ស៊េរី, នៅក្នុងគណិតវិទ្យា
1. និយមន័យ។ R. ជាលំដាប់នៃធាតុផ្សំឡើងដោយច្បាប់មួយចំនួន។ ប្រសិនបើ R. ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះមានន័យថាច្បាប់មួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ដោយមានជំនួយដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្សំធាតុជាច្រើនរបស់ R. យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃធាតុ R. នៃលេខ R. នៃមុខងារ និង R ។ សកម្មភាពត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ១, ២, ៣, ៤, ..., ន, ... មានលេខធម្មជាតិ R. 1, 4, 9, 16,..., ទំ 2 ... R. ការ៉េ; a 0 , a 1 x , a 2 a 2 ,... , a n x n ,... R. មុខងារថាមពល ឬថាមពល R. 1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),... 0, x, x 2/2, x 3/3, x 4/4... (−1) n-1 x n /n.. ដើម្បីគណនាតម្លៃលេខនៃកន្សោមមួយចំនួន ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តសកម្មភាព R. ។ ឧ. √[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4. ដោយមានជំនួយពីសកម្មភាព R. ការបែងចែកដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរត្រូវបានរកឃើញ។ រ. យូ 0 , យូ 1 , យូ 2 ,... យូន... ឈ្មោះ គ្មានទីបញ្ចប់,ប្រសិនបើបន្ទាប់ពីធាតុណាមួយ។ យូ k មានធាតុមួយ។ យូ k+1 ; បើមិនដូច្នេះទេ R. ដាក់ឈ្មោះ។ ចុងក្រោយ។ឧ. 1. 2, 3,... 9, 10 គឺជា R. ចុងក្រោយព្រោះមិនមានធាតុបន្ទាប់ពីធាតុ 10 ។ 2. លេខដែលបានកំណត់នៅជាប់។ សារៈសំខាន់ជាពិសេសគឺ R. គ្មានកំណត់នៃទម្រង់ (1)... ក 1 /10, ក 2 /10 2 ,
...
មួយ n/10ន,..., កន្លែងណា ក 1 , ក 2 , ក 3 ,
... មួយ n,...ចំនួនគត់វិជ្ជមាន, ក 0 គឺធំតាមអំពើចិត្ត; លេខនីមួយៗ ក 1 , ក 2 , ក 3 ,
... តិចជាង 10. ស៊េរីបែបនេះអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលេខ ព្រោះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីប្រៀបធៀបស៊េរីនេះជាមួយនឹងលេខសនិទាន (សូមមើល) អ្នកអាចបង្កើតគោលគំនិតនៃសមភាព ផលបូក ផលិតផល ភាពខុសគ្នា និងកូតានៃស៊េរីបែបនេះ។ R. (1) នឹងត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរមួយ។ ក. ពួកគេនិយាយថា ប៉ុន្តែច្រើនទៀតចំនួនសមហេតុផល ទំ/qប្រសិនបើមានទំហំធំល្មម នមានវិសមភាព ក 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + ក n/10n> ទំ/q ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ ន ក 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + ក n /10 n មិនមែន > ទំ/q ប៉ុន្តែជាមួយនឹងទំហំធំល្មម ន ក 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + ក n/10n> r/ស កន្លែងណា r/sចំនួនបំពានតិចជាង ទំ/qបន្ទាប់មកពួកគេពិចារណា និងស្មើនឹងទំ/q. ផ្អែកលើនេះ R. 9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,... គឺស្មើនឹងមួយ។ សមភាពនេះត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោមៈ 0, 999 ... = 1 ។ ប្រសិនបើ ក កមិនស្មើនឹង 9 ប៉ុន្តែលេខបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ក +1 , ក +2 , ក+3 ,... ស្មើនឹង 9 បន្ទាប់មកលេខ ក, កំណត់ដោយ R. (1), គឺស្មើនឹង ក 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + (ក k + 1)/10 គ។ ប្រសិនបើមិនមែនលេខទាំងអស់។ ក k+1 , ក k+2 , ក k+3 ...គឺ 9 បន្ទាប់មក ក = ក 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + ក k / 10 គ វាអាចកើតឡើងដែលធាតុទាំងអស់នៃស៊េរី (1) ចាប់ផ្តើមពី ក k+1 ,
គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះយោងទៅតាមនិយមន័យដែលបានបញ្ជាក់ ក a 0 + ក 1 /10 + ក 2 /10 2 +... + (ក k+1)/10 គ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទសភាគចុងក្រោយ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីនព្វន្ធថា នៅពេលដែលប្រភាគធម្មតាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទសភាគ ប្រភាគកំណត់ ឬប្រភាគតាមកាលកំណត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានទទួល។ ប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់ណាមួយអាចបំប្លែងទៅជាប្រភាគធម្មតា។ វាធ្វើតាមថាប្រភាគទសភាគមិនកំណត់ដែលមិនមានកំណត់មិនអាចស្មើនឹងចំនួនសនិទានទេ ដូច្នេះហើយតំណាងឱ្យប្រភេទលេខពិសេសដែលហៅថា មិនសមហេតុផល(សង់ទីម៉ែត។)។ 3. ការបញ្ចូលគ្នានិងភាពខុសគ្នានៃស៊េរី។លេខ R (2)... យូ 0 , យូ 1 , យូ 2 ,... u n,... បានហៅ បង្រួបបង្រួម,ប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ ក(សមហេតុផលឬមិនសមហេតុផល) ដែលកើនឡើង នតម្លៃលេខនៃភាពខុសគ្នា ក - (យូ 0 + យូ 1 + យូ 2 +... អ្នក n- 1) ក្លាយជា និងនៅតែតូចតាមអំពើចិត្ត។ លេខបែបនេះ កបានហៅ ផលបូក R. ក្នុងករណីនេះពួកគេសរសេរ (3)... ក = យូ 0 + យូ 1 + យូ 2 +... ហើយសមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា ការរលួយលេខ កចូលទៅក្នុងគ្មានកំណត់ R. ប្រសិនបើលេខបែបនេះ កមិនមានទេបន្ទាប់មក R. (2) ត្រូវបានគេហៅថា។ ខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ដ៏សំខាន់បំផុតនៃ convergent R. គឺជាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រ (សូមមើល) ។ 1, q, q 2 ,..., ភាគបែង qជាលេខតិចជាងមួយ។ ក្នុងករណីនេះមានការរលួយ 1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +... ឧទាហរណ៍នៃភាពខុសគ្នា R. គឺ 1/1, 1/2, 1/3,... 1 + 1/2 + 1/3 +... មិនសមហេតុផលទេ។ បើទោះជាយ៉ាងណា លក្ខខណ្ឌនៃអាម៉ូនិក R. ត្រូវបានគេយកឆ្លាស់គ្នាជាមួយសញ្ញា + និង - នោះយើងទទួលបានកន្សោម R. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... គឺស្មើនឹងលោការីតនៃ 2 ដែលយកនៅមូលដ្ឋាន អ៊ី(សង់ទីម៉ែត។)។ មិនអាចបញ្ជាក់លម្អិតអំពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការរួមគ្នាបានទេ យើងកត់សម្គាល់តែទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមប៉ុណ្ណោះ។ R. ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើ R. នៃម៉ូឌុល (សូមមើល) នៃសមាជិករបស់វាគឺបញ្ចូលគ្នា។ រ. v 0 ,
-v 1 , v 2 , -v 3 ..., ដែលក្នុងនោះលេខ v 0 , វ 1 , v 2 , វ 3 ... វិជ្ជមាន, បម្លែងប្រសិនបើកើនឡើង ន lim v n = 0. R. ជាមួយសមាជិកវិជ្ជមាន យូ 0 , យូ 1 , យូ 2 ,..., u n,... បង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ លីម(u n + 1)/u n
លីម(u n + 1)/u n > 1 ប្រសិនបើសម្រាប់ R. ជាមួយសមាជិកវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែ និង 0 , និង 1 , យូ 2 ,
.., និង ន... អាកប្បកិរិយា លីម(u n + 1)/u n = 1 - r/n+θ (ន) /nα , កន្លែងណា rមិនអាស្រ័យលើ ន, α
> 1 និង θ ( ន) នៅតែតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួននៅក្នុងតម្លៃលេខ បន្ទាប់មក R. convergent នៅ r> 1 និងបង្វែរពេល r តិចជាង ឬ = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", ទំព័រ 84)។ 4. ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ និងដាច់ខាត។ប្រសិនបើ R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v ន,... convergent ប៉ុន្តែ R. នៃម៉ូឌុលនៃសមាជិករបស់វាគឺខុសគ្នាបន្ទាប់មកយើងនិយាយថា R. (4) ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ។ឧ. 1, -1/2, 1/3, -1/4,... R. naz. បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ,ប្រសិនបើម៉ូឌុល R. នៃសមាជិករបស់វាបញ្ចូលគ្នា។ ផលបូកនៃ R. convergent ផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតាមលំដាប់នៃសមាជិករបស់ខ្លួន។ ឧ. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log2, ប៉ុន្តែ 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +... 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 កំណត់ហេតុ 2 ។ ផលបូកនៃ R. convergent មិនអាស្រ័យលើលំដាប់នៃសមាជិករបស់ខ្លួនទេ។ ប្រសិនបើលេខ កនិង ខរលាយទៅជាបង្រួបបង្រួម R. ក = ក 0 + ក 1 + ក 2 +....., ខ = ខ 0 + ខ 1 + ខ 2 +..... ., ក 0 ខ 0 , ក 0 ខ 1 + ក 1 ខ 0 , ក 0 ខ 2 + ក 1 ខ 2 + ក 2 ខ 0 ,... រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ក 0 ខ 0 + (ក 0 ខ 1 + ក 1 ខ 0) + (ក 0 ខ 2 + ក 1 ខ 2 + ក 2 ខ 0) +... = ab. 5. ការបញ្ចូលគ្នានៃឯកសណ្ឋាន។ឧបមាថាបានផ្តល់ឱ្យ R. (5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x),
..., f n(x),
... សមាជិករបស់ពួកគេគឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ xដែលអាចទទួលយកបានទាំងតម្លៃពិត និងការស្រមើលស្រមៃ (មើល)។ សំណុំនៃតម្លៃ X,ក្រោមដែល R. នេះបញ្ចូលគ្នាបង្កើតបានជាអ្វីដែលគេហៅថា តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នា។ R. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... ., convergent សម្រាប់តែ x = 0. R. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),... ខុសគ្នាសម្រាប់រាល់ X. R. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),... ការប្រមូលផ្តុំ។ សម្រាប់រាល់អត្ថន័យ X.ប្រសិនបើថាមពល R. α 0 , α 1 x,α2 x 2 ,... ការប្រមូលផ្តុំ។ នៅតម្លៃមួយចំនួន X,មិនស្មើនឹងសូន្យទេ បន្ទាប់មកការប្រមូលផ្តុំ R. នេះ។ និងនៅរៀងរាល់ xដែលម៉ូឌុលមានតិចជាងចំនួនមួយចំនួន រ. ប្រសិនបើយើងប្រើតំណាងធរណីមាត្រនៃបរិមាណស្រមើលស្រមៃ (សូមមើល) នោះយើងអាចនិយាយបានថាតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃ R. នេះគឺជារង្វង់នៃកាំ រ. ឧទាហរណ៍មួយគឺការវិវត្តធរណីមាត្រ 1, x, x 2 , x 3,...., ដែលកាំ រង្វង់នៃការបញ្ចូលគ្នាគឺស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើ ក Xជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ប្រមូលផ្តុំ។ R. (5) បន្ទាប់មកសម្រាប់ណាមួយ។ នធំជាងចំនួនមួយចំនួន t ម៉ូដ[ f n(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]
ជាទូទៅ tអាស្រ័យលើ Xនិងពីε ប៉ុន្តែវាអាចទៅរួច ក្នុងករណីពិសេសនោះ។ tអាស្រ័យតែលើεប្រសិនបើតម្លៃ Xជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់មួយចំនួន (ស.)ក្នុងករណីនេះ R. (5) ត្រូវបានគេហៅថា។ ឯកភាពក្នុងតំបន់ (ស). ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណា R. (6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X).... កំណត់ចំពោះតម្លៃពិត និងវិជ្ជមាន X. ដើម្បីឱ្យមានភាពមិនស្មើគ្នា (7)... x ន(1 -x) + xn+ 1 (1 -x) +...xn ត្រូវការយក ន> កំណត់ហេតុ ε / កំណត់ហេតុ x បន្ទាប់នៅក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណា t= កំណត់ហេតុ ε / កំណត់ហេតុ x. ដូចដែលយើងឃើញ, tអាស្រ័យលើ X.មិនថាធំប៉ុណ្ណាទេ។ មមានតម្លៃបែបនេះ Xនៅក្នុងចន្លោះពេល (0, 1) ដែលវិសមភាព (7) នឹងមិនពេញចិត្តសម្រាប់ណាមួយ។ ន,ច្រើនទៀត t.ប្រសិនបើ ក X= 1 បន្ទាប់មកវិសមភាព (7) ពេញចិត្តនៅពេលដែល n ធំជាង ឬ = 1 ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ t= Log ε /Log (1 - α) និង n ធំជាង ឬ = m បទ. R. (6) ចេញមកស្មើៗគ្នា។ ក្នុងចន្លោះពេល (0, 1 - α) ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងតំបន់នៃឯកសណ្ឋាន convergence លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)... គឺជាមុខងារបន្តនៃ xបន្ទាប់មកផលបូកនៃ R. នេះក៏ជាមុខងារបន្ត (សូមមើល Discontinuity)។ បង្រួបបង្រួម។ R. អាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់ ឬខុសគ្នា។ ថាមពល R. ក 0 , ក 1 x, ក 2 X 2 ... មានការរួបរួមគ្នានៅក្នុងរង្វង់នៃការបញ្ចូលគ្នា។ 6. ការបំបែកមុខងារទៅជាស៊េរី។នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងសន្មត់ថាអថេរឯករាជ្យគឺពិតប្រាកដ។ ដោយប្រើរូបមន្ត Maclaurin (សូមមើល) ការពង្រីកខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖ (រូបមន្តទាំងនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ x). ដើម្បីគណនាឧទាហរណ៍ cos 2 °ដោយប្រើរូបមន្ត (9) ជំនួសឱ្យ xជំនួសសមាមាត្រទៅនឹងកាំនៃប្រវែងនៃធ្នូដែលមាន 2 ដឺក្រេ។ នៅក្នុងទម្រង់។ (11) លោការីតត្រូវបានយកនៅមូលដ្ឋាន អ៊ី. ទម្រង់នេះ។ មានភាពរអាក់រអួលក្នុងការគណនាលោការីត ព្រោះវាចាំបាច់ដើម្បីយកលក្ខខណ្ឌជាច្រើននៃ R. ដើម្បីទទួលបានភាពត្រឹមត្រូវសូម្បីតែមិនសំខាន់ក៏ដោយ។ ងាយស្រួលជាងសម្រាប់ការគណនាគឺរូបមន្ត 13 ដែលមកពីរូបមន្ត (11) សន្មត់ថា (1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z នៅក្នុងការពង្រីកនៃកំណត់ហេតុមុខងារ (1 + x) - កំណត់ហេតុ(l - x). សន្មត់ ក = 1, z= 1, ស្វែងរក log2; " ក = 1, z= 1, "log5; a + z = 3 4 , ក= 80, "log3; ក + z = 7 4 , ក= 2400, "log7; ការគុណលោការីតធម្មជាតិដែលបានរកឃើញនៃលេខទាំងនេះដោយ M \u003d 1 / log10 \u003d 0.43429 44819 03251 82765 ... , យើងទទួលបានលោការីតធម្មតា (ផ្អែកលើ 10) នៃលេខដូចគ្នា (សូមមើល) ។ ទម្រង់។ (12) មានសុពលភាពសម្រាប់ X= 1 ប្រសិនបើ ម> -1 និងនៅ x= -1 ប្រសិនបើ ម> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, ទំព័រ 245)។ ដោយប្រើការបែងចែកដោយផ្ទាល់ អនុគមន៍សនិទានត្រូវបានពង្រីកទៅជាអនុគមន៍ R. អ្នកក៏អាចប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់សម្រាប់គោលបំណងនេះ។ សន្មតឧទាហរណ៍ 1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +..., y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0, y 3 + 2y 2 + 5 នៅ 1 +
3 នៅ 0 = 0, y 4 + 2y 3 + 5 នៅ 2 +
3 នៅ 1 = 0 ។ល។ R. មេគុណ y 0 , នៅ 1 , y 2 ... មានទ្រព្យសម្បត្តិដែលមេគុណបួនជាប់គ្នា។ ទាក់ទងដោយសមាមាត្រ y n +3 + 2y n +2 + 5 នៅ n +1 +
3 នៅ n = 0. R. ប្រភេទនេះហៅថា។ អាចត្រឡប់មកវិញបាន។ពីសមីការសរសេរ y 0 ត្រូវបានកំណត់ជាបន្តបន្ទាប់ នៅ 1 , y 2 ... ការពង្រីកមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុង R. អាចត្រូវបានរកឃើញដោយជំនួយនៃការគណនាអាំងតេក្រាល ប្រសិនបើការពង្រីកនៅក្នុង R. នៃដេរីវេត្រូវបានគេស្គាល់។ តាមរបៀបនេះការរលួយត្រូវបានទទួល (14)... ធ្នូ tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -... (15)... ធ្នូអំពើបាប X = x/1 + 1/2(x ៣/3) + (1.2/2.4)(x5/5) +... មានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃ X,ការបំពេញលក្ខខណ្ឌ R. (14) ដោយប្រើរូបមន្តម៉ាចិន (ម៉ាឈីន) π / 4 = 4 ធ្នូ tg(1/5) - ធ្នូ tg(1/239) ធ្វើឱ្យវាអាចគណនា π បានយ៉ាងលឿនជាមួយនឹងចំនួនខ្ទង់ទសភាគច្រើន។ ដូច្នេះ Shanks គណនា π ជាមួយ 707 ខ្ទង់ទសភាគ។ ការពង្រីកមុខងារទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងការពង្រីកមុខងាររាងអេលីបនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅពេលក្រោយ។ វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ F.A. Brockhaus និង I.A. អេហ្វរ៉ុន។ - សាំងពេទឺប៊ឺគៈ Brockhaus-Efron.
1890-1907
.
សូមមើលអ្វីដែល "ស៊េរីក្នុងគណិតវិទ្យា" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
SERIES ស៊េរីគ្មានកំណត់ កន្សោមដែលសមាជិក a1, a2,..., an,... គឺជាលេខ (ស៊េរីលេខ) ឬអនុគមន៍ (ស៊េរីមុខងារ)។ ប្រសិនបើផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃស៊េរី (ផលបូកផ្នែក): Sn = a1+ a2+ ... + មួយជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៅក្នុង n មាននិន្នាការទៅ ... ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
មាតិកា។ 1) និយមន័យ។ 2) លេខដែលបានកំណត់បន្ទាប់។ 3) ការបញ្ចូលគ្នានិងភាពខុសគ្នានៃស៊េរី។ 4) ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ និងដាច់ខាត។ 5) ការបញ្ចូលគ្នានៃឯកសណ្ឋាន។ 6) ការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី។ 1. និយមន័យ។ R. គឺជាលំដាប់នៃធាតុ, ...... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ F.A. Brockhaus និង I.A. អេហ្វរ៉ុន
វាមានអត្ថន័យជាច្រើន៖ ស៊េរីគឺជាបណ្តុំនៃវត្ថុដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នា និងស្រដៀងគ្នាដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជួរមួយ។ ស៊េរីគឺជាបណ្តុំនៃបាតុភូតណាមួយដែលបន្តបន្ទាប់គ្នាតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ មួយចំនួននៃមួយចំនួន, ចំនួនសន្ធឹកសន្ធាប់, ឧទាហរណ៍, "ចំនួននៃប្រទេសមួយ" ... វិគីភីឌា
ស៊េរី ផលបូកគ្មានកំណត់ ឧទាហរណ៍នៃទម្រង់ u1 + u2 + u3 +... + un +... ឬនិយាយឱ្យខ្លី។ (1) ឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយនៃ R. ដែលបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ 1 + q + q 2 + ... + q ... ... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
ស៊េរី Taylor decomposition នៃអនុគមន៍មួយចូលទៅក្នុងផលបូកគ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍ថាមពល។ ស៊េរីនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Brooke Taylor ទោះបីជាស៊េរី Taylor ត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយមុនពេលការបោះពុម្ពរបស់ Taylor ក៏ដោយក៏វាត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយ Gregory ហើយ ... ... Wikipedia
ស៊េរី Taylor decomposition នៃអនុគមន៍មួយចូលទៅក្នុងផលបូកគ្មានកំណត់នៃអនុគមន៍ថាមពល។ ស៊េរីនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអង់គ្លេស Taylor ទោះបីជាស៊េរី Taylor ត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយមុនពេលការបោះពុម្ពរបស់ Taylor ក៏ដោយ វាត្រូវបានប្រើក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយ Gregory ក៏ដូចជា Newton ផងដែរ។ ជួរដេក ... ... វិគីភីឌា
ការបំបែកអនុគមន៍ទៅជាផលបូកនៃអនុគមន៍ថាមពលគ្មានកំណត់។ ស៊េរីនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូអង់គ្លេស Taylor ទោះបីជាស៊េរី Taylor ត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយមុនពេលការបោះពុម្ពរបស់ Taylor ក៏ដោយ វាត្រូវបានប្រើក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយ Gregory ក៏ដូចជា Newton ផងដែរ។ ស៊េរី Taylor ... ... វិគីភីឌា
ស៊េរី Möbius គឺជាស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់ ស៊េរីនេះត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយ Möbius ដែលបានរកឃើញរូបមន្តបញ្ច្រាសសម្រាប់ស៊េរីនេះ៖ តើមុខងារ Möbius នៅឯណា ... វិគីភីឌា
I m. 1. សំណុំនៃវត្ថុដូចគ្នាដែលមានទីតាំងនៅក្នុងបន្ទាត់មួយ។ អូត។ សាងសង់ក្នុងមួយជួរ; បន្ទាត់។ 2. លំដាប់លីនេអ៊ែរនៃកន្លែងអង្គុយនៅក្នុងរោងកុន។ល។ អូត។ បុគ្គលដែលកាន់កាប់មុខតំណែងបែបនេះ។ 3. តូបដែលមានទីតាំងនៅមួយខ្សែ… វចនានុក្រមពន្យល់ទំនើបនៃភាសារុស្ស៊ី Efremova
សៀវភៅ
- គណិតវិទ្យានៃអ្នកសង្កេតការណ៍ និងការអនុវត្តន៍របស់វាចំពោះមេកានិច Quantum, Relativity និង Classical Mathematics, B. S. Hots, D. B. Hots ។ សៀវភៅនេះបង្ហាញពីលទ្ធផលរបស់អ្នកនិពន្ធទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យានៃអ្នកសង្កេតការណ៍ (អ្នកនិពន្ធចំណងជើងអ្នកសង្កេតការណ៍គណិតវិទ្យា) ។ គណិតវិទ្យានេះត្រូវបានអ្នកនិពន្ធណែនាំជាលើកដំបូង ដោយវាត្រូវបានសិក្សា...
ជួរសម្រាប់ teapots ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ
អ្នករស់រានមានជីវិតទាំងអស់ស្វាគមន៍ឆ្នាំទី 2! នៅក្នុងមេរៀននេះ ឬជាមេរៀនជាបន្តបន្ទាប់ យើងនឹងរៀនពីរបៀបគ្រប់គ្រងជួរដេក។ ប្រធានបទមិនពិបាកខ្លាំងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងតាំងពីវគ្គដំបូង ជាពិសេសអ្នកត្រូវយល់ តើអ្វីជាដែនកំណត់និងអាចស្វែងរកដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនអីទេ នៅក្នុងវគ្គនៃការពន្យល់ ខ្ញុំនឹងផ្តល់តំណភ្ជាប់សមស្របទៅនឹងមេរៀនចាំបាច់។ សម្រាប់អ្នកអានមួយចំនួន ប្រធានបទនៃស៊េរីគណិតវិទ្យា វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយ សញ្ញា ទ្រឹស្តីបទ អាចហាក់ដូចជាចម្លែក ហើយថែមទាំងអាចធ្វើពុតជាមិនទំនងទាល់តែសោះ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកមិនចាំបាច់ "ផ្ទុក" ច្រើនទេ យើងទទួលយកការពិតដូចដែលពួកគេមាន ហើយគ្រាន់តែរៀនពីរបៀបដោះស្រាយកិច្ចការធម្មតាធម្មតាប៉ុណ្ណោះ។
1) ជួរសម្រាប់ teapotsនិងសម្រាប់ samovars មាតិកាភ្លាមៗ :)
សម្រាប់ការរៀបចំលឿនជ្រុលលើប្រធានបទមួយ។មានវគ្គសិក្សារហ័សក្នុងទម្រង់ pdf ដោយមានជំនួយពីការដែលវាពិតជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បី "បង្កើន" ការអនុវត្តក្នុងរយៈពេលត្រឹមតែមួយថ្ងៃប៉ុណ្ណោះ។
គំនិតនៃស៊េរីលេខ
ជាទូទៅ ស៊េរីលេខអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:
នៅទីនេះ៖
- រូបតំណាងគណិតវិទ្យានៃផលបូក;
– ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី(ចងចាំពាក្យសាមញ្ញនេះ);
- អថេរ - "រាប់" ។ កំណត់ត្រាមានន័យថាការបូកសរុបត្រូវបានអនុវត្តពី 1 ទៅ "បូកគ្មានដែនកំណត់" នោះគឺដំបូងយើងមានបន្ទាប់មកបន្ទាប់មកហើយដូច្នេះនៅលើ - រហូតដល់គ្មានកំណត់។ អថេរ ឬជួនកាលប្រើជំនួសអថេរ។ ការបូកសរុបមិនចាំបាច់ចាប់ផ្តើមពីមួយទេ ក្នុងករណីខ្លះវាអាចចាប់ផ្តើមពីសូន្យ ពីពីរ ឬពីណាមួយ លេខធម្មជាតិ.
ដោយអនុលោមតាមអថេរ "រាប់" ស៊េរីណាមួយអាចត្រូវបានលាបពណ៌លម្អិត: 
- ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។
លក្ខខណ្ឌ 
- នេះគឺជា NUMBERSដែលត្រូវបានគេហៅថា សមាជិកជួរ។ ប្រសិនបើពួកគេទាំងអស់មិនអវិជ្ជមាន (ធំជាង ឬស្មើសូន្យ)បន្ទាប់មកស៊េរីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់លេខវិជ្ជមាន.
ឧទាហរណ៍ ១
និយាយអញ្ចឹងនេះគឺជាកិច្ចការ "ប្រយុទ្ធ" រួចទៅហើយ - នៅក្នុងការអនុវត្តជាញឹកញាប់វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកត់ត្រាសមាជិកមួយចំនួននៃស៊េរី។
ជាដំបូង បន្ទាប់មក៖
បន្ទាប់មក បន្ទាប់មក៖
បន្ទាប់មក បន្ទាប់មក៖
ដំណើរការអាចត្រូវបានបន្តដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យសរសេរពាក្យបីដំបូងនៃស៊េរី ដូច្នេះយើងសរសេរចម្លើយ៖
កត់សម្គាល់ភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពី លំដាប់លេខ,
ដែលលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានបូកបញ្ចូលទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានចាត់ទុកដូចជា។
ឧទាហរណ៍ ២
សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃស៊េរី
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
សូម្បីតែស៊េរីដែលមើលទៅហាក់ដូចជាស្មុគ្រស្មាញក៏ដោយ ក៏វាមិនពិបាកក្នុងការពិពណ៌នាវាជាទម្រង់ពង្រីកដែរ៖
ឧទាហរណ៍ ៣
សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃស៊េរី
ជាការពិត ភារកិច្ចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់មាត់៖ ការជំនួសផ្លូវចិត្តនៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរីដំបូង បន្ទាប់មក និង។ នៅទីបំផុត៖ 
ទុកចម្លើយដូចនេះ វាជាការប្រសើរជាងកុំសម្រួលលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបាននៃស៊េរីនោះគឺ មិនអនុវត្តតាមសកម្មភាព៖ , , ។ ហេតុអ្វី? ចម្លើយក្នុងទម្រង់ 
កាន់តែងាយស្រួល និងងាយស្រួលសម្រាប់គ្រូពិនិត្យ។
ពេលខ្លះមានការបញ្ច្រាស
ឧទាហរណ៍ 4
មិនមានក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់នៅទីនេះទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវមើលគំរូ.
ក្នុងករណីនេះ:
សម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ ស៊េរីលទ្ធផលអាចត្រូវបាន "លាបឡើងវិញ" ក្នុងទម្រង់ពង្រីក។
ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍គឺពិបាកបន្តិចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖
ឧទាហរណ៍ ៥
សរសេរផលបូកក្នុងទម្រង់បង្រួមជាមួយពាក្យទូទៅនៃស៊េរី 
ពិនិត្យម្តងទៀតដោយសរសេរស៊េរីក្នុងទម្រង់ពង្រីក
ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ
គោលបំណងសំខាន់មួយនៃប្រធានបទគឺ ការពិនិត្យនៃស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា. ក្នុងករណីនេះករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន:
1) ជួរខុសគ្នា. នេះមានន័យថាផលបូកគ្មានកំណត់គឺស្មើនឹងគ្មានកំណត់៖ ទាំងផលបូកជាទូទៅ មិនមានជាឧទាហរណ៍នៅក្នុងស៊េរី 
(ដោយវិធីនេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃស៊េរីដែលមានពាក្យអវិជ្ជមាន) ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អនៃស៊េរីលេខផ្សេងគ្នាបានកើតឡើងនៅដើមមេរៀន៖ 
. នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺធំជាងពាក្យមុន ដូច្នេះ 
ដូច្នេះហើយ ស៊េរីនេះខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍មិនសូវច្បាស់ជាងនេះ៖ 
.
2) ជួរបញ្ចូលគ្នា. នេះមានន័យថាផលបូកគ្មានកំណត់គឺស្មើនឹងមួយចំនួន លេខចុងក្រោយ:. សូម៖ 
ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួម ហើយផលបូករបស់វាគឺសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ដែលមានន័យជាងគឺ ថយចុះជាលំដាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែលស្គាល់យើងតាំងពីនៅរៀន៖ 
. ផលបូកនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ តើសមាជិកទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពនៅឯណា ហើយជាមូលដ្ឋានរបស់វា ដែលតាមក្បួនមួយត្រូវបានសរសេរជា ត្រឹមត្រូវ។ប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះ: , ។ តាមវិធីនេះ៖ 
លេខកំណត់មួយត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា ស៊េរីបញ្ចូលគ្នា ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីភាគច្រើន ស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីគឺមិនសាមញ្ញទេ ដូច្នេះហើយក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីសិក្សាការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី សញ្ញាពិសេសៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់តាមទ្រឹស្តី។
មានសញ្ញាជាច្រើននៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី៖ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀប លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ d'Alembert លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Cauchy, សញ្ញានៃ Leibnizនិងសញ្ញាមួយចំនួនផ្សេងទៀត។ តើពេលណាត្រូវអនុវត្តសញ្ញាអ្វី?វាអាស្រ័យលើពាក្យទូទៅនៃស៊េរីដែលនិយាយក្នុងន័យធៀប - នៅលើ "ការបំពេញ" នៃស៊េរី។ ហើយឆាប់ៗនេះយើងនឹងដាក់អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅលើធ្នើ។
! សម្រាប់ការសិក្សាបន្ថែម អ្នកត្រូវការ យល់បានល្អតើអ្វីជាដែនកំណត់ ហើយវាជាការល្អក្នុងការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់។ សម្រាប់ពាក្យដដែលៗ ឬការសិក្សាអំពីសម្ភារៈ សូមមើលអត្ថបទ ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។
ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះពាក្យធម្មតារបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ៖ .
ការសន្ទនាគឺមិនពិតនៅក្នុងករណីទូទៅ ពោលគឺប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកស៊េរីអាចទាំងពីរបញ្ចូលគ្នា និង diverge ។ ដូច្នេះហើយសញ្ញានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញអំពីហេតុផល ភាពខុសគ្នាជួរដេក៖
ប្រសិនបើពាក្យទូទៅនៃស៊េរី មិនទៅសូន្យទេ។បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា
ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖ ប្រសិនបើ នោះស៊េរីខុសគ្នា។ ជាពិសេស ស្ថានភាពមួយអាចធ្វើទៅបាន នៅពេលដែលដែនកំណត់មិនមានទាល់តែសោះ ដូចជាឧទាហរណ៍។ ដែនកំណត់. នៅទីនេះពួកគេបានបញ្ជាក់ពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីមួយភ្លាមៗ :)
ប៉ុន្តែជារឿយៗដែនកំណត់នៃស៊េរីផ្សេងគ្នាគឺស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ខណៈពេលដែលជំនួសឱ្យ "x" វាដើរតួជាអថេរ "ថាមវន្ត" ។ ចូរធ្វើឱ្យចំណេះដឹងរបស់យើងឡើងវិញ៖ ដែនកំណត់ជាមួយ "x" ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់នៃមុខងារ ហើយដែនកំណត់ជាមួយនឹងអថេរ "en" - ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ។ ភាពខុសគ្នាជាក់ស្តែងគឺថាអថេរ "en" យកតម្លៃធម្មជាតិដាច់ដោយឡែក (មិនបន្ត)៖ 1, 2, 3 ។ល។ ប៉ុន្តែការពិតនេះមានឥទ្ធិពលតិចតួចលើវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់បង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។
ចូរយើងបង្ហាញថា ស៊េរីពីឧទាហរណ៍ដំបូងមានភាពខុសគ្នា។
សមាជិកទូទៅនៃស៊េរី៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ជួរ ខុសគ្នា
មុខងារចាំបាច់ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង៖
ឧទាហរណ៍ ៦
យើងមានពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ អ្នកដែលអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននិងយល់ច្បាស់អំពីវិធីសាស្រ្តនៃការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងអត្ថបទ ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយប្រាកដជាចាប់បាន។ នៅពេលដែលអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែង និងភាគបែង ស្មើបន្ទាប់មកដែនកំណត់គឺ លេខចុងក្រោយ .
ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ 
ស៊េរីសិក្សា ខុសគ្នាចាប់តាំងពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺមិនពេញចិត្ត។
ឧទាហរណ៍ ៧
ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន
ដូច្នេះនៅពេលដែលយើងផ្តល់លេខស៊េរីណាមួយ ជាដំបូងបង្អស់យើងពិនិត្យមើល (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង)៖ តើពាក្យធម្មតារបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យទេ? ប្រសិនបើវាមិនខិតខំទេ យើងបង្កើតដំណោះស្រាយមួយតាមឧទាហរណ៍នៃឧទាហរណ៍លេខ 6, 7 ហើយផ្តល់ចម្លើយដែលស៊េរីខុសគ្នា។
តើយើងបានពិចារណាអំពីប្រភេទស៊េរីដែលខុសគ្នាយ៉ាងណាខ្លះ? វាច្បាស់ភ្លាមៗថាជួរដេកចូលចិត្តឬបង្វែរ។ ស៊េរីពីឧទាហរណ៍លេខ 6, 7 ក៏ខុសគ្នាដែរ៖ នៅពេលដែលភាគយក និងភាគបែងមានពហុនាម ហើយកំរិតខ្ពស់បំផុតនៃភាគយកគឺធំជាង ឬស្មើនឹងដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៃភាគបែង. ក្នុងករណីទាំងអស់នេះ នៅពេលធ្វើការដោះស្រាយ និងបង្កើតឧទាហរណ៍ យើងប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។
ហេតុអ្វីបានជាគេហៅថាសញ្ញា ចាំបាច់? ស្វែងយល់តាមរបៀបធម្មជាតិបំផុត៖ ដើម្បីឱ្យស៊េរីបញ្ចូលគ្នា ចាំបាច់ដូច្នេះពាក្យទូទៅរបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ។ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងល្អប៉ុន្តែនេះ។ មិនគ្រប់គ្រាន់. ក្នុងន័យផ្សេងទៀត, ប្រសិនបើពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានទំនោរទៅសូន្យ នេះមិនមានន័យថាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាទេ- វាអាចទាំងការបង្រួបបង្រួមនិងបំបែក!
ជួប៖
ជួរនេះត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរីអាម៉ូនិក. សូមចងចាំ! ក្នុងចំណោមស៊េរីលេខគាត់គឺជាអ្នករាំរបាំបាឡេ។ កាន់តែច្បាស់ អ្នករាំរបាំបាឡេ =)
វាងាយស្រួលមើលនោះ។ 
, ប៉ុន្តែ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា បានបង្ហាញឱ្យឃើញថា ស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នា.
អ្នកគួរចងចាំផងដែរនូវគោលគំនិតនៃស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ៖
1) ជួរនេះ។ ខុសគ្នានៅ។ ឧទាហរណ៍ ស៊េរី diverge, , .
2) ជួរនេះ។ បញ្ចូលគ្នានៅ។ ឧទាហរណ៍ ស៊េរី , , . ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា ក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងស្ទើរតែទាំងអស់ វាមិនសំខាន់ចំពោះយើងទាល់តែសោះ នូវអ្វីដែលផលបូកនៃឧទាហរណ៍ ស៊េរីគឺ។ ការពិតនៃការបង្រួបបង្រួមរបស់វាគឺមានសារៈសំខាន់.
ទាំងនេះគឺជាអង្គហេតុបឋមពីទ្រឹស្ដីនៃស៊េរីដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញរួចហើយ ហើយនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន យើងអាចយោងដោយសុវត្ថិភាព ឧទាហរណ៍ ទៅនឹងភាពខុសគ្នានៃស៊េរី ឬការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។
ជាទូទៅសម្ភារៈដែលកំពុងពិចារណាគឺស្រដៀងនឹង ការសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវហើយអ្នកដែលបានសិក្សាប្រធានបទនេះនឹងយល់កាន់តែងាយស្រួល។ អញ្ចឹងសម្រាប់អ្នកមិនទាន់បានសិក្សា វាកាន់តែងាយស្រួលទ្វេដង :)
ដូច្នេះ អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើពាក្យទូទៅនៃស៊េរី GOES ទៅសូន្យ?ក្នុងករណីបែបនេះ ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវប្រើអ្នកដទៃ គ្រប់គ្រាន់ សញ្ញានៃការបង្រួបបង្រួម / ភាពខុសគ្នា៖
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបសម្រាប់ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន
ខ្ញុំទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នក។ថានៅទីនេះយើងកំពុងនិយាយតែអំពីស៊េរីលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ (ជាមួយសមាជិកមិនអវិជ្ជមាន).
មានសញ្ញាពីរនៃការប្រៀបធៀប ដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេ ខ្ញុំនឹងហៅយ៉ាងសាមញ្ញ សញ្ញានៃការប្រៀបធៀប, មួយផ្សេងទៀត - កំណត់សញ្ញានៃការប្រៀបធៀប.
ដំបូងពិចារណា សញ្ញាប្រៀបធៀបឬផ្ទុយទៅវិញ ផ្នែកដំបូងនៃវា៖
ពិចារណាស៊េរីលេខវិជ្ជមានពីរ និង . បើស្គាល់, ថាជួរ បញ្ចូលគ្នាហើយចាប់ផ្តើមពីចំនួនមួយចំនួន វិសមភាពមាន បន្ទាប់មកស៊េរី បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។.
ក្នុងន័យផ្សេងទៀត: ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលមានពាក្យធំជាង បង្កប់ន័យការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលមានពាក្យតូចជាង. នៅក្នុងការអនុវត្ត វិសមភាពតែងតែពេញចិត្តជាទូទៅចំពោះតម្លៃទាំងអស់នៃ៖
ឧទាហរណ៍ ៨
ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
ដំបូងយើងពិនិត្យការអនុវត្ត (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង)៖ 
ដែលមានន័យថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ "ចេញដោយឈាមតិចតួច" ។
យើងមើលទៅក្នុង "កញ្ចប់" នៃស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ ហើយដោយផ្តោតលើកម្រិតខ្ពស់បំផុត យើងរកឃើញស៊េរីស្រដៀងគ្នានេះ៖ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីទ្រឹស្តីថាវាបញ្ចូលគ្នា។
សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ វិសមភាពជាក់ស្តែងមាន៖
ហើយភាគបែងធំត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភាគតូចជាង៖ 
ដែលមានន័យថា យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការប្រៀបធៀប ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នារួមគ្នាជាមួយ។
ប្រសិនបើអ្នកមានការងឿងឆ្ងល់នោះ វិសមភាពអាចតែងតែត្រូវបានលាបពណ៌យ៉ាងលម្អិត!ចូរយើងសរសេរវិសមភាពដែលបានបង្កើតសម្រាប់លេខជាច្រើន "en"៖
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
….
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាវិសមភាព 
រក្សាសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ "en" ។
ចូរយើងវិភាគលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀប និងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយតាមទស្សនៈក្រៅផ្លូវការ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ហេតុអ្វីបានជាស៊េរីបញ្ចូលគ្នា? នេះជាមូលហេតុ។ ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះវាមានខ្លះ ចុងក្រោយបរិមាណ៖ 
. ហើយចាប់តាំងពីសមាជិកទាំងអស់នៃស៊េរី តិចសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរី នោះគល់គឺច្បាស់ថាផលបូកនៃស៊េរីមិនអាចធំជាងចំនួនទេ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មិនអាចស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់បានឡើយ!
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចបញ្ជាក់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី "ស្រដៀងគ្នា"៖ 
, , 
ល។
! ចំណាំថាក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ យើងមាន "បូក" នៅក្នុងភាគបែង។ វត្តមានយ៉ាងហោចណាស់មួយដកអាចធ្វើអោយស្មុគស្មាញដល់ការប្រើប្រាស់នៃការពិចារណា លក្ខណៈប្រៀបធៀប. ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើស៊េរីមួយត្រូវបានប្រៀបធៀបតាមរបៀបដូចគ្នាជាមួយនឹងស៊េរីរួមមួយ (សរសេរវិសមភាពជាច្រើនសម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូង) នោះលក្ខខណ្ឌនឹងមិនត្រូវបានបំពេញទាល់តែសោះ! នៅទីនេះអ្នកអាចគេច និងជ្រើសរើសសម្រាប់ការប្រៀបធៀបស៊េរី convergent មួយផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែវានឹងរួមបញ្ចូលការកក់ដែលមិនចាំបាច់ និងការលំបាកដែលមិនចាំបាច់ផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះ ដើម្បីបញ្ជាក់ពីការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការប្រើ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបរឹម(សូមមើលកថាខណ្ឌបន្ទាប់)។
ឧទាហរណ៍ ៩
ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
ហើយក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកពិចារណាសម្រាប់ខ្លួនអ្នក ផ្នែកទីពីរនៃលក្ខណៈប្រៀបធៀប:
បើស្គាល់, ថាជួរ ខុសគ្នានិងចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន (ជាញឹកញាប់តាំងពីដំបូង)វិសមភាពកាន់កាប់ បន្ទាប់មកស៊េរី ក៏ខុសគ្នាដែរ។.
ក្នុងន័យផ្សេងទៀត: ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីជាមួយពាក្យតូចជាង បង្កប់ន័យភាពខុសគ្នានៃស៊េរីជាមួយនឹងពាក្យធំជាង.
តើគួរធ្វើអ្វី?
វាចាំបាច់ក្នុងការប្រៀបធៀបស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាជាមួយនឹងស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នា។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ សូមបង្កើតវិសមភាពជាក់លាក់មួយចំនួន ហើយត្រូវប្រាកដថាវិសមភាពនេះជាការពិត។
ដំណោះស្រាយ និងការរចនាគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ នៅក្នុងការអនុវត្ត លក្ខណៈប្រៀបធៀបដែលទើបតែពិចារណាគឺកម្រប្រើណាស់។ "workhorse" ពិតប្រាកដនៃស៊េរីលេខគឺ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបរឹមនិងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រេកង់នៃការប្រើប្រាស់តែប៉ុណ្ណោះ សញ្ញារបស់ d'Alembert.
កំណត់សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបនៃស៊េរីវិជ្ជមានជាលេខ
ពិចារណាស៊េរីលេខវិជ្ជមានពីរ និង . ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃសមាជិកទូទៅនៃស៊េរីទាំងនេះគឺស្មើនឹង ចំនួនកំណត់ដែលមិនមែនជាសូន្យ: , បន្ទាប់មកស៊េរីទាំងពីរបញ្ចូលគ្នា ឬបំបែកក្នុងពេលតែមួយ.
តើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបដែនកំណត់ត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅពេលណា?សញ្ញាកំណត់នៃការប្រៀបធៀបត្រូវបានប្រើនៅពេលដែល "ការបំពេញ" នៃស៊េរីគឺជាពហុនាម។ ទាំងពហុនាមមួយនៅក្នុងភាគបែង ឬពហុនាមទាំងក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ ជាជម្រើស ពហុធាអាចស្ថិតនៅក្រោមឫស។
ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងស៊េរីដែលសញ្ញាមុននៃការប្រៀបធៀបបានជាប់គាំង។
ឧទាហរណ៍ 10
ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
ប្រៀបធៀបស៊េរីនេះជាមួយស៊េរីរួម។ យើងប្រើការធ្វើតេស្តកម្រិតនៃការប្រៀបធៀប។ វាត្រូវបានគេដឹងថាស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។ ប្រសិនបើយើងអាចបង្ហាញថាវាគឺជា ចុងក្រោយមិនមែនសូន្យលេខ វានឹងត្រូវបានបង្ហាញថាស៊េរីក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។
ចំនួនកំណត់ មិនមែនសូន្យត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នារួមគ្នាជាមួយ។
ហេតុអ្វីបានជាស៊េរីត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ការប្រៀបធៀប? ប្រសិនបើយើងបានជ្រើសរើសស៊េរីផ្សេងទៀតពី "ឃ្លីប" នៃស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ នោះយើងនឹងមិនទទួលបានជោគជ័យក្នុងដែនកំណត់នោះទេ។ ចុងក្រោយមិនមែនសូន្យលេខ (អ្នកអាចពិសោធន៍) ។
ចំណាំ៖ នៅពេលដែលយើងប្រើមុខងារប្រៀបធៀបរឹម, មិនពាក់ព័ន្ធក្នុងគោលបំណងដើម្បីចងក្រងទំនាក់ទំនងនៃសមាជិកទូទៅ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា ទំនាក់ទំនងអាចត្រូវបានទាញបញ្ច្រាស៖ - នេះនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសារនៃបញ្ហានោះទេ។
បន្ទាត់លេខ។ ការបញ្ចូលគ្នានិងភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខ។ d'Alembert ការធ្វើតេស្ត convergence ។ ជួរដេកអថេរ។ ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី។ ជួរមុខងារ។ ស៊េរីថាមពល។ ការពង្រីកមុខងារបឋមនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ។
គោលការណ៍ណែនាំលើប្រធានបទ ១.៤៖
ជួរលេខ៖
ស៊េរីលេខគឺជាផលបូកនៃទម្រង់
តើលេខនៅឯណា u 1 , u 2 , u 3 , n n ,ហៅថាសមាជិកនៃស៊េរី បង្កើតជាលំដាប់គ្មានកំណត់។ ពាក្យ un ត្រូវបានគេហៅថាពាក្យទូទៅនៃស៊េរី។
. . . . . . . . .
សមាសភាពនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃស៊េរី (27.1) ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីនេះ។
ជួរនីមួយៗអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែក S1, S2, S3. ប្រសិនបើចំនួន n កើនឡើងឥតកំណត់ ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី សទំនោរទៅដែនកំណត់ សបន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា convergent និងលេខ ស-ផលបូកនៃស៊េរី convergent, i.e.
ធាតុនេះគឺស្មើនឹងធាតុចូល
ប្រសិនបើចំនួនមួយផ្នែក សស៊េរី (27.1) ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ នមិនមានដែនកំណត់កំណត់ (ជាពិសេស ទំនោរទៅ + ¥ ឬ - ¥) បន្ទាប់មកស៊េរីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា divergent
ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះតម្លៃ សសម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ n គឺជាកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ផលបូកនៃស៊េរី ស.
ភាពខុសគ្នា r n = S − S nត្រូវបានគេហៅថានៅសល់នៃស៊េរី។ ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះនៅសល់របស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺឧ។ r n = 0 ហើយច្រាសមកវិញ ប្រសិនបើនៅសល់មានទំនោរទៅសូន្យ នោះស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា។
ស៊េរីនៃប្រភេទមួយត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់ធរណីមាត្រ។
បានហៅ អាម៉ូនិក។
ប្រសិនបើ ន®¥ បន្ទាប់មក ស®¥, ឧ. ស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នា។
ឧទាហរណ៍ 1. សរសេរស៊េរីដោយពាក្យសាមញ្ញដែលបានផ្តល់ឱ្យរបស់វា:
1) សន្មតថា n = 1, n = 2, n = 3 យើងមានលំដាប់លេខគ្មានកំណត់៖ , , , បន្ថែមលក្ខខណ្ឌរបស់វា យើងទទួលបានស៊េរី 
2) ធ្វើដូចគ្នាយើងទទួលបានស៊េរី
៣) ផ្តល់គុណតម្លៃ ១, ២, ៣ និងពិចារណាថា ១! = ១, ២! = ១ × ២, ៣ ! = 1 × 2 × 3 យើងទទួលបានស៊េរី
ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរក ន-th term នៃស៊េរីដោយលេខដំបូងរបស់វាដែលបានផ្តល់ឱ្យ:
1) ; 2) 
; 3) .
ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី៖
2) 
.
1) ស្វែងរកផលបូកផ្នែកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី៖
; 
;
… .
ចូរយើងសរសេរតាមលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែក៖ …, , … ។
ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់នេះគឺ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
.
លំដាប់នៃផលបូកផ្នែកមានដែនកំណត់ស្មើនឹង . ដូច្នេះស៊េរីនេះចូលរួមហើយផលបូករបស់វាគឺ .
2) នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតឈប់ឈរ ដែលក្នុងនោះ a 1 = , q = . ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទទួលបាន ដូច្នេះ ស៊េរីនឹងចូលរួម ហើយផលបូករបស់វាគឺស្មើនឹង 1 ។
ការបញ្ចូលគ្នានិងភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខ។ សញ្ញារួម d'Alembert :
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។ស៊េរីមួយអាចបញ្ចូលគ្នាបានលុះត្រាតែពាក្យទូទៅរបស់វាគឺ យូ n ជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួនមិនកំណត់ នទៅសូន្យ៖
ប្រសិនបើស៊េរីខុសគ្នា - នេះគឺជាសញ្ញាគ្រប់គ្រាន់នៃការរលាយនៃស៊េរី។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលមានលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមាន។
សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបស៊េរីជាមួយសមាជិកវិជ្ជមាន។ ស៊េរីដែលស្ថិតក្រោមការសិក្សាបង្រួបបង្រួម ប្រសិនបើសមាជិករបស់វាមិនលើសពីសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីមួយទៀត ជាក់ស្តែងជាស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។ ស៊េរីដែលស្ថិតក្រោមការសិក្សាខុសគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌរបស់វាលើសពីលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីខុសគ្នាជាក់ស្តែងផ្សេងទៀត។
នៅក្នុងការសិក្សានៃស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា និងការរលាយនៅលើមូលដ្ឋាននេះ ស៊េរីធរណីមាត្រត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់
ដែលបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ |q|
,
មានភាពខុសប្លែកគ្នា។
នៅក្នុងការសិក្សានៃស៊េរី ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ។
.
ប្រសិនបើ ក ទំ= 1 បន្ទាប់មកស៊េរីនេះប្រែទៅជាស៊េរីអាម៉ូនិក ដែលខុសគ្នា។
ប្រសិនបើ ក ទំ< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При ទំ> 1 យើងមានស៊េរីធរណីមាត្រដែល | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при ទំ> 1 និងខុសគ្នានៅ ទំ£1 ។
សញ្ញារបស់ d'Alembert. ប្រសិនបើសម្រាប់ស៊េរីដែលមានលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមាន
(យូ n>0)
លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត បន្ទាប់មកស៊េរីបង្រួបបង្រួមនៅ លីត្រលីត្រ > 1 ។
សញ្ញារបស់ d'Alembert មិនផ្តល់ចម្លើយប្រសិនបើ លីត្រ= 1. ក្នុងករណីនេះ វិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាស៊េរី។
ជួរដេកអថេរ។
ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី៖
ស៊េរីលេខ
u 1 + u 2 + u 3 + u ន
ត្រូវបានគេហៅថាឆ្លាស់គ្នា ប្រសិនបើក្នុងចំណោមសមាជិករបស់វាមានទាំងលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។
ស៊េរីលេខត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា ប្រសិនបើសមាជិកដែលនៅជាប់គ្នាទាំងពីរមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា។ ស៊េរីនេះគឺជាករណីពិសេសនៃស៊េរីជំនួស។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ស៊េរីជំនួស. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីជំនួស monotonically ថយចុះនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត និងពាក្យទូទៅ យូ n ទំនោរទៅសូន្យដូច ន® បន្ទាប់មកស៊េរីចូលរួមគ្នា។
ស៊េរីមួយត្រូវបានហៅថាជាការបង្រួបបង្រួមយ៉ាងពិតប្រាកដប្រសិនបើស៊េរីនេះក៏បានចូលរួមដែរ។ ប្រសិនបើស៊េរីមួយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ នោះវាបញ្ចូលគ្នា (ក្នុងន័យធម្មតា)។ ការសន្ទនាមិនពិតទេ។ ស៊េរីមួយត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ ប្រសិនបើវាបញ្ចូលគ្នា ហើយស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយម៉ូឌុលនៃសមាជិករបស់វាខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 4. ពិនិត្យស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា  .
|
អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការធ្វើតេស្តគ្រប់គ្រាន់ Leibniz សម្រាប់ស៊េរីជំនួស។ យើងទទួលបាន  ដោយសារតែ។ ដូច្នេះស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 5. ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា  .
|
តោះព្យាយាមអនុវត្តសញ្ញា Leibniz៖  វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាម៉ូឌុលនៃពាក្យទូទៅមិនមានទំនោរទៅសូន្យនៅពេលដែល n→∞. ដូច្នេះស៊េរីនេះខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 6. កំណត់ថាតើស៊េរីគឺពិតជា convergent, convergent តាមលក្ខខណ្ឌឬ divergent ។ |
ការអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ d'Alembert ទៅនឹងស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយម៉ូឌុលនៃលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នា យើងរកឃើញ  ដូច្នេះស៊េរីនេះចូលគ្នាជាដាច់ខាត។ |
ឧទាហរណ៍ 7. ពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នា (ដាច់ខាត ឬតាមលក្ខខណ្ឌ) ស៊េរីជំនួស៖
1) លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីនេះថយចុះជាឯកតានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត 
និង 
. ដូច្នេះយោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Leibniz ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកមើលថាតើស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដឬតាមលក្ខខណ្ឌ។
2) លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីនេះថយចុះជាឯកតានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត៖ 
, ប៉ុន្តែ
.
ស៊េរីមុខងារ៖
ស៊េរីលេខធម្មតាមានលេខ៖
សមាជិកទាំងអស់នៃស៊េរី 
- នេះគឺជា លេខ។
បន្ទាត់មុខងារមាន មុខងារ៖
នៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរី បន្ថែមលើពហុនាម ហ្វាក់តូរីស ជាដើម។ ប្រាកដណាស់រួមបញ្ចូលអក្សរ "x" ។ វាមើលទៅដូចនេះឧទាហរណ៍៖ ដូចស៊េរីលេខ ស៊េរីមុខងារណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ពង្រីក៖
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសមាជិកទាំងអស់នៃស៊េរីមុខងារគឺ មុខងារ.
ប្រភេទដ៏ពេញនិយមបំផុតនៃស៊េរីមុខងារគឺ ស៊េរីថាមពល.
ស៊េរីថាមពល៖
ថាមពលបន្ទាប់ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី
,
តើលេខនៅឯណា a 0, a 1, a 2, a nត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃស៊េរី និងពាក្យ a n x nគឺជាសមាជិកទូទៅនៃស៊េរី។
តំបន់បញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីថាមពលគឺជាសំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់។ xដែលស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។
ចំនួន រត្រូវបានគេហៅថាកាំនៃ convergence នៃស៊េរី ប្រសិនបើសម្រាប់ | x|
ឧទាហរណ៍ 8. បានផ្តល់ឱ្យជួរដេកមួយ។
ស៊ើបអង្កេតការបញ្ចូលគ្នារបស់វានៅចំណុច x= 1 និង X= 3, x= -2.
នៅពេល x = 1 ស៊េរីនេះប្រែទៅជាស៊េរីលេខ
.
អនុញ្ញាតឱ្យយើងស៊ើបអង្កេតការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះដោយការធ្វើតេស្ត d'Alembert ។ យើងមាន
ទាំងនោះ។ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។
សម្រាប់ x = 3 យើងទទួលបានស៊េរី
ដែលខុសគ្នា, ចាប់តាំងពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺមិនពេញចិត្ត
សម្រាប់ x = −2 យើងទទួលបាន
នេះគឺជាស៊េរីឆ្លាស់គ្នា ដែលយោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Leibniz បញ្ចូលគ្នា។
ដូច្នេះនៅចំណុច x= 1 និង X= -២. ស៊េរីបង្រួបបង្រួមហើយនៅចំណុច x= 3 ខុសគ្នា។
ការពង្រីកមុខងារបឋមនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin៖
នៅជិត Taylorសម្រាប់មុខងារ f(x)ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីថាមពលនៃទម្រង់
និយមន័យមូលដ្ឋាន
និយមន័យ។ ផលបូកនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរីលេខ។
ក្នុងករណីនេះ លេខនឹងត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃស៊េរី ហើយ un - សមាជិកទូទៅនៃស៊េរី។
និយមន័យ។ ផលបូក, n = 1, 2, ... ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកផ្នែក (ផ្នែក) នៃស៊េរី។
ដូច្នេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិចារណាលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី S1, S2, …, Sn, …
និយមន័យ។ ស៊េរីមួយត្រូវបានគេហៅថា convergent ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាបញ្ចូលគ្នា។ ផលបូកនៃស៊េរី convergent គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា។
និយមន័យ។ ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីខុសគ្នា ពោលគឺឧ។ គ្មានដែនកំណត់ ឬមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ បន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា divergent ហើយគ្មានផលបូកត្រូវបានចាត់ឱ្យទៅវាទេ។
លក្ខណសម្បត្តិជួរ
1) ការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីនឹងមិនត្រូវបានបំពានទេ ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរ បោះបង់ ឬបន្ថែមចំនួនកំណត់ក្នុងស៊េរី។
2) ពិចារណាស៊េរីពីរ ហើយដែល C ជាចំនួនថេរ។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើស៊េរីមួយបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង S នោះស៊េរីក៏បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង CS ។ (C0)
3) ពិចារណាពីរជួរនិង។ ផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីទាំងនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីដែលធាតុត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការបូក (ដក) នៃធាតុដើមដែលមានលេខដូចគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើស៊េរី និងបង្រួបបង្រួម ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង S ហើយរៀងគ្នា ស៊េរីក៏បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង S + ។
ភាពខុសគ្នានៃស៊េរី convergent ពីរក៏នឹងជាស៊េរី convergent ផងដែរ។
ផលបូកនៃស៊េរី convergent និង divergent នឹងជាស៊េរី divergent ។
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅអំពីផលបូកនៃស៊េរីខុសគ្នាពីរ។
នៅពេលសិក្សាស៊េរី បញ្ហាពីរត្រូវបានដោះស្រាយជាចម្បង៖ ការសិក្សានៃការបញ្ចូលគ្នា និងការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី។
លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យឃោឃៅ។
(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី)
ដើម្បីឱ្យលំដាប់ត្រូវបញ្ចូលគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលថាសម្រាប់ណាមួយមានលេខ N ដូចជាសម្រាប់ n > N និងណាមួយ p > 0 ដែល p ជាចំនួនគត់ វិសមភាពខាងក្រោមនឹងមានៈ
ភស្តុតាង។ (ត្រូវការ)
អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយមានលេខ N ដែលវិសមភាព
ត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ n> N ។ សម្រាប់ n > N និងចំនួនគត់ p > 0 វិសមភាពក៏មានផងដែរ។ ដោយពិចារណាលើវិសមភាពទាំងពីរ យើងទទួលបាន៖
តម្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។ យើងនឹងមិនពិចារណាលើភស្តុតាងនៃភាពគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ស៊េរី។
សម្រាប់ស៊េរីដែលត្រូវបង្រួបបង្រួម វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលសម្រាប់ណាមួយមានលេខ N ដូចថាសម្រាប់ n>N និង p>0 វិសមភាព។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ដោយផ្ទាល់។ ដូច្នេះ តាមក្បួនមួយ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាដ៏សាមញ្ញត្រូវបានប្រើ៖
1) ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះវាចាំបាច់ដែលពាក្យទូទៅ un ទំនោរទៅសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយលក្ខខណ្ឌនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ យើងគ្រាន់តែអាចនិយាយបានថា ប្រសិនបើពាក្យទូទៅមិនមានទំនោរទៅសូន្យទេ នោះស៊េរីពិតជាខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ អ្វីដែលហៅថាស៊េរីអាម៉ូនិកគឺខុសគ្នា ទោះបីពាក្យទូទៅរបស់វាមានទំនោរដល់សូន្យ។
ចម្លើយ៖ ស៊េរីខុសគ្នា។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។
ដោយសារដែនកំណត់ការបូកទាបគឺ 1 ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាបូក៖ $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។ ចងក្រងផលបូកផ្នែកទី 9 នៃស៊េរី i.e. បូកសរុបសមាជិក $n$ ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))។ $$
ហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំសរសេរយ៉ាងពិតប្រាកដ $\frac(2)(3\cdot 5)$ ហើយមិនមែន $\frac(2)(15)$ ទេ វានឹងច្បាស់ពីការរៀបរាប់បន្ថែម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការកត់ត្រាផលបូកមួយផ្នែកមិនបាននាំឱ្យយើងខិតទៅជិតគោលដៅនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ យើងត្រូវស្វែងរក $\lim_(n\to\infty)S_n$ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងគ្រាន់តែសរសេរ៖
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$
បន្ទាប់មក កំណត់ត្រានេះ ត្រឹមត្រូវទាំងស្រុងក្នុងទម្រង់ នឹងមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវខ្លឹមសារអ្វីឡើយ។ ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ កន្សោមផលបូកមួយផ្នែកដំបូងត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។
មានការបំប្លែងស្ដង់ដារសម្រាប់ការនេះ ដែលមាននៅក្នុងការបំប្លែងប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ដែលតំណាងឱ្យពាក្យទូទៅនៃស៊េរីទៅជាប្រភាគបឋម។ ប្រធានបទដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហានៃការបំបែកប្រភាគសនិទានទៅជាបឋម (សូមមើលឧទាហរណ៍ លេខ 3 នៅលើទំព័រនេះ)។ ការពង្រីកប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ទៅជាប្រភាគបឋម យើងមាន៖
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))។ $$
យើងគណនាចំនួនភាគយកនៃប្រភាគនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពលទ្ធផល៖
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)។ $$
មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃ $A$ និង $B$ ។ អ្នកអាចបើកតង្កៀប និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ ឬអ្នកអាចជំនួសតម្លៃសមរម្យមួយចំនួនជំនួសឱ្យ $n$ ។ គ្រាន់តែសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរមួយក្នុងឧទាហរណ៍នេះយើងនឹងទៅវិធីដំបូងនិងបន្ទាប់ - យើងនឹងជំនួសតម្លៃឯកជននៃ $n$ ។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ យើងទទួលបាន៖
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B។ $$
នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ $n$ ត្រូវបាននាំមុខដោយសូន្យ។ ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្ត ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពអាចត្រូវបានតំណាងឱ្យភាពច្បាស់លាស់ជា $0\cdot n+ 2$។ ដោយសារនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព $n$ នាំមុខដោយសូន្យ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព $2A+2B$ នាំមុខ $n$ យើងមានសមីការទីមួយ៖ $2A+2B=0$។ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះភ្លាមៗដោយ 2 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន $A+B=0$ ។
ដោយសារពាក្យសេរីនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពគឺស្មើនឹង 2 ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនោះពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង $3A+B$ បន្ទាប់មក $3A+B=2$។ ដូច្នេះយើងមានប្រព័ន្ធមួយ៖
$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right។ $$
ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ នៅជំហានដំបូង យើងត្រូវពិនិត្យមើលថាតើសមភាពដែលត្រូវការ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ រក្សាទុកសម្រាប់ $n=1$។ យើងដឹងថា $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ ប៉ុន្តែតើកន្សោម $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ផ្តល់តម្លៃ $\frac( 2 )(15)$ ប្រសិនបើ $n=1$ ត្រូវបានជំនួសវា? តោះពិនិត្យ៖
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15) ។ $$
ដូច្នេះ សម្រាប់ $n=1$ សមភាព $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពេញចិត្ត។ នេះបញ្ចប់ជំហានដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
សន្មតថាសម្រាប់ $n = k$ សមភាពទទួលបាន, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សមភាពដូចគ្នានឹងរក្សាសម្រាប់ $n=k+1$។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណា $S_(k+1)$៖
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1) ។ $$
ចាប់តាំងពី $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ បន្ទាប់មក $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$ ។ តាមការសន្មតខាងលើ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះរូបមន្ត $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ យក ទំរង់:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)។ $$
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n=k+1$។ ដូច្នេះ យោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n\in N$ ណាមួយ។ សមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។
នៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្ដង់ដារក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ជាធម្មតាមនុស្សម្នាក់ពេញចិត្តនឹង "លុប" លក្ខខណ្ឌលុបចោល ដោយមិនទាមទារភស្តុតាងណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកទី n៖ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$ ។
វិធីទីពីរគឺធ្វើឱ្យរូបមន្តសាមញ្ញសម្រាប់ផលបូកផ្នែក។
និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំចូលចិត្តវិធីនេះដោយខ្លួនឯង :) ចូរយើងសរសេរការបូកផ្នែកក្នុងទម្រង់ជាអក្សរកាត់៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))។ $$
យើងទទួលបានមុននេះថា $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះ៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)។ $$
ផលបូក $S_n$ មានចំនួនកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះយើងអាចរៀបចំវាឡើងវិញតាមចិត្តយើង។ ដំបូងខ្ញុំចង់បន្ថែមលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+3)$។ នេះមានន័យថា យើងនឹងតំណាងឱ្យផលបូកមួយផ្នែកក្នុងទម្រង់នេះ៖
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right)។ $$
ជាការពិតណាស់ សញ្ញាណដែលបានពង្រីកគឺមានការរអាក់រអួលខ្លាំង ដូច្នេះសមភាពខាងលើអាចសរសេរបានកាន់តែបង្រួម៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)។ $$
ឥឡូវនេះ យើងបំប្លែងកន្សោម $\frac(1)(2k+1)$ និង $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ដូចគ្នា។ ខ្ញុំគិតថាវាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើឱ្យវាមើលទៅដូចជាប្រភាគធំជាង (ទោះបីជាអ្នកអាចប្រើតូចជាងក៏ដោយ វាជាបញ្ហានៃរសជាតិ)។ ចាប់តាំងពី $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (ភាគបែងធំជាង ប្រភាគតូចជាង) យើងនឹងកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+ 3) $ ទៅទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ។
ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោមក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ដូចតទៅ៖
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)។ $$
ហើយផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ឥឡូវអាចសរសេរដូចនេះ៖
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)។ $$
ប្រសិនបើសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ មិនលើកសំណួរទេ អញ្ចឹងតោះទៅទៀត។ ប្រសិនបើមានសំណួរ សូមពង្រីកចំណាំ។
តើយើងទទួលបានចំនួនទឹកប្រាក់បំប្លែងដោយរបៀបណា? បង្ហាញ/លាក់
យើងមានស៊េរី $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$។ សូមណែនាំអថេរថ្មីជំនួសឱ្យ $k+1$ - ឧទាហរណ៍ $t$ ។ ដូច្នេះ $t=k+1$។
តើអថេរចាស់ $k$ ផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងដូចម្តេច? ហើយវាបានផ្លាស់ប្តូរពី 1 ទៅ $n$ ។ តោះស្វែងយល់ពីរបៀបដែលអថេរថ្មី $t$ នឹងផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រសិនបើ $k=1$ នោះ $t=1+1=2$។ ប្រសិនបើ $k=n$ នោះ $t=n+1$។ ដូច្នេះកន្សោម $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ គឺឥឡូវនេះ៖ $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$។
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1)។ $$
យើងមានផលបូក $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ ។ សំណួរ៖ តើអក្សរមួយណាត្រូវប្រើក្នុងការបូកនេះជាបញ្ហាទេ? :) ការសរសេរអក្សរ $k$ ជំនួសឱ្យ $t$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
នេះជារបៀបដែលសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) ទទួលបាន \frac(1)(2k+1)$ ។
ដូច្នេះ ផលបូកផ្នែកអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ) $$
ចំណាំថាផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ និង $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ខុសគ្នាតែក្នុងដែនកំណត់នៃការបូកសរុបប៉ុណ្ណោះ។ ចូរកំណត់ដែនកំណត់ទាំងនេះដូចគ្នា។ "យក" ធាតុទីមួយពីផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)។ $$
"យក" ធាតុចុងក្រោយពីផលបូក $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$
បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមានទម្រង់៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$
ប្រសិនបើអ្នករំលងការពន្យល់ទាំងអស់នោះ ដំណើរការនៃការស្វែងរករូបមន្តសង្ខេបសម្រាប់ផលបូកផ្នែក n-th នឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងបានកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$។ ជាការពិតណាស់អ្នកអាចធ្វើផ្ទុយគ្នាពោលគឺឧ។ តំណាងឱ្យប្រភាគ $\frac(1)(2k+1)$ ជា $\frac(1)(2k+3)$ ។ កន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំនឹងលាក់ដំណើរការនៃការស្វែងរកផលបូកមួយផ្នែកនៅក្រោមកំណត់ចំណាំ។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរក $S_n$ ប្រសិនបើអ្នកនាំយកទៅទម្រង់នៃប្រភាគផ្សេងគ្នា? បង្ហាញ/លាក់
$$ S_n = \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ) $$
ដូច្នេះ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$។ ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3)។ $$
ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$។
ចម្លើយ៖ $S=\frac(1)(3)$។
ការបន្តនៃប្រធានបទនៃការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីមួយនឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទីពីរនិងទីបី។
