ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដោយ​មនុស្ស​តាំង​ពី​សម័យ​បុរាណ ហើយ​ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​របស់​ពួក​គេ​មាន​តែ​កើន​ឡើង។ ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖

គណនា \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ប្រសិនបើ \

ជាដំបូង ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាលេខមួយត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ពិជគណិត មួយទៀត - ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ វាត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងនាំមកទម្រង់ខាងក្រោម

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

កន្សោម \ និយាយថា ជាដំបូង យើងធ្វើគុណ និងបង្កើនដល់អំណាចទី ១០ តាមរូបមន្ត Moivre ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យើង​ទទួល​បាន:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

ដោយប្រកាន់ខ្ជាប់នូវច្បាប់សម្រាប់គុណចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ យើងនឹងធ្វើដូចខាងក្រោម៖

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos\frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3)\]

ការធ្វើឱ្យប្រភាគ \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ត្រឹមត្រូវ យើងសន្និដ្ឋានថា "បង្វិល" 4 វេន \[(8\pi rad ។):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

ចម្លើយ៖ \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដែលពុះកញ្ជ្រោលដល់ការនាំយកលេខទី 2 ទៅជាទម្រង់ពិជគណិត បន្ទាប់មកធ្វើការគុណជាទម្រង់ពិជគណិត បកប្រែលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងអនុវត្តរូបមន្ត Moivre៖

តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចតាមអ៊ីនធឺណិតនៅឯណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https: // site ។ កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

ទីភ្នាក់ងារសហព័ន្ធសម្រាប់ការអប់រំ

វិទ្យាស្ថានអប់រំរដ្ឋ

ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈកម្រិតខ្ពស់

"សាកលវិទ្យាល័យគរុកោសល្យរដ្ឋ VORONEZH"

ប្រធាន AGLEBRA និងធរណីមាត្រ

លេខស្មុគស្មាញ

(កិច្ចការដែលបានជ្រើសរើស)

ការងារជម្រុះចុងក្រោយ

ឯកទេស 050201.65 គណិតវិទ្យា

(ជាមួយនឹងព័ត៌មានពិសេសបន្ថែម 050202.65)

បញ្ចប់ដោយ៖ និស្សិតឆ្នាំទី៥

រូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា

មហាវិទ្យាល័យ

ទីប្រឹក្សាវិទ្យាសាស្ត្រ៖

VORONEZH - ឆ្នាំ ២០០៨

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ……………………………………………………...…………..…

2. ចំនួនកុំផ្លិច (បញ្ហាដែលបានជ្រើសរើស)

២.១. ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត………………………….

២.២. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច……………

២.៣. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

២.៤. ការអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃចំនួនកុំផ្លិច ទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 …………………………………………………………………………

២.៥. ចំនួនកុំផ្លិច និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ………………………………………….

3. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន………………………………………………………………………………

4. បញ្ជីឯកសារយោង………………………………………………………………….

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ

នៅក្នុងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានៃវគ្គសិក្សារបស់សាលា ទ្រឹស្ដីលេខត្រូវបានណែនាំដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃសំណុំនៃចំនួនធម្មជាតិ ចំនួនគត់ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល i.e. នៅលើសំណុំនៃចំនួនពិតដែលរូបភាពរបស់វាបំពេញបន្ទាត់លេខទាំងមូល។ ប៉ុន្តែរួចទៅហើយនៅក្នុងថ្នាក់ទី 8 មិនមានភាគហ៊ុនគ្រប់គ្រាន់នៃចំនួនពិត, ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការបំពេញភាគហ៊ុននៃចំនួនពិតជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច ដែលឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមានន័យ។

ជម្រើសនៃប្រធានបទ "ចំនួនកុំផ្លិច" ជាប្រធានបទនៃការងារគុណវុឌ្ឍិចុងក្រោយរបស់ខ្ញុំគឺថា គំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ពង្រីកចំណេះដឹងរបស់សិស្សអំពីប្រព័ន្ធលេខ អំពីការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទនៃមាតិកាពិជគណិត និងធរណីមាត្រ អំពី ការដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រណាមួយ និងអំពីការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ក្នុងកិច្ចការនិក្ខេបបទនេះ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាចំនួន ៨២ ត្រូវបានពិចារណា។

ផ្នែកដំបូងនៃផ្នែកសំខាន់ "ចំនួនកុំផ្លិច" ផ្តល់នូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត កំណត់ប្រតិបត្តិការនៃការបូក ដក គុណ ចែក ប្រតិបត្តិការផ្សំសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត កម្រិតនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ , ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយក៏កំណត់ក្បួនដកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅក្នុងផ្នែកទីពីរបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងទម្រង់នៃចំនុចឬវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញ។

ផ្នែកទីបីនិយាយអំពីប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖ De Moivre និងការទាញយកឫសពីចំនួនកុំផ្លិច។

ផ្នែកទី 4 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃផ្នែកចុងក្រោយ "ចំនួនកុំផ្លិចនិងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" ព័ត៌មានដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែកមុនត្រូវបានប្រើនិងរួមបញ្ចូលគ្នា។ ស៊េរីនៃបញ្ហានៅក្នុងជំពូកនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការកំណត់គ្រួសារនៃបន្ទាត់នៅក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ (វិសមភាព) ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។ នៅក្នុងផ្នែកនៃលំហាត់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (នៅលើវាល C)។ មានភារកិច្ចដែលអថេរស្មុគស្មាញក្នុងពេលដំណាលគ្នាបំពេញលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន។ លក្ខណៈពិសេសនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃផ្នែកនេះគឺការកាត់បន្ថយជាច្រើននៃពួកគេទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ (វិសមភាពប្រព័ន្ធ) នៃដឺក្រេទីពីរមិនសមហេតុផលត្រីកោណមាត្រដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។

លក្ខណៈពិសេសនៃការបង្ហាញនៃសម្ភារៈនៃផ្នែកនីមួយៗគឺការណែនាំដំបូងនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះទ្រឹស្តី ហើយក្រោយមកការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់ពួកគេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

នៅចុងបញ្ចប់នៃនិក្ខេបបទគឺជាបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ។ នៅក្នុងភាគច្រើននៃពួកគេ សម្ភារៈទ្រឹស្តីត្រូវបានបង្ហាញលម្អិតគ្រប់គ្រាន់ និងក្នុងមធ្យោបាយដែលអាចចូលដំណើរការបាន ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាមួយចំនួនត្រូវបានពិចារណា ហើយកិច្ចការជាក់ស្តែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។ ខ្ញុំចង់យកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះប្រភពដូចជា៖

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. លេខស្មុគស្មាញ និងកម្មវិធីរបស់ពួកគេ៖ សៀវភៅសិក្សា។ . សម្ភារៈនៃសៀវភៅណែនាំត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់នៃការបង្រៀន និងលំហាត់ជាក់ស្តែង។

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. បញ្ហាដែលបានជ្រើសរើស និងទ្រឹស្តីបទនៃគណិតវិទ្យាបឋម។ នព្វន្ធ និងពិជគណិត។ សៀវភៅនេះមាន 320 បញ្ហាដែលទាក់ទងនឹង ពិជគណិត នព្វន្ធ និងទ្រឹស្តីលេខ។ តាមធម្មជាតិ កិច្ចការទាំងនេះមានភាពខុសគ្នាខ្លាំងពីកិច្ចការសាលាស្តង់ដារ។

2. ចំនួនកុំផ្លិច (បញ្ហាដែលបានជ្រើសរើស)

២.១. ចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត, i.e. សមីការនៃទម្រង់

,

ដែល a0 , a1 , …, an គឺជាចំនួនពិត។ ដូច្នេះហើយ ការសិក្សាអំពីសមីការពិជគណិតគឺជាសំណួរដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ សមីការការ៉េដែលមានការរើសអើងអវិជ្ជមានមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។ សមីការ​បែប​នេះ​សាមញ្ញ​បំផុត​គឺ​សមីការ

.

ដើម្បីឱ្យសមីការនេះមានដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកសំណុំនៃចំនួនពិតដោយបន្ថែមវាទៅឫសនៃសមីការ។

.

ចូរសម្គាល់ឫសនេះថាជា

. ដូច្នេះតាមនិយមន័យ , ឬ ,

អាស្រ័យហេតុនេះ

. ត្រូវបានគេហៅថាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា និងដោយមានជំនួយពីលេខពិតមួយ កន្សោមនៃទម្រង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង។

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច ពីព្រោះពួកវាមានទាំងផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។

ដូច្នេះចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនៃទម្រង់

និងជាចំនួនពិត និងជានិមិត្តសញ្ញាមួយចំនួនដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ លេខត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយលេខត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃរបស់វា។ និមិត្តសញ្ញា ត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ពួកវា។

លេខស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

ជាចំនួនពិត ហើយដូច្នេះ សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច មានសំណុំនៃចំនួនពិត។

លេខស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

ត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ ចំនួនកុំផ្លិចពីរនៃទម្រង់ ហើយត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នា ប្រសិនបើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើសមភាព, ។

ការសម្គាល់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការលើពួកវាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតានៃពិជគណិត។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយចំនួនកុំផ្លិច អ្នកត្រូវយល់ពីនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន។ គោលបំណងសំខាន់នៃអត្ថបទពិនិត្យនេះគឺដើម្បីពន្យល់ពីអ្វីដែលជាចំនួនកុំផ្លិច និងវិធីសាស្រ្តបច្ចុប្បន្នសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមូលដ្ឋានជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិច។ ដូច្នេះ ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួននៃទម្រង់ z = a + ប៊ីកន្លែងណា ក, ខ- ចំនួនពិត ដែលត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច រៀងៗខ្លួន និងបញ្ជាក់ a = Re(z), b=Im(z).
ខ្ញុំត្រូវបានគេហៅថាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ខ្ញុំ 2 \u003d -1. ជាពិសេស ចំនួនពិតអាចចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញ៖ a = a + 0iដែលជាកន្លែងដែល a គឺពិតប្រាកដ។ ប្រសិនបើ a = 0និង b ≠ 0បន្ទាប់មកលេខត្រូវបានគេហៅថាការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។

ឥឡូវនេះ យើងណែនាំប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិច។
ពិចារណាចំនួនកុំផ្លិចពីរ z 1 = a 1 + b 1 iនិង z 2 = a 2 + b 2 i.

ពិចារណា z = a + ប៊ី.

សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចពង្រីកសំណុំនៃចំនួនពិត ដែលនៅក្នុងវេនពង្រីកសំណុំនៃលេខសនិទាន ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ខ្សែសង្វាក់នៃការបង្កប់នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាព: N - លេខធម្មជាតិ Z - ចំនួនគត់ Q - សនិទាន R - ពិតប្រាកដ C - ស្មុគស្មាញ។

តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការសម្គាល់ពិជគណិត។

ពិចារណាចំនួនកុំផ្លិច z = a + ប៊ីទម្រង់នៃការសរសេរលេខស្មុគស្មាញនេះត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត. យើង​បាន​ពិភាក្សា​អំពី​ទម្រង់​នៃ​ការ​សរសេរ​នេះ​រួច​ហើយ​នៅ​ក្នុង​ផ្នែក​មុន​។ ជាញឹកញាប់ប្រើគំនូររូបភាពខាងក្រោម

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខថាលេខ z = a + ប៊ីអាចត្រូវបានសរសេរខុសគ្នា។ វាច្បាស់ណាស់។ a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, ជាលទ្ធផល z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃសញ្ញាណពេលខ្លះគឺងាយស្រួលណាស់។ ឧទាហរណ៍ វាងាយស្រួលប្រើសម្រាប់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាចំនួនគត់ ពោលគឺប្រសិនបើ z = rcos(φ) + rsin(φ)iបន្ទាប់មក z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)iរូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ De Moivre.

ទម្រង់បទបង្ហាញ។

ពិចារណា z = rcos(φ) + rsin(φ)iគឺជាចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ យើងសរសេរវាក្នុងទម្រង់ផ្សេង z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφសមភាពចុងក្រោយធ្វើតាមរូបមន្តអយល័រ ដូច្នេះយើងទទួលបានទម្រង់ថ្មីនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ z = re iφដែលត្រូវបានគេហៅថា ការបង្ហាញ. ទម្រង់នៃការសម្គាល់នេះក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរសម្រាប់ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពល៖ z n = r n e inφនៅទីនេះ នមិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែអាចជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។ ទម្រង់នៃការសរសេរនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតខ្ពស់។

ស្រមៃថាយើងមានសមីការការ៉េ x 2 + x + 1 = 0 ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺអវិជ្ជមាន ហើយវាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប៉ុន្តែវាប្រែថាសមីការនេះមានឫសស្មុគស្មាញពីរផ្សេងគ្នា។ ដូច្នេះ ទ្រឹស្តីបទចម្បងនៃពិជគណិតខ្ពស់ជាងនេះចែងថាពហុធានៃដឺក្រេ n មានឫសស្មុគស្មាញយ៉ាងតិចមួយ។ វាកើតឡើងពីនេះដែលពហុនាមនៃដឺក្រេ n មានឫសស្មុគ្រស្មាញយ៉ាងពិតប្រាកដដោយគិតគូរពីគុណរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាលទ្ធផលដ៏សំខាន់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានគេអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយ។ ការរួមផ្សំដ៏សាមញ្ញនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺថា មានឫសគល់ n-ដឺក្រេជាក់លាក់នៃឯកភាព។

ប្រភេទការងារសំខាន់ៗ

នៅក្នុងផ្នែកនេះ ប្រភេទចម្បងនៃបញ្ហាចំនួនកុំផ្លិចសាមញ្ញនឹងត្រូវបានពិចារណា។ តាមធម្មតា បញ្ហាលើចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទដូចខាងក្រោម។

• អនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញលើចំនួនកុំផ្លិច។
• ការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមក្នុងចំនួនកុំផ្លិច។
• ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពល។
• ការទាញយកឫសពីចំនួនកុំផ្លិច។
• ការអនុវត្តចំនួនកុំផ្លិច ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។

ឥឡូវនេះពិចារណាវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតជាមួយចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកទីមួយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល នោះក្នុងករណីនេះពួកគេអាចបំលែងទៅជាទម្រង់ពិជគណិត និងអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលគេស្គាល់។

ការស្វែងរកឫសគល់នៃពហុវចនានុក្រមជាធម្មតាចុះមករកឫសនៃសមីការការ៉េ។ ឧបមាថាយើងមានសមីការបួនជ្រុង ប្រសិនបើការរើសអើងរបស់វាគឺមិនអវិជ្ជមាន នោះឫសរបស់វានឹងក្លាយជាការពិត ហើយត្រូវបានរកឃើញតាមរូបមន្តដែលគេស្គាល់។ បើអ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ឃ = −1∙a ២កន្លែងណា កគឺជាចំនួនជាក់លាក់ បន្ទាប់មកយើងអាចតំណាងឱ្យអ្នករើសអើងក្នុងទម្រង់ D = (ia) ២, ជាលទ្ធផល √D = i|a|ហើយបន្ទាប់មកអ្នកអាចប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ។

ឧទាហរណ៍. ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការការ៉េដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ x 2 + x + 1 = 0 ។
រើសអើង - ឃ \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញឫសយ៉ាងងាយស្រួល៖

ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលអាចធ្វើឡើងតាមវិធីជាច្រើន។ ប្រសិនបើអ្នកចង់បង្កើនចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងទម្រង់ពិជគណិតទៅជាថាមពលតូចមួយ (2 ឬ 3) បន្ទាប់មកអ្នកអាចធ្វើវាបានដោយការគុណដោយផ្ទាល់ ប៉ុន្តែប្រសិនបើដឺក្រេធំជាង (ក្នុងបញ្ហាវាច្រើនតែធំជាង) នោះអ្នកត្រូវ សរសេរលេខនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់រួចហើយ។

ឧទាហរណ៍. ពិចារណា z = 1 + i ហើយលើកទៅថាមពលទីដប់។
យើងសរសេរ z ក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ z = √2 e iπ/4 ។
បន្ទាប់មក z 10 = (√2 អ៊ី iπ/4) 10 = 32 អ៊ី 10iπ/4.
ចូរយើងត្រលប់ទៅទម្រង់ពិជគណិតវិញ៖ z 10 = -32i ។

ការស្រង់ឫសពីលេខស្មុគ្រស្មាញគឺជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសដោយគោរពតាមនិទស្សន្ត ដូច្នេះវាត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ដើម្បីស្រង់ឫស ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរលេខត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រទី 3 នៃឯកភាព។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញឫសទាំងអស់នៃសមីការ z 3 = 1 យើងនឹងរកមើលឫសក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ជំនួសក្នុងសមីការ៖ r 3 e 3iφ = 1 ឬ r 3 e 3iφ = e 0 ។
ដូេចនះ៖ r = 1, 3φ = 0 + 2πk ដូេចនះ φ = 2πk/3។
ឫសផ្សេងៗត្រូវបានទទួលនៅφ = 0, 2π/3, 4π/3 ។
ដូច្នេះ 1, e i2π/3, e i4π/3 គឺជាឫស។
ឬក្នុងទម្រង់ពិជគណិត៖

ប្រភេទចុងក្រោយនៃបញ្ហារួមមានបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទ ហើយមិនមានវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយវាទេ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃកិច្ចការបែបនេះ៖

ស្វែងរកបរិមាណ sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).

ទោះបីជាការបង្កើតបញ្ហានេះមិនសំដៅទៅលើលេខស្មុគស្មាញក៏ដោយ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងជំនួយរបស់ពួកគេ វាអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល។ ដើម្បីដោះស្រាយវា តំណាងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖


ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងជំនួសតំណាងនេះទៅជាផលបូកនោះ បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបូកសរុបនៃដំណើរការធរណីមាត្រធម្មតា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

លេខកុំផ្លិចត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងគណិតវិទ្យា អត្ថបទពិនិត្យឡើងវិញនេះបានពិភាក្សាអំពីប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានលើចំនួនកុំផ្លិច ពិពណ៌នាអំពីបញ្ហាស្តង់ដារជាច្រើនប្រភេទ និងបានពិពណ៌នាសង្ខេបអំពីវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា សម្រាប់ការសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីលទ្ធភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច វាត្រូវបានណែនាំអោយ ប្រើអក្សរសិល្ប៍ឯកទេស។

អក្សរសិល្ប៍