និយមន័យ

រូបធរណីមាត្រដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាងកាំរស្មីពីរដែលចេញពីចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថា ជ្រុងរាបស្មើ.

និយមន័យ

មុំរវាងពីរប្រសព្វ ផ្ទាល់ហៅថាតម្លៃនៃមុំយន្តហោះតូចបំផុតនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរស្របគ្នា នោះមុំរវាងពួកវាត្រូវបានសន្មត់ថាជាសូន្យ។

មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ (ប្រសិនបើវាស់ជារ៉ាដ្យង់) អាចយកតម្លៃពីសូន្យទៅ $\dfrac(\pi)(2)$ ។

និយមន័យ

មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​តម្លៃ​ស្មើ​នឹង​មុំ​រវាង​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​ប្រសព្វ​គ្នា​ពីរ​ស្រប​នឹង​បន្ទាត់​ដែល​មិន​ច្បាស់។ មុំរវាងបន្ទាត់ $a$ និង $b$ ត្រូវបានតាងដោយ $\angle (a, b)$ ។

ភាពត្រឹមត្រូវនៃនិយមន័យដែលបានណែនាំកើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទមុំប្លង់ជាមួយភាគីប៉ារ៉ាឡែល

តម្លៃនៃមុំយន្តហោះប៉ោងពីរដែលមានជ្រុងស្របគ្នានិងទិសស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង

ប្រសិនបើមុំត្រង់ នោះពួកវាទាំងពីរស្មើនឹង $\pi$ ។ ប្រសិនបើពួកវាមិនត្រូវបានអភិវឌ្ឍទេ នោះយើងកំណត់ផ្នែកស្មើគ្នា $ON=O_1ON_1$ និង $OM=O_1M_1$ នៅលើជ្រុងដែលត្រូវគ្នានៃមុំ $\angle AOB$ និង $\angle A_1O_1B_1$ ។

បួនជ្រុង $O_1N_1NO$ គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម ព្រោះ​ជ្រុង​ម្ខាង​របស់វា $ON$ និង $O_1N_1$ គឺ​ស្មើគ្នា និង​ស្របគ្នា។ ដូច​គ្នា​នេះ​ដែរ បួនជ្រុង $O_1M_1MO$ ​​​​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។ ដូច្នេះ $NN_1 = OO_1 = MM_1$ និង $NN_1 \ ប៉ារ៉ាឡែល OO_1 \ ប៉ារ៉ាឡែល MM_1$ ដូច្នេះ $NN_1 = MM_1$ និង $NN_1 \ ប៉ារ៉ាឡែល MM_1$ តាមអន្តរកាល។ បួនជ្រុង $N_1M_1MN$ គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម ព្រោះ​ជ្រុង​ទល់​មុខ​របស់​វា​ស្មើ និង​ប៉ារ៉ាឡែល។ ដូច្នេះ ចម្រៀក $NM$ និង $N_1M_1$ ក៏ស្មើគ្នាដែរ។ ត្រីកោណ $ONM$ និង $O_1N_1M_1$ គឺស្មើគ្នាយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសមភាពត្រីកោណទីបី ដូច្នេះមុំដែលត្រូវគ្នា $\angle NOM$ និង $\angle N_1O_1M_1$ ក៏ស្មើគ្នាផងដែរ។

និយមន័យ។ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 នោះមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2 ។ បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែងប្រសិនបើ k 1 = -1/ k 2 ។

ទ្រឹស្តីបទ។បន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C \u003d 0 និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB គឺសមាមាត្រ។ ប្រសិនបើផងដែរ С 1 = λС នោះបន្ទាត់ស្របគ្នា។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ

កាត់កែងទៅបន្ទាត់នេះ។

និយមន័យ។បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y \u003d kx + b ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណុច M (x 0, y 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ax + Vy + C \u003d 0 ត្រូវបានកំណត់ជា

.

ភស្តុតាង។សូម​ឲ្យ​ចំណុច M 1 (x 1, y 1) ជា​គោល​នៃ​ការ​កាត់​កែង​ទម្លាក់​ពី​ចំណុច M ទៅ​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1:

(1)

កូអរដោណេ x 1 និង y 1 អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយ យើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍. កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់៖ y = −3 x + 7; y = 2 x + 1 ។

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=ទំ/៤.

ឧទាហរណ៍. បង្ហាញថាបន្ទាត់ 3x − 5y + 7 = 0 និង 10x + 6y − 3 = 0 កាត់កែង។

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញ៖ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1 ដូច្នេះបន្ទាត់កាត់កែង។

ឧទាហរណ៍. ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកសមីការសម្រាប់កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូល C ។

ដំណោះស្រាយ. យើងរកឃើញសមីការខាង AB៖ ; 4 x = 6 y − 6;

2x − 3y + 3 = 0;

សមីការកម្ពស់ដែលចង់បានគឺ៖ Ax + By + C = 0 ឬ y = kx + b ។ k = . បន្ទាប់មក y = ។ ដោយសារតែ កម្ពស់ឆ្លងកាត់ចំណុច C បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនេះ៖ wherece b = 17. សរុប៖ .

ចម្លើយ៖ 3x + 2y − 34 = 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ មុំរវាងបន្ទាត់ពីរ។ លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ។ កំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

1. សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក(x 1 , y 1) ក្នុងទិសដៅដែលបានកំណត់ដោយជម្រាល k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

សមីការនេះកំណត់ខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ក(x 1 , y 1) ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃធ្នឹម។

2. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរ៖ ក(x 1 , y 1) និង ខ(x 2 , y២) សរសេរដូចនេះ៖

ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

3. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ កនិង ខគឺជាមុំដែលបន្ទាត់ត្រង់ដំបូងត្រូវតែបង្វិល កនៅជុំវិញចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះច្រាសទ្រនិចនាឡិការហូតដល់វាស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ទីពីរ ខ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជម្រាល

y = k 1 x + ខ 1 ,

y = k 2 x + ខ 2 , (4)

បន្ទាប់មកមុំរវាងពួកវាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់ទីមួយត្រូវបានដកចេញពីចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ទីពីរ។

ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ទូទៅ

ក 1 x + ខ 1 y + គ 1 = 0,

ក 2 x + ខ 2 y + គ 2 = 0, (6)

មុំរវាងពួកវាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

4. លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរ៖

ក) ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (4) ជាមួយនឹងជម្រាល នោះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នារបស់ពួកគេគឺសមភាពនៃជម្រាលរបស់ពួកគេ៖

k 1 = k 2 . (8)

ខ) សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅ (6) លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នារបស់ពួកគេគឺថា មេគុណនៅកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងសមីការរបស់ពួកគេគឺសមាមាត្រ i.e.

5. លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ៖

ក) ក្នុងករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (4) ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការកាត់កែងរបស់ពួកគេគឺថាជម្រាលរបស់ពួកគេគឺទៅវិញទៅមកក្នុងរ៉ិចទ័រ និងផ្ទុយគ្នានៅក្នុងសញ្ញា i.e.

លក្ខខណ្ឌនេះក៏អាចសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។

k 1 k 2 = -1. (11)

ខ) ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ទូទៅ (6) នោះលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកាត់កែងរបស់ពួកគេ (ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់) គឺដើម្បីបំពេញសមភាព។

ក 1 ក 2 + ខ 1 ខ 2 = 0. (12)

6. កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ (6) ។ បន្ទាត់ (6) ប្រសព្វ if និង only if

1. សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M ដែលមួយគឺស្របគ្នា ហើយមួយទៀតកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ l ។

ជ្រុង φ សមីការទូទៅ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 និង A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ជ្រុង φ រវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរ សមីការ Canonical(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 និង (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2 ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់

យន្តហោះនិមួយៗនៅក្នុងលំហ អាចត្រូវបានតំណាងថាជាសមីការលីនេអ៊ែរដែលហៅថា សមីការទូទៅយន្តហោះ

ករណីពិសេស.

o ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (8) នោះយន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

o ជាមួយនឹង (,) យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស (អ័ក្សអ័ក្ស) រៀងគ្នា។

o នៅពេលដែល (,) យន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ (យន្តហោះ, យន្តហោះ)។

ដំណោះស្រាយ៖ ប្រើ (7)

ចម្លើយ៖ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍។

យន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ Oxyz ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ . សរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

យើងដឹងថាមេគុណនៃអថេរ x, y, និង z នៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះគឺជាកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនោះ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ មានកូអរដោនេ។ សំណុំនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទាំងអស់អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជា។

សរសេរសមីការនៃយន្តហោះ ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxyz ក្នុងលំហ វាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ , ក គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនេះ។

យើងបង្ហាញដំណោះស្រាយពីរចំពោះបញ្ហានេះ។

ពីលក្ខខណ្ឌដែលយើងមាន។ យើងជំនួសទិន្នន័យទាំងនេះទៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុច៖

សរសេរសមីការទូទៅសម្រាប់យន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ Oyz ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច .

យន្តហោះ​ដែល​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​កូអរដោណេ Oyz អាច​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​សមីការ​មិន​ពេញលេញ​ទូទៅ​នៃ​យន្តហោះ​នៃ​ទម្រង់។ ចាប់តាំងពីចំណុច ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះតាមលក្ខខណ្ឌ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះ ពោលគឺ សមភាពត្រូវតែជាការពិត។ ពីទីនេះយើងរកឃើញ។ ដូច្នេះសមីការដែលចង់បានមានទម្រង់។

ដំណោះស្រាយ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមនិយមន័យ 10.26 គឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ p និង q ។ ដូច្នេះ វា​ជា​រាង​ជ្រុង​ទៅ​នឹង​ប្លង់​ដែល​ចង់​បាន ហើយ​វ៉ិចទ័រ​អាច​ត្រូវ​បាន​យក​ជា​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​របស់​វា។ រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ n៖

នោះគឺ . ដោយប្រើរូបមន្ត (11.1) យើងទទួលបាន

ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងសមីការនេះ យើងមកដល់ចម្លើយចុងក្រោយ។

ចម្លើយ៖ .

ចូរយើងសរសេរវ៉ិចទ័រធម្មតាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ហើយស្វែងរកប្រវែងរបស់វា៖

នេះ​បើ​តាម​ការ​បញ្ជាក់​ខាង​លើ៖

ចម្លើយ:

យន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលមានវ៉ិចទ័រធម្មតាដូចគ្នា។ 1) ពីសមីការយើងរកឃើញវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ: ។

2) យើងចងក្រងសមីការនៃប្លង់តាមចំនុច និងវ៉ិចទ័រធម្មតា៖

ចម្លើយ:

សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះក្នុងលំហ

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃយន្តហោះក្នុងលំហ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ ចូរយើងបង្កើតបញ្ហាដូចខាងក្រោមៈ

សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ម(x 0, y 0, z 0) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ n = ( ក, ខ, គ} .

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(x, y, z) គឺជាចំណុចបំពានក្នុងលំហ។ ចំណុច ទំជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះប្រសិនបើ និងបានតែវ៉ិចទ័រ សមាជិកសភា = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ពីជ្រុងទៅវ៉ិចទ័រ ន = {ក, ខ, គ) (រូបទី 1) ។

ដោយបានសរសេរលក្ខខណ្ឌ orthagonality សម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងនេះ (n, សមាជិកសភា) = 0 ក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល យើងទទួលបាន៖

ក(x − x 0) + ខ(y − y 0) + គ(z − z 0) = 0

សមីការនៃយន្តហោះដោយបីពិន្ទុ

ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ

នៅក្នុងកូអរដោនេ

ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃយន្តហោះនៅក្នុងលំហ

គឺជាសមីការទូទៅនៃយន្តហោះពីរ។ បន្ទាប់មក៖

1) ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកយន្តហោះស្របគ្នា;

2) ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកយន្តហោះគឺស្របគ្នា;

3) ប្រសិនបើ ឬ នោះយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងប្រព័ន្ធសមីការ

(6)

គឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយរូបមន្ត៖ ចម្លើយ:

យើងយកសមីការលទ្ធផលហើយ "បិទ" ផ្លូវចិត្ត ឧទាហរណ៍ បំណែកខាងឆ្វេង៖ . ឥឡូវនេះយើងធ្វើសមតុល្យនេះ។ ទៅលេខណាមួយ។(សូមចាំថាមានសូន្យរួចហើយ) ឧទាហរណ៍ទៅមួយ៖ . ចាប់តាំងពីពេលនោះមក "បំណែក" ពីរផ្សេងទៀតក៏ត្រូវតែស្មើនឹងមួយ។ សំខាន់អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រសម្រាប់បន្ទាត់ខាងក្រោម៖

ដំណោះស្រាយ៖ បន្ទាត់​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​សមីការ Canonical ហើយ​នៅ​ដំណាក់​កាល​ដំបូង​គេ​គួរ​តែ​រក​ឃើញ​ចំណុច​មួយ​ចំនួន​ដែល​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​បន្ទាត់ និង​វ៉ិចទ័រ​ទិស​របស់​វា។

ក) ពីសមីការ ដកចំនុច និងវ៉ិចទ័រទិសដៅចេញ៖ . អ្នកអាចជ្រើសរើសចំណុចផ្សេងទៀត (របៀបធ្វើនេះត្រូវបានពិពណ៌នាខាងលើ) ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការយកចំណុចមួយដែលច្បាស់បំផុត។ ដោយវិធីនេះ ដើម្បីជៀសវាងកំហុស តែងតែជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅក្នុងសមីការ។

ចូរយើងចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ៖

ភាពងាយស្រួលនៃសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺថាដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការស្វែងរកចំណុចផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចដែលកូអរដោណេ និយាយថាត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ដូចនេះ៖ ខ) ពិចារណាសមីការ Canonical . ជម្រើសនៃចំណុចមួយនៅទីនេះគឺសាមញ្ញ, ប៉ុន្តែ insidious: (ប្រយ័ត្នកុំលាយឡើងកូអរដោណេ !!!) ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទាញវ៉ិចទ័រណែនាំ? អ្នកអាចជជែកវែកញែកថាតើបន្ទាត់ត្រង់នេះស្របនឹងអ្វី ឬអ្នកអាចប្រើល្បិចផ្លូវការសាមញ្ញមួយ៖ សមាមាត្រគឺ “y” និង “z” ដូច្នេះយើងសរសេរវ៉ិចទ័រទិសដៅ ហើយដាក់សូន្យក្នុងចន្លោះដែលនៅសល់៖ .

យើងបង្កើតសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

គ) ចូរយើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ នោះគឺ "Z" អាចជាអ្វីក៏បាន។ ហើយប្រសិនបើមាន បន្ទាប់មកអនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍។ ដូច្នេះចំណុចជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ។ ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅ យើងប្រើបច្ចេកទេសផ្លូវការដូចខាងក្រោមៈ នៅក្នុងសមីការដំបូងមាន "x" និង "y" ហើយនៅក្នុងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៅកន្លែងទាំងនេះយើងសរសេរ សូន្យ:. នៅកន្លែងដែលនៅសល់យើងដាក់ ឯកតា:. ជំនួសឱ្យលេខមួយ លេខណាមួយ លើកលែងតែសូន្យនឹងធ្វើ។

យើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់៖

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ពីរ l និង m នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ៖ l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

វ៉ិចទ័រនៃធម្មតាទៅបន្ទាត់ទាំងនេះ: = (A 1, B 1) - ទៅបន្ទាត់ l,

= (A 2 , B 2) ទៅបន្ទាត់ m ។

សូមឱ្យ j ជាមុំរវាងបន្ទាត់ l និង m ។

ចាប់តាំងពីមុំដែលមានជ្រុងកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្មើគ្នា ឬបូករហូតដល់ទំ ពោលគឺ cos j = .

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ទ្រឹស្ដី​ដូច​ខាង​ក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។សូម j ជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរក្នុងប្លង់ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ដោយសមីការទូទៅ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 និង A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. បន្ទាប់មក cos j = .

លំហាត់។

1) ទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសិនបើ៖

(1) បន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ; (2) បន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ Canonical; (3) បន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ parametrically, បន្ទាត់ត្រង់ផ្សេងទៀត - ដោយសមីការទូទៅ; (4) បន្ទាត់ទាំងពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជម្រាល។

2) សូម j ជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅក្នុងប្លង់ ហើយអោយបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ដោយសមីការ y = k 1 x + b 1 និង y = k 2 x + b 2 ។

បន្ទាប់មក tan j = ។

3) ស្វែងរកទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ហើយបំពេញតារាង៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ក្នុងយន្តហោះ។

សូមឱ្យបន្ទាត់ l នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ Ax + By + C = 0. រកចម្ងាយពីចំនុច M(x 0, y 0) ទៅបន្ទាត់ l ។

ចម្ងាយពីចំណុច M ទៅបន្ទាត់ l គឺជាប្រវែងកាត់កែង HM (H н l, HM ^ l) ។

វ៉ិចទ័រ​និង​វ៉ិចទ័រ​ធម្មតា​ទៅ​បន្ទាត់ l គឺ​ជាប់​គ្នា ដូច្នេះ​ថា | | = | | | | និង | | = .

សូម​ឲ្យ​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច H ជា (x,y)។

ចាប់តាំងពីចំនុច H ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ l បន្ទាប់មក Ax + By + C = 0 (*) ។

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនិង: = (x 0 − x, y 0 - y), = (A, B) ។

| | = = =

(C = -Ax - ដោយ សូមមើល (*))

ទ្រឹស្តីបទ។សូមឱ្យបន្ទាត់ l ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ដោយសមីការទូទៅ Ax + By + C = 0 ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយពីចំណុច M(x 0, y 0) ទៅបន្ទាត់នេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ r (M; លីត្រ) = .

លំហាត់។

1) ទាញយករូបមន្តសម្រាប់គណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ ប្រសិនបើ៖ (1) បន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ (2) បន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ Canonical; (3) បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការជម្រាល។

2) សរសេរសមីការនៃតង់សង់រង្វង់ទៅបន្ទាត់ 3x - y = 0 ចំកណ្តាលនៅ Q(-2,4) ។

3) សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់បែងចែកមុំដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ 2x + y - 1 = 0 និង x + y + 1 = 0 នៅពាក់កណ្តាល។

§ 27. និយមន័យវិភាគនៃយន្តហោះក្នុងលំហ

និយមន័យ. វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះយើងនឹងហៅវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ ដែលតំណាងណាមួយដែលកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

មតិយោបល់។វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់តំណាងមួយនៃវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ នោះអ្នកតំណាងផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។

អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ a ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, = (A, B, C) – វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះនេះ ចំនុច M (x 0, y 0, z 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ a ។

សម្រាប់ចំណុចណាមួយ N(x, y, z) នៃយន្តហោះ a វ៉ិចទ័រ និងជារាងពងក្រពើ នោះគឺជាផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យ៖ = 0 ។ ចូរសរសេរសមភាពចុងក្រោយក្នុងកូអរដោនេ៖ A(x − x 0 ) + B(y − y 0) + C(z − z0) = 0 ។

ឲ្យ -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D បន្ទាប់មក Ax + By + Cz + D = 0 ។

យកចំណុច K (x, y) ដូចថា Ax + By + Cz + D \u003d 0. ចាប់តាំងពី D \u003d -Ax 0 - ដោយ 0 - Cz 0 បន្ទាប់មក A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 ។ចាប់តាំងពីកូអរដោនេនៃផ្នែកដឹកនាំ = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) សមភាពចុងក្រោយមានន័យថា ^ , ហើយដូច្នេះ K н a ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ទ្រឹស្ដី​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ទ្រឹស្តីបទ។យន្តហោះណាមួយនៅក្នុងលំហនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian អាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃទម្រង់ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ដែល (A, B, C) គឺជា កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះ។

ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ។សមីការណាមួយនៃទម្រង់ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian កំណត់ប្លង់ជាក់លាក់មួយ ខណៈដែល (A, B, C) គឺជាកូអរដោនេនៃធម្មតា វ៉ិចទ័រទៅនឹងយន្តហោះនេះ។

ភស្តុតាង។

យកចំនុចមួយ M (x 0 , y 0 , z 0) ដូចជា Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 និង vector = (A, B, C) ( ≠ q) ។

យន្តហោះមួយ (និងតែមួយ) ឆ្លងកាត់ចំណុច M ដែលកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទមុន យន្តហោះនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Ax + By + Cz + D = 0 ។

និយមន័យ។សមីការនៃទម្រង់ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ.

ឧទាហរណ៍។

ចូរសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M (0.2.4), N (1,-1.0) និង K (-1.0.5) ។

1. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ (MNK) ។ ដោយសារផលិតផលវ៉ិចទ័រ ´ មានរាងមូលទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាជួរ ហើយវ៉ិចទ័រគឺជាប់នឹង ´ ។

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-១១, ៣, −៥) ។

ដូច្នេះ ជាវ៉ិចទ័រធម្មតា ចូរយកវ៉ិចទ័រ = (-11, 3, −5) ។

2. ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីបទទីមួយ៖

សមីការនៃយន្តហោះនេះ A(x − x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 ដែល (A, B, C) គឺជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា, (x 0 , y 0 , z 0) - កូអរដោនេនៃចំណុចមួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ (ឧទាហរណ៍ ចំណុច M) ។

11(x − 0) + 3(y − 2) - 5(z − 4) = 0

11x + 3y − 5z + 14 = 0

ចម្លើយ៖ −11x + 3y − 5z + 14 = 0 ។

លំហាត់។

1) សរសេរសមីការនៃយន្តហោះប្រសិនបើ

(1) យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M (-2,3,0) ស្របទៅនឹងយន្តហោះ 3x + y + z = 0;

(2) យន្តហោះមានអ័ក្ស (Ox) ហើយកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ x + 2y – 5z + 7 = 0 ។

2) សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

§ 28. ការវិភាគជាក់លាក់នៃចន្លោះពាក់កណ្តាល*

មតិយោបល់*. សូមឱ្យយន្តហោះខ្លះត្រូវបានជួសជុល។ នៅក្រោម ចន្លោះពាក់កណ្តាលយើងនឹងយល់ពីសំណុំនៃចំនុចដែលស្ថិតនៅម្ខាងនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺ ចំនុចពីរស្ថិតនៅចន្លោះពាក់កណ្តាលដូចគ្នា ប្រសិនបើផ្នែកដែលភ្ជាប់ពួកវាមិនប្រសព្វគ្នាទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ យន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា ព្រំដែននៃចន្លោះពាក់កណ្តាលនេះ។. សហជីពនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងចន្លោះពាក់កណ្តាលនឹងត្រូវបានហៅ បិទចន្លោះពាក់កណ្តាល.

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ត្រូវបានជួសជុលនៅក្នុងលំហ។

ទ្រឹស្តីបទ។អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ a ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ Ax + By + Cz + D = 0 ។ បន្ទាប់មក លំហមួយក្នុងចំណោមចន្លោះពាក់កណ្តាលទាំងពីរដែលយន្តហោះ a បែងចែកលំហត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព Ax + By + Cz + D > 0 ហើយចន្លោះពាក់កណ្តាលទីពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព Ax + By + Cz + D< 0.

ភស្តុតាង។

ចូរយើងគូរវ៉ិចទ័រធម្មតា = (A, B, С) ទៅប្លង់ a ពីចំនុច M (x 0 , y 0 , z 0) ដែលដេកលើយន្តហោះនេះ៖ = , M н a, MN^a ។ យន្តហោះបែងចែកលំហជាពីរចន្លោះ៖ ខ ១ និង ខ ២ ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុច N ជារបស់មួយក្នុងចំណោមចន្លោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។ ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងសន្មត់ថា N н b 1 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាពាក់កណ្តាលលំហ b 1 ត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាព Ax + By + Cz + D > 0 ។

1) យកចំនុច K(x,y,z) ក្នុងចន្លោះពាក់កណ្តាល b 1 ។ មុំ Ð NMK គឺជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងស្រួច ដូច្នេះផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺវិជ្ជមាន៖ > 0។ ចូរសរសេរវិសមភាពនេះក្នុងកូអរដោនេ៖ A(x − x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, i.e. Ax + By + Cy - Ax 0 - ដោយ 0 - C z 0 > 0 ។

ចាប់តាំងពី M н b 1 បន្ទាប់មក Ax 0 + ដោយ 0 + C z 0 + D = 0 ដូច្នេះ -Ax 0 - ដោយ 0 - C z 0 = D ។ ដូច្នេះ វិសមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ Ax + By + Cz + D > 0 ។

2) យកចំនុច L(x,y) នោះ Ax + By + Cz + D > 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរវិសមភាពឡើងវិញដោយជំនួស D ដោយ (-Ax 0 - ដោយ 0 - C z 0) (ចាប់តាំងពី M н b 1 បន្ទាប់មក Ax 0 + ដោយ 0 + C z 0 + D = 0): A (x - x 0) ។ ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0 ។

វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ (x - x 0, y - y 0 , z - z 0) គឺជាវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះកន្សោម A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) អាចយល់បានថាជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និង . ដោយសារផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និងវិជ្ជមាន មុំរវាងពួកវាគឺស្រួច និងចំណុច L н b 1 ។

ដូចគ្នានេះដែរ គេអាចបញ្ជាក់បានថា ចន្លោះពាក់កណ្តាល b 2 ត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព Ax + By + Cz + D< 0.

សុន្ទរកថា។

1) វាច្បាស់ណាស់ថាភស្តុតាងខាងលើមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច M ក្នុងយន្តហោះ a ។

2) វាច្បាស់ណាស់ថាចន្លោះពាក់កណ្តាលដូចគ្នាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាពផ្សេងៗគ្នា។

ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ។វិសមភាពលីនេអ៊ែរណាមួយនៃទម្រង់ Ax + By + Cz + D > 0 (ឬ Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

ភស្តុតាង។

សមីការ Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ក្នុងលំហ កំណត់ប្លង់ខ្លះ a (សូមមើល§...)។ ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទមុន ចន្លោះមួយក្នុងចំនោមចន្លោះពាក់កណ្តាលពីរដែលយន្តហោះបែងចែកលំហគឺត្រូវបានផ្តល់ដោយវិសមភាព Ax Ax + By + Cz + D > 0 ។

សុន្ទរកថា។

1) វាច្បាស់ណាស់ថាលំហពាក់កណ្តាលបិទអាចត្រូវបានកំណត់ដោយវិសមភាពលីនេអ៊ែរមិនតឹងរឹង ហើយវិសមភាពលីនេអ៊ែរមិនតឹងរឹងណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian កំណត់ចន្លោះពាក់កណ្តាលបិទជិត។

2) ពហុកោណប៉ោងណាមួយអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាចំនុចប្រសព្វនៃចន្លោះពាក់កណ្តាលបិទជិត (ព្រំប្រទល់ដែលជាយន្តហោះដែលមានមុខនៃពហុហេដុន) នោះគឺជាការវិភាគដោយប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងលីនេអ៊ែរ។

លំហាត់។

1) បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទទាំងពីរដែលបានបង្ហាញសម្រាប់ប្រព័ន្ធសម្របសម្រួល affine បំពាន។

2) តើវាក្យសព្ទពិតទេ ដែលប្រព័ន្ធណាមួយនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរមិនតឹងរឹងកំណត់ពហុកោណប៉ោង?

លំហាត់មួយ។

1) រុករកទីតាំងដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ហើយបំពេញតារាង។

សម្ភារៈនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់គំនិតដូចជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។ ក្នុង​កថាខណ្ឌ​ទីមួយ យើង​នឹង​ពន្យល់​ថា​វា​ជា​អ្វី ហើយ​បង្ហាញ​វា​ជា​ឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មកយើងនឹងវិភាគពីរបៀបដែលអ្នកអាចរកឃើញស៊ីនុស កូស៊ីនុសនៃមុំនេះ និងមុំដោយខ្លួនឯង (យើងនឹងពិចារណាករណីដោយឡែកពីគ្នាជាមួយយន្តហោះ និងលំហបីវិមាត្រ) យើងនឹងផ្តល់រូបមន្តចាំបាច់ និងបង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលពួកវាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងពិតប្រាកដ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត។

ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលមុំដែលបង្កើតនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរគឺ យើងត្រូវរំលឹកនិយមន័យនៃមុំ កាត់កែង និងចំនុចប្រសព្វមួយ។

និយមន័យ ១

យើងហៅបន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា ប្រសិនបើពួកគេមានចំណុចរួមមួយ។ ចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងពីរ។

បន្ទាត់នីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយចំនុចប្រសព្វទៅជាកាំរស្មី។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ទាំងពីរបង្កើតជាមុំ 4 ដែលពីរគឺបញ្ឈរ និងពីរនៅជាប់គ្នា។ បើ​យើង​ដឹង​ពី​រង្វាស់​នៃ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួក​គេ​នោះ យើង​អាច​កំណត់​មួយ​ទៀត​ដែល​នៅ​សល់។

ចូរនិយាយថាយើងដឹងថាមុំមួយស្មើនឹងα។ ក្នុងករណីបែបនេះមុំដែលបញ្ឈរទៅវាក៏នឹងស្មើនឹងα។ ដើម្បីរកមុំដែលនៅសល់យើងត្រូវគណនាភាពខុសគ្នា 180 ° - α . ប្រសិនបើ α ស្មើ 90 ដឺក្រេ នោះមុំទាំងអស់នឹងត្រឹមត្រូវ។ បន្ទាត់ដែលប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង (អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់គំនិតនៃការកាត់កែង)។

សូមទស្សនារូបភាព៖

ចូរយើងបន្តទៅការបង្កើតនិយមន័យចម្បង។

និយមន័យ ២

មុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាជារង្វាស់នៃមុំតូចជាង 4 ដែលបង្កើតជាបន្ទាត់ទាំងពីរនេះ។

ការសន្និដ្ឋានសំខាន់ត្រូវតែដកចេញពីនិយមន័យ៖ ទំហំនៃមុំក្នុងករណីនេះនឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយចំនួនពិតណាមួយក្នុងចន្លោះពេល (0, 90]។ ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែង នោះមុំរវាងពួកវានឹងនៅក្នុងករណីណាក៏ដោយ។ ស្មើនឹង 90 ដឺក្រេ។

សមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរករង្វាស់មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរគឺមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើន។ វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីជម្រើសជាច្រើន។

សម្រាប់ការចាប់ផ្តើមយើងអាចយកវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រ។ ប្រសិនបើយើងដឹងអ្វីមួយអំពីមុំបន្ថែមនោះ យើងអាចភ្ជាប់ពួកវាទៅនឹងមុំដែលយើងត្រូវការដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរាងស្មើគ្នា ឬស្រដៀងគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងដឹងពីជ្រុងនៃត្រីកោណ ហើយយើងត្រូវគណនាមុំរវាងបន្ទាត់ដែលជ្រុងទាំងនេះស្ថិតនៅ នោះទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសគឺសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយ។ ប្រសិនបើយើងមានត្រីកោណកែងក្នុងលក្ខខណ្ឌ នោះសម្រាប់ការគណនា យើងក៏ត្រូវដឹងពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំផងដែរ។

វិធីសាស្រ្តសំរបសំរួលក៏មានភាពងាយស្រួលសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ។ ចូរយើងពន្យល់ពីរបៀបប្រើវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

យើងមានប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណកែង O x y ដែលមានបន្ទាត់ត្រង់ពីរ។ ចូរយើងសម្គាល់ពួកវាដោយអក្សរ ក និង ខ។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើសមីការណាមួយ។ បន្ទាត់ដើមមានចំនុចប្រសព្វ M ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់មុំដែលចង់បាន (សូមបញ្ជាក់វា α) រវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ?

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការបង្កើតគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃការស្វែងរកមុំក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងដឹងថាគោលគំនិតដូចជាការដឹកនាំ និងវ៉ិចទ័រធម្មតាគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគំនិតនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ប្រសិនបើយើងមានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ខ្លះ យើងអាចយកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះពីវា។ យើង​អាច​ធ្វើ​ដូច្នេះ​សម្រាប់​បន្ទាត់​ប្រសព្វ​ពីរ​ក្នុង​ពេល​តែ​មួយ។

មុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ប្រសព្វពីរអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើ៖

• មុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅ;
• មុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា;
• មុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់មួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃផ្សេងទៀត។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា។

ឧបមាថាយើងមានបន្ទាត់ a ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (a x , a y) និងបន្ទាត់ b ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ b → ( b x , b y ) ។ ឥឡូវ​យើង​កំណត់​វ៉ិចទ័រ​ពីរ a → និង b → ពី​ចំណុច​ប្រសព្វ។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងឃើញថា ពួកវានីមួយៗនឹងស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកយើងមានជម្រើសបួនសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេ។ សូមមើលរូបភាព៖

ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរមិនមានរាងមូល នោះវានឹងជាមុំដែលយើងត្រូវការរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។ ប្រសិនបើវាជាមុំស្រួច នោះមុំដែលចង់បាននឹងស្មើនឹងមុំដែលនៅជាប់នឹងមុំ a → , b → ^ ។ ដូច្នេះ α = a → , b → ^ ប្រសិនបើ a → , b → ^ ≤ 90 ° , និង α = 180 ° - a → , b → ^ ប្រសិនបើ a → , b → ^ > 90 °។

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាកូស៊ីនុសនៃមុំស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នាយើងអាចសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលដូចខាងក្រោម: cos α = cos a → , b → ^ ប្រសិនបើ a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ប្រសិនបើ a → , b → ^ > 90 ° ។

ក្នុងករណីទី 2 រូបមន្តកាត់បន្ថយត្រូវបានប្រើ។ ដោយវិធីនេះ

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

ចូរយើងសរសេររូបមន្តចុងក្រោយជាពាក្យ៖

និយមន័យ ៣

កូស៊ីនុសនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ប្រសព្វពីរនឹងស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា។

ទម្រង់ទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរ a → = (a x, a y) និង b → = (b x, b y) មើលទៅដូចនេះ៖

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ពីវាយើងអាចទាញយករូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

បន្ទាប់មកមុំខ្លួនឯងអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

នៅទីនេះ a → = (a x , a y) និង b → = (b x , b y) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ ១

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ បន្ទាត់ប្រសព្វពីរ a និង b ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ ពួកវាអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R និង x 5 = y - 6 - 3 ។ គណនាមុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយ

យើងមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ ដែលមានន័យថាសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់នេះ យើងអាចសរសេរភ្លាមៗនូវកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវយកតម្លៃនៃមេគុណនៅប៉ារ៉ាម៉ែត្រ i.e. បន្ទាត់ x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R នឹងមានវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (4 , 1) ។

បន្ទាត់ត្រង់ទីពីរត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើសមីការ Canonical x 5 = y - 6 - 3 ។ នៅទីនេះយើងអាចយកកូអរដោនេពីភាគបែង។ ដូច្នេះបន្ទាត់នេះមានវ៉ិចទ័រទិសដៅ b → = (5 , − 3) ។

បន្ទាប់យើងបន្តដោយផ្ទាល់ទៅការស្វែងរកមុំ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគ្រាន់តែជំនួសកូអរដោនេដែលមាននៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរទៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 ។ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោមៈ

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

ចម្លើយ៖ បន្ទាត់ទាំងនេះបង្កើតជាមុំ 45 ដឺក្រេ។

យើងអាចដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នាដោយស្វែងរកមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ប្រសិនបើយើងមានបន្ទាត់ a ជាមួយវ៉ិចទ័រធម្មតា n a → = (n a x , n a y) និងបន្ទាត់ b ជាមួយវ៉ិចទ័រធម្មតា n b → = (n b x , n b y) នោះមុំរវាងពួកវានឹងស្មើនឹងមុំរវាង n a → និង n b → ឬមុំដែលនឹងនៅជាប់នឹង n a → , n b → ^ ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព៖

រូបមន្តសម្រាប់គណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ និងមុំនេះដោយខ្លួនវាដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាមើលទៅដូចនេះ៖

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

នៅទីនេះ n a → និង n b → បង្ហាញពីវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ។

ឧទាហរណ៍ ២

បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ដោយ​ប្រើ​សមីការ 3 x + 5 y - 30 = 0 និង x + 4 y - 17 = 0 ។ ស្វែងរកស៊ីនុស កូស៊ីនុស នៃមុំរវាងពួកវា និងទំហំនៃមុំនោះ។

ដំណោះស្រាយ

បន្ទាត់ត្រង់ដើមត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើសមីការបន្ទាត់ត្រង់ធម្មតានៃទម្រង់ A x + B y + C = 0 ។ សម្គាល់វ៉ិចទ័រធម្មតា n → = (A , B) ។ ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាដំបូងសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយសរសេរវាចុះ៖ n a → = (3 , 5) ។ សម្រាប់ជួរទីពីរ x + 4 y - 17 = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតានឹងមានកូអរដោនេ n b → = (1 , 4) ។ ឥឡូវបន្ថែមតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនាចំនួនសរុប៖

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ប្រសិនបើយើងដឹងពីកូស៊ីនុសនៃមុំមួយ នោះយើងអាចគណនាស៊ីនុសរបស់វាដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន។ ដោយសារមុំ α បង្កើតដោយបន្ទាត់ត្រង់មិនមានរាងមូល នោះបាប α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34 ។

ក្នុងករណីនេះ α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 ។

ចម្លើយ៖ cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

ចូរយើងវិភាគករណីចុងក្រោយ - ការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ ប្រសិនបើយើងដឹងពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់មួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃផ្សេងទៀត។

សន្មត់ថាបន្ទាត់ a មានវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (a x , a y) ហើយបន្ទាត់ b មានវ៉ិចទ័រធម្មតា n b → = (n b x , n b y) ។ យើងត្រូវពន្យារពេលវ៉ិចទ័រទាំងនេះពីចំណុចប្រសព្វ ហើយពិចារណាជម្រើសទាំងអស់សម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេ។ មើលរូបភាព៖

ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនលើសពី 90 ដឺក្រេ វាប្រែថាវានឹងបំពេញមុំរវាង a និង b ទៅមុំខាងស្តាំ។

a → , n b → ^ = 90 ° - α ប្រសិនបើ a → , n b → ^ ≤ 90 ° ។

ប្រសិនបើវាតិចជាង 90 ដឺក្រេនោះយើងទទួលបានដូចខាងក្រោម:

a → , n b → ^ > 90 ° , បន្ទាប់មក a → , n b → ^ = 90 ° + α

ដោយប្រើក្បួនសមភាពនៃកូស៊ីនុសនៃមុំស្មើគ្នា យើងសរសេរ៖

cos a → , n b → ^ = cos (90° - α) = sin α សម្រាប់ a → , n b → ^ ≤ 90° ។

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α នៅ a → , n b → ^ > 90 ° ។

ដោយវិធីនេះ

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ចូរយើងបង្កើតសេចក្តីសន្និដ្ឋានមួយ។

និយមន័យ ៤

ដើម្បីស្វែងរកស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ពីរដែលប្រសព្វគ្នាក្នុងយន្តហោះ អ្នកត្រូវគណនាម៉ូឌុលនៃកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទីមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃទីពីរ។

ចូរយើងសរសេររូបមន្តចាំបាច់។ ស្វែងរកស៊ីនុសនៃមុំ៖

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

ស្វែងរកជ្រុងដោយខ្លួនឯង៖

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

នៅទីនេះ a → គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ទីមួយ ហើយ n b → គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ៣

បន្ទាត់ប្រសព្វពីរត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ x − 5 = y − 6 3 និង x + 4 y − 17 = 0 ។ រកមុំប្រសព្វ។

ដំណោះស្រាយ

យើងយកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនិងធម្មតាពីសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វាប្រែចេញ a → = (- 5 , 3) ​​និង n → b = (1 , 4) ។ យើងយករូបមន្ត α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ហើយពិចារណា៖

α = a r c sin = − 5 1 + 3 4 ( − 5 ) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

ចំណាំថាយើងបានយកសមីការពីបញ្ហាមុន ហើយទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប៉ុន្តែតាមរបៀបផ្សេង។

ចម្លើយ៖α = a r c sin 7 2 34

នេះគឺជាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកមុំដែលចង់បានដោយប្រើមេគុណជម្រាលនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងមានបន្ទាត់ a ដែលត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដោយប្រើសមីការ y = k 1 · x + b 1 និងបន្ទាត់ b កំណត់ថា y = k 2 · x + b 2 ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ដែលមានជម្រាលមួយ។ ដើម្បីរកមុំប្រសព្វ ប្រើរូបមន្ត៖

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ដែល k 1 និង k 2 គឺជាចំណោតនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីទទួលបានកំណត់ត្រានេះ រូបមន្តសម្រាប់កំណត់មុំតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ឧទាហរណ៍ 4

មាន​បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ​ប្រសព្វ​គ្នា​ក្នុង​ប្លង់​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​សមីការ y = − 3 5 x + 6 និង y = − 1 4 x + 17 4 ។ គណនាមុំប្រសព្វ។

ដំណោះស្រាយ

ចំណោតនៃបន្ទាត់របស់យើងគឺស្មើនឹង k 1 = − 3 5 និង k 2 = − 1 4 ។ ចូរយើងបន្ថែមពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ហើយគណនា៖

α = a r c cos − 3 5 − 1 4 + 1 − 3 5 2 + 1 − 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

ចម្លើយ៖α = a r c cos 23 2 34

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថារូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះមិនចាំបាច់រៀនដោយបេះដូងទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីកូអរដោនេនៃមគ្គុទ្ទេសក៍និង / ឬវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយអាចកំណត់ពួកវាដោយប្រើប្រភេទផ្សេងគ្នានៃសមីការ។ ប៉ុន្តែរូបមន្តសម្រាប់គណនាកូស៊ីនុសនៃមុំគឺល្អជាងក្នុងការចងចាំ ឬសរសេរចុះ។

របៀបគណនាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាក្នុងលំហ

ការគណនានៃមុំបែបនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅនិងការកំណត់នៃទំហំនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍បែបនេះ យើងប្រើហេតុផលដូចគ្នាដែលយើងបានផ្តល់ពីមុន។

ឧបមាថាយើងមានប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណដែលមានទីតាំងនៅក្នុងលំហ 3D ។ វាមានពីរបន្ទាត់ a និង b ជាមួយចំនុចប្រសព្វ M ។ ដើម្បីគណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ យើងត្រូវដឹងពីសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។ សម្គាល់វ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (a x , a y , a z) និង b → = ( ​​b x , b y , b z ) ។ ដើម្បីគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា យើងប្រើរូបមន្ត៖

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ដើម្បីស្វែងរកមុំដោយខ្លួនឯង យើងត្រូវការរូបមន្តនេះ៖

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ឧទាហរណ៍ ៥

យើង​មាន​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​បាន​កំណត់​ក្នុង​លំហ 3D ដោយ​ប្រើ​សមីការ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាវាប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស O z ។ គណនាមុំប្រសព្វ និងកូស៊ីនុសនៃមុំនោះ។

ដំណោះស្រាយ

ចូរសម្គាល់មុំដែលត្រូវគណនាដោយអក្សរ α ។ ចូរសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ទីមួយ - a → = (1 , - 3 , - 2) ។ សម្រាប់អ័ក្សអនុវត្ត យើងអាចយកវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ k → = (0 , 0 , 1) ជាការណែនាំ។ យើងបានទទួលទិន្នន័យចាំបាច់ ហើយអាចបន្ថែមវាទៅក្នុងរូបមន្តដែលចង់បាន៖

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 − 3 0 − 2 1 1 2 + ( − 3 ) 2 + ( − 2 ) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានថាមុំដែលយើងត្រូវការនឹងស្មើនឹង a r c cos 1 2 = 45 °។

ចម្លើយ៖ cos α = 1 2 , α = 45 °។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter