ចូរ​យើង​ពិចារណា​ជា​មុន​សិន​អំពី​សញ្ញា AC ដែល​ទាញ​ចេញ​ពី​ចំណុច A ខាង​ក្រៅ​ទៅ​រង្វង់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ (រូបភាព 288)។ គូរតង់សង់ AT ពីចំណុចដូចគ្នា។ យើងនឹងហៅផ្នែករវាងចំនុច A និងចំនុចប្រសព្វដែលនៅជិតបំផុតជាមួយនឹងរង្វង់ផ្នែកខាងក្រៅនៃសេកាន (ផ្នែក AB ក្នុងរូបភាព 288) ខណៈពេលដែលផ្នែក AC ទៅឆ្ងាយបំផុតនៃចំនុចប្រសព្វទាំងពីរគឺគ្រាន់តែជាផ្នែក . ផ្នែកតង់ហ្សង់ពី A ដល់ចំណុចនៃទំនាក់ទំនងក៏ត្រូវបានហៅយ៉ាងខ្លីថាតង់ហ្សង់។ បន្ទាប់មក

ទ្រឹស្តីបទ។ ផលិតផលនៃសេកាន និងផ្នែកខាងក្រៅរបស់វាស្មើនឹងការ៉េនៃតង់សង់។

ភស្តុតាង។ ចូរភ្ជាប់ចំណុច។ ត្រីកោណ ACT និង BT A គឺស្រដៀងគ្នា ដោយសារពួកវាមានមុំរួមនៅចំនុចកំពូល A ហើយមុំ ACT និងស្មើគ្នា ដោយសារពួកវាទាំងពីរត្រូវបានវាស់ដោយពាក់កណ្តាលនៃធ្នូ TB ដូចគ្នា។ ដូច្នេះពីទីនេះយើងទទួលបានលទ្ធផលដែលត្រូវការ៖

តង់ហ្សង់គឺស្មើនឹងមធ្យមធរណីមាត្ររវាងផ្នែកដែលទាញចេញពីចំណុចដូចគ្នា និងផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា។

ផលវិបាក។ សម្រាប់ផ្នែកណាមួយដែលគូរតាមរយៈចំណុច A នោះផលគុណនៃប្រវែងរបស់វា និងផ្នែកខាងក្រៅគឺថេរ៖

សូមពិចារណាឥឡូវនេះអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគ្នានៅចំណុចខាងក្នុងមួយ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ៖

ប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូពីរប្រសព្វគ្នា នោះផលនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូមួយគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃផ្នែកផ្សេងទៀត (មានន័យថាផ្នែកដែលអង្កត់ធ្នូត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វ)។

ដូច្នេះនៅក្នុងរូបភព។ 289 អង្កត់ធ្នូ AB និង CD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ហើយយើងមានពាក្យផ្សេងទៀត

សម្រាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M ផលិតផលនៃផ្នែកដែលវាបែងចែកអង្កត់ធ្នូណាមួយដែលឆ្លងកាត់វាគឺថេរ។

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងកត់សំគាល់ថា ត្រីកោណ MBC និង MAD គឺស្រដៀងគ្នា៖ មុំ CMB និង DMA គឺបញ្ឈរ មុំ MAD និង MCB ផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នា។ ពីទីនេះយើងរកឃើញ

Q.E.D.

ប្រសិនបើចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M ស្ថិតនៅចម្ងាយ l ពីចំណុចកណ្តាលបន្ទាប់មកការគូរអង្កត់ផ្ចិតឆ្លងកាត់វាហើយពិចារណាវាជាអង្កត់ធ្នូមួយយើងឃើញថាផលិតផលនៃផ្នែកនៃអង្កត់ផ្ចិតហើយដូច្នេះនៃអង្កត់ធ្នូផ្សេងទៀតគឺ ស្មើនឹង វាក៏ស្មើនឹងការ៉េនៃអង្កត់ធ្នូពាក់កណ្តាលអប្បបរមា (កាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតដែលបានបញ្ជាក់) ឆ្លងកាត់ M ។

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពស្ថិតស្ថេរនៃផលិតផលនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូ និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពជាប់លាប់នៃផលិតផលនៃសេកដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា គឺជាករណីពីរនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចគ្នា ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាតើផ្នែកត្រូវបានដកចេញតាមរយៈផ្នែកខាងក្រៅ ឬ ចំណុចខាងក្នុងនៃរង្វង់។ ឥឡូវ​នេះ អ្នក​អាច​បញ្ជាក់​លក្ខណៈ​ពិសេស​មួយ​ទៀត​ដែល​បែងចែក​បួនជ្រុង​ដែល​បាន​ចារឹក៖

នៅក្នុងសិលាចារឹកចតុកោណណាមួយ ផលិតផលកាត់ដែលអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វរបស់វាស្មើគ្នា។

ភាពចាំបាច់នៃលក្ខខណ្ឌគឺជាក់ស្តែង ចាប់តាំងពីអង្កត់ទ្រូងនឹងជាអង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់កាត់។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាលក្ខខណ្ឌនេះក៏គ្រប់គ្រាន់ផងដែរ។

ត្រីកោណ ABC មានរាងចតុកោណកែង (រូបភាពទី 11) C = 90° ស៊ីឌីកាត់កែងទៅនឹង AB, BD និង DA គឺជាការព្យាករនៃជើង BC និង AC ទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស AB ។ ទ្រឹស្តីបទ៖ 1) កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំទៅអ៊ីប៉ូតេនុស គឺជាតម្លៃសមាមាត្រមធ្យមរវាងការព្យាករនៃជើងទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស ពោលគឺឧ។ ; 2) ជើងនីមួយៗគឺជាតម្លៃសមាមាត្រជាមធ្យមរវាងអ៊ីប៉ូតេនុស និងការព្យាករនៃជើងនេះទៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស ពោលគឺឧ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ។ ការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានយកនៅខាងក្នុង

រង្វង់ អង្កត់ផ្ចិត និងអង្កត់ធ្នូមួយត្រូវបានគូរ

បន្ទាប់មកផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកអង្កត់ផ្ចិតគឺ

ប៉ុន្តែផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូ, i.e. (រូបភាពទី 12) ។

អង្ករ។ ១២

ផលវិបាក។ ផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគឺស្មើគ្នា, i.e.

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើតង់សង់ និងសេកត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយនៅខាងក្រៅរង្វង់ នោះផលគុណនៃលេខទាំងមូលដោយផ្នែកខាងក្រៅរបស់វាស្មើនឹងការេនៃតង់សង់ ពោលគឺឧ។ (រូបទី 13) ។

អង្ករ។ ១៣

និយមន័យ។ ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណមុំខាងស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខមុំនេះទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស កូស៊ីនុសគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស តង់ហ្សង់គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅជិតខាង។ ជើង ហើយកូតង់សង់គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងជើងទល់មុខ។

តង់ហ្សង់ និង​សេកុង​ត្រូវ​បាន​ទាញ​ចេញ​ពី​ចំណុច A ខាង​ក្រៅ​រង្វង់។ ចម្ងាយពី A ដល់ចំណុចទំនាក់ទំនងគឺ 16 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយពី A ដល់ចំនុចប្រសព្វមួយរបស់សេសិនដែលមានរង្វង់គឺ 32 សង់ទីម៉ែត្រ។ រកកាំនៃរង្វង់ប្រសិនបើ secant មានចម្ងាយ 5 សង់ទីម៉ែត្រពីកណ្តាលរបស់វា។

អង្ករ។ ដប់បួន

នៅលើរូបភព។ 14 AB ជា​តង់សង់​ទៅ​រង្វង់​ដែល​មាន​កណ្តាល O, AD ជា​សេក OK គឺកាត់កែងទៅ DC, AB = 16 cm, AD = 32 cm, OK = 5 cm. ដោយសារ EP គឺជាអង្កត់ផ្ចិតកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ធ្នូ DC ។ យើង​ទទួល​បាន ។ ចូរជំនួសនៅក្នុងសមភាពនេះ EK ដោយ , КР ដោយ , DК ដោយ 12 យើងទទួលបាន: OE = 13 សង់ទីម៉ែត្រ - កាំដែលចង់បាន។

104. ជ្រុងនៃចតុកោណកែងគឺ 30 និង 40 សង់ទីម៉ែត្រ រកចំងាយ

ពីចំនុចកំពូលនៃចតុកោណកែងទៅអង្កត់ទ្រូងដែលមិនឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូលនោះ។

105. បរិវេណនៃ rhombus គឺ 1 ម៉ែត្រ អង្កត់ទ្រូងមួយគឺវែងជាងមួយទៀតដោយ

1 dm ។ គណនាអង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus ។

នៅក្នុងរង្វង់មួយនៅសងខាងនៃកណ្តាលអង្កត់ធ្នូប៉ារ៉ាឡែលដែលមានប្រវែង 36 និង 48 មមត្រូវបានគូរចម្ងាយរវាងពួកវាគឺ 42 ម។ គណនាកាំនៃរង្វង់។

ជើង​នៃ​ត្រីកោណ​កែង​មាន​សមាមាត្រ 5:6 អ៊ីប៉ូតេនុស​គឺ 122 សង់ទីម៉ែត្រ។ ស្វែងរក​ផ្នែក​នៃ​អ៊ីប៉ូតេនុស​ដែល​កាត់​ចេញ​ដោយ​កម្ពស់។

តង់ហ្សង់ និង​លេខ​ដែល​ទាញ​ពី​ចំណុច​មួយ​ទៅ​រង្វង់​មួយ​គឺ​កាត់​កែង​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក។ តង់សង់គឺ 12 ផ្នែកខាងក្នុងនៃសេកគឺ 10. រកកាំនៃរង្វង់។

ទៅរង្វង់ដែលមានកាំ 7 សង់ទីម៉ែត្រ តង់សង់ពីរត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយ 25 សង់ទីម៉ែត្រពីចំណុចកណ្តាល។ រកចំងាយរវាងចំនុចទំនាក់ទំនង។

ទទឹងនៃរង្វង់ដែលបង្កើតដោយរង្វង់ផ្ចិតពីរគឺ 8 dm អង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់ធំជាង តង់សង់ទៅតូចជាងគឺ 4 m។ រកកាំនៃរង្វង់។

កាំនៃរង្វង់គឺ 7 សង់ទីម៉ែត្រពីចំណុចដាច់ស្រយាលពីកណ្តាលដោយ

9 សង់ទីម៉ែត្រ លេខមួយត្រូវបានគូរដូច្នេះវាត្រូវបានបែងចែកដោយរង្វង់ទៅជាផ្នែកស្មើគ្នា។ ស្វែងរកប្រវែងនៃឃ្លានេះ។

តង់សង់ទៅរង្វង់គឺ 20 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្នែកធំបំផុតដែលដកចេញពីចំណុចដូចគ្នាគឺ 50 សង់ទីម៉ែត្រ។ ស្វែងរកកាំ។

តង់ហ្សង់ និងសេសង់ត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយទៅរង្វង់ ដែលប្រវែងគឺ a ហើយផ្នែកខាងក្នុងរបស់វាវែងជាងផ្នែកខាងក្រៅដោយប្រវែងតង់សង់។ រកប្រវែងតង់សង់។

ត្រីកោណ isosceles ត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ដែលក្នុងនោះផលបូកនៃកម្ពស់ និងមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់។ ស្វែងរកកម្ពស់នៃត្រីកោណ។

នៅក្នុងត្រីកោណ isosceles មូលដ្ឋាន និងចំហៀងគឺ 48 និង 30 dm រៀងគ្នា។ គណនាកាំនៃរង្វង់ គូសរង្វង់ និងចារិក និងចំងាយរវាងចំនុចកណ្តាលរបស់វា។

ទ្រព្យ ១ . ប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូ AB និង CD នៃរង្វង់ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច S នោះ AS BS = CS DS ពោលគឺ DS/BS = AS/CS ។

ភស្តុតាង. ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា ត្រីកោណ ASD និង CSB គឺស្រដៀងគ្នា។

មុំចារឹក DCB និង DAB គឺស្មើគ្នា ដោយសារពួកវាផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នា។

មុំ ASD និង BSC គឺស្មើគ្នាដូចបញ្ឈរ។

ពីសមភាពនៃមុំដែលបានចង្អុលបង្ហាញវាដូចខាងក្រោមថាត្រីកោណ ASD និង CSB គឺស្រដៀងគ្នា។ ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណដូចខាងក្រោមសមាមាត្រ

DS/BS = AS/CS, ឬ AS BS = CS DS,

Q.E.D.

ទ្រព្យសម្បត្តិ 2. ប្រសិនបើផ្នែកពីរត្រូវបានដកចេញពីចំនុច P ទៅកាន់រង្វង់ ប្រសព្វរង្វង់នៅចំណុច A, B និង C, D រៀងគ្នា បន្ទាប់មក АР/СР = DP/BP ។

ភស្តុតាង. ទុកឲ្យ A និង C ជាចំនុចប្រសព្វនៃសេត ដោយរង្វង់នៅជិតចំនុច P ។ ត្រីកោណ PAD និង RSV គឺស្រដៀងគ្នា។ ពួកវាមានមុំរួមនៅចំនុចកំពូល P ហើយមុំ B និង D គឺស្មើគ្នាដូចដែលបានចារិក ដោយផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នា។ ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណតាមសមាមាត្រ АР/СР = DP/BP ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។

លក្ខណៈសម្បត្តិ Bisector នៃមុំនៃត្រីកោណមួយ។

មុំ bisector នៃត្រីកោណមួយបែងចែកភាគីផ្ទុយទៅជាចម្រៀកសមាមាត្រទៅនឹងភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀត។

ភស្តុតាង។ទុក CD ជាផ្នែកនៃត្រីកោណ ABC ។ ប្រសិនបើត្រីកោណ ABC គឺជា isosceles ជាមួយ AB មូលដ្ឋាន នោះទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានចង្អុលបង្ហាញរបស់ bisector គឺជាក់ស្តែង ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ bisector គឺជាមធ្យមផងដែរ។ ពិចារណាករណីទូទៅដែល AC មិនស្មើនឹង BC ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងទម្លាក់កាត់កែង AF និង BE ពីចំនុច A និង B ទៅបន្ទាត់ CD ។ ត្រីកោណកែង ACF និង ALL គឺស្រដៀងគ្នា ដោយសារពួកវាមានមុំស្រួចស្មើគ្នានៅចំនុចកំពូល C ។

ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណសមាមាត្រនៃជ្រុងដូចខាងក្រោម: AC / BC \u003d AF / BE ។ ត្រីកោណកែង ADF និង BDE ក៏ស្រដៀងគ្នាដែរ។ មុំរបស់ពួកគេនៅចំនុចកំពូល D គឺស្មើនឹងបញ្ឈរ។ វាធ្វើតាមពីភាពស្រដៀងគ្នា៖ AF/BE = AD/BD ។ ការប្រៀបធៀបសមភាពនេះជាមួយមុន យើងទទួលបាន៖ AC / BC \u003d AD / BD ឬ AC / AD \u003d BC / BD នោះគឺ AD និង BD គឺសមាមាត្រទៅនឹងភាគី AC និង BC។

§ 11. ផ្នែកសមាមាត្រនៅក្នុងរង្វង់មួយ។.

1. កំណាត់ស្ពានត្រូវបានចងដោយធ្នូនៃរង្វង់មួយ (រូបភាព 38); កម្ពស់ Truss MK = ម៉ោង= 3 m; arc radius AMB of the span R = 8.5 m. គណនាប្រវែង AB នៃវិសាលភាពស្ពាន។

2. នៅក្នុងបន្ទប់ក្រោមដីដែលមានតុដេកពាក់កណ្តាលស៊ីឡាំង បង្គោលពីរគួរតែត្រូវបានដាក់ ដែលនីមួយៗនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីជញ្ជាំងដែលនៅជិតបំផុត។ កំណត់កម្ពស់របស់ racks ប្រសិនបើទទឹងនៃបន្ទប់ក្រោមដីនៅតាមបណ្តោយបាតគឺ 4 ម៉ែត្រហើយចម្ងាយរវាង racks គឺ 2 ម៉ែត្រ។

3. 1) កាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតត្រូវបានដកចេញពីចំនុចនៃរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងរបស់វាជាមួយនឹងប្រវែងដូចខាងក្រោមនៃផ្នែកនៃអង្កត់ផ្ចិត: 1) 12 សង់ទីម៉ែត្រនិង 3 សង់ទីម៉ែត្រ; 2) 16 សង់ទីម៉ែត្រ និង 9 សង់ទីម៉ែត្រ 3) 2 m និង 5 dm ។

2) កាត់កែងមួយត្រូវបានដកចេញពីចំនុចនៃអង្កត់ផ្ចិតទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងកាត់កែងនេះ ប្រសិនបើអង្កត់ផ្ចិតគឺ 40 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយកាត់កែងដែលទាញគឺ 8 សង់ទីម៉ែត្រពីចុងម្ខាងនៃអង្កត់ផ្ចិត។

4. អង្កត់ផ្ចិតត្រូវបានបែងចែកជាចម្រៀក៖ AC \u003d 8 dm និង CB \u003d 5 m ហើយពីចំណុច C ស៊ីឌីកាត់កែងនៃប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគូរទៅវា។ ចង្អុលបង្ហាញទីតាំងនៃចំណុច D ទាក់ទងទៅនឹងរង្វង់នៅពេលដែល CD ស្មើ: 1) 15 dm; 2) 2 ម៉ែត្រ; 3) 23 dm ។

5. DIA- semicircle; ស៊ីឌី - កាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិត AB ។ ទាមទារ៖

1) កំណត់ DB ប្រសិនបើ AD = 25 និង CD = 10;

2) កំណត់ AB ប្រសិនបើ AD: DB= 4:9 និង CD=30;

3) កំណត់ AD ប្រសិនបើ CD=3AD និងកាំគឺ r;

4) កំណត់ AD ប្រសិនបើ AB=50 និង CD=15។

6. 1) កាត់កែង ដែលបន្ទាបពីចំនុចរង្វង់ទៅកាំ 34 សង់ទីម៉ែត្រ បែងចែកវាក្នុងសមាមាត្រ 8:9 (ចាប់ផ្តើមពីកណ្តាល)។ កំណត់ប្រវែងកាត់កែង។

2) អង្កត់ធ្នូ BDC កាត់កែងទៅនឹងកាំ ODA ។ កំណត់ BC ប្រសិនបើ OA = 25 សង់ទីម៉ែត្រ និង AD = 10 សង់ទីម៉ែត្រ។

3) ទទឹងនៃរង្វង់ដែលបង្កើតឡើងដោយរង្វង់មូលពីរគឺ 8 dm; អង្កត់ធ្នូនៃរង្វង់ធំជាង តង់សង់ទៅតូចជាងគឺ 4 ម៉ែត្រ។ កំណត់កាំនៃរង្វង់។

7. តាមរយៈការប្រៀបធៀបផ្នែក បង្ហាញថាមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនមិនស្មើគ្នាពីរគឺធំជាងមធ្យមធរណីមាត្ររបស់វា។

8. សង់ផ្នែកមួយ សមាមាត្រជាមធ្យមរវាងចម្រៀក 3 សង់ទីម៉ែត្រ និង 5 សង់ទីម៉ែត្រ។

9. សង់ចម្រៀកមួយស្មើនឹង៖ √15; √10; √6; √៣.

10. ADB-អង្កត់ផ្ចិត; AC-អង្កត់ធ្នូ; ស៊ីឌីគឺកាត់កែងទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិត។ កំណត់អង្កត់ធ្នូ AC: 1) ប្រសិនបើ AB = 2 m និង AD = 0.5 m; 2) ប្រសិនបើ AD = 4 សង់ទីម៉ែត្រ និង DB = 5 សង់ទីម៉ែត្រ; 3) ប្រសិនបើ AB = 20m និង DB = 15m ។

11. អង្កត់ផ្ចិត AB; AC-អង្កត់ធ្នូ; AD គឺជាការព្យាកររបស់វានៅលើអង្កត់ផ្ចិត AB ។ ទាមទារ៖

1) កំណត់ AD ប្រសិនបើ AB = 18 cm និង AC = 12 cm;

2) កំណត់កាំប្រសិនបើ AC = 12 m និង AD = 4 m;

3) កំណត់ DB ប្រសិនបើ AC = 24 សង់ទីម៉ែត្រ និង DB = 7/9 AD ។

12. អង្កត់ផ្ចិត AB; AC-អង្កត់ធ្នូ; AD គឺជាការព្យាកររបស់វានៅលើអង្កត់ផ្ចិត AB ។ ទាមទារ៖

1) កំណត់ AC ប្រសិនបើ AB = 35 សង់ទីម៉ែត្រ និង AC = 5AD;

2) កំណត់ AC ប្រសិនបើកាំស្មើនឹង rនិង AC=DB។

13. អង្កត់ធ្នូពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងរង្វង់មួយ។ ផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូមួយគឺ 24 សង់ទីម៉ែត្រនិង 14 សង់ទីម៉ែត្រ; ផ្នែកមួយនៃអង្កត់ធ្នូផ្សេងទៀតគឺ 28 សង់ទីម៉ែត្រ។ កំណត់ផ្នែកទីពីររបស់វា។

14. កំណាត់ស្ពានត្រូវបានកំណត់ដោយធ្នូនៃរង្វង់មួយ (រូបភាព 38); ប្រវែងស្ពាន AB = 6 m កម្ពស់ A = 1.2 m កំណត់កាំនៃធ្នូ (OM = R) ។

15. ផ្នែកពីរ AB និង CD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ដូច្នេះ MA \u003d 7 សង់ទីម៉ែត្រ, MB \u003d 21 សង់ទីម៉ែត្រ,
MC = 3 cm និង MD = 16 cm តើចំនុច A, B, C និង D ស្ថិតនៅលើរង្វង់ដូចគ្នាទេ?

16. ប្រវែងប៉ោល MA = លីត្រ= 1 m (រូបភព។ 39) កម្ពស់លើករបស់វានៅពេលដែល deviated ដោយមុំមួយ α, CA = ម៉ោង\u003d 10 សង់ទីម៉ែត្រ។ រកចម្ងាយ BC នៃចំណុច B ពី MA (BC \u003d X).

17. ដើម្បីបកប្រែទទឹងផ្លូវរថភ្លើង ខ\u003d 1.524 m នៅនឹងកន្លែង AB (រូបទី 40) ការបង្គត់មួយត្រូវបានធ្វើឡើង; ខណៈពេលដែលវាបានប្រែក្លាយ, ; BC = ក= 42.4 m. កំណត់កាំនៃកោង OA = R ។

18. អង្កត់ធ្នូ AMB ត្រូវបានបង្វិលនៅជិតចំណុច M ដូច្នេះផ្នែក MA បានកើនឡើង 2 1/2 ដង។ តើផ្នែក MB បានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងដូចម្តេច?

19. 1) នៃអង្កត់ធ្នូប្រសព្វទាំងពីរ មួយត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក 48 សង់ទីម៉ែត្រ និង 3 សង់ទីម៉ែត្រ និងមួយទៀតនៅពាក់កណ្តាល។ កំណត់ប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូទីពីរ។

2) នៃអង្កត់ធ្នូប្រសព្វទាំងពីរ មួយត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែកនៃ 12 m និង 18 m និងមួយទៀតនៅក្នុងសមាមាត្រនៃ 3: 8 ។ កំណត់ប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូទីពីរ។

20. ក្នុងចំណោមអង្កត់ធ្នូទាំងពីរប្រសព្វគ្នា ទីមួយគឺ 32 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូផ្សេងទៀតគឺ
12 សង់ទីម៉ែត្រ និង 16 សង់ទីម៉ែត្រ កំណត់ផ្នែកនៃអង្កត់ធ្នូទីមួយ។

21. ផ្នែកខាងក្រៅ ABC ត្រូវបានបង្វិលនៅជិតចំនុចខាងក្រៅ A ដូច្នេះផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា AB បានថយចុះបីដង។ តើ​រយៈពេល​នៃ​សេក​បាន​ប្រែប្រួល​យ៉ាង​ដូចម្តេច​?

22. ទុកអោយ ADB និង AEC ជាបន្ទាត់ពីរប្រសព្វរង្វង់៖ ទីមួយស្ថិតនៅចំនុច D និង B, ទីពីរស្ថិតនៅចំនុច E និង C. ទាមទារ៖

1) កំណត់ AE ប្រសិនបើ AD = 5 សង់ទីម៉ែត្រ, DB = 15 សង់ទីម៉ែត្រ និង AC = 25 សង់ទីម៉ែត្រ;

2) កំណត់ BD ប្រសិនបើ AB = 24 m, AC = 16 m និង EC = 10 m;

3) កំណត់ AB និង AC ប្រសិនបើ AB + AC = 50 m, a AD: AE = 3:7 ។

23. កាំនៃរង្វង់គឺ 7 សង់ទីម៉ែត្រ ពីចំនុចមួយនៅចំងាយ 9 សង់ទីម៉ែត្រពីចំនុចកណ្តាល លេខមួយត្រូវបានគូរ ដូច្នេះវាត្រូវបានបែងចែកពាក់កណ្តាលដោយរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងនៃវគ្គនេះ។

24. MAB និង MCD ជាពីរនិទ្ទេសទៅរង្វង់មួយ។ ទាមទារ៖

1) កំណត់ CD ប្រសិនបើ MV = 1 m, MD = 15 dm និង CD = MA;

2) កំណត់ MD ប្រសិនបើ MA = 18 cm, AB = 12 cm និង MC:CD = 5:7;

3) កំណត់ AB ប្រសិនបើ AB=MC, MA=20 និង CD=11។

25. អង្កត់ធ្នូពីរត្រូវបានពង្រីកទៅចំនុចប្រសព្វគ្នាទៅវិញទៅមក។ កំណត់ប្រវែងនៃផ្នែកបន្ថែមលទ្ធផល ប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូស្មើគ្នា កនិង ខហើយផ្នែកបន្ថែមរបស់ពួកគេគឺទាក់ទងនឹង t: ទំ.

26. ពីចំណុចមួយ សេកុង និងតង់សង់មួយត្រូវបានគូរទៅរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងតង់សង់ ប្រសិនបើផ្នែកខាងក្រៅ និងផ្នែកខាងក្នុងនៃសេកត្រូវបានបញ្ជាក់រៀងគ្នាដោយលេខខាងក្រោម៖ 1) 4 និង 5; 2) 2.25 និង 1.75; 3) 1 និង 2 ។

27. តង់សង់គឺ 20 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយសេកធំបំផុតដែលដកចេញពីចំណុចដូចគ្នាគឺ 50 សង់ទីម៉ែត្រ។ កំណត់កាំនៃរង្វង់។

28. ផ្នែកខាងក្រៅគឺ 2 1/4 ដងធំជាងផ្នែកខាងក្រៅរបស់វា។ តើវាធំជាងតង់សង់ដែលទាញចេញពីចំណុចដូចគ្នាប៉ុន្មានដង?

29. អង្កត់ធ្នូទូទៅនៃរង្វង់ប្រសព្វគ្នាពីរត្រូវបានបន្ត ហើយតង់សង់ត្រូវបានទាញទៅពួកគេពីចំណុចដែលធ្វើឡើងនៅលើការបន្ត។ បង្ហាញថាពួកគេស្មើគ្នា។

30. នៅផ្នែកម្ខាងនៃជ្រុង A ចម្រៀកត្រូវបានដាក់មួយបន្ទាប់ពីផ្សេងទៀត: AB \u003d 6 សង់ទីម៉ែត្រនិង BC \u003d 8 សង់ទីម៉ែត្រ; ហើយនៅម្ខាងទៀតផ្នែក AD = 10 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានដាក់ចុះ។ រង្វង់មួយត្រូវបានគូសតាមចំនុច B, C និង D ។ រកមើលថាតើបន្ទាត់ AD ប៉ះរង្វង់នេះឬអត់ នោះថាតើចំនុច D នឹងជាចំនុចទីមួយ (រាប់ពី A) ឬចំនុចទីពីរនៃចំនុចប្រសព្វ។

31. សូមឱ្យវាក្លាយជា: AB-តង់សង់ និង ACD-secant នៃរង្វង់ដូចគ្នា។ ទាមទារ៖

1) កំណត់ CD ប្រសិនបើ AB = 2 cm និង AD = 4 cm;

2) កំណត់ AD ប្រសិនបើ AC:CD = 4:5 និង AB = 12 cm;

3) កំណត់ AB ប្រសិនបើ AB = CD និង AC = ក.

32. 1) តើអ្នកអាចមើលឃើញពីចម្ងាយប៉ុន្មានពីប៉េងប៉ោងមួយ (រូបភាព 41) ដែលបានកើនឡើងដល់កម្ពស់ 4 គីឡូម៉ែត្រពីលើដី (កាំនៃផែនដីគឺ = 6370 គីឡូម៉ែត្រ)?

2) ភ្នំ Elbrus (នៅ Caucasus) ឡើង 5,600 ម៉ែត្រពីលើនីវ៉ូទឹកសមុទ្រ តើអ្នកអាចមើលឃើញពីកំពូលភ្នំនេះពីចម្ងាយប៉ុន្មាន?

3) M - ប៉ុស្តិ៍សង្កេតដែលមានកម្ពស់ A ម៉ែត្រពីលើដី (រូបភាព 42); កាំផែនដី R, МТ = ឃគឺជាចម្ងាយដែលអាចមើលឃើញធំបំផុត។ បញ្ជាក់ ឃ= √2R ម៉ោង+ ម៉ោង 2

មតិយោបល់។ដោយសារតែ ម៉ោង 2 ដោយសារតែតូចរបស់វាបើប្រៀបធៀបទៅនឹង 2R ម៉ោងស្ទើរតែមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលបន្ទាប់មកអ្នកអាចប្រើរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល ឃ≈ √2R ម៉ោង .

33. 1) Tangent និង secant ដែលចេញពីចំនុចមួយ រៀងគ្នាស្មើនឹង 20 cm និង 40 cm; លេខ​នៅ​ចម្ងាយ 8 សង់ទីម៉ែត្រ​ពី​កណ្តាល។ កំណត់​កាំនៃ​រង្វង់។

2) កំណត់ចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលទៅចំណុចដែលតង់សង់ និងសេកានទៅ ប្រសិនបើពួកវាមាន 4 សង់ទីម៉ែត្រ និង 8 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្នែកត្រូវបានដកចេញពីកណ្តាលដោយ
12 សង់ទីម៉ែត្រ

34. 1) ពីចំនុចរួមមួយ តង់សង់ និងសេសេនត្រូវបានទាញទៅរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងតង់សង់ប្រសិនបើវាវែងជាងផ្នែកខាងក្រៅ 5 សង់ទីម៉ែត្រ និងដោយចំនួនដូចគ្នាតិចជាងផ្នែកខាងក្នុង។

2) ពីចំណុចមួយ សេកុង និងតង់សង់ត្រូវបានទាញទៅរង្វង់។ ឃ្លាគឺ កហើយផ្នែកខាងក្នុងរបស់វាវែងជាងផ្នែកខាងក្រៅដោយប្រវែងតង់សង់។ កំណត់តង់សង់។

36. ពីចំណុចមួយ តង់សង់ និងសេកុងមួយត្រូវបានទាញទៅរង្វង់មួយ។ តង់សង់គឺធំជាងផ្នែកខាងក្នុង និងខាងក្រៅនៃ secant ដោយ 2 សង់ទីម៉ែត្រ និង 4 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា។ កំណត់ប្រវែងនៃ secant ។

36. ពីចំណុចមួយ តង់សង់ និងសេកុងមួយត្រូវបានទាញទៅរង្វង់។ កំណត់ប្រវែងរបស់ពួកគេប្រសិនបើតង់ហ្សង់គឺ 20 សង់ទីម៉ែត្រតិចជាងផ្នែកខាងក្នុងនៃ secant និង 8 សង់ទីម៉ែត្រច្រើនជាងផ្នែកខាងក្រៅ។

37. 1) លេខមួយ និងតង់សង់ត្រូវបានដកចេញពីចំណុចមួយទៅរង្វង់។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺ 30 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្នែកខាងក្នុងនៃ secant គឺ 2 សង់ទីម៉ែត្រតិចជាងតង់ហ្សង់។ កំណត់លេខ និងតង់សង់។

2) ពីចំណុចមួយ សេកុង និងតង់សង់ត្រូវបានទាញទៅរង្វង់។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺ 15 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្នែកខាងក្រៅនៃ secant គឺ 2 សង់ទីម៉ែត្រតិចជាងតង់ហ្សង់។ កំណត់លេខ និងតង់សង់។

38. ផ្នែក AB ត្រូវបានពង្រីកដោយចម្ងាយ BC ។ នៅលើ AB និង AC ដូចនៅលើអង្កត់ផ្ចិតរង្វង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ BD កាត់កែងត្រូវបានគូរទៅផ្នែក AC នៅចំណុច B រហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយរង្វង់ធំជាង។ ពីចំណុច C តង់សង់ SC ត្រូវបានទាញទៅរង្វង់តូចជាង។ បញ្ជាក់​ថា CD = CK ។

39. តង់សង់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ និងតង់សង់ទីបីដែលប្រសព្វពួកវាត្រូវបានគូរទៅរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ កាំគឺជាសមាមាត្រមធ្យមរវាងផ្នែកនៃតង់សង់ទីបី។ បញ្ជាក់។

40. បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅចម្ងាយ 15 dm ពីគ្នាទៅវិញទៅមក; ចំណុច M ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរវាងពួកគេនៅចម្ងាយ 3 dm ពីមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ រង្វង់មួយត្រូវបានគូសតាមចំនុច M ដែលតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាឡែលទាំងពីរ។ កំណត់ចម្ងាយរវាងការព្យាករនៃចំណុចកណ្តាល និងចំណុច M នៅលើភាពស្របគ្នាទាំងនេះមួយ។

41. នៅក្នុងរង្វង់នៃកាំមួយ។ rត្រីកោណ isosceles ត្រូវបានចារឹកដែលផលបូកនៃកម្ពស់ និងមូលដ្ឋានស្មើនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់។ កំណត់កម្ពស់។

42. កំណត់កាំនៃរង្វង់ដែលគូសអំពីត្រីកោណ isosceles: 1) ប្រសិនបើមូលដ្ឋានគឺ 16 សង់ទីម៉ែត្រ និងកម្ពស់គឺ 4 សង់ទីម៉ែត្រ; 2) ប្រសិនបើចំហៀងគឺ 12 dm និងកម្ពស់គឺ 9 dm; 3) ប្រសិនបើចំហៀងគឺ 15 ម៉ែត្រនិងមូលដ្ឋានគឺ 18 ម៉ែត្រ។

43. នៅក្នុងត្រីកោណ isosceles មូលដ្ឋានគឺ 48 dm និងចំហៀងគឺ 30 dm ។ កំណត់កាំនៃរង្វង់ គូសរង្វង់ និងចារិក និងចំងាយរវាងចំនុចកណ្តាលរបស់វា។

44. កាំគឺ r, អង្កត់ធ្នូនៃធ្នូនេះគឺស្មើនឹង ក. កំណត់អង្កត់ធ្នូនៃធ្នូទ្វេ។

45. កាំនៃរង្វង់គឺ 8 dm; chord AB គឺ 12 dm ។ តង់សង់ត្រូវបានទាញតាមចំណុច A ហើយពីចំណុច B គឺជាអង្កត់ធ្នូ BC ស្របទៅនឹងតង់សង់។ កំណត់ចម្ងាយរវាងតង់សង់ និងអង្កត់ធ្នូ BC ។

46. ​​​​ចំណុច A ត្រូវបានយកចេញពីបន្ទាត់ត្រង់ MN នៅចម្ងាយ ជាមួយ. កាំដែលបានផ្តល់ឱ្យ rរង្វង់មួយត្រូវបានគូសរង្វង់ដូច្នេះវាឆ្លងកាត់ចំណុច A និងប៉ះបន្ទាត់ MN ។ កំណត់ចម្ងាយរវាងចំណុចទំនាក់ទំនងដែលទទួលបាន និងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ A ។