តើសមីការគឺជាអ្វី?

អ្នកទាំងឡាយណាដែលកំពុងបោះជំហានដំបូងរបស់ពួកគេក្នុងពិជគណិត ពិតណាស់ទាមទារឱ្យមានការបង្ហាញសម្ភារៈដែលមានលំដាប់បំផុត។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងអត្ថបទរបស់យើងអំពីអ្វីដែលសមីការគឺ យើងនឹងមិនត្រឹមតែផ្តល់និយមន័យប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់ផ្សេងៗនៃសមីការជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ផងដែរ។

តើអ្វីទៅជាសមីការ៖ គំនិតទូទៅ

ដូច្នេះ សមីការ​គឺ​ជា​ប្រភេទ​សមភាព​មួយ​ដែល​មិន​ស្គាល់ ដែល​តំណាង​ដោយ​អក្សរ​ឡាតាំង។ ក្នុងករណីនេះតម្លៃលេខនៃអក្សរនេះដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃសមីការអ្នកអាចអានបន្ថែមអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទរបស់យើងប៉ុន្តែយើងនឹងបន្តនិយាយអំពីសមីការខ្លួនឯង។ អាគុយម៉ង់នៃសមីការ (ឬអថេរ) គឺមិនស្គាល់ ហើយដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគឺការស្វែងរកឫសរបស់វាទាំងអស់ ឬអវត្ដមាននៃឫស។

ប្រភេទនៃសមីការ

សមីការត្រូវបានបែងចែកជាពីរក្រុមធំ៖ ពិជគណិត និង វិញ្ញាសា

• ពិជគណិតគឺជាសមីការមួយដែលមានតែប្រតិបត្តិការពិជគណិតប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ - លេខនព្វន្ធចំនួន 4 ក៏ដូចជានិទស្សន្ត និងការស្រង់ចេញនៃឫសធម្មជាតិ។
• សមីការឆ្លងដែន គឺជាសមីការដែលអនុគមន៍មិនមែនពិជគណិតត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកឫស៖ ឧទាហរណ៍ ត្រីកោណមាត្រ លោការីត និងផ្សេងៗទៀត។

ក្នុងចំណោមសមីការពិជគណិតក៏មានៈ

• ចំនួនគត់ - ជាមួយផ្នែកទាំងពីរមានកន្សោមពិជគណិតទាំងមូលទាក់ទងនឹងមិនស្គាល់;
• ប្រភាគ - មានកន្សោមពិជគណិតចំនួនគត់នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង;
• មិនសមហេតុផល - កន្សោមពិជគណិតនៅទីនេះស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាឫស។

សូមចំណាំផងដែរថាសមីការប្រភាគ និងអសមហេតុផលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការទាំងមូល។

សមីការ Transcendental ត្រូវបានបែងចែកជាៈ

• សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលមានអថេរជានិទស្សន្ត។ ពួកវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានតែមួយ ឬនិទស្សន្ត ដោយយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប កត្តា និងវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតមួយចំនួន។
• លោការីត - សមីការជាមួយលោការីត ពោលគឺសមីការដែលមិនស្គាល់នៅខាងក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះគឺពិបាកខ្លាំងណាស់ (មិនដូចការនិយាយពិជគណិតភាគច្រើនទេ) ព្រោះវាទាមទារការបណ្តុះបណ្តាលគណិតវិទ្យាដ៏រឹងមាំ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅទីនេះគឺត្រូវផ្លាស់ទីពីសមីការជាមួយលោការីតទៅជាសមីការដោយគ្មានពួកវា នោះគឺជាការធ្វើឱ្យសមីការសាមញ្ញ (វិធីសាស្ត្រដកលោការីតនេះត្រូវបានគេហៅថាសក្តានុពល)។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដើម្បី​បង្កើន​សមីការ​លោការីត​បាន​លុះ​ត្រា​តែ​ពួក​គេ​មាន​មូលដ្ឋាន​លេខ​ដូច​គ្នា​និង​មិន​មាន​មេគុណ;
• សមីការត្រីកោណមាត្រគឺជាសមីការដែលមានអថេរនៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេតម្រូវឱ្យមានជំនាញដំបូងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។
• លាយបញ្ចូលគ្នាគឺជាសមីការផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទផ្សេងៗគ្នា (ឧទាហរណ៍ជាមួយផ្នែក parabolic និង elliptic ឬ elliptic និង hyperbolic ។ល។)។

ចំពោះការចាត់ថ្នាក់ដោយចំនួនមិនស្គាល់ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ៖ សមីការដែលមានមួយ ពីរ បី និងផ្សេងទៀតមិនស្គាល់ត្រូវបានសម្គាល់។ វាក៏មានការចាត់ថ្នាក់មួយផ្សេងទៀតដែលផ្អែកលើដឺក្រេដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃពហុធា។ ដោយផ្អែកលើនេះ សមីការលីនេអ៊ែរ ចតុកោណ និងគូបត្រូវបានសម្គាល់។ សមីការលីនេអ៊ែរក៏អាចត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទី 1 ការ៉េ - ទី 2 និងគូបរៀងគ្នាទី 3 ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការនៃក្រុមមួយ ឬក្រុមផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍នៃប្រភេទផ្សេងគ្នានៃសមីការ

ឧទាហរណ៍នៃសមីការពិជគណិត៖

• ax + b = 0
• ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a មិនស្មើនឹង 0)

ឧទាហរណ៍នៃសមីការឆ្លងដែន៖

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx + x 5 +40

ឧទាហរណ៍នៃសមីការទាំងមូល៖

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

ឧទាហរណ៍នៃសមីការប្រភាគ៖

• 15 x + − = 5x − 17 x

ឧទាហរណ៍នៃសមីការមិនសមហេតុផល៖

• √2kf(x)=g(x)

ឧទាហរណ៍នៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

• 2x + 7 = 0 x − 3 = 2 − 4x 2x + 3 = 5x + 5 – 3x – 2

ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ៖

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

ឧទាហរណ៍នៃសមីការគូប៖

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

ឧទាហរណ៍នៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

• 5 x + 2 = 125 3 x 2 x = 8 x + 3 3 2x +4 3 x −5 = 0

ឧទាហរណ៍នៃសមីការលោការីត៖

• កំណត់ហេតុ 2 x = 3 កំណត់ហេតុ 3 x = −1

ឧទាហរណ៍នៃសមីការត្រីកោណមាត្រ៖

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

ឧទាហរណ៍នៃសមីការចម្រុះ៖

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

វានៅសល់ដើម្បីបន្ថែមថាវិធីសាស្រ្តជាច្រើនត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទផ្សេងៗ។ ជាការប្រសើរណាស់ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការស្ទើរតែទាំងអស់ អ្នកនឹងត្រូវការចំណេះដឹងមិនត្រឹមតែពិជគណិតប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងអំពីត្រីកោណមាត្រ ហើយជារឿយៗចំណេះដឹងជ្រៅជ្រះ។

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍លើការងារនេះ សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការអប់រំ៖

• សង្ខេបចំណេះដឹងលើសមីការគ្រប់ប្រភេទ សង្កត់ធ្ងន់លើសារៈសំខាន់នៃវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។
• ការពង្រឹងការងាររបស់សិស្សតាមរយៈបច្ចេកទេសផ្សេងៗក្នុងមេរៀន។
• សាកល្បងជំនាញទ្រឹស្តី និងការអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។
• ផ្តោតលើការពិតដែលថាសមីការមួយអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីជាច្រើន។

ការអប់រំ៖

• បង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សលើប្រធានបទតាមរយៈការប្រើប្រាស់ ICT ។
• ធ្វើឱ្យសិស្សស្គាល់សម្ភារៈប្រវត្តិសាស្ត្រលើប្រធានបទ។
• ការអភិវឌ្ឍនៃសកម្មភាពផ្លូវចិត្តក្នុងការកំណត់ប្រភេទនៃសមីការនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយវា។

ការអប់រំ៖

• ពង្រឹងវិន័យក្នុងថ្នាក់រៀន។
• ការអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការយល់ឃើញភាពស្រស់ស្អាតនៅក្នុងខ្លួនគាត់នៅក្នុងមនុស្សម្នាក់ផ្សេងទៀតនិងនៅក្នុងពិភពលោកជុំវិញយើង។

ប្រភេទមេរៀន៖

• មេរៀនទូទៅ និងការរៀបចំជាប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង។

ប្រភេទមេរៀន៖

• រួមបញ្ចូលគ្នា។

សម្ភារៈ និងឧបករណ៍បច្ចេកទេស៖

• កុំព្យូទ័រ
• អេក្រង់
• ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង
• ឌីសជាមួយនឹងការបង្ហាញប្រធានបទ

វិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេស៖

• ការប្រើប្រាស់បទបង្ហាញ
• ការសន្ទនាផ្នែកខាងមុខ
• ការងារមាត់
• ពេលលេងហ្គេម
• ធ្វើការ​ជា​គូរ
• ធ្វើការនៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល
• ធ្វើការនៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា

ផែនការ​មេរៀន:

1. ពេលវេលារៀបចំ (1 នាទី)
2. ការឌិកូដប្រធានបទនៃមេរៀន (៣ នាទី)
3. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន (១ នាទី)
4. ការឡើងកម្តៅតាមទ្រឹស្តី (៣ នាទី)
5. ដំណើរកំសាន្តប្រវត្តិសាស្ត្រ (៣ នាទី)
6. ហ្គេម "លុបលើស" (២ នាទី)
7. ការងារច្នៃប្រឌិត (២ នាទី)
8. កិច្ចការ "ស្វែងរកកំហុស" (2 នាទី)
9. ការដោះស្រាយសមីការមួយតាមវិធីជាច្រើន (នៅលើស្លាយ) (3 នាទី)
10. ការដោះស្រាយសមីការមួយតាមវិធីជាច្រើន (នៅក្តារ) (24 នាទី)
11. ការងារឯករាជ្យជាគូ អមដោយការពន្យល់ (៥ នាទី)
12. កិច្ចការផ្ទះផ្ទាល់ខ្លួន (១ នាទី)
13. ការឆ្លុះបញ្ចាំងមេរៀនសង្ខេប (១ នាទី)

មេរៀនសង្ខេប៖

"អ្នកអាចរៀនបានតែតាមរយៈការសប្បាយ ដើម្បីរំលាយចំណេះដឹង អ្នកត្រូវស្រូបវាដោយចំណង់។"
ក.បារាំង

សង្ខេបមេរៀន

ផ្នែកអង្គការ

ខ្ញុំពិនិត្យមើលការត្រៀមខ្លួនរបស់សិស្សសម្រាប់មេរៀន ហើយសម្គាល់អ្នកដែលអវត្តមានពីមេរៀន។ បុរស អ្នកនិពន្ធជនជាតិបារាំងនៅសតវត្សរ៍ទី 19 A. France ធ្លាប់បានកត់សម្គាល់ថា "អ្នកអាចរៀនបានតែតាមរយៈការសប្បាយ ដើម្បីស្វែងយល់ពីចំណេះដឹង អ្នកត្រូវស្រូបវាដោយចំណង់។" ដូច្នេះ ចូរយើងធ្វើតាមការណែនាំរបស់អ្នកសរសេរនៅក្នុងមេរៀនរបស់យើង ហើយសង្ខេបចំណេះដឹងដោយចំណង់ខ្លាំងព្រោះវានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងជីវិតរបស់យើង។

ការឌិកូដប្រធានបទនៃមេរៀន

ដើម្បីបន្តទៅកិច្ចការដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ចូរយើងពង្រីកខួរក្បាលរបស់យើងជាមួយនឹងកិច្ចការសាមញ្ញៗ។ ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើងត្រូវបានអ៊ិនគ្រីបដោយការដោះស្រាយកិច្ចការផ្ទាល់មាត់ និងស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកគេ ដោយដឹងថាចម្លើយនីមួយៗមានអក្សរផ្ទាល់ខ្លួន យើងនឹងបង្ហាញប្រធានបទនៃមេរៀន។ ស្លាយ​បទ​បង្ហាញ ៣

ទំនាក់ទំនងប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន

អ្នកខ្លួនឯងបានដាក់ឈ្មោះប្រធានបទនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ

"ប្រភេទនៃសមីការ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា។"ស្លាយបទបង្ហាញ ៤

គោលបំណង៖ រំលឹកឡើងវិញ និងធ្វើឱ្យសមីការគ្រប់ប្រភេទ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។ ដោះស្រាយសមីការមួយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងអស់។ ស្លាយបទបង្ហាញ 5 អានសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Einstein ស្លាយបទបង្ហាញ 5

ការឡើងកំដៅតាមទ្រឹស្តី

សំណួរបទបង្ហាញ ស្លាយ ៧

ចម្លើយ

1. សមភាពដែលមានអថេរដែលបង្ហាញដោយអក្សរ។
2. នេះមានន័យថាការស្វែងរកឫសរបស់វាទាំងអស់ ឬបង្ហាញថាគ្មានឫសគល់។
3. តម្លៃនៃអថេរដែលសមីការក្លាយជាការពិត។
4. បន្ទាប់ពីនិយមន័យនេះ សូមអានកំណាព្យអំពីសមីការ ស្លាយ 12,13,14

ចម្លើយទៅនឹងសំណួរចុងក្រោយ 2 បទបង្ហាញ ស្លាយ 9,10,11

ដំណើរកំសាន្តប្រវត្តិសាស្ត្រ

ព័ត៌មានប្រវត្តិសាស្ត្រអំពី “អ្នកណាជាអ្នកបង្កើតសមីការ និងពេលណា” ស្លាយបង្ហាញ ១៥

សាកស្រមៃមើលថា ម្តាយសម័យដើមមានឈ្មោះថា… ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គាត់ប្រហែលជាមិនមានឈ្មោះទេ បានរើសផ្លែប៉ោមចំនួន 12 ផ្លែពីដើមឈើមួយដើម ដើម្បីផ្តល់ឱ្យកូនៗ 4 នាក់របស់នាងម្នាក់ៗ។ នាងប្រហែលជាមិនដឹងពីរបៀបរាប់មិនត្រឹមតែដល់ 12 ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដល់ 4 ហើយប្រាកដជាមិនដឹងពីរបៀបបែងចែក 12 គុណនឹង 4 ។ ហើយនាងប្រហែលជាបែងចែកផ្លែប៉ោមដូចនេះ៖ ដំបូងនាងឱ្យផ្លែប៉ោមមួយកូនៗ បន្ទាប់មកផ្លែប៉ោមមួយទៀត បន្ទាប់មកតែម្នាក់ឯង ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំឃើញថាមិនមានផ្លែប៉ោមទៀតទេ ហើយក្មេងៗក៏សប្បាយចិត្ត។ ប្រសិនបើយើងសរសេរសកម្មភាពទាំងនេះជាភាសាគណិតវិទ្យាទំនើប យើងទទួលបាន x4=12 នោះគឺ ម្តាយរបស់ខ្ញុំបានដោះស្រាយបញ្ហានៃការតែងសមីការ។ ជាក់ស្តែង វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការឆ្លើយសំណួរខាងលើ។ បញ្ហាដែលនាំទៅដល់ការដោះស្រាយសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយមនុស្សដោយប្រើសុភវិនិច្ឆ័យតាំងពីពេលដែលពួកគេក្លាយជាមនុស្ស។ សូម្បីតែ 3-4 ពាន់ឆ្នាំមុនគ.ស ជនជាតិអេហ្ស៊ីប និងបាប៊ីឡូនអាចដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញបំផុត ដែលទម្រង់បែបបទ និងវិធីដំណោះស្រាយមិនស្រដៀងនឹងសម័យទំនើបទេ។ ជនជាតិក្រិចបានទទួលមរតកចំណេះដឹងរបស់ជនជាតិអេស៊ីបហើយបន្តទៅមុខទៀត។ ភាពជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យបំផុតក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គោលលទ្ធិនៃសមីការត្រូវបានសម្រេចដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិក Diophantus (សតវត្សទី III) ដែលពួកគេបានសរសេរថា:

គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើន។
គាត់បានព្យាករណ៍ពីក្លិននិងផ្កាឈូក។
ជាការពិត ចំណេះដឹងរបស់គាត់គឺអស្ចារ្យណាស់។

គណិតវិទូអាស៊ីកណ្តាល Muhammad al-Khorezmi (សតវត្សទី 9) បានរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។ សៀវភៅដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ al-Khwarizmi ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការ។ វាត្រូវបានគេហៅថា "Kitab al-jabr wal-mukabala" ពោលគឺ "សៀវភៅនៃការបំពេញបន្ថែមនិងការប្រឆាំង" ។ សៀវភៅនេះត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះជនជាតិអឺរ៉ុបហើយពីពាក្យ "al-jabr" ពីចំណងជើងរបស់វាបានមកពាក្យ "ពិជគណិត" - ឈ្មោះនៃផ្នែកសំខាន់មួយនៃគណិតវិទ្យា។ ក្រោយមក គណិតវិទូជាច្រើនបានធ្វើការលើបញ្ហានៃសមីការ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ x2+in=0 ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ Stiefel ដែលរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 15 ។ បន្ទាប់ពីស្នាដៃរបស់គណិតវិទូជនជាតិហូឡង់ Girard (សតវត្សទី 16) ក៏ដូចជា Descartes និង Newton វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយបានធ្វើឡើងតាមទម្រង់ទំនើប។ រូបមន្តបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃឫសនៃសមីការលើមេគុណរបស់វាត្រូវបានណែនាំដោយ Vieth ។ Francois Viet រស់នៅក្នុងសតវត្សទី 16 ។ គាត់បានរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហាផ្សេងៗក្នុងគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ។ ជាពិសេស គាត់បានណែនាំអំពីការរចនាអក្សរសម្រាប់មេគុណនៃសមីការ។ តោះមកស្គាល់វគ្គដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយពីជីវិតរបស់គាត់។ វៀតទទួលបានកិត្តិនាមដ៏អស្ចារ្យនៅក្រោមស្តេច Henry III ក្នុងកំឡុងសង្គ្រាមបារាំង-អេស្ប៉ាញ។ អ្នកស៊ើបអង្កេតជនជាតិអេស្បាញបានបង្កើតការសរសេរសម្ងាត់ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ដោយសារជនជាតិអេស្បាញបានឆ្លើយឆ្លងជាមួយសត្រូវរបស់ Henry III សូម្បីតែនៅក្នុងប្រទេសបារាំងក៏ដោយ។

ដោយឥតប្រយោជន៍ ជនជាតិបារាំងបានព្យាយាមស្វែងរកគន្លឹះនៃកូដ ហើយបន្ទាប់មកស្តេចបានងាកទៅរក Vieta ។ ពួកគេនិយាយថា វៀត បានរកឃើញគន្លឹះនៃកូដក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍នៃការងារបន្តបន្ទាប់ ដោយមិននឹកស្មានដល់សម្រាប់ប្រទេសអេស្ប៉ាញ បារាំងបានចាប់ផ្តើមឈ្នះការប្រយុទ្ធមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ដោយជឿជាក់ថា កូដមិនអាចបកស្រាយបាន ជនជាតិអេស្បាញបានចោទប្រកាន់វៀតថាមានទំនាក់ទំនងជាមួយអារក្ស ហើយបានកាត់ទោសគាត់ឱ្យដុតនៅបង្គោល។ ជាសំណាងល្អ គាត់មិនត្រូវបានធ្វើបត្យាប័នទៅ Inquisition ហើយបានធ្លាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យម្នាក់។

ល្បែង "លុបលើស"

គោលបំណងនៃហ្គេមការតំរង់ទិសក្នុងប្រភេទនៃសមីការ។

យើងត្រូវបានផ្តល់សមីការចំនួនបីជួរ ដែលនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ សមីការត្រូវបានកំណត់យោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យមួយចំនួន ប៉ុន្តែមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺលើសលុប ភារកិច្ចរបស់អ្នកគឺស្វែងរក និងកំណត់លក្ខណៈរបស់វា។ បទបង្ហាញ ១៦

ការងារច្នៃប្រឌិត

គោលបំណងនៃកិច្ចការនេះ៖ ការស្តាប់ការយល់ដឹងអំពីសុន្ទរកថាគណិតវិទ្យា ការតំរង់ទិសកុមារក្នុងប្រភេទនៃសមីការ។

នៅលើអេក្រង់អ្នកឃើញសមីការ 9 ។ សមីការនីមួយៗមានលេខរៀងៗខ្លួន ខ្ញុំនឹងដាក់ឈ្មោះប្រភេទសមីការនេះ ហើយអ្នកត្រូវតែស្វែងរកសមីការប្រភេទនេះ ហើយដាក់តែលេខខាងក្រោមដែលវាបង្ហាញជាលទ្ធផល អ្នកនឹងទទួលបានលេខ 9 ខ្ទង់ ស្លាយ 17

1. កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ។
2. សមីការប្រភាគប្រភាគ
3. សមីការគូប
4. សមីការលោការីត
5. សមីការលីនេអ៊ែរ
6. សមីការការ៉េមិនពេញលេញ
7. សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
8. សមីការមិនសមហេតុផល
9. សមីការត្រីកោណមាត្រ

កិច្ចការ "ស្វែងរកកំហុស"

សិស្សម្នាក់បានដោះស្រាយសមីការ ប៉ុន្តែសិស្សទាំងអស់សើច គាត់បានធ្វើខុសក្នុងសមីការនីមួយៗ ភារកិច្ចរបស់អ្នកគឺស្វែងរកវា ហើយកែវា។ បទបង្ហាញ ១៨

ការដោះស្រាយសមីការមួយតាមវិធីជាច្រើន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការមួយតាមវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដើម្បីសន្សំពេលវេលាក្នុងថ្នាក់ សមីការមួយនៅលើអេក្រង់។ ឥឡូវ​នេះ អ្នក​នឹង​ដាក់​ឈ្មោះ​ប្រភេទ​នៃ​សមីការ​នេះ ហើយ​ពន្យល់​ពី​វិធីសាស្ត្រ​ណា​ដែល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​នេះ ស្លាយ 19-27

ការដោះស្រាយសមីការមួយតាមវិធីជាច្រើន (នៅក្តារ)

យើងបានក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនៅក្តារតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។

X-2 - សមីការមិនសមហេតុផល

ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​ទាំង​សងខាង​នៃ​សមីការ។

X 2 +2x+4x-1-4=0

យើងដោះស្រាយសមីការនេះនៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាលតាម 9 វិធី។

ការងារឯករាជ្យជាគូ អមដោយការពន្យល់នៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល

ហើយឥឡូវនេះអ្នកនឹងធ្វើការជាគូ ខ្ញុំផ្តល់សមីការដល់តុរបស់អ្នក ភារកិច្ចរបស់អ្នកគឺដើម្បីកំណត់ប្រភេទនៃសមីការ រាយវិធីទាំងអស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ ដោះស្រាយ 1-2 តាមវិធីសមហេតុផលបំផុតសម្រាប់អ្នក។ (2 នាទី)

ភារកិច្ចសម្រាប់ធ្វើការជាគូ

ដោះស្រាយសមីការ

បន្ទាប់ពីធ្វើការដោយឯករាជ្យជាគូ អ្នកតំណាងម្នាក់ទៅក្រុមប្រឹក្សាភិបាល បង្ហាញសមីការរបស់គាត់ ដោះស្រាយតាមរបៀបមួយ

កិច្ចការផ្ទះផ្ទាល់ខ្លួន(អាច​ខុស​គ្នា​)

ដោះស្រាយសមីការ

(កំណត់ប្រភេទនៃសមីការ ដោះស្រាយគ្រប់វិធីនៅលើសន្លឹកដាច់ដោយឡែក)

សង្ខេបមេរៀនឆ្លុះបញ្ចាំង។

ខ្ញុំសង្ខេបមេរៀន ទាញចំណាប់អារម្មណ៍ទៅលើការពិតដែលថាសមីការមួយអាចដោះស្រាយបានតាមវិធីជាច្រើន ផ្តល់សញ្ញា ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានថាអ្នកណាសកម្ម និងអ្នកណាត្រូវសកម្មជាង។ ខ្ញុំបានអានសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Kalinin បទបង្ហាញស្លាយ 28

សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវគោលដៅដែលយើងបានកំណត់សម្រាប់មេរៀនថ្ងៃនេះ៖

• តើអ្នកគិតថាយើងបានធ្វើអ្វី?
• អ្វី​ដែល​មិន​បាន​សម្រេច​បាន​ល្អ​ដូច្នេះ?
• តើអ្នកចូលចិត្ត និងចងចាំអ្វីជាពិសេស?
• ថ្ងៃនេះខ្ញុំបានរៀនអ្វីថ្មី...
• ចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំមានប្រយោជន៍ក្នុងមេរៀន...
• វាពិបាកសម្រាប់ខ្ញុំ...
• ខ្ញុំចូលចិត្តមេរៀន...

អក្សរសិល្ប៍។

1. Dorofeev G.V. "ការប្រមូលភារកិច្ចសម្រាប់ការប្រឡងសរសេរក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់វគ្គសិក្សាវិទ្យាល័យ" - M.: Bustard, 2006 ។
2. Garner Martin ។ ល្បែងផ្គុំរូបគណិតវិទ្យា និងការកម្សាន្ត។
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. ឯកសារ Didactic លើពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគសម្រាប់ថ្នាក់ទី១០ ថ្នាក់ទី១១។ M. : ការត្រាស់ដឹង។ ២០០២។

ក្រសួងអប់រំទូទៅនិងវិជ្ជាជីវៈនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ស្ថាប័នអប់រំក្រុង

កន្លែងហាត់ប្រាណលេខ ១២

ការ​តែង​និពន្ធ

លើប្រធានបទ៖ សមីការ និងវិធីដោះស្រាយ

បញ្ចប់ដោយ៖ សិស្សថ្នាក់ទី១០ "A"

Krutko Evgeniy

ពិនិត្យដោយ៖ គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen ឆ្នាំ 2001

ផែនការ................................................ ..................................................... ...................................... ១

សេចក្តីផ្តើម ................................................... ....................................................... ........................................... ២

ផ្នែក​ដ៏​សំខាន់................................................ ..................................................... ...... ............... ៣

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ................................................... ..................................................... ...................................... ២៥

ការដាក់ពាក្យ ………………………………………. ..................................................... ...................... ២៦

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ........................................... ........................................... ២៩

ផែនការ។

សេចក្តីផ្តើម។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

សមីការ។ សមីការពិជគណិត។

ក) និយមន័យមូលដ្ឋាន។

ខ) សមីការលីនេអ៊ែរ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

គ) សមីការ quadratic និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។

ឃ) សមីការ Binomial និងរបៀបដោះស្រាយវា។

ង) សមីការគូប និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

f) សមីការ Biquadratic និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

g) សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបួន និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។

g) សមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។

h) សមីការពិជគណិតសនិទាន និងវិធីសាស្រ្តរបស់វា។

i) សមីការមិនសមហេតុផល និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

j) សមីការដែលមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាមួយ។

តម្លៃដាច់ខាត និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

សមីការឆ្លងដែន។

ក) សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិធីដោះស្រាយវា។

ខ) សមីការលោការីត និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

សេចក្តីផ្តើម

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាដ៏ទូលំទូលាយគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។ ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញមនុស្សសម័យទំនើបគឺសុទ្ធតែមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងដូចម្ដេចជាមួយគណិតវិទ្យា។ ហើយការជឿនលឿននាពេលថ្មីៗនេះក្នុងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានទុកជាការសង្ស័យថា នៅពេលអនាគតស្ថានភាពនៃកិច្ចការនឹងនៅដដែល។ ដូច្នេះហើយ ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនមកដោះស្រាយសមីការជាច្រើនប្រភេទ ដែលអ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបដោះស្រាយ។

ការងារនេះគឺជាការប៉ុនប៉ងដើម្បីសង្ខេប និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនៃសម្ភារៈសិក្សាលើប្រធានបទខាងលើ។ ខ្ញុំបានរៀបចំសម្ភារៈតាមលំដាប់លំដោយដោយចាប់ផ្តើមពីសាមញ្ញបំផុត។ វារួមបញ្ចូលទាំងប្រភេទនៃសមីការដែលស្គាល់យើងពីវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា និងសម្ភារៈបន្ថែម។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ខ្ញុំបានព្យាយាមបង្ហាញពីប្រភេទនៃសមីការដែលមិនត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ប៉ុន្តែចំណេះដឹងដែលអាចត្រូវការនៅពេលចូលរៀននៅគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។ នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ នៅពេលដោះស្រាយសមីការ ខ្ញុំមិនកំណត់ខ្លួនឯងត្រឹមតែដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញពីភាពស្មុគស្មាញមួយ ព្រោះខ្ញុំជឿថា បើមិនដូច្នេះទេ សមីការគឺមិនអាចដោះស្រាយបាន។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើសមីការមួយមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ នេះមិនមានន័យថាវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ជាអកុសល ដោយសារខ្វះពេលវេលា ខ្ញុំមិនអាចបង្ហាញសម្ភារៈទាំងអស់ដែលខ្ញុំមាន ប៉ុន្តែសូម្បីតែសម្ភារៈដែលបានបង្ហាញនៅទីនេះ សំណួរជាច្រើនអាចកើតឡើង។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរភាគច្រើន។ ដូច្នេះខ្ញុំចាប់ផ្តើមបង្ហាញសម្ភារៈ។

គណិតវិទ្យា... បង្ហាញលំដាប់,

ស៊ីមេទ្រីនិងភាពប្រាកដប្រជា,

ហើយទាំងនេះគឺជាប្រភេទសម្រស់សំខាន់បំផុត។

អារីស្តូត។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

នៅគ្រាដ៏ឆ្ងាយនោះ ពេលដែលអ្នកប្រាជ្ញចាប់ផ្តើមគិតអំពីសមភាពដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ ប្រហែលជាគ្មានកាក់ ឬកាបូបទេ។ ប៉ុន្តែមានគំនរ ក៏ដូចជាផើង និងកន្ត្រក ដែលល្អឥតខ្ចោះសម្រាប់តួនាទីនៃឃ្លាំងផ្ទុកទិន្នន័យ ដែលអាចផ្ទុករបស់របរមិនស្គាល់ចំនួន។ «យើងកំពុងស្វែងរកគំនរដែលរួមជាមួយនឹងពីរភាគបី កន្លះ និងមួយភាគប្រាំពីរ ធ្វើឱ្យ 37...» បានបង្រៀនអាចារ្យអេហ្ស៊ីប Ahmes នៅសហវត្សទី 2 មុនគ.ស។ នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាបុរាណនៃ Mesopotamia ឥណ្ឌា ចិន ក្រិក បរិមាណដែលមិនស្គាល់បានបង្ហាញពីចំនួនសត្វក្ងោកនៅក្នុងសួនច្បារ ចំនួនគោនៅក្នុងហ្វូង និងចំនួនសរុបនៃវត្ថុដែលត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិ។ អាចារ្យ មន្ត្រី និងបូជាចារ្យបានផ្តួចផ្តើមគំនិតទៅជាចំណេះដឹងសម្ងាត់ បានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលយ៉ាងល្អនៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តនៃគណនី ដោះស្រាយជាមួយនឹងកិច្ចការទាំងនោះដោយជោគជ័យ។

ប្រភពដែលបានទៅដល់យើងបង្ហាញថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណមានបច្ចេកទេសទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនស្គាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនក្រដាស់មួយដុំ ឬគ្រាប់ដីឥដ្ឋមានពណ៌នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងនេះទេ។ អ្នក​និពន្ធ​បាន​ផ្តល់​ជូន​ម្តងម្កាល​នូវ​ការ​គណនា​លេខ​របស់​ពួក​គេ​ជាមួយ​នឹង​ការ​អធិប្បាយ​មិន​ច្បាស់​ដូច​ជា៖ “មើល!”, “ធ្វើ​បែប​នេះ!”, “អ្នក​បាន​រក​ឃើញ​មួយ​ត្រូវ​ហើយ”។ ក្នុងន័យនេះ ករណីលើកលែងគឺ "នព្វន្ធ" របស់គណិតវិទូជនជាតិក្រិច Diophantus of Alexandria (សតវត្សទី III) ដែលជាបណ្តុំនៃបញ្ហាសម្រាប់ការតែងសមីការជាមួយនឹងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សៀវភៅណែនាំដំបូងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយគឺជាការងាររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របាកដាដនៃសតវត្សទី 9 ។ លោក Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ។ ពាក្យ "al-jabr" ពីឈ្មោះអារ៉ាប់នៃសន្ធិសញ្ញានេះ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("សៀវភៅនៃការស្ដារឡើងវិញនិងការប្រឆាំង") - យូរ ៗ ទៅប្រែទៅជាពាក្យ "ពិជគណិត" និង al- ការងាររបស់ Khwarizmi ខ្លួនវាបានបម្រើចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រនៃការដោះស្រាយសមីការ។

សមីការ សមីការពិជគណិត

និយមន័យមូលដ្ឋាន

នៅក្នុងពិជគណិត ភាពស្មើគ្នាពីរប្រភេទត្រូវបានពិចារណា - អត្តសញ្ញាណ និងសមីការ។

អត្តសញ្ញាណគឺជាសមភាពដែលមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ (អាចទទួលយកបាន) នៃអក្សរដែលមាននៅក្នុងវា)។ ដើម្បីកត់ត្រាអត្តសញ្ញាណរួមជាមួយនឹងសញ្ញាសម្គាល់ក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ។

សមីការគឺជាសមភាពដែលមានសម្រាប់តែតម្លៃជាក់លាក់នៃអក្សរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ អក្សរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាអាចមិនស្មើគ្នា៖ ខ្លះអាចយកតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបានទាំងអស់ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រឬ មេគុណសមីការ និងជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរទីមួយនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ , , ... - ឬអក្សរដូចគ្នាដែលផ្តល់ដោយសន្ទស្សន៍៖ , , ... ឬ , , ... ); អ្នកផ្សេងទៀតដែលតម្លៃត្រូវការត្រូវបានរកឃើញត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់(ជាធម្មតាពួកវាត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរចុងក្រោយនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ , , , ... - ឬអក្សរដូចគ្នាដែលផ្តល់ដោយសន្ទស្សន៍៖ , , ... ឬ , , ... )។

ជាទូទៅសមីការអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ដោយអាស្រ័យលើចំនួននៃមិនស្គាល់ សមីការត្រូវបានគេហៅថាសមីការមួយដែលមានមួយ, ពីរ, ល។

តម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលប្រែក្លាយសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ, ហៅថាដំណោះស្រាយសមីការ

ការដោះស្រាយសមីការមានន័យថាស្វែងរកដំណោះស្រាយជាច្រើនរបស់វា ឬបង្ហាញថាមិនមានដំណោះស្រាយ។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការអាចគ្មានកំណត់ កំណត់ ឬទទេ។

ប្រសិនបើដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃសមីការគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនោះ គេថាសមីការជាលទ្ធផលនៃសមីការ ហើយសរសេរ

សមីការពីរ

ហៅ សមមូលប្រសិនបើពួកគេម្នាក់ៗជាផលវិបាកនៃមួយទៀតហើយសរសេរ

ដូច្នេះសមីការពីរត្រូវបានចាត់ទុកថាសមមូល ប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងនេះស្របគ្នា។

សមីការត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងសមីការពីរ (ឬច្រើន) ប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការស្របគ្នានឹងការរួបរួមនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ , .

សមីការសមមូលមួយចំនួន៖

សមីការគឺស្មើនឹងសមីការដែលបានពិចារណាលើសំណុំនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការដើម។

ស្មើនឹងសមីការពីរ និង .

សមីការគឺស្មើនឹងសមីការ។

សមីការសម្រាប់សេស n គឺស្មើនឹងសមីការ ហើយសម្រាប់សូម្បីតែ n វាស្មើនឹងសមីការពីរ និង។

សមីការពិជគណិតហៅថាសមីការនៃទម្រង់

ដែល​ជា​ពហុធា​សញ្ញាប័ត្រ​ទី n នៅ​ក្នុង​អថេរ​មួយ ឬ​ច្រើន។

សមីការពិជគណិតជាមួយមិនស្គាល់មួយ។ត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃទម្រង់

ដែល n ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន មេគុណនៃពហុធា , , , ... , , ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ(ឬ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) សមីការ និងត្រូវបានចាត់ទុកថាផ្តល់ឱ្យ; x ត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់ហើយគឺជាអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ លេខ n ត្រូវបានហៅ សញ្ញាបត្រសមីការ

តម្លៃនៃ x មិនស្គាល់ដែលបង្វែរសមីការពិជគណិតទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ឫស(តិចជាញឹកញាប់ ការសម្រេចចិត្ត) សមីការពិជគណិត។

មានសមីការជាច្រើនប្រភេទដែលអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ ទាំងនេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ ក៏ដូចជាសមីការនៃទម្រង់ F(x) ដែល F គឺជាអនុគមន៍ស្តង់ដារមួយ (អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ ឬកូតង់សង់)។ សមីការបែបនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាសាមញ្ញបំផុត។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់សមីការគូបផងដែរ ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាសាមញ្ញបំផុតនោះទេ។

ដូច្នេះភារកិច្ចចម្បងនៅពេលដោះស្រាយសមីការណាមួយគឺត្រូវកាត់បន្ថយវាឱ្យសាមញ្ញបំផុត។

សមីការទាំងអស់ដែលបានរាយខាងក្រោមក៏មានដំណោះស្រាយក្រាហ្វិចផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេផងដែរ ដែលរួមមានការបង្ហាញផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការជាមុខងារដូចគ្នាបេះបិទពីររបស់មិនស្គាល់។ បន្ទាប់មកក្រាហ្វមួយត្រូវបានសាងសង់ ទីមួយនៃមុខងារមួយ ហើយបន្ទាប់មកនៃផ្សេងទៀត ហើយចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វទាំងពីរនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃសមីការដើម។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃសមីការទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធ។

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាសមីការដឺក្រេទីមួយ។

ដែល a និង b គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន។

សមីការលីនេអ៊ែរតែងតែមានឫសតែមួយ ដែលត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។

ការបន្ថែមចំនួនទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (1) យើងទទួលបានសមីការ

សមមូលនឹងសមីការ (១). បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (2) ដោយតម្លៃ យើងទទួលបានឫសនៃសមីការ (1)៖

សមីការ​ការ៉េ

សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ។

, (3)

ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន, ហៅថា សមីការ​ការ៉េ. ប្រសិនបើ នោះសមីការការ៉េ (3) ត្រូវបានគេហៅថា បានផ្តល់ឱ្យ .

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

,

កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា រើសអើងសមីការ​ការ៉េ។

ក្នុងនោះ៖

ប្រសិនបើ នោះសមីការមានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា។

ប្រសិនបើ នោះសមីការមានឫសពិតមួយនៃគុណ 2;

ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសពិត ប៉ុន្តែមានឫសផ្សំស្មុគស្មាញពីរ៖

, ,

ប្រភេទពិសេសនៃសមីការការ៉េ (៣) គឺ៖

1) សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ (ប្រសិនបើ ) ដែលជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់

.

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

. (4)

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តរបស់ Vieta ដែលដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៅចុងសតវត្សទី 16 ដែលបានរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍និមិត្តសញ្ញាពិជគណិត។

2) សមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា

(-ចំនួនគត់) ។

វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាឫសនៃសមីការការ៉េនេះដោយប្រើរូបមន្ត

. (5)

រូបមន្ត (4) និង (5) គឺជាប្រភេទរូបមន្តពិសេសសម្រាប់គណនាឫសនៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

ឫសគល់នៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ

ត្រូវបានទាក់ទងទៅនឹងមេគុណរបស់វាដោយរូបមន្ត Vieta

,

.

ប្រសិនបើសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសពិតប្រាកដ រូបមន្តរបស់ Vieta អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់វិនិច្ឆ័យទាំងសញ្ញា និងទំហំដែលទាក់ទងនៃឫសនៃសមីការការ៉េ ពោលគឺ៖

ប្រសិនបើ ឫសទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ នោះឫសទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ , , បន្ទាប់មកសមីការមានឫសនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា ហើយឫសអវិជ្ជមានគឺធំជាងនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតជាងវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ , , សមីការមានឫសនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នា ហើយឫសអវិជ្ជមានគឺតិចជាងឫសវិជ្ជមាននៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។

ចូរយើងសរសេរសមីការ quadratic ម្តងទៀត

(6)

ហើយយើងនឹងបង្ហាញវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីទាញយកឫសនៃសមីការការ៉េ (6) តាមរយៈមេគុណ និងរយៈពេលទំនេររបស់វា។ ប្រសិនបើ

បន្ទាប់មកឫសនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

,

, .

ដែលអាចទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោមនៃសមីការដើម ក៏ដូចជាយកទៅក្នុងគណនីរូបមន្ត (7)។

,

ចំណាំថាដូច្នេះ

,

.

,

ប៉ុន្តែពីរូបមន្ត (7) ដូច្នេះចុងក្រោយ

ប្រសិនបើយើងដាក់ + នោះ

,

ចំណាំថាដូច្នេះ

,

,

ប៉ុន្តែទីបំផុត

.

សមីការ Binomial

សមីការនៃដឺក្រេទី n នៃទម្រង់

ហៅ សមីការ binomial. ជាមួយនឹងការជំនួស)

តើតម្លៃនព្វន្ធរបស់ឫសនៅឯណា សមីការ (8) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ

សមីការ binomial សម្រាប់សេស n មានឫសពិតមួយ។ នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច សមីការនេះមានឫស n (មួយណាពិតប្រាកដ និងស្មុគស្មាញ)៖

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

សមីការ binomial សម្រាប់សូម្បីតែ n ក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិតមានឫសពីរ ហើយនៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចមាន n ឫស គណនាដោយរូបមន្ត (9) ។

សមីការ binomial សម្រាប់សូម្បីតែ n មានឫសពិតមួយ ហើយនៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចនៃឫស ដែលគណនាដោយរូបមន្ត

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

សមីការ binomial សម្រាប់សូម្បីតែ n មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។ នៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច សមីការមានឫសគណនាដោយប្រើរូបមន្ត (10) ។

ចូរយើងផ្តល់សេចក្តីសង្ខេបសង្ខេបនៃសំណុំនៃឫសនៃសមីការ binomial សម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់មួយចំនួននៃ n ។

សមីការមានឫសពិតពីរ។

.

សមីការមានឫសពិតពីរ និងឫសស្មុគស្មាញពីរ។

សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។ ឫសស្មុគស្មាញ៖

សមីការមានឫសពិតមួយ និងឫសស្មុគស្មាញពីរ

.

សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។ ឫសស្មុគស្មាញ៖

, .

សមីការគូប

ប្រសិនបើគណិតវិទូនៃបាប៊ីឡូនៀ និងឥណ្ឌាបុរាណអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង នោះសមីការគូប ឧ។ សមីការនៃទម្រង់

ប្រែ​ក្លាយ​ជា​គ្រាប់​រឹង​ដើម្បី​បំបែក។ នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 15 ។ សាស្ត្រាចារ្យគណិតវិទ្យានៅសាកលវិទ្យាល័យ Rome និង Milan Luca Pacioli នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ "ផលបូកនៃចំណេះដឹងលើនព្វន្ធ ធរណីមាត្រ ទំនាក់ទំនង និងសមាមាត្រ" បានដាក់បញ្ហានៃការស្វែងរកវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគូបស្មើគ្នាជាមួយនឹងបញ្ហានៃការការ៉េ។ រង្វង់។ និងនៅឡើយទេ តាមរយៈការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់អ្នកពិជគណិតជនជាតិអ៊ីតាលី វិធីសាស្ត្របែបនេះត្រូវបានរកឃើញក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយភាពសាមញ្ញ

ប្រសិនបើសមីការគូបនៃទម្រង់ទូទៅ

ចែកដោយ បន្ទាប់មកមេគុណនឹងស្មើនឹង 1។ ដូច្នេះនៅពេលអនាគត យើងនឹងបន្តពីសមីការ

ដូចជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េគឺផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគូបគឺផ្អែកលើរូបមន្តសម្រាប់គូបនៃផលបូក៖

ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៅក្នុងមេគុណ ចូរយើងជំនួសនៅទីនេះ និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ៖

យើងឃើញថាដោយការជ្រើសរើសឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ពោលគឺដោយការយក យើងអាចធានាថាផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្តនេះខុសពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (11) តែនៅក្នុងមេគុណនៅ និងរយៈពេលទំនេរប៉ុណ្ណោះ។ ចូរបន្ថែមសមីការ (១១) និង (១២) ហើយផ្តល់សមីការស្រដៀងគ្នា៖

ប្រសិនបើយើងធ្វើការជំនួសនៅទីនេះ យើងទទួលបានសមីការគូបដោយមិនប្រើពាក្យ c:

.

ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញថានៅក្នុងសមីការគូប (11) ដោយប្រើការជំនួសដែលសមរម្យ យើងអាចកម្ចាត់ពាក្យដែលមានការេនៃមិនស្គាល់។ ដូច្នេះឥឡូវនេះ យើងនឹងដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់

. (13)

រូបមន្ត Cardano

សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តគូបបូកម្តងទៀត ប៉ុន្តែសរសេរខុសគ្នា៖

ប្រៀបធៀបធាតុនេះជាមួយសមីការ (13) ហើយព្យាយាមបង្កើតការតភ្ជាប់រវាងពួកវា។ ទោះបីជាមានការណែនាំក៏ដោយ វាមិនងាយស្រួលនោះទេ។ យើងត្រូវតែគោរពដល់គណិតវិទូនៃក្រុមហ៊ុន Renaissance ដែលបានដោះស្រាយសមីការគូបដោយមិនស្គាល់និមិត្តសញ្ញាអក្ខរក្រម។ ចូរជំនួសរូបមន្តរបស់យើង៖

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ហើយ៖ ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ (១៣) វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ឬ

ហើយយកជាចំនួននិង។ ដោយការជំនួស ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖

បន្ទាប់មកអ្នកអាចធ្វើសកម្មភាពតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែ "ផ្លូវ" ទាំងអស់នឹងនាំទៅរកសមីការការ៉េដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយគឺស្មើនឹងមេគុណដែលមានសញ្ញាដក ហើយផលិតផលគឺស្មើនឹងរយៈពេលទំនេរ។ វាធ្វើតាមនោះ ហើយជាឫសគល់នៃសមីការ

.

ចូរយើងសរសេរឫសទាំងនេះ៖

អថេរ និងស្មើនឹងឫសគូបនៃ និង និងដំណោះស្រាយដែលចង់បានចំពោះសមីការគូប (13) គឺជាផលបូកនៃឫសទាំងនេះ៖

.

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា រូបមន្ត Cardano .

ដំណោះស្រាយត្រីកោណមាត្រ

, , . (14)

ឫស , , នៃសមីការគូប "មិនពេញលេញ" (14) គឺស្មើគ្នា

, ,

, ,

.

សូមឱ្យសមីការគូប "មិនពេញលេញ" (14) មានសុពលភាព។

ក) ប្រសិនបើ (ករណី "មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន") បន្ទាប់មក

,

,

.

(ខ) ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក

, ,

, .

(គ) ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក

, ,

, .

ក្នុងករណីទាំងអស់តម្លៃពិតប្រាកដនៃឫសគូបត្រូវបានយក។

សមីការ biquadratic

សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រទីបួន។

,

ដែល a, b, c គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន ដែលហៅថា សមីការ biquadratic. ដោយការជំនួសសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការការ៉េ បន្តដោយការដោះស្រាយសមីការទ្វេនាមពីរ និង (និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលត្រូវគ្នា)។

ប្រសិនបើ និង នោះសមីការ biquadratic មានឫសពិតបួន៖

, .

ប្រសិនបើ , ) បន្ទាប់មកសមីការ biquadratic មានឫសពិតពីរ និងឫសផ្សំស្រមើលស្រមៃ៖

.

ប្រសិនបើ និង នោះសមីការ biquadratic មានឫសគូស្រមើស្រមៃសុទ្ធសាធចំនួនបួន៖

, .

សមីការដឺក្រេទីបួន

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីបួនត្រូវបានរកឃើញនៅសតវត្សទី 16 ។ Ludovico Ferrari សិស្សរបស់ Gerolamo Cardano ។ នោះហើយជាអ្វីដែលគេហៅថា - វិធីសាស្រ្ត។ រថយន្ត Ferrari .

ដូចនៅក្នុងការដោះស្រាយសមីការគូប និងការ៉េ នៅក្នុងសមីការដឺក្រេទីបួន

អ្នកអាចកម្ចាត់ពាក្យដោយការជំនួស។ ដូច្នេះ យើងនឹងសន្មត់ថាមេគុណនៃគូបនៃមិនស្គាល់គឺសូន្យ៖

គំនិតរបស់ Ferrari គឺតំណាងឱ្យសមីការក្នុងទម្រង់ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាការ៉េនៃកន្សោម ហើយផ្នែកខាងស្តាំគឺជាការ៉េនៃសមីការលីនេអ៊ែរ មេគុណដែលអាស្រ័យលើ . បន្ទាប់ពីនេះ វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េពីរ៖ និង . ជាការពិតណាស់ការតំណាងបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបានតែជាមួយជម្រើសពិសេសនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ុណ្ណោះ។ វាងាយស្រួលក្នុងការយកវាជាទម្រង់ បន្ទាប់មកសមីការនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

. (15)

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះគឺជាត្រីកោណចតុកោណនៃ . វានឹងក្លាយជាការ៉េពេញលេញ នៅពេលដែលការរើសអើងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។

, ឬ

សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយ(ឧទាហរណ៍ "អនុញ្ញាត") ។ វាជាគូបដែលទាក់ទងគ្នា ហើយរូបមន្តរបស់ Cardano អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកឫសគល់របស់វា។ នៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (15) យកទម្រង់

,

ហើយសមីការខ្លួនវាត្រូវបានកាត់បន្ថយជាពីរការ៉េ៖

.

ឫសរបស់ពួកគេផ្តល់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ចំពោះសមីការដើម។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

នៅទីនេះវានឹងកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តដែលមិនទាន់ផលិតរួចរាល់ ប៉ុន្តែគំនិតនៃដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ហើយបន្ថែមកន្សោមទៅភាគីទាំងសងខាង ដើម្បីឱ្យការ៉េពេញលេញមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅផ្នែកខាងឆ្វេង៖

ឥឡូវ​នេះ​យើង​យក​អ្នក​រើស​អើង​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​សមីការ​ទៅ​សូន្យ៖

ឬបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ

ឫសគល់មួយនៃសមីការលទ្ធផលអាចទាយបានដោយការតម្រៀបផ្នែកចែកនៃពាក្យសេរី៖ . បន្ទាប់ពីជំនួសតម្លៃនេះ យើងទទួលបានសមីការ

កន្លែងណា . ឫសគល់នៃសមីការ quadratic លទ្ធផលគឺ និង . ជាការពិតណាស់នៅក្នុងករណីទូទៅឫសស្មុគស្មាញក៏អាចទទួលបានផងដែរ។

ដំណោះស្រាយ Descartes-Euler

ដោយការជំនួសវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ "មិនពេញលេញ"

. (16)

ឫស , , , នៃសមីការ "មិនពេញលេញ" នៃសញ្ញាប័ត្រទីបួន (16) គឺស្មើនឹងមួយនៃកន្សោម

ដែលក្នុងនោះការរួមផ្សំនៃសញ្ញាត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីឱ្យលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត

កន្លែងណា និងជាឫសគល់នៃសមីការគូប

.

សមីការកម្រិតខ្ពស់

ការរលាយក្នុងរ៉ាឌីកាល់

រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​បួន​ជ្រុង​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​តាំង​ពី​ដើម​រៀង​មក ហើយ​នៅ​សតវត្ស​ទី ១៦។ អ្នកពិជគណិតអ៊ីតាលីបានដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 នៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងថាឫសនៃសមីការណាមួយដែលមិនលើសពីដឺក្រេទីបួនត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈមេគុណនៃសមីការដោយរូបមន្តដែលប្រើតែប្រតិបត្តិការនព្វន្ធចំនួនបួនប៉ុណ្ណោះ (បូក ដក គុណ ចែក) និងការទាញយកឫសនៃដឺក្រេមួយ។ មិនលើសពីកម្រិតនៃសមីការ។ លើសពីនេះទៅទៀត សមីការទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ () អាចត្រូវបាន "បម្រើ" ដោយរូបមន្តទូទៅមួយ។ ដោយការជំនួសមេគុណនៃសមីការទៅក្នុងវា យើងទទួលបានឫសគល់ទាំងអស់ - ទាំងពិត និងស្មុគស្មាញ។

បន្ទាប់ពីនេះ សំណួរកើតឡើងដោយធម្មជាតិ៖ តើមានរូបមន្តទូទៅស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីប្រាំ និងខ្ពស់ជាងនេះទេ? ចម្លើយចំពោះបញ្ហានេះត្រូវបានរកឃើញដោយគណិតវិទូជនជាតិន័រវេស Niels Henrik Abel នៅដើមសតវត្សទី 19 ។ មុននេះបន្តិច លទ្ធផលនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ប៉ុន្តែមិនមានភស្តុតាងគ្រប់គ្រាន់ទេ ដោយ Paolo Ruffini ជនជាតិអ៊ីតាលី។ ទ្រឹស្តីបទ Abel-Ruffini ដំណើរការដូចនេះ៖

សមីការទូទៅនៃអំណាចនៅគឺមិនអាចដោះស្រាយបាននៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។

ដូច្នេះ មិនមានរូបមន្តទូទៅដែលអាចអនុវត្តបានចំពោះសមីការទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមានន័យថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយប្រភេទជាក់លាក់នៃសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់នៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់។ Abel ខ្លួនគាត់បានរកឃើញដំណោះស្រាយបែបនេះសម្រាប់ថ្នាក់ធំទូលាយនៃសមីការនៃកម្រិតខ្ពស់តាមអំពើចិត្ត - អ្វីដែលគេហៅថាសមីការ Abelian ។ ទ្រឹស្តីបទ Abel-Ruffini ក៏មិនរាប់បញ្ចូលការពិតដែលថាឫសនៃសមីការពិជគណិតជាក់លាក់នីមួយៗអាចត្រូវបានសរសេរតាមរយៈមេគុណរបស់វាដោយប្រើសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងរ៉ាឌីកាល់ ជាពិសេសថាលេខពិជគណិតណាមួយ ពោលគឺឧ។ ឫសនៃសមីការនៃទម្រង់

ជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជារ៉ាឌីកាល់តាមរយៈលេខសនិទាន។ តាមពិត ការបញ្ចេញមតិបែបនេះមិនតែងតែមានទេ។ នេះធ្វើឡើងពីទ្រឹស្តីបទនៃការរលាយសម្រាប់សមីការពិជគណិត ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំងដ៏ឆ្នើម Evariste Galois នៅក្នុង "អនុស្សាវរីយ៍អំពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពអាចរលាយបាននៃសមីការក្នុងរ៉ាឌីកាល់" (1832; បោះពុម្ពផ្សាយក្នុងឆ្នាំ 1846)។

យើងសង្កត់ធ្ងន់ថានៅក្នុងបញ្ហាដែលបានអនុវត្តយើងចាប់អារម្មណ៍តែលើតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ការរលាយរបស់វានៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ជាធម្មតាមិនដើរតួនាទីនៅទីនេះទេ។ មានវិធីសាស្រ្តគណនាពិសេសដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុនណាមួយមិនតិចជាងដែលផ្តល់ដោយការគណនាដោយប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។

សមីការដែលត្រូវបានដោះស្រាយ

ទោះបីជាសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងជាទូទៅមិនអាចដោះស្រាយបានក្នុងរ៉ាឌីកាល់ក៏ដោយ រូបមន្តរបស់ Cardano និង Ferrari សម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 3 និងទី 4 មិនដំណើរការនៅក្នុងសាលានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិត និងពេលប្រឡងចូលមហាវិទ្យាល័យ ជួនកាលមានបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការខ្ពស់ជាងសញ្ញាប័ត្រ។ សញ្ញាបត្រទីពីរ។ ជាធម្មតាពួកវាត្រូវបានជ្រើសរើសជាពិសេសដើម្បីឱ្យឫសនៃសមីការអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើបច្ចេកទេសបឋមមួយចំនួន។

បច្ចេកទេសមួយក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសទាំងនេះគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទស្តីពីឫសសនិទាននៃពហុធា៖

ប្រសិនបើប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ផ្តាច់បានគឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ នោះភាគបែងរបស់វាគឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យសេរី ហើយភាគបែងគឺជាអ្នកបែងចែកនៃមេគុណនាំមុខ។

ដើម្បីបញ្ជាក់វាគ្រាន់តែជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ ហើយគុណសមីការដោយ . យើង​ទទួល​បាន

ពាក្យទាំងអស់នៅផ្នែកខាងឆ្វេង លើកលែងតែលេខចុងក្រោយគឺអាចបែងចែកបានដោយ ដូច្នេះវាត្រូវបានបែងចែកដោយ ហើយដោយសារ និងជាលេខសំខាន់ វាគឺជាការបែងចែកនៃ . ភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នា។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសសនិទានទាំងអស់នៃសមីការដែលមានមេគុណចំនួនគត់ដោយសាកល្បងចំនួនកំណត់នៃ "បេក្ខជន"។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់សមីការ

មេគុណនាំមុខគេគឺ 1 "បេក្ខជន" នឹងក្លាយជាអ្នកបែងចែកលេខ -2 ។ មានតែបួនប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោមពួកគេ: 1, -1, 2 និង -2 ។ ការ​ពិនិត្យ​មើល​បង្ហាញ​ថា​មាន​តែ​លេខ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​លេខ​ទាំង​នេះ​ជា​ឫស៖ .

ប្រសិនបើឫសមួយត្រូវបានរកឃើញ អ្នកអាចបន្ថយកម្រិតនៃសមីការ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។

នៅសល់នៃការបែងចែកពហុនាមដោយ binomial គឺស្មើនឹង , i.e.

វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីទ្រឹស្តីបទនោះ។

ប្រសិនបើជាឫសគល់នៃពហុធា នោះពហុនាមត្រូវបានបែងចែកដោយ ពោលគឺ ពហុធានៃសញ្ញាបត្រ 1 តិចជាង។

ការបន្តឧទាហរណ៍របស់យើង ចូរយកពីពហុនាម

កត្តា . ដើម្បី​ស្វែង​រក​គុណ​តម្លៃ អ្នក​អាច​ធ្វើ​ការ​បែងចែក​ដោយ​ជ្រុង​មួយ៖

ប៉ុន្តែមានវិធីងាយស្រួលជាង។ វានឹងកាន់តែច្បាស់ពីឧទាហរណ៍៖

ឥឡូវនេះនៅសល់គឺត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េ . ឫសរបស់វា៖

.

វិធីសាស្ត្រមេគុណមិនច្បាស់លាស់

ប្រសិនបើពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់មិនមានឫសសនិទានទេ អ្នកអាចព្យាយាមបំបែកវាទៅជាកត្តានៃកម្រិតទាបជាងជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ

សូមស្រមៃមើលផ្នែកខាងឆ្វេងជាផលិតផលនៃត្រីកោណការ៉េពីរដែលមានមេគុណមិនស្គាល់ (មិនបានកំណត់)៖

ចូរបើកតង្កៀបនៅជ្រុងខាងស្តាំ ហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា៖

ឥឡូវនេះ សមីការមេគុណនៅថាមពលដូចគ្នានៅក្នុងផ្នែកទាំងពីរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

ការប៉ុនប៉ងដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះក្នុងទម្រង់ទូទៅនឹងនាំយើងត្រលប់ទៅការដោះស្រាយសមីការដើមវិញ។ ប៉ុន្តែឫសទាំងមូលប្រសិនបើមាន វាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកដោយការជ្រើសរើសទេ។ ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចសន្មត់ថា បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយបង្ហាញថាមានតែជម្រើសពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវយកមកពិចារណា៖ និង . ការជំនួសគូនៃតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ យើងជឿជាក់ថាទីមួយនៃពួកវាផ្តល់នូវការពង្រីកដែលចង់បាន: . ដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។ .

ប្រសិនបើសមីការមានទម្រង់ កន្លែង និងពហុធា នោះការជំនួសនឹងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយរបស់វាចំពោះដំណោះស្រាយនៃសមីការពីរនៃដឺក្រេទាប៖ និង .

សមីការទៅវិញទៅមក

សមីការពិជគណិតទៅវិញទៅមក គឺជាសមីការនៃកម្រិតគូនៃទម្រង់

ដែលមេគុណមានគម្លាតស្មើគ្នាពីចុងគឺស្មើនឹង៖ ល។ សមីការបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃពាក់កណ្តាលដឺក្រេដោយបែងចែកដោយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួស .

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ

ការបែងចែកវាដោយ (ដែលស្របច្បាប់ព្រោះវាមិនមែនជាឫសគល់) យើងទទួលបាន

.

បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា

.

ដូច្នេះ បរិមាណបំពេញសមីការការ៉េ

,

ដំណោះស្រាយដែលអាចរកបានពីសមីការ .

នៅពេលដោះស្រាយសមីការទៅវិញទៅមកនៃដឺក្រេខ្ពស់ ពួកគេជាធម្មតាប្រើការពិតដែលថាកន្សោមសម្រាប់ណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាពហុធានៃដឺក្រេនៅក្នុង .

សមីការពិជគណិតសនិទាន

សនិទានសមីការពិជគណិតគឺជាសមីការនៃទម្រង់

សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការពិជគណិតសមហេតុផល (17)

ត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ ពោលគឺ , , ... , ដែល , , ... , គឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការ (១៧) មានដូចខាងក្រោម។ ការដោះស្រាយសមីការ

ឫសរបស់អ្នកដែលយើងសម្គាល់ដោយ

.

យើងប្រៀបធៀបសំណុំនៃឫសនៃពហុនាម និង . ប្រសិនបើគ្មានឫសនៃពហុធា គឺជាឫសគល់នៃពហុធា នោះឫសទាំងអស់នៃពហុធាគឺជាឫសនៃសមីការ (17) ។ ប្រសិនបើឫសនៃពហុវចនៈណាមួយជាឫសនៃពហុធា នោះចាំបាច់ត្រូវប្រៀបធៀបពីពហុនាមៈ ប្រសិនបើគុណនៃឫសនៃពហុធាគឺធំជាងគុណនៃឫសនៃពហុធា នោះឫសនេះគឺជាឫស (17) ដែលមានគុណស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងពហុគុណនៃឫសនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក; បើមិនដូច្នោះទេឫសនៃពហុធាមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការសនិទានទេ (17)។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការ

កន្លែងណា , .

ពហុធាមានឫសពិតពីរ (សាមញ្ញទាំងពីរ)៖

ពហុធាមានឫសសាមញ្ញមួយ។ ដូច្នេះ សមីការមានឫសគល់ពិតប្រាកដមួយ។

ការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នានៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងឃើញថាសមីការមាន បន្ថែមពីលើឫសពិតដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ឫសផ្សំស្មុគស្មាញពីរ៖

សមីការមិនសមហេតុផល

សមីការដែលមានមិនស្គាល់ (ឬកន្សោមពិជគណិតសមហេតុផលសម្រាប់មិនស្គាល់) នៅក្រោមសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ត្រូវបានគេហៅថា សមីការមិនសមហេតុផល. នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមិនសមហេតុផលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត។

សមីការមិនសមហេតុផលណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការពិជគណិតសនិទាន ដោយប្រើប្រតិបត្តិការពិជគណិតបឋម (គុណ ការបែងចែក ការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទៅជាចំនួនគត់)។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា សមីការពិជគណិតសនិទានលទ្ធផលអាចប្រែទៅជាមិនស្មើនឹងសមីការមិនសមហេតុផលដើម ពោលគឺវាអាចមានឫស "បន្ថែម" ដែលនឹងមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការមិនសមហេតុផលដើម។ ដូច្នេះ ដោយបានរកឃើញឫសគល់នៃសមីការពិជគណិតសនិទានភាព ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការសមហេតុសមផលនឹងក្លាយជាឫសគល់នៃសមីការមិនសមហេតុផល។

ក្នុងករណីទូទៅ វាពិបាកក្នុងការចង្អុលបង្ហាញវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផលណាមួយ ព្រោះវាគួរអោយចង់បានថា ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរសមីការមិនសមហេតុផលដើម លទ្ធផលគឺមិនមែនគ្រាន់តែជាសមីការពិជគណិតសមហេតុផលមួយចំនួនទេ ក្នុងចំណោមឫសគល់នៃ ដែលនឹងមានឫសគល់នៃសមីការមិនសមហេតុផលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប៉ុន្តែសមីការពិជគណិតសមហេតុផលដែលបង្កើតឡើងពីពហុនាមនៃកម្រិតតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។ បំណងប្រាថ្នាដើម្បីទទួលបានសមីការពិជគណិតសនិទាននោះដែលបង្កើតចេញពីពហុនាមនៃកម្រិតតូចមួយតាមដែលអាចធ្វើបានគឺពិតជាធម្មជាតិណាស់ ចាប់តាំងពីការស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការពិជគណិតសនិទានភាពនៅក្នុងខ្លួនវាអាចក្លាយជាកិច្ចការដ៏លំបាកមួយ ដែលយើងអាចដោះស្រាយបានទាំងស្រុង។ នៅក្នុងករណីមួយចំនួនមានកំណត់។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីស្តង់ដារមួយចំនួន វិធីសាស្រ្តដែលប្រើញឹកញាប់បំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការពិជគណិតមិនសមហេតុផល។

1) វិធីសាស្រ្តដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផលគឺវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់រ៉ាឌីកាល់ដោយការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទៅជាថាមពលធម្មជាតិសមស្រប។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា នៅពេលដែលភាគីទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលសេស សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងកម្លាំងដើម ហើយនៅពេលដែលភាគីទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលស្មើគ្នា សមីការលទ្ធផលនឹងជាទូទៅ និយាយ, មិនស្មើទៅនឹងសមីការដើម។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលដោយបង្កើនផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ

ដល់កម្រិតណាក៏បាន។ លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនេះគឺសមីការ

សំណុំនៃដំណោះស្រាយគឺជាសហជីពនៃសំណុំដំណោះស្រាយ៖

និង .

ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទោះបីជាមានគុណវិបត្តិនេះក៏ដោយ វាគឺជានីតិវិធីនៃការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទៅជាថាមពលមួយចំនួន (ជាញឹកញាប់សូម្បីតែ) ដែលជានីតិវិធីទូទៅបំផុតសម្រាប់ការកាត់បន្ថយសមីការមិនសមហេតុផលទៅជាសមីការសមហេតុផល។

ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាពហុនាមមួយចំនួន។

ដោយសារនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការស្រង់ឫសក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត តម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃមិនស្គាល់ត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌ

ដោយការចែកសមីការភាគីទាំងពីរ (18) យើងទទួលបានសមីការ

បន្ទាប់​ពី​ការ​ការ៉េ​ម្ដង​ទៀត សមីការ​ក្លាយ​ជា​សមីការ​ពិជគណិត

ដោយសារផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (18) ត្រូវបានដាក់ជាការ៉េ វាអាចបង្ហាញថាមិនមែនគ្រប់ឫសនៃសមីការ (19) នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមទេ ការត្រួតពិនិត្យឫសគឺចាំបាច់។

2) ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុសមផលគឺវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអ្វីដែលមិនស្គាល់ថ្មីៗ ទាក់ទងនឹងសមីការអសមហេតុផលដែលសាមញ្ញជាង ឬសមីការសមហេតុផលត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល

.

សំណុំនៃតម្លៃត្រឹមត្រូវសម្រាប់សមីការនេះគឺ៖

ការដាក់ បន្ទាប់ពីការជំនួស យើងទទួលបានសមីការ

ឬសមីការសមមូល

ដែលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមីការការ៉េទាក់ទងនឹង . ការដោះស្រាយសមីការនេះយើងទទួលបាន

ដូច្នេះ សំណុំដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនសមហេតុផលដើម គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសំណុំដំណោះស្រាយនៃសមីការពីរខាងក្រោម៖

, .

ការបង្កើនផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទាំងនេះទៅជាគូបមួយ យើងទទួលបានសមីការពិជគណិតសមហេតុផលពីរ៖

, .

ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ យើងឃើញថាសមីការមិនសមហេតុផលនេះមានឫសតែមួយ។

សរុបសេចក្តីមក យើងកត់សំគាល់ថា នៅពេលដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល មិនគួរចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការដោយការលើកសមីការទាំងពីរទៅជាថាមពលធម្មជាតិទេ ដោយព្យាយាមកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនសមហេតុផលទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតសមហេតុផល។ ដំបូងយើងត្រូវមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរឬទេក្នុងការបំប្លែងសមីការដែលដូចគ្នាបេះបិទ ដែលអាចធ្វើអោយដំណោះស្រាយរបស់វាមានភាពសាមញ្ញ។

. (20)

សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់សមីការនេះគឺ៖ . ចូរយើងធ្វើការបំប្លែងដូចខាងក្រោមនៃសមីការនេះ៖

.

,

សមីការនឹងមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

នៅពេលដែលសមីការអាចត្រូវបានសរសេរជា

.

នៅពេលដែលសមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយ ចាប់តាំងពីសម្រាប់ណាមួយ ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការ កន្សោមនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺវិជ្ជមាន។

នៅពេលដែលសមីការមានដំណោះស្រាយ

.

ដោយពិចារណាថាសំណុំនៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបានចំពោះសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌ ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖

នៅពេលដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល (២០) នឹងមាន

.

សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់ សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ ពោលគឺ សំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់វាគឺជាសំណុំទទេ។

សមីការដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត

សមីការដែលមានមិនស្គាល់ដែលមានសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាតអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដោយគ្មានសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាតដោយប្រើនិយមន័យនៃម៉ូឌុល។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ការដោះស្រាយសមីការ

(21)

កាត់បន្ថយការដោះស្រាយសមីការពីរជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។

1) ប្រសិនបើ នោះសមីការ (21) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

. (22)

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ៖ , . លក្ខខណ្ឌត្រូវបានពេញចិត្តដោយឫសទីពីរនៃសមីការ quadratic (22) ហើយលេខ 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ (21)។

2) ប្រសិនបើ សមីការ (21) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

.

ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺជាលេខ និង . ឫសដំបូង មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះហើយមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះទេ (21)។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (21) នឹងជាលេខ 3 និង .

ចំណាំថាមេគុណនៃសមីការដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាតអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបដែលដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងជាតម្លៃទាំងអស់នៃមិនស្គាល់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលជាក់លាក់នៃអ័ក្សលេខ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

. (23)

សូមក្រឡេកមើលអ័ក្សលេខ Ox ហើយសម្គាល់ចំណុច 0 និង 3 នៅលើវា (សូន្យនៃមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាតម្លៃដាច់ខាត)។ ចំណុចទាំងនេះនឹងបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបីចន្លោះ (រូបភាពទី 1)៖

1) នៅពេលដែលសមីការ (23) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

នៅចន្លោះពេល សមីការចុងក្រោយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដូចគ្នានេះដែរនៅពេលដែលសមីការ (23) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

ហើយនៅក្នុងចន្លោះពេលមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

2) នៅពេលដែលសមីការ (23) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

,

នោះគឺវាប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ដូច្នេះតម្លៃណាមួយគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (23) ។

សមីការឆ្លងដែន

សមីការដែលមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាសមីការពិជគណិតដោយប្រើការបំប្លែងពិជគណិតត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ឆ្លង ).

សមីការឆ្លងដែនសាមញ្ញបំផុតគឺសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និងសមីការត្រីកោណមាត្រ។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាសមីការដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលតែនៅក្នុងនិទស្សន្តសម្រាប់មូលដ្ឋានថេរមួយចំនួន។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត ដំណោះស្រាយដែលកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិត គឺជាសមីការនៃទម្រង់

កន្លែងណា និងជាលេខវិជ្ជមានមួយចំនួន។ សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (២៤) គឺស្មើនឹងសមីការពិជគណិត

.

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត នៅពេលដែល , សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (២៤) មានដំណោះស្រាយ

សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃទម្រង់

តើពហុនាមណាខ្លះ ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។

អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ ហើយសមីការ (25) ត្រូវបានដោះស្រាយជាពិជគណិតទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់។ បន្ទាប់ពីនេះ ការដោះស្រាយសមីការដើម (25) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់ (24)។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ

ការសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់

និងការណែនាំអថេរថ្មី យើងទទួលបានសមីការគូបទាក់ទងនឹងអថេរ៖

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាសមីការគូបនេះមានឫសសនិទានតែមួយ និងឫសមិនសមហេតុផលពីរ៖ និង .

ដូច្នេះ ការដោះស្រាយសមីការដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត៖

បញ្ជីចុងក្រោយមិនមានសមីការដំណោះស្រាយទេ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទីមួយ និងទីពីរ៖

សមីការសូចនាករសាមញ្ញបំផុតមួយចំនួន៖

1) សមីការនៃទម្រង់

.

2) សមីការនៃទម្រង់

ការជំនួសកាត់បន្ថយទៅជាសមីការការ៉េ

.

3) សមីការនៃទម្រង់

ការជំនួសកាត់បន្ថយទៅជាសមីការការ៉េ

.

សមីការលោការីត

លោការីតសមីការ​គឺ​ជា​សមីការ​ដែល​មិន​ស្គាល់​លេច​ឡើង​ជា​អាគុយម៉ង់​ចំពោះ​អនុគមន៍​លោការីត។

សមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតគឺជាសមីការនៃទម្រង់

, (26)

តើលេខវិជ្ជមានខ្លះខុសពីលេខមួយណា ជាចំនួនពិតណាមួយ។ សមីការលោការីត (២៦) ស្មើនឹងសមីការពិជគណិត

ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត នៅពេលដែល , សមីការលោការីត (26) មានដំណោះស្រាយ

សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលោការីតនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែលពហុនាមមួយចំនួននៃមិនស្គាល់ដែលបានបញ្ជាក់ ត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។

អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ ហើយសមីការ (25) ត្រូវបានដោះស្រាយជាសមីការពិជគណិតសម្រាប់ . បន្ទាប់ពីនេះសមីការលោការីតសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់ (25) ត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ

ទាក់ទងទៅនឹងការមិនស្គាល់ សមីការនេះគឺបួនជ្រុង៖

.

ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ៖ , .

ការដោះស្រាយសមីការលោការីត

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលោការីត (27): , .

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការលោការីតទៅនឹងដំណោះស្រាយបន្តបន្ទាប់គ្នានៃសមីការលោការីត និងពិជគណិតសាមញ្ញ ដំបូងឡើយ ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការបំប្លែងសមស្របនៃលោការីតដែលបានបញ្ចូលក្នុងសមីការ។ ការបំប្លែងបែបនេះអាចជាការបំប្លែងផលបូកនៃលោការីតនៃបរិមាណពីរទៅជាលោការីតនៃផលិតផលនៃបរិមាណទាំងនេះ ការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានមួយទៅលោការីតជាមួយមូលដ្ឋានមួយទៀត។ល។

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ

ដើម្បីកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះទៅជាដំណោះស្រាយតាមលំដាប់លំដោយនៃសមីការពិជគណិត និងលោការីតសាមញ្ញ វាជាការចាំបាច់មុនដំបូងដើម្បីកាត់បន្ថយលោការីតទាំងអស់ទៅមូលដ្ឋានមួយ (ឧទាហរណ៍នៅទីនេះ ដល់គោល 2)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត

,

ដោយគុណធម៌ . ការជំនួសតម្លៃស្មើគ្នាទៅក្នុងសមីការ (28) យើងទទួលបានសមីការ

ការជំនួស សមីការនេះកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់មិនស្គាល់៖

.

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះគឺ៖ , . យើងដោះស្រាយសមីការនិង :

,

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ

ការបំប្លែងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃបរិមាណពីរទៅជាលោការីតនៃកូតានៃបរិមាណទាំងនេះ៖

យើងកាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាសមីការលោការីតដ៏សាមញ្ញបំផុត។

.

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

គណិតវិទ្យា ដូចជាវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត មិននៅស្ងៀម រួមជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍សង្គម ទស្សនៈរបស់មនុស្សផ្លាស់ប្តូរ គំនិត និងគំនិតថ្មីៗកើតឡើង។ ហើយសតវត្សទី 20 គឺមិនមានករណីលើកលែងក្នុងន័យនេះទេ។ ការមកដល់នៃកុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យមានការកែសម្រួលវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ និងធ្វើឱ្យពួកគេកាន់តែងាយស្រួល។ ប៉ុន្តែកុំព្យូទ័រប្រហែលជាមិនតែងតែនៅនឹងដៃទេ (ការប្រឡង តេស្ត) ដូច្នេះចំណេះដឹងយ៉ាងហោចណាស់វិធីសំខាន់ៗដើម្បីដោះស្រាយសមីការគឺចាំបាច់។ ការប្រើសមីការក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃគឺកម្រណាស់។ ពួកគេបានរកឃើញកម្មវិធីរបស់ពួកគេនៅក្នុងវិស័យជាច្រើននៃសេដ្ឋកិច្ច និងស្ទើរតែទាំងអស់នៃបច្ចេកវិទ្យាចុងក្រោយបំផុត។

នៅក្នុងការងារនេះ មិនមែនគ្រប់វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការ និងសូម្បីតែប្រភេទរបស់ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនោះទេ ប៉ុន្តែមានតែវិធីមូលដ្ឋានបំផុតប៉ុណ្ណោះ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអត្ថបទរបស់ខ្ញុំអាចបម្រើជាឯកសារយោងដ៏ល្អនៅពេលដោះស្រាយសមីការមួយចំនួន។ សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ថា នៅពេលសរសេរអត្ថបទនេះ ខ្ញុំមិនបានកំណត់ខ្លួនឯងនូវគោលដៅនៃការបង្ហាញសមីការគ្រប់ប្រភេទនោះទេ ប៉ុន្តែបង្ហាញតែសម្ភារៈដែលខ្ញុំមានប៉ុណ្ណោះ។

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ

ក្បាល។ ed ។ M. D. Aksenova ។ សព្វវចនាធិប្បាយសម្រាប់កុមារ។ ភាគ 11. គណិតវិទ្យា។ – M.: Avanta+, 1998. – 688 ទំ។

Tsypkin A.G. Ed. S.A. Stepanova ។ សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់អនុវិទ្យាល័យ។ – M.: Nauka, 1980.- 400 ទំ។

G. Korn និង T. Korn ។ សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វករ។ – M.: Nauka, 1970.- 720 ទំ។

) ក្រោម អាចទទួលយកបាន។តម្លៃលេខនៃអក្សរទាំងនោះត្រូវបានយល់ដែលប្រតិបត្តិការទាំងអស់ដែលបានអនុវត្តលើអក្សរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមភាពគឺអាចធ្វើទៅបាន។ ឧទាហរណ៍ តម្លៃត្រឹមត្រូវនៃអក្សរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមភាព

នឹងមានដូចខាងក្រោម; សម្រាប់ ; សម្រាប់, សម្រាប់

) ប្រសិនបើ a និង b មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះ .

) ករណីនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលបានពិភាក្សា។

) ក្រោម ការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិតសមីការ

ស្វែងយល់ពីការផ្លាស់ប្តូរខាងក្រោម៖

1) ការបន្ថែមកន្សោមពិជគណិតដូចគ្នាទៅភាគីទាំងពីរនៃសមីការ;

2) គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយកន្សោមពិជគណិតដូចគ្នា;

3) ការលើកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទៅជាអំណាចសមហេតុផល។

ការរក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមពិនិត្យមើលការអនុវត្តឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ ឬទាក់ទងបុគ្គលជាក់លាក់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើយើងប្រមូលព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះ៖

• នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យស្នើសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាសយដ្ឋានអ៊ីមែល។ល។

របៀបដែលយើងប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

• ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នកជាមួយនឹងការផ្តល់ជូនពិសេស ការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
• យូរៗម្ដង យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ។
• យើងក៏អាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងផងដែរ ដូចជាការធ្វើសវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និងការស្រាវជ្រាវផ្សេងៗ ដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
• ប្រសិនបើអ្នកចូលរួមក្នុងការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួតប្រជែង ឬការផ្សព្វផ្សាយស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញព័ត៌មានដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

• បើចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ នីតិវិធីតុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង/ឬ ផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពីអាជ្ញាធររដ្ឋាភិបាលនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - ដើម្បីបង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬគោលបំណងសំខាន់សាធារណៈផ្សេងទៀត។
• នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅឱ្យភាគីទីបីស្នងតំណែង។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

គោរពភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទំនាក់ទំនងឯកជនភាព និងស្តង់ដារសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

បន្ទាប់ពីយើងបានសិក្សាពីគោលគំនិតនៃសមភាព ដែលជាប្រភេទមួយក្នុងចំណោមប្រភេទរបស់ពួកគេ - សមភាពលេខ យើងអាចបន្តទៅប្រភេទសំខាន់មួយទៀត - សមីការ។ នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃសម្ភារៈនេះ យើងនឹងពន្យល់ពីអ្វីដែលសមីការ និងឫសគល់របស់វា បង្កើតនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន និងផ្តល់ឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃសមីការ និងការស្វែងរកឫសគល់របស់វា។

គំនិតនៃសមីការ

ជាធម្មតា គោលគំនិតនៃសមីការត្រូវបានបង្រៀននៅដើមដំបូងនៃវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ៖

និយមន័យ ១

សមីការហៅថាសមភាពជាមួយនឹងលេខមិនស្គាល់ដែលត្រូវការរក។

វាជាទម្លាប់ក្នុងការសម្គាល់មិនស្គាល់ជាអក្សរឡាតាំងតូចៗ ឧទាហរណ៍ t, r, m, ជាដើម ប៉ុន្តែ x, y, z ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។ ម៉្យាងទៀតសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយទម្រង់នៃការកត់ត្រារបស់វា ពោលគឺសមភាពនឹងជាសមីការតែនៅពេលដែលវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ជាក់លាក់មួយ - វាត្រូវតែមានអក្សរជាតម្លៃដែលត្រូវតែរកឃើញ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃសមីការសាមញ្ញបំផុត។ ទាំងនេះអាចជាសមភាពនៃទម្រង់ x = 5, y = 6 ជាដើម។ ក៏ដូចជាការដែលរួមបញ្ចូលប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ឧទាហរណ៍ x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = ៣.

បន្ទាប់ពីគោលគំនិតនៃតង្កៀបត្រូវបានរៀន គំនិតនៃសមីការជាមួយតង្កៀបលេចឡើង។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូល 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 ។ល។ អក្សរដែលត្រូវរកអាចលេចឡើងច្រើនជាងម្តង ប៉ុន្តែច្រើនដង ដូចជា ឧទាហរណ៍ ក្នុងសមីការ x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ មិនស្គាល់អាចមានទីតាំងនៅមិនត្រឹមតែនៅខាងឆ្វេងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅខាងស្តាំ ឬផ្នែកទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយផងដែរ ឧទាហរណ៍ x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ឬ 8 x − 9 = 2 (x + 17) ។

លើសពីនេះ បន្ទាប់ពីសិស្សស្គាល់គោលគំនិតនៃចំនួនគត់ ការពិត សនិទានភាព លេខធម្មជាតិ ក៏ដូចជាលោការីត ឫស និងអំណាច សមីការថ្មីលេចឡើងដែលរួមបញ្ចូលវត្ថុទាំងអស់នេះ។ យើងបានលះបង់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយចំពោះឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចេញមតិបែបនេះ។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សាថ្នាក់ទី 7 គំនិតនៃអថេរលេចឡើងជាលើកដំបូង។ ទាំង​នេះ​ជា​អក្សរ​ដែល​អាច​យក​អត្ថន័យ​ផ្សេង​គ្នា (សម្រាប់​សេចក្តី​លម្អិត​បន្ថែម​សូម​មើល​អត្ថបទ​អំពី​លេខ អក្សរ និង​កន្សោម​អថេរ)។ ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតនេះ យើងអាចកំណត់សមីការឡើងវិញបាន៖

និយមន័យ ២

សមីការគឺជាសមភាពដែលពាក់ព័ន្ធនឹងអថេរដែលតម្លៃត្រូវគណនា។

ជាឧទាហរណ៍ កន្សោម x + 3 = 6 x + 7 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x ហើយ 3 y − 1 + y = 0 គឺជាសមីការជាមួយអថេរ y ។

សមីការមួយអាចមានអថេរច្រើនជាងមួយ ប៉ុន្តែមានពីរ ឬច្រើន។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថារៀងគ្នា សមីការជាមួយអថេរពីរ បី។ល។ ចូរយើងសរសេរនិយមន័យ៖

និយមន័យ ៣

សមីការដែលមានអថេរពីរ (បី បួន ឬច្រើន) គឺជាសមីការដែលរួមបញ្ចូលចំនួនដែលមិនស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ សមភាពនៃទម្រង់ 3, 7 · x + 0, 6 = 1 គឺជាសមីការដែលមានអថេរ x និង x − z = 5 គឺជាសមីការដែលមានអថេរពីរ x និង z ។ ឧទាហរណ៍នៃសមីការដែលមានអថេរបីគឺ x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 ។

ឫសគល់នៃសមីការ

នៅពេលយើងនិយាយអំពីសមីការ តម្រូវការកើតឡើងភ្លាមៗដើម្បីកំណត់គោលគំនិតនៃឫសរបស់វា។ ចូរយើងព្យាយាមពន្យល់ពីអត្ថន័យរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១

យើងត្រូវបានផ្តល់សមីការជាក់លាក់មួយដែលរួមបញ្ចូលអថេរមួយ។ ប្រសិនបើយើងជំនួសលេខសម្រាប់អក្សរមិនស្គាល់ សមីការក្លាយជាសមភាពលេខ - ពិតឬមិនពិត។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ a + 1 = 5 យើងជំនួសអក្សរដោយលេខ 2 នោះសមភាពនឹងក្លាយជាមិនពិត ហើយប្រសិនបើ 4 នោះសមភាពត្រឹមត្រូវនឹងជា 4 + 1 = 5 ។

យើងចាប់អារម្មណ៍កាន់តែខ្លាំងចំពោះតម្លៃទាំងនោះដែលអថេរនឹងប្រែទៅជាសមភាពពិត។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាឫសឬដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរនិយមន័យ។

និយមន័យ ៤

ឫសគល់នៃសមីការពួកគេហៅតម្លៃនៃអថេរដែលប្រែសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាសមភាពពិត។

ឫសក៏អាចត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយឬផ្ទុយទៅវិញ - គំនិតទាំងពីរនេះមានន័យដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបញ្ជាក់និយមន័យនេះ។ ខាងលើយើងផ្តល់សមីការ a + 1 = 5 ។ យោងតាមនិយមន័យឫសក្នុងករណីនេះនឹងមាន 4 ពីព្រោះនៅពេលជំនួសជំនួសឱ្យអក្សរវាផ្តល់សមភាពលេខត្រឹមត្រូវហើយពីរនឹងមិនមែនជាដំណោះស្រាយទេព្រោះវាត្រូវគ្នានឹងសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ 2 + 1 = 5 ។

តើសមីការមួយអាចមានឫសប៉ុន្មាន? តើសមីការនីមួយៗមានឫសគល់ទេ? ចូរយើងឆ្លើយសំណួរទាំងនេះ។

សមីការដែលមិនមានឫសតែមួយក៏មានដែរ។ ឧទាហរណ៍មួយគឺ 0 x = 5 ។ យើង​អាច​ជំនួស​លេខ​ខុស​គ្នា​ដែល​គ្មាន​កំណត់​ទៅ​ក្នុង​វា ប៉ុន្តែ​គ្មាន​លេខ​ណាមួយ​នឹង​ប្រែក្លាយ​វា​ទៅ​ជា​សមភាព​ពិត​ទេ ព្រោះ​គុណនឹង 0 តែងតែ​ផ្តល់ 0 ។

វាក៏មានសមីការដែលមានឫសជាច្រើន។ ពួកវាអាចមានឫសចំនួនកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដូច្នេះនៅក្នុងសមីការ x − 2 = 4 មានឫសតែមួយ - ប្រាំមួយ ក្នុង x 2 = 9 ឫសពីរ - បី និងដកបី ក្នុង x · (x − 1) · (x − 2) = 0 ឫសបី - សូន្យ មួយ និងពីរ មានឫសច្រើនឥតកំណត់នៅក្នុងសមីការ x=x ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពន្យល់ពីរបៀបសរសេរឫសនៃសមីការឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើគ្មានទេនោះ យើងសរសេរថា "សមីការមិនមានឫសគល់ទេ"។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចចង្អុលបង្ហាញសញ្ញានៃសំណុំទទេ ∅ ផងដែរ។ ប្រសិនបើមានឫស នោះយើងសរសេរពួកវាបំបែកដោយសញ្ញាក្បៀស ឬចង្អុលបង្ហាញវាជាធាតុនៃសំណុំ ដោយភ្ជាប់ពួកវាជាដង្កៀបអង្កាញ់។ ដូច្នេះប្រសិនបើសមីការណាមួយមានឫសបី - 2, 1 និង 5 បន្ទាប់មកយើងសរសេរ - 2, 1, 5 ឬ (- 2, 1, 5) ។

វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសរសេរឫសក្នុងទម្រង់នៃសមភាពសាមញ្ញ។ ដូច្នេះប្រសិនបើមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ y ហើយឫសគឺ 2 និង 7 បន្ទាប់មកយើងសរសេរ y = 2 និង y = 7 ។ ពេលខ្លះអក្សររត់ត្រូវបានបន្ថែមទៅអក្សរឧទាហរណ៍ x 1 = 3, x 2 = 5 ។ តាមរបៀបនេះយើងចង្អុលទៅលេខនៃឫស។ ប្រសិនបើសមីការមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ នោះយើងសរសេរចម្លើយជាចន្លោះលេខ ឬប្រើសញ្ញាណដែលទទួលយកជាទូទៅ៖ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានតំណាង N, ចំនួនគត់ - Z, ចំនួនពិត - R ។ ឧបមាថា ប្រសិនបើយើងត្រូវសរសេរថា ដំណោះស្រាយនៃសមីការនឹងមានចំនួនគត់ នោះយើងសរសេរថា x ∈ Z ហើយប្រសិនបើចំនួនពិតណាមួយពីមួយទៅប្រាំបួន បន្ទាប់មក y ∈ 1, 9 ។

នៅពេលដែលសមីការមានឫសពីរ បី ឬច្រើនជាងនេះ តាមក្បួនមួយ យើងមិននិយាយអំពីឫសទេ ប៉ុន្តែអំពីដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានអថេរជាច្រើន។

និយមន័យ ៥

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលមានអថេរពីរ បី ឬច្រើនគឺតម្លៃពីរ បី ឬច្រើននៃអថេរដែលបង្វែរសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងពន្យល់និយមន័យជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 4

ឧបមាថាយើងមានកន្សោម x + y = 7 ដែលជាសមីការដែលមានអថេរពីរ។ ចូរជំនួសមួយជំនួសឱ្យទីមួយ ហើយពីរជំនួសឱ្យទីពីរ។ យើងនឹងទទួលបានសមភាពមិនត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថាតម្លៃគូនេះនឹងមិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះទេ។ ប្រសិនបើយើងយកគូទី 3 និងទី 4 នោះសមភាពនឹងក្លាយជាការពិត ដែលមានន័យថាយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយហើយ។

សមីការ​បែប​នេះ​ក៏​ប្រហែល​ជា​គ្មាន​ឫស ឬ​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​វា​ដែរ។ ប្រសិនបើយើងត្រូវសរសេរតម្លៃពីរ បី បួន ឬច្រើននោះ យើងសរសេរពួកវាបំបែកដោយក្បៀសក្នុងវង់ក្រចក។ នោះគឺនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ចម្លើយនឹងមើលទៅដូច (3, 4)។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកច្រើនតែត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការដែលមានអថេរមួយ។ យើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយពួកវាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទដែលឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter