នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាពីដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលសមីការត្រូវបានគេហៅថា quadratic ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c \u003d 0 ដែល x ជាអថេរ ហើយមេគុណ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a ≠ 0 ត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ. ដូចដែលយើងឃើញ មេគុណនៅ x 2 មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះហើយមេគុណនៅ x ឬពាក្យទំនេរអាចស្មើនឹងសូន្យ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបានសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

មានសមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:

1) ប្រសិនបើ b \u003d 0, c ≠ 0 បន្ទាប់មក ax 2 + c \u003d 0;

2) ប្រសិនបើ b ≠ 0, c \u003d 0 បន្ទាប់មក ax 2 + bx \u003d 0;

3) ប្រសិនបើ b \u003d 0, c \u003d 0, បន្ទាប់មក ax 2 \u003d 0 ។

• សូមមើលពីរបៀបដែលពួកគេដោះស្រាយ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + c = 0 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ យើងផ្ទេរពាក្យឥតគិតថ្លៃពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបាន

ax 2 = ‒s ។ ចាប់តាំងពី a ≠ 0 បន្ទាប់មកយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a បន្ទាប់មក x 2 \u003d -c / a ។

ប្រសិនបើ ‒с/а > 0 នោះសមីការមានឫសពីរ

x = ±√(–c/a) ។

ប្រសិនបើ -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

ចូរយើងព្យាយាមយល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 − 32 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d ៤.

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយសមីការ 2x 2 + 8 = 0 ។

ចម្លើយ៖ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

• សូមមើលពីរបៀបដែលពួកគេដោះស្រាយ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx = 0 ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ax 2 + bx \u003d 0 យើងបំបែកវាទៅជាកត្តា ពោលគឺយើងយក x ចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបាន x (ax + b) \u003d 0. ផលិតផលគឺសូន្យ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោម កត្តាគឺសូន្យ។ បន្ទាប់មក х = 0 ឬ ах + b = 0 ។ ការដោះស្រាយសមីការ ах + b = 0 យើងទទួលបាន ах = – b, ពេលណា х = – b/a ។ សមីការនៃទម្រង់ ax 2 + bx \u003d 0 តែងតែមានឫសពីរ x 1 \u003d 0 និង x 2 \u003d - b / a ។ សូមមើលពីរបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនេះមើលទៅលើដ្យាក្រាម។

ចូរយើងបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងរបស់យើងលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៣. ដោះស្រាយសមីការ 3x 2 − 12x = 0 ។

x(3x − 12) = 0

x \u003d 0 ឬ 3x - 12 \u003d 0

ចម្លើយ៖ x 1 = 0, x 2 = 4 ។

• សមីការនៃប្រភេទទីបី អ័ក្ស 2 = 0ដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើ ax 2 \u003d 0 បន្ទាប់មក x 2 \u003d 0 ។ សមីការមានឫសស្មើគ្នាពីរ x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0 ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់សូមពិចារណាដ្យាក្រាម។

នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទី 4 យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាសមីការនៃប្រភេទនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ 7x 2 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x 1, 2 = 0 ។

វាមិនតែងតែច្បាស់ថាប្រភេទសមីការការ៉េមិនពេញលេញប្រភេទណាដែលយើងត្រូវដោះស្រាយនោះទេ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៥ដោះស្រាយសមីការ

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយភាគបែងរួម នោះគឺដោយ 30

តោះកាត់

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90 ។

តោះបើកតង្កៀប

25x2 + 45 − 24x2 + 54 = 90 ។

នៅទីនេះគឺស្រដៀងគ្នា

ចូរផ្លាស់ទីលេខ 99 ពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅខាងស្តាំ ដោយប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

យើងបានវិភាគពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាឥឡូវនេះអ្នកនឹងមិនមានការលំបាកជាមួយភារកិច្ចបែបនេះទេ។ សូមប្រយ័ត្នពេលកំណត់ប្រភេទនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ នោះអ្នកនឹងជោគជ័យ។

ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយលើប្រធានបទនេះ ចុះឈ្មោះសម្រាប់មេរៀនរបស់ខ្ញុំ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយគ្នា។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ជំនួសឱ្យវា៖ \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមការ៉េទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលពហុនាមការ៉េ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគពីចំនួនគត់អាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2 \)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូម​មេត្តា​រង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1,4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មានទម្រង់
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ត្រូវបានហៅ ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c ជាស្ទាក់ចាប់។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a \neq 0 \\) ថាមពលធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៅ x 2 គឺ 1 ត្រូវបានហៅ កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b=0 នៅក្នុងទីពីរ c=0 នៅក្នុងទីបី b=0 និង c=0 ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញមានបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ax2=0 ។

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ពាក្យទំនេររបស់វាត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0 \) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) ធ្វើកត្តាខាងឆ្វេងរបស់វា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 \u003d 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 \u003d 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលសមីការ quadratic ត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណទាំងពីរនៃមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើ
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

យើងបំប្លែងសមីការនេះដោយគូសលើការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមឫសត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 (“រើសអើង” ជាភាសាឡាតាំង - distinguisher)។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាណនៃអ្នករើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការការ៉េមានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើតាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
២) បើអ្នករើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ប្រើរូបមន្តឫស បើអ្នករើសអើងអវិជ្ជមាន សរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ax 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

នៅក្នុងសង្គមទំនើប សមត្ថភាពប្រតិបត្តិការជាមួយសមីការដែលមានអថេរការ៉េអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃសកម្មភាព ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្តក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកទេស។ នេះអាចបញ្ជាក់បានដោយការរចនានាវាសមុទ្រ និងទន្លេ យន្តហោះ និងកាំជ្រួច។ ដោយមានជំនួយពីការគណនាបែបនេះគន្លងនៃចលនានៃសាកសពផ្សេងៗរួមទាំងវត្ថុអវកាសត្រូវបានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែក្នុងការព្យាករណ៍សេដ្ឋកិច្ចក្នុងការរចនា និងការសាងសង់អគារប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងកាលៈទេសៈប្រចាំថ្ងៃធម្មតាបំផុតផងដែរ។ ពួកគេប្រហែលជាត្រូវការសម្រាប់ការធ្វើដំណើរបោះជំរុំ ព្រឹត្តិការណ៍កីឡា នៅក្នុងហាងនៅពេលទិញទំនិញ និងក្នុងស្ថានភាពទូទៅផ្សេងទៀត។

ចូរបំបែកកន្សោមទៅជាកត្តាសមាសធាតុ

កម្រិតនៃសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃអតិបរមានៃកម្រិតនៃអថេរដែលកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យមាន។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹង 2 នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េ។

ប្រសិនបើយើងនិយាយជាភាសានៃរូបមន្ត នោះកន្សោមទាំងនេះមិនថាវាមើលទៅបែបណានោះទេ តែងតែអាចនាំមកទម្រង់នៅពេលដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃកន្សោមមានបីពាក្យ។ ក្នុងចំណោមពួកគេ៖ ពូថៅ 2 (នោះគឺជាអថេរការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) bx (មិនស្គាល់ដោយគ្មានការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) និង c (សមាសភាគឥតគិតថ្លៃ នោះគឺជាលេខធម្មតា)។ ទាំងអស់នេះនៅខាងស្តាំគឺស្មើនឹង 0។ ក្នុងករណីដែលពហុនាមបែបនេះមិនមានធាតុផ្សំណាមួយរបស់វា លើកលែងតែអ័ក្ស 2 វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះ ដែលក្នុងនោះតម្លៃនៃអថេរមិនពិបាកស្វែងរក គួរតែត្រូវបានពិចារណាជាមុនសិន។

ប្រសិនបើកន្សោមមើលទៅតាមរបៀបដែលមានពាក្យពីរនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃកន្សោម គឺ ax 2 និង bx កាន់តែច្បាស់ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការស្វែងរក x ដោយតង្កៀបអថេរ។ ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x(ax+b)។ លើសពីនេះ វាកាន់តែច្បាស់ថា x=0 ឬបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកអថេរពីកន្សោមខាងក្រោម៖ ax+b=0។ នេះត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃគុណ។ ច្បាប់ចែងថាផលនៃកត្តាពីរផ្តល់លទ្ធផលជា 0 លុះត្រាណាមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺសូន្យ។

ឧទាហរណ៍

x=0 ឬ 8x − 3 = 0

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការ៖ 0 និង 0.375។

សមីការនៃប្រភេទនេះអាចពិពណ៌នាអំពីចលនានៃសាកសពក្រោមសកម្មភាពនៃទំនាញផែនដី ដែលបានចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីចំណុចជាក់លាក់មួយ ដែលយកជាប្រភពដើម។ នៅទីនេះសញ្ញាណគណិតវិទ្យាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ y = v 0 t + gt 2/2 ។ ដោយការជំនួសតម្លៃចាំបាច់ ស្មើផ្នែកខាងស្តាំទៅ 0 និងស្វែងរកការមិនស្គាល់ដែលអាចកើតមាន អ្នកអាចរកឃើញពេលវេលាដែលបានកន្លងផុតពីពេលដែលរាងកាយកើនឡើងដល់ពេលដែលវាធ្លាក់ចុះ ក៏ដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀតជាច្រើន។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយ។

កត្តាកន្សោមមួយ។

ច្បាប់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះនៅក្នុងករណីស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ។

X2 − 33x + 200 = 0

ត្រីកោណការ៉េនេះត្រូវបានបញ្ចប់។ ដំបូង​យើង​បំប្លែង​កន្សោម ហើយ​បំបែក​វា​ទៅ​ជា​កត្តា។ មានពីរក្នុងចំនោមពួកគេ៖ (x-8) និង (x-25) = 0. ជាលទ្ធផលយើងមានឫសពីរ 8 និង 25 ។

ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ថ្នាក់ទី 9 អនុញ្ញាតឱ្យវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីស្វែងរកអថេរនៅក្នុងកន្សោមមិនត្រឹមតែនៃទីពីរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៃលំដាប់ទីបីនិងទីបួន។

ឧទាហរណ៍៖ 2x 3 + 2x 2 − 18x − 18 = 0. ពេល​យក​ផ្នែក​ខាង​ស្តាំ​ទៅ​ជា​កត្តា​ជាមួយ​អថេរ​ មាន​បី​ក្នុង​ចំណោម​នោះ​គឺ (x+1), (x-3) និង (x + ៣).

ជាលទ្ធផលវាច្បាស់ថាសមីការនេះមានឫសបី: -3; - មួយ; ៣.

ការស្រង់ចេញឫសការ៉េ

ករណីមួយទៀតនៃសមីការលំដាប់ទីពីរមិនពេញលេញគឺជាកន្សោមដែលសរសេរជាភាសាអក្សរតាមរបៀបដែលផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានបង្កើតឡើងពីសមាសធាតុ ax 2 និង c ។ នៅទីនេះ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរ ពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយបន្ទាប់ពីនោះ ឫសការ៉េត្រូវបានស្រង់ចេញពីភាគីទាំងពីរនៃសមភាព។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីនេះជាធម្មតាមានឫសពីរនៃសមីការ។ ករណីលើកលែងតែមួយគត់គឺសមភាពដែលមិនមានពាក្យ c ទាល់តែសោះ ដែលអថេរស្មើនឹងសូន្យ ក៏ដូចជាបំរែបំរួលនៃកន្សោម នៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីចុងក្រោយនេះ មិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់ ព្រោះសកម្មភាពខាងលើមិនអាចអនុវត្តដោយឫសគល់បានទេ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះគួរតែត្រូវបានពិចារណា។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខ -4 និង 4 ។

ការគណនាផ្ទៃដី

តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាប្រភេទនេះបានលេចចេញនៅសម័យបុរាណ ពីព្រោះការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាក្នុងគ្រាឆ្ងាយទាំងនោះ ភាគច្រើនដោយសារតែតម្រូវការកំណត់តំបន់ និងបរិវេណនៃដីឡូតិ៍ប្រកបដោយភាពត្រឹមត្រូវបំផុត។

យើងក៏គួរពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានចងក្រងដោយផ្អែកលើបញ្ហានៃប្រភេទនេះ។

អញ្ចឹង​ឧបមាថា​មាន​ដី​រាង​ចតុកោណ​ប្រវែង​១៦​ម៉ែត្រ​ជាង​ទទឹង។ អ្នកគួរតែស្វែងរកប្រវែង ទទឹង និងបរិវេណនៃទីតាំង ប្រសិនបើគេដឹងថាផ្ទៃដីរបស់វាគឺ ៦១២ ម ២។

ការចុះទៅអាជីវកម្មដំបូងយើងនឹងបង្កើតសមីការចាំបាច់។ ចូរកំណត់ទទឹងនៃផ្នែកជា x បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងមាន (x + 16) ។ វាធ្វើតាមអ្វីដែលបានសរសេរថាផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម x (x + 16) ដែលយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហារបស់យើងគឺ 612 ។ នេះមានន័យថា x (x + 16) \u003d 612 ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញ ហើយកន្សោមនេះគឺគ្រាន់តែថា មិនអាចធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នាបានទេ។ ហេតុអ្វី? ទោះបីជាផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វានៅតែមានកត្តាពីរក៏ដោយ ផលិតផលរបស់វាមិនស្មើនឹង 0 ទាល់តែសោះ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅទីនេះ។

រើសអើង

ជាដំបូង យើងនឹងធ្វើការបំប្លែងជាចាំបាច់ បន្ទាប់មករូបរាងនៃកន្សោមនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x 2 + 16x - 612 = 0. នេះមានន័យថាយើងបានទទួលកន្សោមក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវនឹងស្តង់ដារដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន ដែលជាកន្លែងដែល a=1, b=16, c= −612 ។

នេះអាចជាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងតាមរយៈអ្នករើសអើង។ នៅទីនេះការគណនាចាំបាច់ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមគ្រោងការណ៍: D = b 2 - 4ac ។ តម្លៃជំនួយនេះមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាននៅក្នុងសមីការលំដាប់ទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ វាកំណត់ចំនួនជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន។ ក្នុងករណី D> 0 មានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ; សម្រាប់ D=0 មានឫសមួយ។ ក្នុងករណី D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

អំពីឫសនិងរូបមន្តរបស់វា។

ក្នុងករណីរបស់យើង ការរើសអើងគឺ៖ 256 - 4(-612) = 2704។ នេះបង្ហាញថាបញ្ហារបស់យើងមានចម្លើយ។ ប្រសិនបើអ្នកដឹង ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវតែបន្តដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឫស។

នេះមានន័យថាក្នុងករណីដែលបានបង្ហាញ៖ x 1 = 18, x 2 = −34 ។ ជម្រើសទីពីរនៅក្នុងបញ្ហានេះ មិនអាចជាដំណោះស្រាយបានទេ ព្រោះទំហំដីមិនអាចវាស់ជាតម្លៃអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា x (ទទឹងដី) គឺ 18 ម៉ែត្រ។ ពីទីនេះយើងគណនាប្រវែង៖ 18+16=34 និងបរិវេណ 2(34+18) = 104 (ម 2)។

ឧទាហរណ៍និងភារកិច្ច

យើងបន្តការសិក្សាអំពីសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយលម្អិតនៃពួកវាមួយចំនួននឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ចូរយើងផ្ទេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព ធ្វើការបំប្លែង នោះគឺយើងទទួលបានទម្រង់នៃសមីការ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាស្តង់ដារមួយ ហើយយកវាទៅសូន្យ។

15x 2 + 20x + 5 − 12x 2 – 27x – 1 = 0

ដោយបានបន្ថែមភាពស្រដៀងគ្នា យើងកំណត់ការរើសអើង៖ D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ដូច្នេះសមីការរបស់យើងនឹងមានឫសពីរ។ យើងគណនាពួកវាតាមរូបមន្តខាងលើ ដែលមានន័យថា ទីមួយនៃពួកវានឹងស្មើនឹង 4/3 ហើយទីពីរ 1 ។

2) ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញ riddles នៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើមានឫស x 2 − 4x + 5 = 1 នៅទីនេះទាំងអស់ឬ? ដើម្បីទទួលបានចម្លើយពេញលេញ យើងនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា ហើយគណនាការរើសអើង។ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ វា​មិន​ចាំបាច់​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​ចតុកោណ​ទេ ព្រោះ​ខ្លឹមសារ​នៃ​បញ្ហា​មិន​មាន​ទាល់តែ​សោះ​ក្នុង​រឿងនេះ។ ក្នុងករណីនេះ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ដែលមានន័យថាពិតជាគ្មានឫសទេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងតាមរូបមន្តខាងលើ ហើយការរើសអើងនៅពេលដែលឫសការ៉េត្រូវបានស្រង់ចេញពីតម្លៃនៃក្រោយ។ ប៉ុន្តែនេះមិនតែងតែកើតឡើងទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានវិធីជាច្រើនដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរក្នុងករណីនេះ។ ឧទាហរណ៍៖ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមបុរសម្នាក់ដែលរស់នៅក្នុងប្រទេសបារាំងសតវត្សទី 16 ហើយមានអាជីពដ៏អស្ចារ្យដោយសារទេពកោសល្យគណិតវិទ្យា និងការភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរបស់គាត់នៅតុលាការ។ រូបភាពរបស់គាត់អាចមើលឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ។

គំរូ​ដែល​ជនជាតិ​បារាំង​ដ៏​ល្បី​ម្នាក់​បាន​កត់​សម្គាល់​មាន​ដូច​ខាង​ក្រោម។ គាត់បានបង្ហាញថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹង -p=b/a ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវគ្នាទៅនឹង q=c/a។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលកិច្ចការជាក់លាក់។

3x2 + 21x − 54 = 0

ដើម្បីភាពសាមញ្ញ ចូរយើងបំប្លែងកន្សោម៖

x 2 + 7x − 18 = 0

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta នេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំណុចដូចខាងក្រោម: ផលបូកនៃឫសគឺ -7 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ -18 ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថាឫសនៃសមីការគឺជាលេខ -9 និង 2 ។ ដោយបានធ្វើការត្រួតពិនិត្យ យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាតម្លៃនៃអថេរទាំងនេះពិតជាសមនឹងកន្សោម។

ក្រាហ្វ និងសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា

គោលគំនិតនៃអនុគមន៍ quadratic និងសមីការ quadratic មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីមុនរួចហើយ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលល្បែងផ្គុំរូបគណិតវិទ្យាមួយចំនួនដោយលំអិតបន្តិច។ សមីការណាមួយនៃប្រភេទដែលបានពិពណ៌នាអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញ។ ការពឹងផ្អែកបែបនេះដែលត្រូវបានគូរក្នុងទម្រង់នៃក្រាហ្វត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រភេទផ្សេងៗរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។

ប៉ារ៉ាបូឡាណាមួយមានចំនុចកំពូល នោះគឺជាចំណុចដែលសាខារបស់វាចេញមក។ ប្រសិនបើ a> 0 ពួកវាឡើងខ្ពស់ដល់អគ្មានកំណត់ ហើយនៅពេលដែល a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ការតំណាងដែលមើលឃើញនៃអនុគមន៍ជួយដោះស្រាយសមីការណាមួយ រួមទាំង ចតុកោណ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វិក។ ហើយតម្លៃនៃអថេរ x គឺជាកូអរដោណេ abscissa នៅចំនុចដែលបន្ទាត់ក្រាហ្វប្រសព្វជាមួយ 0x ។ កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ x 0 = -b / 2a ។ ហើយការជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើមនៃអនុគមន៍ អ្នកអាចរកឃើញ y 0 នោះគឺជាកូអរដោនេទីពីរនៃចំនុចកំពូលប៉ារ៉ាបូឡាដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ័ក្ស y ។

ចំនុចប្រសព្វនៃសាខានៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa

មានឧទាហរណ៍ជាច្រើនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ប៉ុន្តែក៏មានគំរូទូទៅផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វដែលមានអ័ក្ស 0x សម្រាប់ a> 0 គឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ y 0 យកតម្លៃអវិជ្ជមាន។ ហើយសម្រាប់ ក<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. បើមិនដូច្នេះទេ ឃ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ពីក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា អ្នកក៏អាចកំណត់ឫសផងដែរ។ ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។ នោះ​គឺ​ប្រសិន​បើ​វា​មិន​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ទទួល​បាន​ការ​តំណាង​ដែល​មើល​ឃើញ​នៃ​អនុគមន៍​រាង​បួន​ជ្រុង​ទេ អ្នក​អាច​ស្មើ​ផ្នែក​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​កន្សោម​ទៅ 0 និង​ដោះស្រាយ​សមីការ​លទ្ធផល។ ហើយការដឹងពីចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស 0x វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគូសវាស។

ពីប្រវត្តិសាស្ត្រ

ដោយមានជំនួយពីសមីការដែលមានអថេរការ៉េ នៅថ្ងៃចាស់ មិនត្រឹមតែធ្វើការគណនាគណិតវិទ្យា និងកំណត់ផ្ទៃនៃរាងធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ។ មនុស្សបុរាណត្រូវការការគណនាបែបនេះសម្រាប់ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ ក៏ដូចជាសម្រាប់ការព្យាករណ៍ហោរាសាស្រ្តផងដែរ។

ដូចដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រសម័យទំនើបណែនាំ ប្រជាជននៅបាប៊ីឡូនគឺជាអ្នកដំបូងគេដែលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។ វាបានកើតឡើងបួនសតវត្សមុនការមកដល់នៃសម័យរបស់យើង។ ជាការពិតណាស់ ការគណនារបស់ពួកគេមានភាពខុសប្លែកគ្នាជាមូលដ្ឋានពីអ្វីដែលបានទទួលយកនាពេលបច្ចុប្បន្ន ហើយបានប្រែទៅជាមានលក្ខណៈបឋមជាង។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូមេសូប៉ូតាមៀ មិនមានគំនិតអំពីអត្ថិភាពនៃលេខអវិជ្ជមានទេ។ ពួកគេក៏មិនស៊ាំជាមួយ subtleties ផ្សេងទៀតនៃអ្នកដែលស្គាល់ដោយសិស្សណាមួយនៅសម័យរបស់យើង។

ប្រហែលជាមុនជាងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃបាប៊ីឡូន ដែលជាអ្នកប្រាជ្ញមកពីប្រទេសឥណ្ឌា Baudhayama បានយកដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុង។ រឿងនេះបានកើតឡើងប្រហែលប្រាំបីសតវត្សមុនការមកដល់នៃយុគសម័យរបស់ព្រះគ្រីស្ទ។ ពិត​មែន សមីការ​លំដាប់​ទីពីរ វិធីសាស្ត្រ​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​ដែល​លោក​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​គឺ​សាមញ្ញ​បំផុត។ ក្រៅ​ពី​គាត់ អ្នក​គណិត​វិទូ​ចិន​ក៏​ចាប់​អារម្មណ៍​នឹង​សំណួរ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​ក្នុង​សម័យ​បុរាណ​ដែរ។ នៅទ្វីបអឺរ៉ុប សមីការបួនជ្រុងចាប់ផ្តើមត្រូវបានដោះស្រាយតែនៅដើមសតវត្សទី 13 ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែក្រោយមកពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការងាររបស់ពួកគេដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យដូចជា Newton, Descartes និងអ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។

ការពិពណ៌នាគន្ថនិទ្ទេស៖ Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ // អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេង។ - 2016. - លេខ 6.1 ។ - ស.១៧-២០..០២.២០១៩)។



គម្រោងរបស់យើងគឺឧទ្ទិសដល់វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ គោលបំណងនៃគម្រោង៖ ដើម្បីរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយវិធីដែលមិនត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ កិច្ចការ៖ ស្វែងរកវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ហើយរៀនពីរបៀបប្រើវាដោយខ្លួនឯង និងណែនាំមិត្តរួមថ្នាក់អំពីវិធីសាស្ត្រទាំងនេះ។

តើ "សមីការការ៉េ" ជាអ្វី?

សមីការ​ការ៉េ- សមីការនៃទម្រង់ ពូថៅ2 + bx + c = 0កន្លែងណា ក, ខ, គ- លេខមួយចំនួន ( a ≠ 0), x- មិនស្គាល់។

លេខ a, b, c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការ quadratic ។

• a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ;
• b ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីពីរ;
• គ - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ហើយតើអ្នកណាជាអ្នកបង្កើតសមីការបួនជ្រុងមុនគេ?

បច្ចេកទេសពិជគណិតមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ ត្រូវបានគេស្គាល់ថានៅដើម 4000 ឆ្នាំមុននៅបាប៊ីឡូនបុរាណ។ គ្រាប់​ដីឥដ្ឋ​បាប៊ីឡូន​បុរាណ​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​មាន​កាល​បរិច្ឆេទ​នៅ​ចន្លោះ​ឆ្នាំ ១៨០០ និង ១៦០០ មុន​គ្រិស្តសករាជ គឺជា​ភស្តុតាង​ដំបូង​បំផុត​នៃ​ការ​សិក្សា​អំពី​សមីការ​ការ៉េ។ ថេប្លេតដូចគ្នាមានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការការ៉េ។

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងផែនដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។ ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

គណិតវិទូជនជាតិបាប៊ីឡូនពីប្រហែលសតវត្សទី 4 មុនគ។ បានប្រើវិធីសាស្ត្របំពេញការ៉េ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដែលមានឫសវិជ្ជមាន។ ប្រហែល ៣០០ មុនគ. Euclid បានបង្កើតវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយធរណីមាត្រទូទៅបន្ថែមទៀត។ គណិតវិទូដំបូងគេដែលបានរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានឫសអវិជ្ជមានក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តពិជគណិត គឺជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌា។ ព្រហ្មគន្ធី(ប្រទេស​ឥណ្ឌា​សតវត្ស​ទី​៧​នៃ​គ.ស.)។

Brahmagupta បានគូសបញ្ជាក់ពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

ax2 + bx = c, a> 0

នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណអាចអវិជ្ជមាន។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញពន្លឺផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញសិរីរុងរឿងនៅក្នុងកិច្ចប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។

នៅក្នុងពិជគណិតពិជគណិត អាល់-Khwarizmiការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖

1) "ការេស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax2 = bx ។

2) "ការេស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax2 = គ។

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" i.e. ax2 = គ។

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax2 + c = bx ។

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax2 + bx = c ។

6) "ឫស និងលេខស្មើនឹងការេ" ពោលគឺ bx + c == ax2 ។

សម្រាប់ Al-Khwarizmi ដែលជៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណានោះទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយអំពីការពិតដែលថាវាជាវោហាសាស្ត្រសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ Al-Khwarizmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីលេខសូន្យទេ។ ដំណោះស្រាយ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងជាក់លាក់ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ Al-Khwarizmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។

ទម្រង់សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ Al-Khwarizmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានពិពណ៌នាជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលបានសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ។ គណិតវិទូអ៊ីតាលី លោក Leonard Fibonacci. អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។

សៀវភៅនេះបានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពីសៀវភៅនេះត្រូវបានផ្ទេរទៅសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 14-17 ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ x2 + bx = c ជាមួយនឹងបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញា និងមេគុណ b, c ត្រូវបានបង្កើតនៅអឺរ៉ុបក្នុងឆ្នាំ 1544 ។ M. Steefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelliក្នុងចំណោមទីមួយនៅសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះការងារ Girard, Descartes, ញូតុននិងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត វិធីនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។

ពិចារណាវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

វិធីស្តង់ដារដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា៖

1. ការបំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។
2. វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ។
3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េតាមរូបមន្ត។
4. ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃសមីការការ៉េ។
5. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ចូរយើងស្វែងយល់លម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយនិងមិនកាត់បន្ថយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

សូមចាំថា ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ខាងលើ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកលេខពីរ ដែលផលគុណស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ ហើយផលបូកគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍។x 2 −5x+6=0

អ្នកត្រូវស្វែងរកលេខដែលផលិតផលគឺ 6 ហើយផលបូកគឺ 5 ។ លេខទាំងនេះនឹងមានលេខ 3 និង 2 ។

ចម្លើយ៖ x 1 =2, x 2 =3.

ប៉ុន្តែអ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់សមីការដែលមានមេគុណទីមួយមិនស្មើនឹងមួយ។

ឧទាហរណ៍។3x 2 +2x-5=0

យើងយកមេគុណទីមួយ ហើយគុណវាដោយពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖ x 2 +2x-15=0

ឫសនៃសមីការនេះនឹងជាលេខដែលផលិតផលគឺ - 15 ហើយផលបូកគឺ - 2 ។ លេខទាំងនេះគឺ 5 និង 3 ។ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការដើម យើងបែងចែកឫសដែលទទួលបានដោយមេគុណទីមួយ។

ចម្លើយ៖ x 1 =-5/3, x 2 =1

6. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" ។

ពិចារណាសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c = 0 ដែល a≠0 ។

គុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបានសមីការ a 2 x 2 + abx + ac = 0 ។

ឲ្យ ax = y, whence x = y/a; បន្ទាប់មកយើងមកដល់សមីការ y 2 + ដោយ + ac = 0 ដែលស្មើនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងរកឃើញឫសរបស់វានៅ 1 និង 2 ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ទីបំផុតយើងទទួលបាន x 1 = y 1 /a និង x 2 = y 2 /a ។

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ មេគុណ a ត្រូវបានគុណនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ដូចជាប្រសិនបើ "ផ្ទេរ" ទៅវា ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ "ផ្ទេរ" ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកឫសនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយសំខាន់បំផុតនៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។

ឧទាហរណ៍។2x 2 − 11x + 15 = 0 ។

ចូរ "ផ្ទេរ" មេគុណ 2 ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ ហើយធ្វើការជំនួសយើងទទួលបានសមីការ y 2 - 11y + 30 = 0 ។

នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​បញ្ច្រាស​របស់ Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3 ។

ចម្លើយ៖ x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការការ៉េអ័ក្ស 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

1. ប្រសិនបើ a + b + c \u003d 0 (ឧ. ផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការគឺសូន្យ) បន្ទាប់មក x 1 \u003d 1 ។

2. ប្រសិនបើ a - b + c \u003d 0 ឬ b \u003d a + c បន្ទាប់មក x 1 \u003d - 1 ។

ឧទាហរណ៍។345x 2 − 137x − 208 = 0 ។

ចាប់តាំងពី a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0) បន្ទាប់មក x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345 ។

ចម្លើយ៖ x 1 =1; X 2 = -208/345 .

ឧទាហរណ៍។១៣២x 2 + 247x + 115 = 0

ដោយសារតែ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0) បន្ទាប់មក x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

ចម្លើយ៖ x 1 = - ១; X 2 =- 115/132

មានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ប៉ុន្តែការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេគឺស្មុគស្មាញជាង។

8. ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើ nomogram ។

រូប 1. Nomogram

នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តចាស់ និងបច្ចុប្បន្នត្រូវបានបំភ្លេចចោលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលបានដាក់នៅលើទំព័រ 83 នៃបណ្តុំ៖ Bradis V.M. តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ - M. , ការអប់រំ, ឆ្នាំ 1990 ។

តារាង XXII ។ Nomogram សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ z2 + pz + q = 0. nomogram អនុញ្ញាតឱ្យ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការដោយមេគុណរបស់វា។

មាត្រដ្ឋាន curvilinear នៃ nomogram ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្ត (រូបភាពទី 1)៖

សន្មត់ OS = p, ED = q, OE = ក(ទាំងអស់គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ) ពីរូបភាពទី 1 ភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ សាននិង CDFយើងទទួលបានសមាមាត្រ

ពីណាមក បន្ទាប់ពីការជំនួស និងភាពសាមញ្ញ សមីការដូចខាងក្រោម z 2 + pz + q = 0,និងលិខិត zមានន័យថាស្លាកនៃចំណុចណាមួយនៅលើមាត្រដ្ឋានកោង។

អង្ករ។ 2 ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើនាមនាម

ឧទាហរណ៍។

1) សម្រាប់សមីការ z 2 − 9z + 8 = 0 nomogram ផ្តល់ឫស z 1 = 8.0 និង z 2 = 1.0

ចម្លើយ៖ ៨.០; 1.0.

2) ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើ nomogram

2z 2 − 9z + 2 = 0 ។

ចែកមេគុណនៃសមីការនេះដោយ 2 យើងទទួលបានសមីការ z 2 − 4.5z + 1 = 0 ។

nomogram ផ្តល់ឫស z 1 = 4 និង z 2 = 0.5 ។

ចម្លើយ៖ ៤; ០.៥.

9. វិធីសាស្ត្រធរណីមាត្រសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ឧទាហរណ៍។X 2 + 10x = 39 ។

ក្នុង​ដើម​បញ្ហា​នេះ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ "ការ​ការ៉េ​និង​ឫស​ដប់​ស្មើ​នឹង ៣៩"។

ពិចារណាការ៉េដែលមានចំហៀង x ចតុកោណកែងត្រូវបានសាងសង់នៅសងខាងរបស់វាដូច្នេះផ្នែកម្ខាងទៀតនៃពួកវានីមួយៗគឺ 2.5 ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃឆ្នេរគឺ 2.5x ។ បន្ទាប់មកតួលេខលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែមទៅការ៉េថ្មី ABCD ដោយបំពេញការ៉េស្មើគ្នាចំនួនបួននៅជ្រុងម្ខាងនៃពួកវានីមួយៗគឺ 2.5 និងតំបន់គឺ 6.25

អង្ករ។ 3 វិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយសមីការ x 2 + 10x = 39

ផ្ទៃ S នៃការ៉េ ABCD អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃតំបន់៖ ការេដើម x 2 ចតុកោណកែងបួន (4∙2.5x = 10x) និងការ៉េភ្ជាប់បួន (6.25∙4 = 25) i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. ការជំនួស x 2 + 10x ដោយលេខ 39 យើងទទួលបាន S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ដែលមានន័យថាផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ ABCD ពោលគឺឧ។ ផ្នែក AB \u003d 8. សម្រាប់ផ្នែកដែលចង់បាន x នៃការ៉េដើម យើងទទួលបាន

10. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ នៅសល់បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាម P(x) ដោយ binomial x - α ស្មើនឹង P(α) (នោះគឺជាតម្លៃនៃ P(x) នៅ x = α) ។

ប្រសិនបើលេខ α គឺជាឫសនៃពហុនាម P(x) នោះពហុនាមនេះបែងចែកដោយ x -α ដោយគ្មានសល់។

ឧទាហរណ៍។x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0។ ចែក P(x) ដោយ (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ឬ x-3=0, x=3; ចម្លើយ៖ x1 =2, x2 =3.

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ quadratic យ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយសមហេតុផលគឺចាំបាច់សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ឧទាហរណ៍ សមីការសមហេតុសមផលប្រភាគ សមីការនៃអំណាចខ្ពស់ជាង សមីការ biquadratic និងនៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ និទស្សន្ត និងលោការីត។ ដោយបានសិក្សាវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលបានរកឃើញសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងអាចណែនាំមិត្តរួមថ្នាក់ បន្ថែមពីលើវិធីសាស្ត្រស្តង់ដារ ដើម្បីដោះស្រាយដោយវិធីផ្ទេរ (6) និងដោះស្រាយសមីការដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ (7) ព្រោះវាងាយយល់ជាង។ .

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Bradis V.M. តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ - M. , ការអប់រំ, 1990 ។
2. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៨។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន Makarychev Yu. N., Mindyuk N.G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed ។ S. A. Telyakovsky ទី 15 ed ។ , កែប្រែ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ២០១៥
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា។ ការណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ / Ed ។ V.N. ក្មេងជាង។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៦៤ ។

គ្រាន់តែ។ យោងតាមរូបមន្តនិងច្បាប់សាមញ្ញច្បាស់លាស់។ នៅដំណាក់កាលដំបូង

វាចាំបាច់ក្នុងការនាំយកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ i.e. ដល់ទិដ្ឋភាព៖

ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកក្នុងទម្រង់នេះរួចហើយ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើដំណាក់កាលដំបូងឡើយ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រឹមត្រូវ។

កំណត់មេគុណទាំងអស់។ ក, ខនិង គ.

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ។

កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសត្រូវបានគេហៅថា រើសអើង . ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដើម្បីស្វែងរក x យើង

ប្រើ មានតែ a, b និង c. ទាំងនោះ។ ហាងឆេងពី សមីការ​ការ៉េ. គ្រាន់តែបញ្ចូលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន

តម្លៃ a, b និង cចូលទៅក្នុងរូបមន្តនេះហើយរាប់។ ជំនួសដោយ របស់ពួកគេ។សញ្ញា!

ឧទាហរណ៍, នៅក្នុងសមីការ៖

ក =1; ខ = 3; គ = -4.

ជំនួសតម្លៃហើយសរសេរ៖

ឧទាហរណ៍ស្ទើរតែត្រូវបានដោះស្រាយ៖

នេះគឺជាចម្លើយ។

កំហុសទូទៅបំផុតគឺការភាន់ច្រលំជាមួយនឹងសញ្ញានៃតម្លៃ ក, ខនិង ជាមួយ. ផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការជំនួស

តម្លៃអវិជ្ជមានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫស។ នៅទីនេះរូបមន្តលម្អិតរក្សាទុក

ជាមួយនឹងលេខជាក់លាក់។ ប្រសិនបើមានបញ្ហាជាមួយការគណនាធ្វើវា!

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ ក = -6; ខ = -5; គ = -1

យើងគូរអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងយ៉ាងលម្អិត ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដោយមិនបាត់បង់អ្វីទាំងអស់ជាមួយនឹងសញ្ញា និងតង្កៀបទាំងអស់៖

ជាញឹកញាប់សមីការការ៉េមើលទៅខុសគ្នាបន្តិច។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះសូមកត់សម្គាល់ពីបច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែលកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសឆ្គងយ៉ាងខ្លាំង។

ទទួលភ្ញៀវដំបូង. កុំខ្ជិលពីមុន ដោះស្រាយសមីការការ៉េនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។

តើ​នេះ​មានន័យថា​ម៉េច​?

ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងណាមួយ អ្នកទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម៖

កុំប្រញាប់សរសេររូបមន្តឫស! អ្នកស្ទើរតែនឹងលាយឡំនឹងហាងឆេង a, b និង c ។

បង្កើតឧទាហរណ៍ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ដំបូង x ការ៉េ បន្ទាប់មកដោយគ្មានការ៉េ បន្ទាប់មកសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ដូចនេះ៖

កម្ចាត់ដក។ យ៉ាងម៉េច? យើងត្រូវគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។ យើង​ទទួល​បាន:

ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចសរសេររូបមន្តសម្រាប់ឫសដោយសុវត្ថិភាព គណនាការរើសអើង និងបំពេញឧទាហរណ៍។

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។ អ្នកគួរតែបញ្ចប់ដោយឫស 2 និង -1 ។

ការទទួលភ្ញៀវទីពីរ។ពិនិត្យឫសរបស់អ្នក! ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា.

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យ i.e. ប្រសិនបើមេគុណ

x2+bx+c=0,

បន្ទាប់មកx 1 x 2 = គ

x1 + x2 = −ខ

សម្រាប់សមីការ quadratic ពេញលេញដែលក្នុងនោះ a≠1:

x 2 +ខx+គ=0,

ចែកសមីការទាំងមូលដោយ ក៖

→ →

កន្លែងណា x ១និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ។

ទទួលភ្ញៀវទីបី. ប្រសិនបើសមីការរបស់អ្នកមានមេគុណប្រភាគ ចូរកម្ចាត់ប្រភាគចេញ! គុណ

សមីការសម្រាប់ភាគបែងរួម។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។ គន្លឹះជាក់ស្តែង៖

1. មុននឹងដោះស្រាយ យើងនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ បង្កើតវា។ ត្រឹមត្រូវ។.

2. ប្រសិនបើមានមេគុណអវិជ្ជមាននៅពីមុខ x ក្នុងការ៉េ យើងលុបបំបាត់វាដោយគុណនឹងអ្វីៗទាំងអស់។

សមីការសម្រាប់ -1 ។

3. ប្រសិនបើមេគុណជាប្រភាគ យើងលុបបំបាត់ប្រភាគដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយប្រភាគដែលត្រូវគ្នា

កត្តា។

4. ប្រសិនបើ x ការ៉េគឺសុទ្ធ មេគុណសម្រាប់វាគឺស្មើនឹងមួយ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានពិនិត្យយ៉ាងងាយស្រួលដោយ