សូមឲ្យលេខដែលបានប្តូរលេខមួយចំនួន x 1 , x 2 ,... , x n ,... . លំដាប់នេះអាចសរសេរជាមុខងារនៃលេខ n: x n =f(n), ឬ x 1 = f(1), x 2 = f(2),..., x n = f(n), .. ..
លំដាប់ណាមួយនឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ប្រសិនបើច្បាប់សម្រាប់ការបង្កើតសមាជិករបស់ខ្លួនត្រូវបានបញ្ជាក់។ លំដាប់ជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តដូចជា x n = f(n) ឬ x n =f(x n-1), x n =f(x n-1, x n-2) ។ល។
ឧទាហរណ៍.វគ្គ ២, ៤, ៨, ១៦, ... ផ្តល់ដោយរូបមន្ត x n = 2 n ; វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ a 1 , a 2 , ... , a n , ... អាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត a n = a 1 q n-1 ឬ a n = a n-1 q ; លេខ Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត x n = x n-1 +x n-2 , n=3, 4, ... ., x 1 = 1 , x 2 = 1 ។
ក្រាហ្វលំដាប់លេខ(x n) ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសំណុំនៃចំណុច M n (n; f (n)) នៅលើយន្តហោះ nOx ពោលគឺឧ។ តារាងលំដាប់លេខរួមមានចំណុចដាច់។
លំដាប់ (x n ) ត្រូវបានគេហៅថាកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ត្រូវបានពេញចិត្ត។
លំដាប់ (x n) ត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ត្រូវបានពេញចិត្ត។
លំដាប់ (x n) ត្រូវបានគេហៅថាមិនកើនឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ត្រូវបានពេញចិត្ត។
លំដាប់ (x n) ត្រូវបានគេហៅថាមិនថយចុះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ .
លំដាប់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា monotonic ។ លំដាប់ដែលនៅសល់មិនមានលក្ខណៈ monotonic ទេ។
បន្ទាប់ត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់គ្មានទីបញ្ចប់វត្ថុណាមួយនៃធម្មជាតិដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍.ស៊េរីលេខ - ស៊េរីលេខ។ មុខងារមួយចំនួន - ជួរមុខងារ.
លំដាប់នៃធាតុនៃស៊េរីគឺសំខាន់។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់ យើងទទួលបានជួរផ្សេងទៀតពីធាតុដូចគ្នា។
យើងចាប់អារម្មណ៍នៅទីនេះចំពោះស៊េរីលេខ និងផលបូករបស់វា ដែលនៅតែត្រូវបានសរសេរជាផ្លូវការ (មិនមានលក្ខណៈស្ថាបនា មិនផ្លូវការ) នោះគឺជាផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់លេខមិនកំណត់មួយចំនួន u 1 ,u 2 ,...,u n , ... .. , ឬ u 1 + u 2 + ... + u n + .. .. ស៊េរីនេះអាចត្រូវបានសរសេរបង្រួមដូចជា
សញ្ញា - សញ្ញា "sigma" ឬសញ្ញានៃផលបូក ការបូកសរុបតាមលំដាប់នៃធាតុទាំងអស់ u n ពីដែនកំណត់ទាប n=1 (ចង្អុលបង្ហាញនៅខាងក្រោម អាចជាដែនកំណត់ ឬអវិជ្ជមាន) ដល់ដែនកំណត់ខាងលើ (ចង្អុលបង្ហាញនៅខាងលើ។ អាចជាលេខណាមួយ ធំជាង ឬស្មើនឹងដែនកំណត់ទាប ក៏ដូចជាភាពវិជ្ជមានគ្មានដែនកំណត់)។
លេខ u n (n=1, 2, ... ) ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃស៊េរី ហើយ u n គឺជាសមាជិកទូទៅនៃស៊េរី។
ឧទាហរណ៍.នៅក្នុងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលា ធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់គឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +... .. , |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
ឧទាហរណ៍. ស៊េរីអាម៉ូនិកនៃលេខ- ស៊េរីនៃទម្រង់: . ខាងក្រោមនេះយើងនឹងពិចារណាវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។
ស៊េរីលេខនឹងត្រូវបានពិចារណា ពោលគឺធាតុនីមួយៗរបស់វានឹងត្រូវបានកំណត់ដាច់ដោយឡែក ប្រសិនបើច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកសមាជិកទូទៅរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬខ្លះ មុខងារលេខអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ 
ឬ u n = f(n) ។
ឧទាហរណ៍.ប្រសិនបើ នោះស៊េរីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឬក្នុងន័យបង្រួម៖
ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ ស៊េរីអាម៉ូនិកនៃលេខបន្ទាប់មកពាក្យទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា ហើយស៊េរីខ្លួនវាអាចត្រូវបានសរសេរជា
ចូរយើងផ្តល់និយមន័យនៃផលបូកកំណត់នៃស៊េរី និងលំដាប់នៃផលបូកកំណត់បែបនេះ។
ផលបូកចុងក្រោយនៃ n លក្ខខណ្ឌដំបូងនៃស៊េរីត្រូវបានគេហៅថាផលបូកផ្នែក n-th របស់វា ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ S n :
ផលបូកនេះត្រូវបានរកឃើញដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាសម្រាប់ការបូកលេខ។ មានផលបូកបែបនេះច្រើនមិនចេះចប់ ពោលគឺសម្រាប់ស៊េរីនីមួយៗ មួយអាចពិចារណាស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយផលបូកមួយផ្នែក៖ S 1 , S 2 , ... , S n , ... ។ ឬលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែកដែលបានសាងសង់សម្រាប់ស៊េរីនេះ៖ .
លំដាប់ត្រូវបានចងពីខាងលើ ប្រសិនបើមានលេខធម្មតា M សម្រាប់សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ ដែលមិនត្រូវលើសពីសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់នោះ ពោលគឺប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖
លំដាប់នៃលេខត្រូវបានចងពីខាងក្រោមប្រសិនបើមានលេខធម្មតា m សម្រាប់សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលលើសពីសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ នោះគឺប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖
លំដាប់នៃលេខត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើមានលេខ m និង M ដែលជារឿងធម្មតាសម្រាប់សមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ ហើយបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖
លេខ a ត្រូវបានហៅ ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ(x n ) ប្រសិនបើមានចំនួនតិចតួចដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ លើកលែងតែចំនួនកំណត់មួយចំនួននៃសមាជិកទីមួយ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់នៃលេខ a ពោលគឺនៅទីបញ្ចប់ ពួកគេបង្រួមជុំវិញ ចំណុច ក. ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់ x i , i = N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. ត្រូវតែធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល។ លំដាប់។ ក្នុងករណីនេះលេខ N 0 អាស្រ័យលើលេខដែលបានជ្រើសរើស នោះគឺ 
(រូបភាព 7.1) ។
អង្ករ។ ៧.១.
តាមគណិតវិទ្យា អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់អាចត្រូវបានសរសេរជា៖
ការពិតនេះត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លីថា 
ឬ ហើយនិយាយថាវាទៅជាលេខ a . បើលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ទេ នោះគេហៅថា ឌីវើហ្សិន។
វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃដែនកំណត់៖ ប្រសិនបើយើងបោះបង់ បន្ថែម ឬផ្លាស់ប្តូរចំនួនកំណត់នៃសមាជិកនៃលំដាប់ នោះការបញ្ចូលគ្នាមិនត្រូវបានបំពានទេ (ពោលគឺប្រសិនបើលំដាប់ដើមបញ្ចូលគ្នា នោះលំដាប់ដែលបានកែប្រែនឹងបញ្ចូលគ្នា) និង ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដើម និងលទ្ធផលនឹងស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍.សន្មត់ថា 
, កន្លែងណា , , , 
. ការពិតនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួល ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ យើងយកវាជាការពិតដែលបង្ហាញឱ្យឃើញ។ បន្ទាប់មក ,: 
. ស្វែងរកតម្លៃនៃលេខ (ប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ)។ ពិចារណា 
. ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមគឺពិត៖
ដូច្នេះប្រសិនបើយើងយកលេខ 
បន្ទាប់មកវិសមភាពនឹងពេញចិត្ត។ ឧទាហរណ៍ជាមួយតម្លៃ យើងទទួលបានលេខ N 0 = 99 នោះគឺ |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
ឥឡូវនេះយើងផ្តល់និយមន័យសមមូលចំនួនពីរនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍៖ ការប្រើប្រាស់ដែនកំណត់នៃលំដាប់ និងការប្រើប្រាស់ការឆ្លើយឆ្លងនៃសង្កាត់តូចៗនៃអាគុយម៉ង់ និងតម្លៃនៃអនុគមន៍។ សុពលភាពនៃនិយមន័យមួយបង្កប់ន័យសុពលភាពនៃនិយមន័យមួយទៀត។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y = f (x) ត្រូវបានកំណត់ 
លើកលែងតែចំណុច x=x 0 ដែលជាចំណុចកំណត់នៃ D(f) ។ នៅចំណុចនេះ មុខងារអាចមិនត្រូវបានកំណត់ (មិនបានកំណត់) ឬអាចមានការសម្រាក។
ប្រសិនបើលំដាប់បង្រួបបង្រួមទៅសូន្យ៖
បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់គ្មានកំណត់។ វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរថាពាក្យធម្មតារបស់វាគឺនៅបរិមាណគ្មានកំណត់។ លំដាប់ (84.3) និង (84.4) គឺគ្មានដែនកំណត់។
ប្រសិនបើយើងអនុវត្តទម្រង់នៃគោលគំនិតនៃដែនកំណត់ចំពោះករណីនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ ពោលគឺចំពោះករណីដែលដែនកំណត់គឺសូន្យ នោះយើងមកដល់និយមន័យខាងក្រោមនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ (ស្មើនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ)៖ លំដាប់មួយត្រូវបានគេហៅថា infinitesimal ប្រសិនបើសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យណាមួយមានចំនួន N នោះសម្រាប់ទាំងអស់នឹងមានវិសមភាព
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្ដីដែលមានប្រយោជន៍មួយចំនួនអំពីលំដាប់គ្មានកំណត់ (ហើយបញ្ជាក់ជាឧទាហរណ៍ដំបូង)។
ទ្រឹស្តីបទ 1. ផលបូកនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ពីរ ឬច្រើនគឺជាលំដាប់គ្មានកំណត់។
យើងអនុវត្តភស្តុតាងសម្រាប់ករណីនៃការបូកសរុបនៃលំដាប់ពីរ។ សូមឱ្យលំដាប់លំដោយគឺគ្មានកំណត់។ ប្រសិនបើលំដាប់ដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមរបស់ពួកគេ នោះវាក៏នឹងគ្មានដែនកំណត់ដែរ។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យចំនួនវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត e ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោយសារតែការពិតដែលថាវាតូចគ្មានកំណត់ មានលេខ N ដែលវានឹងតិចជាងចំនួននៅ . ដូចគ្នានេះដែរ សម្រាប់លំដាប់ទីពីរ គេអាចបញ្ជាក់លេខមួយ (និយាយទូទៅខុសគ្នា) ដូចជាយើងមានឥឡូវ បើធំជាងលេខធំជាងគេ នោះដំណាលគ្នា។
ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ "ម៉ូឌុលនៃផលបូកមិនលើសពីផលបូកនៃម៉ូឌុល" (ធាតុ 74 ទ្រព្យសម្បត្តិ 13) យើងរកឃើញ
ដែលបញ្ជាក់ពីការអះអាងដែលត្រូវការ៖ លំដាប់គ្មានកំណត់ត្រូវបានអានជា “ធំជាងនៃលេខទាំងពីរ N និង .
ទ្រឹស្តីបទ 2. ផលនៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែន និងលំដាប់ដែលបំប្លែងទៅសូន្យ គឺជាលំដាប់ដែលបំប្លែងទៅសូន្យ។
ពីទ្រឹស្តីបទនេះ ជាពិសេស វាធ្វើតាមថាផលគុណនៃតម្លៃថេរដោយ infinitesimal ដូចគ្នានឹងផលិតផលនៃ infinitesimal ជាច្រើនដោយគ្នាទៅវិញទៅមក គឺជាបរិមាណ infinitesimal ។ ជាការពិត តម្លៃថេរគឺតែងតែជាតម្លៃកំណត់។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះភាពមិនចេះចប់។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ផលិតផលនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ពីរអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាផលិតផលនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ និងដែនកំណត់មួយ។
ទ្រឹស្តីបទ 3. កូតានៃការបែងចែកលំដាប់ដែលបង្រួបបង្រួមទៅសូន្យដោយលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់មិនសូន្យ គឺជាលំដាប់ដែលបំប្លែងទៅសូន្យ។
ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមអនុញ្ញាតឱ្យប្រើ infinitesimals នៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនៅលើដែនកំណត់ (ទ្រឹស្តីបទ 6-8) ។
ទ្រឹស្តីបទ 4. ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃដែនកំណត់នេះ និងបរិមាណគ្មានកំណត់។
ភស្តុតាង។ សូមឱ្យមានលំដាប់ដូចនោះ។
ពីនិយមន័យនៃដែនកំណត់ដូចខាងក្រោម:
សម្រាប់រាល់ការបំពេញវិសមភាព Denote ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានថាសម្រាប់តម្លៃដែលបានចង្អុលបង្ហាញវានឹងត្រូវបាន
i.e. ថាមានបរិមាណមិនកំណត់។ ប៉ុន្តែ
ហើយនេះបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់យើង។
Verna និងបញ្ច្រាស
ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើពាក្យទូទៅនៃលំដាប់មួយខុសពីតម្លៃថេរមួយចំនួនដោយតម្លៃគ្មានកំណត់ នោះថេរនេះគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះ។
ឥឡូវនេះយើងពិចារណាអំពីច្បាប់សម្រាប់ការឆ្លងដល់ដែនកំណត់ដែលបានបង្កើតនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទចំនួនបីខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ 6. ដែនកំណត់នៃផលបូកនៃលំដាប់ពីរឬច្រើនដែលមានដែនកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដែនកំណត់ទាំងនេះ៖
ភស្តុតាង។ សូមឱ្យមានលំដាប់ដូចនោះ។
បន្ទាប់មកផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទី ៤ យើងអាចសរសេរ៖
តើលំដាប់មិនកំណត់មួយចំនួននៅឯណា។ ចូរបន្ថែមភាពស្មើគ្នាពីរចុងក្រោយ៖
តម្លៃជាផលបូកនៃចំនួនថេរពីរ a និង b គឺថេរ ហើយជាផលបូកនៃលំដាប់គ្មានកំណត់ពីរ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 1 មានលំដាប់គ្មានកំណត់។ ពីនេះនិងទ្រឹស្តីបទទី 5 យើងសន្និដ្ឋាន
ហើយនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។
ភ័ស្តុតាងដែលយើងបានអនុវត្តឥឡូវនេះអាចងាយស្រួលទូទៅចំពោះករណីនៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួននៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយ។
ទុកឱ្យតម្លៃទ្រព្យសកម្មមួយចំនួននៅពេលបច្ចុប្បន្ននៃពេលវេលា r ស្មើនឹង S(T) ។ តម្លៃអនុវត្តនៃជម្រើសការហៅទូរសព្ទនៅលើទ្រព្យសកម្មនេះជាមួយនឹងពេលវេលាផុតកំណត់ T គឺស្មើនឹង K។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាតម្លៃនៃជម្រើសនេះនៅពេល t. បែងចែកចន្លោះពេល [r, T] ទៅជា n រយៈពេលដែលមានប្រវែងដូចគ្នា (T - t) / ន។ ការគណនាតម្លៃជម្រើសការហៅទូរសព្ទត្រូវបានអនុវត្តក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃគំរូកំណត់តម្លៃជម្រើសលេខពីរនៃរយៈពេល n ហើយបន្ទាប់មកដែនកំណត់របស់វាត្រូវបានរកឃើញនៅ n -> oo ។
ដូច្នេះតម្លៃជម្រើសនៅក្នុងគំរូលេខពីរនៃរយៈពេល n ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (3.12) ។ យោងតាមនិយមន័យ jo មានទំនោរទៅ In [K/(S(t)dn))/ln(m/d) as m i —» oo ។ យោងតាមរូបមន្តអាំងតេក្រាល Moivre-Laplace
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
ដែល Ф(х) = ^ dt - មុខងារចែកចាយធម្មតា។
ដោយប្រើនិយមន័យ (3.16) នៃលេខ និងការផ្សាយពាណិជ្ជកម្ម យើងទទួលបាននោះជា η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
កន្លែងណា
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
ឃ\
al/T - t
al/T - t
រូបមន្តដែលបានរកឃើញ (3.17) សម្រាប់តម្លៃជម្រើសហៅទូរស័ព្ទត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Black-Scholes ។
ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត (3.17) ប្រើការពង្រីកនៃនិទស្សន្តនៅក្នុងស៊េរី
ឧ = 1 + x+^+.... (3.18)
ការជំនួស និង និង ឃ ពីរូបមន្ត (៣.១៧) ទៅជាសមភាព (៣.៨) ដែលកំណត់លេខ р លេខសម្គាល់ យើងទទួលបាន៖
erAt - ញ៉ាំ / Sh-
រ
ការពង្រីកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទៅជាស៊េរីមួយដោយយោងតាមរូបមន្ត (3.18) និងការមិនអើពើពាក្យដែលតូចបើប្រៀបធៀបទៅនឹង At យើងទទួលបាន
al / At + (g - a212) នៅ al / At - (g - a212) នៅ
P ~ t = 1 I ~ t =
2al/M 2al/M
ប្រសិនបើគ្មានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃតម្លៃទីផ្សារទេ នោះតម្លៃទ្រព្យសកម្ម S បំពេញសមីការ
AS = fiSAt, (2.1)
កន្លែងណាដែលតូចល្មម។ ដូច At -> 0 សមីការ (2.1) ក្លាយជាឌីផេរ៉ង់ស្យែល
S" = /J.S.
ដំណោះស្រាយរបស់វា S(T) = S(0)emT កំណត់តម្លៃ S(T) នៃទ្រព្យសកម្មនៅពេល T ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្ត តែងតែមានភាពមិនច្បាស់លាស់អំពីតម្លៃនៃទ្រព្យសកម្មមួយ។ ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពមិនច្បាស់លាស់ មុខងារពេលវេលាត្រូវបានពិចារណា ដែលជាអថេរចៃដន្យសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះកំណត់ដំណើរការចៃដន្យ។
ដំណើរការចៃដន្យ w(t) ត្រូវបានគេហៅថា Wiener ប្រសិនបើ r(0) = 0 ហើយអថេរចៃដន្យ w(t\ + s) - w(t\) និង w(t2 + s) - w(t2) មានការចែកចាយធម្មតា ជាមួយនឹងការរំពឹងទុកសូន្យ និងជាមួយវ៉ារ្យង់ស្មើនឹង s និងឯករាជ្យសម្រាប់ t \, t2, s ណាមួយដែលបង្កើតចន្លោះពេលមិនត្រួតស៊ីគ្នា (ti, ti + s) និង (t2, t2 + s) ។
ក្រាហ្វនៃដំណើរការ Wiener អាចទទួលបានឧទាហរណ៍ដូចខាងក្រោម។ យើងជួសជុលចំនួនមួយចំនួន h > 0 និងកំណត់ក្រុមគ្រួសារនៃអថេរចៃដន្យ Wh(t) នៅដង t = 0, h, 2h,.... កំណត់ Wh(0) = 0. ភាពខុសគ្នា AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) គឺជាអថេរចៃដន្យ ហើយត្រូវបានផ្តល់ដោយតារាង៖ AWh -6 6 P 1/2 1/2 coins។ បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ AWh គឺ M(AI//1) = 0 ហើយបំរែបំរួល D(AWh) = S2 ។ លេខ d ត្រូវបានកំណត់ស្មើនឹង Vh ដូច្នេះវ៉ារ្យង់ ~ D (AWh) ស្មើនឹង h ។
វាប្រែថាដំណើរការ Wiener w(t) ត្រូវបានទទួលពីក្រុមគ្រួសារនៃអថេរចៃដន្យ Wh(t) ជា h -> 0 ។ ការឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ខ្លួនឯងគឺពិបាកជាង ហើយមិនត្រូវបានពិចារណានៅទីនេះទេ។ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃគ្រួសារ Wh (t) សម្រាប់ h តូចគឺជាការប៉ាន់ស្មានដ៏ល្អនៃដំណើរការ Wiener ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ការតំណាងដែលមើលឃើញនៃដំណើរការ Wiener នៅលើផ្នែកមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយក h = 0.01 ។
ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតនៅពេលដែល /x = 0 នោះគឺទីផ្សារភាគហ៊ុនមិនរីកចម្រើននិងមិនថយចុះជាមធ្យមវាត្រូវបានសន្មត់ថា
AS = aS Aw,
ដែល w(t) គឺជាដំណើរការ Wiener ហើយ a > 0 គឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន។ ការពិតដែលថាការកើនឡើងតម្លៃទ្រព្យសកម្មគឺសមាមាត្រទៅនឹងតម្លៃបង្ហាញពីការសន្មត់ធម្មជាតិដែលថាភាពមិនច្បាស់លាស់នៃការបញ្ចេញមតិ (S(t + At) - S(t))/S(t) មិនអាស្រ័យលើ S. នេះមានន័យថាអ្នកវិនិយោគគឺ មិនប្រាកដថាអ្នកទទួលបានចំណែកនៃប្រាក់ចំណេញក្នុងតម្លៃទ្រព្យសកម្ម 20 ដុល្លារ និងតម្លៃទ្រព្យសកម្ម 100 ដុល្លារទេ។
គំរូឥរិយាបទតម្លៃទ្រព្យសកម្មត្រូវបានកំណត់ជាទូទៅដោយសមីការ
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
មេគុណ a ដែលជាឯកតានៃភាពមិនប្រាកដប្រជា ត្រូវបានគេហៅថាការប្រែប្រួល។
2.2.
មើលបន្ថែមទៀតអំពី Limit transition នៅលើ Facebook
- ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាសេដ្ឋកិច្ចទីផ្សារត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធនៃការគ្រប់គ្រងទំនើបដែលជាវត្ថុសំខាន់គឺអង្គការ (សហគ្រាស) ហើយនៅក្នុងវា - កម្មករនិយោជិត។
- តម្លៃកំណត់ (កំណត់តម្លៃនៃសូចនាករសេដ្ឋកិច្ច)
មេកានិច Quantum មានបុរាណជាករណីកំណត់។ សំណួរកើតឡើងអំពីរបៀបដែលការអនុម័តនេះទៅដែនកំណត់ត្រូវបានអនុវត្ត។
នៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច អេឡិចត្រុងមួយត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងាររលកដែលកំណត់តម្លៃផ្សេងៗនៃកូអរដោនេរបស់វា; រឿងតែមួយគត់ដែលយើងដឹងរហូតមកដល់ពេលនេះអំពីមុខងារនេះគឺថាវាគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកលីនេអ៊ែរមួយចំនួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងមេកានិចបុរាណ អេឡិចត្រុងមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភាគល្អិតនៃវត្ថុដែលផ្លាស់ទីតាមគន្លងដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃចលនា។ ទំនាក់ទំនងស្រដៀងគ្នាក្នុងន័យខ្លះចំពោះទំនាក់ទំនងរវាង quantum និងមេកានិចបុរាណកើតឡើងនៅក្នុងអេឡិចត្រូឌីណាមិករវាងរលក និងអុបទិកធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងរលកអុបទិក រលកអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយវ៉ិចទ័រនៃវាលអគ្គិសនី និងម៉ាញេទិកដែលបំពេញប្រព័ន្ធជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ (សមីការរបស់ Maxwell) ។ នៅក្នុងអុបទិកធរណីមាត្រការសាយភាយនៃពន្លឺតាមគន្លងជាក់លាក់ - កាំរស្មីត្រូវបានពិចារណា។
ការប្រៀបធៀបបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្និដ្ឋានថាការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ពីមេកានិចកង់ទិចទៅមេកានិចបុរាណកើតឡើងស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរពីរលកទៅអុបទិកធរណីមាត្រ។
ចូរយើងរំលឹកពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយនេះត្រូវបានអនុវត្តតាមគណិតវិទ្យា (សូមមើល II, § 53) ។ អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាសមាសធាតុមួយនៃវាលនៅក្នុងរលកអេឡិចត្រូ។ វាអាចត្រូវបានតំណាងថាជានិង - ជាមួយនឹងទំហំពិតប្រាកដ a និងដំណាក់កាល (ក្រោយមកទៀតត្រូវបានគេហៅថា eikonal នៅក្នុងអុបទិកធរណីមាត្រ) ។ ករណីកំណត់នៃអុបទិកធរណីមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងរលកតូចៗដែលត្រូវបានបញ្ជាក់តាមគណិតវិទ្យាដោយចំនួនដ៏ធំនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅចម្ងាយតូច; នេះមានន័យថាជាពិសេសថាដំណាក់កាលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាមានទំហំធំនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតរបស់វា។
ដូច្នោះហើយ យើងបន្តពីការសន្មត់ថាករណីកំណត់នៃមេកានិចបុរាណត្រូវគ្នានឹងមេកានិចកង់ទិចទៅនឹងមុខងាររលកនៃទម្រង់ ដែល a គឺជាមុខងារផ្លាស់ប្តូរយឺត ហើយយកតម្លៃធំ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងមេកានិចគន្លងនៃភាគល្អិតអាចត្រូវបានកំណត់ពីគោលការណ៍បំរែបំរួលយោងទៅតាមអ្វីដែលហៅថាសកម្មភាព 5 នៃប្រព័ន្ធមេកានិចត្រូវតែមានតិចតួច (គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត) ។ នៅក្នុងអុបទិកធរណីមាត្រផ្លូវនៃកាំរស្មីត្រូវបានកំណត់ដោយអ្វីដែលគេហៅថាគោលការណ៍ Fermat យោងទៅតាម "ប្រវែងផ្លូវអុបទិក" នៃធ្នឹមពោលគឺភាពខុសគ្នារវាងដំណាក់កាលរបស់វានៅចុងបញ្ចប់និងនៅដើមផ្លូវ។ គួរតែមានតិចតួចបំផុត។
ដោយផ្អែកលើភាពស្រដៀងគ្នានេះ យើងអាចបញ្ជាក់ថាដំណាក់កាលនៃមុខងាររលកនៅក្នុងករណីកំណត់បែបបុរាណគួរតែសមាមាត្រទៅនឹងសកម្មភាពមេកានិក S នៃប្រព័ន្ធរូបវន្តដែលកំពុងពិចារណា ពោលគឺវាគួរតែជា . មេគុណសមាមាត្រត្រូវបានគេហៅថាថេររុក្ខជាតិ ហើយត្រូវបានតាងដោយអក្សរ។ វាមានវិមាត្រនៃសកម្មភាព (ព្រោះវាគ្មានវិមាត្រ) និងស្មើនឹង
ដូច្នេះមុខងាររលកនៃ "បុរាណស្ទើរតែ" (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថា semiclassical) ប្រព័ន្ធរាងកាយមានទម្រង់
ថេររបស់ Planck ដើរតួនាទីជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងបាតុភូត quantum ទាំងអស់។ តម្លៃដែលទាក់ទងរបស់វា (បើប្រៀបធៀបទៅនឹងបរិមាណផ្សេងទៀតនៃវិមាត្រដូចគ្នា) កំណត់ "កម្រិតនៃបរិមាណ" នៃប្រព័ន្ធនេះ ឬប្រព័ន្ធរាងកាយនោះ។ ការផ្លាស់ប្តូរពី quantum ទៅមេកានិចបុរាណត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណាក់កាលដ៏ធំមួយ ហើយអាចត្រូវបានពិពណ៌នាជាផ្លូវការថាជាការផ្លាស់ប្តូរទៅដែនកំណត់មួយ (ដូចជាការផ្លាស់ប្តូរពីរលកទៅអុបទិកធរណីមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរទៅដែនកំណត់នៃរលកសូន្យ។
យើងបានបញ្ជាក់ពីទម្រង់កំណត់នៃមុខងាររលក ប៉ុន្តែសំណួរនៅតែមានអំពីរបៀបដែលវាទាក់ទងទៅនឹងចលនាបុរាណតាមគន្លងមួយ។ ក្នុងករណីទូទៅ ចលនាដែលបានពិពណ៌នាដោយមុខងាររលកមិនប្រែទៅជាចលនាតាមគន្លងជាក់លាក់ណាមួយឡើយ។ ការតភ្ជាប់របស់វាជាមួយនឹងចលនាបុរាណស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាប្រសិនបើនៅពេលដំបូងខ្លះ មុខងាររលក ហើយជាមួយវាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃកូអរដោណេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះនៅពេលអនាគតការចែកចាយនេះនឹង "ផ្លាស់ទី" ដូចដែលវាគួរតែយោងទៅតាមច្បាប់នៃ មេកានិចបុរាណ (សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិត សូមមើលចុងបញ្ចប់នៃ§ 17) ។
ដើម្បីទទួលបានចលនាតាមគន្លងជាក់លាក់មួយ ចាំបាច់ត្រូវចាប់ផ្តើមពីមុខងាររលកនៃទម្រង់ពិសេស ដែលគួរឱ្យកត់សម្គាល់ខុសពីសូន្យតែនៅក្នុងផ្នែកតូចមួយនៃលំហ (ដែលគេហៅថាកញ្ចប់រលក) វិមាត្រនៃផ្នែកនេះ អាចមានទំនោរទៅសូន្យរួមជាមួយ d ។ បន្ទាប់មក គេអាចប្រកែកបានថា ក្នុងករណី semiclassical កញ្ចប់រលកនឹងផ្លាស់ទីក្នុងលំហ តាមបណ្តោយគន្លងបុរាណនៃភាគល្អិត។
ជាចុងក្រោយ ប្រតិបត្តិករមេកានិចកង់ទិចនៅក្នុងដែនកំណត់ត្រូវតែត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយសាមញ្ញទៅគុណនឹងបរិមាណរូបវន្តដែលត្រូវគ្នា។
មុខងារមួយចំនួន f នឹងមានទំនោរទៅរកលេខ A ដែល x មានទំនោរទៅចំណុច x0 នៅពេលដែលភាពខុសគ្នា f (x) - A គឺតូចតាមអំពើចិត្ត។ ម្យ៉ាងទៀត កន្សោម |f(x) –A| ក្លាយជាតិចជាងចំនួនថេរដែលបានកំណត់ជាមុនណាមួយ h > 0 ដោយសារម៉ូឌុលនៃការបង្កើនអាគុយម៉ង់ |∆x| ថយចុះ។
កំណត់ការផ្លាស់ប្តូរ
ការស្វែងរកលេខ A នេះពីអនុគមន៍ f ត្រូវបានហៅ ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់. នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់នឹងកើតឡើងនៅក្នុងករណីសំខាន់ពីរ។
1. ឆ្លងដល់ដែនកំណត់ដោយគោរពទៅ ∆f/∆x នៅពេលស្វែងរកដេរីវេ។
2. នៅពេលកំណត់ការបន្តនៃមុខងារមួយ។
មុខងារបន្ត
អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅ x0 ប្រសិនបើ f(x) ទំនោរទៅ f(x0) ដែល x ទំនោរទៅ x0 ។ ក្នុងករណីនេះ៖ f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f ។
នេះមានន័យថា |∆f| នឹងតូចសម្រាប់តូច |∆x|។ នៅក្នុងពាក្យ ការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចនៅក្នុងតម្លៃនៃមុខងារ។
អនុគមន៍ដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ អនុគមន៍ចតុកោណ អនុគមន៍ថាមពល និងផ្សេងៗទៀតគឺបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៅក្នុងតំបន់ដែលពួកវាត្រូវបានកំណត់។ សម្រាប់មុខងារទាំងនេះ ក្រាហ្វត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់កោងបន្ត។
ការពិតនេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ "ដោយចំណុច" ដែលជាធម្មតាយើងប្រើ។ ប៉ុន្តែមុនពេលប្រើវាចាំបាច់ដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើមុខងារដែលកំពុងពិចារណាគឺពិតជាបន្ត។ សម្រាប់ករណីសាមញ្ញ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃការបន្តដែលយើងបានផ្តល់ខាងលើ។
ឧទាហរណ៍៖ យើងនឹងបង្ហាញថាមុខងារលីនេអ៊ែរគឺបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃបន្ទាត់ពិត y = k*x + b.
តាមនិយមន័យ យើងត្រូវបង្ហាញថា |∆f| ក្លាយជាតិចជាងចំនួនដែលបានកំណត់ជាមុនណាមួយ h>0 សម្រាប់តូច |∆x|
|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|។
បើយើងយក |∆x| >h/|k| សម្រាប់ k មិនស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មក |∆f| នឹងតិចជាង h>0 ណាមួយដែលត្រូវបញ្ជាក់។
ច្បាប់កំណត់
នៅពេលប្រើប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់ មួយគួរតែត្រូវបានណែនាំដោយច្បាប់ខាងក្រោម។
1. ប្រសិនបើអនុគមន៍ f បន្តនៅចំណុច x0 នោះ ∆f ទំនោរទៅសូន្យ ខណៈ ∆x ទំនោរទៅសូន្យ។
2. ប្រសិនបើអនុគមន៍ f មានដេរីវេនៅចំនុច x0 នោះ ∆f/∆x ទំនោរទៅ f '(x0) ដែល ∆x ទំនោរទៅសូន្យ។
3. សូមអោយ f(x) ទំនោរទៅ A, g(x) ទំនោរទៅ B ជា x ទំនោរទៅ x0 ។ បន្ទាប់មក៖
f(x) + g(x) មាននិន្នាការទៅ A + B;
