រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃរាងកាយមួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកទំហំរាងអេលីប x 2 + y 2 + z 2 = 1 ។ a 2b 2c ២

ការកាត់រាងពងក្រពើជាមួយយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ Oyz ហើយនៅចម្ងាយពីវា (-a ≤ x ≤ a) យើងទទួលបានរាងពងក្រពើ (សូមមើលរូបភាពទី 15)៖

តំបន់នៃរាងពងក្រពើនេះគឺ

S(x) = π bc1

ដូច្នេះយោងតាមរូបមន្ត (១៦) យើងមាន

ការគណនាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍

សូម​ឱ្យ​ខ្សែកោង AB ជា​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍ y \u003d f (x) ≥ 0 ដែល x [a, b] អនុគមន៍ y \u003d f (x) និង​និស្សន្ទវត្ថុ y "\u003d f" (x) គឺ បន្តលើផ្នែកនេះ។

បន្ទាប់មកផ្ទៃ S នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្ស Ox ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

		2 ភី			1 +(y ′) 2 dx ។

ប្រសិនបើខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤t ≤t 2 នោះរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃការបង្វិលមានទម្រង់

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt ។

ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកផ្ទៃនៃលំហនៃកាំ R. ដំណោះស្រាយ៖

យើងអាចសន្មត់ថាផ្ទៃនៃបាល់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x ≤R ជុំវិញអ័ក្សОх។ តាមរូបមន្ត (19) យើងរកឃើញ

			− x
ស = ២		R2−x21 +						dx=
					− x
	- រ

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx = 2 π Rx− R R = 4 π R2 ។

- រ

ឧទាហរណ៍។ ផ្តល់ស៊ីក្លូ x = a (t − sin t) , 0 ≤ t ≤ 2 π ។ y = a (1− cost) ,

ស្វែងរកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរបស់វាអំពីអ័ក្ស x ។ ការសម្រេចចិត្ត៖

នៅពេលដែលពាក់កណ្តាលនៃធ្នូនៃស៊ីក្លូវិលជុំវិញអ័ក្សអុក ផ្ទៃនៃការបង្វិលគឺស្មើនឹង

1S x

2π π ∫ a (1− ចំណាយ)

(a(1 − cos t)) 2 + (asin t) 2 dt =

2π ∫ π a ២

2 sin2 t

2 តម្លៃ + cos2

t + sin 2 tdt =

4 π a 2

π ∫ sin2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ sin2 t

បាប t

dt =

= −8 π a 2 ∫

- ខូស

ឌីកូស

= − 16 π ក

32π ក

= −16 π ក

0 −

1− 0+

= −16 π ក

1 S x = 32 π a 2 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

64 π a 2 .

ការគណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោង Planar

កូអរដោណេចតុកោណ

អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងធ្នូមួយ នៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់នៃប៉ូលីលីនកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ ហើយប្រវែងនៃកូអរដោនេចតុកោណកែងធំបំផុតគឺជាខ្សែកោងយន្តហោះ AB ដែលសមីការគឺ y \u003d f (x) ដែលជាកន្លែងដែល a ≤ x ≤ b .

ប្រវែងនៃធ្នូ AB ត្រូវបានគេយល់ថាជាដែនកំណត់ដែលប្រវែងនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលបានចារឹកនៅក្នុងតំណភ្ជាប់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ។ ចូរយើងបង្ហាញថាប្រសិនបើអនុគមន៍ y \u003d f (x) និងដេរីវេរបស់វា y′ = f′ (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] នោះខ្សែកោង AB មានប្រវែងស្មើនឹង

ប្រសិនបើសមីការនៃខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y = y(t) ,

ដែល x (t) និង y (t) គឺជាអនុគមន៍បន្តជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុបន្ត និង x (α) \u003d a, x (β) \u003d b បន្ទាប់មកប្រវែង l នៃខ្សែកោង AB ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt ។ = R arcsin

π .

− x

ដូច្នេះ l = 2π R. ប្រសិនបើសមីការរង្វង់ត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ = R តម្លៃ y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ) បន្ទាប់មក

	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt = Rt0 2 π = 2 π R ។
l = ∫

កូអរដោណេប៉ូឡា

សូមអោយខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការក្នុងប៉ូលកូអរដោណេ r = r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β ។ សន្មត់ថា r (ϕ ) និង r " (ϕ ) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [α ,β] ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាព x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, ការតភ្ជាប់ប៉ូល និងកូអរដោណេ Cartesian,

ពិចារណាមុំ ϕ ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាប់មកខ្សែកោង AB អាចត្រូវបានកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ) sinϕ ។

អនុវត្តរូបមន្ត (15) យើងទទួលបាន l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ ។

ឧទាហរណ៍ ស្វែងរកប្រវែងនៃ cardioid r =a (1 + cosϕ) ។ ការសម្រេចចិត្ត៖

cardioid r \u003d a (1 + cosϕ ) មានទម្រង់បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 14 ។ វាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សប៉ូល។ ស្វែងរកពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃ cardioid:

1 លីត្រ =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (− sin ϕ ))2 d ϕ =
A π ∫	2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫		2 2cos2 ϕ d ϕ =
2a π / cosϕ d ϕ = 4a sinϕ

ដូច្នេះ 1 2 លីត្រ = 4 ក។ ដូច្នេះ l = 8a ។

5. ការស្វែងរកផ្ទៃនៃសាកសពនៃបដិវត្តន៍

សូម​ឲ្យ​ខ្សែកោង AB ជា​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍ y = f(x) ≥ 0 ដែល x [a; b] ហើយមុខងារ y \u003d f (x) និងដេរីវេរបស់វា y "\u003d f" (x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកនេះ។

ចូរយើងស្វែងរកផ្ទៃ S នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃខ្សែកោង AB ជុំវិញអ័ក្សអុក (រូបភាពទី 8)។

យើងអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។

តាមរយៈចំណុចបំពាន x [a; b] ចូរយើងគូរប្លង់ P កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Ox ។ យន្តហោះ P កាត់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍តាមរង្វង់ដែលមានកាំ y - f(x) ។ តម្លៃ S នៃផ្ទៃនៃផ្នែកនៃរូបបដិវត្តន៍ដែលស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃយន្តហោះគឺជាមុខងារនៃ x, i.e. s = s(x) (s(a) = 0 និង s(b) = S) ។

ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ x បន្ថែម Δх = dх ។ តាមរយៈចំនុច x + dx [a; b] ក៏គូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។ អនុគមន៍ s = s(x) នឹងទទួលបានការកើនឡើង Δs ដែលបង្ហាញក្នុងរូបជា "ខ្សែក្រវ៉ាត់"។

ចូរយើងស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃតំបន់ ds ដោយជំនួសតួរលេខដែលបង្កើតរវាងផ្នែកដោយកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី generatrix ដែលស្មើនឹង dl ហើយរ៉ាឌីនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹង y និង y + dy ។ ផ្ទៃក្រោយរបស់វាគឺ៖ = 2ydl + dydl ។

ការបោះបង់ផលិតផល dу d1 ជាលំដាប់ខ្ពស់ជាង ds ដែលមិនអាចកំណត់បាន យើងទទួលបាន ds = 2уdl ឬចាប់តាំងពី d1 = dx ។

ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x = a ដល់ x = b យើងទទួលបាន

ប្រសិនបើខ្សែកោង AB ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t នោះរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍នឹងក្លាយជា

S=2 dt

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកផ្ទៃនៃលំហនៃកាំ R ។

S=2 =

6. ការស្វែងរកការងាររបស់កម្លាំងអថេរ

ការងារកម្លាំងអថេរ

អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសម្ភារៈ M ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស Ox ក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងអថេរ F = F(x) ដែលដឹកនាំស្របទៅនឹងអ័ក្សនេះ។ ការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងនៅពេលផ្លាស់ទីចំណុច M ពីទីតាំង x = a ទៅទីតាំង x = b (a

តើការងារអ្វីខ្លះត្រូវធ្វើដើម្បីលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.05 ម៉ែត្រប្រសិនបើកម្លាំង 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ 0.01 ម៉ែត្រ?

យោងតាមច្បាប់របស់ Hooke កម្លាំងបត់បែនដែលលាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវគឺសមាមាត្រទៅនឹងការលាតសន្ធឹងនេះ x, i.e. F = kx ដែល k ជាមេគុណសមាមាត្រ។ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាកម្លាំង F = 100 N លាតសន្ធឹងនិទាឃរដូវដោយ x = 0.01 m; ដូច្នេះ 100 = k 0.01, wherece k = 10000; ដូច្នេះ F = 10000x ។

ការងារដែលចង់បានដោយផ្អែកលើរូបមន្ត

ក =

ស្វែងរកការងារដែលត្រូវតែចំណាយដើម្បីបូមរាវពីលើគែមពីធុងស៊ីឡាំងបញ្ឈរដែលមានកម្ពស់ H m និងកាំមូលដ្ឋាន R m (រូបភាព 13) ។

ការងារដែលចំណាយលើការលើកទម្ងន់ p ដល់កម្ពស់ h គឺស្មើនឹង p H ។ ប៉ុន្តែស្រទាប់ផ្សេងគ្នានៃអង្គធាតុរាវនៅក្នុងធុងគឺនៅជម្រៅខុសៗគ្នា និងកម្ពស់នៃការកើនឡើង (ដល់គែមធុង) នៃ ស្រទាប់ផ្សេងគ្នាគឺមិនដូចគ្នាទេ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាយើងអនុវត្តគ្រោងការណ៍ II (វិធីសាស្ត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។ យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។

1) ការងារចំណាយលើការបូមចេញស្រទាប់នៃរាវនៃកម្រាស់ x (0 ≤ x ≤ H) ពីធុងគឺជាមុខងារនៃ x, i.e. A \u003d A (x), ដែល (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0) ។

2) យើងរកឃើញផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើង ΔA នៅពេលដែល x ផ្លាស់ប្តូរដោយ Δx = dx, i.e. យើងរកឃើញឌីផេរ៉ង់ស្យែល dA នៃអនុគមន៍ A(x)។

នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃភាពតូចនៃ dx យើងសន្មត់ថាស្រទាប់រាវ "បឋម" គឺនៅជម្រៅដូចគ្នា x (ពីគែមនៃអាងស្តុកទឹក) ។ បន្ទាប់មក dА = dрх ដែល dр គឺជាទម្ងន់នៃស្រទាប់នេះ; វាស្មើនឹង g AV ដែល g គឺជាការបង្កើនល្បឿននៃទំនាញគឺជាដង់ស៊ីតេនៃអង្គធាតុរាវ dv គឺជាបរិមាណនៃស្រទាប់រាវ "បឋម" (វាត្រូវបានគូសបញ្ជាក់នៅក្នុងរូបភាព) ឧ។ dr = g ។ បរិមាណនៃស្រទាប់រាវនេះគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹង dx គឺជាកម្ពស់នៃស៊ីឡាំង (ស្រទាប់) គឺជាផ្ទៃនៃមូលដ្ឋានរបស់វា ឧ។ dv = ។

ដូច្នេះ dр = ។ និង

3) ការរួមបញ្ចូលសមភាពលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី x \u003d 0 ដល់ x \u003d H យើងរកឃើញ

ក

8. ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើកញ្ចប់ MathCAD

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្តមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារឱ្យប្រើប្រតិបត្តិការនៃការរួមបញ្ចូលនិមិត្តសញ្ញា។ ក្នុងករណីនេះ កម្មវិធី MathCad អាចមានប្រយោជន៍ទាំងនៅដំណាក់កាលដំបូង (វាជាការល្អក្នុងការដឹងចម្លើយជាមុន ឬដឹងថាវាមាន) និងនៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ (វាជាការល្អក្នុងការត្រួតពិនិត្យលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយប្រើចម្លើយពីមួយផ្សេងទៀត។ ប្រភព ឬដំណោះស្រាយរបស់អ្នកដទៃ)។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនធំ អ្នកអាចកត់សម្គាល់លក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើកម្មវិធី MathCad ។ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយចំនួនអំពីរបៀបដែលកម្មវិធីនេះដំណើរការ វិភាគដំណោះស្រាយដែលទទួលបានដោយមានជំនួយរបស់វា ហើយប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយទាំងនេះជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលទទួលបានតាមវិធីផ្សេងទៀត។

បញ្ហាចម្បងនៅពេលប្រើកម្មវិធី MathCad មានដូចខាងក្រោម៖

ក) កម្មវិធីនេះផ្តល់ចម្លើយមិនមែនក្នុងទម្រង់នៃមុខងារបឋមដែលធ្លាប់ស្គាល់នោះទេ ប៉ុន្តែជាទម្រង់មុខងារពិសេសដែលនៅឆ្ងាយពីអ្នកគ្រប់គ្នាស្គាល់។

ខ) ក្នុងករណីខ្លះ "បដិសេធ" មិនផ្តល់ចម្លើយ ទោះបីជាបញ្ហាមានដំណោះស្រាយក៏ដោយ។

គ) ពេលខ្លះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយសារតែភាពធំរបស់វា។

ឃ) ដោះស្រាយបញ្ហាមិនពេញលេញ និងមិនវិភាគដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្សោយរបស់កម្មវិធី។

ជាមួយនឹងជំនួយរបស់វា វាងាយស្រួល និងសាមញ្ញក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានណែនាំអោយប្រើវិធីជំនួសអថេរ i.e. រៀបចំអាំងតេក្រាលសម្រាប់ដំណោះស្រាយជាមុន។ សម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ ការជំនួសដែលបានពិភាក្សាខាងលើអាចត្រូវបានប្រើ។ វាក៏គួរត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវតែពិនិត្យរកមើលភាពចៃដន្យនៃដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារដើម និងលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ លើសពីនេះ ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានមួយចំនួនទាមទារការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។

កម្មវិធី MathCad ដោះលែងសិស្ស ឬអ្នកស្រាវជ្រាវពីការងារទម្លាប់ ប៉ុន្តែមិនអាចដោះលែងគាត់ពីការវិភាគបន្ថែមទាំងនៅពេលកំណត់បញ្ហា និងនៅពេលទទួលបានលទ្ធផលណាមួយ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ បទប្បញ្ញត្តិសំខាន់ៗដែលទាក់ទងទៅនឹងការសិក្សានៃការអនុវត្តនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាត្រូវបានពិចារណា។

- ការវិភាគលើមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលត្រូវបានអនុវត្ត។

- សម្ភារៈត្រូវបានទទួលរងនូវការរៀបចំជាប្រព័ន្ធ និងទូទៅ។

ក្នុងអំឡុងពេលនៃការងារវគ្គសិក្សាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងនៅក្នុងវិស័យរូបវិទ្យាធរណីមាត្រមេកានិចត្រូវបានពិចារណា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងដែលបានពិចារណាខាងលើផ្តល់ឱ្យយើងនូវគំនិតច្បាស់លាស់អំពីសារៈសំខាន់នៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយសម្រាប់ការដោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

វាពិបាកក្នុងការដាក់ឈ្មោះតំបន់វិទ្យាសាស្ត្រដែលវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាអាំងតេក្រាល ជាទូទៅ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ជាពិសេសនឹងមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើការងារវគ្គសិក្សា យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាក់ស្តែងក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា ធរណីមាត្រ មេកានិច ជីវវិទ្យា និងសេដ្ឋកិច្ច។ ជាការពិតណាស់ នេះមិនមែនជាបញ្ជីវិទ្យាសាស្ត្រពេញលេញទេ ដែលប្រើវិធីសាស្ត្រអាំងតេក្រាល ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃកំណត់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយ និងដើម្បីបង្កើតការពិតខាងទ្រឹស្តី។

ផងដែរ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលនៅក្នុងវេនធ្វើឱ្យមានការរួមចំណែកមិនអាចខ្វះបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។ យើងអាចនិយាយបានថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ គឺជាប្រភេទនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ដូច្នេះ សារៈសំខាន់នៃការដឹងពីរបៀបដោះស្រាយពួកគេ។

ពីចំណុចទាំងអស់ខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាហេតុអ្វីបានជាការស្គាល់គ្នាជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់កើតឡើងសូម្បីតែក្នុងកម្រិតមធ្យម អនុវិទ្យាល័យដែលជាកន្លែងដែលសិស្សរៀនមិនត្រឹមតែគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្មវិធីមួយចំនួនផងដែរ។

អក្សរសិល្ប៍

1. Volkov E.A. វិធីសាស្រ្តលេខ។ M., Nauka, 1988 ។

2. Piskunov N.S. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាល។ M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។ M. , វិទ្យាល័យ ឆ្នាំ 1990 ។

ដូច្នេះ ខ្ញុំនឹងបន្តទៅកាន់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

សូមក្រឡេកមើលរូបភាពសាមញ្ញ

ហើយចងចាំ: អ្វីដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់?

ជាដំបូងនៃការទាំងអស់, ជាការពិតណាស់, តំបន់នៃ trapezoid កោងមួយ។. ស្គាល់តាំងពីរៀន។

ប្រសិនបើតួលេខនេះបង្វិលជុំវិញអ័ក្សកូអរដោនេ នោះយើងកំពុងនិយាយអំពីការស្វែងរករួចហើយ រាងកាយនៃបដិវត្តន៍. វាក៏សាមញ្ញផងដែរ។

តើ​មាន​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត? បានពិនិត្យថ្មីៗ បញ្ហាប្រវែងធ្នូ .

ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបគណនាលក្ខណៈមួយបន្ថែមទៀត - តំបន់មួយបន្ថែមទៀត។ ស្រមៃមើលបន្ទាត់នោះ។ បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនេះ, តួលេខធរណីមាត្រមួយត្រូវបានទទួល, ហៅថា ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍. ក្នុងករណីនេះវាប្រហាក់ប្រហែលនឹងសក្តានុពលបែបនេះដោយគ្មានបាត។ ហើយគ្មានគម្រប។ ដូចដែលសត្វលា Eeyore នឹងនិយាយ ការមើលឃើញដ៏ក្រៀមក្រំ =)

ដើម្បីលុបបំបាត់ការបកស្រាយមិនច្បាស់លាស់ ខ្ញុំនឹងធ្វើការបកស្រាយដែលគួរឱ្យធុញ ប៉ុន្តែសំខាន់៖

តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ "សក្តានុពល" របស់យើងមាន ស្តើងគ្មានកំណត់ជញ្ជាំង និង ពីរផ្ទៃដែលមានផ្ទៃដូចគ្នា - ខាងក្រៅនិងខាងក្នុង។ ដូច្នេះការគណនាបន្ថែមទៀតទាំងអស់បញ្ជាក់ពីតំបន់ ផ្ទៃខាងក្រៅតែប៉ុណ្ណោះ.

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ ផ្ទៃនៃការបង្វិលត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឬបង្រួម៖ .

តម្រូវការដូចគ្នាត្រូវបានដាក់លើមុខងារនិងដេរីវេរបស់វាដូចជានៅពេលស្វែងរក ប្រវែងអ័ក្សកោងប៉ុន្តែលើសពីនេះ ខ្សែកោងត្រូវតែមានទីតាំង ខ្ពស់ជាងអ័ក្ស។ នេះសំខាន់! វាងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាប្រសិនបើបន្ទាត់ស្ថិតនៅ ក្រោមអ័ក្ស បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលនឹងអវិជ្ជមាន៖ ដូច្នេះហើយ សញ្ញាដកនឹងត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងរូបមន្ត ដើម្បីរក្សាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃបញ្ហា។

ពិចារណា​លើ​រូប​ដែល​មើល​រំលង​មិន​សម​គួរ៖

ផ្ទៃនៃ torus មួយ។

នៅ​ក្នុង​ការ​សង្ខេប, tor គឺជានំដូណាត់. ឧទាហរណ៍នៃសៀវភៅសិក្សាដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្ទើរតែទាំងអស់គឺត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរក កម្រិតសំឡេង torus ហើយដូច្នេះសម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពខុសគ្នាខ្ញុំនឹងវិភាគបញ្ហាដ៏កម្រនៃ ផ្ទៃរបស់វា។. ទីមួយជាមួយនឹងតម្លៃលេខជាក់លាក់៖

ឧទាហរណ៍ ១

គណនា​ផ្ទៃ​ក្រឡា​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បង្វិល​រង្វង់ ជុំវិញអ័ក្ស។

ការសម្រេចចិត្ត៖ តើអ្នកដឹងសមីការដោយរបៀបណា សំណុំ រង្វង់កាំ​ឯកតា​នៅ​ចំ​កណ្តាល​។ នេះធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានមុខងារពីរ៖

- កំណត់ពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ;
- កំណត់ពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងក្រោម៖

ខ្លឹមសារគឺច្បាស់៖ រង្វង់បង្វិលជុំវិញអ័ក្ស x និងទម្រង់ ផ្ទៃ bagel ។ រឿងតែមួយគត់នៅទីនេះ ដើម្បីជៀសវាងការកក់សរុបគឺត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នក្នុងវាក្យស័ព្ទ៖ ប្រសិនបើអ្នកបង្វិល រង្វង់មួយ។, រុំព័ទ្ធដោយរង្វង់មួយ។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានធរណីមាត្រ រាងកាយនោះគឺ bagel ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ហើយឥឡូវនេះនិយាយអំពីការ៉េ ផ្ទៃដែលជាក់ស្តែងចាំបាច់ត្រូវគណនាជាផលបូកនៃតំបន់៖

1) ស្វែងរកផ្ទៃដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលធ្នូ "ពណ៌ខៀវ" ជុំវិញអ័ក្ស x ។ យើងប្រើរូបមន្ត . ដូចដែលខ្ញុំបានណែនាំម្តងហើយម្តងទៀត វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពជាដំណាក់កាល៖

យើងយកមុខងារមួយ។ ហើយរកវា។ ដេរីវេ:

ហើយចុងក្រោយ យើងផ្ទុកលទ្ធផលទៅក្នុងរូបមន្ត៖

ចំណាំថាក្នុងករណីនេះវាប្រែទៅជាសមហេតុផលជាង ទ្វេដងនៃអាំងតេក្រាលនៃមុខងារគូនៅក្នុងដំណើរនៃដំណោះស្រាយ ជាជាងការពិភាក្សាបឋមអំពីស៊ីមេទ្រីនៃតួលេខទាក់ទងនឹងអ័ក្ស y ។

2) ស្វែងរកផ្ទៃដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលធ្នូ "ក្រហម" ជុំវិញអ័ក្ស x ។ សកម្មភាពទាំងអស់នឹងខុសគ្នាតាមការពិតដោយសញ្ញាតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ខ្ញុំនឹងរចនាដំណោះស្រាយក្នុងរចនាប័ទ្មផ្សេង ដែលជាការពិត ក៏មានសិទ្ធិរស់រានមានជីវិតផងដែរ៖


3) ដូច្នេះផ្ទៃនៃ torus:

ចម្លើយ:

បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទូទៅមួយ - ដើម្បីគណនាផ្ទៃក្រឡាដែលបានទទួលដោយការបង្វិលរង្វង់ជុំវិញអ័ក្ស abscissa និងទទួលបានចម្លើយ។ . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់និងភាពសាមញ្ញជាងនេះខ្ញុំបានអនុវត្តដំណោះស្រាយលើលេខជាក់លាក់។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគណនាបរិមាណនៃនំដូណាត់ដោយខ្លួនឯង សូមមើលការបង្រៀនជាឯកសារយោងរហ័ស៖

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីយើងពិចារណាលើពាក់កណ្តាលរង្វង់។ វាត្រូវបាន "គូរ" នៅពេលផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រខាងក្នុង (វាងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញ នៅចន្លោះពេលនេះ) ដូច្នេះ៖

ចម្លើយ:

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងន័យទូទៅ យើងទទួលបានយ៉ាងពិតប្រាកដនូវរូបមន្តរបស់សាលាសម្រាប់តំបន់នៃស្វ៊ែរ ដែលកាំរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ណា។

បញ្ហា​សាមញ្ញ​ៗ​ឈឺ​ចាប់​ សូម្បី​តែ​មាន​អារម្មណ៍​ខ្មាស​…. ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកជួសជុលកំហុសនេះ =)

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃដីដែលទទួលបានដោយការបង្វិលធ្នូដំបូងនៃស៊ីក្លូនៅជុំវិញអ័ក្ស។

ភារកិច្ចគឺច្នៃប្រឌិត។ ព្យាយាម​កាត់​ឬ​បញ្ចូល​រូបមន្ត​សម្រាប់​គណនា​ផ្ទៃ​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បង្វិល​ខ្សែ​កោង​ជុំវិញ​អ័ក្ស y ។ ហើយជាការពិតណាស់អត្ថប្រយោជន៍នៃសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ម្តងទៀត - ពួកគេមិនចាំបាច់ត្រូវបានកែប្រែដូចម្ដេចទេ។ មិនចាំបាច់រំខានជាមួយនឹងការស្វែងរកដែនកំណត់ផ្សេងទៀតនៃការរួមបញ្ចូលទេ។

ក្រាហ្វស៊ីក្លូអាចត្រូវបានមើលនៅលើទំព័រ តំបន់ និងកម្រិតសំឡេង ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ. ផ្ទៃនៃការបង្វិលនឹងស្រដៀងនឹង ... ខ្ញុំមិនដឹងថាត្រូវប្រៀបធៀបវាជាមួយអ្វី ... អ្វីមួយដែលមិនគួរឱ្យជឿ - មានរាងមូលជាមួយនឹងការធ្លាក់ទឹកចិត្តចង្អុលនៅកណ្តាល។ នៅទីនេះ សម្រាប់ករណីនៃការបង្វិលស៊ីក្លូនៅជុំវិញអ័ក្ស សមាគមបាននឹកឃើញភ្លាមៗ - បាល់បាល់អោបរាងពងក្រពើ។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍របស់យើងជាមួយនឹងករណីមួយ។ កូអរដោណេប៉ូល។. បាទ វាជាការពិនិត្យឡើងវិញ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលសៀវភៅសិក្សាអំពីការវិភាគគណិតវិទ្យា (ដោយ Fikhtengolts, Bohan, Piskunov និងអ្នកនិពន្ធផ្សេងទៀត) អ្នកអាចទទួលបានគំរូស្ដង់ដារល្អជាច្រើន (ឬសូម្បីតែគួរឱ្យកត់សម្គាល់ជាងនេះ) ក្នុងចំណោមនោះវាពិតជាអាចទៅរួចដែលអ្នក នឹងស្វែងរកបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវការ។

របៀបគណនាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍,
ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡា?

ប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ កូអរដោណេប៉ូល។សមីការ ហើយ​អនុគមន៍​មាន​និស្សន្ទវត្ថុ​បន្ត​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ បន្ទាប់​មក​ផ្ទៃ​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​ការ​បង្វិល​ខ្សែ​កោង​នេះ​ជុំវិញ​អ័ក្ស​ប៉ូល​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​រូបមន្ត តើ​តម្លៃ​ជ្រុង​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ចុង​ខ្សែកោង​ត្រង់ណា។

អនុលោមតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃបញ្ហាគឺអាំងតេក្រាល។ ហើយនេះត្រូវបានសម្រេចបានលុះត្រាតែ (និងត្រូវបានគេស្គាល់ថាមិនអវិជ្ជមាន)។ ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវគិតគូរពីតម្លៃមុំពីជួរ បើនិយាយម្យ៉ាងទៀត ខ្សែកោងគួរតែស្ថិតនៅ ខ្ពស់ជាងអ័ក្សប៉ូល និងផ្នែកបន្ថែមរបស់វា។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញរឿងដូចគ្នានឹងកថាខណ្ឌពីរមុនដែរ។

ឧទាហរណ៍ ៥

គណនាផ្ទៃដីដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិល cardioid ជុំវិញអ័ក្សប៉ូល។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ក្រាហ្វនៃខ្សែកោងនេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 6 នៃមេរៀនអំពី ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។. cardioid គឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សប៉ូល ដូច្នេះយើងពិចារណាពាក់កណ្តាលខាងលើរបស់វានៅលើគម្លាត (ដែលតាមពិតទៅក៏ដោយសារតែការកត់សម្គាល់ខាងលើដែរ)។

ផ្ទៃនៃការបង្វិលនឹងស្រដៀងនឹង bullseye ។

បច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយគឺស្តង់ដារ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទាក់ទងនឹង "ភី"៖

តែង និងសម្រួលឫស៖

ខ្ញុំសង្ឃឹមជាមួយនឹងលេខលើស

ជំរាបសួរនិស្សិតជាទីគោរពនៃសាកលវិទ្យាល័យ Argemony!

ថ្ងៃនេះ យើងនឹងបន្តសិក្សាអំពីការបង្កើតវត្ថុធាតុ។ លើកមុន យើងបានបង្វិលតួរលេខសំប៉ែត ហើយទទួលបានរូបធាតុបីវិមាត្រ។ ពួកគេខ្លះទាក់ទាញ និងមានប្រយោជន៍ណាស់។ ខ្ញុំ​គិត​ថា​ច្រើន​ដែល​គ្រូ​មន្តអាគម​ប្រឌិត​អាច​ប្រើ​បាន​នៅ​ពេល​អនាគត។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងបង្វិលខ្សែកោង។ វាច្បាស់ណាស់ថាតាមវិធីនេះ យើងអាចទទួលបានវត្ថុមួយចំនួនដែលមានគែមស្តើងខ្លាំង (កោណ ឬដបសម្រាប់ដាក់ចាន ថូសម្រាប់ផ្កា កែវសម្រាប់ភេសជ្ជៈ។ល។) ព្រោះខ្សែកោងបង្វិលអាចបង្កើតវត្ថុបែបនេះបាន . នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតដោយការបង្វិលខ្សែកោងយើងអាចទទួលបានប្រភេទនៃផ្ទៃមួយចំនួន - បិទនៅលើភាគីទាំងអស់ឬអត់។ ហេតុអ្វីពេលនេះខ្ញុំនឹកឃើញពែង holey ដែលលោក Sir Shurf Lonley-Lockley ផឹកគ្រប់ពេល។

ដូច្នេះយើងនឹងបង្កើតចានដែលលេចធ្លាយនិងមិនជ្រាបចូលហើយគណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបានបង្កើត។ ខ្ញុំគិតថាសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនវា (ជាទូទៅផ្ទៃខាងលើ) នឹងត្រូវការ - ផងដែរយ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់ការលាបថ្នាំលាបវេទមន្តពិសេស។ ម្យ៉ាងវិញទៀត តំបន់នៃវត្ថុបុរាណវេទមន្ត អាចត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាកម្លាំងវេទមន្តដែលបានអនុវត្តចំពោះពួកគេ ឬអ្វីផ្សេងទៀត។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកវា ហើយយើងនឹងរកកន្លែងដែលត្រូវអនុវត្តវា។

ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូឡាមួយដុំអាចឱ្យយើងមានរាងដូចចាន។ ចូរយក y = x 2 សាមញ្ញបំផុតនៅលើចន្លោះពេល។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលវាបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OY នោះគ្រាន់តែទទួលបានចានមួយ។ គ្មានបាត។

អក្ខរាវិរុទ្ធដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃការបង្វិលមានដូចខាងក្រោម:

ទីនេះ |y| គឺជាចម្ងាយពីអ័ក្សនៃការបង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោងដែលកំពុងបង្វិល។ ដូចដែលអ្នកដឹង ចម្ងាយគឺកាត់កែង។
ពិបាកបន្តិចជាមួយធាតុទីពីរនៃអក្ខរាវិរុទ្ធ៖ ds គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្នូ។ ពាក្យទាំងនេះមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីនោះទេ ដូច្នេះសូមកុំរំខាន ប៉ុន្តែប្តូរទៅភាសានៃរូបមន្ត ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់សម្រាប់ករណីទាំងអស់ដែលយើងស្គាល់៖
- ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian;
- កំណត់ត្រានៃខ្សែកោងក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ;
- ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។

សម្រាប់ករណីរបស់យើងចម្ងាយពីអ័ក្សនៃការបង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោងគឺ x ។ យើងពិចារណាលើផ្ទៃនៃចានប្រហោងលទ្ធផល៖

ដើម្បីធ្វើចានជាមួយបាត អ្នកត្រូវយកដុំមួយទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងខ្សែកោងផ្សេងគ្នា៖ នៅចន្លោះពេលនេះគឺជាបន្ទាត់ y=1។

វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែលវាបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស OY បាតនៃចាននឹងត្រូវបានទទួលក្នុងទម្រង់ជារង្វង់នៃកាំឯកតា។ ហើយយើងដឹងពីរបៀបដែលផ្ទៃដីនៃរង្វង់ត្រូវបានគណនា (យោងតាមរូបមន្ត pi * r ^ 2 ។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង តំបន់នៃរង្វង់នឹងស្មើនឹង pi) ប៉ុន្តែយើងនឹងគណនាវា ដោយប្រើរូបមន្តថ្មី - សម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់។
ចម្ងាយពីអ័ក្សរង្វិលទៅចំណុចណាមួយនៃផ្នែកនៃខ្សែកោងនេះគឺ x ផងដែរ។

ជាការប្រសើរណាស់, ការគណនារបស់យើងគឺត្រឹមត្រូវ, ដែលពេញចិត្ត។

ហើយ​ឥឡូវនេះ កិច្ចការ​ផ្ទះ.

1. រកផ្ទៃផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិលប៉ូលីលីន ABC ដែល A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2) ជុំវិញអ័ក្ស OX ។
ដំបូន្មាន។ កត់ត្រាផ្នែកទាំងអស់ក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC៖ x=t, y=2, 1≤t≤6
និយាយអីញ្ចឹងតើធាតុលទ្ធផលមើលទៅដូចអ្វី?

2. ឥឡូវមកជាមួយអ្វីមួយដោយខ្លួនឯង។ ខ្ញុំគិតថាបីមុខគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

I. បរិមាណនៃសាកសពនៃបដិវត្តន៍។ សិក្សាបឋមជំពូកទី XII, p°p° 197, 198 យោងតាមសៀវភៅសិក្សាដោយ G. M. Fikhtengol'ts* វិភាគលម្អិតអំពីឧទាហរណ៍ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុង p° 198 ។

508. គណនាបរិមាណនៃតួដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរាងពងក្រពើជុំវិញអ័ក្ស x ។

ដូច្នេះ

530. រកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស Ox នៃធ្នូនៃ sinusoid y \u003d sin x ពីចំនុច X \u003d 0 ដល់ចំនុច X \u003d វា។

531. គណនាផ្ទៃនៃកោណដែលមានកម្ពស់ h និងកាំ r ។

532. គណនាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយ

ការបង្វិលផ្កាយរណប x3 -) - y * - a3 ជុំវិញអ័ក្ស x ។

533. គណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបញ្ច្រាសនៃរង្វិលជុំនៃខ្សែកោង 18 y-x(6-x)r ជុំវិញអ័ក្ស x ។

534. រកផ្ទៃនៃ torus ដែលផលិតដោយការបង្វិលរង្វង់ X2 - j - (y-3)2 = 4 ជុំវិញអ័ក្ស x ។

535. គណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរង្វង់ X = a cost, y = asint ជុំវិញអ័ក្សអុក។

536. គណនាផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃរង្វិលជុំនៃខ្សែកោង x = 9t2, y = St − 9t3 ជុំវិញអ័ក្សអុក។

537. រកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃធ្នូនៃខ្សែកោង x = e * sint, y = el ចំណាយជុំវិញអ័ក្សអុក

ពី t = 0 ទៅ t = - ។

538. បង្ហាញថាផ្ទៃដែលផលិតដោយការបង្វិលធ្នូនៃស៊ីក្លូ x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) ជុំវិញអ័ក្ស Oy គឺស្មើនឹង 16 u2 o2 ។

539. ស្វែងរកផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិល cardioid ជុំវិញអ័ក្សប៉ូល។

540. រកតំបន់នៃផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃ lemniscate ជុំវិញអ័ក្សប៉ូល។

ភារកិច្ចបន្ថែមសម្រាប់ជំពូកទី IV

តំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ

541. ស្វែងរកតំបន់ទាំងមូលនៃតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោងមួយ។ និងអ័ក្ស អូ។

542. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោង

និងអ័ក្ស អូ។

543. រកផ្នែកនៃតំបន់នៃតំបន់ដែលមានទីតាំងនៅ quadrant ទីមួយនិងចងដោយខ្សែកោង

l សំរបសំរួលអ័ក្ស។

544. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលមាននៅក្នុង

រង្វិលជុំ៖

545. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយរង្វិលជុំមួយនៃខ្សែកោង៖

546. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលមាននៅខាងក្នុងរង្វិលជុំ:

547. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោង

និងអ័ក្ស អូ។

548. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោង

និងអ័ក្ស អូ។

549. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយអ័ក្ស Oxr

ត្រង់និងកោង