ្តាលជំនួសឱ្យផលិតផលទ្វេរមានផលិតផលធម្មតានៃលេខ។

Cube Difference (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយ Difference Cube!!!)

ភាពខុសគ្នានៃគូបគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក។

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

ប្រយ័ត្នពេលសរសេរតួអក្សរ។គួរចងចាំថារូបមន្តទាំងអស់ខាងលើក៏ត្រូវបានគេប្រើពីស្តាំទៅឆ្វេងផងដែរ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលក្នុងការចងចាំរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ ឬ... ត្រីកោណរបស់ Pascal ។

ពិបាកចងចាំរូបមន្តគុណអក្សរកាត់មែនទេ? ករណីនេះងាយស្រួលជួយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចងចាំពីរបៀបដែលរឿងសាមញ្ញដូចជាត្រីកោណរបស់ Pascal ត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងចងចាំរូបមន្តទាំងនេះជានិច្ច និងគ្រប់ទីកន្លែង ឬផ្ទុយទៅវិញមិនចាំ ប៉ុន្តែស្ដារឡើងវិញ។

តើត្រីកោណ Pascal ជាអ្វី? ត្រីកោណនេះមានមេគុណដែលចូលទៅក្នុងការពង្រីកអំណាចណាមួយនៃ binomial នៃទម្រង់ទៅជាពហុធា។

ចូរបំបែកវាចុះឧទាហរណ៍៖

នៅក្នុងកំណត់ត្រានេះវាងាយស្រួលក្នុងការចងចាំថានៅដើមដំបូងមានគូបទីមួយហើយនៅចុងបញ្ចប់ - គូបនៃលេខទីពីរ។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលនៅកណ្តាលគឺពិបាកចងចាំណាស់។ ហើយសូម្បីតែការពិតដែលថានៅក្នុងរយៈពេលបន្ទាប់នីមួយៗកម្រិតនៃកត្តាមួយថយចុះគ្រប់ពេលហើយទីពីរកើនឡើង - វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សម្គាល់និងចងចាំវាពិបាកក្នុងការចងចាំមេគុណនិងសញ្ញា (បូកឬដក?) ។

ដូច្នេះដំបូង ហាងឆេង។ អ្នកមិនចាំបាច់ទន្ទេញចាំពួកគេទេ! នៅលើគែមនៃសៀវភៅកត់ត្រា យើងគូរត្រីកោណរបស់ Pascal យ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយនៅទីនេះពួកគេគឺជា - មេគុណ រួចហើយនៅពីមុខយើង។ យើងចាប់ផ្តើមគូរដោយបីមួយ មួយនៅលើកំពូល ពីរខាងក្រោម នៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង - បាទ ត្រីកោណមួយត្រូវបានទទួលរួចហើយ៖

ជួរទីមួយដែលមានមួយគឺសូន្យ។ បន្ទាប់មកមកទីមួយ ទីពីរ ទីបី ជាដើម។ ដើម្បីទទួលបានជួរទីពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមលេខម្តងទៀតតាមគែម ហើយនៅកណ្តាលសរសេរលេខដែលទទួលបានដោយបន្ថែមលេខទាំងពីរខាងលើវា៖

យើងសរសេរជួរទីបី៖ ម្តងទៀតតាមគែមរបស់ឯកតា ហើយម្តងទៀត ដើម្បីទទួលបានលេខបន្ទាប់ក្នុងជួរថ្មី បន្ថែមលេខពីលើវាក្នុងលេខមុន៖

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានទាយ យើងទទួលបានមេគុណក្នុងជួរនីមួយៗពីការ decomposition នៃ binomial ទៅជា polynomial:

ជាការប្រសើរណាស់ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំសញ្ញា៖ សញ្ញាទីមួយគឺដូចគ្នាទៅនឹងការពង្រីក binomial (យើងដាក់ចេញផលបូក ដែលមានន័យថា បូក ភាពខុសគ្នា ដែលមានន័យថាដក) ហើយបន្ទាប់មកសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា!

នេះគឺជាអ្វីដែលមានប្រយោជន៍ - ត្រីកោណរបស់ Pascal ។ រីករាយ!

ពួកវាត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលការគណនា ក៏ដូចជាការរលាយនៃពហុនាមទៅជាកត្តា គុណយ៉ាងឆាប់រហ័សនៃពហុនាម។ ភាគច្រើននៃរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់អាចទទួលបានពី binomial របស់ Newton - អ្នកនឹងឃើញវាឆាប់ៗនេះ។

រូបមន្តសម្រាប់ការ៉េជាញឹកញាប់ប្រើក្នុងការគណនា។ គេ​ចាប់​ផ្ដើម​សិក្សា​តាម​កម្មវិធី​សិក្សា​ពី​ថ្នាក់​ទី​៧ រហូត​ដល់​ចប់​វគ្គ​បណ្ដុះបណ្ដាល រូបមន្ត​ការ៉េ និង​គូប សិស្ស​គួរ​ដឹង​ដោយ​ចិត្ត។

រូបមន្តគូបមិនស្មុគស្មាញខ្លាំងទេ ហើយពួកវាត្រូវដឹងនៅពេលកាត់បន្ថយពហុនាមទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ ដើម្បីសម្រួលដល់ការកើនឡើងនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអថេរ និងលេខទៅជាគូប។

រូបមន្ត​ដែល​សម្គាល់​ជា​ពណ៌​ក្រហម​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ពី​ការ​ដាក់​ក្រុម​មុន​នៃ​ពាក្យ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ។

រូបមន្តសម្រាប់អំណាចទីបួននិងទីប្រាំនៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា មានមនុស្សតិចណាស់ដែលមានប្រយោជន៍ ប៉ុន្តែមានភារកិច្ចក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង ដែលអ្នកត្រូវគណនាមេគុណនៅដឺក្រេ។

រូបមន្តសញ្ញាប័ត្រ n ត្រូវបានលាបពណ៌ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណ binomial ដោយប្រើ factorial ដូចខាងក្រោម

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់

ឧទាហរណ៍ 1. គណនា 51^2។

ការសម្រេចចិត្ត។ ប្រសិនបើអ្នកមានម៉ាស៊ីនគិតលេខ អ្នកអាចរកវាបានយ៉ាងងាយស្រួល

ខ្ញុំនិយាយលេង - មនុស្សគ្រប់គ្នាឆ្លាតជាមួយម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយគ្មានវា ... (កុំនិយាយអំពីរឿងសោកសៅ) ។

ដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ និងដឹងពីច្បាប់ខាងលើ យើងរកឃើញការេនៃលេខដោយច្បាប់

ឧទាហរណ៍ទី 2 ស្វែងរក 99^2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ អនុវត្តរូបមន្តទីពីរ

ឧទាហរណ៍ទី 3៖ ការបំបែកកន្សោម
(x+y-3) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងពិចារណាលើផលបូកនៃពាក្យពីរដំបូងជាពាក្យមួយ ហើយយោងទៅតាមរូបមន្តទីពីរសម្រាប់គុណដោយអក្សរកាត់ យើងមាន

ឧទាហរណ៍ 4. រកភាពខុសគ្នានៃការ៉េ
11^2-9^2.

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយសារលេខតូច អ្នកគ្រាន់តែអាចជំនួសតម្លៃនៃការ៉េ

ប៉ុន្តែគោលដៅរបស់យើងគឺខុសគ្នាទាំងស្រុង - ដើម្បីរៀនពីរបៀបប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ដើម្បីសម្រួលការគណនា។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះ សូមអនុវត្តរូបមន្តទីបី

ឧទាហរណ៍ 5. រកភាពខុសគ្នានៃការ៉េ
17^2-3^2 .

ការសម្រេចចិត្ត។ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ អ្នក​នឹង​ចង់​រៀន​ច្បាប់​រួច​ហើយ​ដើម្បី​កាត់​បន្ថយ​ការ​គណនា​ទៅ​មួយ​ជួរ

ដូចដែលអ្នកបានឃើញ យើងមិនបានធ្វើអ្វីអស្ចារ្យទេ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ
(x-y)^2-(x+y)^2.

ការសម្រេចចិត្ត។ អ្នក​អាច​ដាក់​ការ៉េ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ក្រុម​ដូច​ជា​ពាក្យ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយមនុស្សម្នាក់អាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់នូវភាពខុសគ្នានៃការ៉េ

សាមញ្ញ និងគ្មានដំណោះស្រាយយូរ។

ឧទាហរណ៍ 7. គូបពហុនាម
x^3-4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តគុណអក្សរកាត់ចំនួន 5

ឧទាហរណ៍ 8. សរសេរជាភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ឬផលបូករបស់វា។
ក) x^2-8x+7
ខ) x^2+4x+29

ការសម្រេចចិត្ត។ ក) រៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ

ខ) ធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយផ្អែកលើហេតុផលពីមុន

ឧទាហរណ៍ 9. ពង្រីកប្រភាគសមហេតុផល

ការសម្រេចចិត្ត។ អនុវត្តភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ

យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់កំណត់ចំនួនថេរ

យើងបន្ថែមសមីការទីពីរទៅសមីការទីមួយបីដង។ យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការទីមួយ

ទីបំផុតការពង្រីកមានទម្រង់

ជារឿយៗ វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកប្រភាគសនិទាន មុននឹងបញ្ចូលក្នុងគោលបំណងកាត់បន្ថយអំណាចនៃភាគបែង។

ឧទាហរណ៍ 10. ការប្រើ binomial របស់ Newton, គូរ
កន្សោម (x-a)^7.

ការសម្រេចចិត្ត។ អ្នក​ប្រហែល​ជា​បាន​ដឹង​ហើយ​ថា​អ្វី​ទៅ​ជា​លេខ​ពីរ​របស់​ញូតុន។ ប្រសិនបើមិនមានទេ នោះខាងក្រោមគឺជាមេគុណ binomial

ពួកវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម: មានឯកតានៅតាមបណ្តោយគែមមេគុណរវាងពួកវានៅជួរខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបូកសរុបផ្នែកខាងលើដែលនៅជាប់គ្នា។ ប្រសិនបើយើងកំពុងស្វែងរកភាពខុសគ្នាក្នុងកម្រិតខ្លះ នោះសញ្ញានៅក្នុងកាលវិភាគជំនួសពីបូកទៅដក។ ដូច្នេះសម្រាប់លំដាប់ទីប្រាំពីរយើងទទួលបានតម្រឹមដូចខាងក្រោម

សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្នផងដែរនូវរបៀបដែលសូចនាករផ្លាស់ប្តូរ - សម្រាប់អថេរទីមួយពួកគេថយចុះដោយមួយក្នុងមួយពាក្យបន្ទាប់រៀងគ្នាសម្រាប់ទីពីរ - ពួកគេកើនឡើងម្តង។ សរុបមក សូចនាករគួរតែស្មើនឹងកម្រិតនៃការរលាយ (= 7) ជានិច្ច។

ខ្ញុំគិតថានៅលើមូលដ្ឋាននៃសម្ភារៈខាងលើអ្នកនឹងអាចដោះស្រាយបញ្ហានៅលើ binomial ញូតុន។ រៀនរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ និងអនុវត្តនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលវាអាចសម្រួលការគណនា និងសន្សំសំចៃពេលវេលាលើកិច្ចការ។

នៅក្នុងមេរៀនមុន យើងបានដោះស្រាយជាមួយកត្តាកត្តា។ យើងបានស្ទាត់ជំនាញពីរវិធី៖ យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប និងការដាក់ជាក្រុម។ នៅក្នុងមេរៀននេះ វិធីសាស្ត្រដ៏មានអានុភាពខាងក្រោម៖ រូបមន្តគុណសង្ខេប. នៅក្នុងកំណត់ចំណាំខ្លីមួយ - FSU ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់ (ការេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា គូបនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូប) គឺចាំបាច់នៅក្នុងគ្រប់ផ្នែកនៃគណិតវិទ្យា។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញក្នុងកន្សោម ដោះស្រាយសមីការ គុណពហុនាម កាត់បន្ថយប្រភាគ ដោះស្រាយអាំងតេក្រាល ។ល។ ល។ សរុបមក មានហេតុផលទាំងអស់ដែលត្រូវដោះស្រាយជាមួយពួកគេ។ ស្វែងយល់ថាតើពួកគេមកពីណា ហេតុអ្វីបានជាពួកគេត្រូវការ របៀបចងចាំពួកគេ និងរបៀបអនុវត្តវា។

តើយើងយល់ទេ?)

តើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់មកពីណា?

សមភាព 6 និង 7 មិនត្រូវបានសរសេរតាមរបៀបធម្មតាទេ។ ដូចជាផ្ទុយ។ នេះជាគោលបំណង។) សមភាពណាមួយដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងពីស្តាំទៅឆ្វេង។ នៅក្នុងកំណត់ត្រាបែបនេះ វាកាន់តែច្បាស់ថា FSO មកពីណា។

ពួកវាត្រូវបានយកចេញពីការគុណ។ ) ឧទាហរណ៍៖

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

នោះហើយជាវា គ្មានល្បិចវិទ្យាសាស្ត្រទេ។ យើង​គ្រាន់​តែ​គុណ​តង្កៀប​ហើយ​ផ្តល់​ឱ្យ​ដូច​គ្នា។ នេះជារបៀបដែលវាប្រែចេញ រូបមន្តគុណសង្ខេបទាំងអស់។ អក្សរកាត់ការគុណគឺដោយសារតែនៅក្នុងរូបមន្តខ្លួនឯងមិនមានការគុណនៃតង្កៀបនិងការកាត់បន្ថយស្រដៀងគ្នា។ កាត់បន្ថយ។) លទ្ធផលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភ្លាមៗ។

FSU ត្រូវដឹងដោយបេះដូង។ បើគ្មានបីដំបូងទេ អ្នកមិនអាចសុបិន្តបីដងបានទេ បើគ្មានសល់ - ប្រហែលបួនជាមួយប្រាំ។ )

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការរូបមន្តគុណអក្សរកាត់?

មានហេតុផលពីរយ៉ាងក្នុងការរៀន សូម្បីតែទន្ទេញចាំរូបមន្តទាំងនេះ។ ទីមួយ - ចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចនៅលើម៉ាស៊ីនកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសយ៉ាងច្រើន។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាហេតុផលចម្បងនោះទេ។ ហើយនេះគឺជាលើកទីពីរ ...

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។