រូបមន្តបន្ថែមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្ហាញ sin(2*a), cos(2*a) និង tg(a) នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ a ។

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) ។

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b) ។

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b))។

ចូរយើងកំណត់ a = b ក្នុងរូបមន្តទាំងនេះ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណដូចខាងក្រោម៖

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) ។

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a))) 2).

អត្តសញ្ញាណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តមុំទ្វេ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេ។

ឧទាហរណ៍ ១រកតម្លៃនៃ sin(2*a) ដោយដឹងថា cos(a) = -0.8 ហើយ a គឺជាមុំត្រីមាសទី 3 ។ ដំណោះស្រាយ៖

ដំបូងយើងគណនាអំពើបាប (ក) ។ ដោយសារមុំ a គឺជាត្រីមាសទី 3 ស៊ីនុសក្នុងត្រីមាសទីបីនឹងអវិជ្ជមាន៖

sin(a) = -v(1-(cos(a))) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6 ។

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ យើងមាន៖

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 ។

ចម្លើយ៖ sin(2*a) = 0.96។

ឧទាហរណ៍ ២សម្រួលការបញ្ចេញមតិ sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) ។ ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងយក sin(a)*cos(a) ចេញពីតង្កៀប។ យើង​ទទួល​បាន:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) ២).

ឥឡូវនេះយើងប្រើរូបមន្តមុំទ្វេ៖

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a)=(1/2)*sin(2*a)*sin(2*a)=(1 /4)*sin(4*a)។

ចម្លើយ៖ sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a) ។

ដោយប្រើរូបមន្តមុំទ្វេ អ្នកអាចទទួលបានកន្សោមខាងក្រោម

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 ។

ពេលខ្លះនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលប្រើរូបមន្តទាំងនេះ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ ៣សម្រួលកន្សោម (1-cos(a))/(1+cos(a))។ ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តដែលបានសរសេរខាងលើសម្រាប់កន្សោម (1-cos(a)) និង (1+cos(a))។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងតំណាងឱ្យមុំ a ក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលខាងក្រោម 2*(a/2) ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបាន៖

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

ដោយប្រើនិយមន័យនៃតង់សង់ យើងមាន៖

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

ចម្លើយ៖ (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

សំណួរដែលសួរញឹកញាប់បំផុត។

តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ត្រា​លើ​ឯកសារ​តាម​គំរូ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឬ​ទេ? ចម្លើយ បាទ វាអាចទៅរួច។ ផ្ញើច្បាប់ចម្លងដែលបានស្កេន ឬរូបថតដែលមានគុណភាពល្អទៅកាន់អាសយដ្ឋានអ៊ីមែលរបស់យើង ហើយយើងនឹងធ្វើការចម្លងចាំបាច់។

តើការទូទាត់ប្រភេទណាដែលអ្នកទទួលយក? ចម្លើយ អ្នកអាចបង់ប្រាក់សម្រាប់ឯកសារនៅពេលទទួលដោយអ្នកនាំសំបុត្រ បន្ទាប់ពីអ្នកពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការបំពេញ និងគុណភាពនៃសញ្ញាប័ត្រ។ នេះក៏អាចត្រូវបានធ្វើនៅការិយាល័យរបស់ក្រុមហ៊ុនប្រៃសណីយ៍ដែលផ្តល់សាច់ប្រាក់លើសេវាកម្មដឹកជញ្ជូន។
លក្ខខណ្ឌនៃការដឹកជញ្ជូន និងការទូទាត់ឯកសារទាំងអស់ត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែក "ការទូទាត់ និងការដឹកជញ្ជូន"។ យើងក៏ត្រៀមខ្លួនរួចជាស្រេចដើម្បីស្តាប់ការផ្ដល់យោបល់របស់អ្នកលើលក្ខខណ្ឌនៃការដឹកជញ្ជូន និងការទូទាត់សម្រាប់ឯកសារ។

តើខ្ញុំអាចប្រាកដថាបន្ទាប់ពីការបញ្ជាទិញអ្នកនឹងមិនបាត់ជាមួយលុយរបស់ខ្ញុំទេ? ចម្លើយ យើងមានបទពិសោធន៍យ៉ាងយូរក្នុងវិស័យផលិតកម្មសញ្ញាបត្រ។ យើងមានគេហទំព័រជាច្រើនដែលត្រូវបានធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពឥតឈប់ឈរ។ អ្នកឯកទេសរបស់យើងធ្វើការនៅផ្នែកផ្សេងៗនៃប្រទេស ដោយផលិតឯកសារច្រើនជាង 10 ក្នុងមួយថ្ងៃ។ ប៉ុន្មានឆ្នាំមកនេះ ឯកសាររបស់យើងបានជួយមនុស្សជាច្រើនដោះស្រាយបញ្ហាការងាររបស់ពួកគេ ឬផ្លាស់ប្តូរទៅរកការងារដែលមានប្រាក់ខែខ្ពស់។ យើងទទួលបានទំនុកចិត្ត និងការទទួលស្គាល់ក្នុងចំណោមអតិថិជន ដូច្នេះគ្មានហេតុផលសម្រាប់ពួកយើងក្នុងការធ្វើបែបនេះទេ។ លើសពីនេះទៅទៀត វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើវាដោយរាងកាយ៖ អ្នកបង់ប្រាក់សម្រាប់ការបញ្ជាទិញរបស់អ្នកនៅពេលទទួលបានវានៅក្នុងដៃរបស់អ្នក មិនមានការបង់ប្រាក់ជាមុនទេ។

តើខ្ញុំអាចបញ្ជាទិញសញ្ញាបត្រពីសាកលវិទ្យាល័យណាមួយបានទេ? ចម្លើយ ជាទូទៅបាទ។ យើង​បាន​ធ្វើ​ការ​នៅ​តំបន់​នេះ​អស់​រយៈ​ពេល​ជិត ១២ ឆ្នាំ​ហើយ។ ក្នុងអំឡុងពេលនេះ មូលដ្ឋានទិន្នន័យស្ទើរតែពេញលេញនៃឯកសារដែលចេញដោយសាកលវិទ្យាល័យស្ទើរតែទាំងអស់នៅក្នុងប្រទេស និងសម្រាប់ឆ្នាំផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើង។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការគឺជ្រើសរើសសាកលវិទ្យាល័យឯកទេស ឯកសារ និងបំពេញទម្រង់បញ្ជាទិញ។

តើខ្ញុំគួរធ្វើដូចម្តេចប្រសិនបើខ្ញុំរកឃើញការវាយអក្សរ និងកំហុសនៅក្នុងឯកសារ? ចម្លើយ នៅពេលទទួលបានឯកសារពីក្រុមហ៊ុននាំសំបុត្រ ឬក្រុមហ៊ុនប្រៃសណីយ៍របស់យើង យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកពិនិត្យមើលព័ត៌មានលម្អិតទាំងអស់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប្រសិនបើការវាយអក្សរ កំហុស ឬភាពមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានរកឃើញ អ្នកមានសិទ្ធិមិនទទួលយកសញ្ញាប័ត្រ ហើយអ្នកត្រូវតែបង្ហាញពីចំណុចខ្វះខាតដែលបានរកឃើញដោយផ្ទាល់ទៅកាន់អ្នកនាំសំបុត្រ ឬជាលាយលក្ខណ៍អក្សរដោយផ្ញើអ៊ីមែល។
ឱ្យបានឆាប់តាមដែលអាចធ្វើបាន យើងនឹងកែតម្រូវឯកសារ ហើយបញ្ជូនវាឡើងវិញទៅកាន់អាសយដ្ឋានដែលបានបញ្ជាក់។ ជាការពិតណាស់ ការដឹកជញ្ជូននឹងត្រូវបង់ដោយក្រុមហ៊ុនរបស់យើង។
ដើម្បីជៀសវាងការយល់ច្រឡំបែបនេះ មុនពេលបំពេញទម្រង់ដើម យើងផ្ញើប្លង់នៃឯកសារនាពេលអនាគតទៅកាន់សំបុត្ររបស់អតិថិជនសម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ និងអនុម័តកំណែចុងក្រោយ។ មុនពេលផ្ញើឯកសារតាមអ្នកនាំសំបុត្រ ឬសំបុត្រ យើងក៏ថតរូប និងវីដេអូបន្ថែម (រួមទាំងពន្លឺអ៊ុលត្រាវីយូឡេ) ដើម្បីឱ្យអ្នកមានគំនិតដែលមើលឃើញអំពីអ្វីដែលអ្នកនឹងទទួលបាននៅទីបញ្ចប់។

តើអ្នកត្រូវធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបញ្ជាសញ្ញាបត្រពីក្រុមហ៊ុនរបស់អ្នក? ចម្លើយ ដើម្បីបញ្ជាទិញឯកសារ (វិញ្ញាបនបត្រ សញ្ញាប័ត្រ វិញ្ញាបនបត្រសិក្សា។ ត្រឡប់មកយើងវិញ។
ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងថាត្រូវបង្ហាញអ្វីនៅក្នុងវាលណាមួយនៃទម្រង់បែបបទ/កម្រងសំណួរ សូមទុកវាឱ្យនៅទទេ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​បញ្ជាក់​រាល់​ព័ត៌មាន​ដែល​បាត់​តាម​ទូរស័ព្ទ។

ការវាយតម្លៃចុងក្រោយ

Torywild៖

ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តទិញសញ្ញាប័ត្រពីក្រុមហ៊ុនរបស់អ្នក នៅពេលដែលខ្ញុំផ្លាស់ទៅទីក្រុងមួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនអាចរកឃើញសញ្ញាប័ត្ររបស់ខ្ញុំក្នុងចំណោមរបស់របររបស់ខ្ញុំទេ។ បើ​គ្មាន​គាត់ ខ្ញុំ​នឹង​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​ជួល​សម្រាប់​ការងារ​ដែល​មាន​ប្រាក់​ខែ​ល្អ​ទេ។ ទីប្រឹក្សារបស់អ្នកបានធានាខ្ញុំថា ព័ត៌មាននេះមិនត្រូវបានបង្ហាញទេ ហើយគ្មាននរណាម្នាក់នឹងបែងចែកឯកសារពីដើមឡើយ។ ការសង្ស័យមិនបានចាកចេញទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំត្រូវឆ្លៀតឱកាស។ ខ្ញុំចូលចិត្តដែលមិនចាំបាច់បង់ប្រាក់ជាមុនទេ។ ជាទូទៅខ្ញុំបានទទួលសញ្ញាប័ត្រទាន់ពេល ហើយខ្ញុំមិនត្រូវបានគេបោកប្រាស់ទេ។ សូមអរគុណ!

Oksana Ivanovna៖

ពេល​ដែល​សញ្ញាបត្រ​របស់​ខ្ញុំ​ត្រូវ​បាន​គេ​លួច ខ្ញុំ​មាន​ការ​សោកស្ដាយ​ជា​ខ្លាំង។ យ៉ាងណាមិញ ខ្ញុំទើបតែត្រូវបានបណ្តេញចេញនៅពេលនោះ ហើយឥឡូវនេះវាស្ទើរតែមិនអាចស្វែងរកការងារល្អដោយគ្មានសញ្ញាបត្រឧត្តមសិក្សានោះទេ។ ជាសំណាងល្អ អ្នកជិតខាងបានស្នើឱ្យទាក់ទងស្ថាប័នរបស់អ្នក។ ដំបូង​ឡើយ ខ្ញុំ​មាន​ការ​សង្ស័យ ប៉ុន្តែ​បាន​សម្រេច​ចិត្ត​ឆ្លៀត​ឱកាស។ ខ្ញុំបានទូរស័ព្ទទៅអ្នកគ្រប់គ្រងក្រុមហ៊ុន ហើយពន្យល់ពីស្ថានភាពរបស់ខ្ញុំ។ ហើយខ្ញុំមានសំណាងណាស់! ពួកគេបានធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងភ្លាមៗ ហើយសំខាន់បំផុតគឺពួកគេបានសន្យាថានឹងមិនបញ្ចេញអាថ៌កំបាំងរបស់ខ្ញុំទេ។ ខ្ញុំ​បារម្ភ​ថា​ក្រោយ​មក​ការ​ពិត​នៃ​ការ​ទិញ​សញ្ញាប័ត្រ​របស់​ខ្ញុំ​នឹង​មិន​លេច​ឡើង។

Masha Kutenkova៖

សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់អ្នក! បាន​បញ្ជា​ឱ្យ​មាន​សញ្ញាប័ត្រ​នៅ​ឆ្នាំ 1991 ។ នៅពេលដែលពួកគេចាប់ផ្តើមលើកឯកសារ វាបង្ហាញថាមានបទពិសោធន៍តិចតួច ហើយក្រដាសបញ្ជាក់ការអប់រំក៏ត្រូវការផងដែរ។ ខ្ញុំមិនមានវាទេ ហើយចៅហ្វាយដឹងរឿងនេះ ហើយនាងផ្ទាល់បានណែនាំក្រុមហ៊ុនរបស់អ្នក (អ្នកឃើញទេ ខ្ញុំជាបុគ្គលិក គ្មានអ្វីដូចនោះទេ)។ នៅលើឯកសារ នាងបានចង្អុលបង្ហាញព័ត៌មានលម្អិតមកខ្ញុំ - ពួកគេនិយាយថា តើទឹកថ្នាំ ឬទឹកថ្នាំត្រូវបានប្រើប្រាស់ប៉ុន្មានឆ្នាំ កម្រាស់នៃហត្ថលេខា។ល។ សូមអរគុណចំពោះភាពល្អិតល្អន់ និងគុណភាព!

LenOK៖

បន្ទាប់ពីបានអានរឿងអំពីការបណ្តេញចេញដ៏គួរឱ្យអាម៉ាស់របស់បុគ្គលិកដែលសញ្ញាបត្រត្រូវបានបោះពុម្ពលើម៉ាស៊ីនបោះពុម្ពពណ៌ ខ្ញុំបានទៅដាក់ពាក្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ។ Alas, មិនមានថវិកា, គ្មានលុយដើម្បីសិក្សានិងចំណាយសម្រាប់វគ្គផងដែរ, ខ្ញុំត្រូវប្រថុយប្រថាន។ ទោះ​បី​ជា​ខ្ញុំ​រីក​រាយ​យ៉ាង​ខ្លាំង​ដែល​ខ្ញុំ​បាន​ស្គាល់​ក្រុមហ៊ុន​របស់​អ្នក​។ ទោះបីជាខ្ញុំមិនត្រូវបានជួលជាមួយនឹងសញ្ញាប័ត្ររបស់អ្នកក៏ដោយដោយសារតែការបរាជ័យនៃប្លុកជាក់ស្តែងនេះមិនមែនជាកំហុសរបស់អ្នកទេ។ ដរាបណាខ្ញុំរកកន្លែងថ្មី - ទៅអ្នកភ្លាមៗដោយមិនបង្អង់យូរ!

Jerry Terry៖

មើលដោយភាពខ្មាសអៀន មិត្តរួមការងាររបស់ខ្ញុំបានរត់ចេញពីការងារដើម្បីទទួលសញ្ញាបត្រក្លែងក្លាយ វាគួរឱ្យខ្លាចក្នុងការធ្វើតាមគំរូរបស់គាត់។ បើ​មិន​មែន​សម្រាប់​ឪ​ពុក​ដែល​បញ្ជា​ពី​ឯង​ទេ ខ្ញុំ​មិន​ហ៊ាន​ប្រថុយ​ទេ។ នាងធានាខ្ញុំថា អ្វីៗដំណើរការទៅដោយរលូននៅទីនេះ ហើយឈ្មោះរបស់ខ្ញុំនឹងនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលត្រូវការ។ ខ្ញុំមានពេល 4 ថ្ងៃសម្រាប់អ្វីៗទាំងអស់។ សូមអរគុណចំពោះល្បឿន - យើងបានធ្វើវាជា 3 ហើយក៏បានសិក្សាយ៉ាងល្អិតល្អន់អំពីវិធីនៃការក្លែងបន្លំឯកសារ ប៉ុន្តែទម្រង់របស់អ្នកមិនសមនឹងក្លែងក្លាយ ដែលមានន័យថាវានឹងឆ្លងកាត់សម្រាប់ឯកសារដើម។

Andrew៖

ខ្ញុំ​មិន​ដែល​គិត​ថា​ត្រូវ​ទិញ​សញ្ញាបត្រ​នោះ​ទេ។ ក្រោយ​ពី​រៀន​ចប់ កូន​ស្រី​របស់​នាង​បាន​ចាក​ចេញ​ទៅ​ធ្វើ​ការ​នៅ​ប្រទេស​ប៉ូឡូញ លុះ​ត្រឡប់​មក​វិញ​៥​ឆ្នាំ នាង​ចង់​ទទួល​បាន​ការងារ​ជា​អ្នក​ច្នៃ​ម៉ូដ​នៅ​ផ្ទះ​ម៉ូដ​ក្នុង​ស្រុក។ បើគ្មានសញ្ញាបត្រ គ្មានអ្នកណាចង់យកនាងទៅធ្វើការទេ។ គាត់​យល់​ថា​បើ​គាត់​មិន​ទទួល​បាន​ការងារ​នេះ​ទេ គាត់​នឹង​ចាកចេញ​ម្ដង​ទៀត។ ខ្ញុំ​បាន​ដើរ​លេង​នៅ​ពេល​ល្ងាច​តាម​អ៊ីនធឺណិត ហើយ​ពេល​ព្រឹក​ខ្ញុំ​នៅ​ការិយាល័យ​ជាមួយ​ឯកសារ​របស់​កូន​ស្រី​ខ្ញុំ​រួច​ហើយ។ មួយសប្តាហ៍ក្រោយមកគាត់បានយកសញ្ញាប័ត្រជាមួយនាង ហើយចុងក្រោយនាងបានស្នាក់នៅធ្វើការនៅទីក្រុងរបស់នាងក្នុងមុខតំណែងដែលចង់បាន។ អ្នកមិនដឹងថាខ្ញុំដឹងគុណប៉ុណ្ណាទេ!

អ្នកអាចបញ្ជាទិញដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក !!!

រូបមន្តមុំទ្វេធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់) នៃមុំ `2\alpha` ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារទាំងនេះនៃមុំ `\alpha`។

បញ្ជីខាងក្រោមគឺជារូបមន្តមុំទ្វេជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានប្រើជាទូទៅបំផុតនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ។ មានបីក្នុងចំនោមពួកគេសម្រាប់កូស៊ីនុស ពួកវាទាំងអស់សមមូល និងមានសារៈសំខាន់ស្មើគ្នា។

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha`
`cos \ 2 \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha`, `cos \ 2 \ alpha = 1-2 \ sin^ 2 \ alpha`, `cos \ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \alpha-1`
`tg 2\alpha=\frac(2\tg\alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg 2\alpha=\frac(ctg^2\alpha-1)(2\ctg\\alpha)`

អត្តសញ្ញាណខាងក្រោមបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំ `2\alpha` នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំ `\alpha`។

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2\ctg\alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\ alpha+ctg \\ alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \\ \alpha-tg \\ alpha)(ctg \\ \alpha+tg \\ alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac (\ ctg \ alpha-tg \ alpha)2`

រូបមន្ត​សម្រាប់​កូស៊ីនុស និង​ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ទ្វេ​មាន​សុពលភាព​សម្រាប់​មុំ `\alpha` ណាមួយ។ រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំទ្វេគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ `\alpha` ដែល `tg \ 2\alpha` ត្រូវបានកំណត់ នោះគឺសម្រាប់ ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \ ក្នុង Z` ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់កូតង់សង់ ពួកគេកាន់សម្រាប់ `\alpha` ដែល `ctg \ 2\alpha` ត្រូវបានកំណត់ នោះគឺសម្រាប់ ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z` ។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមុំទ្វេ

រូបមន្តមុំទ្វេទាំងអស់បានមកពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ចូរយើងយករូបមន្តពីរសម្រាប់ផលបូកនៃមុំស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖

`sin(\alpha+\beta)=` sin \alpha\cos \beta+cos \alpha\ sin \beta` និង `cos(\alpha+\beta)=` `cos \alpha\cos \ \\ beta-sin \\ alpha \\ sin \\ beta` ។ យក `\beta=\alpha` បន្ទាប់មក `sin(\alpha+\alpha)=``sin\alpha\cos\\alpha+cos\alpha\sin \alpha=2\sin \alpha\cos \ \alpha` ស្រដៀងនឹង `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ alpha \ cos \ \ alpha-sin \ alpha \ sin \ \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha`, ដែលនិងបង្ហាញរូបមន្តមុំទ្វេសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

សមភាពពីរផ្សេងទៀតសម្រាប់កូស៊ីនុស `cos\2\alpha=1-2\sin^2 \alpha` និង `cos \2\alpha=2 \cos^2 \alpha-1` កាត់បន្ថយទៅអ្វីដែលបានបង្ហាញរួចហើយ ប្រសិនបើ យើងជំនួស 1 ក្នុងពួកវាទៅជា `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`។ ដូច្នេះ `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2\ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` និង ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` ។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំទ្វេ និងកូតង់សង់ យើងប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ សរសេរ `tg\2\alpha` និង `ctg\2\alpha` ជា `tg\2\alpha=\frac (sin \2\alpha)(cos\2\alpha)` និង `ctg\2\alpha=\ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`។ អនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេដែលបានបញ្ជាក់រួចហើយសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស យើងទទួលបាន `tg\2\alpha=\frac (sin \2\alpha)(cos \2\alpha)=\frac (2 \sin \alpha \cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` និង `ctg\2\alpha=\frac(cos\2\alpha)(sin \2\alpha)=`\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\\alpha)`។

ក្នុងករណីតង់សង់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគចុងក្រោយដោយ `cos^2 \alpha` សម្រាប់ cotangent ជាវេនដោយ `sin^2 \alpha`។

`tg \ 2\alpha=\frac (sin 2\alpha)(cos \2\alpha)=\frac (2\sin\alpha\cos\alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` \frac (\frac(2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`។

`ctg\2\alpha=\frac (cos\2\alpha)(sin \2\alpha)=``\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \sin \alpha \cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2\sin \alpha\cos\alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`។

យើងក៏ស្នើឱ្យមើលវីដេអូផងដែរ ដើម្បីពង្រឹងសម្ភារៈទ្រឹស្តីឱ្យកាន់តែប្រសើរឡើង៖

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា

រូបមន្តមុំទ្វេគឺនៅក្នុងករណីភាគច្រើនដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីបំប្លែងកន្សោមត្រីកោណមាត្រ។ ចូរយើងពិចារណាករណីមួយចំនួន របៀបដែលអ្នកអាចអនុវត្តពួកវាក្នុងការអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ 1. ពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃអត្តសញ្ញាណមុំទ្វេសម្រាប់ `\alpha=30^\circ` ។

ដំណោះស្រាយ។ រូបមន្តរបស់យើងប្រើមុំពីរ `\alpha` និង `2\alpha` ។ តម្លៃនៃមុំទីមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ ទីពីរនឹងជា `2\alpha=60^\circ` តាមនោះ។ យើងក៏ដឹងពីតម្លៃលេខសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំទាំងនេះ។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចុះ៖

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` និង

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\ sqrt 3)3` ។

បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=``2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \\cdot (\frac 1 2)^2=\frac 12`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=``\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2\ctg 30^\circ)=``\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3) = \\ frac (\ sqrt 3)3` ។

ដែលបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់មុំដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ។

ឧទាហរណ៍ 2. Express `sin \frac (2\alpha)3` នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ `\frac (\alpha)6`។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរមុំស៊ីនុសដូចខាងក្រោម `\frac (2\alpha)3=4\cdot \frac (\alpha)6` ។ បន្ទាប់មកដោយអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេពីរដង យើងអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់យើង។

ដំបូងយើងប្រើសមីការស៊ីនុសមុំទ្វេ៖ `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 ` ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តរូបមន្តរបស់យើងសម្រាប់ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ម្តងទៀតរៀងៗខ្លួន។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

` sin\frac (2\alpha)3=2\cdot sin\frac (\alpha)3\cdot cos\frac (\alpha)3=``2\cdot (2\cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=``4\cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`។

ចម្លើយ។ ` sin\frac (2\alpha)3=``4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6` ។

រូបមន្តមុំបី

រូបមន្តទាំងនេះ ស្រដៀងទៅនឹងរូបមន្តមុន ធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញមុខងារនៃមុំ `3\alpha` ក្នុងន័យនៃមុខងារទាំងនេះនៃមុំ `\alpha`។

`sin 3\alpha=3\sin\alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos^3 \ alpha-3 \ cos \ alpha`
`tg 3\alpha=\frac(3\tg\\alpha-tg^3 \alpha)(1-3\tg^2 \alpha)`
`ctg 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3\ctg\alpha)(3\ctg^2 \alpha-1)`

អ្នកអាចបញ្ជាក់ពួកវាដោយប្រើសមភាពនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំ ក៏ដូចជារូបមន្តមុំទ្វេដែលគេស្គាល់ផងដែរ។

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=`3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`។

នៅក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល ជំនួស `sin\3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` ជាមួយ `1-sin^2\alpha` ហើយទទួលបាន `sin \3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`។

ផងដែរសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំបី:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` ។

ការជំនួស `cos\3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` ជាមួយ `1-cos^2\alpha` ក្នុងសមីការចុងក្រោយ យើងទទួលបាន `cos \3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`។

ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស មួយអាចបញ្ជាក់សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \3\alpha)(cos\3\alpha)=`\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=`\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha)(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=``\frac(3\tg\\alpha-tg^3 \ អាល់ហ្វា)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg\3\alpha=\frac (cos\3\alpha)(sin \3\alpha)=``\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=``\frac (\frac(cos^3 \alpha)(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=``ctg\3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់មុំ `4\alpha` អ្នកអាចតំណាងវាជា `2 \cdot 2\alpha` ហើយសាកល្បងរូបមន្តមុំទ្វេពីរដង។

ដើម្បីទទួលបានភាពស្មើគ្នាស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុំ `5\alpha` អ្នកអាចសរសេរវាជា `3\alpha + 2\alpha` ហើយអនុវត្តអត្តសញ្ញាណនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំ និងមុំទ្វេ និងបី។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ រូបមន្តទាំងអស់សម្រាប់មុំច្រើនផ្សេងទៀតត្រូវបានយកមក ដូច្នេះពួកគេកម្រត្រូវការក្នុងការអនុវត្តណាស់។

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ រូបមន្តជាច្រើនងាយស្រួលកាត់ជាជាងទន្ទេញចាំ។ កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេគឺជារូបមន្តដ៏អស្ចារ្យ! វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តកាត់បន្ថយនិងរូបមន្តមុំពាក់កណ្តាល។

ដូច្នេះ យើងត្រូវការកូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ និងឯកតាត្រីកោណមាត្រ៖

ពួកគេគឺស្រដៀងគ្នា៖ នៅក្នុងរូបមន្តនៃកូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ - ភាពខុសគ្នារវាងការ៉េនៃកូស៊ីនុសនិងស៊ីនុសនិងនៅក្នុងឯកតាត្រីកោណមាត្រ - ផលបូករបស់ពួកគេ។ ប្រសិនបើយើងបង្ហាញកូស៊ីនុសពីឯកតាត្រីកោណមាត្រ៖

ហើយជំនួសវាទៅជាកូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ យើងទទួលបាន៖

នេះគឺជារូបមន្តមួយទៀតសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ៖

រូបមន្តនេះគឺជាគន្លឹះក្នុងការទទួលបានរូបមន្តកាត់បន្ថយ៖

ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់បន្ថយកម្រិតស៊ីនុសគឺ៖

ប្រសិនបើនៅក្នុងនោះមុំអាល់ហ្វាត្រូវបានជំនួសដោយមុំពាក់កណ្តាលអាល់ហ្វានៅពាក់កណ្តាលហើយមុំពីរអាល់ហ្វាពីរត្រូវបានជំនួសដោយមុំអាល់ហ្វានោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់មុំពាក់កណ្តាលសម្រាប់ស៊ីនុស:

ឥឡូវនេះ ពីឯកតាត្រីកោណមាត្រ យើងបង្ហាញស៊ីនុស៖

ជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ៖

យើងទទួលបានរូបមន្តមួយទៀតសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ៖

រូបមន្តនេះគឺជាគន្លឹះក្នុងការស្វែងរកការកាត់បន្ថយកូស៊ីនុស និងរូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំសម្រាប់កូស៊ីនុស។

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់បញ្ចុះកម្រិតកូស៊ីនុសគឺ៖

ប្រសិនបើយើងជំនួស α ដោយ α/2 នៅក្នុងវា និង 2α ដោយ α នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់អាគុយម៉ង់ពាក់កណ្តាលសម្រាប់កូស៊ីនុស៖

ដោយសារតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅកូស៊ីនុស រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់គឺ៖

កូតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសទៅស៊ីនុស។ ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់កូតង់សង់គឺ៖

ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងដំណើរការនៃការសម្រួលកន្សោមត្រីកោណមាត្រ វាគ្មានចំណុចណាមួយក្នុងការទាញយករូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំ ឬបន្ថយដឺក្រេរាល់ពេលនោះទេ។ វាកាន់តែងាយស្រួលដាក់សន្លឹករូបមន្តនៅពីមុខអ្នក។ ហើយភាពសាមញ្ញនឹងដំណើរការលឿនជាងមុន ហើយការចងចាំដែលមើលឃើញនឹងបើកសម្រាប់ការទន្ទេញ។

ប៉ុន្តែវានៅតែមានតម្លៃក្នុងការទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះច្រើនដង។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងប្រាកដថាក្នុងអំឡុងពេលប្រឡងនៅពេលដែលមិនមានវិធីដើម្បីប្រើសន្លឹកបន្លំអ្នកអាចទទួលបានពួកគេយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើតម្រូវការកើតឡើង។

រូបមន្តមុំទ្វេត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់នៃមុំដែលមានតម្លៃ 2 α ដោយប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ α ។ អត្ថបទនេះនឹងណែនាំរូបមន្តមុំទ្វេទាំងអស់ជាមួយនឹងភស្តុតាង។ ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរូបមន្តនឹងត្រូវបានពិចារណា។ នៅផ្នែកចុងក្រោយ រូបមន្តសម្រាប់មុំបីដង បួនជ្រុងនឹងត្រូវបានបង្ហាញ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

បញ្ជីរូបមន្តមុំទ្វេ

ដើម្បីបំប្លែងរូបមន្តមុំទ្វេ សូមចាំថាមុំក្នុងត្រីកោណមាត្រមានទម្រង់ n α សញ្ញាណ ដែល n ជាលេខធម្មជាតិ តម្លៃនៃកន្សោមត្រូវបានសរសេរដោយគ្មានតង្កៀប។ ដូច្នេះ sin n α ត្រូវបានចាត់ទុកថាមានអត្ថន័យដូចគ្នានឹង sin (n α) ។ ជាមួយនឹងសញ្ញាណ sin n α យើងមានសញ្ញាណស្រដៀងគ្នា (sin α) n ។ ការប្រើប្រាស់សញ្ញាណគឺអាចអនុវត្តបានសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់ដែលមានអំណាចនៃ n ។

ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមុំទ្វេ៖

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

ចំណាំថារូបមន្ត sin និង cos ទាំងនេះអាចអនុវត្តបានជាមួយនឹងតម្លៃណាមួយនៃមុំα។ រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំទ្វេគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ α ដែល t g 2 α មានន័យ នោះគឺ α ≠ π 4 + π 2 · z, z គឺជាចំនួនគត់ណាមួយ។ កូតង់សង់នៃមុំទ្វេមានសម្រាប់ α ណាមួយ ដែល c t g 2 α ត្រូវបានកំណត់នៅលើ α ≠ π 2 · z ។

កូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេមានសញ្ញាណបីនៃមុំទ្វេ។ ពួកវាទាំងអស់អាចអនុវត្តបាន។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមុំទ្វេ

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមានប្រភពចេញពីរូបមន្តបន្ថែម។ យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុសនៃផលបូក៖

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β និងកូស៊ីនុសនៃផលបូក cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ។ ឧបមាថា β = α បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α និង cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំទ្វេ sin 2 α \u003d 2 sin α cos α និង cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α ត្រូវបានបញ្ជាក់។

រូបមន្តដែលនៅសល់ cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α និង cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 នាំទៅរកទម្រង់ cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α នៅពេលជំនួស 1 ជាមួយនឹងផលបូកនៃការ៉េដោយអត្តសញ្ញាណមូលដ្ឋាន sin 2 α + cos 2 α = 1 . យើងទទួលបានថា sin 2 α + cos 2 α = 1 ។ ដូច្នេះ 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α និង 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α ។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់មុំទ្វេនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់ យើងអនុវត្តសមភាព t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α និង c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α ។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបានថា t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α និង c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . ចែកកន្សោមដោយ cos 2 α ដែល cos 2 α ≠ 0 ជាមួយនឹងតម្លៃណាមួយនៃ α នៅពេល t g α ត្រូវបានកំណត់។ បែងចែកកន្សោមមួយទៀតដោយ sin 2 α ដែល sin 2 α ≠ 0 ជាមួយនឹងតម្លៃណាមួយនៃ α នៅពេលដែល c t g 2 α មានន័យ។ ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តមុំទ្វេសម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់ យើងជំនួស និងទទួលបាន៖