នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀប និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំ និងលេខក្នុងត្រីកោណមាត្រ. នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការកត់សម្គាល់ ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកំណត់ត្រា ផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ សរុបសេចក្តីមក យើងគូរប៉ារ៉ាឡែលរវាងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ និងធរណីមាត្រ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់

តោះតាមដានពីរបៀបដែលគោលគំនិតនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ហើយក្រោយមកទៀត ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានសិក្សា ដែលសំដៅលើស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល និងលេខ។ យើងផ្តល់និយមន័យទាំងអស់នេះ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ និងផ្តល់យោបល់ចាំបាច់។

មុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណកែង

ពីវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្រ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំត្រូវបានគេស្គាល់។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ជាសមាមាត្រនៃជ្រុងនៃត្រីកោណកែងមួយ។ យើងបង្ហាញទម្រង់របស់ពួកគេ។

និយមន័យ។

ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​ស្តាំ​មួយ​គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែងគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំស្រួចក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងជើងទល់មុខ។

សញ្ញាណនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ ក៏ត្រូវបានណែនាំនៅទីនោះផងដែរ - sin, cos, tg និង ctg រៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ ABC គឺជាត្រីកោណកែងដែលមានមុំខាងស្តាំ C នោះស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខ BC ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស AB នោះគឺ sin∠A=BC/AB។

និយមន័យទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួច ពីប្រវែងដែលគេស្គាល់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណខាងស្តាំ ក៏ដូចជាពីតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស។ តង់សង់ កូតង់សង់ និងប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាង ស្វែងរកប្រវែងនៃជ្រុងម្ខាងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងដឹងថាក្នុងត្រីកោណកែងជើង AC គឺ 3 ហើយអ៊ីប៉ូតេនុស AB គឺ 7 នោះយើងអាចគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួច A តាមនិយមន័យ៖ cos∠A=AC/AB=3/7 ។

មុំបង្វិល

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រពួកគេចាប់ផ្តើមមើលមុំកាន់តែទូលំទូលាយ - ពួកគេណែនាំគំនិតនៃមុំនៃការបង្វិល។ មុំនៃការបង្វិលមិនដូចមុំស្រួចទេ មិនត្រូវបានកំណត់ដោយស៊ុមពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេទេ មុំបង្វិលគិតជាដឺក្រេ (និងជារ៉ាដ្យង់) អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតណាមួយពី −∞ ទៅ +∞ ។

នៅក្នុងពន្លឺនេះ និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ លែងជាមុំស្រួចស្រាវទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាមុំនៃរ៉ិចទ័រតាមអំពើចិត្ត - មុំនៃការបង្វិល។ ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរយៈកូអរដោនេ x និង y នៃចំណុច A 1 ដែលចំណុចដំបូងហៅថា A(1, 0) ឆ្លងកាត់បន្ទាប់ពីវាបង្វិលតាមមុំαជុំវិញចំណុច O - ការចាប់ផ្តើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ និងកណ្តាលនៃរង្វង់ឯកតា។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα គឺជាការកំណត់នៃចំនុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលα ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំនុច A 1 នោះគឺ cosα=x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃចំនុច A 1 ទៅនឹង abscissa របស់វា នោះគឺ tgα = y/x ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa នៃចំណុច A 1 ទៅនឹងការចាត់តាំងរបស់វា នោះគឺ ctgα=x/y ។

ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំ α ណាមួយ ដោយហេតុថាយើងតែងតែអាចកំណត់ abscissa និង ordinate នៃចំណុច ដែលត្រូវបានទទួលដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមដោយមុំα។ ហើយតង់សង់ និងកូតង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំណាមួយឡើយ។ តង់សង់មិនត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំបែបនេះ α ដែលចំណុចដំបូងទៅចំណុចសូន្យ abscissa (0, 1) ឬ (0, −1) ហើយវាកើតឡើងនៅមុំ 90°+180° k , k∈Z (π / 2 + π k rad) ។ ជាការពិតណាស់ នៅមុំនៃការបង្វិលបែបនេះ កន្សោម tgα=y/x មិនសមហេតុផលទេ ព្រោះវាមានការបែងចែកដោយសូន្យ។ ចំពោះ​កូតង់សង់ វា​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​សម្រាប់​មុំ​ដូច​នេះ α ដែល​ចំណុច​ចាប់​ផ្តើម​ទៅ​កាន់​ចំណុច​មួយ​ដែល​មាន​លេខសូន្យ (1, 0) ឬ (−1, 0) ហើយ​នេះ​ជា​ករណី​សម្រាប់​មុំ 180° k, k ∈Z (π k rad) ។

ដូច្នេះ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំបង្វិលណាមួយ តង់សង់ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) ហើយកូតង់សង់គឺសម្រាប់គ្រប់មុំ លើកលែងតែ 180 °·k , k∈Z (π·k rad) ។

សញ្ញាណដែលយើងស្គាល់រួចមកហើយ បង្ហាញនៅក្នុងនិយមន័យ sin, cos, tg និង ctg ពួកវាក៏ត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្គាល់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល (ពេលខ្លះអ្នកអាចរកឃើញសញ្ញាណ tan និង cot ដែលត្រូវគ្នានឹងតង់សង់ និង កូតង់សង់) ។ ដូច្នេះស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល 30 ដឺក្រេអាចសរសេរជា sin30° កំណត់ត្រា tg(−24°17′) និង ctgα ត្រូវគ្នាទៅនឹងតង់ហ្សង់នៃមុំបង្វិល −24 ដឺក្រេ 17 នាទី និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα . សូមចាំថានៅពេលសរសេររង្វាស់រ៉ាដ្យង់នៃមុំមួយ សញ្ញា "រ៉ាដ" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ ឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃបី pi rads ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងឱ្យ cos3 π ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ វាគឺមានតំលៃកត់សម្គាល់ថាក្នុងការនិយាយអំពីស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិល ឃ្លា "មុំបង្វិល" ឬពាក្យ "បង្វិល" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល។ នោះគឺជំនួសឱ្យឃ្លា "ស៊ីនុសនៃមុំនៃការបង្វិលអាល់ហ្វា" ឃ្លា "ស៊ីនុសនៃមុំអាល់ហ្វា" ជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើឬសូម្បីតែខ្លីជាង - "ស៊ីនុសនៃអាល់ហ្វា" ។ ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្តចំពោះកូស៊ីនុស និងតង់សង់ និងកូតង់សង់។

ចូរនិយាយផងដែរថា និយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺស្របនឹងនិយមន័យដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលចាប់ពី 0 ដល់ 90។ ដឺក្រេ។ យើងនឹងបញ្ជាក់រឿងនេះ។

លេខ

និយមន័យ។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ t គឺជាលេខដែលស្មើនឹងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលគិតជារ៉ាដ្យង់ t រៀងគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ កូស៊ីនុសនៃ 8 π គឺជាលេខដែលស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំ 8 π rad ។ ហើយកូស៊ីនុសនៃមុំក្នុង 8 π rad គឺស្មើនឹងមួយ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃលេខ 8 π គឺស្មើនឹង 1 ។

មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតចំពោះនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃចំនួនមួយ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាចំនួនពិតនីមួយៗ t ត្រូវបានផ្តល់ចំណុចមួយនៃរង្វង់ឯកតាដែលផ្តោតលើប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ហើយស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានកំណត់តាមរយៈកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ។ ចូរយើងរស់នៅលើរឿងនេះឱ្យបានលំអិត។

ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលការឆ្លើយឆ្លងរវាងចំនួនពិត និងចំណុចនៃរង្វង់ត្រូវបានបង្កើតឡើង៖

• លេខ 0 ត្រូវបានកំណត់ចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0);
• លេខវិជ្ជមាន t ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីជុំវិញរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយឆ្លងកាត់ផ្លូវនៃប្រវែង t;
• លេខអវិជ្ជមាន t ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា ដែលយើងនឹងទៅដល់ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីជុំវិញរង្វង់ពីចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកា ហើយឆ្លងកាត់ផ្លូវនៃប្រវែង |t| .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃលេខ t ។ ចូរ​យើង​សន្មត​ថា​លេខ t ត្រូវ​នឹង​ចំណុច​នៃ​រង្វង់ A 1 (x, y) (ឧទាហរណ៍ លេខ &pi/2; ត្រូវ​នឹង​ចំណុច A 1 (0, 1))។

និយមន័យ។

ស៊ីនុសនៃលេខមួយ។ t គឺជាលំដាប់នៃចំណុចរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ sint=y ។

និយមន័យ។

កូស៊ីនុសនៃលេខមួយ។ t ត្រូវបានគេហៅថា abscissa នៃចំនុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ cost = x ។

និយមន័យ។

តង់សង់នៃលេខមួយ។ t គឺជាសមាមាត្រនៃការចាត់តាំងទៅ abscissa នៃចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ tgt = y / x ។ នៅក្នុងរូបមន្តសមមូលមួយផ្សេងទៀត តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃចំនួននេះទៅនឹងកូស៊ីនុស នោះគឺ tgt=sint/cost ។

និយមន័យ។

កូតង់សង់នៃលេខមួយ។ t គឺជាសមាមាត្រនៃ abscissa ទៅនឹងការចាត់តាំងនៃចំនុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t នោះគឺ ctgt=x/y ។ រូបមន្តមួយទៀតមានដូចខាងក្រោម៖ តង់សង់នៃលេខ t គឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសនៃចំនួន t ទៅស៊ីនុសនៃលេខ t : ctgt=cost/sint ។

នៅទីនេះ យើងកត់សំគាល់ថា និយមន័យដែលទើបតែបានផ្តល់ឱ្យ យល់ស្របជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមផ្នែករងនេះ។ ជាការពិតណាស់ ចំណុចនៃរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងលេខ t ស្របគ្នានឹងចំណុចដែលទទួលបានដោយការបង្វិលចំណុចចាប់ផ្តើមតាមរយៈមុំនៃ t រ៉ាដ្យង់។

វាក៏មានតម្លៃក្នុងការបញ្ជាក់ចំណុចនេះផងដែរ។ ចូរនិយាយថាយើងមានធាតុ sin3 ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ថាតើស៊ីនុសនៃលេខ 3 ឬស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលនៃ 3 រ៉ាដ្យង់គឺស្ថិតនៅក្នុងសំណួរ? ជាធម្មតា វាច្បាស់ពីបរិបទ បើមិនដូច្នេះទេ វាប្រហែលជាគ្មានបញ្ហាទេ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ និងលេខ

យោងតាមនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន មុំបង្វិលនីមួយៗ α ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ sin α ក៏ដូចជាតម្លៃ cos α ។ លើសពីនេះ មុំបង្វិលទាំងអស់ក្រៅពី 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgα និងផ្សេងទៀតជាង 180° k , k∈Z (π k rad) គឺជាតម្លៃនៃ ctgα ។ ដូច្នេះ sinα, cosα, tgα និង ctgα គឺជាមុខងារនៃមុំα។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មុំ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចនិយាយអំពីអនុគមន៍ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ ជាការពិតណាស់ លេខពិតនីមួយៗ t ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនៃ sinnt ក៏ដូចជាតម្លៃផងដែរ។ លើសពីនេះ លេខទាំងអស់ក្រៅពី π/2+π·k , k∈Z ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ tgt ហើយលេខ π·k , k∈Z ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ ctgt ។

មុខងារស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន.

ជាធម្មតាវាច្បាស់ពីបរិបទដែលយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់មុំ ឬអាគុយម៉ង់ជាលេខ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងអាចពិចារណាអថេរឯករាជ្យជារង្វាស់មុំ (អាគុយម៉ង់មុំ) និងអាគុយម៉ង់លេខ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សាលាសិក្សាជាចម្បងលើមុខងារលេខ ពោលគឺមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ ក៏ដូចជាតម្លៃមុខងារដែលត្រូវគ្នាជាលេខ។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍នោះ គួរតែពិចារណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់លេខ។

ការតភ្ជាប់នៃនិយមន័យពីធរណីមាត្រ និងត្រីកោណមាត្រ

ប្រសិនបើយើងពិចារណាមុំនៃការបង្វិលαពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ នោះទិន្នន័យនៅក្នុងបរិបទនៃត្រីកោណមាត្រនៃនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលគឺស្របទាំងស្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស។ តង់សង់ និង​កូតង់សង់​នៃ​មុំស្រួច​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង ដែល​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​វគ្គ​ធរណីមាត្រ។ ចូរយើងបញ្ជាក់រឿងនេះ។

គូររង្វង់ឯកតាក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ Oxy ។ ចំណាំចំណុចចាប់ផ្តើម A(1, 0) ។ ចូរបង្វិលវាដោយមុំ α ចាប់ពី 0 ដល់ 90 ដឺក្រេ យើងទទួលបានចំនុច A 1 (x, y) ។ ចូរទម្លាក់កាត់កែង A 1 H ពីចំណុច A 1 ទៅអ័ក្សអុក។

វាងាយមើលឃើញថានៅក្នុងត្រីកោណកែងមុំ A 1 OH ស្មើនឹងមុំបង្វិលα ប្រវែងជើង OH នៅជាប់នឹងមុំនេះគឺស្មើនឹង abscissa នៃចំនុច A 1 នោះគឺ |OH |=x ប្រវែងជើង A 1 H ទល់មុខនឹងមុំគឺស្មើរនឹងចំនុច A 1 នោះគឺ |A 1 H|=y ហើយប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុស OA 1 គឺស្មើនឹងមួយ។ ចាប់តាំងពីវាជាកាំនៃរង្វង់ឯកតា។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យពីធរណីមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំស្រួចα ក្នុងត្រីកោណកែង A 1 OH គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស ពោលគឺ sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y ។ ហើយតាមនិយមន័យពីត្រីកោណមាត្រ ស៊ីនុសនៃមុំបង្វិល α គឺស្មើនឹងការចាត់តាំងនៃចំនុច A 1 នោះគឺ sinα=y ។ នេះបង្ហាញថានិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងនិយមន័យនៃស៊ីនុសនៃមុំបង្វិលαសម្រាប់αពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

ដូចគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា និយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំស្រួច α គឺស្របនឹងនិយមន័យនៃកូស៊ីនុសតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំបង្វិលα។

គន្ថនិទ្ទេស។

1. ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 7-9៖ ការសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [អិល។ S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev និងអ្នកដទៃ] ។ - ទី 20 ed ។ M.: ការអប់រំ, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8 ។
2. Pogorelov A.V.ធរណីមាត្រ៖ Proc ។ សម្រាប់ 7-9 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A.V. Pogorelov ។ - បោះពុម្ពលើកទី ២ - អិមៈការត្រាស់ដឹង ២០០១ - ២២៤ ទំ។ ៈឈឺ។ - ISBN 5-09-010803-X ។
3. ពិជគណិត និងអនុគមន៍បឋម: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 9 នៃអនុវិទ្យាល័យ / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; កែសម្រួលដោយបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា O.N. Golovin - ទី៤ ed. ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ ការអប់រំ ឆ្នាំ ១៩៦៩។
4. ពិជគណិត៖ប្រូក សម្រាប់ 9 កោសិកា។ មធ្យម សាលា / យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; អេដ។ S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc ។ សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn និងអ្នកដទៃ; អេដ។ A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3 ។
6. Mordkovich A.G.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ ថ្នាក់ទី 10 ។ នៅម៉ោង 2 រសៀល ផ្នែកទី 1: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ (កម្រិតទម្រង់) / A.G. Mordkovich, P. V. Semenov ។ - ទី 4 ed ។ , បន្ថែម។ - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0 ។
7. ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - I.: Education, 2010. - 368 p.: I. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc. សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ មធ្យម សាលា - ទី 3 ed ។ - M. : Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4 ។
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

ស៊ីនុសមុំស្រួច α នៃត្រីកោណកែងគឺជាសមាមាត្រ ទល់មុខ catheter ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស។
វាត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: sin α។

កូស៊ីនុសមុំស្រួច α នៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។
វាត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: cos α។

តង់សង់មុំស្រួច α គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។
វាត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម: tg α។

កូតង់សង់មុំស្រួច α គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងជើងផ្ទុយ។
វាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: ctg α។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយអាស្រ័យតែលើទំហំនៃមុំប៉ុណ្ណោះ។

ច្បាប់៖

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងត្រីកោណកែង៖

(α - មុំស្រួចទល់នឹងជើង ខ និងនៅជាប់នឹងជើង ក . ចំហៀង ជាមួយ - អ៊ីប៉ូតេនុស។ β - មុំស្រួចទីពីរ) ។

ខ sinα = - គ	sin 2 α + cos 2 α = 1
ក cosα = - គ	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ខ tgα = - ក	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
ក ctgα = - ខ	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

នៅពេលដែលមុំស្រួចកើនឡើងsinα និងtg αកើនឡើង, និងcos α ថយចុះ។

សម្រាប់មុំស្រួច α ណាមួយ៖

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

ឧទាហរណ៍ពន្យល់:

អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងត្រីកោណ ABC
AB = 6,
BC = 3,
មុំ A = 30º។

រកស៊ីនុសនៃមុំ A និងកូស៊ីនុសនៃមុំ B ។

ដំណោះស្រាយ។

1) ដំបូងយើងរកឃើញតម្លៃនៃមុំ B ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ៖ ដោយសារនៅក្នុងត្រីកោណកែងផលបូកនៃមុំស្រួចគឺ 90º បន្ទាប់មកមុំ B \u003d 60º៖

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º។

2) គណនា sin A. យើងដឹងថាស៊ីនុសស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សម្រាប់មុំ A ជើងទល់មុខគឺចំហៀង BC ។ ដូច្នេះ៖

BC ៣ ១
sin A=--=-=-
AB ៦ ២

3) ឥឡូវនេះយើងគណនា cos B. យើងដឹងថាកូស៊ីនុសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងអ៊ីប៉ូតេនុស។ សម្រាប់មុំ B ជើងដែលនៅជាប់គ្នាគឺចំហៀងដូចគ្នា BC ​​។ នេះមានន័យថាយើងត្រូវបែងចែក BC ទៅជា AB ម្តងទៀត ពោលគឺអនុវត្តសកម្មភាពដូចគ្នានឹងពេលគណនាស៊ីនុសនៃមុំ A៖

BC ៣ ១
cos B=--=-=-
AB ៦ ២

លទ្ធផលគឺ៖
sin A = cos B = 1/2 ។

sin 30º = cos 60º = 1/2 ។

ពីនេះវាដូចខាងក្រោមថានៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំស៊ីនុសនៃមុំស្រួចមួយគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំស្រួចមួយទៀត - និងច្រាសមកវិញ។ នេះគឺជាអ្វីដែលរូបមន្តទាំងពីររបស់យើងមានន័យ៖
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

តោះពិនិត្យមើលវាម្តងទៀត៖

1) អនុញ្ញាតឱ្យ α = 60º។ ការជំនួសតម្លៃនៃ α ទៅក្នុងរូបមន្តស៊ីនុស យើងទទួលបាន៖
sin (90º - 60º) = cos 60º។
sin 30º = cos 60º។

2) ឱ្យ α = 30º។ ការជំនួសតម្លៃនៃ α ទៅក្នុងរូបមន្តកូស៊ីនុស យើងទទួលបាន៖
cos (90° - 30º) = sin 30º។
cos 60° = sin 30º។

(សម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែមអំពីត្រីកោណមាត្រ សូមមើលផ្នែកពិជគណិត)

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រគឺជាសមភាពដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកមុខងារទាំងនេះ ដោយផ្តល់ថា ណាមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះនិយាយថាផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុសនៃមុំមួយ និងការ៉េនៃកូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺស្មើនឹងមួយ ដែលក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងធ្វើឱ្យវាអាចគណនាស៊ីនុសនៃមុំមួយនៅពេលដែលកូស៊ីនុសរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ និងច្រាសមកវិញ។ .

នៅពេលបំប្លែងកន្សោមត្រីកោណមាត្រ អត្តសញ្ញាណនេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃមុំមួយ និងអនុវត្តប្រតិបត្តិការជំនួសតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ស្វែងរកតង់សង់ និងកូតង់សង់តាមរយៈស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

អត្តសញ្ញាណទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងពីនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើល តាមនិយមន័យ លំដាប់នៃ y គឺជាស៊ីនុស ហើយ abscissa នៃ x គឺជាកូស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកតង់សង់នឹងស្មើនឹងសមាមាត្រ \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), និងសមាមាត្រ \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- នឹងក្លាយជាកូតង់សង់។

យើងបន្ថែមថាសម្រាប់តែមុំ \alpha ដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររួមបញ្ចូលក្នុងពួកវាសមហេតុផល អត្តសញ្ញាណនឹងប្រព្រឹត្តទៅ , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ឧទាហរណ៍: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)មានសុពលភាពសម្រាប់មុំអាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2)+\pi z, ក ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- សម្រាប់មុំ \ អាល់ហ្វាក្រៅពី \ pi z, z គឺជាចំនួនគត់។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់តែមុំ \ អាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2) z. បើមិនដូច្នោះទេ កូតង់សង់ ឬតង់ហ្សង់នឹងមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ដោយផ្អែកលើចំណុចខាងលើយើងទទួលបាន tg \alpha = \frac(y)(x), ក ctg\alpha=\frac(x)(y). ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ដូច្នេះតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយដែលពួកគេយល់បានគឺជាលេខទៅវិញទៅមក។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូស៊ីនុស កូតង់សង់ និងស៊ីនុស

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- ផលបូកនៃការ៉េនៃតង់សង់នៃមុំ \ អាល់ហ្វា និង 1 គឺស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ទាំងអស់ក្រៅពី \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- ផលបូកនៃ 1 និងការ៉េនៃកូតង់សង់នៃមុំ \ អាល់ហ្វា ស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃស៊ីនុសនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ណាមួយក្រៅពី \pi z ។

ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក \sin \alpha និង tg \alpha ប្រសិនបើ \cos \alpha=-\frac12និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

មុខងារ \sin \alpha និង \cos \alpha ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1. ជំនួសរូបមន្តនេះ។ \cos \alpha = -\frac12, យើង​ទទួល​បាន:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12\right)^2 = 1

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយ ២៖

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅក្នុងត្រីមាសទី 2 ស៊ីនុសគឺវិជ្ជមានដូច្នេះ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ដើម្បីស្វែងរក tg \alpha យើងប្រើរូបមន្ត tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក \cos \alpha និង ctg \alpha ប្រសិនបើ និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1លេខតាមលក្ខខណ្ឌ \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), យើង​ទទួល​បាន \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. សមីការនេះមានដំណោះស្រាយពីរ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅក្នុងត្រីមាសទី 2 កូស៊ីនុសគឺអវិជ្ជមានដូច្នេះ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ដើម្បីស្វែងរក ctg \alpha យើងប្រើរូបមន្ត ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). យើងដឹងពីតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

គោលគំនិតនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ គឺជាប្រភេទចម្បងនៃត្រីកោណមាត្រ - សាខានៃគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានភ្ជាប់ដោយ inextricably ជាមួយនិយមន័យនៃមុំមួយ។ ការ​មាន​វិទ្យាសាស្ត្រ​គណិតវិទ្យា​នេះ​ទាមទារ​ឱ្យ​មាន​ការ​ទន្ទេញ​ចាំ និង​ការ​យល់​ដឹង​អំពី​រូបមន្ត និង​ទ្រឹស្តីបទ ព្រម​ទាំង​ការ​គិត​តាម​លំហ​ដែល​បាន​អភិវឌ្ឍ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលការគណនាត្រីកោណមាត្រជារឿយៗបង្កការលំបាកដល់សិស្សសាលា និងសិស្ស។ ដើម្បីយកឈ្នះលើពួកវា អ្នកគួរតែកាន់តែស៊ាំជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងរូបមន្ត។

គំនិតនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ

ដើម្បីយល់ពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ អ្នកត្រូវតែសម្រេចចិត្តជាមុនថា តើត្រីកោណកែង និងមុំនៅក្នុងរង្វង់មួយជាអ្វី ហើយហេតុអ្វីបានជាការគណនាត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានទាំងអស់ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយពួកគេ។ ត្រីកោណដែលមុំមួយមាន 90 ដឺក្រេ គឺជាត្រីកោណកែង។ តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ តួលេខនេះជារឿយៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយមនុស្សក្នុងផ្នែកស្ថាបត្យកម្ម ការរុករក សិល្បៈ តារាសាស្ត្រ។ ដូច្នោះហើយការសិក្សានិងវិភាគលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតួលេខនេះមនុស្សបានមកដល់ការគណនាសមាមាត្រដែលត្រូវគ្នានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។

ប្រភេទសំខាន់ៗដែលទាក់ទងនឹងត្រីកោណកែងគឺអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង។ អ៊ីប៉ូតេនុស គឺជាផ្នែកម្ខាងនៃត្រីកោណដែលទល់មុខមុំខាងស្តាំ។ ជើង​រៀង​គ្នា​គឺ​ជា​ភាគី​ពីរ​ផ្សេង​ទៀត​។ ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណណាមួយគឺតែងតែ 180 ដឺក្រេ។

ត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ គឺជាផ្នែកមួយនៃត្រីកោណមាត្រដែលមិនត្រូវបានសិក្សានៅសាលា ប៉ុន្តែនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តដូចជា តារាសាស្ត្រ និងភូមិសាស្ត្រ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រប្រើវា។ លក្ខណៈពិសេសមួយនៃត្រីកោណនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរគឺថាវាតែងតែមានផលបូកនៃមុំធំជាង 180 ដឺក្រេ។

មុំនៃត្រីកោណមួយ។

នៅក្នុងត្រីកោណកែងមួយ ស៊ីនុសនៃមុំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខមុំដែលចង់បានទៅអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណ។ ដូច្នោះហើយ កូស៊ីនុស គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់គ្នា និងអ៊ីប៉ូតេនុស។ តម្លៃទាំងពីរនេះតែងតែមានតម្លៃតិចជាងមួយ ចាប់តាំងពីអ៊ីប៉ូតេនុសតែងតែវែងជាងជើង។

តង់សង់នៃមុំគឺជាតម្លៃស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នានៃមុំដែលចង់បាន ឬស៊ីនុសទៅកូស៊ីនុស។ នៅក្នុងវេន, កូតង់សង់, គឺជាសមាមាត្រនៃជើងនៅជាប់គ្នានៃមុំដែលចង់បានទៅ cactet ទល់មុខ។ កូតង់សង់នៃមុំមួយក៏អាចទទួលបានដោយការបែងចែកឯកតាដោយតម្លៃតង់ហ្សង់។

រង្វង់ឯកតា

រង្វង់ឯកតាក្នុងធរណីមាត្រគឺជារង្វង់ដែលកាំស្មើនឹងមួយ។ រង្វង់បែបនេះត្រូវបានសាងសង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ដោយចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ស្របនឹងចំណុចដើម ហើយទីតាំងដំបូងនៃវ៉ិចទ័រកាំត្រូវបានកំណត់ដោយទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស X (អ័ក្ស abscissa) ។ ចំនុចនីមួយៗនៃរង្វង់មានកូអរដោនេពីរគឺ XX និង YY ពោលគឺកូអរដោនេនៃ abscissa និង ordinate ។ ការជ្រើសរើសចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ក្នុងប្លង់ XX ហើយទម្លាក់កាត់កាត់ពីវាទៅអ័ក្ស abscissa យើងទទួលបានត្រីកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយកាំទៅចំណុចដែលបានជ្រើសរើស (អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវាដោយអក្សរ C) ដែលកាត់កែងកាត់ទៅ អ័ក្ស X (ចំណុចប្រសព្វត្រូវបានតាងដោយអក្សរ G) និងផ្នែកមួយអ័ក្ស abscissa រវាងប្រភពដើម (ចំណុចត្រូវបានតាងដោយអក្សរ A) និងចំនុចប្រសព្វ G. ត្រីកោណលទ្ធផល ACG គឺជាត្រីកោណខាងស្តាំដែលមានចារឹកក្នុង រង្វង់មួយ ដែល AG គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយ AC និង GC គឺជាជើង។ មុំរវាងកាំនៃរង្វង់ AC និងផ្នែកនៃអ័ក្ស abscissa ជាមួយនឹងការរចនា AG យើងកំណត់ថាជា α (អាល់ហ្វា) ។ ដូច្នេះ cos α = AG/AC ។ ដោយសារ AC គឺជាកាំនៃរង្វង់ឯកតា ហើយវាស្មើនឹងមួយ វាប្រែថា cos α=AG ។ ដូចគ្នាដែរ sin α = CG ។

លើសពីនេះទៀតដោយដឹងពីទិន្នន័យទាំងនេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច C នៅលើរង្វង់ចាប់តាំងពី cos α = AG និង sin α = CG ដែលមានន័យថាចំណុច C មានកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ (cos α; sin α) ។ ដោយដឹងថាតង់សង់ស្មើនឹងសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅនឹងកូស៊ីនុស យើងអាចកំណត់ថា tg α \u003d y / x និង ctg α \u003d x / y ។ ដោយពិចារណាលើមុំនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេអវិជ្ជមាន គេអាចគណនាបានថាតម្លៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំមួយចំនួនអាចជាអវិជ្ជមាន។

ការគណនានិងរូបមន្តមូលដ្ឋាន

តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ដោយបានពិចារណាពីខ្លឹមសារនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតាមរយៈរង្វង់ឯកតា យើងអាចទាញយកតម្លៃនៃអនុគមន៍ទាំងនេះសម្រាប់មុំមួយចំនួន។ តម្លៃត្រូវបានរាយក្នុងតារាងខាងក្រោម។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

សមីការដែលមានតម្លៃមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានគេហៅថាត្រីកោណមាត្រ។ អត្តសញ្ញាណដែលមានតម្លៃ sin x = α, k គឺជាចំនួនគត់៖

1. sin x = 0, x = πk ។
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk ។
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk ។
4. sin x = a, |a| > 1 គ្មានដំណោះស្រាយ។
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk ។

អត្តសញ្ញាណដែលមានតម្លៃ cos x = a ដែល k ជាចំនួនគត់៖

1. cos x = 0, x = π/2 + πk ។
2. cos x = 1, x = 2πk ។
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk ។
4. cos x = a, |a| > 1 គ្មានដំណោះស្រាយ។
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk ។

អត្តសញ្ញាណដែលមានតម្លៃ tg x = a ដែល k ជាចំនួនគត់៖

1. tg x = 0, x = π/2 + πk ។
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk ។

អត្តសញ្ញាណដែលមានតម្លៃ ctg x = a ដែល k ជាចំនួនគត់៖

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk ។
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk ។

រូបមន្តចាក់

ប្រភេទនៃរូបមន្តថេរនេះតំណាងឱ្យវិធីសាស្រ្តដែលអ្នកអាចទៅពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃទម្រង់ទៅជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ នោះគឺបម្លែងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំនៃតម្លៃណាមួយទៅជាសូចនាករដែលត្រូវគ្នានៃមុំនៃ ចន្លោះពេលពី ០ ដល់ ៩០ ដឺក្រេ ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនា។

រូបមន្តសម្រាប់កាត់បន្ថយអនុគមន៍សម្រាប់ស៊ីនុសនៃមុំមើលទៅដូចនេះ៖

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α ។

សម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំ៖

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α ។

ការប្រើប្រាស់រូបមន្តខាងលើគឺអាចធ្វើទៅបានតាមវិធានពីរ។ ទីមួយ ប្រសិនបើមុំអាចត្រូវបានតំណាងជាតម្លៃ (π/2 ± a) ឬ (3π/2 ± a) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ៖

• ពី sin ទៅ cos;
• ពី cos ទៅអំពើបាប;
• ពី tg ទៅ ctg;
• ពី ctg ទៅ tg ។

តម្លៃនៃមុខងារនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើមុំអាចត្រូវបានតំណាងជា (π ± a) ឬ (2π ± a) ។

ទីពីរសញ្ញានៃមុខងារកាត់បន្ថយមិនផ្លាស់ប្តូរទេ: ប្រសិនបើវាវិជ្ជមានដំបូងវានៅតែមាន។ ដូចគ្នាដែរចំពោះមុខងារអវិជ្ជមាន។

រូបមន្តបន្ថែម

រូបមន្តទាំងនេះបង្ហាញពីតម្លៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំបង្វិលពីរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររបស់វា។ មុំជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងថាជា α និង β ។

រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin ។
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin ។
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β) ។
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β) ។

រូបមន្តទាំងនេះមានសុពលភាពសម្រាប់មុំ α និង β ណាមួយ។

រូបមន្តមុំទ្វេ និងបី

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រនៃមុំទ្វេ និងបីគឺជារូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងមុខងារនៃមុំ 2α និង 3α រៀងគ្នាទៅនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំα។ ទទួលបានពីរូបមន្តបន្ថែម៖

1. sin2α = 2sinα*cosα។
2. cos2α = 1 - 2sin^2α ។
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α) ។
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α។
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα។
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α) ។

ការផ្លាស់ប្តូរពីផលបូកទៅផលិតផល

ដោយពិចារណាថា 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ការធ្វើឱ្យរូបមន្តនេះមានភាពសាមញ្ញ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ។ ដូចគ្នាដែរ sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)។

ការផ្លាស់ប្តូរពីផលិតផលទៅផលបូក

រូបមន្តទាំងនេះធ្វើតាមពីអត្តសញ្ញាណសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៃផលបូកទៅជាផលិតផល៖

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 * ។

រូបមន្តកាត់បន្ថយ

នៅក្នុងអត្តសញ្ញាណទាំងនេះ អំណាចការ៉េ និងគូបនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃអំណាចទីមួយនៃមុំច្រើន៖

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8 ។

ការជំនួសជាសកល

រូបមន្តជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកលបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2) ខណៈពេលដែល x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2) ដែល x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ដែល x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ខណៈពេលដែល x \u003d π + 2πn ។

ករណីពិសេស

ករណីពិសេសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម (k គឺជាចំនួនគត់)។

ឯកជនសម្រាប់ស៊ីនុស៖

តម្លៃ sin x	x តម្លៃ
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ឬ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ឬ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ឬ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ឬ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ឬ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ឬ -2π/3 + 2πk

កូស៊ីនុសៈ

តម្លៃ cos x	x តម្លៃ
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2 π k
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	± 2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	± 3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	± 5π/6 + 2πk

ឯកជនសម្រាប់តង់សង់៖

តម្លៃ tg x	x តម្លៃ
0	pk
1	π/4 + π k
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + π k
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + π k
-√3	-π/3 + πk

កូតង់សង់៖

តម្លៃ ctg x	x តម្លៃ
0	π/2 + π k
1	π/4 + π k
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + π k
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + π k
-√3/3	-π/3 + πk

ទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

មានពីរកំណែនៃទ្រឹស្តីបទ - សាមញ្ញ និងពង្រីក។ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសសាមញ្ញ៖ a/sin α = b/sin β = c/sin γ ។ ក្នុងករណីនេះ a, b, c គឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណ ហើយ α, β, γ គឺជាមុំទល់មុខរៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសដែលបានពង្រីកសម្រាប់ត្រីកោណបំពាន៖ a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ។ នៅក្នុងអត្តសញ្ញាណនេះ R បង្ហាញពីកាំនៃរង្វង់ដែលត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានចារឹក។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

អត្តសញ្ញាណត្រូវបានបង្ហាញតាមវិធីនេះ៖ a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α។ ក្នុងរូបមន្ត a, b, c គឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណ ហើយ α គឺជាមុំទល់មុខ a ។

ទ្រឹស្ដីតង់សង់

រូបមន្តបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់នៃមុំពីរ និងប្រវែងនៃជ្រុងទល់មុខពួកគេ។ ជ្រុងត្រូវបានដាក់ស្លាក a, b, c និងមុំទល់មុខដែលត្រូវគ្នាគឺ α, β, γ ។ រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទតង់សង់៖ (a - b) / (a ​​+ b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2) ។

ទ្រឹស្តីបទកូតង់សង់

ភ្ជាប់កាំនៃរង្វង់ដែលមានចារឹកជាត្រីកោណជាមួយនឹងប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វា។ ប្រសិនបើ a, b, c គឺជាជ្រុងនៃត្រីកោណ ហើយ A, B, C ជាមុំទល់មុខរបស់ពួកគេ r ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹក ហើយ p គឺជាពាក់កណ្តាលរង្វង់នៃត្រីកោណ អត្តសញ្ញាណខាងក្រោម កាន់៖

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r ។

កម្មវិធី

ត្រីកោណមាត្រ​មិន​ត្រឹម​តែ​ជា​ទ្រឹស្ដី​វិទ្យាសាស្ត្រ​ដែល​ជាប់​ពាក់ព័ន្ធ​នឹង​រូបមន្ត​គណិត​វិទ្យា​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិ ទ្រឹស្តីបទ និងច្បាប់របស់វាត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តដោយសាខាផ្សេងៗនៃសកម្មភាពមនុស្ស - តារាសាស្ត្រ ផ្លូវអាកាស និងសមុទ្រ ទ្រឹស្តីតន្ត្រី ភូមិសាស្ត្រ គីមីវិទ្យា សូរស័ព្ទ អុបទិក អេឡិចត្រូនិច ស្ថាបត្យកម្ម សេដ្ឋកិច្ច វិស្វកម្មមេកានិច ការងារវាស់វែង ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ផែនទីផែនទី មហាសមុទ្រ និងផ្សេងៗទៀត។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ ដែលអ្នកអាចបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមុំ និងប្រវែងនៃជ្រុងក្នុងត្រីកោណ ហើយស្វែងរកបរិមាណដែលចង់បានតាមរយៈអត្តសញ្ញាណ ទ្រឹស្តីបទ និងក្បួន។

ការបង្រៀន៖ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់នៃមុំបំពាន

ស៊ីនុស, កូស៊ីនុសនៃមុំបំពាន

ដើម្បីយល់ថាតើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអ្វី ចូរយើងងាកទៅរង្វង់ដែលមានកាំឯកតា។ រង្វង់​នេះ​ត្រូវ​បាន​ផ្តោត​ទៅ​លើ​ដើម​កំណើត​នៅ​លើ​យន្តហោះ​កូអរដោណេ។ ដើម្បីកំណត់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងប្រើវ៉ិចទ័រកាំ ឬដែលចាប់ផ្តើមនៅកណ្តាលរង្វង់ និងចំណុច រគឺជាចំណុចមួយនៅលើរង្វង់។ វ៉ិចទ័រកាំនេះបង្កើតជាមុំអាល់ហ្វាជាមួយអ័ក្ស អូ. ចាប់តាំងពីរង្វង់មានកាំស្មើនឹងមួយ។ OR = R = 1.

ប្រសិនបើពីចំណុច រទម្លាក់កាត់កែងលើអ័ក្ស អូបន្ទាប់មកយើងទទួលបានត្រីកោណកែងដែលមានអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើនឹងមួយ។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រកាំផ្លាស់ទីតាមទ្រនិចនាឡិកានោះទិសដៅនេះត្រូវបានគេហៅថា អវិជ្ជមានប៉ុន្តែប្រសិនបើវាផ្លាស់ទីច្រាសទ្រនិចនាឡិកា - វិជ្ជមាន.

ស៊ីនុសនៃមុំមួយ។ ឬ, គឺជាការចាត់តាំងនៃចំណុច រវ៉ិចទ័រនៅលើរង្វង់មួយ។

នោះ​គឺ​ដើម្បី​ទទួល​បាន​តម្លៃ​ស៊ីនុស​នៃ​អាល់ហ្វា​មុំ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ វា​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​កំណត់​កូអរដោណេ នៅលើផ្ទៃ។

តើតម្លៃនេះទទួលបានដោយរបៀបណា? ដោយសារយើងដឹងថាស៊ីនុសនៃមុំបំពានក្នុងត្រីកោណស្តាំគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស យើងទទួលបានវា

ហើយចាប់តាំងពី R=1បន្ទាប់មក sin(α) = y 0 .

នៅក្នុងរង្វង់ឯកតា តម្លៃកំណត់មិនអាចតិចជាង -1 និងធំជាង 1 ដែលមានន័យថា

ស៊ីនុសគឺវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ និងទីពីរនៃរង្វង់ឯកតា ហើយអវិជ្ជមាននៅក្នុងទីបី និងទីបួន។

កូស៊ីនុសនៃមុំមួយ។រង្វង់ដែលបង្កើតដោយវ៉ិចទ័រកាំ ឬ, គឺជា abscissa នៃចំណុច រវ៉ិចទ័រនៅលើរង្វង់មួយ។

នោះ​គឺ​ដើម្បី​ទទួល​បាន​តម្លៃ​នៃ​កូស៊ីនុស​នៃ​អាល់ហ្វា​មុំ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ វា​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​កំណត់​កូអរដោនេ Xលើផ្ទៃ។

កូស៊ីនុស​នៃ​មុំ​បំពាន​ក្នុង​ត្រីកោណ​កែង​មួយ​គឺ​សមាមាត្រ​នៃ​ជើង​នៅ​ជាប់​នឹង​អ៊ីប៉ូតេនុស យើង​ទទួល​បាន​ថា

ហើយចាប់តាំងពី R=1បន្ទាប់មក cos(α) = x 0 .

នៅក្នុងរង្វង់ឯកតា តម្លៃនៃ abscissa មិនអាចតិចជាង -1 និងធំជាង 1 ដែលមានន័យថា

កូស៊ីនុសគឺវិជ្ជមាននៅក្នុងរង្វង់ទីមួយ និងទីបួននៃរង្វង់ឯកតា ហើយអវិជ្ជមាននៅក្នុងទីពីរ និងទីបី។

តង់សង់មុំបំពានសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅកូស៊ីនុសត្រូវបានគណនា។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាត្រីកោណកែង នោះនេះគឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។ ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីរង្វង់ឯកតា នោះនេះគឺជាសមាមាត្រនៃការតែងតាំងទៅ abscissa ។

ដោយវិនិច្ឆ័យដោយទំនាក់ទំនងទាំងនេះ វាអាចយល់បានថាតង់សង់មិនអាចមានបានទេ ប្រសិនបើតម្លៃនៃ abscissa គឺសូន្យ ពោលគឺនៅមុំ 90 ដឺក្រេ។ តង់សង់អាចយកតម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់។

តង់សង់គឺវិជ្ជមាននៅក្នុងត្រីមាសទី 1 និងទី 3 នៃរង្វង់ឯកតា ហើយអវិជ្ជមាននៅក្នុងទីពីរ និងទីបួន។